1

H×nh häc mÆt ph¼ng täA ®é

C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cña tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh

chó ý: - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng - 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tuyÕn ®­êng nµy lµ chØ ph­¬ng cña ®g kia, chØ ph­¬ng ®­êng nµy lµ ph¸p tuyÕn cña ®g kia

Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã: c¸ch gi¶i: - viÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK - viÕt ph­¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH

Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng trung tuyÕn kh«ng qua ®Ønh ®ã c¸ch gi¶i: - LÊy ®iÓm M thuéc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iÓm t×m

to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®­êng CN t×m tham sè t ®iÓm C

- LÊy ®iÓm N thuéc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iÓm t×m to¹ ®é B thay voµ PT ®­êng BM t×m tham sè t ®iÓm B

lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®­êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diÓm ®èi xøng cña A qua ®­êng ph©n gi¸c

BB’ vµ CC’ A’ vµ A’’ thuéc c¹nh BC

- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cña nã víi ®­êng CC’, BB’ta cã ®iÓm B vµ C

chó ý : c¸c bµi to¸n kÕt hîp ®­êng cao vµ ph©n gi¸c; ®­êng cao vµ trung tuyÕn; trung tuyÕn vµ ph©n gi¸c ta ®Òu dùa vµo c¸ch gi¶i 3 bµi to¸n c¬ b¶n trªn

lo¹i 4: Bµi to¸n cho diÖn tÝch, cho ®iÓm trªn ®o¹n th¼ng theo tØ sè cho tr­íc c¸ch gi¶i: Ta dïng c«ng thøc diÖn tÝch, c«ng thøc t×m to¹ ®é cña ®iÓm chia ®o¹n th¼ng theo tØ sè k

Bµi tËp:

1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ; 2

3), D (- 2; 2)

a/ Chöùng minh raèng A , B, C khoâng thaúng haøng : A , B , D thaúng haøng.

b/ Tìm ñieåm E ñoái xöùng vôùi A qua B.

c/ Tìm ñieåm M sao cho töù giaùc ABCM laø hình bình haønh.

d/ Tìm toïañoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC . 2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) .

a/ Xaùc ñònh toïa ñoä taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.

b/ Xaùc ñònh toïa ñoä troïng taâm G, tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC .suy ra ba ñieåm G,H,I thaúng haøng.

3/ Cho hai ñieåm A( 1; -2 ) vaø B( 3 ; 4 ) .

a/ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua truïc hoaønh.

b/ Tìm ñieåm M treân truïc hoaønh sao cho MA +MB nhoû nhaát . c/ Tìm ñieåm N treân truïc tung sao cho NA + NB nhoû nhaát.

d/ Tìm ñieåm I treân truïc tung sao cho |

IBIA | ngaén nhaát.

e/ Tìm J treân truïc tung sao cho JA –JB daøi nhaát.

A B

C(x;y)

A(x;y)

B

C

A’ B’

B’

C’

A(x;y)

C A’

I

J B

A’’

www.VNMATH.com

2

4/Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho ñieåm A(1;1) . Haõy tìm ñieåm B treân ñöôøng thaúng y =3 vaø ñieåm C

treân truïc hoaønh sao cho ABC laø tam giaùc ñeàu.

5/Trong maët phaúng Oxy cho ñieåm B treân ñöôøng thaúng x + 4 = 0 vaø ñieåm C treân ñöôøng thaúng x–3 =0

a) Xaùc ñònh toïa ñoä B vaø C sao cho tam giaùc OBC vuoâng caân ñænh O

b) Xaùc ñònh toïa ñoä B;C sao cho OBC laø tam giaùc ñeàu.

CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP

Daïng 1: Laäp phöông trình cuûa ñöôøng thaúng:

Baøi 1 : Vieát phöông trình tham soá phöông trình , chính taéc roài suy ra phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng

thaúng trong caùc tröôøng hôïp sau:

1/ Qua ñieåm M(2 ; -5) vaø nhaän vectô

u =( 4; -3) laøm vectô chæ phöông .

2/ Qua hai ñieåm A(1 ; - 4 ) vaø B( -3 ; 5 ) .

3/ Qua ñieåm N ( 3 ; -2 ) vaø nhaän vectô

n = ( 5 ; - 2 ) laøm vectô phaùp tuyeán .

Baøi 2: Vieát Phöông trình tham soá , phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng coù phöông trình toång quaùt laø: 3x

– 2y + 6 = 0 .

Baøi 3: Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho caùc ñieåm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Vieát phöông trình ñöôøng

thaúng d trong caùc tröôøng hôïp sau :

a) d ñi qua A vaø caùch B moät khoaûng baèng 4.

b) d ñi qua A vaø caùch ñeàu hai ñieåm B , C

c) d caùch ñeàu ba ñieåm A; B ; C

d) d vuoâng goùc vôùi AB taïi A. e; d laø trung tuyeán veõ töø A cuûa tam giaùc ABC.

Baøi 4: Cho tam giaùc ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB , BC

, CA . 1/ Vieát phöông trình toång quaùt cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.

2/ Vieát phöông trình caùc ñöôøng trung tröïc cuûa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.

Baøi 5: Cho ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình : 4x – 3y + 5 = 0 .

1/ Laäp phöông trình toång quaùt ñöôøng thaúng ( d’) ñi qua ñieåm A (1 ; -2 ) vaø song song vôùi (d).

2/ Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (d’’) ñi qua ñieåm M( 3 ; 1 ) vaø (d’’) vuoâng goùc vôùi (d).

Baøi 6 : Cho hai ñöôøng thaúng d: 2x + 7y – 8 = 0 vaø d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi

qua giao ñieåm cuûa d vaø d’vaø thoaû maûn moâït trong caùc ñieàu kieän sau ñaây :

1/ Ñi qua ñieåm ( 2 ;- 3) 2/ Song song vôùi ñöôøng thaúng x – 5y + 2 = 0

3/ Vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x- y + 4 = 0 .

Baøi 7 :Tam giaùc ABC coù A( -1 ; - 3 ) , caùc ñöôøng cao coù phöông trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;

CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC vaø ñöôøng cao coøn laïi.

Baøi 8 :Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho caùc ñieåm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Vieát phöông trình ñöôøng

thaúng d trong moåi tröôøng hôïp sau :

1/ d qua M vaø caùch N moät khoaûng baèng 4. 2/ D qua M vaøcaùch ñeàu hai ñieåm N, P.

Baøi 9: Laäp phöông trình caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát A( 1; 3) vaø hai trung

tuyeán coù phöông trình laø x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.

Baøi 10: Laäp phöông trình caùc ñöôøng thaúng chöùa caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu cho ñieåm B(-4;-5) vaø hai

ñöôøng cao coù phöông trình laø :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.

Baøi 11 : Cho ñieåm P( 3; 0) vaø hai ñöôøng thaúng d1: 2x – y – 2 = 0 , d2:x + y + 3 = 0. Goïi d laø ñöôøng thaúng qua

P caét d1 , d2 laàn löôït taïi A vaø B .Vieát phöông trình cuûa d bieát PA = PB.

Baøi 12 : Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát C(4 ; -1 ) ñöôøng cao vaø trung tuyeán keû töø moät

ñænh laàn löôït coù phöông trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .

Baøi 13 : Cho tam giaùc ABC coù M( - 2 ; 2) laø trung ñieåm cuûa caïnh BC caïnh AB coù phöông trình laø x – 2y

– 2 = 0,caïnh AC coù phöông trình laø 2x + 5y + 3 = 0 . Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc ABC.

www.VNMATH.com

3

Baøi 14 : Cho hai ñöôøng thaúng d1: x – y = 0 , d2 :x – 2y – 2 = 0. Tìm ñieåm A treân d1, C treân d2 vaø B , D treân

truïc hoaønh sao cho ABCD laø hình vuoâng .

Daïng 2 : Hình chieáu cuûa moät ñieåm treân ñöôøng thaúng

1 / Phöông phaùp : Xaùc ñònh hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d:

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d’ ñi qua dieåm M vaø vuoâng goùc vôùi d .

Giaûi heä goàm hai phöông trình cuûa d vaø d’ ta coù toïa ñoä cuûa ñieåm H.

2/ Phöông phaùp :Xaùc ñònh ñieåm N ñoái xöùng cuûa ñieåm M qua d.

Duøng phöông phaùp treân ñeå tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm M treân ñöôøng thaúng d.

Ñieåm N ñoái xöùng vôùi M qua d neân H laø trung ñieåm ñoaïn MN , töø ñieàu kieän ñoù ta tìm ñöôïc toïa ñoä

ñieåm N

Baøi taäp :

Baøi 1 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho ñieåm M(-6 ; 4 ) vaø ñöôøng thaúng d: 4x – 5y + 3 = 0.

1/ Tìm toïa ñoä hình chieáu H cuûa M treân ñöôøng thaúng d.

2/ Tìm ñieåm N ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua d .

Baøi 2 : Trong mp vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñeåm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) vaø ñöôøng thaúng d : 2x – y – 1 = 0 .

1/ Chöùng minh raèng A , B naèm veà cuøng moät phía ñoái vôùi ñöôøng thaúng d.

2/ Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua d .

3/ Tìm ñieåm M treân ñöôøng thaúng d sao cho MA + MB beù nhaát.

Daïng 3 : Caùc baøi toaùn veà vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng

Baøi 1: Xaùc ñònh a ñeå caùc ñöôøng thaúng sau ñaây ñoàng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .

Baøi 2 : Cho hai ñöôøng thaúng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì :

1/ d vaø d’ caét nhau. 2/ d // d’. 3/ d truøng vôùi d’.

Baøi 3: Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì hai ñöôøng thaúng sau caét nhau taïi moät ñieåm treân truïc hoaønh

d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0.

Daïng 4 : Caùc baøi toaùn Söû duïng coâng thöùc tính goùc vaø khoaûng caùch.

Baøi 1 : Tính goùc giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng sau :

1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0

2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 .

Baøi 2 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ( 3 ; 2) ñeán caùc ñöôøng thaúng sau ñaây:

1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .

Baøi 3: Cho ñöôøng thaúng d: 3x – 2y +1 = 0 vaø ñieåm A(1;2) . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua A vaø

hôïp vôùi d moät goùc 450 .

Baøi 4 : Cho tam giaùc ABC caân ñænh A . Cho bieát BC: 2x – 3y –5 = 0 ,

AB :x + y + 1 = 0. Laäp phöông trình caïnh AC bieát raèng noù ñi qua ñieåm M(1;1).

Baøi 5: Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M( 2;7 ) vaø caùch ñieåm A(1;2) moät khoaûng baèng1.

Baøi 6 : Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm P( 2 : -1) sao cho ñöôøng thaúng ñoù cuøng vôùi hai ñöôøng

thaúng : (d1):2x – y + 5 = 0 , (d2) : 3x + 6y – 1 = 0 taïo ra moät tam giaùc caân coù ñænh laø giao ñieåm cuûa

(d1) vaø (d2) .

Baøi 7 : Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát B( 2 ;- 1 ),ñöôøng cao qua ñænh A coù phöông trình

3x – 4y +27 = 0 vaø phaân giaùc trong cuûa goùc C coù phöông trình x + 2y – 5 = 0.

Baøi 8: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng song song vôùi d:3x –4y +1=0 vaø caùch d moät khoaûng baèng 1

CAÙC BAØI TAÄP TRONG CAÙC ÑEÀ THI

1/ Trong maët phaúng Oxy moät tam giaùc coù phöông trình hai caïnh 5x-2y + 6 =0 vaø 4x +7y – 21 =0. Vieát

phöông trình caïnh thöù ba bieát tröïc taâm cuûa tam giaùc truøng vôùi goùc toïa ñoä .

2/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa hình vuoâng coù moät ñænh laø (-4; 5)vaø moät ñöôøng cheùo coù phöông trình laø

7x- y +8 = 0

www.VNMATH.com

4

3/ Chgo tam giaùc ABC ,caïnh BC coù trng ñieåm M(0; 4) coøn hai caïnh kia coù phöông trình :

2x + y – 11 =0 vaø x + 4y – 2 =0

a. Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm A.

b. Goïi C laø ñieåm treân ñöôøng thaúng x – 4y – 2 = 0 , N laø trtrung ñieåm AC . Tìm N roài suy ra toïa ñoä cuûa

B , C.

4/ Cho tam giaùc ABC coù M(-2 ;2) laø trung ñieåm cuûa BC , caïnh AB coù phöông trình x –2y–2=0

caïnh AC coù phöông trình 2x + 5y + 3 =0. Xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùcABC.

5/ Cho A(-1; 2)vaø B(3;4).Tìm ñieåm Ctreân ñöôøng thaúng x –2y +1=0 sao cho tam giaùc ABC vuoâng taïi C .

6/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh B(3;5),ñöôøng cao veõ töø A coù phöông trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyeán veõ töø

C coù phöông trình x + y – 5 =0

a. Tìm toïa ñoä ñieåm A. b, Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.

7/ Cho tam giaùc ABC coù troïng taâm G(-2;1)vaø coù caùc caïnh AB:4x+y 15 = 0 vaø AC :2x+5y +3 = 0.

a,Tìm toïa ñoä A vaø trung ñieåm M cuûa caïnh BC b,Tìm toïa ñoä ñieåm B vaø vieát phöng trình ñöôøng thaúng BC.

8/ Cho A(1;1), B(-1;3)vaø ñöôøng thaúng d:x+y+4 =0.

a, Tìm ñieåm C treân d caùch ñeàu hai ñieåm A,B. Vôùi C vöøa tìm ñöôïc .Tìm D s/cho ABCD laø hbh .tính Shbh.

9/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;-3)

a. Bieát ñöôøng cao BH:5x+3y –35=0, ñöôøng cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C.

b. Bieát trung tröïc cuûa caïnh AB coù phöông trình x+2y –4=0 vaø troïng taâm G(4;-2).Tìm B,C.

10/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát ñænh C(4;-1) ñöôøng cao vaø trung tuyeán veõ töø moät ñænh

coù phöông trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0.

11/Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu bieát A(1;3) vaø hai trung tuyeán coù phöông trình x-2y+1

=0, y -1=0 .

12/ Cho tam giaùc ABC coù A(2;-1) vaø phöông trình hai phaân giaùc trong cuûa goùc B vaø C laàn löôït laø d:x –

2y+1=0 , d’:x+y+3 = 0. Tìm phöông trình caïnh BC.

13/ Cho tam giaùc ABC coù A(2;-3) ,B(3;-2)troïng taâm G cuûa tam giaùc naèm treân ñöôøng thaúng

3x –y – 8 =0,dieän tích tam giaùc ABC baèng 3/ 2.Tìm C.

14 / Cho tam giaùc caân ABC coù phöông trình caïnh ñaùy AB:2x –3y+5=0caïnh beân AC:x+y+1=0.

Tìm phöông trình caïnh beân BC bieát noù ñi qua ñieåm D(1;1).

15/ Cho hình chöû nhaät ABCD coù taâm I(1/ 2;0),phöông trình ñöôøng thaúng AB laø

x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm toïa ñoä caùc ñænh A,B,C,D bieát A coù hoaønh ñoä aâm.

16/ Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hai ñöôøng thaúng d1:x-y=0,d2:2x+y+1=0.Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa

hình vuoâng ABCD bieát A thuoäc d1, C thuoäc d2vaø caû hai ñænh B,D thuoäc truïc hoaønh.

17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Troïng taâm G cuûa tam giaùc naèm treân ñöôøng thaúng d: 3x – y -8 = 0, dieän

tích tam giaùc ABC baèng 3/2 . Tìm C.

18/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát ñænh C(4;-1) ñöôøng cao vaø trung tuyeán ke û töø moät

ñænh coù phöông trình 2x -3y +12 = 0 vaø 2x + 3y = 0.

20/ Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC neáu bieát A(1;3) vaø hai ñöôøng trung tuyeán coù

phöông trình laø x -2y+1= 0 vaø y-1 =0.

21/ Cho tam giaùc ABC bieát C(4;3) phaân giaùc trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyeán (AE)

4x+13y-10 = 0. Laäp phöông trình ba caïnh.

22/ Cho tam giaùc ABC bieát A(2;-1) vaø phöông trình hai ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc B vaø C

laàn löôït laø d: x-2y+1=0 vaø x+y+3=0 .Tìm phöông trình cuûa ñöôøng thaúng chöùa caïnh BC.

23/ Cho tam giaùc ABC coù ñænh A(-1;3) , ñöôøng cao BH naèm treân ñöôøng thaúng y= x , phaân giaùc

trong goùc C naèm treân ñöôøng thaúng x+3y+2=0 . Vieát phöông trình caïnh BC .

24/ Cho tam giaùc ABC vuoâng ôû A , phöông trình BC laø 3x y 3 0 , caùc ñænh A vaø B thuoäc truïc

hoøanh vaø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp baèng 2. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC.

www.VNMATH.com

5

ÑÖÔØNG TROØN A . LYÙ THUYEÁT CAÀN NHÔÙ

I .phöông trình ñöôøng troøn :

* Ñöôøng troøn ( C ) coù taâm I ( a; b) ,baùn kính R coù phöông trình laø :

(x – a )2 + ( y – b)2 = R2

* Phöông trình : x2+ y2 –2ax – 2by + c = 0 , a2+ b2 – c > 0 laø phöông trình cuûa moät ñöôøng troøn coù taâm

I ( a ; b ) ,baùn kính R = cba 22

II. Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi ñöôøng troøn.

Cho ñöôøng troøn ( C ) coù phöôngtrình : F ( x ; y ) = x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 vaù ñieåm M0(x0 ;y0)

PM / (C ) = F (x0 ; y0 ) = x02 +y0

2 –2ax – 2by + c .

III. Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn :

Cho hai ñöôøng troøn khoâng ñoàng taâm ( C1) : x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = 0 ,

( C2 ) : x2 + y2 – 2a2x - 2b2y + c2 = 0 .

Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn ( C1) , ( C2) coù phöông trình laø :

2( a1- a2) x + 2( b1- b2) y – c1+ c2 = 0 . IV. Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn

1/Daïng 1: Cho ñöôøng troøn ( C ) : ( x – a )2 + ( y –b)2 = R2. Taâm I ( a ;b) , baùn kính R.

Tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi ñieåm M0( x0 ; y0) ( C ) coù phöông trình :

(x0 – a) (x – a ) + ( y0 – b)( y – b) = R2

Chuù yù: Tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M0 nhaän vectô M0I laøm vectô phaùp tuyeán töø ñoù suy ra phöông trình

tieáp tuyeán vôùi ( C ) taïi M0.

2/ Daïng 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng k.

* Ñöôøng thaúng coù heä soá goùc k coù phöông trình : y = kx + m

* tieáp xuùc vôùi ( C ) d( I , ) = R.Töø ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc m.

3/ Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( C ) ñi qua M( xM ; yM). * Ñöôøng thaúng qua M coù phöông trình : A ( x – xM ) + B ( y – yM) = 0.

* tieáp xuùc vôùi ( C ) d( I , ) = R.Töø ñieàu kieän naøy ta tìm ñöôïc A vaø B.

B. CAÙC DAÏNG BAØI TAÄP Baøi 1 :Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn sau :

1/ x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - 2 = 0 .

3/ x2 + y2 – 6x – 16 = 0 . 4/ x2 + y2 - 8y - 9 = 0 .

Baøi 2 :Laäp phöông trình ñöôøng troøn ( T ) trong caùc tröôøng hôïp sau:

1/ ( T ) coù taâm I ( 2 ; - 1) vaø coù baùn kính R = 3 .

2/ ( T ) coù ñöôøng kính AB vôùi A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) .

3/ ( T ) coù taâm I ( 3 ; - 1 ) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng : 4x –3y + 5 = 0 .

4/ ( T ) ñi qua ba ñieåm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 ).

5/ ( T )tieáp xuùc vôùi hai truïc toïa ñoä vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng :2x – y – 8 = 0.

6/ ( T ) qua hai ñieåm A(1;2 ),B(3; ) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng coù phöông trình : 3x +y–3 = 0

Baøi 3 : Cho ñöôøng troøn ( C ) coù phöông trình x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 .Laäp phöông trình tieáp tuyeán d vôùi (

C ) : 1/ Taïi ñieåm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Bieát d song song vôùi : 3x – 4y – 2004 = 0.

3/ Bieát d ñi qua ñieåm A ( 2 ; 6 ) .

Baøi 4: Cho ñöôøng troøn ( T ) coù phöông trình : x2 + y2 – 4x – 2y = 0 .

1/ Tính phöông tích cuûa ñieåm M ( 5 ; -2) ñoái vôùi ñöôøng troøn ( T ).

2/Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (T)vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng :2x – 3y + 1= 0.

www.VNMATH.com

6

3/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( T ) keû töø N (– 2 ; 6 ).

Baøi 5 : Cho hai ñöông troøn ( C1 ) vaø ( C2 ) laàn löôït coù phöông trình laø :

x2 + y2 + 4x + 4y –13 = 0 , x2 + y2 - 2x + 8 y + 5 = 0 .Vieát phöông trình truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng

troøn ñoù .

Baøi 6 : Cho ( Cm) coù phöông trình : x2 + y2 – 2mx – 4my + 2m2 – 1 = 0.

1/ Tìm caùc giaù trò cuûa m sao cho (Cm ) laø ñöôøng troøn. 2/ Tìm taäp hôïp taâm I cuûa ( Cm ) . Baøi 7 : Cho ñöôøng troøn (T) coù phöông trình : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0.

a) Vieát phöông trình tieáp tuyeá cuûa (T) taïi caùc ñieåm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) .

b) Vieát phöông trình tieáp tuyeá cuûa (T) ñi qua C( 6 ; 5) .

c) Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa (T) vaø (T’) coù pt : x2 +y2 -10x + 9 = 0

d) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì (T) tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (T’’) coù pt: x2 + y2 – 2my = 0.

CAÙC BAØI TAÄP TRONG CAÙC ÑEÀ THI

1/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)

2/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc coù ba caïnh naèm treân ba ñöôøng thaúng :

(d1) : 5

2

5

xy , (d2) : y = x+2 , (d3): y = 8 – x

3/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc coù ba ñænh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1).

4/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ñi qua caùc ñieåm A( -1;1) , B(1;-3) vaø coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d)

:2x – y + 1 = 0

5/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn ñi qua ñieåm A(-1;-2) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng

(d) : 7x-y-5= 0 taïi ñieåm M(1;2)

6/ Laäp phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d1) : 2x +y = 0 vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng

thaúng (d2): x -7y+10 = 0 taïi ñieåm M(4;2).

7/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng (d1) : 4x + 3y – 2 = 0 vaø tieáp xuùc vôùi hai

ñöôøng thaúng (d2) : x +y+4 = 0 ,(d3) :7x – y+4 = 0

8/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn qua A( 2;-1) vaø tieáp xuùc vôùi hai truïc toaï ñoä .

9/ Cho hai ñöôøng troøn (C1): x2+y2 -10x = 0 , (C2): x

2+y2 +4x – 2y – 20 = 0

a. Vieát phöông trình ñöôøng troøn qua giao ñieåm cuûa (C1) ,(C2) vaø coù taâm (d):x+6y – 6 = 0.

b. Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (C1) ,(C2)

10/ Cho (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 vaø ñöôøng thaúng (d) : x – y – 1 = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng troøn ( C’)

ñoái xöùng vôùi ( C) qua (d)

11/ Cho hai ñöôøng troøn (C1) : x2+y2 – 4x – 5 = 0 , (C2): x

2+y2 – 6x +8y +16 = 0 . Vieát phöông trình tieáp

tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn .

12/ Cho hai ñöôøng troøn : (C1) : x2+y2 – 4x +2y –4 = 0 , (C2): x

2+y2 – 10x – 6y +30 = 0 coù taâm I, J.

a. Chöùng minh raèng (C1) vaø (C2) tieáp xuùc ngoaøi vôùi nhau , tìm toïa ñoä tíeâp ñieåm H.

b. Goïi (d) laø moät tieáp tuyeán chung cuûa (C1) vaø (C2) khoâng qua H .Tìm toïa ñoä giao ñieåm K cuûa (d) vôùi

IJ .Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) ñi qua K vaø tieáp xuùc vôùi (C1) vaø (C2) taïi H.

13/ Cho ñieåm M(6;2) vaø ñöôøng troøn (C) :x2+y2 – 2x – 4y = 0 . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua M

vaø caét (C ) taïi hai ñieåm A,B sao cho AB = 10 .

14/Cho ñöôøng troøn (C ) : x2+y2 – 2x – 6y – 9 = 0 vaø ñieåm M(2;4) .

a. Chöùng toû raèng M naèm trong ñöôøng troøn.

b. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua M caét (C ) taïi hai ñieåm phaân bieät A vaø B sao cho M laø trung

ñieåm cuûa ñoaïn AB.

c. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C’) ñoái xöùng vôùi (C ) qua AB.

15 / Cho ba ñöôøng thaúng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1) (d2) = A,

www.VNMATH.com

7

(d2) (d3) =B , (d3) (d1) = C.

a. Vieát phuöông trình phaàn giaùc trong cuûa goùc BAC .

b. Tính dieän tích tam giaùc ABC .

c. Vieát phöông trình ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC .

16/ Cho ñöôøng troøn (C) :x2 + y2 -8x -6y = 0 vaø ñieåm A(14;8) . Qua A keû caùc tieáp tuyeân AM,AN vôùi

(C) . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng MN .

17/ Cho (Cm) : x2+y2 +2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0.

a.Xaùc ñònh m ñeå (Cm) laø ñöôøng troøn .

b. Tìm quyõ tích taâm I cuûa (Cm) .

18/ Cho (C) : x2 + y2+2x – 4y – 20 = 0 vaø A(3 ; 0) .Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A vaø caét (C)

theo moät daây cung coù ñoä daøi nhoû nhaát.

19/ Cho hai ñöôøng troøn (C1) :x2 + y2 – 2x – 9y – 2= 0 vaØ (C2) : x2 + y2 – 8x – 9y +16 = 0.

a. Chöùng minh raèng (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau .

b. Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn ñoù .

20/ Vieát phöông trình caùc tieáp tuyeán chung cuûa caùc caëp ñöôøng troøn sau :

a. (C1): x2 + y2 -10x = 0 , (C2): x

2 + y2 +4x -2y -20 = 0 b. (C1): x

2 + y2 - 4x - 5 = 0 , (C2): x2 + y2 - 6x +8y +16 = 0

C«ng thøc vÒ E-LÝp

Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t:

2 2

2 2

x y+ = 1

a b (a,b>0)

NÕu a>b th×: b2= a2- c2 trôc lín lµ 2a

trôc nhá lµ 2b tiªu cù lµ 2c t©m sai e=c/a tiªu ®iÓm ( thuéc Ox) F1=(-c;0) F2=(c;0) Víi ®iÓm M(x;y) thuéc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1

2

cMF a ex a x

a

cMF a ex a x

a

NÕu b>a th×: a2= b2- c2 trôc lín lµ 2b

trôc nhá lµ 2a tiªu cù lµ 2c t©m sai e=c/b tiªu ®iÓm ( thuéc Oy) F1=(0;-c) F2=( 0;c) Víi ®iÓm M(x;y) thuéc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1

2

cMF b ex a x

b

cMF b ex a x

b

. CAÙC DANG BAØI TAÄP:

Baøi 1 : Tìm tieâu ñieåm , toïa ñoä caùc ñænh , tieâu cöï , ñoä daøi caùc truïc vaø taâm sai cuûa elip (E ) cho bôûi caùc

phöông trình sau :

1/ 16x2 + 25y2 = 400 ; 2/ 4x2 + 9y2 = 144 ;

3/ 9x2 +25 y2 = 225 ; 4/ 4x2 + 9y2 = 25.

Baøi 2 : Laäp phöông trình chính taéc cuûa elip ( E ) trong caùc tröôøng hôïp sau :

1/ ( E ) coù tieâu cöï baèng 6 ; truïc lôùn laø 2 10 .

2/ ( E ) coù truïc lôùn baèng 20 taâm sai baèng 3/5,

3/ ( E ) coù tieâu cöï baèng 8 vaø ñi qua ñieåm M ( 15 ; - 1 ).

4/ ( E ) coù moät tieâu ñieåm F2 ( 4 ; 0 ) vaø ñi qua ñieåm N ( 3 ; 5

12 )

5/ ( E ) ñi qua hai ñieåm A ( 5 ; 0 ) vaø B ( 4 ; 3 2 )

6/ ( E ) coù truïc nhoû baèng 6 , phöông trình hai ñöôøng chuaån x 7 16 = 0.

www.VNMATH.com

8

7/ ( E ) coù taâm sai baèng 2

1 , khoaûng caùch giöõa hai ñöôøg chuaån baèng 32.

Baøi 3 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) :4x2 + 25y2 = 100.

1/ Tìm caùc ñieåm treâ ( E ) coù hoaønh ñoä baèng 3 vaø tính khoaûng caùch giöûa hai ñieåm ñoù.

2/ Tìm nhöõng ñieåm M treân ( E ) sao cho baùn kính qua tieâu ñieåm beân traùi baèng hai laàn baùn kính qua

tieâu ñieåm beân phaûi .

Baøi 4 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 2x2 + 6y2 = 12 .

1/ Xaùc ñònh toïa ñoä caùc tieâu ñieåm vaø ñoä daøi caùc truïc cuûa ( E ) .

2/ Tìm nhöõng ñieåm M treân ( E ) nhìn hai tieâu ñieåm döôùi moät goùc vuoâng .

Baøi 5: Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) : 16x2 + 25y2 = 400 .

1/ Tìm caùc ñieåm M treân ( E ) sao cho 3F1M = F2M.

2/ Cho A , B laø hai ñieåm thuoäc ( E ) sao cho AF1+ BF2 = 8 .Haõy tính AF2 + BF1 .

Baøi 6 : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho elip ( E ) 16x2 + 25y2 = 100.

1/ Tìm toïa ñoä caùc tieâu ñieåm , toïa ñoä caùc ñænh , tính taâm sai cuûa ( E ) .

2/ Ñöôøng thaúng d ñi qua moät tieâu ñieåm cuûa ( E ) caét ( E ) taïi hai ñieåm A , B .Tính ñoä daøi AB 3/ Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng y = x + m caét (E )taïi hai ñieåm phaân bieät.

Baøi 7: Cho elip ( E ) : x2 + 4y2 =25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.

1/ Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø ( E ) .

2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán taïi caùc giao ñieåm ñoù.

3/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ( E ) bieát tieáp tuyeán ñi qua M( 5; 5 ).

Baøi 8 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (E) : 9x2+ 16y2 = 144 bieát tieáp tuyeán :

1/ song song vôùi ñöôøng thaúng :3x – 2y +1 = 0.

2/ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng :x + 2y – 3 = 0.

Baøi 9: Vieát phöông trình chính taéc cuûa elip (E) bieát raèng (E) nhaän caùc ñöôøng thaúng:

3x – 2y – 20 = 0 vaø x + 6y – 20 = 0 laøm tieáp tuyeán.

Baøi 10 : Cho elíp (E) coù hai tieâu ñieåm F1(- 3 ;0) ,F2( 3 ;0) vaø moät ñg chuaån coù phöông trình x = 3

4.

1/ Vieát phöông trình chính taéc cuûa (E).

2/ M laø ñieåm thuoäc (E) .Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc :P = F1M2 + F2M

2 – 3OM2 – F1M.F2M.

3/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) // Ox vaø caét (E) taïi hai ñieåm A,B sao cho OA OB.

Baøi 11:1/ Laäp pt chính taéc cuûa elíp (E) coù tieâu ñieåm F1( - 15 ;0), tieáp xuùc vôùi (d) : x + 4y – 10 = 0.

2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) vuoâng goùc vôùi (d’) : x + y + 6 = 0.

Baøi 12 : Cho (E) : 4x2 + 9y2 =36 vaø ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình mx – y – 1 = 0 .

1/ Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng (d) luoân caét (E) taïi hai ñieåm phaân bieät vôùi moïi m .

2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (E) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(1;3)

Baøi 13: 1/Laäp phöông trình chính taéc cuûa elíp (E) coù moät tieâu ñieåm F2( 10 ;0) ñoä daøi truïc lôùn 2 18

2/ Ñöôøng thaúng (d) tieâp xuùc vôùi(E) taïi M caét hai truïc toïa ñoä taïi A, B .Tìm M ñeå dieän tích tam giaùc

OAB nhoû nhaát .

Baøi 14 : Cho (E) : 149

22

yx

.Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong ñoù a,b laø hai soá thay ñoåi

1/ Xaùc ñònh toïa ñoä giao ñieåm I cuûa AN vaø BM .

2/ Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñöôøng thaúng MN tieáp xuùc vôùi (E) laø ab = 4 .

Baøi 15 : trong maët phaúng toïa ñoä cho hai elíp (E1) : 1116

22

yx

vaø (E2): 149

22

yx

1/ Vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua giao ñieåm cuûa hai elíp .

2/ Vieát phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa hai elíp .

www.VNMATH.com

9

I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

21

21

13

13

32

32

332211

3

3

2

2

1

1

332211

33

22

11

23

22

21

321

332211

222

,,a .10

0...0.a .9

0.//a .8

....a .7

a .6

a .5

,,ak. .4

,, .3

.2

),,( .1

bb

aa

bb

aa

bb

aab

babababab

b

a

b

a

b

ababkab

bababab

ba

ba

ba

b

aaa

kakaka

babababa

zzyyxxABAB

zzyyxxAB

ABABAB

ABABAB

cb,,a .11 đồng phẳng 0. cba

cb,,a .12 không đồng phẳng 0. cba

13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1

k

kzz

k

kyy

k

kxxM BABABA

1 ,

1 ,

1

14. M là trung điểm AB

2,

2,

2BABABA zzyyxx

M

15. G là trọng tâm tam giác ABC

,

3,

3,

3CBACBACBA zzzyyyxxx

G

16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc: )1,0,0();0,1,0();0,0,1( 321 eee

17. OzzKOyyNOxxM ),0,0(;)0,,0(;)0,0,(

18. OxzzxKOyzzyNOxyyxM ),0,(;),,0(;)0,,(

19. 23

22

21

2

1

2

1aaaACABS ABC

20. ADACABVABCD ).(6

1

21. /

.).(//// AAADABV

DCBAABCD

www.VNMATH.com

10

2.CÁC DẠNG TOÁN

Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc

A,B,C laø ba ñænh tam giaùc [

AC,AB ] ≠ 0

SABC = 21

AC],[AB

Ñöôøng cao AH = BC

S ABC.2

Shbh =

AC],[AB

Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh

Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng

ABCD laø hbh DCAB

Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän:

[

AC,AB ].

AD ≠ 0

Vtd = 6

1

AD.AC],[AB

*Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD

AHSV BCD.3

1

BCDS

VAH

3

Theå tích hình hoäp :

/

..;//// AAADABV

DCBAABCD

Daïng4: Hình chieáu cuûa ñieåm M

1. H laø hình chieáu cuûa M treân mp

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M vaø vuoâng goùc mp : ta coù nad

Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()

2. H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng (d)

*Vieát phöông trình mp qua M vaø vuoâng goùc vôùi (d): ta coù dan

*Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()

Daïng 5 : Ñieåm ñoái xöùng

1.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua mp

*Tìm hình chieáu H cuûa M treân mp (daïng 4.1)

*H laø trung ñieåm cuûa MM/

2.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua ñöôøng thaúng d:

*Tìm hình chieáu H cuûa M treân (d) ( daïng 4.2)

H laø trung ñieåm cuûa MM/

www.VNMATH.com

11

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

1: ViÕt täa ®é cña c¸c vect¬ say ®©y: 2a i j

; 7 8b i k

; 9c k

; 3 4 5d i j k

2: Cho ba vect¬

a = ( 2;1 ; 0 ),

b = ( 1; -1; 2) ,

c = (2 ; 2; -1 ).

a) T×m täa ®é cña vect¬ :

u = 4

a - 2

b + 3

c b) Chøng minh r»ng 3 vect¬

a ,

b ,

c kh«ng ®ång ph¼ng .

c) H·y biÓu diÓn vect¬

w = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬

a ,

b ,

c .

3: Cho 3 vect¬

a = (1; m; 2),

b = (m+1; 2;1 ) ,

c = (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ó 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .

4: Cho: 2; 5;3 , 0; 2; 1 , 1;7; 2a b c

. T×m täa ®é cña vect¬: a) 1

4 32

d a b c

b) 4 2e a b c

5: T×m täa ®é cña vect¬ x

, biÕt r»ng:

a) 0a x

vµ 1; 2;1a

b) 4a x a

vµ 0; 2;1a

c) 2a x b

vµ 5;4; 1a

, 2; 5;3 .b

6: Cho ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng: (1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).A B C H·y t×m träng t©m G cña tam gi¸c

ABC. 7: Cho bèn diÓm kh«ng ®ång ph¼ng : (2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).A B C D H·y t×m täa ®é träng t©m G

cña tø diÖn ABCD. 8: Cho ®iÓm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M:

a) Trªn c¸c mÆt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trôc täa ®é: Ox, Oy, Oz 9: Cho ®iÓm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cña ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm M:

a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mÆt ph¼ng Oxy c) Qua Trôc Oy. 10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cña c¸c ®Ønh cßn l¹i. 11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §­êng th¼ng AB c¾t mÆt ph¼ng Oyz t¹i ®iÓm M.

a) §iÓm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iÓm M.

13 . Cho ba vect¬ 1; 1;1 , 4;0; 1 ,a b

3;2; 1 .c

T×m:

2 2 2 2

) . ; ) . ; ) ;a a b c b a b c c a b b c c a

2 2 2

) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c

.

14. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ a

vµ b

: ) 4;3;1 , 1;2;3a a b

) 2;5;4 , 6;0; 3 .b a b

15. a) Trªn trôc Oy t×m ®iÓm c¸ch ®Òu hai ®iÓm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1). b) Trªn mÆt ph¼ng Oxz t×m ®iÓm c¸ch ®Òu ba ®iÓm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).

16. XÐt sù ®ång ph¼ng cña ba vect¬ , ,a b c

trong mçi tr­êng hîp sau ®©y:

) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3a a b c

) 4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1b a b c

) 4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1c a b c

) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 .d a b c

17. Cho ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cña mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch ABC. c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ó tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña ABC h¹ tõ ®Ønh A. e) TÝnh c¸c gãc cña ABC.

www.VNMATH.com

12

18. Cho bèn ®iÓm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cña mét tø diÖn. b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diÖn cña tø diÖn ABCD. c) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tø diÖn h¹ tõ ®Ønh A. 19. Cho ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong cña gãc B. 20. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho bèn ®iÓm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1). a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diÖn. TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD.

b) TÝnh ®é dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh C cña tø diÖn ®ã. c) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cña tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B. d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB, CD. 21. Cho 3 ®iÓm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ). a) X¸c ®Þnh ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh . b) T×m täa ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo. c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®­êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A. T×m täa ®é träng t©m cña tam gi¸c ABC . 22. Cho 4 ®iÓm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).

a) Chøng minh 4 ®iÓm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD b) T×m täa ®é träng t©m cña tø diÖn ABCD .

c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiÒu cao cña tø diÖn vÏ tõ D. d) T×m täa ®é ch©n ®­êng cao cña tø diÖn vÏ tõ D .

23. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4) a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cña tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C . c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Vectô phaùp tuyeán cuûa mp :

n

≠ 0

laø veùctô phaùp tuyeán cuûa n

2. Caëp veùctô chæ phöông cuûa mp :

a

b

laø caëp vtcp cuûa a

, b

cuøng //

3 Quan heä giöõa vtpt n

vaø caëp vtcp a

, b

: n

= [ a

, b

]

4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n

= (A;B;C)

A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n

= (A; B; C)

5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

1c

z

b

y

a

x

Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn:

1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán

6.Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä

(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

7. Chuøm maët phaúng : giaû söû 1 2 = d trong ñoù

//

www.VNMATH.com

13

(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Pt mp chöùa (d) coù daïng sau vôùi m2+ n2 ≠ 0 : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0

8. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp (1) vaø (2) :

° 222111 C:B:AC:B:Acaét

° 2

1

2

1

2

1

2

1//D

D

C

C

B

B

A

A

° 2

1

2

1

2

1

2

1

D

D

C

C

B

B

A

A

ª 0212121 CCBBAA

9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0

222

ooo

CBA

D Cz By Ax

)d(M,

10.Goùc giữa hai maët phaúng : 21

21

.

.

nn

nn

),cos(

2.CAÙC DAÏNG TOAÙN Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C :

° Caëp vtcp:

AB,

AC °

]

)(

AC , AB[nvtpt

qua

ChayBhayA

Daïng 2: Maët phaúng trung tröïc ñoaïn AB :

° AB vtpt

AB ñieåm trungMqua

n

Daïng 3: Maët phaúng qua M vaø d (hoaëc AB)

° )....( ABn

da vtpt neân (d) Vì

Mqua

Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0

°

n n vtpt neân // Vì

M qua

www.VNMATH.com

14

Daïng 5: Mp chöùa (d) vaø song song (d/)

Ñieåm M ( choïn ñieåm M treân (d))

Mp chöùa (d) neân aad

Mp song song (d/) neân bad/

■ Vtpt /,dd aan

Daïng 6 Mp qua M,N vaø :

■ Mp qua M,N neân aMN

■ Mp mp neân bn

° ],[

n nvtpt

N) (hayM qua

MN

Daïng 7 Mp chöùa (d) vaø ñi qua

■ Mp chöùa d neân aad

■ Mp ñi qua )(dM vaø A neân bAM

°],[ AM nvtpt

A qua

da

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi to¸n 1. Ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng

Bµi 1: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M vµ cã vtpt n

biÕt

a, M 3;1;1 , n 1;1;2

b, M 2;7;0 , n 3;0;1

c, M 4; 1; 2 , n 0;1;3

d, M 2;1; 2 , n 1;0;0

Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trung trùc cña AB biÕt:

a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, 1 1

A ; 1;0 , B 1; ;52 2

d,

2 1 1A 1; ; , B 3; ;1

3 2 3

Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm M vµ song song víi mÆt ph¼ng biÕt:

a, M 2;1;5 , Oxy b, M 1;1;0 , :x 2y z 10 0 c, M 1; 2;1 , : 2x y 3 0

Bµi 4 LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2;3;2) vµ cÆp VTCP lµ (2;1;2); (3;2; 1)a b

Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ a) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trôc 0x,0z. c) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z.

Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua 2 ®iÓm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ : a) Cïng ph­¬ng víi trôc 0x. b) Cïng ph­¬ng víi trôc 0y. c) Cïng ph­¬ng víi trôc 0z.

Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ n vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ (6; 1;3); (3;2;1)a b

.

Bµi 8: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cÆp VTCP lµ )4,2,3( );2,7,2( ba

Bµi 9: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) biÕt :

a) (P) ®i qua ®iÓm A(-1;3;-2) vµ nhËn );4,3,2(n lµm VTPT.

www.VNMATH.com

15

b) (P) ®i qua ®iÓm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0. Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é. Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q). Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:

a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ cã cÆp VTCP lµ 3;2;1a

vµ 3;0;1b

b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph­¬ng víi trôc víi 0x. Bµi 13: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .

a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.

Bµi 14: ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P) a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)

Bµi 15: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P).

III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua

M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a

= (a1;a2;a3)

Rt;

tazz

tayy

taxx

(d)

3o

2o

1o

:

2.Phöông trình chính taéc cuûa (d)

32 a

z-z

a

yy

a

xx(d) o

1

o 0:

3.PT toång quaùt cuûa (d) laø giao tuyeán cuûa 2 mp 1 vaø 2

0 DzBxA

0 DzBxA(d)

2222

1111

Cy

Cy:

Veùctô chæ phöông

22

11

22

11

22

11 ,,BA

BA

AC

AC

CB

CBa

4.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng :

Qui öôùc:

Maãu = 0 thì Tö û= 0

www.VNMATH.com

16

(d) qua M coù vtcp da

; (d’) qua N coù vtcp /da

d cheùo d’ [ da

, /da ].

MN ≠ 0 (khoâng ñoàng phaúng)

d,d’ ñoàng phaúng [ da

, /da ].

MN = 0

d,d’ caét nhau [ da

, /da ] 0 vaø [ da

, /da ].

MN =0

d,d’ song song nhau { da

// /da vaø )( /dM }

d,d’ truøng nhau { da

// /da vaø )( /dM }

5.Khoaûng caùch :

Cho (d) qua M coù vtcp da

; (d’) qua N coù vtcp /da

Kc từ đieåm ñeán ñường thẳng:

d

d

a

AMadAd

];[),(

Kc giöõa 2 ñường thẳng : ];[

].;[);(

/

//

dd

dd

aa

MNaaddd

6.Goùc : (d) coù vtcp da

; ’ coù vtcp /da ; ( ) coù vtpt n

Goùc giữa 2 ñöôøng thaúng :

/

/

.

.'

dd

dd

aa

aa

)dcos(d,

Goùc giữa ñường vaø mặt : na

na

d

d

.

.)sin(d,

2.CAÙC DAÏNG TOAÙN Daïng 1: : Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B

ABaVtcp

hayBquaAd

d

)()(

Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song ()

a

da vtcp neân )( // (d) Vì

qua

Ad )(

Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mp

n

da vtcp neân )( (d) Vì

qua

Ad )(

Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân : d/ =

www.VNMATH.com

17

Vieát pt mp chöùa (d) vaø vuoâng goùc mp

];[

)()(

)(

nan

bn

aad

dquaM

d

d ª

)(

)()( /

d

Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc (d1),(d2)

]

da ,

da [ avtcp

qua

1 2

)(

Ad

Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 :

+ Tìm da = [ a

d1, a

d2]

+ Mp chöùa d1 , (d) ; mp chöùa d2 , (d)

d =

Daïng 7: PT qua A vaø d caét d1,d2 : d =

vôùi mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)

Daïng 8: PT d // vaø caét d1,d2 : d = 1 2

vôùi mp1 chöùa d1 // ; mp2 chöùa d2 //

Daïng 9: PT d qua A vaø d1, caét d2 : d = AB

vôùi mp qua A, d1 ; B = d2

Daïng 10: PT d (P) caét d1, d2 : d =

vôùi mp chöùa d1 ,(P) ; mp chöùa d2 , (P)

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hîp sau :

a) (d) ®i qua ®iÓm M(1;0;1) vµ nhËn (3;2;3)a

lµm VTCP

b) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3) Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng ( ) : - 3 2 -6 0 P x y z vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é

Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng

tr×nh: R t,

21

22:

tz

ty

tx

d

Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ : R t,

21

22:

tz

ty

tx

dvµ (P): x+y+z+1=0

T×m ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (D) Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã

www.VNMATH.com

18

Bµi6: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:

a) ( ) : 2 3 - 4 0P x y z b) : 2 3 1 0P x y z .

Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi ®­êng

th¼ng ( ) cho bëi :

2 2

: 3 t

3

x t

y t R

z t

.

Bµi8: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt:

a) R t,

2

3

1

:

tz

ty

tx

d (P): x-y+z+3=0 b) R t,

1

9

412

:

tz

ty

tx

d (P): y+4z+17=0

Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ

3

2

12

1:

zyxd .

a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) . b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) .

Bµi 10: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :

1

1

2

1

1

2:1

zyxd

t

31

2

21

:2 R

tz

ty

tx

d

a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2).

Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi :

34

24

37

:1

tz

ty

tx

d R

tz

ty

tx

d

1

1

1

1

2 tt,

12

29

1

:

a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .

III.MẶT CẦU

1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R

2Rczbyax:R)S(I,222 (1)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222 (2)

( 0dcbavôùi 222 )

Taâm I(a ; b ; c) vaø dcbaR 222

2.Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu

Cho 2Rczbyax:(S)222

vaø : Ax + By + Cz + D = 0

Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mp :

d > R : (S) =

www.VNMATH.com

19

d = R : tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän)

*Tìm tieáp ñieåm H (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù nad

Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()

d < R : caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt

2

0DCzByAx :

Rczbyax:(S)222

*Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn:

+ baùn kính ),(22 IdRr

+ Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù nad

Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø ()

3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu

tazz

tayy

taxx

d

3o

2o

1o

: (1) vaø

2Rczbyax:(S)222 (2)

+ Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t,

+ Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm

2.CAÙC DAÏNG TOAÙN Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A

ª 2Rczbyax:R)S(I,222 (1)

Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2

Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB

Taâm I laø trung ñieåm AB

Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1)

Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2

Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp

222

..)(

CBA

DI

zCI

yBS

IA.x

)d(I, R

I taâmcaàu maët Pt

Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD

Duøng (2) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222 A,B,C,D mc(S) heä pt, giaûi tìm a, b, c, d

Daïng 5:Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222 (2)

A,B,C mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2)

I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α)

www.VNMATH.com

20

Giaûi heä phöông trình treân tìm a, b, c, d

Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A

Tieáp dieän cuûa mc(S) taïi A : qua A,

IA n vtpt

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1: Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y ,ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt:

a) 02642: 222 zyxzyxS b) 09242: 222 zyxzyxS

c) 03936333: 222 zyxzyxS d) 07524: 222 zyxzyxS

Bµi 2: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: 04624: 2222 mmzmymxzyxSm

a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . b) CMR t©m cña (Sm) lu«n n»m trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.

Bµi 3: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: 05824: 22222 mymmxzyxSm

a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . b) T×m quÜ tÝch t©m cña hä (Sm) khi m thay ®æi. c) T×m ®iÓm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua.

Bµi 4: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: 03cos2sin2: 222 mymxzyxSm

a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . b) CMR t©m cña (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®­êng trßn (C) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy khi m thay ®æi. c) Trong mÆt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §­êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m 0) ,c¾t (C) t¹i T, S ,

®­êng th¼ng qua A , T c¾t ®­êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hîp c¸c ®iÓm P khi m thay ®æi . Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ,biÕt :

a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iÓm A(2;1;-3) vµ t©m I(3;-2;-1).

c) §i qua ®iÓm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thuéc 0x. d) Hai ®Çu ®­êng kÝnh lµ A(-1;2;3), B(3;2;-7) Bµi 6: Cho 3 ®­êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph­¬ng tr×nh :

1

1

4

2

3

2:1

zyxd ,

1

9

2

3

1

7:2

zyxd ,

1

2

2

3

3

1:3

zyxd

a) LËp pt®t (d) c¾t c¶ (d1),(d2) vµ song song víi (d3). b) Gi¶ sö Add 1 , Bdd 2 .LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®­êng kÝnh AB.

Bµi 7: Cho 2 ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh : R

tz

ty

tx

d

t

2

1

2

:1

, 1

9

2

3

1

7:2

zyxd

a) CMR (d1) vµ (d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2). c) LËp mËt cÇu (S) cã ®­êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2). d) ViÕt pttq mp c¸ch ®Òu(d1) (d2). Bµi 8: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt :

a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0. b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0. c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1;1;-3).

Bµi 9: (§H HuÕ-96): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5). a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.

Bµi10: Cho bèn ®iÓm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA. b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cña c¹nh SB lªn mÆt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K lµ

giao ®iÓm cña h×nh chiÕu ®ã víi 0A. H·y x¸c ®Þnh to¹ dé cña K. c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn l­ît lµ ®iÓm gi÷a cña c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cña ®iÓm M trªn SB sao

cho PQ vµ KM c¾t nhau. Bµi 11: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).

a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn (ABC) vµ tÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. b) (HVKTQS-98): ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cña AC vµ BD.

www.VNMATH.com

21

c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. d) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD.

Bµi 12: Cho bèn ®iÓm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1). a) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng BC .H¹ AH vu«ng gãc BC .T×m to¹

®é cña ®iÓm H. b) (HVNHTPHCM-99):ViÕt pttq cña (BCD) .T×m kc tõ A ®Õn (BCD). c) ViÕt ptmc ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. Bµi 13: Trong kh«ng gian 0xyz, cho h×nh chãp .biÕt to¹ ®é bèn ®Ønh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4), D(3;1;0). a) LËp pt c¸c mÆt cña h×nh chãp. b) LËp pt mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh chãp . c) TÝnh V SABCD Bµi 14: (HVKTMM-97) Cho bèn ®iÓm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).

a) CMR tø diÖn ABCD cã cÆp c¹nh ®èi diÖn b»ng nhau . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø diÖn.

c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp ,néi tiÕp tø diÖn ABCD.

www.VNMATH.com

22

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian

Ta có : , , Ox Oy Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc

thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :

Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ''''. DCBAABCD

Với hình lập phương . Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a a a

'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )A a B a a C a a a a a

Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a b b

'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)A c B a c C a b c b

Với hình hộp đáy là hình thoi ''''. DCBAABCD

Chọn hệ trục tọa độ sao cho : - Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD - Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO h Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông

Khi đó :

0;0;

2

2;0;0;

2

2 aC

aA

2 20; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )

2 2

a aB D S h

Với hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

A

B C

D

D’

C

A’

B’

O

O’

x

y

B’

A D

C B

D’ A’

C’

y

z

x

z

B

D

C

A

O

S

x

y

z

S

z

www.VNMATH.com

23

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0)

Khi đó : ;0;0 ; ;0;02 2

a aA B

3 3

0; ;0 ; S 0; ;2 6

a aC h

Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)

ABCD là hình chữ nhật ;AB a AD b

chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó : ;0;0 ; ; ;0B a C a b

0; ;0 ; (0;0; )D b S h

Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)

ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0)

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có ;AB a AC b đường cao bằng h .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)

Khi đó : ;0;0 ; C 0; ;0B a b

S 0;0;h

B

D

C

A

O

S

x

y

z

B

D

C

A

O

S

x

y

z

B

C A

S

x

y

z

www.VNMATH.com

24

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có ;BA a BC b đường cao bằng h .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0)

Khi đó : ;0;0 ; C 0; ;0A a b

S ;0;a h

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại C

ABC vuông tại C ;CA a CB b

chiều cao bằng h H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0) Khi đó : ;0;0 ; B 0; ;0A a b

( ; ; )2 2

a bS h

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại A

ABC vuông tại A ;AB a AC b

chiều cao bằng h H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó : ;0;0 ; C 0; ;0B a b

(0; ; )2

aS h

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông cân tại C

z

B

C A

S

x y

B

C

A H

S

x y

z

B

C A

H

S

x

y

z

www.VNMATH.com

25

Tam giác ABC vuông cân tại C có CA CB a đường cao bằng h . H là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0)

Khi đó : ;0;0 ; A 0; ;02 2

a aC

B 0; ;0 ; S 0;0;2

ah

b. Bài tập áp dụng Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi

, , lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh

rằng : 1coscoscos 222 ( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : )0;0;0(O ; )0;0;(aA ;

)0;;0( bB );0;0( cC ;

)0 ; ; ( baAB

) ; 0 ; ( caAC

Tìm vectơ pháp tuyến của :

Mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (OBC) Mặt phẳng (OCA) Mặt phẳng (OAB)

) ; ; (, abacbcACABn

)0 ,0 ,1 (i vì : )(OBCOx

)0 ,1 ,0 (j vì : )(OCAOy

)1 ,0 ,0 (k vì : )(OABOz

Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng:

)(),(coscos ABCOBC )(),(coscos ABCOBC )(),(coscos ABCOBC

222222

.cos

baaccb

cb

222222

.cos

baaccb

ac

222222

.cos

baaccb

ba

H

B

C

A

S

x

y

z

x

y

z

A B

C

C’

O

www.VNMATH.com

26

Kết luận

1coscoscos222222

222222222

baaccb

baaccb

Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau : Cho hình lập phương ''''. DCBAABCD có cạnh bằng a. a.Chứng minh rằng đường chéo CA' vuông góc với mặt phẳng )''( DAB

b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo CA' và mặt phẳng )''( DAB là trọng tâm của

tam giác ''DAB . c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng )''( DAB và )'( BDC

d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng )'( CDA và )''( AABB

( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : )0;0;0(AO ;

);0;0(' aA

)0;0;(aB ; );0;(' aaB

)0;;( aaC ; );;(' aaaC

)0;;0( aD ; );;0(' aaD

a. Chứng minh : )''(' DABCA

Nếu )''('''

''DABCA

ADCA

ABCA

Ta có :

);;0('

);0;('

);;('

aaAD

aaAB

aaaCA

Vì

''

''

00'.'

00'.'

22

22

ADCA

ABCA

aaADCA

aaABCA

Nên )''(' DABmpCA

b. Chứng minh : G là trọng tâm của tam giác ''DAB Phương trình tham số của đường thẳng CA'

)(:' Rt

taz

ty

tx

CA

Phương trình tổng quát của mặt phẳng )''( DAB

0:)''( zyxDAB

Gọi )''(' DABCAG Toạ độ giao điểm G

của đường thẳng CA' và mặt phẳng )''( DAB là nghiệm của hệ :

3

2

3

3

0 az

ay

ax

zyx

taz

ty

tx

3

2;

3;

3

aaaG (1)

B’

A

B C

D

D’ A’

C’ G

x

y

z

www.VNMATH.com

27

Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng )''( DAB

);;(',' 2221 aaaADABn

Mặt khác :

3

2

3

33

33

''

''

''

azzzz

ayyyy

axxxx

DBAG

DBAG

DBAG

(2)

So sánh (1) và (2), kết luận Vậy giao điểm G của đường chéo CA' và mặt phẳng )''( DAB là trọng tâm của tam

giác ''DAB

c. Tính )'(),''( BDCDABd

Phương trình tổng quát của mặt phẳng )'( BDC 0:)'( azyxBDC Trong

đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

)'( BDC );;(',' 2222 aaaDCBCn

Ta có : 0:)''( zyxDAB

0:)'( azyxBDC )''( DAB // )'( BDC

3

)''(,)'(),''(a

DABBdBDCDABd

d. Tính )''(),'(cos AABBCDA

)''( AABBOy Vec tơ pháp tuyến của

)''( AABB là )0 ; 1 ; 0(j

Vectơ pháp tuyến của )'( CDA :

)1;1;0();;0(,' 2223 aaaDCDAn

Vec tơ pháp tuyến của )''( AABB là )0 ; 1 ; 0(j

Vectơ pháp tuyến của )'( CDA : )1;1;0(3 n

2

1)''(),'(cos AABBCDA

oAABBCDA 45)''(),'(

Bài toán 3. Cho hình lập phương ''''. DCBAABCD có cạnh bằng a. Chứng minh hai đường chéo ''DB và BA' của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ''DB và BA'

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :

)0;0;0(AO ; );0;0(' aA ;

)0;;0( aB ; );;0(' aaB

)0;;( aaC ; );;(' aaaC

)0;0;(aD ; );0;(' aaD

Chứng minh ''DB và BA' chéo nhau, ta chứng minh ba vectơ

',';'' BBBADB không đồng

phẳng. Cần chứng minh

Ta có : )0;;('' aaDB

);;0(' aaBA ; );0;0(' aBB

);;(','' 222 aaaBADB

A

B C

D

D’ A’

B’ C’

x

y

z

www.VNMATH.com

28

tích hỗn hợp của ba vectơ

',';'' BBBADB khác 0 0'.','' 3 aBBBADB

ba vectơ ',';'' BBBADB không đồng phẳng.

hay ''DB và BA' chéo nhau.

Tính BADBd ',''

]',''[

'.]',''[',''

BADB

BBBADBBADBd

3

3

3',''

2

3

444

3 a

a

a

aaa

aBADBd

Bài toán 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi.

AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết )0;0;2(A ; )0;1;0(B ; )22;0;0(S . Gọi M là trung điểm của SC .

1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM 2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : )0;0;0(O ;

)0;0;2(A ; )0;1;0(B ; )22;0;0(S

Ta có :

)0;0;2(C ; )0;1;0( D ; )2;0;1(M

22;0;2 SA ; 2;1;1BM

1a.Tính góc giữa SA và BM

Gọi là góc giữa SA và BM Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

Ta có :

2

3.,coscos

BMSA

BMSABMSA

o30

1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

)2;0;22(],[ BMSA ; )0;1;2(AB

024].,[ ABBMSA

3

62

48

24

],[

].,[),(

ABSA

ABBMSABMSAd

2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. CDABMN //// N là trung điểm của SD

A

C D

S

N M

O

B x

y

z

www.VNMATH.com

29

Dễ dàng nhận thấy :

)()( SCDABMMN AMNSABMSABMNS VVV ...

Trong đó :

SBSMSAV ABMS ].,[6

1.

SNSMSAV AMNS ].,[6

1.

Toạ độ trung điểm N

2;

2

1;0

)22;0;2( SA ; )2;0;1( SM

)22;1;0( SB ; )2;0;1( SM

)0;24;0(],[ SMSA

3

22

6

24].,[

6

1. SBSMSAV ABMS

3

2

6

22].,[

6

1. SNSMSAV AMNS

Kết luận

Vậy 2... AMNSABMSABMNS VVV (đvtt)

Bài toán 5 . Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng 111. CBAABC với )0;3;0( A ;

)0;0;4(B ; )0;3;0(C ; )4;0;4(1B .

Tìm toạ độ các đỉnh 1A ; 1C . Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng

)( 11BBCC . Gọi M là trung điểm của 11BA . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và

song song với 1BC . ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 )

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : )0;0;0(O ;

Với : )0;3;0( A ; )0;0;4(B ; )0;3;0(C ; )4;0;4(1B

)4;3;0(

)4;3;0(

1

1

C

A

Toạ độ trung điểm M của 11BA

)4;

2

3;2M

Toạ độ hai đỉnh 1A ; 1C .

Ta có : )()4;3;0(1 OyzmpA

)()4;3;0(1 OyzmpC

Phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng

)( 11BBCC Viết phương trình mp )( 11BBCC

Tìm bán kính của mặt cầu (S) )(, 11BBCCAdR

Vectơ pháp tuyến của mp )( 11BBCC

)0 ;16 ;12(],[ 1 BBBCn

Phương trình tổng quát của mp )( 11BBCC :

01243:)( 11 yxBBCC

Bán kính của mặt cầu (S) : 5

24R

Phương trình mặt cầu (S) :

(S) 25

576)3(: 222 zyx

Phương trình mặt phẳng (P) :

Vectơ pháp tuyến của (P) :

)12;24;6(],[ 1 BCAMnP

A

B

C

C1

O

B1

M

A1

z

x

y

www.VNMATH.com

30

Tìm vectơ pháp tuyến của (P)

],[)( //

)(1

1

BCAMnPBC

PAMP

4;

2

3;2AM ; )4;3;4(1 BC

Phương trình mặt phẳng (P) :

01224:)( zyxP

Bài toán 6 . Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); cmADAC 4 ;

cmAB 3 ; cmBC 5 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình :

ABC có : 25222 BCACAB nên vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau

)0;0;0(AO ; )0;0;3(B ; )0;4;0(C

)4;0;0(D ;

Tính : )(, BCDAdAH

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)

0123341443

:)( zyxzyx

BCD

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

17

346

34

12

9916

12)(,

BCDAd

Bài toán 7 . Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận )0( aaAB là đoạn

vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho aBNAM 2 . Xác định tâm I và

tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình : Dựng '//' AyAxByAy

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc zAxy' như sau :

)0;0;0(A ; );0;0( aB ; )0;0;2( aM );2;0( aaN

A

B

C

D

H

I

x

y

z

y

B

N

M I

A

z

'y

www.VNMATH.com

31

Toạ độ trung điểm I của MN

2 ; ; a

aaI

1a. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN

Chú ý :

'AyAx

ByAx

Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên

trung điểm

2 ; ; a

aaI của MN là tâm

của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN

1b.Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN

Ta có : )1 ; 2 ; 2( aMN

Bán kính mặt cầu : 2

3

2

aMNR

2. Tính ),( BIAMd

Chứng minh AM và BI chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Ta có : )0;0;2( aAM ;

2;;

aaaBI ; );0;0( aAB

)2;;0(],[ 22 aaBIAM

5

52

],[

].,[),(

a

BIAM

ABBIAMBIAMd

Bài toán 8 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Gọi O là tâm của hình vuông ABCD )(ABCDSO

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :

)0;0;0(O ; S h;0;0 ;

A2

;0;02

a

; C2

;0;02

a

D

0;

2

2;0a

; B

0;

2

2;0

a

Toạ độ trung điểm P của SA

P2

; 0 ;4 2

a h

; E2 2

; ;2 2

a ah

3 2;0; ; (0; 2;0)

4 2

a hMN BD a

Vì : BDMNBDMN 0.

S

C B

A D

P

N

M

E

O

x

y

z

x

www.VNMATH.com

32

M2 2

; ;2 4 2

a a h

N2 2

; ;04 4

a a

Tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Chứng minh MN và AC chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Ta có : 2

, 0; ;02

ahMN AC

20; ;

4 2

a hAM

Vì : 2

, . 04

a hMN AC AM

MN và AC chéo nhau

4

2

2

4

],[

].,[,

22

2

a

ha

ha

ACMN

AMACMNACMNd

Bài toán 9 . Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A; , ,AD a AC b AB c .

a. Tính diện tích S của tam giác BCD theo , ,a b c

b. Chứng minh rằng : 2S abc a b c

Hướng dẫn Bài giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)

Khi đó : ;0;0 ; C 0; ;0B c b

D 0;0;a

Ta có : ; ;0BC c b

;0;BD c a

, ; ;BC BD ac ac bc

Áp dụng bất đẳng thức Côsi :

2 2 2 2 22a b b c ab c 2 2 2 2 22b c c a abc 2 2 2 2 22c a a b a bc

a. Tính diện tích S của tam giác BCD

2 2 2 2 2 21 1,

2 2S BC BD a b a c b c

b.

Chứng minh : 2S abc a b c

Ta có :

2 2 2abc a b c a bc b ac c ab

2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2

b c a c a ba b c

2 2 2 2 2 2 2 BCDa b a c b c S

B

C A

D

x

y

z

www.VNMATH.com

33

Bài toán 10 . Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN. Biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn Bài giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0)

Khi đó : 3

0; ;0 ; ;0;02 2

a aA B

3 3;0;0 ; S 0; ; ; 0; ;0

2 6 6

a a aC h H

3 3; ; ; ; ;

4 12 2 4 12 2

a a h a a hM N

5 3; ;

4 12 2

a a hAM

5 3; ;

4 12 2

a a hAN

+ Pháp vectơ của mp (AMN) : 2

1

5 3, 0; ;

4 24

ah an AM AN

3; ;

4 6

a aSB h

3; ;

2 6

a aSC h

1 2 1 2. 0AMN SBC n n n n

2 4 2 4

2

15 150

4 24.6 16 24

a h a a h a

+ Pháp vectơ của mp (SBC) : 2

2

3, 0; ;

6

an SB SC ah

Diện tích tam giác AMN : 2 2 4

2

1 1 75,

2 2 16 24AMN

a h aS AM AN

4 4 2

4

2 2

1 15 75 1 1090

2 24 24 48 16

a a aa đvdt

Bài toán 11 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA a ; 3SB a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Gọi H là hình chiếu vuông góc

C

H

A B

I

S

x

y

z

M

N

S

z

www.VNMATH.com

34

của S trên AB SH (ABCD) Ta có : 2 2 2 2 23SA SB a a AB SAB vuông tại S SM a

Do đó : SAM đều3

2

aSH

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : (0;0;0)H ;

S3

0;0;2

a

; A ;0;02

a

;

B3

;0;02

a

; D ;2 ;02

aa

;

M ;0;02

a

; N3

; ;02

aa

3;0;

2 2

a aSM

3 3; ;

2 2

a aSN a

3 3;0;

2 2

a aSB

3;2 ;

2 2

a aSD a

2 ; ;0DN a a

+ Thể tích khối chóp S.BMDN

.S BMDN SMNB SMNDV V V 2 2 23 3

, ; ;2 2 2

a a aSM SN

3 3,

2

aSM SN SB

;

33 3,

2

aSM SN SD

31 3,

6 12SMNB

aV SM SN SB

31 3,

6 4SMND

aV SM SN SD

3 3 3

.

3 3 3

12 4 3S BMDN SMNB SMND

a a aV V V

+ Công thức tính góc giữa SM, DN

.

cos ,.

SM DNSM DN

SM DN

+ Tính cosin của góc giữa SM, DN

2

2 22 2

1cos ,

534

4 4

aSM DN

a aa a

Bài toán 12 . Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên

' 2AA a . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :

(0;0;0)B

A 0; ;0a ; C ;0;0a ; B’ 0;0; 2a

A’

C’

z

B’

A y

www.VNMATH.com

35

M ;0;02

a

; ;02

aAM a

; ' ;0; 2B C a a

' 0; ; 2AB a a

Chứng minh AM và B’C chéo nhau

22 2, ' 2; ;

2

aAM B C a a

+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

3. ' ' '

1'. 2

2ABC A B C ABCV AA S a đvtt

+ Khoảng cách giữa AM và B’C

Vì : 3

, ' '2

aAM B C AB

AM và B’C chéo nhau

, ' '

, ', '

AM B C ABd AM B C

AM B C

3

4 4 4

7271

22

a

a

a a a

Bài toán 13 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , 090BAD ABC AB BC a , 2AD a , SA vuông góc với đáy và 2SA a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Chứng

minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 )

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :

(0;0;0)A ; B ;0;0a ; C ; ;0a a ;

D 0;2 ;0a ; S 0;0;2a

M 0;0;a ; N 0; ;a a

0; ;0MN a

; 0; ;0BC a

;0;MB a a

+ Chứng minh BCNM là hình chữ nhật

. 0

MN BC

MN MB

BCNM là hình chữ nhật

B

M

x

z

C

A y

N

D

S

www.VNMATH.com

36

0;0;SM a

; ; ;SC a a a

;0; 2SB a a

; 0; ;SN a a

2 2, ; ;0SM SC a a

3,SM SC SB a

3,SM SC SN a

+ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a

.S BCNM SMCB SMCNV V V

31

,6 6

SMCB

aV SM SC SB

31

,6 6

SMCN

aV SM SC SN

3

.3

S BCNM SMCB SMCN

aV V V đvtt

Bài toán 14 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , ( ); 2SA ABCD SA a . Mặt

phẳng qua BC hợp với AC một góc 300 , cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện

BCNM Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :

(0;0;0)A ; B ;0;0a ; C ; ;0a a ;

D 0;2 ;0a ; S 0;0;2a

Đặt 0 2AM h h a

M 0;0;h

Xác định vị trí điểm M

;0;BM a h

; 0; ;0BC a

2, ;0; ;0;BM BC ah a a h a

; ;0 1;1;0AC a a a

Ta có :

( )/ / / /

/ /

MN SADMN BC AD

BC AD

( )BC SAB BC BM

Pháp vectơ của mặt phẳng :

, n BM BC

;0;n h a

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC :

; ;0 1;1;0 1;1;0AC a a a u

mặt phẳng hợp với AC một góc 300

0

2 2

. 1. 1.0 0.sin 30

1 1 0 0

n u h a

n u h a

2 2

2 2

12

22

hh h a

h a

h a M là trung điểm của SA

+ / /MN BC

BM BC

BCNM là hình thang vuông

B

M

x

z

C

A y

N

D

S

www.VNMATH.com

37

ABM vuông cân tại A 2BM a 1

2 2

aMN AD

+ Diện tích thiết diện BCNM :

21 3 2

2 4BCNM

aS BM MN BC

Bài toán 15 . Cho hình chóp O.ABC có ; ; OA a OB b OC c đôi một vuông góc. Điểm M cố định

thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) lá 1; 2; 3. Tính ; ;a b c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : (0;0;0)O

A ;0;0a ; B 0; ;0b ; C 0;0;c

, ( ) 1 1Md M OBC x

, ( ) 2 2Md M OCA y

, ( ) 3 3Md M OAB z

M 1;2;3

A ;0;0 ( ;0;0)a OA a

B 0; ;0 (0; ;0)b OB b

C 0;0; (0;0; )c OC c

+Thể tích khối chóp O.ABC

.

1 1,

6 6O ABCV OA OB OC abc

Giải hệ :

1 2 3 3

61 2 3

1 9

aa b c

b

ca b c

+ Phương trình mặt phẳng (ABC) :

(ABC) : 1x y z

a b c

1 2 3( ) 1M ABC

a b c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi :

3 31 2 3 1 2 3 6

1 3 . . 3a b c a b c abc

127

6abc

.

31 2 3

27 6

9O ABC

a

MinV ba b c

c

Bài toán 16 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a .

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A

M

x

z

B O y

H

E

C

www.VNMATH.com

38

b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) c. Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SCD)

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Gọi O AC BD )(ABCDSO

22 2 2 2

2 2

a aSO SC OC a

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :

)0;0;0(O ; S2

0;0;2

a

;

A2

;0;02

a

; C2

;0;02

a

D

0;

2

2;0a

; B

0;

2

2;0

a

Phương trình mặt phẳng (SCD)

(SCD): 12 2 2

2 2 2

x y z

a a a

20

2

ax y z

a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD 3

2.

1 1 2. . .

3 3 62S ABCD ABCD

a aV SO S a

b. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Phương trình mặt phẳng (SCD)

(SCD):2

02

ax y z

2 2

2 2 2 6, ( )

33 3

a a

a ad A SCD

Bài toán 17 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , 090ABC BAD AB BC a ,

2AD a , SA vuông góc với đáy và 2SA a . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )

Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :

(0;0;0)A ; B ;0;0a ; C ; ;0a a ;

D 0;2 ;0a ; S 0;0;2a

z

S

A

B C

D

O

x

y

I

z

A y

H

D

S

www.VNMATH.com

39

;0; 2SB a a

; ; 2SC a a a

0;2 ; 2SD a a

2 2 2, 2; 2;2SC SD a a a

2 2 1;1; 2a

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Phương trình tham số của SB :

SB : 0

2

x a at

y

z a t

( t R )

+ Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ

1;1; 2n

làm pháp vectơ

(SCD) : 1( 0) 1( 0) 2( 2) 0x y z a

+ Chứng minh tam giác SCD vuông

; ; 2SC a a a

; ; ;0CD a a

. 0SC CD SC CD

Tam giác SCD vuông tại C

+ Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD)

Tọa độ điểm H :

( ; ; ) ;0; 2H x y z SB H a at a t

( ;0; 2 )AH a at a t

. 0AH SB AH SB

2 2 13 0

3a t a t

2 2;0;

3 3

a aH

+ Khoảng cách từ H đến (SCD)

Phương trình mặt phẳng (SCD)

(SCD) : 2 2 0x y z a

2 22

3 3, ( )

2 3

a aa

ad H SCD

II. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HAI CÁCH GIẢI CHO CÙNG MỘT BÀI TOÁN

Bài 1.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh B’C’

và CD sao cho B’M = 3

2B’C’, CN =

3

2CD. Chứng minh AMBN.

Giải:

Cách giải 1 (phương pháp tổng hợp)

Cách giải 2 (phương pháp toạ độ)

B

x C

www.VNMATH.com

40

A

S

B C

D

N

M

I

E K

A

S

B C

D

N

M

I E

x

y

z

O

- Dựng ME // CC’(E thuộc BC). Nối AE. - Hai tam giác vuông ABE và BCN bằng nhau, góc AEB bằng góc BNC. AEBN. (1) Mặt khác: Vì ME // CC’ (ABCD) nên ME (ABCD) ME BN (2) Từ (1) và (2) BN (AEM) BN AM (đpcm).

- Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ (O A’). Đặt AA’= a . Ta có:

A(0;0; a ), B( aa ;0; ), ( a ;3

2a;0),N( 0;;

3a

a)

00).(.3

2)

3

2.(. aa

aaaBNAM

BNAM (đpcm).

Bài 2. (TSĐH - khối B năm 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

Giải:

Cách giải 1 (phương pháp tổng hợp)

Cách giải 2 (phương pháp toạ độ)

*) Chứng minh: (SBM) (SAC). - Gọi K là trung điểm của CD, E là giao điểm của AC và BD. Ta có MK// AC. Mặt khác:

Tam giác vuông BAM có

2

322 aAMBABM

Tam giác vuông MDK có

2

322 aDKMDMK

Tam giác vuông BCK có:

2

322 aCKBCBK

Dễ thấy BM2+ MK2 = BK2 nên tam giác BMK vuông tại M, => MKBM => ACBM. Hơn nữa BM SA. Từ đây ta có BM (SAC)

* Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ (OA) Gọi E là giao điểm của AC và BD. Ta có:

A(0;0;0), B( a ;0;0),

)0;2

2;0(),0;

2

2;

2(),

2;

2

2;

2(

),;0;0(),0;2;0(),0;2;(

aM

aaE

aaaN

aSaDaaC

và )0;3

2;

3(

aaI , vì I là trọng tâm của ABD .

*) Chứng minh: (SBM) (SAC).

- Ta có )0;2;(),0;2

2;( aaACa

aBM

ACBMACBM 0. .

A

A’

B’

B

C’

D’

D

C

M

N E

A

A’

B’

B

C’

D’

D

C

M

N

x

y

z

O

www.VNMATH.com

41

Vậy (SBM) (SAC) (đpcm). *) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. - Ta có NE // SA => NE (AIB) và NE = a/2. - Vì I là trọng tâm của tam giác ABD và

3

3

2

33

aAI

aAEaAC

Tam giác ABI vuông tại I có

3

622 aAIABBI

Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là

36

2..

2

1.

3

1..

3

1 3aNEIABINESV AIB (đvtt)

Mặt khác: SA (ABCD) nên BM SA. Từ đây suy ra BM (SAC) => (SBM) (SAC) (đpcm). *) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

Ta có )0;3

2;

3(),0;0;(

aaAIaAB và

)2

;2

2;

2(

aaaAN => )

2

2;

2;0(,

22 aaANAB .

Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là

36

2.,

6

1 3aAIANABV (đvtt)

Bài 3. (TSĐH - khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Giải

Cách giải 1 (phương pháp tổng hợp)

Cách giải 2 (phương pháp toạ độ)

* Chứng minh AM vuông góc với BP. Gọi H là trung điểm của AD. Do ΔSAD đều nên SH AD.

Do(SAD) (ABCD)nên

SH (ABCD) SH BP (1).

Xét hình vuông ABCD ta cóΔCDH = ΔBCP

CH BP (2). Từ (1) và (2)suy ra BP (SHC). Vì MN // SC và AN // CH

nên (AMN) // (SHC). Suy ra

BP (AMN) BP AM. * Tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Kẻ MK (ABCD), K(ABCD). Ta có:

CNPCMNP SMKV .3

1

* Gọi H là trung điểm của AD. Do ΔSAD đều nên SH AD.

Do(SAD) (ABCD)nênSH (ABCD) - Dựng đường thẳng Az vuông góc với (ABCD), ta có AD, AB, Az là ba tia đôi một vuông góc nhau. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ ( AO ). Ta có:

A(0;0;0), S(2

3;0;

2

aa), M(

4

3;

2;

4

aaa)

B(0; a ;0), P( )0;2

;a

a , C( 0;;aa ), )0;;2

( aa

N *

Chứng minh AM vuông góc với BP.

Ta có: 0044

.22

aa

BPAM BP AM.

* Tính thể tích khối tứ diện CMNP.

M

P

N

S

H

B A

C D

M

P

N

S

x

y

z

H

B

D C

A

O

www.VNMATH.com

42

Vì 4

3

2

1 aSHMK , SCNP =

2

1.CN.CP =

8

2a

Nên VCMNP = 96

33a

Ta có: )4

;0;0(,2a

CNCP và )4

3;

2;

4

3(

aaaCM

Nên: 96

3.,

6

1 3aCMCNCPVCMNP

II. SO SÁNH

Cách giải 1 (phương pháp tổng hợp) Cách giải 2 (phương pháp toạ độ) 1) Kiến thức: - Cần có một kiến thức rộng và đầy đủ về hình học (hình học phẳng và hình học không gian). - Nhớ các định lý, các hệ quả - Đôi khi cần phải dựng thêm các hình vẽ phụ. 2) Kĩ năng: - Kĩ năng vẽ hình, dựng hình. - Kĩ năng chứng minh, tính toán. 3) Tư duy: - Đòi hỏi khả năng tư duy cao. - Phạm vi liên kết kiến thức rộng.

1) Kiến thức: - Cần có kiến thức vững về vectơ và toạ độ vectơ trong không gian. - Nhớ các công thức, các phương trình của đường thẳng, mặt phẳng và các mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng. - Không cần dựng các hình vẽ phụ. 2) Kĩ năng: - Kĩ năng tính toán. 3) Tư duy: - Khả năng tư duy bình thường. - Phạm vi liên kết kiến thức hẹp. (Chủ yếu tập trung vào việc chọn một hệ trục tọa độ thích hợp)

* Nhận xét Trong hai bài toán 1 và 2, từ giả thiết ta đã có sẳn ba đường thẳng đôi một vuông góc nhau, đây là điều kiện lý tưởng để có thể chọn một hệ trục tọa độ Oxyz, việc còn lại chỉ còn là vấn đề tính toán. Đối với bài 3, để chọn được một hệ trục tọa độ thích hợp hơi có khó khăn hơn một chút. Với chú ý: SH

(ABCD), ta có thể chọn một hệ trục khác, đó là hệ gồm ba trục HD, HN và HS đôi một vuông góc tương ứng là Ox, Oy, Oz.( HO ).

III. MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ CÁCH CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

VÍ DỤ 1 . Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC cân với AB = AC = a và góc BAC = 1200 , cạnh bên BB’= a . Gọi I là trung điểm của CC’ .

a) Chứng minh tam giác AB’I vuông ở A. b) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) . c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC’. Nhận xét : Từ giả thiết của bài toán , vì không có ba đường thẳng nào cùng xuất phát từ một điểm và đôi

một vuông góc , nên ta sẽ phải cố gắng tìm một mối liên kết thích hợp , để từ đó có thể chọn ra một hệ trục tọa độ Oxyz sao cho có thể xác định được tọa độ của tất cả các điểm liên quan đến vấn đề mà ta cần giải quyết . Để làm được điều này cần chú ý , lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng và tam giác đáy là tam giác cân . Từ đây , nếu gọi O , O’ lần lược là trung điểm của B’C’ và BC thì ta sẽ có ngay ba tia OO’, OB’ và OA’ đôi một vuông góc.

* Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của B’C’ và BC . Ta có : OO’ OA’ , OO’B’C’ . Tam giác A’B’O là một nửa tam giác đều

có cạnh A’B’ = a nên A’O =2

3a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ .

A

A’

B

B’

C’

C

I

x

y

z

O’

O

www.VNMATH.com

43

Ta có :

)0;0;2

3('a

B , )0;0;2

3('

aC , );

2;0( a

aA

);0;2

3( aa

B , );0;2

3( a

aC , )

2;0;

2

3(

aaI

* Từ đây ta dễ dàng chứng minh được tam giác AB’I vuông tại A và tính được cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Riêng đối với câu c, nếu sử dụng phương pháp tổng hợp để giải bài toán thì hoàn toàn không dễ một chút nào. Còn dùng phương pháp tọa độ thì hoàn toàn ngược lại.

VÍ DỤ 2 . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , BC = 2a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm SC . Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tinh diện tích tam giác AMB theo a .

Nhận xét : Với nhận xét tương tự bài toán trong VD1, ta cần tạo ra ba tia đôi một vuông góc . . . Dễ dàng nhận thấy rằng , nếu từ B dựng tia Bz vuông góc với mp(ABC) thì ba tia BA,BC,Bz đôi một vuông góc , từ đây ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ( gốc tọa độ O trùng với B) . Ta có A(a;0;0) , C(0;2a;0) ,

S(a;0;2a) , );;2

( aaa

M .

* Từ đây, công việc còn lại thực sự rất dễ dàng.

Khèi ®a diÖn- thÓ tÝch khèi ®a diÖn

-------------

1/ Tính chất của thể tích:

* Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.

* Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể của các khối đa diện nhỏ đó.

* Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.

2/ Công thức tính thể tích của các khối đa diện:

a/ Thể tích khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a.

Lúc đó:

b/ Thể tích khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lược là , ,a b c

Lúc đó: c/ Thể tích khối lăng trụ: cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h.

Lúc đó: d/ Thể tích khối chóp: cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h.

Lúc đó:

A

S

z

M

C

B O

x

y

3V a

. .V a b c

.V B h

1.

3V B h

www.VNMATH.com

44

e/ Thể tích khối chóp cụt: cho khối chóp cụt có diện tích hai đáy là B và B’ , chiều cao h.

Lúc đó:

Bµi tËp

Baì 1: Tính thể tích của : a,Khối tứ diện đều có cạnh bằng a. b, khối 8 mặt đều có cạnh bằng a. c, Khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a. Baì 2: Cho khối lăng trụ tứ giác đều

1 1 1 1.ABCD A B C D có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và 1A D

bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5. a,Hạ

1AK A D 1K A D . Chứng minh rằng 2AK . b,Tính thể tích của khối lăng trụ 1 1 1 1.ABCD A B C D .

Baìi 3: Cho khối chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a . Tính thể tích khối chóp, biết: a. Góc giữa mặt bên và đáy bằng . b, Góc giữa cạnh bên và đáy bằng .

Baì 4: Tính thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn là 2a, đáy nhỏ là a và góc của mặt bên và mặt đáy bằng 600.

Baì 5: Cho khối lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C . Tìm tỉ số thể tích của khối tứ diện 'C ABC và khối lăng trụ đã cho.

Baì 6: Cho khối lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C . Gọi ,M N lần lược là trung điểm của hai cạnh 'AA và 'BB .

Mặt phẳng 'C MN chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Baì 7: Cho khối chóp tam giác .S ABC . Trên các đoạn , ,SA SB SC lần lược lấy ba điểm ', ',A B 'C khác với

S . Chứng minh rằng:

. ' ' '

.

' ' '. .

S A B C

S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC

.

Baì 8: Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi ', 'B D lần lược là trung điểm của ,SB SD . Mặt

phẳng ' 'AB D cắt SC tại 'C . Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp . ' ' 'S AB C D và .S ABCD .

Baì 9: Đáy của khối lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C là tam giác đều. Mặt phẳng 'A BC tạo với đáy một góc 300

và tam giác 'A BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Baì 10: Cho khối lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình bình hành và 045BAD

. Các đường chéo 'AC và 'DB lần lược tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể của khối lăng trụ, cho biết chiều cao của nó bằng 2.

Baì 11: Cho khối tứ diện SABC có ba cạnh , ,SA AB SC vuông góc với nhau từng đôi một, 3, 4SA SB SC .

a. Tính thể tích khối tứ diện SABC . b, Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC .

Baì 12: Cho khối chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy. Biết rằng

, ,AB a BC b SA c . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC .

Baì 13: Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có , 2 , 'AB a BC a AA a . Lấy điểm M trên cạnh AD sao

cho 3MA MD . a. Tính thể tích khối chóp . 'M AB C . b, Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng 'AB C .

Baì 14: Cho khối hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình chữ nhật với 3AB , 7AD . Hai mặt bên

' 'ABB A và ' 'ADD A lần lược tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết

cạnh bên bằng 1.

Baì 15: Hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là một tam giác vuông tại A , 0ˆ, 60AC b C .

Đường chéo 'BC của mặt bên ' 'BB C C tạo với mặt phẳng ' 'AA C C một góc 300.

a. Tính độ dài đoạn 'AC . b, Tính thể tích của khối lăng trụ. Baìi 16: Cho lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm 'A cách đều

các điểm , ,A B C . Cạnh bên 'AA tạo với mặt phẳng đáy một góc 600.

1' ' .

3V B B BB h

www.VNMATH.com

45

a. Tính thể tích của khối lăng trụ. b,Chứng minh mặt bên ' 'BCC B là một hình chữ nhật. c, Tính tổng diện tích các mặt bên của khối lăng trụ

Baìi 17: Cho khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C , đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ' 'ABB A là hình thoi cạnh a , nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ' 'ACC A hợp với đáy một góc . Tính thể tích của lăng trụ.

Baì 18: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD . a. Biết AB a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể tích khối chóp. b. Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng . Tính thể tích khối chóp

Baì 19: Cho khối chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh SA vuông góc với đáy, góc 060 ,ABC BC a

và 3SA a . Gọi M là trung điểm của cạnh SB .

a. Chứng minh: SAB SBC . b, Tính thể tích khối tứ diện MABC .

Baì 20: Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SD . a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC . b, Tính thể tích khối tứ diện MACD .

Baì 21: Cho khối chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và

khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng 3

6

a . Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt bên SCD và thể tích

khối chóp .S ABCD . Baì 22: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

0 00 90 . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD theo . Tính thể tích khối chóp

.S ABCD theo a và .

Baì 23: Cho khối chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và

6

2

aSA

. a, Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC .

b, Tính thể tích khối chóp .S ABC và diện tích tam giác SBC . Baì 24: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

ABC tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng ABC và SBC bằng 600. Tính thể tích khối

chóp .S ABC . Baì 25: Khối chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA ABC , SC a . Hãy tìm góc

giữa hai mặt phẳng SCB và ABC để thể tích khối chóp lớn nhất.

Baì 26: Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a ,

3AC a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC. Tính

theo a thể tích khối chóp 'A ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng ', ' 'AA B C (KA – 2008) Baì 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a , 3SB a và mặt phẳng

SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích

của khối chóp .S BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. (KB – 2008) Baì 28: Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C , đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên ' 2AA a .

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C (KD – 2008)

www.VNMATH.com