CALCOLODIFFERENZIALE

PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

Il teorema del “differenziale Il teorema del “differenziale totale” .totale” .

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Regole di derivazione e Regole di derivazione e differenziazione.differenziazione.

Derivate successive.Derivate successive.

IL TEOREMA DEL IL TEOREMA DEL ““DIFFERENZIALE DIFFERENZIALE

TOTALE” .TOTALE” .

TeoremaSe f : A Rn R, A aperto,

ha derivate parziali continue in A,

allora è differenziabile

in ogni punto x0 A.

Calcoli a parte…

REGOLE DI DERIVAZIONE E DI DIFFERENZIAZIONE.

Vista la definizione di derivataparziale e il suo legame con lanozione di differenziale messain evidenza precedentemente,possiamo concludere che le regoledi derivazione già note continuanoa valere per le derivate parziali, direzionali e per il differenziale. Dunque:

Dk(f + g) = Dkf + Dkg

d(f + g) = df + dg

Dk(fg) = (Dkf)g + f(Dkg)

d(fg) = (df)g + f(dg)

Dk(f/g) = ((Dkf)gg - f((Dkg))/(g2)

d(f/g) = ((df)gg - f((dg))/(g2)

DERIVAZIONE DI FUNZIONE COMPOSTA

Teorema

differenziabile in x0 A, e sia

g(t)=(x1(t),…, xn(t))T derivabile in t0: g’(t0)=( x1’(t0) ,…, xn’(t0))T,

g(t0) = x0 , allora è derivabile in t0

Sia f : A Rn R, A aperto,

F(t) =f(g(t)) , e vale

F ’(t0) = D1f(x0)x1’(t0) +…+ + Dnf(x0)xn’(t0)

con g(t): I Rn .

Calcoli a parte ...

DERIVATE SUCCESSIVE.

Sia f : A R2 R, A aperto, dotata di derivate parziali rispetto a x e a y in tutto A o in una sua parte

aperta A1 . Allora D1f: A1 R e D2f: A1 R , sono funzioni delle

quali ci si può chiedere se sono derivabili rispetto a x o a y.

Si potranno considerare

, ,

e

∂∂y

∂f∂x( )

∂∂y

∂f∂y( )

∂∂x

∂f∂x( )

∂∂x

∂f∂y( )

Si indicherà

= ___∂2f∂x2

(x0,y0)∂∂x

∂f∂x( ) (x0,y0)

∂∂x

∂f∂y( ) (x0,y0) =

∂2f∂x∂y____ (x0,y0)

∂∂y

∂f∂x( ) (x0,y0) =

∂2f∂y∂x____ (x0,y0)

Più in generale

∂∂xi

∂f∂xk

( ) (x10,…, xn

0) ∂2f∂xi∂xk

____ (x10,…,xn

0)=

Ci chiediamo:

quale relazione c’è tra

∂2f∂x∂y____ (x0,y0) ∂2f

∂y∂x____ (x0,y0)e ?

O tra

∂2f∂xk∂xi

____ (x10,…,xn

0)

∂2f∂xi∂xk

____ (x10,…,xn

0)

e

, (i≠k) ?

Altre notazioni per indicare le derivate successive:

∂2f∂x∂y____ (x0,y0) = fxy (x0,y0) =

= D2xyf(x0,y0) = D2

12f(x0,y0) =

= ∂2xyf(x0,y0) = ∂2

12f(x0,y0)

E notazioni analoghe per

∂2f∂xi∂xk

____ (x10,…,xn

0)

Teorema(Sull’inversione dell’ordine delle derivate (di K.H.A. Schwarz) )

Siano fxy e fyx definite su un aperto A,

e siano continue in (x0,y0) A.

Allora fxy (x0,y0)= fyx (x0,y0) .

In generale, per il teorema di Schwarz, ammesso che siano continue in un aperto A Rn , due derivate, calcolate nello stesso punto, che differiscono solo per l’ordine di derivazione sono uguali.