REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD DEL ZULIA

FACULTAD DE INGENIERIADEPARTAMENTO: MATEMTICAS

CTEDRA: CLCULO III

Maracaibo, Junio 2015Profesora: Mercedes BecerraSUPERFICIES CILNDRICAS PARALELAS A LOS EJES COORDENADOS.Si en la ecuacin:

Alguna de las variables , o es libre (no aparece en la ecuacin), entonces su grfica corresponde a un cilindro y trazarla resulta muy simple: primero dibujamos la traza de la superficie sobre el plano coordenado correspondiente a las variables no libres y luego movemos esta curva en la direccin del eje coordenado correspondiente a la variable libre.

Una buena parte de las superficies se generan a partir de una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una trayectoria determinada (llamada directriz). La idea es arrastrar la generatriz en la direccin de la directriz, el movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza que va dejando.En la figura, la curva generatriz es una parbola y como directriz se usan rectas paralelas al eje

Sea una curva sobre un plano llamada generatriz y sea una recta no paralela al plano , llamada directriz. Entonces el conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a que intersecan a es un cilindro.Esta definicin es una generalizacin del conocido cilindro circular recto donde, por ejemplo, la generatriz es que esta sobre el plano y la directriz es paralela al eje . Vamos a estar interesados nicamente en cilindros cuyas curvas generatrices estn sobre planos paralelos a los planos coordenados y cuyas directrices son rectas paralelas a alguno de los ejes coordenados. Este tipo de cilindros se conoce como cilindros rectos. Cuando la directriz es una recta que no es paralela a alguno de los ejes coordenados el cilindro generado se conoce como oblicuo.

Un cilindro circular recto tiene como generatriz un crculo y como recta directriz una recta paralela a uno de los ejes coordenados. En la figura se muestra un cilindro con generatriz y con recta directriz; paralela al eje .

En la figura se muestra un cilindro parablico con recta directriz paralela al eje y curva generatriz SUPERFICIES CUDRICASLas secciones cnicas: elipse, parbola e hiprbola tienen su generalizacin al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide. DEFINICION.

La grfica de una ecuacin de segundo grado en tres variables

0se conocen como superficies cuadrticas, salvo casos degenerados

En la ecuacin de segundo grado deliberadamente no se incluye los trminos mixtos , y , pues la presencia de estos genera superficies con rotacin, tema que no trataremos en el curso por razones de tiempo, pero el estudiante puede dirigirse al texto de Lehmann (geometra analtica) pg 139.

ELIPSOIDE

La grfica de la ecuacin:

corresponde a un elipsoide ver figura 1. Es simtrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene interseccin con los ejes coordenados en los puntos ). La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un nico punto, una elipse o una circunferencia.Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera una elipse si o una circunferencia si Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera una elipse si o una circunferencia si Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera una elipse si o una circunferencia si La figura 1 muestra su grfica.

Figura 1. Elipsoide

Gran Teatro Nacional de China

PARABOLOIDE

La grfica de la ecuacin

es un paraboloide elptico ver figura 2. Sus trazas sobre planos horizontales son elipses:

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean son parbolas. El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la potencia unidad. Si el paraboloide abre hacia arriba (si el eje a tratar es el eje ), si abre hacia abajo.Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera un punto

Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera una parbola

Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera una parbola Ahora bien, debemos escoger el tamao del paraboloide, para ello acotamos para un donde o , (Siempre y cuando el eje sea ) quedando donde se genera una elipse si o una circunferencia si

Figura 2. Paraboloide elptico

Los radiotelescopios son un ejemplo de paraboloides

CONO ELIPTICO

La grfica de la ecuacin:

es un cono elptico ver figura 3. Sus trazas sobre planos horizontales son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hiprbolas o a un par de rectas. Su grfica se muestra en la figura 3. El eje del cono corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.

Supongamos que el eje es Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera un punto

Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se generan dos rectas

Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se generan dos rectas

Para acotar el paraboloide ahora escogeremos un , donde, donde se genera una elipse si o una circunferencia si

Figura 3. Cono elptico

HIPERBOLA DE UNA HOJA

La grfica de la ecuacin:

Es un hiperboloide de una hoja ver figura 4.Sus trazas sobre planos verticales son hiprbolas o un par de rectas que se intersecan. El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera una elipse si o una circunferencia si

Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera una hiprbola

Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera una hiprbola

Para acotar el hiperboloide de una hoja ahora escogeremos un , donde

, donde se genera una elipse si o una circunferencia si .Figura 4. Hiperboloide de una hoja

Las torres de enfriamiento para los reactores nucleares se construyen frecuentemente en forma de hiperboloides de una hoja, debido a la estabilidad estructural de esa superficie.

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

La grfica de la ecuacin:

es un hiperboloide de dos hojas. Su grfica consta de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos horizontales son elipses y sobre planos verticales son hiprbolas (figura 5). El eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. Solo tiene interseccin con su eje.

Supongamos que el eje del Hiperboloide de dos hojas es el eje z. Los puntos de interseccin son (0,0,c) y (0,0,-c)

Si se intercepta el plano coordenado con la superficie no hay lugar geomtrico

Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera una hiprbola

Si se intercepta el plano coordenado con la superficie se genera una hiprbola

Para acotar el hiperboloide de dos hojas ahora escogeremos un , donde y un , donde ., donde se genera una elipse si o una circunferencia si

Figura 5. Hiperboloide de dos hojas

PARABOLOIDE HIPERBOLICO

La grfica de la ecuacin:

es un paraboloide hiperblico. Sus trazas sobre planos horizontales son hiprbolas o dos rectas. Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parbolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parbolas que abren hacia arriba. Su grfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 6. El eje del paraboloide corresponde a la variable elevada a la potencia unidad.

Figura 6. Paraboloide hiperblico

Ciudad Olmpica de Mnich

Clasifique y grafique las siguientes superficies.

1.

2. 3.

4. 5.

6. 7. 8.9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16.

17.18.

19.

20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.

FUNCIONES ENTRE ESPACIOS EUCLIDEANOS.

Si

, funcin real de variable vectorial (campos escalares)

,,),,)

Si

, Campos vectoriales (estn compuestos por varios campos escalares)

,,) ; donde =(,,): , donde

, son llamados campos escalares componentes.

Campo Escalar

Campo escalar es una funcin que va de . Esto quiere decir que asocia cada punto de un espacio vectorial con un nmero o escalar . Esta funcin tambin es conocida como funcin de punto o funcin escalar.

Se utiliza generalmente para indicar una distribucin de magnitudes fsicas (por ejemplo, temperatura o presin) en el espacio

Campo Vectorial

Un campo vectorial es una construccin del clculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio eucldeo, de la forma .Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad. Los campos vectoriales son uno de los conceptos ms fundamentales de la fsica. Sin ellos es imposible entender ni el electromagnetismo, ni la ptica, ni desde luego ramas ms avanzadas de la fsica como la gravitacin o la mecnica cuntica.

Otro ejemplo de funcin tridimensional tradicional sera la presin atmosfrica sobre la tierra: para cada punto geogrfico (identificado con una longitud, latitud y altitud) existe un valor numrico de la presin expresado en Pascales. En cambio, un ejemplo de campo vectorial sera la velocidad del viento en cada punto de la tierra. Dicha velocidad se expresa no solo con su valor, sino con la direccin en la que sopla el viento.

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Hay problemas en los cuales intervienen ms de una variable, tales como, el volumen de un cono circular recto (altura y radio); el rea de un rectngulo (base y altura); el trabajo efectuado por una fuerza (fuerza y distancia) son funciones de dos variables; el volumen de un paraleleppedo (longitud, altura y anchura), es una funcin de tres variables. La notacin para una funcin de dos o tres variables es similar a la utilizada para una funcin de una sola variable. Por ejemplo:

Funcin de una sola variable

Funcin de dos variables

Funcin de tres variables

DEFINICIN DE UNA FUNCIN DE DOS VARIBLES

Sea D conjunto de pares ordenados de nmeros reales. Si a cada par ordenado de P le corresponde un nico nmero real, entonces se dice que es una funcin de y . El conjunto P es el dominio de , y el correspondiente conjunto de valores es el rango o recorrido de .

En la funcin dada por , y son llamadas variables independientes, z es la variable dependiente.

.

En la figura de la izquierda, se ilustra la representacin del dominio P, de la funcin f, como un subconjunto de puntos del plano xy. El rango de f se representa por la recta real z.

Si es una funcin, cuyo dominio est formado por un conjunto de pares , entonces si pertenece al conjunto imagen de , es una curva de nivel de la funcin.

DOMINIO DE UN CAMPO ESCALAR

Al igual que las funciones de una sola variable, las funciones de varias variables pueden combinarse. Por ejemplo, se puede formar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de funciones de dos variables y el dominio sera la interseccin de los dominios de cada funcin , tal y como sigue.

Sea y Suma o diferencia

Producto

Cociente

Observacin: La grfica de la funcin de dos variables puede interpretarse geomtricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su proyeccin sobre el plano es D, el dominio de . En consecuencia, a cada punto en D le corresponde un punto en la superficie y, a la inversa, a cada punto en la superficie le corresponde un punto en D. El grafico del Dom(f) es y el mismo es posible hacerlo si . Y, como a cada del dominio le corresponde nicamente un valor , cada recta perpendicular al plano corta a la superficie a lo sumo en un punto. (Figura 1)

Figura 1.La interseccin del plano horizontal con la superficie se denomina curva de contorno de altura sobre la superficie. La proyeccin vertical de esta curva de contorno en el plano es la curva de nivel de la funcin Por tanto, una curva de nivel de es tan slo un conjunto en el plano en el que el valor de es constante.

Propiedades.

El conjunto de nivel siempre est en el espacio del dominio.

es una curva de nivel. Conjunto de las Curvas de nivel de : En un mapa climtico, las curvas de nivel de igual presin son llamadas isobaras. De igual temperatura isotermas. En campos de potencial elctrico las curvas de nivel se llaman lneas equipotenciales.

es una superficie de nivel. Conjunto de las Superficie de nivel de :

la curva recibe el nombre de traza (interseccin de los planos coordenados con la superficie).

Determinar el dominio de f y represntelo en forma grfica. 1.- 2.-

3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- 11.- 12.-

13.- 14.- 15.- 16.-

17.- 18.- 19.- 20.- 21.- 22.-23.- 24.- 25.- 26.- 27.-

QUOTE

Determina el dominio de f y represntelo en forma grfica. Determine algunas curvas de nivel y grafquelas. Halle el Rango de f.1.- 2.- 3.- QUOTE

4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- 11.- 12.- 13.- 14.-

QUOTE

16.- QUOTE

Una placa delgada de metal, localizada en el plano , tiene una temperatura en el punto . Las curvas de nivel de se llaman isotrmicas debido a que en todos los puntos sobre una isotrmica la temperatura es la misma. Dibuje algunas isotrmicas si la funcin de temperatura est dada por . QUOTE

QUOTE

QUOTE

17.- Si V es el potencial elctrico en un punto del plano , Entonces las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales, ya que el potencial elctrico de todos los puntos sobre dicha curva es el mismo. Dibuje algunas curvas equipotenciales si Caracterice y dibuje algunas superficies de nivel asociadas a f.1.

2. 3.

4. 5.

6. 7. 9. 10. 11. 12. 13.

CONCEPTOS TOPOLGICOSBOLA ABIERTA: Si P es un punto en y r es un nmero positivo, entonces la bola abierta se define como el conjunto de todos los puntos x en tales que .

BOLA CERRADA: Si P es un punto en y r es un nmero positivo, entonces la bola cerrada se define como el conjunto de todos los puntos x en tales que .

Explicacin en , y

1.-

Si a

EMBED Equation.3 es el conjunto de todos los puntos x

EMBED Equation.3 tal que ; es decir,

Si a

EMBED Equation.3 es el conjunto de todos los puntos x

EMBED Equation.3 tal que ; es decir,

2.-

Si

EMBED Equation.3 es el conjunto de todos los puntos

EMBED Equation.3 tal que ; es decir, 0