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Universidad José Carlos MariateguiCarrera Profesional de Ingeniería Civil

Guía 01 de Cálculo IV

Fecha: Setiembre 2015.� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

I.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales porseparación de variables

1. x�1� y2

� 12 dx+ y

�1� x2

� 12 dy = 0

Sol:�1� x2

� 12 +

�1� y2

� 12 = C

2. e�y (1 + y0) = 1Sol: ex = C (1� e�y)

3. y0 = ax+y a > 0; a 6= 1Sol: ax + a�y = C

4. ey�1 + x2

�dy � 2x (1 + ey) dx = 0

Sol: 1 + ey = C�1 + x2

�5. (1 + ex) yy0 = ey; y (0) = 0

Sol: (1 + y) e�y = ln1 + ex

2+ 1� x

6.�1 + y2

� �e2xdx� eydy

�� (1 + y) dy = 0

Sol:1

2e2x � ey � ln

p1 + y2 � arctan y = C

7.�xy2 � y2 + x� 1

�dx+

�x2y � 2xy + x2 + 2y � 2x+ 2

�dy =

0

Sol:�x2 � 2x+ 2

� �y2 + 1

�e2 arctan y = C

8. y0 = ax+ by + C; a; b; c 2 RSol: b (ax+ by + C) + a = cebx

9. (x+ y)2 y0 = a2

Sol: x+ y = a tan�c+

y

a

�10. y0 + 1 =

(x+ y)m

(x+ y)n+ (x+ y)

p

Sol: x =(x+ y)

n�m+1

n�m+ 1 +(x+ y)

p�m+1

p�m+ 1 + C

n�m 6= �1; p�m 6= �1

11.�a2 + y2

�dx + 2x

�ax� x2

� 12 dy =

0 y (a) = 0

Sol: y = a tanra

x� 1

12. y0 + sinx+ y

2= sin

x� y2

Sol: ln���tan y

4

��� = C � 2 sin x2

13.dy

dx= tan2 (x+ y)

Sol: 2y � 2x+ sin 2 (x+ y) = C

14. y0 =1� x� yx+ y

Sol:(x+ y)

2

2= x+ C

II.- Veri�car que las ecuaciones son homogeneas y re-suelva

1. xdx+ (y � 2x) dy = 0Sol: (x� y) ln jx� yj = y + C (x� y)

2. �ydx+�x+

pxy�dy = 0

Sol: ln jyj = 2rx

y+ C

3. ydx

dy= x+ 4ye�

2xy

Sol: e2xy = 8 ln jyj+ C

4.�x2 + xy � y2

�dx+ xydy = 0

Sol: y + x = cx2eyx

5.�x+

py2 � xy

� dydx= y y

�1

2

�= 1

Sol: ln jyj = �2�1� x

y

� 12

+p2

6.�x2 + y2

�dx+ 2xydy = 0

Sol: x3 + 3xy2 = C

7.�y2 � xy

�dx+ x2dy = 0

Sol: y =x

ln jyj + C

8.dy

dx=y2 + x

px2 + y2

xy

Sol:

r1 +

�yx

�2= ln jxj+ C

9.dy

dx=x2 � y23xy

Sol:�x2 � 4y2

�3x2 = C

10. (�3x+ y � 1) dx+ (x+ y + 3) dy = 0Sol: (y + 2)2+2 (x+ 1) (y + 2)+3 (x+ 1)2 =C

11. (2x+ y + 4) dx+ (x� 2y � 2) dy = 0

Sol:�x+

6

5

�2+

�x+

6

5

��y +

8

5

���

y +8

5

�2= C

III.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales ex-acta y si no usar el factor integrante.

a)�x+

2

y

�dy + ydx = 0

Sol: xy + ln y2 = C

2

b) (y + y cosxy) dx+ (x+ x cosxy) dy = 0Sol: xy + sinxy = C

c)1

x� 1ydx+�ln (2x� 2) + 1

y

�dy = 0

Sol: y ln (2x� 2) + ln y = Cd) (y sinx+ sin y) dx� (x cos y + cosx) dy = 0

Sol:x sin y + y cosx = C

e)dy

dx=ax+ by

bx+ cy

Sol: ax2 + 2bxy + Cy2 = C

f )�3x2 + 6xy � y2

�dx+

�3x2 � 2xy + 3y2

�dy =

0

Sol: x3 + 3x2y � xy2 + y3 = C

g)ydx� xdy

xy+xdy + ydxq1 + (xy)

2= 0

Sol: lnx� ln y + ln�xy +

q1 + (xy)

2

�= C

h) y (exy + y) dx+ x (exy + 2y) dy = 0Sol: exy + xy2 = C

i) 2xydx+�y2 + x2

�dy = 0

Sol: y�3x2 + y2

�= C

j )�3x2 tan y � 2y

3

x3

�dx+

�x3 sec2 y + 4y3 +

3y2

x2

�dy =

0

Sol: x3 tan y + y4 +y3

x2= C

k) x2y2dx+�x3y + y + 3

�dy = 0

Sol:x3y3 + y3

3+3y2

2= C

l) x2dx��x3y2 + 3y2

�dy = 0

Sol: e�y3(x3+3) = C

m) ex (x+ 1) dx+ (yey � xex) dy = 0Sol: 2xex�y + y2 = C

n)�2y3 + 2

�dx+ 3xy2dy = 0

Sol: x2�y3 + 1

�= C

ñ) cosx cos ydx� 2 sinx sin ydy = 0Sol: sinx cos2 y = C

o) (ex + xey) dx+ xeydy = 0Sol: xex+y = C

p) dx+�x

y� sin y

�dy = 0

Sol: xy + y cos y � sin y = Cq)�3x2 � y2

�dy � 2xydx = 0

Sol:x2

y3� 1

y= C

r)�x+ y2

�dx� 2xydy = 0

Sol: x ln jxj � y2 = Cxs) (secx+ y tanx) dx+ dy = 0Sol: y secx+ tanx = C

IV.- Resolver las siguientes ecuaciones lineales

a) y0 � y cotx = sin 2x

2Sol: y = C sinx+ sin2 x

b) cos ydx = (x sin y + tan y) dy

Sol: x =C

cos y� 1

cos yln (cos y)

c) x�1� x2

�y0 � y + ax3 = 0

Sol: y = ax+cxp1� x2

d) ��y2 � 1

�dx = y (x+ y) dy

Sol: x = cp1� y2 +

p1� y2 arcsin y � y

e) y0 +y

x= x3 � 3

Sol: y =x4

5� 32x+ cx�1

f ) ydx

dy� 2x = 3y2 � 2 si: y (1) = 1

Sol: x = 3y2 ln y + 1

g)dy

dx� y

x=x� yx� 2

Sol: (x� 2) y = x (x+ c)

h)dy � (x+ 1) ydxx2 + 4x+ 2

= dx

Sol: y = cex+x2

2 � x� 3i) y0 cos y + sin y = x + 1; sug. hacerz = sin y

Sol: sin y = x+ ce�x

j ) y0 + xy = 2x� x2

2

Sol: y = Ce�x2

2 + 2

V.- Resolver las siguientes ecuaciones de Bernoulli

a) 3dy

dx+3

xy = 2x4y4

Sol: x�3y�3 + x2 = c

b) dx+�2

y

�xdy = 2x2y2dy

Sol: x�1y�2 = c� 2y

c)dy

dx+

1

x� 2 +y

x� 2 = 5 (x� 2)py

Sol: y12 = c (x� 2)�

12 + (x� 2)2

d) yey =�y3 + 2xey

�y0

Sol: x = y2 (c� e�y)e) xy3dx =

�x2y + 2

�dy

Sol: x2 = 1� 2

y+ ce�

2y

f )dx

dy+y

x=x

y

Sol:yex2

2y2 = c

3

g) cosxdy

dx� y sinx+ y2 = 0

Sol:1

y= sinx+ c cosx

h)dy

dx=

4 sin2 y

x5 + x tan y

Sol:x4 [c ln (tan y)] = tan y

i) y0 =y3

e2x + y2; considerar w = e2x )

dx =dw

zwSol: y2 = [c� 2 ln (y)] e2x

j )�y4 � 2xy

�dx+3x2dy = 0; y (2) = 1

Sol: x2 = y2 (x+ 2)

VI. Veri�que que la ecuación diferencial dada sea ex-acta; después resuélvala

a) (2x+ 3y) dx+ (3x+ 2y) dy = 0

b) (4x� y) dx+ (6y � x) dy = 0c)�3x2 + 2y2

�dx+

�4xy + 6y2

�dy = 0

d)�2xy2 + 3x2

�dx+

�2x2y + 4y3

�dy = 0

e)�x3 + y

x

�dx+

�y2 + lnx

�dy = 0

f ) (1 + yexy) dx+ (2y + xexy) dy = 0

g) (cosx+ ln y) dx+�xy + e

y�dy = 0

h) (x+ arctan y) dx+ x+y1+y2 dy = 0

i)�3x2y3 + y4

�dx+

�3x3y2 + y4 + 4xy3

�dy = 0

j ) (ex sen y + tan y) dx+�ex cos y + x sec2 y

�dy =

0

k)�2xy �

3y2

x4

�dx+

�2yx3 �

x2

y2 +1py

�dy = 0

l) 2x5=2�3y5=32x5=2y2=3

dx+ 3x5=3�2x5=23x3=2y5=3

dy = 0

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un asado de 4lb inicialmente a 50�F; se coloca enun horno a 375�F a las 5:00 P.M. Después de 75minse observa que la temperatura del asado T (t) es de125�F: ¿Cuándo estará el asado a 150�F?

2. En un cierto cultivo de bacterias su número se in-crementa seis veces en 10 horas. ¿Cuánto le tomaa la población duplicarse?

3. Un recipiente de mantequilla, inicialmente a 25�C;se coloca para enfriarse en el pórtico principal,donde la temperatura es de 0�C: Supóngase quela temperatura de la mantequilla se ha reducido a15�C después de 20 minutos, ¿Cuándo estará en5�C?:

4. La intensidad I de la luz a una profundidad dex metros bajo la super�cie de un lago satisface laecuación diferencial dIdx = (�1;4) I:

a) ¿A qué profundidad se tiene la mitad dela intensidad I0 que hay en la super�cies(donde x = 0)?

b) ¿Cuál es la intensidad a una profundidad de10m (como una fracción de I0)?

c) ¿A qué profundidad la intensidad será 1% dela intensidad de la super�cie?

5. Un tanque de 120 galones contiene inicialmente 90libras de sal disueltas en 90 galones de agua. Lasalmuera, que contiene 2 libras de sal por galónde sal, �uye hacia dentro del tanque a razón de 4galones por minuto, y la mezcla homogénea �uyehacia afuera del tanque a razón de 3 galones porminuto. ¿Cuánta sal contiene el tanque cuando es-tá completamente lleno?

6. Un tanque contiene inicalmente 60 galones de aguapura. Salmuera, que contiene 1 libra de sal porgalón entra al tanque a una razón de 2 galonespor minuto, y la solución bien mezclada sale delracipiente a razón de 3 galones por minuto; en es-tas condiciones, el tanque se vacía exactamente de-spués de 1 hora.

a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque de-spués de t minutos.

b) ¿Cuál es la cantidad máxima de sal dentro delrecipiente?

7. Se sabe que la población de cierta comunidad au-menta en un instante cualquiera con una rápidezproporcional al número de personas presentes endicho instante. Si la población se duplica en 5 años,¿Cuánto demorará en triplicarse?¿Cuánto demor-ará en cuadriplicarse?

Rpta. 7.9 años, 10 años.

8. La población de una pequeña ciudad crece en uninstante cualquiera, con una rapidez proporcionala la cantidad de habitantes en dicho instante, supoblación inicial inicial de 500 aumenta 15% en 10años ¿Cuál será la población dentro de 30 años?

Rpta. 760

9. Bacterias en un cierto cierto incrementan a unatasa proporcional al número presente. Si el número

original se incrementa en un 50% en1

2hora. ¿En

cuánto tiempo se espera tener tres veces el númerooriginal?¿cinco veces el número original?

Rpta.1.35 horas; 1.98 horas

10. Si la población de un país se duplica en 50 años¿En cuántos años será el triple suponiendo que lavelocidad de aumento sea proporcional al númerode habitantes presentes en dicho instante?

Rpta. 79 años

4

11. En cierto cultivo de bacterias la velocidad de au-mento es proporcional al número presente.

a) Si se ha hallado que el número se duplica en4 horas ¿Qué número se debe esperar al cabode 12 horas?

b) Si hay 104 bacterias al cabo de 3 horas y4 � 104 bacterias al cabo de 5 horas ¿Cuálserá el número de bacterias inicialmente?

Rpta. a) 8x0;[x0 número de bacterias inicialmente]

b) x (0) =104

8bacterias

12. En un cultivo de levadura la cantidad de fermentoactivo crece a una velocidad proporcional a la can-tidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora,¿Qué cantidad habrá después de 2.45 horas con re-specto a la cantidad inicial? Rpta. 6;73x0 donde[x0 cantidad inicial]

13. Si una sustancia se enfría desde 100�C hasta 60�Cen 10 minutos en donde la temperatura del medioambiente es de 20�C ¿Cuál será la temperatura dela sustancia después de 40 minutos?

Rpta. 25�C

14. Agua a una temperatura de 100�C se enfría en 10minutos a 80�C en un cuarto con temperatura de25�C a)¿Qué temperatura tendrá el agua despuésde 20 minutos? b) ¿Cuándo la tenperatura del aguaserá de 40�C? ¿26�C?

Rpta. a) 65.3�C b) 52 minutos, 139 minu-tos

15. Un termometro se saca de una habitación en dondela temperatura del aire es de 70�F , al exterior, en

donde la temperatura es de 10�F . Después de1

2minuto el termometro marca 50�F ¿Cuánto mar-ca el termometro cuando t = 1 minuto?, ¿Cuántotiempo transcurrirá para que el termometro mar-que 15�F?.

16. Si la temperatura del aire es de 20�C y el cuerpo seenfría en 20 minutos desde 100�C hasta 60�C ¿den-tro de cuanto tiempo su temperatura será 30�C?

Rpta. 60 minutos

17. Si se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo,con una velocidad inicial de 97 pies/seg ¿A qué al-tura sube la pelota y por cuánto tiempo permaneceen el aire?

Rpta. 144 pies, 6 segundos

18. Se suelta una pelota de lo alto de un edi�cio de960 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda en lle-gar la pelota al piso, y con que velocidad golpea elpiso?

Rpta.p60 seg; 32

p60 pies/seg

19. Los frenos de un automovil se accionan cuando estese mueve a 60 millas/horat 88 pies/seg. Los frenosproporcional una desaceleración constante de 40pies/seg2 ¿Qué distancia recorre el auto antes dedetenerse?

20. Un auto viaja a 88 pies/seg se desplaza 176 pies de-spués de aplicar sus frenos. La desaceleración queproporcionan los frenos es constante ¿Cuál es elvalor de ésta?

Rpta. 22 pies/seg

21. Un conductor implicado en un accidente a�rma quecirculaba a 25 millas/hora cuando la policía revisasu auto, determina que si los frenos se aplicaban a25 millas/hora, el auto recorrería solamente 45 piesantes de detenerse. Los marcos de demape del autoen la escava del accidente miden 210 pies. Supon-ga que la desaceleración es constante y calcule lavelocidad con la que viajaba antes del accidente.

Rpta. 5p210 millas/hora

22. A un circuito en serie, en el cual la inductancia esde 0.1 H y la resistencia es de 50 se le aplica unatensión de 30 vol Calcular la corriente

Determinar también la corirente cuando t!1

Rpta. i (t) =3

5� 35e�500t; i! 3

5cuando t!1

23. A un circuito en serie, en la cual la resistencia esde 200 y la resistencia es de 10�4F; se le aplicauna tensión de 100 vol. Calcular la carga q (t) enel capacitador si q (0) = 0 y obtenga la corrientei (t) :

Rpta. q (t) =1

100� 1

100e�50t; i (t) =

1

2e�50t

24. Un tanque contiene 200 litros de un liquido en elcual se disuelven 30 gramos de sal, una salmueraque contiene 1 gramo de sal por litro se bambeaal tanque con una intensidad de 4 litros por min-uto, la solución adecuadamente mezclada se bam-bea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentreel número de gramos A (t) de sal que hay en eltanque en un cualquiera.

Rpta. A (t) = 200� 170e� t50

25. Un gran deposito esta lleno con 500 galones deagua fuera, una salmuera que contiene 2 litros desal por galón se bombea al tanque a razón de 5 ga-lones por minuto, la solución adecuadamente mez-clada se bombea hacia afuera con la misma rapi-dez. Halle el número de libras de sal que hay en eltanque en un instante cualquiera.

Rpta. A (t) = 100� 1000e� t100

5

26. Un gran tanque esta parcialmente lleno con 100galones de liquido en los cuales se disuelvan 10 li-

bras de sal. Una salmuera que contiene1

2libra de

sal por galón se bambea al tanque con una rapi-dez de 6 galones por minuto, la solución adecuada-mente mezclada se bambea enseguida hacia afuradel tanque con una rapidez de 4 galones por min-uto.

Halle el número de libras de sal que hay en eltanque después de 30 minutos

Rpta. 64.38 libras

27. Un tanque que esta lleno con 8 galones de aguasalada en el cual hay 2 libras de sal disuelta. Aguasalada con 3 litros de sal por galón entra al tanquea 4 galones por minuto, y la mezcla bien agitadasale a la misma tasa.

a) Establezca una ecuación diferencial para lacantidad de sal como una función del tiem-po t

b) Halle la cantidad de sal como una función deltiempo

c) Encuentre la concentración de sal después de8 minutos

d) ¿Cuánta sal hay después de un tiempo largo?

Rpta.x (t) = 24� 22e� t2 ; 3 libras/gal; 24 libras.

28. Un tanque tiene 40 galones de agua pura. Una solu-ción de agua salada con 1 libra de sal por galónentra a 2 galones por minuto, y la mezcla bien ag-itada sale a la misma tasa.

a) ¿Cuánta sal hay en el tanque en cualquiertiempo?

b) ¿Cuándo el agua que sale tendrá1

2libra de

sal por galón?

Rpta. x (t) = 40�1� e� t

20

�; 13.9 minutos

29. Un tanque tiene 60 galones de agua salada con 2libras de sal por galón, una solución con 3 librasde sal por galón entra a 2 galones por minuto, yla mezcla sale a la misma tasa ¿Cuándo habrá 150libras de sal en el tanque?

Rpta. 20.8 minutos

30. Un tanque tiene 100 galones de agua salada con 40litros de sal disuelta. Agua pura entra al tanquea 2 galones por minuto y sale con la misma tasa.¿Cuándo la concentración de sal será 0.2 libras porgalón? ¿Cuándo la concentración será menor que0.01 libras por galón?

Rpta. 34.7 minutos; 184.5 minutos

31. Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2libras de sal disuelta. Agua salada con 1.5 librasde sal por galón entra a 3 galones por minuto, y lamezcla bien agitada sale a 4 galones por minuto.

a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque encualquier tiempo

b) Encuentre la concentración de sal después de10 minutos

Rpta. x (t) = 1;5 (10� t)�0;0013 (10� t)4 0 �t � 10; 1.5 libras/galón

32. Un tanque tiene 60 galones de agua pura. Una solu-ción con 3 libras de sal por galón entra a 2 galonespor minuto y sale a 2.5 galones por minuto.

a) Encuentre la concentración de sal en el tanqueen cualquier tiempo.

b) Encuentre la concentración de sal cuando eltanque tenga 30 galones de agua salada

Rpta. x (t) = 3

"1�

�1� t

120

�4#0 �

t � 120; 2.82 libras/galón

33. Un tanque de 1500 galones incialmente contiene600 galones de agua con 5 libras de sal disueltas.El aguan entra al tanque a una razon de 9 galonespor hora que contiene una concentración de sal de15 (1 + cos t) libras por galon. Si la solución bienmezclada sale del tanque a una razon de 6 galonespor hora, Cuanta sal hay en el tanque cuando eltanque se llena?

Rpta. 279.797 libras

34. En cierto cultivo de bacterias la razón de cremientoes proporcional al número de bacterias presentes.

a) Si el número se duplica en 4 horas, cuantashabra en 12 horas?. Rpta:

b) Si existen 104 al �nalizar 3 horas y 4(104) al�nalizar 5 horas.

35. La velocidad con que se desintegran los nucleos ra-diactivos es proporcional al número de nucleos pre-sentes en una muestra dada. La mitad del nucleooriginal de núcleos radiactivos ha experimentadola desintegración en un periodo de 1500 años.

a) ¿Qué porcentaje de núcleos originales radiac-tivos continuarán después de 4500 años?

b) ¿En cuántos años quedará solamente un déci-mo del número original de núcleos radiac-tivos?Rpta. 12.5% de x0; 4983 años.

36. Una barra metálica a una temperatura de 100�Fse pone en un cuarto a una temperatura constantede 0�F: Después de 20 minutos la temperatura dela barra es 50�F .

6

a) ¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegara una temperatura de 25�F?

b) ¿Cuál será la temperatura de la barra despuésde 10 minutos?

Rpta. 40 minutos; 71�F:

37. Un cuerpo a una temperatura desconocida se ponea un refrigerador a una temperatura constante de1�F . Si después de 20 minutos la temperatura delcuerpo es de 40�F y después de 40 minutos es de20�F:Hallar la temperatura inicial de éste. Rpta.81�F

38. Una cierta presa, en su máxima capacidad, con-tiene 1000 millones de m3 de agua. En un instantedado, estando llena la presa, tiene una mas decontaminantes, distribuida en forma homogénea.Suponga que en temporadas de lluvias entra aguaa la presa a una razón de 10 millones de m3; conuna masa de contaminantes de 0.09% toneladaspor millón por m3 de agua y sale con la mismarapidez. Determine la cantidad de contaminantesen la presa en cualquier instante. ¿En cuanto tiem-po se reducirá la contaminación total de la presa a1.2 toneladas?. Rpta. 129.9 días.

39. un tanque inicialmente 100 dl de agua, en el cual sedusuelven 80kg de sal. Se introducen en el tanqueagua pura a una velocidad de 4 dl/min y la mezcla,conservada homogenea mediante agitación, sale ala misma velocidad y va a parar a un segundotanque que contiene al principio 100dl de agua pu-ra. Agitando la mezcla que sale de este segundotanque a la misma velocidad. Hallar la cantidad desal en el segundo tanque al cabo de 1 hora. Rpta.17.4kg.

40. El uranio se descompone a una velocidad propor-cional a la cantidad presente. Si inicialmente hay10 gramos y después de 2 horas se ha perdido el5% de su masa original, hallar.

a) La cantidad restante de Uranio como funcióndel tiempo.

b) La cantidad de Uranio despues de 5 horas.

41. Cierto material radiactivo se desintegra con unarapidez proporcional a la cantidad existente en ca-da instante. En una prueba realizada con 60 mg deeste material, se observó que después de 3 horas,solamente permanecía el 80% de la masa original.Hallar

a) La cantidad restante de masa en cualquier in-stante.

b) ¿Qué cantidad de material hay después de 5horas?

c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que lacantidad de material sea un cuarto de la can-tidad inicial?

42. Se ha observado en el laboratorio que el radio sedesintegra a una rapidez proporcional a la canti-dad de radio presente. Su vida media es de 1600años. ¿Qué porcentaje desparecerá en un año?

43. En un cultivo de levadura la rapidez de cambioes proporcional a la cantidad existente. Si la canti-dad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidadpuede esperarse al cabo de 12 horas?

44. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 debacterias. Para t = 1 hora, el número de bacteriasmedido es 3

2N0: Si la rapidez de multiplicación esproporcional al número de bacterias presentes, de-termine el tiempo necesario para que el número debacterias se triplique.

45. En cierto zoológico se ha observado que la can-tidad de animales aumenta proporcionalmente alnúmero actual de dichos animales. Si después de5 años el numero se ha duplicado y después de si-ete años el nu�mero de animales es 576, hallar elnúmero de animales con que se contaba el día dela inaguración.

46. Supóngase que la población P de bacterias en uncultivo al tiempo t; cambia a una razóm directa-mente proporcional a P 2 � P . Si inicialmente hay1000 bacterias y después de 5 horas la poblaciónse redujo a 100 baterias, determine:

a) La población como función del tiempo.

b) La población después de un tiempo grande.

47. Al apagar un motor su temperatura es de 98�C yel medio en que se encuentra se conserva a 21�C.Si después de 10 minutos el motor se ha enfriado a88�C, encuentre:

a) La temperatura como función del tiempo.

b) El instante en el cual su temperatura es de35�C:

48. Un cuerpo a una temperatura de 50�F se colocaal aire libre donde la temperatura es de 100�F: Sidespués de 4 minutos la temperatura del cuerpo esde 60�F; Cuánto tiempo transcurrirá para que latemperatura del cuerpo sea de 75�F? Cuál será sutemperatura después de 20 minutos?.

49. Un cuerpo a una temperatura desconocida se colo-ca en un cuarto que se mantiene a una temper-atura constante de 30�F: Si después de 10 minutosla temperatura del cuerpo es de 0�F y después de20 minutos la temperatura del cuerpo es de 15�F;Cuál es la temperatura inicialdel cuerpo?

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50. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 300galones de solución salina en la que se han disuelto50 libras de sal. Se agrega solución salina que con-tiene 3 libras de sal por galón con una rapidez de 4galones por minuto. Determine cuánta sal hay enel tanque en el momento que éste se desborda.

51. Un tanque de 100 litros de una solución que constade 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea aguapura hacia el tanque a razón de 5 litros por segun-do y la mezcla, que se mantiene uniforme medianteagitación, se extrae a la misma razón. Cuánto tiem-po pasará antes de que queden solamente 10kg desal en el tanque?

52. Un tanque tiene 60 galones de agua pura. Una solu-ción con 3 libras de sal por galón entra a 2 galonespor minuto y la mezcla bien agitada sale a 2.5 ga-lones por minuto.

a) Halle el número de libras de sal que hay en eltanque en cualquier tiempo t:

b) Encuentre la concentración de sal en el tanquecuando contenga 30 galones de agua salada.

53. El lago Ontario tiene un volumen de 1636 km3

y una concentración inicial de contaminantes del0.25%. Hay un ingreso anual de 209 km3 de aguacon una concentración de contaminantes del 0.05%y un derrame anual de igual cantidad, bien mez-clada en el lago. Cu�anto tiempo pasará para quela concentración de contaminantes en el estanquese reduzca al 0.1%?

54. Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 100galones de agua, en la cual se han disuelto 50 li-bras de sal. Comenzando en t = 0; una salmueraque contiene una concentración de 2 libras de salpor galón entra al tanque a razón de 5 galones porsegundo. La mezcla se mantiene uniforme medianteagitación, y estando bien agitada sale del tanquea una rapidez de 3 galones por segundo. Qué can-tidad de sal contendrá el tanque cuando esté llenode salmuera?

55. Un tanque A contiene 100 litros de salmuera, quese obtuvo al disolver 40 kg de sal en agua. Se in-troduce en este tanque una salmuera, cuya concen-tración es de 3 kilogramos por litro, a una rapidezde 2 litros por minuto. La mezcla se conserva ho-mogénea, sale con la misma rapidez a va a para aun segundo tanque B que contiene al principio 100litros de salmuera a una concentración de 0.1 kilo-gramos por litro. Agitando se mantiene homogéneala mezclada en el tanque B y sale de éste con unarapidez de 1 litro por minuto. Hallar la cantidadde sal en cada uno de los tanques en cualquier in-stante.

56. A un circuito en serie, en el cual la inductancia esde 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms, se leaplica una tensión de 30 volts. Determine la cor-riente i (t) si i (0) = 0: Cuál será el valor de lacorriente después de un tiempo largo?

57. A un circuito en serie, en el cual la inductancia esde 0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms, se leaplica una tensión de 30 volts. Determine la cor-riente i (t) si i (0) = 0: Cuál será el valor de lacorriente después de un tiempo largo?

58. Un inductor de L henrys varía con el tiempo t (ensegundos) de acuerdo a L = 0;05+0;001t: Se conec-ta en serie con un generador cuya fem es de 40 voltsy una resistencia de 10 ohms. Si la corriente i (t)es cero inicialmente encuentre i para todo t > 0:Cuál es la corriente máxima teórica?.

59. Una resistencia de 20 ohms se conecta en serie auna condensador de 0.01 faraday y una fem en voltsdad por 40e�3t + 20e�6t: Si q (0) = 0; muestreque la carga máxima en el condensador es de 0.25coulumbs.

60. Si Q es la cantidad de material radiactivo presenteen el instante t, entonces la ecaución diferenciales dQ

dt = �kQ; donde k es la constante de desin-tegración. Se llama tiempo de vida media de unmaterial radiactivo al tiempo necesario para queuna cantidad Q0 se transforme en

Q0

2 : Si T es el

tiempo de vida media, mostrar que Q = Q0�12

� tT :

61. Suponga que un elemento radiactivo A se descom-pone en un segundo elemento radiactivo B y este asu vez se descompone en un tercer elemento radiac-tivo C. Si la cantidad de A presente inicialmente esx0 y las cantidades de A y B son x e y respectiva-mente en el instante t y si k1 y k2 son las constantesde rapidez de descomposción, hallar y en funciónde t: Rpta. k1 6= k2; y =

k1k0k2�k1

�e�k1t � e�k2t

�; si

k1 = k2; y = k1x0te�k1t

62. El aire de un teatro de dimensiones 12�8�4 met-ros cúbicos contiene 0;12% de su volumne de CO2.Se desea renovar en 10 minutos el aire, de modoque llegue a contener solamente el 0;06% de CO2.Calcular el número de metros cúbicos por minutoque deben renovarse, suponiendo que el aire exte-rior contiene 0;04% de CO2: Rpta. 53.23 metroscúbicos de aire por minuto.

63. Un tanque contiene 200 litro de una solución decolorante con una concentración de 1 gramo porlitro. El tanque debe enjuagarse con agua limpiaque entra a razón de 2 litros por minuto y la solu-ción bien homogenizada sale con la misma rapidez.Encuentre el tiempo que transcurrirá hasta que laconcentración del colorante en el tanque alcance1% de su valor original. Rpta. 460.5 minutos.

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64. Un tanque contiene inicialmente agua pura.Salmuera que contiene 2 libras de sal por galón en-tra al tanque a una velocidad de 4 galones por min-uto. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera

sale a una velocidad de 3 galones por minuto. Sila concentración alcanza el 90% de su valor máxi-mo en 30 minutos, calcular los galones de agua quehabía inicialmente en el tanque. Rpta. Q = 30

4p10�1