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Matematica Vol. 2 del Prof. Pedro Valenzuela (PH)
Resumido por Armin Luer Villagra (Ayudante)
16 de agosto de 2006
Este documento no fue concebido para tener precision matematica, sino para ayudar como un“ayuda-memoria” para los alumnos. Cualquier error o sugerencia, comunicarse con el autor.
1. Integral Indefinida
1.1. Diferencial
Incrementos:
• ∆x = x2 − x1
• ∆y = f(x2)− f(x1)
Recta tangente: y − f (x0) = f ′ (x0) (x− x0)
Aproximacion: f (x0 + ∆) ≈ f (x0) + f ′ (x0) ·∆x
Diferenciales:
• dx = ∆x
• dy = f ′ (x) dx
1.1.1. Propiedades de la diferencial
d (u± v) = du± dv
d (uv) = u · dv + v · du
d(uv
)=v · du− u · dv
v2
df [g (x)] = f ′ (g (x)) · g′ (x) dx
dny = f (n) (x) dxn
dny
dxn= f (n) (x)
1.2. Integral Indefinida
F primitiva o antiderivada de f si F ′ (x) =f (x)
F (x) + C =∫f (x) dx
1.2.1. Integrales Inmediatas
•∫
dx = x+ C
•∫xn dx =
xn+1
n+ 1+ C
•∫
1
xdx = ln x+ C
•∫
cosx dx = senx+ C
1
•∫
sen x dx = − cosx+ C
•∫
tan x dx = − ln (cos x) + C
•∫ex dx = ex + C
•∫ax dx =
ax
ln a+ C
•∫
sec2 x dx = tanx+ C
•∫
csc2 x dx = − cotx+ C
•∫
sec x dx = ln (sec x+ tanx) + C
•∫
csc x dx = − ln (cscx+ cotx) + C
•∫
dx
x2 + a2=
1
a· arc tg
x
a+ C
•∫
dx√a2 − x2
= arc sen(xa
)+ C
1.2.2. Propiedades(∫f (x) dx
)′= f (x)
∫k · f (x) dx = k ·
∫f (x) dx
∫(f (x)± g (x)) dx =
∫f (x) dx ±∫
g (x) dx
1.3. Tecnicas de Integracion
1.3.1. Metodo de Sustitucion
Sea f funcion de una variable t. Sea t = ψ (x), entonces:∫f (t) dt =
∫f (ψ (x))ψ′ (x) dx
1.3.2. Integrales Trigonometricas
De la forma∫R (sen x, cosx) dx. Se usa la sustitucion tan
(x2
)= t. Se hacen los reemplazos:
sen x =2t
1 + t2; cosx =
1− t2
1 + t2; dx =
2 dt
1 + t2
Si ademas R (sen x, cosx) = R (− sen x,− cosx), se usa la sustitucion tan x = t , realizandose losreemplazos:
sen x =t√
1 + t2; cosx =
1√1 + t2
; dx =dt
1 + t2
De la forma∫
senm x cosn x dx.
• m o n impar. Se ocupa la identidad sen2 x + cos2 x = 1, descomponiendose, segun correspondecomo
senm x = sen2k+1 x =(1− cos2 x
)k · sen xcosn x = cos2q+1 x =
(1− sen2 x
)q · cosx
Luego se toma un t = cosx ⇒ dt = − sen x dx o bien t = sen x ⇒ dt = cosx dx, seguncorresponda.
• m y n pares. Se utilizan las identidades:
sen2 x =1
2(1− cos 2x) cos2 x =
1
2(1 + cos 2x)
2
• m y n pares, uno de ellos negativo. Se utiliza la sustitucion tan x = t mostrada antes, obteniendoselas expresiones a reemplazar:
sen2 x =t2
1 + t2; cos2 x =
1
1 + t2; dx =
dt
1 + t2
De la forma∫
cosmx cosnx dx,∫
senmx cosnx dx,∫
senmx cosmx dx. Se usan las identidades
cosmx cosnx =1
2(cos (m+ n)x+ cos (m− n)x)
senmx cosnx =1
2(sen (m+ n)x+ sen (m− n)x)
senmx sennx =1
2(− cos (m+ n)x+ cos (m− n)x)
De la forma∫
tanm x dx,∫
secm x dx,∫
cscm x dx∫
cotm x dx: Se utilizan las identidades1 + tan2 x = sec2 x y 1 + cot2 x = csc2 x. Si m = 2k + 1 se separa en f 2k · f pudiendose encontrar enf dx una diferencial util para trabajar.
1.3.3. Sustituciones trigonometricas
El integrando tiene la forma de:
∫ (a2 − b2x2
)mn dx : Usar x =
a
bsen θ
o x =a
bcos θ
∫ (a2 + b2x2
)mn dx : Usar x =
a
btan θ
∫ (b2x2 − a2
)mn dx : Usar x =
a
bsec θ
1.3.4. Integracion por partes
Se utiliza la formula:∫u dv = u · v −
∫v du
u se elige por su orden en la “palabra” LIATE, quesignifican:
1. Logaritmos
2. Inversas Trigonometricas
3. Algebraicas
4. Trigonometricas
5. Exponenciales
1.3.5. Fracciones Parciales
Se trata para integrales de la forma
∫f (x)
g (x)dx con f (x) y g (x) polinomios tal que el grado del numerador
es menor que el del denominador. En caso contrario se dividen. Ahora se aplica el metodo como sigue:
Si el denominador tiene un factor lineal simple (x− α), entonces aporta conA
x− α.
Si el denominador tiene un factor cuadratico irreductible simple (αx2 + βx+ γ) ; b2−4ac < 0, entonces
aporta conAx+B
αx2 + βx+ γ
Si el denominador tiene un factor lineal (x− α), de multiplicidad p , entonces aporta conA1
(x− α)+
A2
(x− α)2 + . . .+Ap
(x− α)p
3
Si el denominador tiene un factor cuadratico irreductible (αx2 + βx+ γ) ; b2−4ac < 0, de multiplicidad
p, entonces aporta conA1 +B1x
(αx2 + βx+ γ)+
A2 +B2x
(αx2 + βx+ γ)2 + . . .+Ap +Bpx
(αx2 + βx+ γ)p
Todos estos “aportes” se suman entre si, y los coeficientes A1, A2, . . . , Ap, B1, B2, . . . , Bp, . . . se encuentranpor identificacion.
1.3.6. Funciones racionales
De la forma
∫R(x
mn , x
pq , . . . , x
rs
)dx: Se hace la sustitucion x = zk con k el comun denominador
de todos los exponentes fraccionarios.
De la forma
∫R
[x,
(ax+ b
cx+ d
)m1n1
, . . . ,
(ax+ b
cx+ d
)mjnj
]dx : Se hace el reemplazo ax+b
cx+d= tk con k
es el MCM de n1, . . . , nj,m1, . . . ,mj.
De la forma
∫dx
(mx+ n)√ax2 + bx+ c
: Se hace la sustitucion z =1
mx+ ny se la reduce a una
sustitucion trigonometrica.
De la forma
∫R(x,√ax2 + bx+ c
)dx. Si:
• Si a > 0,√ax2 + bx+ c = x
√a+ z
• Si c > 0,√ax2 + bx+ c = xz +
√c
• Si α ∈ R es raız de√ax2 + bx+ c = 0, entonces
√ax2 + bx+ c = (x− α) z
De la forma
∫xm (a+ bxn)p dx se dan diversos caso
• Si p ∈ Z no merece cambio.
• Sim+ 1
n∈ Z ⇒ a+ bxn = zk, k es el denominador de p.
• Sim+ 1
n+ p ∈ Z ⇒ ax−n + b = zk.
Si a las integrales anteriores se les aplica el cambio z = xn se llega a la forma
∫(a+ bz)p zq dz con
q =m+ 1
n− 1. Ahora si:
• p ∈ Z ⇒ u = z1n , q =
m
n
• q ∈ Z ⇒ u = (a+ bz)1n , p =
m
n
• p+ q ∈ Z ⇒ u =1
znos lleva al caso anterior
4
2. Integral de Riemann
2.1. Integral como sumatoria
lımn→∞
n∑k=1
f (xk) ∆Ik =
∫ b
a
f (x) dx
Con:
∆Ik base del k−esimo rectangulo
f (xk) altura del k−esimo rectangulo.
Se cumple que ∆Ik = xk − xk−1.
2.2. Condicion de Integrabilidad
Toda funcion f continua sobre [a, b] es integrable
2.3. Relacion Area – Integral
Sea f positiva e integrable, y Aba (f) area bajo la curva f con a ≤ x ≤ b entonces
Aba (f) =
∫ b
a
f (x) dx
2.4. Calculo de la integral definida
2.4.1. Primer Teorema Fundamental del Calculo
Sea f funcion continua sobre I = [a, b]. Si
F (x) =
∫ x
a
f (t) dt
entonces F es diferenciable ∀x ∈ I, y se tiene que
F ′ (x) = f (x) , ∀x ∈ I
2.4.2. Segundo Teorema Fundamental del Calculo
Sea f funcion continua sobre I = [a, b] y F una antiderivada de f en I, entonces:∫ b
a
f (t) dt = F (b)− F (a) = F (x) |ba
2.5. Propiedades
Sean f y g funciones integrables ∀x ∈ [a, b].∫ b
a
k dx = k (b− a) , ∀k ∈ R
∫ c
c
f (x) dx = 0 , ∀c ∈ [a, b]
f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] ,⇒∫ b
a
f (x) dx ≥ 0
5
•∫ b
a
(f (x)± g (x)) dx =
∫ b
a
f (x) dx±∫ b
a
g (x) dx
•∫ b
a
k · f (x) dx = k ·∫ b
a
f (x) dx
Sea f (x) ≤ g (x) , ∀x ∈ [a, b], entonces
∫ b
a
f (x) dx ≤∫ b
a
g (x) dx
Sea c ∈ [a, b] entonces
∫ b
a
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx+
∫ b
c
f (x) dx
∫ b
a
f (x) dx = −∫ a
b
f (x) dx
∣∣∣∣∫ b
a
f (x) dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f (x)| dx
Sea c ∈ R, luego
∫ b
a
f (x) dx =
∫ b+c
a+c
f (x− c) dx
∀c ∈ R∫ b
a
f (x) dx =1
c
∫ bc
ac
f(xc
)dx
2.6. Teorema del Valor Medio (TVM)
Si la funcion f continua ∀x ∈ [a, b], entonces existe un punto c ∈ (a, b), tal que f (c) = f . Es decir:∫ b
a
f (t) dt = (b− a) f (c)
2.7. Teorema del Valor Medio Generalizado
Sea f funcion continua sobre [a, b], g funcion positiva e integrable sobre [a, b]. Entonces existe un puntoc ∈ (a, b) tal que ∫ b
a
f (x) g (x) dx = f (c)
∫ b
a
g (x) dx
2.8. Metodos de integracion
2.8.1. Sustitucion
Sea g′ funcion continua ∀x ∈ [a, b], y sea f funcion continua sobre el rango de g, tal que z = g (x)entonces: ∫ b
a
f [g (x)] g′ (x) dx =
∫ g(b)
g(a)
f (z) dz
2.8.2. Por Partes
Si las funciones f, g ∈ ζ1∀x ∈ [a, b] y f ′, g′ integrables ∀x ∈ [a, b], entonces∫ b
a
f (x) g′ (x) dx = f (x) g (x) |ba −∫ b
a
g (x) f ′ (x) dx
6
3. Aplicaciones de la Integral Definida
3.1. Area de una region
A (R) =
∫ b
a
(g (x)− f (x)) dx
3.2. Longuitud de una curva
s =
∫ b
a
√1 + [f ′ (x)]2 dx
3.3. Masa
3.3.1. Masa de una region
M =
∫ b
a
ρ (x) f (x) dx
3.3.2. Masa de un alambre
M =
∫ b
a
ρ (x) ds =
∫ b
a
dM
3.4. Momentos
3.4.1. De una region
Sea R una region del plano y L una recta. El mo-mento ML de la region respecto a la recta L es
ML =
∫R
d · ρ dA
Mx =
∫R
y · ρ · dA My =
∫R
x · ρ · dA
3.4.2. De una curva (alambre)
Sea I un intervalo donde una funcion f (que re-presenta un alambre) y L una recta en el plano. Elmomento de la curva f respecto a la recta L es
ML =
∫I
d · ρ ds
Mx =
∫I
y · ρ ds My =
∫I
x · ρ ds
3.5. Centro de Masa
3.5.1. De una region
x =
∫RxρdA∫
RρdA
=My
My =
∫RyρdA∫
RρdA
=Mx
M
3.5.2. De una curva (alambre)
x =
∫Ixρds∫
Iρds
=My
My =
∫Iyρds∫
Iρds
=Mx
M
3.6. Volumen de Revolucion
3.6.1. Metodo del disco
Rotacion en torno al eje x : Sea R una region:R = {(x, y) ; a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g (x)}, su vo-lumen al rotar en torno al eje x es:
Vx = π
∫ b
a
[g2 (x)− f 2 (x)
]dx
Rotacion en torno al eje y : Sea R una region:R = {(x, y) ; c ≤ y ≤ d, f (y) ≤ x ≤ g (y)}, su vo-lumen al rotar en torno al eje y es:
Vy = π
∫ d
c
[g2 (y)− f 2 (y)
]dy
3.6.2. Metodo de la corteza
Rotacion en torno al eje y : Sea R una region:R = {(x, y) ; a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g (x)}, su vo-lumen al rotar en torno al eje y es:
Vy = 2π ·∫ b
a
x [g (x)− f (x)] dx
Rotacion en torno al eje x : Sea R una region:R = {(x, y) ; c ≤ y ≤ d, f (y) ≤ x ≤ g (y)}, su vo-lumen al rotar en torno al eje x es:
Vx = 2π ·∫ d
c
y [g (y)− f (y)] dy
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3.6.3. Teorema de Pappus
Sean R una region y L recta de ecuacion ax+by+c = 0 situadas en un mismo plano, y con la condicionde que L no intersecte el interior de R. El volumen Vdel solido generado al rotar R alrededor de L es igualal producto del area A de R, por la longuitud de latrayectoria descrita por el centro de masa de R. Esdecir:
V = 2π·A (R)·d = 2π·A (R)·d [(x, y) , ax+ by + c = 0]
3.7. Area de Revolucion
3.7.1. En torno al eje x
A (Sx) = 2π
∫ b
a
f (x)
√1 + [f ′ (x)]2dx = 2π
∫ b
a
y ds
A (Sx) = 2π
∫ d
c
y
√1 + [g′ (y)]2dy = 2π
∫ d
c
y ds
3.7.2. En torno al eje y
A (Sy) = 2π
∫ b
a
x
√1 + [y′]2dx = 2π
∫ b
a
x ds
A (Sy) = 2π
∫ d
c
x
√1 + [x′]2dy = 2π
∫ d
c
x ds
3.7.3. Teorema de Pappus
Sean C un arco y L recta de ecuacion ax+by+c =0 situadas en un mismo plano, y con la condicion deque L no intersecte a C. El area A (S) de la superficiegenerada al rotar C alrededor de L es igual al produc-to de la longuitud L (C) del arco C, por la longuitudde la trayectoria descrita por el centro de masa de C.Es decir:
V = 2π·L (C)·d = 2π·L (C)·d [(x, y) , ax+ by + c = 0]
4. Integrales impropias
4.1. Especies de integrales
4.1.1. Primera Especie
Son aquellas con problemas en el infinito. Se dan tres casos
Si f es continua ∀x ≥ a, y el lımite existe, entonces∫ ∞
a
f (x) dx = lımb→∞
∫ b
a
f (x) dx = F (∞)− F (a)
donde F (∞) = lımx→∞
F (x)
Si f es continua ∀x ≤ b, y el lımite existe, entonces∫ b
−∞f (x) dx = lım
a→−∞
∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (−∞)
Si f es continua ∀x ∈ R, entonces∫ ∞
−∞f (x) dx = lım
a→−∞
∫ 0
a
f (x) dx+ lımb→∞
∫ b
0
f (x) dx = F (∞)− F (−∞)
Definicion importante: Una integral impropia es convergente, si el lımiteinvolucrado existe, y divergente si no existe.
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4.1.2. Segunda Especie
Son aquellas con problemas en algun punto del intervalo donde estan definidas (discontinuidades).
Si f es continua sobre (a, b], entonces, siempre que el lımite exista
∫ b
a
f (x) dx = lımε→0+
∫ b
a+ε
f (x) dx
Si f es continua sobre [a, b), entonces, siempre que el lımite exista
∫ b
a
f (x) dx = lımε→0+
∫ b−ε
a
f (x) dx
Si f es continua sobre [a, b], excepto tal vez en x = c, con a < c < b, y siempre que los lımites existan
∫ b
a
f (x) dx = lımε→0+
∫ c−ε
a
f (x) dx+ lımε→0+
∫ b
c+ε
f (x) dx
4.2. Criterios de convergencia
Primera Especie Segunda EspecieCriterio de Comparacion
f, g integrables ∀x ≥ a, 0 < f (x) ≤ g (x)
a)
∫ ∞a
g (x) dx Conv. ⇒∫ ∞
af (x) dx Conv.
b)
∫ ∞a
f (x) dx Div. ⇒∫ ∞
ag (x) dx Div.
f, g continuas ∀x ∈ [a, b[ lımx→b−
f (x) = lımx→b−
g (x) = ∞.
0 < f (x) ≤ g (x)
a)
∫ b
ag (x) dx Conv. ⇒
∫ b
af (x) dx Conv.
b)
∫ b
af (x) dx Div. ⇒
∫ b
ag (x) dx Div.
Criterio de Comparacion en el lımitef, g integrables ∀x ≥ a. Si lım
x→∞
f (x)
g (x)= λ
a) 0 ≤ λ < ∞,
∫ ∞a
g (x) dx Conv. ⇒∫ ∞
af (x) dx Conv.
b) λ > 0 o λ = ∞,
∫ ∞a
g (x) dx Div. ⇒∫ ∞
af (x) dx Div.
f, g continuas ∀x ∈ [a, b[ , lımx→b−
f (x) = lımx→b−
g (x) = ∞.
Si lımx→∞
f (x)
g (x)= λ
a) 0 ≤ λ < ∞,
∫ b
ag (x) dx Conv. ⇒
∫ b
af (x) dx Conv.
b) λ > 0 o λ = ∞,
∫ b
ag (x) dx Div. ⇒
∫ b
af (x) dx Div.
Criterio de la potenciaf integrable y positiva ∀x ≥ a. Si lım
x→∞xpf (x) = λ
a) 0 ≤ λ < ∞, algun p > 1 ⇒∫ ∞
af (x) dx Conv.
b) λ > 0 o λ = ∞,, algun p ≤ 1 ⇒∫ ∞
af (x) dx Div.
f integrable ∀x ∈ [a, b[ , lımx→b−
f (x) = ∞.
Si lımx→b−
(b− x)q f (x) = λ.
a) 0 ≤ λ < ∞, algun q < 1 ⇒∫ b
af (x) dx Conv.
b) λ > 0 o λ = ∞, algun q ≥ 1 ⇒∫ b
af (x) dx Div.
Si las funciones son positivas, se cumple que Funcion Gamma Funcion Beta∫ ∞a
|f (x)| dx Conv. ⇒∫ ∞
af (x) dx Conv. Γ (α) =
∫ ∞0
xα−1e−xdx, α > 0 β (m, n) =
∫ 1
0xm−1 (1− x)n−1 dx; m, n > 0∫ b
a|f (x)| dx Conv. ⇒
∫ b
af (x) dx Conv. Γ (α + 1) = αΓ (α) β (m, n) =
∫ π2
0(sen θ)2m−1 (cos θ)2n−1 dθ
Γ (p) Γ (1− p) =π
sen pπ, 0 < p < 1 β (m, n) =
Γ (m) Γ (n)
Γ (m + n)
9
5. Series numericas
5.1. Criterios de Convergencia para series:Nombre Serie Criterio Observacion
Termino n-esimo∞∑
n=1
an lımn→∞
an 6= 0 ⇒ Div No para conv.
Serie Geometrica∞∑
n=1
a · rn−1
{|r| < 1 ⇒Conv. a S =
a
1− r|r| ≥ 1 ⇒ Div.
Util para C. de Comp.
Criterio p∞∑
n=1
1
np
p > 1 ⇒ Conv.
p ≤ 1 ⇒ Div.Util para C. de Comp.
Integral
∞∑
n=1
an
an = f (n)
∫ ∞1
f (x) dx Conv. ⇒ Conv.∫ ∞1
f (x) dx Div. ⇒ Div.
f continuapositiva, crecientey de facil int.
Comparacion
∞∑
n=1
an,∞∑
n=1
bn
0 < an ≤ bn
∞∑
n=1
bn Conv. ⇒∞∑
n=1
an Conv.
∞∑n=1
an Div. ⇒∞∑
n=1
bn Div.
{Usar series geom. o “p”para comparar
Comp. en el lımite∞∑
n=1
, an, bn > 0 lımn→∞
an
bn= L
{L ≥ 0, ambas C.L > 0 o ∞, ambas D.
Idem
Razon∞∑
n=1
an, an > 0 lımn→∞
an+1
an= λ
{λ < 1, Conv.λ > 1, Div.
No decide si λ = 1.
Util si an tienefactoriales o potencias
Raız∞∑
n=1
an, an > 0 lımn→∞
n√
an = λ
{λ < 1, Conv.λ > 1, Div.
No decide si λ = 1.
Util si an tienepotencias n-esimas
Raabe∞∑
n=1
an, an > 0 lımn→∞
n
(1−
an+1
an
)= L
{L > 1 Conv.L < 1 Div.
Si L = 1 no decide
Gauss∞∑
n=1
an, an > 0an
an+1= 1 +
r
n+
An
n2,
{r > 1 Conv.r ≤ 1 Div.
{An} acotada.
Serie Alt.∞∑
n=1
(−1)n−1 an|an| > |an+1| , ∀nlım
n→∞|an| = 0
}⇒ Converge
Si lım
n→∞an 6= 0
aplicar terminon-esimo
{Serie A.C.Serie C.C.
∞∑n=1
an
∞∑
n=1
|an| Conv. ⇒∞∑
n=1
an A. C.
∞∑n=1
an C. y∞∑
n=1
|an| D. ⇒∞∑
n=1
an C. C.
Series de term.positivos ynegativos.
Criterio de Weierstrass para convergencia uniforme de series de funciones
|fn (x)| ≤ Mn, ∀x ∈ D∞∑
n=1
Mn Convergente
⇒∞∑
n=1
fn (x) Converge uniformemente y absolutamente sobre D.
5.2. Series notables
Aritmetico-Geometricas: Son de la forma
∞∑n=1
(an+ b) · rn = (a+ b) r + (2a+ b) + . . . , a, b, r ∈ R
10
Diverge si |r| ≥ 1 y converge si |r| < 1 a(a+ b) r − br2
(1− r)2
Hipergeometricas: Son aquellas para las cualesan+1
an
=αn+ β
αn+ γ, α, β, γ ∈ R. Converge si γ > α+ β
aαγ
γ − α− β.
5.3. Infinitesimos equivalente
sen x ∼ x ∼ tg x ∼ ln(1 + x) ∼ ex − 1, six→ 0
sen kx ∼ kx, si kx→ 0
akx − 1 ∼ kx ln a, si kx→ 0, a > 1
(1 + x)m − 1 ∼ mx, si x→ 0
(1 + x)k−1 ∼ kx, si x→ 0
lnx ∼ x− 1, si x→ 1
n√a− 1 ∼ 1
nln a, si kx→ 0
1− cos x ∼ x2
2, x→ 0
arcsen x ∼ x ∼ arctg x, x→ 0
n! ∼√
2πn(
ne
)npara n→∞
1 + 12
+ 13
+ · · ·+ 1n∼ lnn para n→∞
√a− 1 ∼ ln a
npara n→∞
1k + 2k + · · ·+ nk ∼ nk+1
k+1para n→∞
a0 + a1n · · ·+ aknk ∼ akn
k para n→∞
6. Geometrıa en Rn 1
Nota: Trabajaremos a lo mas en R3.
6.1. Vector
Una n− upla de numeros reales es una expresion de la forma ~x = (x1, x2, . . . , xn), que se conoce comotextbfvector. Los xi son las componentes del vector.
6.1.1. Distancia entre dos puntos
Sean dos puntos P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2). La distancia entre ellos es:
d =
√(x1 − x2)
2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)
2
6.1.2. A considerar
El vector cero tiene magnitud cero y carece de direccion y sentido.
Dos vectores son iguales si y solo si tienen la misma magnitud, direccion y sentido.
Todo vector de magnitud 1 es unitario.
Un vector es de posicion si su origen esta en el ~0.
1Cap.1 Mat. Vol. 3 del mismo autor
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6.1.3. Propiedades vectoriales
Sean ~a,~b,~c vectores y k1, k2 escalares. Se cumpleque: (
~a+~b)
+ ~c = ~a+(~b+ ~c
)~a+~b = ~b+ ~a
k1 · (k2 · ~a) = (k1 · k2) · ~a(k1 + k2) · ~a = k1 · ~a+ k2 ·~b
k1 ·(~a+~b
)= k1 · ~a+ k1 ·~b
~a+~0 = ~a
~a+ ~(−a) = ~0
1 · ~a = ~a
k ·~0 = ~0, ∀k ∈ R
6.1.4. Direccion de un vector (Cosenos di-rectores)
cosα =x
d=
x√x2 + y2 + z2
cos β =y
d=
y√x2 + y2 + z2
cos γ =z
d=
z√x2 + y2 + z2
OJO: cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1
6.1.5. Producto escalar
Sean ~a = (a1, a2, . . . , an) , ~b = (b1, b2, . . . , bn). El producto escalar se define como :
~a ◦~b = a1b1 + a2b2 + . . . =n∑
i=1
aibi
Propiedades
~a ◦ ~a = ‖~a‖2 ≥ 0
~a ◦~b = ~b ◦ ~a
k ·(~a ◦~b
)= (k~a) ◦~b = ~a ◦
(k~b)
~a ◦(~b+ ~c
)= ~a ◦~b+ ~a ◦ ~c
~a ◦~0 = 0
~a ◦~b = ‖~a‖∥∥∥~b∥∥∥ cos θ
~a ◦~b = 0 ⇔ ~a⊥~b∣∣∣~a ◦~b∣∣∣ ≤ ‖~a‖∥∥∥~b∥∥∥∥∥∥~a+~b
∥∥∥ ≤ ‖~a‖+∥∥∥~b∥∥∥
6.1.6. Producto vectorial
Sean ~a = (a1, a2, a3) ,~b = (b1, b2, b3). El producto vectorial se define como:
~a×~b =
∣∣∣∣∣∣ı ka1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
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Propiedades
~a×~b = −~b× ~a
~a× ~a = ~0
~a×(~b+ ~a
)= ~a×~b+ ~a× ~c
~a×~0 = ~0× ~a = ~0
k ·(~a×~b
)= (k~a)×~b = ~a×
(k~b)
∥∥∥~a×~b∥∥∥ = ‖~a‖∥∥∥~b∥∥∥ sen θ
~a×~b = ~0 ⇔ ~a//~b
Si ~a⊥~b⇒∥∥∥~a×~b∥∥∥ = ‖~a‖
∥∥∥~b∥∥∥∥∥∥~a×~b∥∥∥ = S, con S el area del paralelogramo
entre ~a y ~b.
6.1.7. Triple producto escalar
Sean ~a,~b,~c vectores. Se define su “triple producto escalar” como:
~a ◦(~b× ~c
)=
∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3
b1 b2 b3c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣Propiedades
~a ◦(~b× ~c
)= ~c ◦
(~a×~b
)= ~b ◦ (~c× ~a)
~a ◦(~b× ~c
)= 0 ⇒ ~a,~b,~c coplanarios.
~a ◦(~a×~b
)= 0∣∣∣~a ◦ (~b× ~c)∣∣∣ = V Volumen del paralelepıpe-
do entre ~a,~b,~c.
6.1.8. Triple producto vectorial
Se define, para ~a,~b,~c vectores como:
~a×(~b× ~c
)Propiedades
~a×(~b× ~c
)=(~a ◦~b
)~b−
(~a ◦~b
)~c
~a×(~b× ~c
)= (~a ◦ ~c)~b−
(~b ◦ ~c
)~a
~a×(~b× ~c
)6=(~a×~b
)× ~c
6.1.9. Proyeccion vectorial
La Proyeccion vectorial de un vector ~a sobre el vector ~b 6= ~0 es el vector
proy~b (~a) =
(~a ·~b‖b‖2
)~b
La componente del vector ~a a lo largo del vector ~b es el numero
comp~b (~a) =~a ·~b‖b‖
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6.2. La recta
Sea A punto del plano o del espacio, ~d un vector no nulo(director). Se llama recta por A en la direccion
de ~d al conjunto:
L ={~X = ~A+ t~d, t ∈ R
}6.2.1. Formas de la ecuacion de la recta
Vectorial: ~X = ~A+ t~d⇒ (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (d1, d2, d3)
Parametrica:
x = a1 + td1
y = a2 + td2
z = a3 + td3
Cartesiana:x− a1
d1
=y − a2
d2
=z − a3
d3
= t
A considerar
1. Dos rectas son paralelas si los vectores directores son paralelos.
2. Dos rectas son perpendiculares si los vectores directores son perpendiculares.
3. El angulo entre dos rectas que se intersectan es igual al angulo entre sus vectores directores.
6.2.2. Posiciones relativas de dos rectas
Se consideran:{a1x+ b1y + c1d = d1
a2x+ b2y + c2d = d2
{m1x+ n1y + p1d = q1m2x+ n2y + p2d = q2
.
Sea A la matriz del sistema formado por las cuatro ecuaciones y A′ la ampliada. Es decir
A =
a1 b1 c1a2 b2 c2m1 n1 p1
m2 n2 p2
A′ =
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
m1 n1 p1 q1m2 n2 p2 q2
Puede que:
rang(A) = 2, rang(A′) = 2 ⇒ son dos rectas coincidentes.
rang(A) = 2, rang(A′) = 3 ⇒ son dos rectas paralelas distintas.
rang(A) = 3, rang(A′) = 3 ⇒ son dos rectas secantes; su punto de corte es la solucion del sistema.
rang(A′) = 4, es decir Det(A′) = 0 ⇒ las rectas se cruzan.
6.3. El plano
Es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una ecuacion lineal del tipo
Ax+By + Cz +D = 0
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Formas de la ecuacion del plano
Vectorial: (x− x1, y − y1, z − z1) · (A,B,C) = 0
Punto-normal: A(x− x1) +B(y − y1) + C(z − z1) = 0
Reducida:x
a+y
b+z
c= 1
Por tres puntos: (P − P1) ◦ [(P2 − P1)× (P3 − P1)] = 0
6.3.1. Distancia punto-plano
Sean Ax + By + Cz −D = 0 plano y (a1, a2, a3) punto del espacio. La distancia entre ellos esta dadapor la ecuacion
d =|D − Aa1 −Ba2 − Ca3|√
A2 +B2 + C2
6.3.2. Posiciones relativas de rectas y planos
Posiciones de dos planos Sean P1 y P2 los planos de ecuaciones:
a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 y a2x+ b2y + c2z + d2 = 0
Si A es la matriz de los coeficientes del sistema y A′ la matriz ampliada,es decir,
A =
(a1 b1 c1a2 b2 c2
)A′ =
(a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
)entonces caben las siguientes posibilidades:
rang(A) = rang(A′) = 2 ⇒ los planos se cortan en una recta
rang(A) = 1 6= rang(A′) = 2 ⇒ los planos son paralelos y distintos
rang(A) = rang(A′) = 1 ⇒ los planos son coincidentes
Posiciones de recta y plano Se consideran la recta y el plano de la forma:{a1x+ b1y + c1d = d1
a2x+ b2y + c2d = d2
P : ax+ by + cz = d
Sea A la matriz del sistema formado por estas tres ecuaciones y A′ la ampliada. Esto es:
A =
a1 b1 c1a2 b2 c2a b c
A′ =
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a b c d
Existen las siguientes posibilidades:
rang(A) = rang(A′) = 2 ⇒ la recta esta contenida en el plano.
rang(A) = 2, rang(A′) = 3 ⇒ la recta es paralela al plano, y no contenida en el.
rang(A) = 3, rang(A′) = 3 ⇒ la recta es secante al plano. El punto de corte es la solucion del sistema.
Nota: El paralelismo entre una recta y un plano se da si Det(A) = 0.
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6.4. Superficies
Son ecuaciones de la forma
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz +K = 0
6.4.1. Planos
Tienen ecuaciones de la formaA′x+B′y + C ′z +D = 0
Plano
Consejo: Usar trazas para graficar (hacer x = 0, o y = 0 o bien z = 0).
6.4.2. Cilindros
Son ecuaciones del tipof(x, y) = 0, f(y, z) = 0, f(x, z) = 0
Cilindro circular Cilindro hiperbolico
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6.4.3. Esferas
Es el lugar geometrico de todos los puntos que estan a una distancia r de un punto(h, k, j). Su ecuaciones
(x− h)2 + (y − k)2 + (z − j)2 = r2
.
Esfera
6.4.4. Elipsoide
Tiene por ecuacion general
(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2+
(z − j)2
c2= 1
Elipsoide
17
6.4.5. Conos
Es el lugar geometrico de los puntos que satisfacen una relacion de la forma
x2
a2+y2
b2− z2
c2= 0,
x2
a2− y2
b2+z2
c2= 0,−x
2
a2+y2
b2+z2
c2= 0
. Cuya formula general es(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2− (z − j)2
c2= 0
y las variantes de signo adecuadas.
Cono
6.4.6. Paraboloide Elıptico
Es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relacion de la forma:
x2
a2+y2
b2= c2z,
x2
a2+z2
c2= b2y,
y2
b2+z2
c2= a2x
. La ecuacion general es:(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2= c2 (z − j)
y las otras combinaciones adecuadas.
Paraboloide circular
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6.4.7. Paraboloide Hiperbolico
Es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relacion de la forma:
x2
a2− y2
b2= c2z,
x2
a2− z2
c2= b2y,
y2
b2− z2
c2= a2x
. La ecuacion general es:(x− h)2
a2− (y − k)2
b2= c2 (z − j)
y las otras combinaciones adecuadas.
Paraboloide hiperbolico
6.4.8. Hiperboloide de una hoja
Es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relacion de la forma:
x2
a2+y2
b2− z2
c2= 1,
x2
a2− y2
b2+z2
c2= 1,−x
2
a2+y2
b2+z2
c2= 1
La ecuacion general en el espacio es
(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2− (z − j)2
c2= 1
y las combinaciones adecuadas.
Hiperboloide de una hoja
19
6.4.9. Hiperboloide de dos hojas
Es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relacion de la forma:
x2
a2− y2
b2− z2
c2= 1,−x
2
a2+y2
b2− z2
c2= 1,−x
2
a2− y2
b2+z2
c2= 1
La ecuacion general en el espacio es
(x− h)2
a2− (y − k)2
b2− (z − j)2
c2= 1
y las combinaciones adecuadas.
Hiperboloide de dos hojas
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