Calorimetro Delle Mescolanze

Relazione di laboratorio - Calorimetro delle

Mescolanze

Giulio Matteucci (gruppo 9)

Introduzione

L'esperienza è volta alla misura del calore specifico di un corpo solido cx. Per la determinazione del calore specifico è inoltrenecessaria la taratura del calorimetro stesso, che consiste nella misurazione della sua massa equivalente Me. Il calore speci-fico di una sostanza è definito come la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura di una unità di massa di 1 K.La relazione della quale faremo uso nel corso dell'analisi dati che lega la variazione di temperatura di un corpo, il suo calorespecifico e la quantità di calore scambiata è: DT = CxDQ con Cx = mxcx .Dove mx è la massa del corpo mentre Cx è detta"capacità termica".

Strumenti e apparato sperimentale

L'apparato sperimentale utilizzato è un calorimetro di Regnault (come quello schematizzato nella figura sotto) composto daun contenitore adiabatico esterno munito di coperchio apribile e di un vaso calorimetrico estraibile entambi in acciaio inox.Sulla sommità del contenitore esterno sono posti bracci per il sostegno di un termometro per la misura della temperaturaall'interno del vaso e di un motorino elettrico necessario al funzionamento dell'agitatore a pale posto all'interno del vasocalorimetrico .Gli strumenti di misura utilizzati sono: un termometro centesimale a mercurio, un altro termometro a mercuriocon sensibilità di 1 °C, un termometro digitale con sensibilità di 0.01 °C, un cronometro centesimale digitale, e una bilanciaelettronica con sensibilità di 1 g.

L'intera esperienza è stata ripetuta due volte. Vediamo ora nel dettaglio lo svolgimento e l'analisi dati relativi alla primaripetizione. In seguito, poichè le procedure seguite sono le stesse riporteremo brevemente i risultati della seconda ripetizione.

Dati ottenuti e analisi dati

Per prima cosa è stata determinata, usando la bilancia elettronica, la massa del vaso calorimetrico in acciaio inox Mvaso=

(1363.0 ± 0.1) g, quella del becher in plastica Mbecher= (104.1 ± 0.1) g e la massa della spirale di rame di cui si vuole ricavare

il calore specifico M2= (404.9 ± 0.1) g . E' stata misurata la temperatura ambiente Ta = (21.4 ± 0.1) °C mediante iltermometro digitale.La spirale di rame è stata poi inserita nel bollitore e riscaldata a bagnomaria monitorando la temperatura con il termometro amercurio. Successivamente è stata versata nel vaso calorimetrico la quantità d'acqua Macqua= (2564.0 ± 0.1) g per poi

equilibrarla termicamente in modo da portare la temperatura attorno ai 18 °C. Dopo aver misurato la massa del vaso pienod'acqua Macqua+vaso= (3927.0 ± 0.1) g, lo si è stato collocato all'interno del calorimetro inserendovi il termometro centesimale

a mercurio e azionando l'agitatore e chiuso il coperchio. A questo punto è iniziata la presa dati a intervalli di un minuto.Dopo alcuni minuti, raggiunta T2 = (85 ± 1) °C nel bollitore, il corpo è stato estratto e subito introdotto nell'acqua del vasocalorimetrico. Contemporaneamente è stata registrata la temperatura T1= (18.44 ± 0.01) °C e il tempo t0 all'istante di inseri-mento. Da qui si è preso a registrare misure di temperatura nel calorimetro a intervalli di 5 s fino al raggiungimento dellequilibrio termico nel vaso calorimetrico, dopo circa 2 minuti, per poi ritornare a misurare a intervalli di un minuto.A questo punto si sono riportati in un grafico i dati di temperatura in funzione del tempo e si è proceduto ad una prima stimadella temperatura di equilibrio Teq, corretta tenendo conto della non perfetta adiabaticità del vaso calorimetrico, tramite il

metodo grafico.

Riportiamo i dati ottenuti:

- temperature misurate a intervalli di un minuto prima dell'immersione della spirale.

temp1a = 818.39, 18.39, 18.40, 18.41, 18.41, 18.42, 18.42, 18.42, 18.43, 18.44<;

- temperature misurate a intervalli di 5 s dopo l'immersione della spirale.

temp1b = 818.50, 18.65, 18.80, 18.95, 19.10, 19.25, 19.27, 19.29, 19.30,

19.35, 19.36, 19.37, 19.38, 19.38, 19.38, 19.38, 19.38, 19.38, 19.38, 19.38<;

Il grafico dei dati di temperatura (temp1a+temp1b) in funzione del tempo risulta (per comodità abbiamo variato l'origine deitempi in modo che t = 0 coincida con la prima delle misure che prendiamo in considerazione):

100 200 300 400 500 600 700t HsL

18.6

18.8

19.0

19.2

19.4

T HëCL

Ora riportiamo i risultati dell'interpolazione lineare delle ultime 10 misure prima dell'immersione della spirale (temp1a );primo tratto del grafico.La miglior retta interpolante ha equazione: T1(t) = a + bt con a = (18.389 ± 0.006) °C e b = (0.00009 ± 0.00002) °C/s

2 Calorimetro delle Mescolanze (corretta).nb

Ora riportiamo i risultati dell'interpolazione lineare delle ultime 10 misure prima dell'immersione della spirale (temp1a );primo tratto del grafico.La miglior retta interpolante ha equazione: T1(t) = a + bt con a = (18.389 ± 0.006) °C e b = (0.00009 ± 0.00002) °C/s

100 200 300 400 500 600t HsL

18.39

18.40

18.41

18.42

18.43

18.44

18.45

T HëCL

Eseguiamo il test del chi quadro per vedere se la retta trovata approssima bene i punti sperimentali. Ponendo Α = 5% essendoi gradi di libertà 10-2=8 il valore di soglia massimo risulta 2.73. Il valore ottenuto della variabile chi quadro, riportato sotto èminore del valore di soglia. Abbiamo così verificato la bontà del nostro fit.

1.16364

a = 18.389272727272726;

b = 0.00008787878787880343 ;

Tuno@t_D = a + b * t

18.3893 + 0.0000878788 t

Troviamo ora T1(t0) e ΣT1

t0 = 600;

Tuno@t0D

18.442

T1(t0) = 600 s e ΣT1= 18.442 s

Per calcolare ΣT1 usiamo la formula generale per la propagazione dell'errore tenendo conto che gli errori su a e b non sono

indipendenti: ΣT1= J ¶T1

¶aN2 HΣaL2 + J ¶T1

¶bN2 HΣbL2 + 2 J ¶T1

¶aN J ¶T1

¶bN HΣabL2

sigab = -9.090909090909091`*^-8 ;

siga = 0.005877538136452587`;

sigb = 0.000018349396085439343` ;

Σa = -9.09091 °CΣb = 0.00588 °C/s

Σab = 0.00002 °C2/s

ΣT1 = Sqrt@H1L HsigaL^2 + HHtL^2L HsigbL^2 + 2 HtL HsigabL^2D �. t ® t0

0.0124803

In definitiva il valore che assumiamo per T1 è: T1= (18.44 ± 0.01) °C (coincidente, entro l'errore sperimentale con quellomisurato durante l'esperienza)

Calorimetro delle Mescolanze (corretta).nb 3


Riportiamo adesso i risultati dell'interpolazione lineare delle ultime 10 misure prese a intervalli di 5 secondi ( ultimi 10elementi di temp1b); ultimo tratto del grafico.La miglior retta interpolante ha equazione: Teq(t) = c + dt con c = (19.2 ± 0.1) °C e d = (0.0003 ± 0.0002) °C/s

610 620 630 640 650t HsL

19.36

19.37

19.38

19.39

T HëCL


2.20606

c = 19.1884;

d = 0.00030303;

Teq@t_D = c + d * t

19.1884 + 0.00030303 t

Troviamo ora Teq(t0) e ΣTeq

Teq = Teq@t0D

19.370218`

ΣTeq= 19.370 s

Per calcolare ΣTeq usiamo la formula generale per la propagazione dell'errore tenendo conto che gli errori su a e b non sono

indipendenti: ΣTeq= J ¶Teq

¶cN2

HΣcL2 + J ¶Teq

¶dN2

HΣd L2 + 2 J ¶Teq

¶cN J ¶Teq

¶dN HΣcdL2

sigcd = -0.000030181818181815814` ;

sigc = 0.1371064616208162`;

sigd = 0.00022019275302526348` ;

Σcd = -0.00003 °C

Σc = 0.13710 °C/s

Σd = 0.00022 °C2/s

ΣTeq = Sqrt@H1L HsigcL^2 + HHtL^2L HsigdL^2 + 2 HtL HsigcdL^2D �. t ® t0

0.190404

In definitiva il valore che assumiamo per Teq è: Teq= (19.4 ± 0.2) °C

Per procedere al calcolo del calore specifico della spirale di rame è necessario conoscere la massa equivalente delcalorimetro. La massa equivalente è definita come la massa d'acqua che avrebbe la stessa capacità termica del calorimetrocontenente il vaso calorimetrico vuoto. Riassumiamo ora la procedura seguita per ottenere questo risultato.Dopo aver estratto il corpo (bagnato) dal vaso calorimetrico e averne misurato nuovamente la massa è stata determinata lamassa d'acqua residua nel vaso calorimetrico. Continuando a registrare le temperature nel calorimetro a intervalli di unminuto, sono stati prelevati circa 100 g d'acqua dal bollitore alla temperatura di circa 70 °C per poi ricavare M 'acquacome

differenza tra la massa del contenitore con l'acqua Macqua+becher= (192.2 ± 0.1) g e quella del becher vuoto misurata in

precedenza. Subito dopo aver misurato con il termometro digitale la temperatura dell'acqua nel becher T '2 = (71.00 ± 0.01)°C, questa è stata versata nel vaso del calorimetro. Contemporaneamente è stata registrata la temperatura T '1= (19.46 ± 0.01)°C e il tempo t0 all'istante di inserimento. Da qui si è preso a registrare misure di temperatura nel calorimetro a intervalli di 5s fino al raggiungimento dell equilibrio termico nel vaso calorimetrico, per poi ritornare a misurare a intervalli di un minuto.A questo, come si era fatto nel caso precedente, punto si sono riportati in un grafico i dati di temperatura in funzione deltempo e si è proceduto ad una prima stima della temperatura di equilibrio T 'eq, corretta tenendo conto della non perfetta

adiabaticità del vaso calorimetrico, tramite il metodo grafico.


Per procedere al calcolo del calore specifico della spirale di rame è necessario conoscere la massa equivalente delcalorimetro. La massa equivalente è definita come la massa d'acqua che avrebbe la stessa capacità termica del calorimetrocontenente il vaso calorimetrico vuoto. Riassumiamo ora la procedura seguita per ottenere questo risultato.Dopo aver estratto il corpo (bagnato) dal vaso calorimetrico e averne misurato nuovamente la massa è stata determinata lamassa d'acqua residua nel vaso calorimetrico. Continuando a registrare le temperature nel calorimetro a intervalli di unminuto, sono stati prelevati circa 100 g d'acqua dal bollitore alla temperatura di circa 70 °C per poi ricavare M 'acquacome

differenza tra la massa del contenitore con l'acqua Macqua+becher= (192.2 ± 0.1) g e quella del becher vuoto misurata in

precedenza. Subito dopo aver misurato con il termometro digitale la temperatura dell'acqua nel becher T '2 = (71.00 ± 0.01)°C, questa è stata versata nel vaso del calorimetro. Contemporaneamente è stata registrata la temperatura T '1= (19.46 ± 0.01)°C e il tempo t0 all'istante di inserimento. Da qui si è preso a registrare misure di temperatura nel calorimetro a intervalli di 5s fino al raggiungimento dell equilibrio termico nel vaso calorimetrico, per poi ritornare a misurare a intervalli di un minuto.A questo, come si era fatto nel caso precedente, punto si sono riportati in un grafico i dati di temperatura in funzione deltempo e si è proceduto ad una prima stima della temperatura di equilibrio T 'eq, corretta tenendo conto della non perfetta

adiabaticità del vaso calorimetrico, tramite il metodo grafico.

Procediamo come nel caso precedente riportando i dati ottenuti:

- temperature misurate a intervalli di un minuto prima dell'aggiunta dell'acqua.

temp2a = 819.44, 19.44, 19.44, 19.44, 19.44, 19.44, 19.45, 19.45, 19.46, 19.46<;

- temperature misurate a intervalli di 5 s dopo l'aggiunta dell'acqua.

temp2b = 819.46, 20.05, 20.45, 20.60, 20.80, 20.94, 21.00, 21.05, 21.06,

21.09, 21.09, 21.10, 21.10, 21.10, 21.10, 21.10, 21.10, 21.10, 21.10, 21.10<;

Il grafico dei dati di temperatura (temp2a+temp2b) in funzione del tempo risulta (per comodità abbiamo variato l'origine deitempi in modo che t = 0 coincida con la prima delle misure che prendiamo in considerazione):

100 200 300 400 500 600 700t HsL

20.0

20.5

21.0

T HëCL

Come prima, riportiamo i risultati dell'interpolazione lineare delle ultime 10 misure prima dell'aggiunta dell'acqua (temp2a );primo tratto del grafico.La miglior retta interpolante ha equazione: T '1(t) = a' + b't con a' = (19.435 ± 0.006) °C e b' = (0.00004 ± 0.00002) °C/s


100 200 300 400 500 600t HsL

19.44

19.45

19.46

19.47

T HëCL


1.55152

ap = 19.4350909090909;

bp = 0.0000404040404040628;

Tpuno@t_D = ap + bp * t

19.4351 + 0.000040404 t


Tpuno@t0D

19.4593

ΣTeq= 19.459 s

Per calcolare ΣT '1 usiamo la formula generale per la propagazione dell'errore tenendo conto che gli errori su a e b non sono

indipendenti: ΣT '1= J ¶T '1¶a'

N2 HΣa'L2 + J ¶T '1¶b'

N2 HΣb'L2 + 2 J ¶T1

¶a'N J ¶T1

¶b'N HΣa' b'L2

sigap = 0.00587753813645258;

sigbp = 0.00001834939608543934 ;

sigabp = -9.09090909090909*^-8;

Σa' = 0.00588 °CΣb' = 0.00002 °C/s

Σa' b' = -9.09091 °C2/s

ΣT'1 = Sqrt@H1L HsigapL^2 + HHtL^2L HsigbpL^2 + 2 HtL HsigabpL^2D �. t ® t0

0.0124803

In definitiva il valore che assumiamo per T '1 è: T '1= (19.46 ± 0.01) °C (anche qui, coincidente, entro l'errore sperimentalecon quello misurato durante l'esperienza)



610 620 630 640 650t HsL

21.085

21.090

21.095

21.100

21.105

21.110

T HëCL


0.654545

cp = 21.0310909090912;

dp = 0.0001090909090848413;

Tpe@t_D = cp + dp * t

21.0311 + 0.000109091 t

Troviamo ora T 'eq(t0) e ΣT 'eq

Tpe@t0D

21.0965

ΣTeq= 21.0965 s

Per calcolare ΣT 'eq usiamo la formula generale per la propagazione dell'errore tenendo conto che gli errori su a e b non sono

indipendenti: ΣT '1= J ¶T 'eq

¶c'N2

HΣc'L2 + J ¶T 'eq

¶d 'N2

HΣd 'L2 + 2 J ¶Teq

¶c'N J ¶Teq

¶d 'N HΣc' d 'L2

sigcp = 0.1371064616208162;

sigdp = 0.00022019275302526348 ;

sigcdp = -0.000030181818181815814 ;

Σc' = 0.13711 °CΣd ' = 0.00022 °C/s

Σc' d ' = -0.00003 °C2/s

ΣT'eq = Sqrt@H1L HsigcpL^2 + HHtL^2L HsigdpL^2 + 2 HtL HsigcdpL^2D �. t ® t0

0.190404

In definitiva il valore che assumiamo per T 'eq è: T 'eq= (21.1 ± 0.2) °C

Possiamo procedere al calcolo della massa equivalente del calorimetro tramite la formula: Me = M 'acquaHT '2 - T 'eq)/IT 'eq -

T '1) - Mresidua con:

M 'acqua= Macqua+becher - Mbecher= (88.1 ± 0.17) g

Macquatolta= Macqua+ spirale - Mbecher- Mspirale = (8.6 ± 0.17) g

Mresidua= Macqua- Macquatolta = (2555.4 ± 0.17) g

dove gli errori sono stati calcolati usanto la formula per la propagazione dell'errore per somme algebriche (somma inquadratura degli errori).


Possiamo procedere al calcolo della massa equivalente del calorimetro tramite la formula: Me = M 'acquaHT '2 - T 'eq)/IT 'eq -

T '1) - Mresidua con:





Macp = 88.1;

Mre = 2555.4;

Tp2 = 71;

Tp1 = 19.46;

Tpeq = 21.1;

sigMacp = 0.17;

Me = HMacp HHTp2 - TpeqL � HTpeq - Tp1LLL - Mre

125.204

per trovare l'errore su Me invece si è usata la formula: ΣMe=

K ¶Me

¶M 'acquaO

2IΣM 'acquaM2

+ J ¶Me

¶T '1N2 HΣT '1 L2 + K ¶Me

¶T 'eqO

2IΣT 'eq M2

+ J ¶Me

¶T '2N2 HΣT '2 L2 + J ¶Me

¶MresiduaN2 HΣMresidua

L2 .

sigMe = SqrtA1 H0.1L^2 + HHHMacp HTp2 - TpeqLL � HTpeq - Tp1L^2L^2L * H ΣT'1L^2 +

HHMacp � HTpeq - Tp1LL^2L * H0.01L^2 + HHHHTp1 - TpeqL MacpL � HTpeq - Tp1L^2L^2L *

IΣT'eqM^2 + HHHTp2 - TpeqL � HTpeq - Tp1LL^2L * HsigMacpL^2E23.4052

Quindi il valore che assumiamo come massa equivalente del calorimetro è Me = (125 ± 23) g

A questo punto avendo determinato la massa equivalente (taratura del calorimetro) possiamo procedere con il calcolo delcalore specifico della spirale di rame, cx. La formula che utilizzeremo sarà: cx = [cacqua(Macqua - Me)ITeq - T1)]/[MspiraleHT2 -

Teq)]

Ca = 4.186;

Mac = 2564.0;

M2 = 404.9;

T1 = 18.44;

T2 = 85;

Cx = HCa HMac - MeL HTeq - T1LL � HM2 HT2 - TeqLL

0.357364

calcoliamo l'errore si per trovare l'errore su cx usando la formula: ΣMe=

K ¶cx

¶MacquaO

2IΣMacquaM2

+ J ¶cx

¶MeN2 HΣMe L2 + J ¶cx

¶T '1N2 IΣT 'eq M2

+ J ¶cx

¶T '2N2 HΣT '2 L2 + J ¶cx


L2 .


sigCx = SqrtAHHCa HTeq - T1LL � HM2 HT2 - TeqLL^2L * H0.1L^2 +

HHCa HTeq - T1LL � HM2 HT2 - TeqLL^2L * HsigMeL^2 + HHCa � M2L H1 � HT2 - TeqLLL^2 * H0.1L^2 +

HHCa � M2L HHTeq - T1L � HT2 - TeqL^2LL^2 * H0.01L^2 +

HHCa � M2L HHTeq - T1L � HT2 - TeqL^2LL^2 * IΣTeqM^2 +

HHCa � HM2L^2L HHTeq - T1L � HT2 - TeqLLL^2 * H0.1L^2E0.00173811

Il calore specifico trovato è quindi: cx = (0.357 ± 0.002) J/(g·K)

Clear@"Global`*"D

Remove@"Global`*"D

Riportiamo i dati e i risultati della seconda ripetizione mantenendo la stessa notazione usata in precedenza:

Temperature misurate prima e dopo l'immersione della spirale con il loro grafico:

temp1a = 816.61, 16.62, 16.63, 16.64, 16.65, 16.68, 16.69, 16.70, 16.71, 16.72<;temp1b = 816.72, 16.85, 17.00, 17.25, 17.42, 17.53, 17.59, 17.63, 17.65,

17.65, 17.65, 17.66, 17.66, 17.66, 17.66, 17.66, 17.66, 17.66, 17.66, 17.66<;

100 200 300 400 500 600 700t HsL

16.8

17.0

17.2

17.4

17.6

T HëCL

Risultati del fit sul primo tratto:La miglior retta interpolante ha equazione: T1(t) = a + bt con a = (16.606 ± 0.006) °C e b = (0.00022 ± 0.00002) °C/s

100 200 300 400 500 600t HsL

16.62

16.64

16.66

16.68

16.70

16.72

16.74T HëCL



2.42424

a = 16.60636363636364

b = 0.0002171717171717269

16.6064

0.000217172

Tuno@t_D = a + b * t

16.6064 + 0.000217172 t

Troviamo ora T1(t0) e ΣT1

t0 = 600;

Tuno@t0D

16.7367

T1(t0) = 600 s e ΣT1= 16.7367 s

Per calcolare ΣT1 usiamo la formula generale per la propagazione dell'errore tenendo conto che gli errori su a e b non sono

indipendenti: ΣT1= J ¶T1

¶aN2 HΣaL2 + J ¶T1

¶bN2 HΣbL2 + 2 J ¶T1

¶aN J ¶T1

¶bN HΣabL2

siga = 0.005877538136452587;

sigb = 0.000018349396085439343 ;

sigab = -9.09090909090909*^-8;

Σa = 0.00588 °CΣb = 0.00002 °C/s

Σab = -9.0909 °C2/s

ΣT1 = Sqrt@H1L HsigaL^2 + HHtL^2L HsigbL^2 + 2 HtL HsigabL^2D �. t ® t0

0.0124803


Risultati del fit sull ultimo tratto:La miglior retta interpolante ha equazione: Teq(t) = c + dt con c = (17.6 ± 0.1) °C e d = (0.0001 ± 0.0002) °C/s

610 620 630 640 650t HsL

17.645

17.650

17.655

17.660

17.665

17.670

T HëCL



0.654545

c = 17.59109090908896;

d = 0.0001090909090919467;

Teq@t_D = c + d * t

17.5911 + 0.000109091 t


Teq = Teq@t0D

17.6565

ΣTeq= 17.6565 s

Per calcolare ΣTeq usiamo la formula generale per la propagazione dell'errore tenendo conto che gli errori su a e b non sono

indipendenti: ΣTeq= J ¶Teq

¶cN2

HΣcL2 + J ¶Teq

¶dN2

HΣd L2 + 2 J ¶Teq

¶cN J ¶Teq

¶dN HΣcdL2

sigc = 0.137106461620816;

sigd = 0.0002201927530252634;

sigcd = -0.00003018181818181581 ;

Σcd = -0.00003 °C

Σc = 0.13710 °C/s

Σd = 0.00022 °C2/s

ΣTeq = Sqrt@H1L HsigcL^2 + HHtL^2L HsigdL^2 + 2 HtL HsigcdL^2D �. t ® t0

0.190404

In definitiva il valore che assumiamo per Teq è: Teq= (17.7 ± 0.2) °C

Riportiamo ora dati e risultati della seconda taratura:

temp2a = 818.02, 18.03, 18.04, 18.05, 18.05, 18.06, 18.06, 18.07, 18.08, 18.09<;temp2b = 818.09, 19.60, 19.75, 19.85, 19.93, 19.97, 20.03, 20.05, 20.06,

20.07, 20.08, 20.08, 20.08, 20.08, 20.08, 20.08, 20.08, 20.08, 20.09, 20.09<;

100 200 300 400 500 600 700t HsL

18.5

19.0

19.5

20.0

T HëCL

Come prima, riportiamo i risultati dell'interpolazione lineare delle ultime 10 misure prima dell'aggiunta dell'acqua (temp2a );primo tratto del grafico.La miglior retta interpolante ha equazione: T '1(t) = a' + b't con a' = (18.023 ± 0.006) °C e b' = (0.0001 ± 0.00002) °C/s


100 200 300 400 500 600t HsL

18.04

18.06

18.08

18.10

T HëCL


1.01818

ap = 18.0230909090909;

bp = 0.0001181818181818228;

Tpuno@t_D = ap + bp * t

18.0231 + 0.000118182 t


Tpuno@t0D

18.094

ΣTeq= 18.094 s

Per calcolare ΣT '1 usiamo la formula generale per la propagazione dell'errore tenendo conto che gli errori su a e b non sono

indipendenti: ΣT '1= J ¶T '1¶a'

N2 HΣa'L2 + J ¶T '1¶b'

N2 HΣb'L2 + 2 J ¶T1

¶a'N J ¶T1

¶b'N HΣa' b'L2

sigap = 0.00587753813645258;

sigbp = 00.00001834939608543934 ;

sigabp = -9.0909090909090*^-8;

Σa' = 0.00588 °CΣb' = 0.00002 °C/s

Σa' b' = -9.09091 °C2/s

ΣT'1 = Sqrt@H1L HsigapL^2 + HHtL^2L HsigbpL^2 + 2 HtL HsigabpL^2D �. t ® t0

0.0124803

In definitiva il valore che assumiamo per T '1 è: T '1= (18.09 ± 0.01) °C (anche qui, coincidente, entro l'errore sperimentalecon quello misurato durante l'esperienza)



610 620 630 640 650t HsL

20.075

20.080

20.085

20.090

20.095

20.100

T HëCL


0.824242

cp = 19.96127272726880;

dp = 0.000193939393945186;

Tpe@t_D = cp + dp * t

19.9613 + 0.000193939 t

Troviamo ora T 'eq(t0) e ΣT 'eq

Tpe@t0D

20.0776

ΣTeq= 20.0776 s

Per calcolare ΣT 'eq usiamo la formula generale per la propagazione dell'errore tenendo conto che gli errori su a e b non sono

indipendenti: ΣT '1= J ¶T 'eq

¶c'N2

HΣc'L2 + J ¶T 'eq

¶d 'N2

HΣd 'L2 + 2 J ¶Teq

¶c'N J ¶Teq

¶d 'N HΣc' d 'L2

sigcp = 0.137106461620816;

sigdp = 0.0002201927530252634;

sigcdp = -0.00003018181818181581 ;

Σc' = 0.13711 °CΣd ' = 0.00022 °C/s

Σc' d ' = -0.00003 °C2/s

ΣT'eq = Sqrt@H1L HsigcpL^2 + HHtL^2L HsigdpL^2 + 2 HtL HsigcdpL^2D �. t ® t0

0.190404

In definitiva il valore che assumiamo per T 'eq è: T 'eq= (20.1 ± 0.2) °C

Possiamo procedere di nuovo al calcolo della massa equivalente del calorimetro tramite la formula: Me = M 'acquaHT '2 -

T 'eq)/IT 'eq - T '1) - Mresidua con:






Possiamo procedere di nuovo al calcolo della massa equivalente del calorimetro tramite la formula: Me = M 'acquaHT '2 -

T 'eq)/IT 'eq - T '1) - Mresidua con:





Macp = 99.4;

Mre = 2492.6;

Tp2 = 75;

Tp1 = 18.09;

Tpeq = 20.08;

sigMacp = 0.17;

Me = HMacp HHTp2 - TpeqL � HTpeq - Tp1LLL - Mre

250.64

per trovare l'errore su Me invece si è usata la formula: ΣMe=

K ¶Me

¶M 'acquaO

2IΣM 'acquaM2

+ J ¶Me

¶T '1N2 HΣT '1 L2 + K ¶Me

¶T 'eqO

2IΣT 'eq M2

+ J ¶Me

¶T '2N2 HΣT '2 L2 + J ¶Me


L2 .

sigMe = SqrtA1 H0.1L^2 + HHHMacp HTp2 - TpeqLL � HTpeq - Tp1L^2L^2L * H ΣT'1L^2 +

HHMacp � HTpeq - Tp1LL^2L * H0.01L^2 + HHHHTp1 - TpeqL MacpL � HTpeq - Tp1L^2L^2L *

IΣT'eqM^2 + HHHTp2 - TpeqL � HTpeq - Tp1LL^2L * HsigMacpL^2E20.2166

Quindi il valore che, questa volta, assumiamo come massa equivalente del calorimetro è Me = (250 ± 20) g

A questo punto avendo determinato la massa equivalente (taratura del calorimetro) possiamo procedere con il calcolo delcalore specifico della spirale di rame, cx. Con la formula usata precedentemente: cx = [cacqua(Macqua - Me)ITeq -

T1)]/[MspiraleHT2 - Teq)]

Ca = 4.186;

Mac = 2502.4;

M2 = 404.9;

T1 = 16.74;

T2 = 83;

Cx = HCa HMac - MeL HTeq - T1LL � HM2 HT2 - TeqLL

0.326532

calcoliamo l'errore si per trovare l'errore su cx usando di nuovo la formula: ΣMe=

K ¶cx

¶MacquaO

2IΣMacquaM2

+ J ¶cx

¶MeN2 HΣMe L2 + J ¶cx

¶T '1N2 IΣT 'eq M2

+ J ¶cx

¶T '2N2 HΣT '2 L2 + J ¶cx


L2 .


sigCx = SqrtAHHCa HTeq - T1LL � HM2 HT2 - TeqLL^2L * H0.1L^2 +

HHCa HTeq - T1LL � HM2 HT2 - TeqLL^2L * HsigMeL^2 + HHCa � M2L H1 � HT2 - TeqLLL^2 * H0.1L^2 +

HHCa � M2L HHTeq - T1L � HT2 - TeqL^2LL^2 * H0.01L^2 +

HHCa � M2L HHTeq - T1L � HT2 - TeqL^2LL^2 * IΣTeqM^2 +

HHCa � HM2L^2L HHTeq - T1L � HT2 - TeqLLL^2 * H0.1L^2E0.0014968

Il calore specifico trovato è quindi: cx = (0.326 ± 0.001) J/(g·K)

Facciamo alucune considerazioni conclusive:

1) Confrontiamo i due valori misurati di Me tra loro e facciamone la media. Me1 = (125 ± 23) g mentre Me2 = (250 ± 20) g.

Per confrontarli eseguiamo il test normale ponendo la significatività al 5%. Accetteremo l'ipotesi nulla nel caso in cui z £1.98.

zMe = N@Abs@H250 - 125LD � HSqrt@H23L^2 + H20L^2DLD

4.10112

z � 1.98 e quindi non possiamo considerarli compatibili tra loro entro la soglia di significatività desiderata. Dobbiamo quindiammettere la presenza di errori sistematici nel corso di una o di entrambe le misure.Consideriamo adesso la media pesata (per dare un valore ai differenti errori associati alle due misure)

Memedia = N@HH125 * 23L + H250 * 20LL � H23 + 20LD

183.14

2) Confrontiamo i due valori misurati di Me con il valore teorico che si ottiene assumendo che il vaso calorimetrico sia diacciaio inox (e trascurando l'agitatore di cui non sappiamo la massa), dalla formula: Me = ciMvaso con ci = 0.423 J/(g·K)

MeTeo = H1363.0 * 0.423L � Ca

137.733

Il valore MeTeo= 137.73 g si avvicina molto a quello trovato sperimentalmente con la prima taratura, eseguiamo un test

normale per confrontare la compatibilità. Poniamo la significatività al 5%. Accetteremo l'ipotesi nulla nel caso in cui z £1.98.

zMeTeocaso1 = N@Abs@HMeTeo - 125LD � HSqrt@H20L^2DLD

0.636634

zMeTeocaso1 = N@Abs@HMeTeo - 250LD � HSqrt@H23L^2DLD

4.88119

Nel primo caso z � 1.98, quindi possiamo considerare il primo valore compatibile con il valore teorico entro la soglia disignificatività fissata. Nel secondo invece z � 1.98 quindi il valore non risulta compatibile. Questo risultato ci induce apensare che il risultato della prima taratura sia il più "corretto" cioè il meno affetto da errore sistematico.

3) Eseguiamo ora il test normale per velificare la compatibilità dei due valori trovati per il calore specifico del rame con ilvalore di riferimento 0.385 J/(g·K) . Calcoliamo i valori della variabile z. Accetteremo l'ipotesi nulla nel caso in cui z £ 1.98.I valori trovati erano cx1 = (0.357 ± 0.002) J/(g·K) e cx2 = (0.326 ± 0.001) J/(g·K)


zCxcaso1 = [email protected] - 0.385LD � [email protected]^2DLzCxcaso2 = [email protected] - 0.385LD � [email protected]^2DL14.

59.

Tutti i valori trovati per l'acciaio risultano �� 1.98 e quindi non sono compatibili. Probabilmente questo risultato negativo èdovuto alla sottostima degli errori sperimentali e ,in particolare, alla presenza di errori sistematici (agitatore? altro?)

Una fonte di errore sistematico potrebbe essere l'energia dissipata sotto forma ci calore nel vaso calorimetrico dall'agitatore.Valutiamo l'entità di questo effetto.Supponendo che tutto il lavoro compiuto dal motorino da 3 W di potenza dell'agitatore venga totalmente trasformato incalore, poichè L = Pt in un minuto (cioè per t = 60 s ) si trova che L = DQ = 41,4 cal. Indicando con C = (Me+Macqua) cacqua la

capacità termica del calorimetro si ha che la variazione di temperatura DT = DQ/C in un minuto dovuta al calorimetro è neidue casi:

C1 = H125 + 2564.0L Ca;

C2 = H250 + 2502.4L Ca;

DT1 = 41.4 � C1

DT2 = 41.4 � C2

0.00367799

0.00359327

DT1 = 0.004 °C nel primo caso e DT2 = 0.004 °C nel secondo. Queste differenze di temperatura per la loro piccola entità nonbastano a giustificare le discrepanze riscontrate tra i valori trovati e quelli attesi per il calore specifico del rame. Questo ciportana a ritenere che gli errori sistematici evidenziati nel corso dell'analisi dati debbano essere imputati ad altri effetti oltreche a quello dell'agitatore.

Sintesi dei risultai

Si è trovata la massa equivalente del calorimetro per entrambi i set di dati raccolti nelle due ripetizioni dell' esperienza.Grazie a questa è stato possibile determinare il calore specifico della spirale di rame. I valori trovati nelle due ripetizionipresentano una certa discrepanza tra loro ed entrambi non possono essere considerati compatibili, con una significatività del5%, con il valore di riferimento del calore specifico del rame. Il fatto che la discrepanza tra il valore di riferimento e irisultati ottenuti sia minore nel caso della prima ripetizione che nella seconda e che la stessa situazione si verifichi riguardoalla discrepanza tra il valore ottenuto sperimentalmente per la massa equivalente del calorimetro e quello calcolato a priori,porta a pensare che la prima serie di dati sia la più "corretta" cioè meno affetta da errori sistematici.


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Calorimetro Delle Mescolanze