-
8/19/2019 calucol
1/21
11) ∫ cosx dx
senx2−4 →
u2=sen2 x u=senxdu=cosxdx
a2=4a=2
∫ duu2−a2
= 1
2u ln (u−au+a )+c ¿ 12(2) ln(
senx−2senx+2 )+c
¿ 1
4 ln ( senx−2senx+2 )+c
12) ∫ sec
2 x dx
9tan2 x−25 → u
2
=9tan2
x u=3 tanx du=sec2
x dx
a2=25a=5
1
3∫ du
u2−a2
=1
3. 1
2u ln ( u−au+a )+c ¿ 13 .
1
2(5)ln(3 tanx−53 tanx+2 )+c
¿ 1
30 ln ( 3 tanx−53 tanx+5 )+c
13) ∫ cosx dx
senx2−4 →
u2=sen2 xu=senx du=cosxdx
a2=4a=2
∫ du
u2−a2=
1
2u ln (u−au+a )+
c ¿ 1
2(2) ln(senx−2senx+2 )+
c
¿ 1
4 ln ( senx−2senx+2 )+c
-
8/19/2019 calucol
2/21
14) ∫ x
4dx
4 x4−9 →
u2=4 x4 xu=2 x2 du=4 x dx
du
4 = x dx
a2=9a=3
1
4∫ du
u2−a2
=1
4 .
1
2(3)ln(2 x
2−32 x
2+3 )+c ¿ 1
24 ln(2 x
2−32 x
2+3 )+c
15) ∫ x dx
9 x4−2 →
u2=9 x4 u=3 x2du=6 xdx
du
6 = xdx
a2
=2a=√ 2
1
6∫ du
u2−a2
=1
6 .
1
2(√ 2)ln(3 x
2−√ 23 x
2+√ 2 )+c ¿ √ 224
ln(3 x2−√ 2
3 x2+√ 2 )+c
16) ∫2 x (cosx+senx)dx
x4sen
2 x−4 → u
2
= x4
sen2
x u= x2
senx
du
2 =2 x(cosx+senx)dx
a2=4a=2
∫ duu2−4
= 1
2(2)ln( x
2senx−2
x2senx+2 )+c
17) ∫ cosx dx
4 sen2 x−3 →
u2=4 sen2 x u=2 senx
du
2 =cosxdx
a2=9a=3
-
8/19/2019 calucol
3/21
1
2∫ du
u2−a2
=1
2. 1
2(√ 3)ln(2 senx−√ 32 senx+√ 3 )+c
¿ √
3
12 ln(2senx−√ 32 senx+√ 3 )+c
18) ∫ 3 senx dx
9cos2 x−25 →
u2=9cos2 x u=3cosx−du=3 senx dx
a2=25a=5
−∫ duu2−a2
= −12(5)
ln ( 3cosx−53cosx+5 )+c ¿ 110 ln (
3cosx−53cosx+5 )+c
Integrales con Formulas Logarítmicas
19) ∫ sec
2 xdx
4 tan2 x−5 →
u2=4 tan2 xu=2 tanx
du
2 =sec2 xdx
a2=5a=√ 5
1
2∫ du
u2−a2
=1
2. 1
2a ln ( u−au+a )+c ¿ 12 .
12√ 5 ln(
2 tanx−√ 52 tanx+√ 5 )+c
¿ √ 5
20 ln(2tanx−√ 52 tanx+√ 5 )+c
20)
xsec
(¿¿ 2 x+tanx)dx
4 x2tan
2 x−9
∫¿ →
xsec
(¿¿ 2 x+tanx)dxu2= x2 tan2 xu= x tanx
du=¿
a2=9a=3
-
8/19/2019 calucol
4/21
∫ duu2−a2
= 1
2a ln ( u−au+a )+c ¿ 12(3) ln(
x tanx−3 x tanx+3 )+c ¿ 16 ln
( x tanx−3 x tanx+3 )+c
21) ∫ xdx
4− x4 →u2= x4 u= x2du=2 x dx
du
2 = x dx
a2=4a=2
1
2∫ du
u2−a2
=1
2. 1
2a ln ( a+ua−u )+c ¿ 12
1
2(2)ln( 2+ x
2
2− x2 )+c ¿1
8 ln ( 2+ x
2
2− x2 )+c
22) ∫ cosx dx
9−sen2 x →u2=sen2 xu=senx du=cosxdx
a2=9a=3
∫ dua2−u2
= 1
2a ln ( a+ua−u )+c ¿ 12(3) ln(
3+senx3−senx )+c ¿
1
6 ln ( 3+senx3−senx )+c
23) ∫ x dx
5−9 x4 →u2=9 x4 u=3 x2du=6 xdx
du
6 = xdx
a2=5a=√ 5
1
6∫ du
a
2
−u2=
1
2. 1
2
(a)
ln
(
a+ua
−u
)+c ¿
√ 560
ln
(√ 5+3 x
2
√ 5−3 x2
)+c
24) ∫ xdx
3−4 x4 →u2=4 x4 u=2 x2du=4 xdx
du
4 = xdx
-
8/19/2019 calucol
5/21
a2=5a=√ 5
1
4∫ du
a2−u2
=1
4 . 1
2√ 3ln( √ 3+2 x
2
√ 3−2 x2 )+c ¿ √ 324 ln(
√ 3+2 x
2
√ 3−2 x2 )+c
25) ∫ senx dx
9−36cos2 x →u2=36cos2 x u=6cos2−
du
6 =senx dx
a2=9a=3
−1
6
∫ dua2
−u2=−1
6
. 1
2(3) ln
( 3+u
3−u )+c
¿ 1
36
ln (3 (1+2cosx )
3 (1−2cosx ))+c
26) ∫ dx
√ x2−49=ln ( x+√ x2−49 )+c
27) ∫ dx
√ 9 x2−36 → u
2=9 x2 u=3du
3 =dx
a2=36a=6
1
3∫ du
u2−a2
=1
3 ln (u+√ u2−a2 )+c ¿
1
3 ln (3 x+√ 9 x2−36)+c
28) ∫ xdx
√ 4 x
9
−49 →
u2=4 x2 u= 2 x
2 du
4 = xdx
a2=49a=7
1
4∫ du
√ u2−a2=
1
4 ln (u+√ u2−a2 )+c
¿ 1
4 ln (2 x2+√ 4 x4−49)+c
-
8/19/2019 calucol
6/21
29) ∫ cosxdx
√ 9 sen2 x−4 →
u2=9 sen2 x u=3sen
du3 =cosxdx
a2=4a=2
1
3∫ du
√ u2−a2=
1
43 ln (u+√ u2−a2)+c
¿1
3 ln (3 senx+√ 9 sen2 x−4)+c
30) ∫ senxdx
√ 4co s2 x−9 → u
2=4co s2 x u=2cos
−du2 =senxdx
a2=9a=3
−12 ∫
du
√ u2−a2=
−12 ln (u+√ u
2
−a2
)+c ¿−1
2 ln (2cosx+√ 4 co s
2
x−9)+ c
31) ∫√ 4 x2+25 ! → u
2=4 x2 u=2du
2 =dx
a2=25a=5
1
2∫ √ u2−a2 du=1
2. 1
2u√ u2+a2+
1
2 a
2ln (u+√ u2−a2 )+c
¿ 1
4 (2 x )√ 4 x
2−25+1
2(25) ln (2 x+√ 4 x2+25 )+c
-
8/19/2019 calucol
7/21
¿1
2 x √ 4 x2−25+
25
2 ln (2 x+√ 4 x2+25 )+c
32) ∫√ sen2 x+9 . cosxdx → u
2=sen2 x u=senx
du=co sxdx
a2=9a=3
∫¿√ u2+a2 . du ¿1
2 u√ u2+a2+
1
2 a
2ln (u+√ u2+a2 )+c
¿1
2 senx√ sen2 x+9+
1
29 ln (senx+√ sen2 x+9)+c
¿1
2 senx √ sen2 x+9+
9
2 ln (senx+√ sen2 x+9 )+c
33) ∫√ x4+25 . xdx
1
2∫ ¿√ u2+a2. du
¿ 12 .[
1
2u√ u2+a2+ 1
2a
2ln (u+√ u2+a2 )]+c
¿ 1
4 x
2√ x 4+25+1
4 25ln ( x2+√ x4+25 )+c
¿ 1
4 x
2√ x 4+25+25
4 ln ( x2+√ x4+25)+c
34) ∫√ 9 x4−16 . xdx → u
2=9 x4 u=3 x2
du
6 = xdx
-
8/19/2019 calucol
8/21
a2=16a=4
1
6∫¿√ u2−a2 .du ¿
1
6 .[12 √ u2−a2−12 a2 ln (u+√ u2−a2) ]+c
¿ 1
123 x
2√ 9 x4−6−1
2.16 ln(3 x2+√ 9 x4−16 )+c
¿ 1
24 x
2√ sen2 x−6+8 ln (3 x2+√ 9 x4−16)+c
35) ∫√ cos
2 x−9 . sen xdx
→ u
2=cos2 x
u=cosx
−du=sen xdx
a2=9a=3
−∫¿√ u2−a2. du ¿−[12 u√ u2−a2−12 a2 ln
(u+√ u2−a2 )]+c
¿−1
2 [(cosx)√ cos
2
x−9−1
29 ln (cosx+√ cos
2
x−9 ) ]+c
¿−1
2 cosx√ cos2 x−9+
9
2 ln (cosx+√ cos2 x−9)+c
36) ∫√ 3 x4−4 . xdx → u
2=3 x4 u=√ 3 x2
du
2√ 3= xdx
a2=4a=2
-
8/19/2019 calucol
9/21
1
2√ 3∫¿√ u2−a2 . du ¿
1
2√ 3.[ 12 u√ u2−a2−12 a2 ln (u+√ u2−a2
)]+c
¿ 1
4
√ 3
.√ 3 x2
√ 3 x4−4−
√ 3. a2
4 .3ln (√ 3 x2+√ 3 x4−4 )+c
¿ x
2
4 √ 3 x4−4−
√ 3
3 ln (√ 3 x2+√ 3 x 4−4 )+c
37) ∫√ 25 x2−9 . dx → u
2=25 x2 u=5 x
du
5 =dx
a2=9a=3
1
5∫ ¿√ u2−a2 . du ¿
1
5 .1
2u√ u2−a2−
1
5.1
2 a
2ln (u+√ u2−a2 )+c
¿ 1
10 .5 x √ 25 x2−9−
1
10.5ln (5 x+√ 25 x2−9 )+c
¿1
2 x √ 25 x2−9−
5
10 ln (5 x+√ 25 x2−9)+c
38)∫ dx
x(2
3 x+2)
¿1
2 ln|
x
2
3 x+2|+c ¿ 12 ln|
3 x2 x+6|+c
39)∫ dx
x(3
5 x+
1
2)
¿ 1
1
2
ln| x
3
5 x+
1
2|+c ¿2 ln| 10 x6 x+5|+c
-
8/19/2019 calucol
10/21
40)∫ dx
x(3 x+3
4)
¿ 1
3
4
ln| x
3 x+3
4|+c ¿ 43 ln|
4 x12 x+3|+c
Integrales !e "unciones #i$er%&licas'
1) ∫ senh3 x dx → u=3 x du
3 =dx
= 13∫ senhudu ¿ 13 cosh+c ¿
13 cosh3 x+c
2) ∫ senh( x−2)dx → u= x−2 du=dx
= ∫ senhu du ¿coshu+c ¿cosh
( x−2)+c
3) ∫cos4 x dx → u=4 x du
4 =dx
=1
4∫ cosu du ¿
1
4 senhu+c ¿
1
4 senh (4 x )+c
4) ∫cosh (2 x+1)dx → u=2 x+1 du2
=dx
=1
2∫ cosh(u)du ¿
1
2 senh (2 x+1)+c
-
8/19/2019 calucol
11/21
5) ∫cosh(3 x−1)dx → u=3 x−1 du
3 =dx
=1
3∫ coshudu ¿
1
3 senhu+c ¿
1
3 senh(3 x−1)+ c
6) ∫ xsenh( x2+3)dx → u= x
2+3du
2 = x dx
=1
2∫ senhudu ¿
1
2 coshu+c ¿
1
2 cosh ( x2+3)+ c
7)
5 x
xsenh(¿¿2+3)dx
∫¿→ u=5 x
2+3du
10= x dx
=1
10∫ senhudu ¿
1
10 coshu+c
5 x
(¿¿ 2+3)+c
¿ 1
10cosh ¿
8)
x
x2senh(¿¿ 3+2)dx
∫¿→ u= x
3+2du
3 = x2dx
=1
3∫ senhudu ¿
1
3 cosh ( x3+2)+c
9)
x
x2cosh(¿¿ 3−1)dx
∫¿→ u= x
3−1du
3 = x2dx
-
8/19/2019 calucol
12/21
=1
3∫ coshudu ¿
1
3 senh u+c ¿
1
3 senh ( x3−1)+c
10)
e
e x
senh(¿¿ x+1)dx
∫¿→ u=e
x+1 du=e x dx
= ∫ senhu du u
(¿)+c¿cosh¿
¿co sh (e x+1)+c
11)
e
e3 x
senh(¿¿ 3 x+2)dx
∫¿→ u=e
3 x+2du
3 =e3 x dx
=1
3∫ senh(u)du
u
(¿)+c
¿1
3 cosh¿
¿1
3 co sh (e3 x+2)+c
12)
x
xsec2h (¿¿ 2+1)dx
∫¿→ u= x
2+1du
2 = x dx
=1
2∫ sec2 hudu
u
(¿)+c
¿1
2 tanh ¿
x
(¿¿ 2+1)+c
¿1
2 tanh ¿
13) ∫ senh5( x+1)cosh ( x+1)dx →
u=senh( x+1) du=cosh ( x+1)dx
-
8/19/2019 calucol
13/21
-
8/19/2019 calucol
14/21
= ∫cosh u du u
(¿)+ c¿ senh¿
¿senh e x+c
18)
e
e xcosh (¿¿ x+2)dx
∫¿→ u=e
x+2 du=e x dx
= ∫cosh(u)du u
(¿)+ c¿ senh¿
¿senh (e x+2)+c
19) ∫cosh√ 3 x
√ 3 xdx → u=√ 3 x
du=
3
2√ 3 xdx
2
3 du=
1
√ 3 xdx
=
2
3
∫ cosh (u)du
u
(¿)+c
¿ 23
senh¿
¿2
3
senh √ 3 x+c
20) ∫senh√ 5 x
√ 5 xdx → u=√ 5 x
du=
5
2√ 5 xdx
2
53 du=
1
√ 5 xdx
=2
5∫ senh(u)du ¿
2
5 cosh √ 5 x+c
-
8/19/2019 calucol
15/21
21) ∫ x
2
csch ( x3+2)dx ∫ x
2senh( x3+2)dx → u= x
3+2
du=3 x2dxdu
3 = x2dx
=1
3∫ senh (u)du
u
(¿)+c
¿1
3cosh¿
x
(¿¿ 3+2)+c
¿ 1
3cos h ¿
22) ∫ x
sech ( x2−3)dx
∫ xcosh( x2−3)dx → u= x
2−3 du=2 xdx
du
2 = xdx
=1
2∫ cosh(u)du
u
(¿)+c
¿1
2 senh¿
x
(¿¿ 2−3)+c
¿ 1
2 senh ¿
23) ∫ sec h2 ( x+3 ) dx → u= x+3
du=dx
∫ sec h2u du
u
(¿)+c¿ tanh¿
x+3(¿)+c¿ tanh¿
24) ∫csc h2 ( x+5 ) dx → u= x+5
du=dx
∫csc h2u du
u
(¿)+c¿−cotanh¿
x+5(¿)+c
¿−cotanh¿
-
8/19/2019 calucol
16/21
25)(2 x+3 ) senh(¿ x2+3 x−2)dx
∫ ¿ → u= x2+3 x−2 du=(2 x+3)dx
∫ senh2udu
u
(¿)+c¿cosh¿
¿cosh x2+3 x−2¿+c
26)
3
(¿ x2+1)sech2( x3+ x−2)dx
∫¿→ u= x
3+ x−2 du=(3 x2+1)dx
∫ sec h2u du
u
(¿)+c¿ tanh¿
x3+ x−2(¿)+c¿ tanh¿
am%ios !e *aria%les
1) ∫ 12m x
2−6 h
√ 2m x3−3hxdx → u=2a x
3−3bxdu=6m x2−3h
-
8/19/2019 calucol
17/21
∫2(6m x2−3h)
√ 2m x3−3hxdx
¿2∫ du√ u
¿2u
1
2
1
2
+c ¿4 (2m x
3−3hx )1
2+c
2) ∫ xsenx
senx− xcosx−1 dx u=senx−cosx−1
du={cosx−[ x (−sen )+cosx ] 0}dx
du=(cosx+ xsenx−cosx ) dx du= xsenx
dx
¿∫du
u =lnu+c ¿ ln (senx− xcosx−1 )+c
3)
a+ x2
1+√ ¿¿¿
x2+√ a+ x2+a
xln¿¿∫¿
→
a+ x2
1+√ ¿¿
a+ x2
1+√ ¿¿
a+ x2
√ ¿¿¿
u=ln ¿
du= x
x2+√ a+ x
2+adx
¿∫ u.du ¿u
2
2 +c
a+ x2
1+√ ¿ln ¿¿¿
¿ 1
2¿
-
8/19/2019 calucol
18/21
4) ∫ dx
(a+ x2 ) ln ( x+√ a+ x2)dx u=ln
( x+√ a+ x2)
du= 1
x+√ a+ x2.(1+
x
√ a+ x2)dx
du= (√ a+ x2+ x)
( x+√ a+ x2) .√ a+ x2dx
du= 1
√ a+ x2
dx
x+√ a+ x2
dx
√ a+ x2 .√ ln (¿)¿∫¿
¿∫ du√ u
=u
1
2
1
2
+c
a+ x2
x+√ ¿¿
ln ¿¿2√ ¿
5) ∫ ln ( secx ) .tanxdx u= ln (secx)
du= 1
secx . secx. tanxdx
du=tanxdx
¿∫ u.du=u2
2 + c ¿
1
2 ln
2secx+c
6) ∫ln (tanx ) .sec2 xdx
tanx =sec
2 xln(tanx )tanx
dx u=ln (tanx)
u= 1
tanx sec
2 x dx
¿∫ u.du=u2
2 + c ¿1
2 ln
2
(tanx)+c
-
8/19/2019 calucol
19/21
7) ∫ tanx .√ lncosx dx u=ln cosx
du= 1
cosx(−senx)dx
du=−tanx dx
−∫ √ u.du=−u
32
3
2
+c ¿−
2
3 ( lncos x )√ lncosx+c
8) ∫3
√ ln(senx)cotanxdx=∫ cotanx 3√ ln(senx)dx
u=ln senx du= 1senx
cosx dx
du=cotanxdx
∫ 3√ u.du=u
4
3
4
3
+c ¿ 3
4 ( lnsenx ) 3√ lnsenx+c
9) ∫3
√ 3+ ln 2 x x
dx u=3+ ln 2 x du=1
x dx
∫ 3√ u.du=u
4
3
4
3
+c ¿ 3
4 (3+ln 2 x ) 3√ 3+ln 2 x+c
10) ∫ b x
2
a+b x3 dx u=a+b x3 du=3b x2 dx
du
3 =b x2dx
1
3∫ du
√ u=
1
3
u
1
2
1
2
+c ¿
2
3(a+b x3)
1
2+c ¿2
3 √ a+b x3+c
-
8/19/2019 calucol
20/21
11) ∫ x+ tan−1(3 x)
1+9 x2 dx ¿∫ x
1+9 x2 dx+∫ arctan(3 x )
1+9 x2 dx
u=1+9 x2
du=3dx du=18 xdx du
18= xdx
du
u +∫u∗du=1
3∗¿
u2
2 +c
1
18∫¿
¿ 1
18 (1+9 x2)+ 1
6 arctan
2 (3 x )+c
u=acrtan(3 x ) du=
1
1+9 x2 .3
du
3 =
1
1+9 x2 dx
¿ 1
18 lnu+
1
6 arctan
2 (3 x )+c ¿ 1
18 ln (1+9 x2)+1
6 arctan
2 (3 x )+c
12) ∫4 x+arcsen(2 x )
√ 1−4 x2
dx ∫
4 x
√ 1−4 x2
dx+∫ arcsen(2 x)√ 1−4 x
2dx
u=acrsen(2 x ) du= 2
√ 1−4 x2dx
du
2 =
dx
√ 1−4 x2
u=1−4 x2
−du=8 xdx −du
2 =4 xdx
¿−
1
2∫ du
√ u+1
2∫u.du ¿− 1
2u
1
2+1
2. u
2
2 +c
-
8/19/2019 calucol
21/21
¿−1
2 √ 1−4 x2+
1
4 [acrsen(2 x )]
2
+c
