camada limite

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fenomenos transporte-Aula6

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  • 1IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

    MULTLAB UNICAMP

    LEI DE PAREDE TRMICALEI DE PAREDE TRMICA

    T T LAWLAW((veja veja KaysKays andand CrawfordCrawford))

    IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

    MULTLAB UNICAMP

    AnalogiaAnalogia MomentoMomento & & CalorCalor ((escalasescalas caractersticascaractersticas) ) Considerando um escoamento externo, regime laminar, com transferncia de

    calor, sem gradiente de presso, duas camadas limites se desenvolvem a partir de x =0,

    yT

    yTv

    xTu

    yu

    yuv

    xuu

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    =

    +

    ht

    U

    ww

    w

    TTTT & Uuy0TT & 0u 0y

    =====

    condies de contorno

    L

    Camada limitehidrodinmica

    Camadalimite

    trmica

    Se = , ambas equaes & condies de contorno so similares, e portanto apresentam a mesma soluo!

    Eq. C.L., dp/dx=0

  • 2IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

    MULTLAB UNICAMP

    GruposGrupos AdimensionaisAdimensionais & & DefiniesDefinies

    Coeficiente de atrito de Fanno Cf

    Reynolds, ReL

    Nusselt, NuL

    Prandtl, Pr

    Stanton, StL

    2w

    f U5.0C

    =

    = LUReL

    ( ) kTTLq

    kLhNu

    w

    wL

    ==

    &&

    kC

    Pr p=

    =

    == UC

    hPrRe

    NuStp

    L

    L

    LL

    IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

    MULTLAB UNICAMP

    ValoresValores tpicostpicos do n. de do n. de PrandtlPrandtl

    2000.0074Sdio Na (liq)

    500.021Mercrio Hg (liq)

    30 & 1 atm0.908Amnia (gs)

    30 & 1 atm0.703H2

    30 & 1 atm0.768CO2

    30 & 1 atm0.711Ar

    452130leo motor

    201.47Amnia (liq)

    206.99gua (liq)

    TEMP (oC)PRANDTLFLUIDO

    Lq

    uido

    sG

    ases

    Met

    al

    Lq.

  • 3IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

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    EscalasEscalas parapara EspessurasEspessuras TrmicaTrmica e e HidrodinmicaHidrodinmica

    2tT

    tTv,

    LTu

    As equaes da C.L. trmica representam um balano entre os termos convectivos e difusivos expresso na forma de escalas por:

    Para t > h, mas v U(h/L) ento,uT/L >> vT/L, logo

    U

    T

    ht

    21

    L2 Prt

    hPrRe

    1Lt

    tT

    LTU

    Para t < h, mas u U(t/h) U

    Th

    t31

    3121L

    2 Prth

    PrRe1

    Lt

    tT

    LT

    htU

    Tw

    Tw

    IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

    MULTLAB UNICAMP

    EfeitoEfeito do n. do n. PrandtlPrandtl nasnas CamadasCamadas LimitesLimites

    h t

    T, U

    ht

    T, U

    ht

    T, U

    Pr > 1 (lquidos);h > t

    Pr = 1 h = t

    Pr < 1 (gases e matais lquidos) h < t

  • 4IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

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    AnalogiaAnalogia de Reynolds Regime Laminarde Reynolds Regime Laminar

    A tenso e o fluxo de calor na parede podem ser estimados por:

    hLReC

    hU

    Lfw

    tLuN

    tTTkq Lww

    &&

    y U

    Tw

    th

    T

    A razo entre as espessuras das C.L. hidrulica e trmica dada por:

    1Pr se

    PrCStou ReC

    Nuth 21

    ff

    IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

    MULTLAB UNICAMP

    AnalogiaAnalogia de Reynolds Regime Laminarde Reynolds Regime Laminar

    Ela relaciona parmetros relevantes em aplicaes como: velocidade e transferncia de calor.

    Conhecendo-se Cf pode-se determinar St ou vice-versa. Restries: escoamentos sem gradiente de presso,

    dP/dx 0

    60Pr0.6 jPr2

    CSt t32f

  • 5IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

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    AnalogiaAnalogia de Reynolds de Reynolds parapara Regime Regime TurbulentoTurbulento, Pr >1, Pr >1

    Considere o atrito e fluxo de calor na parede na regio da subcamada laminar, y+ < 5

    Nesta regio, atrito e calor so governados por processos difusivos:

    U

    UhLReC

    hU SLC

    SCLLf

    SCL

    SCLw

    TT

    TTtLuN

    tTTkq

    W

    SLCW

    SCLL

    SCL

    SLCWw&&

    y+=5 USCL

    Tw

    th

    TSCL

    Onde SLC refere-se a sub-camada laminar, h e t as espessuras das SLC hidrodinmica e trmica,

    e h definido como q = h (TW - T )

    IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

    MULTLAB UNICAMP

    AnalogiaAnalogia de Reynolds de Reynolds parapara Regime Regime TurbulentoTurbulento, Pr >1, Pr >1

    Combinando atrito e calor encontra-se que:

    {

    Pr2

    CStReC5.0

    NuUU

    TTTT

    th 32-f

    f

    1

    SCLw

    SCLw

    Pr 31

    =

    444 3444 21

    A analogia entre calor e atrito para escoamentos turbulentos tem grandes aplicaes porque ela no se aplica somente a placas planas!

    Ela pode ser aplicada para variados tipos de escoamentos turbulentos e portanto tem uma ampla aplicabilidade prtica.

    A relao St = Cf/2 * Pr -2/3 foi verificada para corpos com gradientes de presso suaves. (veja Schilichting)

    A relao vlida tanto para medidas locais como para medidas mdias de St, Cf e Nu.

  • 6IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

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    Relao entre as Temperaturas e VelocidadesRelao entre as Temperaturas e Velocidades O fato da razo entre temperaturas e velocidades ser de

    ordem unitria permite estender a analogia de Reynolds para escoamentos turbulentos.

    Considerando que a sub-camada laminar, SCL, equivale a distncia y+ = 5, pode-se mostrar que a razo:

    Onde T+ a temperatura expressa em termos das coordenadas internas a ser apresentada mais a frente.

    y+= representa a borda da camada limite. Este valor depender do Re do escoamento e certamente o valor de u+ e t+ estaro sujeitos a ocorrncia de esteira (wake)

    ( )( ) ( )( ) ( )( )

    1 yT

    yUPr5yU

    yUyT

    5yT UU

    TTTT

    SCLw

    SCLw ===

    ===

    ++++

    ++++

    ++++

    IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

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    ComentriosComentrios a a cercacerca do do DesenvolvimentoDesenvolvimento dada AnalogiaAnalogia

    Para fluidos com Pr muito elevado, Pr > 100, t > h, porm os processos de transferncia de calor turbulenta ficam restritos somente dentro da camada limite turbulenta que por sua vez fora a camada limite trmica a ter o mesmo tamanho! Isto causa uma modificao nas escalas invalidando a analogia de Reynolds.

  • 7IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

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    EscalaEscala InternaInterna parapara TemperaturaTemperatura, t, t** e te t++

    A escala prpria para a flutuao de velocidade dada pela velocidade de atrito , v* = (w/)(1/2) u2 v2

    De forma anloga busca-se uma escala para a temperatura. Foi visto que o fluxo de calor turbulento expresso por:

    'p

    '' t'vCq =& Pode-se definir uma temperatura de referncia, t* friction

    temperature,

    *p

    ''w*'

    p''

    vCq

    t t'vCq ==&&

    onde qw o fluxo de calor na parede, (W/m2). A temperatura, em termos das variveis internas passa a ser:

    *tTt =+

    IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

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    SubSub--Camada Laminar Camada Laminar InnerInner LawLaw, , yy++PrPr < 5< 5

    Sub-Camada Laminar - muito prximo da parede a turbulncia amortecida e o escoamento dominado pela difuso molecular ( e k). Isto vale para distncias muito prximas da parede, y+ < 5. Sub-Camada Laminar fluxo de calor constante e devido somente a conduo molecular, k:

    ++ == yPrt y

    TTkq w''w&

    Pr e

    Ck ;

    uyy ;

    uCq

    t;t

    TT t

    p

    *

    *p

    ''w*

    *w ===== ++ &

    onde:

    observa-se tambm na sub-camada laminar que:

    Prut =+

    +

  • 8IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

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    RegioRegio LogartmicaLogartmica TrmicaTrmica

    Regio afastada da parede de modo que os efeitos de difuso molecular sejam desprezveis.

    Porm suficientemente prxima da parede de modo que os efeitos inerciais do escoamento (acelerao de velocidades ou gradientes de presso) no sejam dominantes.

    Isto faz que nesta regio o fluxo de calor por difuso seja muito menor que por turbulncia.

    Alm disto, q constante.

    IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

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    RegioRegio LogartmicaLogartmica -- TrmicaTrmica

    Considera-se que a temperatura relativa a parede, (T-Tw) depende somente de:

    w , a tenso na parede (N/m2); qw, fluxo de calor na parede (W/m2); y, distncia da superfcie (m); , e k; densidade, viscosidade e condutividade trmicaDa anlise dimensional:

    {

    ==

    +

    +

    321

    &321

    Bq

    w

    ''w

    Pry

    T*w

    *vq

    ;kCp,*vyft

    tTT

    onde Bq representa a razo entre o fluxo de calor e trabalho de atrito (dissipao de energia): para baixas velocidades Bq 0

  • 9IM 450 Modelagem em Turbulncia - Prof. Eugnio Span Rosa FEM/DE UNICAMP

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