1

Campo gravitatorio 1ª Ley Kepler: Cada planeta en su movimiento alrededor del Sol describe una órbita elíptica plana en uno de cuyos focos está el Sol. Las fuerzas que gobiernan el movimiento planetario son fuerzas centrales, es decir Fyr

rr tienen la misma dirección

CTEL =r ( L

res CTE en módulo, dirección y sentido) órbita plana

Como Frrr || 00 =×= FrM

rrr CTEL

dtLdMM =⇒==⇒=

rr

r00 00

2ª Ley Kepler: la velocidad areolar es constante CTEmL

dtdAvareolar ===

2

Momento angular prL rrr

×= αα senvmrsenprL ..... == si pr rr⊥ 190 == sensenα

vmrL ..= CTELcomo = ppaa vrvr .. = vperihelio > vafelio

3ª Ley Kepler: CTETr

Tr

== 22

32

21

31 cg FF = 2

22

222

2

.4.......T

rmrmr

rmrvm

rmMGFg

πωω=====

2

2

2

.4..T

rmr

mMG π= CTE

TrMG

== 2

3

24.π

CTETr

Tr

== 22

32

21

31 (3ª Ley de Kepler)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Otras ecuaciones de un movimiento circular: T

rv .2π=

rvan

2

=

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Intensidad del campo gravitatorio

20T

T

RMGg = 2

0 .. TT RgMG = (Usamos esta expresión cuando no nos dan como datos G y MT)

2rMGg T= o para otro planeta de masa m 2r

mGg =

Variación de g con la altura h 2

2

2

2

0 .rR

RM

G

rM

G

gg T

T

T

T

== 2

2

0 )( hRR

gg

T

T

+=

Variación de g con la profundidad 2

2

2

2

0 ..

rMRm

RMG

rmG

gg

T

T

T

T==

3

3

.34.

.34.

TTT RVM

rVm

πρ

πρ

==

==

Trabajo, Energía potencial y Potencial gravitatorio

rmMGW .

= rmMGE p.

−= pEW ∆−= rMG

mE

V p .−==

m

MT

r RT

h

PerihelioAfelio Area 1 Area 2

2ª Ley: Áreas barridas en tiempos iguales son iguales

2

Energía y órbitas

rmMGvmEEE pcm..

21 2 −=+=

Si Em < 0 , el cuerpo está ligado al campo gravitatorio y permanece en órbita circular o elíptica Si Em = 0 el cuerpo no está ligado al campo gravitatorio y escapa de la órbita, describiendo una parábola Si Em > 0 el cuerpo no está ligado al campo gravitatorio y escapa de la órbita, describiendo una hipérbola

Em < 0 El cuerpo de masa m permanece en órbita cg FF = rvm

rmMG

2

2

..=

rMGv .

=

rmMG

rmMG

rMGm

rmMGvmEEE pcm 2

....21..

21

2

2 −=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=+=

Em=0 El cuerpo no está ligado al campo gravitatorio y escapa de la órbita

0=+= pcm EEE 0..21 2 =−

rmMGvm escape

rMGvescape..2

=

Aplicación principio de conservación de la energía:

• Trabajo para poner en órbita un satélite que se encuentra en la superficie, o energía necesaria a comunicarle:

órbitapcerficiepm EEEWE )()( sup +=+= rmM

Gr

mMGvm

RmM

GW TT

T

T

2..

.21. 2 −=−=−

20.

21 vmW = velocidad de lanzamiento

• Trabajo para pasar de una órbita a otra un satélite, o energía necesaria a comunicarle:

21 )()( órbitapcórbitapcm EEEEWE +=++=

• Trabajo que hay que realizar para que un cuerpo alcance una altura h, o energía necesaria a comunicarle: rperficiepm EEWE )()( sup =+= r = RT+h

• Trabajo que hay que realizar para sacar un cuerpo del campo gravitatorio, o energía necesaria a comunicarle:

- Desde la superficie 0)( sup =+= erficiepm EWE

- Desde una órbita determinada 0)( =++= órbitapcm EEWE Órbitas elípticas

Una órbita elíptica no se puede tratar como una órbita circular, pues tenemos rafelio (ra) y rperihelio (rp). Ahora bien,

podemos hallar la distancia media 2

pa rra

+= y aplicar la 3ª ley de Kepler, bien

22

3

4πGM

Ta

= o si lo comparamos

con otra órbita de radio R que sea circular, por ejemplo 2

3

2

3

TR

Ta

= .

Podemos aplicar la conservación del momento angular vmrL ..= CTELcomo = ppaa vrvr .. =

Em de una órbita elíptica p

pa

am rmMGmv

rmMGmvE .

21.

21 22 −=−= o bien

amMGEm .2.

−=

3

Campo eléctrico

Ley de Coulomb 2

.r

qQKF = Constantes: 2

29 .10.9

CmNK = Como

041πε

=K 2

212

0 .10.85,8

mNC−=ε

Principio de superposición ∑= iFFrr

Si en un medio determinado existen más de dos cargas puntuales, la fuerza que actúa sobre cada una de las cargas, es igual a la suma vectorial de las fuerzas que ejercen sobre ella cada una de las cargas restantes.

21 FFFrrr

+= Cálculo de módulos:

21

11

.r

qQKF =

22

22

.r

qQKF =

iFFrr.11 =

yx FFF 222

rrr+= jsenFiFF

rrr...cos. 222 αα +−=

jsenFiFiFFrrrr

...cos.. 221 αα +−=

Campo eléctrico Se dice que existe un campo eléctrico en una región del espacio, si una carga de prueba q colocada en un punto de esa región experimenta una fuerzas eléctrica. Intensidad del campo eléctrico en un punto del campo Es la fuerza que actúa sobre la carga que se introduce en dicho punto del campo.

qFEr

r= u

qFE rr

= ó urQKE rr

2= Unidad de Er

N/C ó V/m

Q = carga creadora de campo eléctrico q = carga que se introduce en el campo

Principio de superposición ∑= iEErr

Si en un medio determinado dos o más cargas puntuales Q1, Q2,…, la intensidad del campo creado por dichas cargas en un punto es igual a la suma vectorial de las intensidades de los campos creados por cada una de las cargas en ese punto.

21 EEErrr

+= Cálculo de módulos:

21

11 r

QKE =

22

22 r

QKE =

yx EEE 111

rrr+= jsenEiEE

rrr...cos. 111 αα +=

iEErr.22 =

jsenEiEiEErrrr

....cos. 121 αα ++=

4

Potencial eléctrico en un punto de un campo eléctrico es la energía potencial eléctrica que posee la unidad de carga

positiva situada en ese punto. q

EV p= ó bien

rKQV = V Voltio

Potencial en un punto debido a varias cargas ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++== ∑ ...

2

2

1

1

rQ

rQ

KVV iA

Trabajo eléctrico Es el trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando una carga de prueba se traslada desde un punto a otro del campo eléctrico. El trabajo no depende de la trayectoria seguida por la carga, sino de sus posiciones inicial y final, por lo que el campo eléctrico es conservativo. En consecuencia, el trabajo es igual a la disminución de energía potencial que experimenta la carga al trasladarse desde un punto A hasta un punto B.

r

qQKE p..

= ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−−=∆−=

BAppppp rr

qQKEEEEEWBAAB

11... ( )BA VVqW −= .

Campo eléctrico uniforme Un campo eléctrico es uniforme cuando tiene la misma intensidad, la misma dirección y el mismo sentido en todos sus puntos.

BAW Trabajo realizado para llevar la carga desde A hasta B

0>BAW Trabajo realizado por las fuerzas del campo

0<BAW Trabajo realizado en contra de las fuerzas del campo

Relación entre el campo eléctrico y el potencial dEV .= d = distancia entre las placas

).( BAB

A VVqW −=

I. q > 0 y VA > VB VA - VB > 0 0>B

AW

II. q < 0 y VA > VB VA - VB > 0 0<B

AW

III. q > 0 y VA < VB VA - VB < 0 0<B

AW

IV. q < 0 y VA < VB VA - VB < 0 0>B

AW

qEamF .. == Ecuaciones de un M.R.U.A. tavv .0 += 20 .

21. tatvs += savv ∆+= .22

02

Caso I.: Carga positiva q de masa m que se libera desde el reposo en un campo eléctrico uniforme Er

dirigido a lo largo del eje x: VA > VB . La carga experimenta una fuerza en la misma dirección y sentido que el campo eléctrico por lo que se acelera ganado Ec. Al tratarse de fuerzas conservativas, a medida que gana Ec, disminuye su Ep y el trabajo es realizado por las fuerzas del campo. q > 0 y VA > VB VA - VB > 0 0>B

AW

V. Las fuerzas del campo tienen sentido contrario al del campo eléctrico. El electrón experimenta una fuerza de sentido contrario al del campo eléctrico y gana energía cinética (velocidad) a costa de la disminución de la energía potencial. El trabajo es realizado por las fuerzas del campo:

q < 0 y VA < VB VA - VB < 0

qEamF .. == ).( BAB

A VVqW −= 0>BAW

tvx .0= 22

2..

21 t

mEetay == 2

0

2

2.

vx

mEey =

5

Teorema de Gauss

Flujo eléctrico: Es el número de líneas que atraviesa una superficie. Depende de la intensidad del campo eléctrico, de la superficie y del ángulo que forman el vector campo y el vector superficie (perpendicular a la superficie)

SErr

.=Φ αcos..SE=Φ

Si α = 0 SEmáximo .=Φ=Φ si α = 90º 0=Φ

Unidad de Φ V.m Si el campo no es uniforme ∫=Φ

S

SdErr

.

Teorema de Gauss Relaciona el flujo a través de una superficie cerrada con la carga contenida en su interior. La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina superficie gaussiana.

0

.εQSdE

S

==Φ ∫rr

Carga encerrada en una esfera de radio r: cálculo de la expresión del teorema de Gauss

0

22

0

.4.4

1.0cos...ε

ππε

QrrQSEdSESdE

S

=====Φ ∫ ∫rr

E es uniforme

Si la superficie encierra un conjunto de cargas 0ε

∑=Φ iQ

Cálculo de campos eléctricos a partir del teorema de Gauss: 1) Se elige una superficie cerrada (Gaussiana) de área conocida, de modo que el campo sea perpendicular a ella.

2) Se evalúa el flujo a través de la superficie gaussiana a partir de la expresión ∫=ΦS

SdErr

.

3) Se iguala el flujo obtenido a la expresión del teorema de Gauss. Campo en el exterior de una esfera uniformemente cargada de radio R (r > R)

El campo tiene simetría radial. Para calcular el campo en un punto P exterior a la esfera y a una distancia r, elegimos como superficie gaussiana una esfera de radio r.

0

2.4..0cos...ε

π QrESEdSESdES

=====Φ ∫ ∫rr

20.4

1rQE

επ=

El campo creado en el exterior de la esfera es el mismo que se obtendría si toda la carga de la esfera estuviera concentrada en un punto y se tratara de una carga puntual.

∫−=⇒−=⇒−= EdrVEdrdVdrdVE

rQ

rQV

02

0 .41

.41

επεπ=−= ∫

rQK

rQV ==

0.41επ

Campo creado en el interior de una esfera uniformemente cargada de radio R (r < R)

Se traza la Gaussiana mediante una esfera concéntrica interior de radio r que pase por P.

0

int2.4..0cos...ε

π erior

S

QrESEdSESdE =====Φ ∫ ∫

rr 2

int

0.41

rQ

Eεπ

=

densidad lineal de carga VQ

VQ

==int

intρ 3

3

3

3

intint

.

.34

.34

.R

rQ

R

rQ

VVQ

Q ===π

π

32

3

02int

0

..4

1.4

1RrrQ

rQE

επεπ== 3

0

..41

RrQE

επ=

6

Campo creado en el interior de una esfera metálica hueca o una esfera conductora

En el interior de una esfera metálica hueca, el campo 0=E ya que 0=Φ

0=−=drdVE CTEV =

RQV

041πε

=

Al repelerse las cargas, se sitúan en la superficie interior del metal. Si elegimos una superficie gaussiana en el interior, no habrá carga encerrada y el flujo será nulo.

Campo creado por un plano infinito

El campo creado en un punto próximo por un plano infinito es constante y no depende de la distancia del punto al plano. El potencial disminuye con la distancia.

Tomamos como Gaussiana un cilindro recto perpendicular al plano. Sólo las caras superior e inferior, paralelas al plano cargado, son atravesadas por el flujo. Las líneas de campo siempre salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano será uniforme. El flujo a través de la superficie lateral del cilindro es nulo (ninguna línea de campo la atraviesa). Las únicas contribuciones no nulas al flujo son las que se producen a través de las dos bases del cilindro.

SEdSESdES

.0cos... ===Φ ∫ ∫rr

densidad superficial de carga SQ

=σ

SESSE .2)( infsup =+=Φ y 00

.εσ

εSQ

==Φ 02 ε

σ=E

∫−=⇒−=⇒−= EdrVEdrdVdrdVE

00 2.

2 εσ

εσ rdrV ∫ −=−=

Campo en el interior de un condensador

Un condensador es un dispositivo formado por dos conductores (denominados armaduras), generalmente con forma de placas, o láminas, separados por el vacío o por un material dieléctrico (no conduce la electricidad), que se utiliza para almacenar energía eléctrica. La forma más sencilla de un condensador consiste en dos placas metálicas muy cercanas entre sí con cargas q en una y -q en la otra. Este tipo de condensador se denomina plano-paralelo.

02 εσ

=E

Las líneas del campo eléctrico creado por la placa cargada positivamente están dirigidas hacia fuera de la misma, lo contrario que ocurre para la placa con carga negativa.

Campo eléctrico debido a un conductor recto e indefinido

Las líneas dell campo salen radialmente del hilo. La superficie Gaussiana es un cilindro de radio r y de longitud L.

LrESESdE laterallateralbases ..2...0 π==+=Φ+Φ=Φ ∫rr

Densidad de carga lineal LQ

=λ

0εQ

=Φ 00 ..2..2

1επ

λεπ rL

Qr

E ==

∫−=⇒−=⇒−= EdrVEdrdVdrdVE

rdrr

V ln.2..2 00 επλ

επλ

−=−= ∫

7

Campo electromagnético

Experiencia de Oersted Toda carga eléctrica en movimiento produce un campo magnético, que se caracteriza por su intensidad B, y por las líneas de inducción del campo: una aguja magnética colocada paralelamente a un conductor se desvía de su posición inicial cuando circula corriente por el mismo, y se orienta perpendicularmente a la dirección del conductor. Campo magnético Un imán o una corriente eléctrica crean un campo magnético que se manifiesta por la presencia de fuerzas magnéticas sobre una carga de prueba que se mueve con una velocidad. El campo magnético se caracteriza mediante líneas de fuerza cuya dirección coincide con la del vector inducción en cada punto. Las líneas de fuerza o de inducción salen del polo norte y entran por el polo sur, por lo que son líneas cerradas. B Tessla (1 T) 1T = 104 Gauss (sistema cgs)

Fuerza de Lorentz

).(. BvqFmagn

rrr×=

Se sustituye: la carga con su signo y las componentes de v y B, teniendo en cuenta su signo.

ϕsenvBqFF magnmagn ..|| .. ==r

Si º90=ϕ Bvrr

⊥ maxFF =

Si º0=ϕ Bvrr || 0=F

La fuerza total es: ).().(... BvEqBvqEqFFF magnelectr

rrrrrrrr×+=×+=+=

Si la carga está en reposo, v=0, y sólo actúa el campo elétrico. F=qE Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme

centrípetamagn FFrr

=. trayectoria circular

Si º90=ϕ Bvrr

⊥ rvmBvq

2... = Bqvmr

..

=

Cálculo de la velocidad angular y del periodo

Sustituyendo rv .ω= y νππω .22==

T obtenemos

mBq.

=ω y BqmT

.2π

=

νω yT, no dependen del radio r de la trayectoria ni de la velocidad v

Si º90≠ϕ trayectoria helicoidal

rvmsenBvq

2.... =α

αsenBq

vmr..

.=

).(. BvqFmagn

rrr×= 0>q iBB

rr.−= jvv

rr .=

Aplicaciones de la fuerza de Lorentz Espectrógrafo de masas Dispositivo que permite la separación de los isótopos de un elemento químico mediante la aplicación de un campo eléctrico que sirve para acelerar los iones que entran con la misma velocidad y uno magnético para medir las masas, ya que los isótopos tienen la misma carga pero distintas masas. A cada radio de la trayectoria le corresponde una masa según la ecuación de Lorentz. Ciclotrón Es un acelerador de partículas. Consta de dos conductores huecos semicilíndricos llamados “des” (D), un generador de corriente alterna de alta frecuencia, que establece entre las “des” un campo eléctrico, un campo magnético uniforme perpendicular a las “des” producido por un

potente electroimán, una fuente de iones y una salida de los iones. Los iones son acelerados por el campo eléctrico entrando en la D bajo la acción única del campo magnético con una velocidad constante y describiendo una trayectoria circular con un radio determinado. Cuando salen de la D, se aceleran de nuevo, y entran en la otra D con una velocidad mayor y así sucesivamente, hasta que alcanzan el radio de la D, alcanzando una velocidad máxima. El campo eléctrico cambia de sentido mientras que el ión atraviesa cada D cambiando la polaridad.

zyx

zyxmagn

BBBvvvkji

qF

rrr

r.. =

kBvqB

vkji

qFmagn

r

rrr

r...

0000.. =

−=

8

Ley de Laplace: Fuerza magnética sobre corrientes rectilíneas ).( BlIFrrr

×= αsenBlIF ...= La fuerza magnética que ejerce un campo magnético sobre un conductor rectilíneo depende de la intensidad de la corriente que circula, la longitud del conductor y el ángulo entre el campo magnético y el conductor.

Si BlIFBl ..º90 =⇒⊥⇒=rr

α La inducción (B) en un punto de un campo magnético mide la fuerza que recibe la unidad de carga que en ese punto se mueve

perpendicular al campo con una velocidad determinada.

Acción del campo magnético sobre una espira

Momento del par de fuerzas ).( BSIMrrr

×= ldS .=

Sr

: vector superficie que es perpendicular al plano de la espira I : Intensidad de la corriente

µr : Momento magnético de la espira SI.=µ BMrrr

×= µ

Campos magnéticos debidos a cargas en movimiento

Campo magnético debido a un conductor rectilíneo

rIB.2.0

πµ

=

permeabilidad magnética del vacío 270 .10.4 −−= ANπµ ó T.m.A-1

permeabilidad magnética del medio 0.µµ K= K= permeabilidad relativa de una sustancia

Ley de Biot y Savart

Biot y Savart supusieron que el campo magnético debido a un conductor era la suma de los campos magnéticos creados por cada uno de los elementos de corriente en los que podía dividirse el conductor original. El campo magnético no es central ni conservativo, ya que ademád de depender de la distancia, depende de la orientación.

30

4.

rrLIBrr

r ×∆=∆

πµ

0ryLB rrr∆⊥∆

20 .

4.

rsenLIB α

πµ ∆

=∆ Lr

∆ tiene el sentido de la corriente

Campo magnético debido a una corriente circular en el centro de la espira Fuerzas magnéticas entre dos conductores rectilíneos paralelos

rIB..2

. 101 π

µ= y 1212 .. BlIF =

rIlIF.2

.. 10212 π

µ=

rlII

F.2

.21012 π

µ= Análogamente

rlII

F.2

.21021 π

µ= |||| 2112 FF =

También es importante la fuerza ejercida por los conductores por unidad de longitud rII

lF

.221021

πµ

=

Las fuerzas ejercidas por los conductores están contenidas en el mismo plano y su dirección es perpendicular a los conductores. Si I1 e I2 tienen el mismo sentido, los conductores se atraen, y si tienen sentido contrario se repelen.

RIB

.2.0µ=

9

Ley de Ampere Del mismo modo que el teorema de Gauss permite el cálculo del campo eléctrico debido a determinadas distribuciones simétricas de carga eléctrica, la ley de Ampere permite calcular el campo magnético debido a determinadas distribuciones simétricas de corriente eléctrica.

La circulación de B a lo largo de una línea cerrada es igual a 0µ veces la intensidad de la corriente o corrientes encerradas por ella.

Aplicaciones de la ley de Ampere al cálculo de campos magnéticos

Hilo indefinido (Ley de Biot y Savart) : Campo magnético en el exterior de un conductor

rBLBdLBdLBldB .2...0cos... π==== ∫∫∫rr

y IldB .. 0µ=∫rr

IrB ..2. 0µπ = rI

B.2.0

πµ

=

Campo magnético en el interior de un conductor r<R

'..2...0cos... 0 IrBLBdLBdLBldB µπ ===== ∫∫∫rr

I’ Intensidad de la corriente encerrada por la circunferencia de radio r. R radio del conductor

Al ser una distribución simétrica de corriente rS

ISI '= 22 .

'. r

IRI

ππ= ⇒ 2

0

2..

RrI

Bµ

=

Campo magnético debido a un solenoide en su interior Un solenoide está formado por N espiras circulares, paralelas e iguales, se comportan como un imán y el campo magnético en su interior es uniforme.

INLBldB .... 0µ==∫rr

L

INB

..0µ=

Campo magnético de un electroimán Si en el solenoide se coloca en su interior un núcleo de elevada permeabilidad magnética como el hierro, se forma un electroimán, aumentando mucho la inducción magnética.

LINB ..µ

=

Campo magnético debido a un toroide Es un conjunto de espiras circulares arrolladas en torno a un núcleo de hierro en forma de anillo.

2π .R.. INB µ

=

Inducción electromagnética En determinadas condiciones se induce en un circuito una fuerza electromotriz capaz de generar una corriente eléctrica sin necesidad de establecer conexiones con ninguna fuente de alimentación.

El galvanómetro detecta el paso de la corriente eléctrica a través de la espira:

- Mientras acercamos o alejamos un imán a una espira, y el sentido de la corriente cuando se acerca es opuesto a cuando se aleja el imán de la espira.

- Cuando se mantiene fijo el imán y se mueve la espira, también se produce una corriente inducida.

- Cuando se acerca o aleja un solenoide en vez de la espira.

∑∫ = IldB .. 0µrr

10

Flujo magnético Está relacionado con el número de líneas de campo que atraviesan una superficie y depende de la intensidad del campo y de la extensión de la superficie.

SBrr

.=φ αφ cos..SB= Si SBrr

|| SB.=φ Unidad Wb (Weber) Si SB

rr⊥ 0=φ

Ley de Faraday La fuerza electromotriz es directamente proporcional a la variación de flujo magnético. Ley de Lenz El sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce. Ambas leyes se sintetizan en la expresión:

dtdφε −= ó

t∆∆

−=φε Unidad V (voltio) Para N espiras

dtdN φε −=

tN

∆∆

−=φε

Ejemplos de cálculos del flujo:

a. Si cambia el campo magnético en un intervalo de tiempo SB .00 =φ SB.=φ t∆∆−= φε

b. Si la espira gira alrededor de uno de sus diámetros, depende de α tSBtSBSB .2cos...cos..cos.. πνωαφ === c. Si el campo magnético varía en función del tiempo, por ej. aumenta o disminuye a razón de 2 T/s StB )..2( 0 ±=φ

d. Si la superficie aumenta con el tiempo a velocidad constante, )...( 0 ltvSB +=φ

e. Si la superficie aumenta con el tiempo con aceleración constante )..21...( 2

00 talltvSB ++=φ

En todos estos casos (b,c,d y e), como hay una variación con t dtdφε −=

Ej. b Espira que gira alrededor de uno

de sus diámetros

Ej. d y Ej. e

Varilla MN ( l ) que se desplaza (v=cte ó a=cte) aumentando la superficie de la espira

Espira cuadrada que entra en un campo magnético. S0=0 φ =-Blvt

Ley de Ohm RI.=ε

11

Movimiento vibratorio armónico Movimiento vibratorio armónico simple Es un movimiento rectilíneo, variado no uniformemente, que se origina al proyectar sobre un diámetro las sucesivas posiciones de un punto que recorre una circunferencia con movimiento circular uniforme.

Ecuaciones

0. ϕωϕ += t πνπω 22 == T

).( 0ϕωϕ +== tsenAsenAs

).(cos.v 0ϕωω +== tAdtds

).(. 02 ϕωω +−== tsenA

dtdva

Para calcular la fase inicial t = 0

0ϕsenAs =

0cos.v ϕωA=

02 cos. ϕωAa −=

ϕ fase

0ϕ fase inicial (t=0)

A Amplitud (elongación máxima) s elongación (x ó y) v velocidad con que vibran las partículas a aceleración T periodo (tiempo que tarda en producirse una vibración u oscilación completa) ω pulsación o frecuencia angular ν frecuencia

sa .2ω−=

22v sA −±= ω (*)

Partimos de Assentsen ==+ ϕϕω ).( 0 y

ωϕϕω

.vcos).(cos 0 A

t ==+

Se sustituye en 1cos22 =+ ϕϕsen y se llega a (*)

).( 0ϕω += tsenAs).(cos.v 0ϕωω += tA

).(. 02 ϕωω +−= tsenAa

Si 1).( 0 ±=+ϕω tsen

Si 1).(cos 0 ±=+ϕω t

Si 1).( 0 ±=+ϕω tsen

Asmáxima =||

ω.|v| Amáxima = 2.|| ωAamáxima =

Dinámica del movimiento armónico simple

Fuerza recuperadora: sa .2ω−= sKsmamF .... 2 −=−== ω 2.ωmK = 22. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

TmK π

ó .2KmT π=

Energía de un movimiento armónico simple

)(21v.

21 222 sAKmEc −== 2.

21 sKE p = 2

21 KAEEE pcT =+=

Trabajo realizado por la fuerza recuperadora entre dos elongaciones s1 y s2 W = ½ K (s12- s2

2)

Péndulo simple .2glT π=

12

Ondas Onda Es la propagación de energía sin propagación de materia Movimiento ondulatorio Es la propagación de un movimiento vibratorio a través de sus partículas, las cuales vibrando y obligando a vibrar a las partículas próximas, transmiten la vibración desde un centro emisor.

• el tipo de energía

Ondas mecánicas: necesitan un soporte material para propagarse (sonido, ondas propagadas en una cuerda, …) Ondas electromagnéticas: no necesitan un medio material para propagarse y se pueden propagar en el vacío (la luz)

• el nº de dimensiones

Ondas unidimensionales: propagan la energía a lo largo de una dirección Ondas bidimensionales: propagan la energía a través de una superficie Ondas tridimensionales: propagan la energía en las tres direcciones del espacio.

Tipos de ondas según:

• la relación entre direcciones de propagación y de vibración

Ondas transversales: la dirección de propagación de la onda es perpendicular a la dirección de vibración de las partículas. (ondas propagadas en una cuerda, la luz,...) Ondas longitudinales: la dirección de propagación de la onda coincide con la dirección de vibración de las partículas (el sonido)

Magnitudes características de una onda

Fase (ϕ ) Estado de movimiento de la onda Longitud de onda ( λ ) distancia que separa dos puntos consecutivos que se encuentran en el mismo estado de vibración, es decir, que tienen la misma fase. Periodo ( T ) tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda. Frecuencia ( ν ) nº de ondas que se propagan en 1 s. Número de onda ( k ) nº de ondas contenidas en una longitud de 2π metros. Velocidad de propagación de la fase relación entre la longitud de onda y el periodo.

Ecuaciones

T1ν =

λ2πk = λ.ν

Tλv npropagació ==

T2πω =

Ecuación de una onda unidimensional

)..(),( 0ϕω +−= xktsenAtxy en el instante inicial t=0 y en el foco emisor x=0 0)0,0( ϕsenAy = La onda avanza hacia la derecha y es con signo positivo si va hacia la izquierda Características de la ecuación de onda: - La ecuación de onda es doblemente periódica pues depende de la posición (x) y del tiempo (t): - Para un valor fijo de t, la ecuación de onda representa la forma de la onda en un instante determinado. - Para una posición fija de x, la ecuación de onda representa el movimiento vibratorio armónico de una partícula a una

distancia x del foco emisor, en cualquier instante. Relación entre la energía e intensidad en un movimiento ondulatorio

222222 2)2.(21.

21k.A

21E Ammm νππνω ====

St

E

SPI == 2

2

21

21

22

2

1

AA

rr

II

== (*)

Frente de ondas: Lugar geométrico de todos los puntos que son alcanzados simultáneamente por una perturbación.

- Superficies esféricas (sonido) - Planas (a gran distancia del centro emisor) - Puntos (en una cuerda)

- Circunferencias (ondas en el agua)

Principio de Huygens: Cada uno de los puntos de un frente de onda se puede considerar como un centro emisor de nuevas ondas que determinan un nuevo frente de onda tangente a todas esas ondas. Reflexión: Es el cambio de dirección que experimentan las ondas dentro del mismo medio cuando inciden sobre una superficie de separación entre dos medios. Leyes: 1) i = r Los ángulos de incidencia y reflexión son iguales. 2) El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado se encuentran en el mismo plano Refracción: Es el cambio de dirección que experimentan las ondas cuando pasan oblicuamente de un medio a otro con distinta velocidad. Leyes: 1) n1.sen i = n2. sen r ó v2.sen i = v1. sen r ya que n = c/v 2) El rayo incidente, la normal y el rayo refractado se encuentran en el mismo plano

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Fenómenos ondulatorios Atenuación de la onda: La amplitud de una onda disminuye con la distancia (*) y es una consecuencia del principio de conservación de la energía, ya que la energía es constante, pero a medida que avanza el frente de ondas, la misma energía se reparte entre mayor número de partículas. Absorción de la onda: Cuando una onda atraviesa un medio natural, parte de su energía se transforma en otros tipos de energía según diferentes procesos (rozamiento, viscosidad, etc), y la onda se amortigua vibrando las partículas con menos energía. Interferencias: Se denomina interferencia al resultado de la superposición de dos o más ondas armónicas. Si las dos ondas están en fase la interferencia es constructiva, y la amplitud de la onda es la suma de las amplitudes de las ondas y si las dos ondas están en oposición de fase, la interferencia es destructiva y las ondas se anulan entre sí (si tienen distintas amplitudes se restan).

Interferencia constructiva Interferencia destructiva Ondas estacionarias: Es la interferencia de dos ondas de igual amplitud, frecuencia y longitud de onda que se propagan en la misma dirección, pero en sentido contrario. Se deben a la reflexión en el límite de separación de dos medios diferentes de una onda confinada en un espacio determinado, por ej. la cuerda de una guitarra, ondas estacionarias en columnas gaseosas. El resultado de esta interferencia es que hay unos puntos de máxima amplitud llamados vientres y otros puntos llamados nodos de amplitud nula, que están siempre en reposo y por tanto la energía no se puede propagar a lo largo de la onda estacionaria (de ahí su nombre) Ecuación de una onda estacionaria: ).().(cos2),( xksentAtxy ω= Observar en el gráfico que las dos ondas tienen una diferencia de fase de π radianes. Difracción: Un observador puede percibir la luz de un foco luminosos aunque no pueda verlo directamente, u oír el sonido de un altavoz, aunque se encuentre en otro lugar, sin que exista reflexión. La difracción de ondas se puede observar cuando la onda se encuentra con un obstáculo (rendija, abertura, etc) cuyo tamaño es del mismo orden que su longitud de onda. La onda en estas condiciones se convierte en un nuevo frente de ondas