CAPITULO I

CALCULO DIFERENCIAL DE

FUNCIONES DE IRm EN IRn

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� Se estudia primero los conceptos de límite y continuidad, para lo cual se comienza recordando algunas nociones de Algebra Lineal y se entrega, a modo de lenguaje, algunas nociones topológicas en

nR

� En seguida se presenta el concepto de diferenciabilidad, así como los teoremas que permiten operar con funciones diferenciables de varias variables reales. � Las aplicaciones del Cálculo Diferencial se

estudiarán más adelante.

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1.- LIMITE Y CONTINUIDAD

a) El Espacio IRn.

� �RR ��� inn xxxx :),...,( 1

nR es un espacio vectorial sobre R .

Adición: Producto por escalar:nnn

RRR ��� nnRRR �

yxyx �),( x,),( �� �x),.....,( 11 nn yxyxyx � ).x,...,x( 1 nx ��� �

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Notas

� ).,,( nR es un espacio vectorial con VECTOR

NULO )0,...,0(�� .

� Para nnxxx R),...,( 1 �� , el OPUESTO de ,, xx es

el vector ).,.....,( 1 nxxx �

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b) Producto Escalar en IRn.

Si nnn yyyxxx R),...,(),,...,( 11 ���

El producto escalar yx � (o también denotado por �� yx, ) es el número real definido por:

nnyxyxyx ....11 �� .

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PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR:

Para todo ,,,, RR �� tszyx n se tiene:

1) xyyx ���

2) 0�� xx

3) 00 ���� xxx

4)���

���

��������

)()()()()()(zytzxszytsxzxtyxsztsyx

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Notas.

Es decir: � Para cada ny R� fijo, RR �n

yxx �� es lineal.

� Para cada nx R� fijo, RR �n

yxy �� es lineal.

� Lo anterior se expresa diciendo que el producto interior es una forma bilineal, simétrica y positiva.

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c) Norma Euclidiana.

Para nx R� se define

2/1)( xxx �� ,

y se llama la NORMA EUCLIDIANA del vector x.

� Notar que

��

�n

iixx

1

2

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PROPIEDADES DE LA NORMA.

Cualesquiera que sean RR ,, �� �nqp :

1) 0�p

2) 00 ��� pp

3) pp �� �

4) qpqp +�

5) ppni i ��� },,,2,1{ �

6) qpqp �� (Desigualdad de Schwarz) 10

Ejemplo:

Sea RR: 3 �f tal que

��

���

�

��

)0,0,0(),,(si0

)0,0,0(),,(si),,( 222

zyx

zyxzyx

zyxzyxf

Determine R�k y N�n tales que: nPkPfP )(:3 ��� R

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Ejercicio :

Probar el teorema anterior.

Ejercicio :

Pruebe que nqp R, �� :qpqpa) �

qpqp � b)

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OBSERVACION:

� Cualquier función RR: �nN que verifica laspropiedades 1, 2, 3 y 4 del Teorema anterior sellama una norma sobre n

R .

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Ejemplos:

Son normas sobre nR

� �),.....( 11 nxxN � �,...max 1 nxx

� nn xxxxN ....),...( 112 �

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d) Distancia Euclidiana.

DEFINICION:

Sean qp, en nR . Se llama DISTANCIA EUCLIDIANA,

),( qpd , al número:

qpqpd �),(

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PROPIEDADES DE LA DISTANCIA.

Cualesquiera que sean nrqp R,, � :

1) qpqpd ��� 0),(

2) 0),(),( �� pqdqpd

3) ),(),(),( qrdrpdqpd � (desigualdad triangular)

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e) Vectores Ortogonales.

DEFINICION:

Sean nqp R, � .

Se dice que p y q son ORTOGONALES si:

0�� qp

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Teorema.

Si 2�n o 3�n

Para ,, nyx R�

�cosyxyx ��

Donde � es el ángulo que forman los vectores x e y .

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f) Algunas Nociones Topológicas en IRn.

1) Bolas abiertas y Bolas cerradas en IRn.

i. Sea nP R�0 y 0�r . Se llama BOLA ABIERTA decentro P0 y radio r, al conjunto denotado por ),( 0 rPB y definido por:

� �rPPdPrPB n ��� ),(:),( 00 R

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ii. Análogamente se define por:

� �),(:),( 00 rPPdPrPB n ��� R

la BOLA CERRADA de centro P0 y de radio r.

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Ejemplos:

En R , � �rPrPrPB � 000 ;),(� �rPrPrPB � 000 ;),(

En 2R , para ),( 000 yxP � ;

� �220

20

20 )()(:),(),( ryyxxyxrPB � �� R

� �220

20

20 )()x-(x:),(),( ryyyxrPB � �� R

En 3R , para ),,( 0000 zyxP � ;

� �20

20

200 )()()(:),,(),( rzzyyxxzyxrPB � �

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2) Conjuntos abiertos y Conjuntos cerrados.

DEFINICION:

i) Sea nA R se dice que A es ABIERTO si 0, �!�� rAp tal que ArpB "),( .

ii) Sea nB R se dice que B es CERRADO si: Bn R es abierto.

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Teorema.

Toda bola abierta en nR es un conjunto abierto.

Demostración:Sea ),( 0 rpBA � , queremos probar que:

0, 1 �!�� rAp tal que ArpB ),( 1 " .

Basta tomar: � �),(),,(min 001 ppdrppdr �

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OBSERVACION:

Se puede probar que:

I) La reunión de un número cualquiera de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

II) La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

III) La reunión de un número finito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

IV) La intersección de un número cualquiera de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

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3) Puntos adherentes, puntos de acumulación, puntos interiores y puntos frontera de un conjunto.

DEFINICION:Sean nA R" y nP R0 � .

i. Se dice que P0 es un PUNTO ADHERENTE de A, si para toda bola ),( 0 rPB se cumple:

#),( 0 �$ ArPB .

Notación:�A conjunto de todos los puntos adherentes de AA se llama la ADHERENCIA de A.

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ii. Se dice que P0 es un PUNTO DE ACUMULACION de A si para toda bola ),( 0 rPB se cumple:

� � #� $ )(),( 00 PArPB .

Notación:�%A conjunto de todos los puntos de acumulación de A.

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iii. Se dice P0 es un PUNTO INTERIOR de A si existe 0�r tal que:

ArPB ),( 0 " .

Notación:�

A = conjunto de todos los puntos interiores de A.

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iv. Se dice que P0 es un PUNTO FRONTERA de A si P0

es adherente a A y a An R .

Notación:)(Fr A = conjunto de todos los puntos frontera de A.

Es claro que: AAAAAA "%"" ;;

�

.

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Ejemplos:

1) Si � � 2321 ,, R"� pppA , entonces

## ���%�

AAA ,A, .

2) Si � �10:),( 2 ���� yxyxA R , entonces:

� �10:),( 2 ���� yxyxA R

�

� �1:),( 2 ��� yxyxA R

� � � �)0,0(1=:),()(Fr 2 &�� yxyxA R

� � AAA �&�% )0,0( .

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OBSERVACION:

Se puede probar que:

�

AAA �)(Fr

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4) Conjuntos acotados, Conjuntos compactos.

DEFINICION:1. Sea nB R" , se dice que es ACOTADO si existe

R�M tal que:

MPBP , ��� .

2. Se dice que B es COMPACTO si B es cerrado y acotado.

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Ejemplos:

1) Si � �4,1:),,( 22 ��� zyxzyxB , entonces B es compacto.

2) Si � �1:),,( 22 �� yxzyxC , entonces C no es acotado, luego no es compacto.

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g) Funciones de IRm en IRn.

DEFINICION:

Sea nmAf RR � : .i. Si 1�n , se dice que f es una FUNCION REAL (o

escalar).ii. Si nm � , diremos que nmAf RR � : es un CAMPO

VECTORIAL en mR .

iii. Si 1�m y A es un intervalo abierto de R , diremos que f es una CURVA PARAMETRIZADA en n

R .

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iv. Se llama GRAFICO de f , y se denota por fG , al subconjunto de nm

RR definido por:� �)(:),( pfqqpG nm

f ��� RR .

� Para 1�n y 1�m o 2, fG se puede representar

geométricamente.

v. Si 1�n y R�c al conjunto � �cpfpcN m ��� )(:)( R

se llama CONJUNTO DE NIVEL de f.� Si 2�m , )(cN se denomina Curva de nivel� Si 3�m , )(cN se denomina Superficie de nivel

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Ejemplo 1:

Sea 222 ),,(,: yxzyxff ��RR

1) fG se representa geométricamente en 3R .

� �222 ),(:),,( R�� yxyxyxGf .

2) fG se llama paraboloide de revolución. Es una superficie en 3

R .

35 36

3) Los conjuntos de nivel de f son curvas en 2R :

i. Para #�cNc ,0<ii. Para � �)0,0(,0 �� cNc

iii. Para cNc ,0> es una circunferencia de centro )0,0( y de radio c .

37 38

Ejemplo 2:Sea RR �3:g , 222),,( zyxzyxg �

1) Para c > 0, el conjunto cN es la superficie de ecuación czyx � 222 , así cyx 22 � , luego

cyx � 22 .cN se llama hiperboloide de una hoja.

39 40

2) Para 0,,0 2222 ��� zzyxc

cN es una superficie y se llama superficie cónica.

3) Para czczczyxc ���� 22222 ,0,,0 y así cz � . cN es una superficie y se llama un

hiperboloide de dos hojas.

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Nota:En general, si RR �3:Q es un polinomio cuadrático definido por:

' ( mlzhygxfzyexzdxyczbyaxzyxQ � 222,,

donde R�mba ,,, � . Si la superficie de nivel cero, ' ( ,0,, �zyxQ es no vacía se denomina Superficie

Cuadrática

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Algunas Superficies cuadráticas

i. Elipsoide: 1222 � czbyax , �Rcba ,,

ii. Paraboloide: zbyax � 22 , �Rba,

iii. Cono : 222 zbyax � , �R,, ba

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