Cap 4 Metodo SPH

7/23/2019 Cap 4 Metodo SPH

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4 METODO SPH

Il modello SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) un metodo particellare meshfree

basato sulla formulazione lagrangiana. Il suo utilizzo spazia diversi campi, dalleapplicazioni astrofisiche ai problemi idrodinamici. Nellingegneria costiera i problemianalizzati riguardano la propagazione di onde in avvicinamento alla linea di costa. I

principali vantaggi dellSPH sono legati alla sua formulazione di tipo lagrangiano, graziealla quale non abbiamo imposizioni restrittive sulla geometria del sistema, n su quantoci possiamo allontanare dalle condizioni iniziali, essendo un metodo meshfree abbiamola possibilit di studiare grandi deformazioni e di utilizzale materiali con legamicostitutivi complessi. (Crespo, 2008).

4.1 Numerical Simulation. Formulazione essenziale dellSPH

Lidea di base sta nel trasportare gli aspetti di un problema fisico in un modello numerico,evitando di dover simulare lesperienza reale con esperimenti complicati e costosi

Il metodo SPH fu sviluppato per problemi idrodinamici nella forma di equazionidifferenziali parziali (PDE) delle variabili di campo densit, velocit, energia, ecc.Ottenere soluzioni analitiche delle PDE difficile, eccetto che per casi semplici. Si ha lanecessit quindi di discretizzare prima il dominio del problema in cui sono definite lePDE. In seguito, necessario un metodo per fornire unapprossimazione per i valori delle

funzioni di campo e loro derivate, in qualsiasi punto. Alle PDE quindi applicata unafunzione di approssimazione per produrre un insieme di equazioni differenziali ordinarie(ODE) in forma discretizzata. Questo insieme di ODE discretizzate pu essere risoltoutilizzando una delle routine di integrazione standard del metodo convenzionale delledifferenze finite. Nel metodo SPH, per raggiungere lobiettivo di cui sopra, sono utilizzatele seguenti idee chiave:

1) Il dominio del problema viene rappresentato da un set di particelle arbitrariamente

distribuite, se il dominio non gi in forma particellare. Non si necessita di nessunaconnessione tra le particelle (meshfree);2) Il metodo di rappresentazione integrale usato per lapprossimazione delle funzioni di

campo. NellSPH questo metodo prende il termine di approssimazione kernel(funzionedi rappresentazione integrale);

3) Lapprossimazione kernel poi ulteriormente approssimata usando le particelle. In SPH detta approssimazione particellare. Si opera sostituendo lintegrazione nellarappresentazione integrale della funzione di campo e sue derivate con sommatorie su tuttii valori corrispondenti alle particelle confinanti in un dominio locale chiamato dominiodinterazione.

4)

Lapprossimazione particellare effettuata ad ogni istante, e quindi luso delle particelledipende dalla sua distribuzione locale corrente (adattabilit);


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5) Lapprossimazione particellare viene eseguita per tutti i termini relativi alle funzioni dicampo nelle PDE per produrre un insieme di equazioni differenziali in forma discretizzatarispetto al solo tempo (Lagrangiana);

6) Le ODE sono risolte utilizzando un algoritmo di integrazione esplicito in modo da avereuna storia temporale di tutte le variabili di campo delle particelle (Dinamico). (GR Liu,2003)

4.2 I Metodi Grid-Based tradizionale

La simulazione attraverso i computer diventata sempre pi uno strumento importanteper la risoluzione di problemi di ingegneria. Essa svolge un ruolo fondamentale, fornendotest ed esami necessari alla teoria, offrendo spunti per problemi fisici complessi,assistendo linterpretazione e spesso la scoperta di nuovi fenomeni. I metodi numerici

grid-based, come il metodo alle differenze finite (FDM), il metodo ai volumi finiti (FVM)ed il metodo agli elementi finiti (FEM), sono stati ampiamente usati in varie aree difluidodinamica computazionale (CFD) e di meccanica dei solidi computazionale (CSM),

per risolvere equazioni differenziali ed equazioni differenziali parziali (PDEs). Unacaratteristica del metodo grid-based quella di dividere il dominio continuo in piccolisubdomini discreti, grazie ad un processo denominato discretizzazione (meshing). Ogninodo o punto della griglia collegato agli altri in una maniera predefinita da una mappatopologica. Un sistema a griglia che consiste il nodi, celle o elementi, deve essere definitoin modo da fornire una relazione tra i nodi prima del processo di approssiamzione per leequazioni differenziali. Le equazioni governative, basate opportunamente su una mesh

predefinita, possono essere convertite in una serie di equazioni algebriche con incognitenodali per le variabili di campo.

Nonostante il grande successo, questi metodi presentano dei problemi in molti aspetti chesi ripercuotono nel poco efficace utilizzo per problemi complessi. Le maggiori difficoltderivano dallutilizzo delle mesh, che dovrebbero sempre assicurare che le condizioni dicompatibilit numerica rispecchino quelle di compatibilit fisica per in continuo.Lutilizzo della griglia pu portare ad avere difficolt quando si affrontano problemi consuperfici libere, contorni deformabili, interfacce mobili e grandi deformazioni.

La descrizione lagrangiana, alla quale il nostro metodo fa riferimento, tipicamenterappresentata dal metodo agli elementi finiti (FEM) ed detta di tipo materiale. Infatti lamesh fissa o assegnata al materiale per tutto il processo di calcolo. Dal momento cheogni nodo della griglia segue il percorso del materiale, il moto relativo dei nodi dicollegamento pu causare espansione, compressione e deformazione di una cella. Massa,momento ed energia sono trasportati con il moto delle celle della maglia. Poichallinterno di ogni cella la massa resta invariata, non c flusso di massa da una cellaallaltra ovvero attraverso i confini della mesh.

Le caratteristiche di tale rappresentazione sono le seguenti:


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Il termine convettivo nelle relative equazioni differenziali parziali non presente, ilcodice concettualmente semplice e dovrebbe essere pi veloce data la mancanza deglioneri computazionali a risolvere i questi termini

Essendo la griglia fissata sul materiale in movimento, lintera storia temporale di tutte le

variabili di campo in un punto materiale pu essere facilmente tracciata Nel calcolo lagrangiano alcuni nodi della maglia possono essere posti lungo i confini e le

interfacce dei materiali. Le condizioni al contorno e sulle superfici libere, i confini inmovimento e le interfacce dei materiali sono imposte automaticamente, grazie al semplicemovimento dei nodi della griglia

Geometrie irregolari o complesse possono essere trattate convenientemente usando unamaglia irregolare

Il passo temporale, controllato dalla grandezza degli elementi pi piccoli, pu diventaretroppo basso per essere efficiente e pu anche portare al collasso del calcolo

Una possibile opzione per migliorare il calcolo Lagrangiano ri-zonare la mesh o ri-meshare il dominio di calcolo. La rizonazione della mesh produce un sovrastato di unanuova, non distorta mesh sulla vecchia, distorta mesh, cos che il calcolo successivo possaavvenire sulla nuova mesh invece che su quella vecchia (distorta). Le propriet fisichenelle nuove celle della mesh sono approssimate dalle celle della vecchia mesh attraversoil calcolo della massa, momento e trasporto di energia in una descrizione Euleriana. Lerizonazioni sono spesso utilizzate per simulare esplosioni, penetrazioni, impatti,turbolenze nel fluidi. La rizonazione nei metodi Lagrangiani comporta una grande spesadi tempo. Oltretutto con la rizonazione si perde anche la storia del materiale. Inoltre, icodici Lagrangiani sotto frequente ri-mesh assomigliano ad un codice Euleriano in sensogenerale. Pertanto, anche se ci sono alcuni vantaggi molto buoni nei metodi griglia-basatiLagrangiani, gli svantaggi possono provocare difficolt numeriche durante la simulazionedi eventi caratterizzati da grandi deformazioni. (GR Liu, 2003)

La descrizione Euleriana tipicamente rappresentata dal metodo ai volumi finiti (FVM)dove la mesh fissa nello spazio ed il materiale pu muoversi attraverso la griglia

Una comparazione tra i due metodi illustrata in tabella 2 (GR Liu, 2003), mentre infigura 2 sono rappresentate due griglie, una Lagrangiana, laltra Euleriana


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4.3 Metodo Meshfree

I metodi numerici grid-based presentano difficolt in molti aspetti, che limitanolapplicazione di questi metodi in un gran numero di problemi complessi. Una delle pigrandi limitazioni la generazione della griglia, che non sempre un processo semplicee pu portare ad un lavoro oneroso sia in termini di tempo sia in termini di complessitmatematica. I metodi meshfree agevolano la simulazione di problemi che richiedono lacapacit di lavorare con grandi deformazioni, materiali avanzati, geometrie complesse,comportamento non lineare dei materiali , discontinuit e singolarit. In tabella 2 sonoelencati, in ordine cronologico, i principali metodi meshfree

Fig. 2 Mesh Lagrangiana Fig. 2 Mesh Euleriana

Tabella 2


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4.3.2 Smoothed Particles Hydrodynamics

I metodi particellari meshfree (MPM) trattano i sistemi come gli insiemi di particelle, cherappresentano un oggetto fisico o una porzione di un dominio. Per i problemi di FluidoDinamica Computazionale (CFD) le variabili quali la massa, la quantit di moto,lenergia, la posizione, etc, sono calcolato per ogni particella. Alcuni esempi di questimetodi sono illustrati in tabella 3 (Tabella 2.4 in (GR Liu, 2003)).

Tabella 2


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4.4 Smoothed Particle Hydrodinamics

LSPH un autentico metodo particellare meshfree originariamente utilizzato perapplicazioni nel continuo e pu essere considerato come il pi vecchio tra i modernimetodi meshfree. Fu inventato inizialmente per risolvere problemi astrofisici nello spaziotridimensionale, poich il movimento collettivo delle particelle si avvicina molto almovimento di un liquido o di un gas e pu essere modellato dalle equazionidellidrodinamica Newtoniana. (M.B. Liu, 2009)

NellSPH lo stato del sistema presentato da un set di particelle, le quali possiedono lepropriet dei materiali ed interagiscono tra loro in un campo controllato da una funzione

peso (Smoothing Function). la pressione del fluido calcolata dalla densit utilizzandoun equazione di stato , laccelerazione delle particelle quindi ricavata dal gradiente della

pressione e dalla densit. Per fluidi viscosi pu essere incluso leffetto della viscositfisica nel calcolo dellaccelerazione delle particelle. Allo stesso modo di un metodo

particellare Lagrangiano, lSPH conserva esattamente il valore della massa.

Vediamo quali sono i principali vantaggi di questo metodo rispetto un metodo numericotradizionale grid-based

SPH un metodo particellare Lagrangiano, utilizza un algoritmo definito : Galilean

Invariant. possibile ottenete la storia temporale delle particelle materiali, lavvezioneed il trasporto del sistema pu essere quindi calcolato.

Grazie alla corretta disposizione particellare in una specifica posizione ad un istantiiniziale prima dellanalisi, la superficie libera, le interfacce dei materiali ed i contornimobili possono essere tracciate nel processo di simulazione indipendentemente dalmovimento delle particelle.

LSPH un metodo che non utilizza una mesh/griglia. Questo consente un trattamentocorretto delle grandi deformazioni, dal momento che la connettivit generata come partedel calcolo e pu cambiare nel tempo. Per questi motivi lSPH viene utilizzato nei casi di

fenomeni ad alta energia quali esplosioni, esplosioni sottomarine, impatti ad alta velocit,penetrazioni.

Tabella 3


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Nel metodo SPH , una particella rappresenta un volume finito alla scala del continuo;siamo abbastanza vicini al classico metodo della dinamica molecolare che utilizza una

particella per rappresentare un atomo o una molecola, ed al metodo della dinamica delleparticelle dissipative, che utilizza una part icella per rappresentare un piccolo gruppo dimolecole.

LSPH adatto in quei casi dove loggetto in considerazione non un continuo. Questo vero specialmente nei casi di bio e nano ingegneria alla scala micro e nano, e diingegneria astrofisica alla scala astronomica.

LSPH pi semplice per limplementazione numerica ed pi naturale per lo sviluppodi modelli numerici tridimensionali dei metodi Grib-based

Il primo algoritmo SPH era derivato dalla teoria della probabilit, questo algoritmo nonconservava la quantit di moto ed il momento della quantit di moto. Con lo sviluppo delmetodo e la sua grande applicazione molte caratteristiche interessanti sono state messe in

luce, cosi come molte incongruenze sono state identificate, per questo sono state propostevarianti o modifiche. Per esempio Gingold e Monaghan introdussero un algoritmo capacedi conservare sia la quantit di moto sia il momento della quantit di moto (Gingold RA,1982). Hu e Adams presentarono anchessi un algoritmo con le stesse capacitconservative per i flussi viscosi incompressibili. (Hu XY, 2006).

Molti ricercatori hanno condotto studi su questo metodo riguardo laccuratezza degliaspetti numerici, sulla stabilit, la convergenza e lefficienza. Swegle identific il

problema della istabilit di tensione (Swegle JW, 1995). Morris not il problemadellinconsistenza delle particelle che era condotto con poca accuratezza nella soluzione

dellSPH (JP, 1996; Monaghan J. , 1994). Monaghan propose una simmetrizzazione dellaformulazione che ha mostrato ottimi risultati (Monaghan, Why particle methods work,1982) (Monaghan J. , Smooth particle hydrodynamics, 1992). Randles e Liberskyderivarono un formulazione normalizzata per il calcolo della densit approssimata ed unanormalizzazione per la divergenza dei tensori degli sforzi (Randles PW, 1996). Chen etal. Proposero un metodo SPH corretto (CSPM) che sviluppava una accuratezza sia nei

problemi del dominio sia intorno alle aree di confine. (Chen JK, 1999) (Chen JK B. J.,2000). (M.B. Liu, 2009)

4.5 Interpolazione Integrale

LSPH basato sullinterpolazione integrale. Il principio fondamentale quello diapprossimare ogni funzioneA(r)come (kernel appoximation):

4.1

dove r il vettore posizione; W la funzione peso o kernel; h chiamata smoothinglengthe controlla il dominio di influenza (figura 2)


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Solitamente il valore di h deve essere pi grande della distanza che separa inizialmente leparticelle.

Lapprossimazione (4.1), in forma discreta, ci conduce allapprossimazione particellare:

4.2

dove la sommatoria su tutte le particelle nella regione del supporto compatto dellafunzione kernel. La massa e la densit sono denominate rispettivamente e ; =W( ,) la funzione peso o kernel.

Uno dei vantaggi di questo approccio che la derivata di una funzione viene calcolataanaliticamente diversamente da come succede, ad esempio, nel metodo alle differenzefinite. Le derivate in questo metodo possono essere ottenute grazie ad una derivazioneordinaria e non necessario n un metodo di differenze finite n una mesh.

4.3

Figura 2


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4.6 Il Kernel Smoothing

La prestazione di un modello SPH dipende dalla scelta della funzione peso. Questedovrebbero soddisfare condizioni restrittive quali positivit, supporto compatto enormalizzazione; in pi deve essere monotona decrescente con laumento della

distanza tra le particelle a e deve comportarsi come una funzione delta quando lalunghezza htende a zero:

Positivit: nel dominio

4.4

Supporto Compatto: fuori dal dominio

4.5

Normalizzazione:

4.6

Comportamento funzione delta:

4.7

Comportamento monotono decrescente di 4.8

Il kernel dipende dalla lunghezza he dalla distanza adimensionalizzata tra le particelleq=r/h, essendo r la distanza tra le particelle a e b. il parametro hcontrolla la grandezzadellarea intorno alla particella aallinterno della quale il contributo delle altre particellenon pu essere trascurato. (Crespo, 2008)

4.7 Equazioni Governanti

Le equazioni che stanno alla base della fluido dinamica si seguono se seguenti tre leggidi conservazione:

Conservazione della massa

Conservazione della quantit di moto

Conservazione dellenergia

Le equazioni del moto in SPH sono derivate da queste equazioni nella forma Lagrangiana


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4.7.1 Conservazione della Quantit di Moto

Lequazione di conservazione della quantit di moto in un campo continuo :

2.9

Dove v la velocit, P e sono la pressione e la densit; g= (0.0.-9.82) ms laccelerazione gravitazionale; fa riferimento ai termini diffusivi.

Essendoci diverse formulazioni riguardo i termini diffusivi, per ognuna di esse puesserci un approccio diverso nel descrivere le equazioni di conservazione della quantitdi moto. Abbiamo tre possibili opzioni:

Artificial viscosity Laminar viscosity

Turbulence modeling (laminar viscosity + Sub Particle Scale (SPS) Turbolence)

Viscosit artificiale

La viscosit artificiale proposta da (Monaghan J. , Smooth particle hydrodynamics, 1992) stata molto spesso utilizzata a causa della sua semplicit. Nelle notazioni SPH la (2.9)

pu essere scritta come:

4.20

Il gradiente della pressione in forma simmetrica espresso in notazione SPH come:

4.21

ab indica la viscosit

4.22

con


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dove =

( +), =

( + ), = 0.02h, un parametro libero che pu

cambiare per ogni problema.

Viscosit laminare

Lequazione di conservazione della quantit di moto con viscosit laminare data da:

4.23

dove il termine dello sforzo laminare si semplifica:

2.24

Il termine v0 la viscosit cinetica di un flusso laminare (0.893*20m)

Quindi in notazione SPH la (2.23) pu essere riscritta come:

4.25

Viscosit laminare e SPS (Sub-Particle Scale)

Per rappresentare adeguatamente la viscosit di un fluido ed un moto turbolento viene

utilizzato il Large Eddy Simulation (LES), una modello matematico usato nellafluidodinamica computazionale (CFD) per lo studio di fenomeni turbolenti.

Lequazione di conservazione della quantit di moto :

4.26

dove il termine laminare pu essere trattato seguendo lequazione (2.24) e il tensore

degli sforzi.


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Le assunzioni di questa teoria (sotto le ipotesi di Boussinesq) sono spesso utilizzate permodellare il tensore degli sforzi SPS utilizzando una media alla Favre (per un fluidocomprimibile):

4.27

dove il tensore degli sforzi, = [min(Cs,l)*|S|(turbolence eddy viscosity), k la

SPS energia cinetica della turbolenza, Cs la costante di Smagorinsky (0.22) CI =0.0066,l la distanza particella-particella, |S|= (2SijSij)^2/2.

Quindi seguendo (Dalrymple R. A, 2006) lequazione (2.26) pu essere riscritta nellaforma:

4.28

4.7.2 Equazione di Continuit

Il fluido nella trattazione SOH standard trattato come comprimibile, il che permette diutilizzare le equazioni di stato per determinare la pressione del fluido piuttosto cherisolvere altre equazioni differenziali. In ogni modo la comprimibilit regolata perrallentare la velocit del suono affinch il tempo di calcolo sia ragionabile.

Le variazioni di densit sono calcolate a partire dalla:

4.29

invece di utilizzare una sommatoria pesata dei termini di massa (Monaghan,2992), poich nota per provocare un decremento della densit artificiale vicino alle interfacce fluide.

4.7.3 Equazioni di Stato

Basandoci su quanto scritto da (Monaghan J. , 1994) e (Batchelor, 1974) la relazione trapressione e densit data dalla seguente espressione, nota come equazione di stato Tait:


13/18

4.30

si vede come una piccola oscillazione della densit produce una grande variazione dellapressione.

Questo fluido comprimibile ha un valore della velocit del suono, c, che data dalla:

4.31

4.32

dove c0 la velocit del suono ad una densit di riferimento (sulla superficie libera); lacostante B=c00/pone un limite alla variazione della densit

la scelta di B gioca un ruolo fondamentale dal momento che essa determina la velocitdel suono. Usando un valore corrispondente al valore reale della velocit del suono inacqua, deve essere stabilito un passo in termini di tempo molto piccolo, che si basa sullaCourant-Fredrich-Levy condition. Monaghan mostr che la velocit del suono deveessere rallentata artificialmente, tuttavia (Monaghan, Simulating free surface flows withSPH, 1994) sugger che il minimo valore della velocit del suono dovesse essere circadieci volte pi grande che la massima velocit del fluido attesa.

4.7.4 Movimento delle Particelle

Le particelle sono mosse utilizzando la variante XSPH (Monaghan, On the Problem of

Penetration in Particle Methods, 1989)

4.33

Dove una costante che varia tra 0 e 2, solitamente viene utilizzato =0.5.


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4.7.5 Conservazione ellEnergia

Durante la simulazione viene calcolata lenergia cinetica, potenziale e termica. Lenergiatermica associata ad ogni particella usando la viscosit artificiale calcolata attraversolespressione data da (Monaghan, Smooth particle hydrodynamics, 1992)

4.34

Lenergia totale del sistema calcolata come la somma dellenergia cinetica, potenzialee termica. A titolo di esempio riportiamo in figura 3 le energie calcolate nel caso dicollasso di una colonna dacqua

Analizzando la figura, si osserva come lenergia cinematica per contorni stazionari siauguale a zero. Lenergia potenziale iniziale zero. Lenergia termica calcolata

basandosi sulla (2.24). Nellultima figura viene rappresentata lenergia totale del sistema;

in accordo con (Monaghan, Smooth particle hydrodynamics, 1992), lenergia conservata con un limite dello 0.5% in 400 step. In questa simulazione lenergia cresce

Figura 3


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dello 0.3% in 500 step, quindi la variazione di energia dentro i limiti proposti daMonaghan. (Crespo, 2008)

4.8 Scelta del Kernel

Le approssimazioni kernel sono descritte ampiamente in (Monaghan, Smooth particlehydrodynamics, 1992), (GR Liu, 2003) e (Monaghan, Smoothed ParticleHydrodynamics., 2005).

Nel nostro caso (DualSPHysics) possibile scegliere tra i seguenti kernel:

Gaussian

Quadratic

Cubic spline

Quintic

Gaussiano

4.35

dove q=r/h, r la distanza tra le particelle ae be = 2/(h) in 2D e 2/(

) in 3D

La figura 4 mostra il valore del kernel Gaussiano e le sue derivate.

Figura 4


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Qudratic

4.36

dove = 2/(h) in 2D e 5/(4) in 3D

(GR Johnson, 1996) ha utilizzato questo kernel per simulare i problemi di impatti ad altavelocit. Questa funzione impedisce il raggruppamento delle particelle nei problemi dicompressione.

Cubic Spline

4.37

dove = 20/(7h) in 2D e 2/() in 3D

Figura 5


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Questa funzione stata la pi usata in letteratura data la somiglianza con la funzioneGaussiana pur avendo un supporto compatto stretto. Uno dei vantaggi nellutilizzo diquesto kernel al posto di quello Gaussiano che questo ha un supporto compatto e lonerecomputazionale numerico ridotto.

Quintic (Wendland, 1995)

4.38

dove = 7/(4h) in 2D e 7/(8) in 3D

Figura 6


18/18

I risultati mostrano come il miglior compromesso tra laccuratezza e onerecomputazionale del tempo raggiunto dal kernel Wenland.

4.9

Consistenza e StabilitIn molti modelli numerici esiste un dilemma: consistenza o stabilit?

Per settare un modello numerico come il metodo particellare, dobbiamo sceglierne unarispetto allaltra. LSPH originale ha chiaramente preferito la stabilit (ed anche laflessibilit) sulla consistenza, che consente a questo metodo di lavorare bene con un grannumero di problemi complicati, senza per considerare troppo laccuratezza. Questasembra essere una scelta pratica per i problemi, pratici appunto, che riguardanolingegneria. Questa scelta dovrebbe essere considerata un vantaggio del metodo SPH. Itentativi di migliorare laccuratezza possono essere di aiuto, a condizione per che la

stabilit e lefficienza non siano troppo compromesse.

La questione se si possano avere contemporaneamente accuratezza e stabilit. Larisposta si, a patto di cambiare il settaggio ed essere disposti a pagarne il prezzo. Ilrecente metodo proposto GSM un tipico esempio in questa direzione (GR Liu Z. J.,2008) (XG Xu, 2009). Tuttavia questo metodo non pi un metodo particellare. Il GSMrichiede precise stime degli integrali per scegliete attentamente il tipo di dominiosmoothing da utilizzare, ed in un certo senso lavora come un FVM.

Figura 7

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