Opereremo nello spazio Cartesiano tridimensionale.

( , , )

( , , )( )

( , , )

f x y zx

f x y zfy

f x y zz

∂∂

∂∇ ≡ ∂∂

∂

r

( , , )( , , ) ( , , )( )a x y za x y z y a x y zx z

x y z∂∂ ∂∇⋅ = + +∂ ∂ ∂a r

M M Mxx xy xz

M M Myx yy yz

M M Mzx zy zz

=M

Matrici 3 ××××3 (anch’esse scritte con notazione “bold”)

Dato un vettore a e un versore , il prodotto scalare dà la proiezionedi a sull’asse orientato specificato dal versore.

u ˆ⋅a u

P

P P Pxx xy xz

P P Pyx yy yz

P P Pzx zy zz

↔ =P I tensori comunemente incontrati neiproblemi fisici sono simmetrici: ji ijP P=

ˆ ˆ

2 2 2

u u P u u P u u Px x xx y y yy z z zzu u P u u P u u Px y xy x z xz y z yz

⋅ = + + + ++ +

u Pu(caso di tensore simmetrico)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , P P Pxx yy zz⋅ = ⋅ = ⋅ =x Px y Py z Pz

P

0 0

0 0

0 0

PXX

PYY

PZZ

↔ =P (riferimento al sistema di assi principali)

[ ( , ) ( , )] variazione di massa in nel tempo m V c t t c t V t∆ = ∆ × + ∆ − = ∆ ∆r r

( , ) ( , ) ( , ) /c t t c t t c t t+ ∆ + ∆ ∂ ∂r r r≃

( , ) tasso di variazione di massa in c tV Vt

∂∆ × = ∆∂r

( , ) tasso di variazione di massa in c t VVt

∂ ∆≡ ∆∂r

( , ) tasso di variazione di massa in c t VVt

∂ ∆≡ ∆∂r

In ogni celletta della regione di controllo:

Abbiamo attribuito un significato fisico alla derivata parziale ( , )c tt

∂∂r

Il 1° membro della equazione ADR

Ciò che segue consiste nel tradurre in termini matematici il concetto di “tasso di variazione di massa in ∆∆∆∆V diviso per il volume della celletta” sulla base di ogni processo dinamico che può contribuire.

In questo modo si costruisce il 2° membro dell’equazione ADR.

( , ) ( , ) ( , ) flusso proc. interni

c t c t c tt t t

∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂r r r

In tutta generalità, il contributo dei processi interni alla singola celletta è esprimibile come

( , ) [ ( , )] ( , )proc. interni

c t R c t S tt

∂ = +∂r r r

con [ ( , )]R c tr dovuto a processi reattivi (in senso ampio) e ( , )S tr dovuto a processi di source/sink.

Tra i “processi reattivi” si possono includere anche fenomeni di degradazione biologica (ad es. batterica).

[ ( , )] contributo a dovuto a processi reattivi nel volume e nel tempo

R c t V t mV t

∆ ∆ = ∆∆ ∆

r

La dimensione fisica di [ ( , )] R c tr è quella della velocità di una reazione chimica, quindi M L-3 T-1 (ad es. moli litro-1 s-1).

Processi interni

La forma specifica di [ ( , )] R c tr è data dalla specifica legge cinetica della reazione. Ad esempio, se la specie viene consumata irreversibilmente secondo un processo del 1° ordine, allora [ ( , )] ( , )R c t k c t= −r r con k la costante cinetica 1° ordine (unità di misura T-1).

Il termine di source/sink, ( , )S tr , è tale che

( , ) contributo a dovuto a immissione/sottrazione di specie nel volume e nel tempo

S t V t mV t

∆ ∆ = ∆∆ ∆

r

Per “immissione” (source) si intende proprio l’atto dell’inquinamento , cioè l’introduzione diretta di inquinante: in una o più zone all’interno del volume di controllo possono esserci delle sorgenti che immettono la speciein esame. Ad esempio, un fusto di inquinante volatile aperto all’atmosfera.

Se l’immissione interessa anche nella celletta centrata in r , il tasso di immissione locale sarà ( , ) 0S t >r , eventualmente dipendente dal tempo.

Per “sottrazione” (sink) , corrispondente a ( , ) 0S t <r , si intendono generici processi di smaltimento della specie: la specie viene sottratta dalla fase in cui si trova.

Esempi.

1) Se la celletta in questione è situata all’interfaccia tra la fase in esame e una diversa fase, la specie chimica può uscire irreversibilmente dalla fase [può essere il caso di acqua superficiale (con la specie in essa dissolta) chescende per gravità ed entra nel comparto terreno]. E’ una situazione diversa dall’advection: mentre l’advection trasporta la specie nella stessa fase, qui la specie esce dal comparto.

2) Gocce di pioggia che sottraggono inquinante dalla fase aeriforme.[Immaginare il profilo di ( , )S tr per le cellette a diversa quota…].

[Di fatto, i termini di source/sink corrispondono a processi irreversibili di produzione/decadimento con legge cinetica di ordine zero!]

Attenzione a distinguere correttamente processi reattivi e processi di source/sink!

[ ( , )]R c tr dipende dalla concentrazione locale della specie (attraverso la specifica legge cinetica della rezione), mentre il termine ( , )S tr è indipendente da essa (è regolato solo da fattori esterni).

| ( , ) | mtA t

∆= ∆ ×∆⊥J r

( , )

( , ) ( , )

( , )

J tx

t J ty

J tz

=

r

J r r

r

Introduciamo il vettore flusso di materia (della specie in esame):

ˆ( , ) /t A m t⋅ ×∆ = ∆ ∆J r s

è il tasso di trasferimento di massa attraverso la superficie.

( , ) ( /2, , , ) ( /2, , , )flusso

( , /2, , ) ( , / 2, , )

( , , / 2, ) ( , , / 2, )

( , , , )( , , , )

c tV J x x y z t J x x y z t y zx xt

J x y y z t J x y y z t x zy y

J x y z z t J x y z z t x yz z

J x y z tJ x y z t yx x y z y x zx y

∂∆ × = − + ∆ + −∆ ∆ ∆∂

+ − + ∆ + −∆ ∆ ∆

+ − + ∆ + −∆ ∆ ∆

∂∂= − ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆∂ ∂∂−

r

( , , , )

( , )

J x y z tz z x yz

t V

∆ ∆ ∆∂

≡ −∇⋅ ∆J r

( , ) ( , )flusso

c t tt

∂ = −∇⋅∂r J r

Consideriamo il contributo del flusso attraverso tutte le facce (attenzione ai segni!):

divergenza

variazione netta di massa (della specie) nella celletta, nel tempo ∆t

( , ) flusso netto attraverso la superficie esterna della regione di controllo

flusso

c tiVi ti

∂∆ =∑ ∂r

( , )

flusso

c tiVi t

∂∆ ∂r

( ) ( , )V

V

m t d c t= ∫ r r

sulla superficie

( , )ˆ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

s

Vs s s

V V V

dm c td c t d d t dA t

dt t t

∂ ∂ = ≡ = − ∇⋅ = − ⋅ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫

r

rr r r r J r r J r s r

Advection Diffusione( , ) ( , ) ( , )t t t= +J r J r J r

( , ) ( , ) ( , )

flusso Advection Diffusione

c t c t c tt t t

∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂r r r

Advection

Diffusione

( , ) ( , )Advection

( , ) ( , )Diffusione

c t tt

c t tt

∂ = −∇⋅∂∂ = −∇⋅∂

r J r

r J r

Per procedere occorre dare una forma esplicita ai flussi !

Considerando advection e diffusione molecolare come processiindipendentil’uno dall’altro, i loro contributi al flusso si sovrappongono:

Advection( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )]

Advection

c t t t c tt

∂ = −∇⋅ = −∇⋅∂r J r u r r

Advection( , ) ( , ) ( , )t t c t=J r u r rvelocitàdel fluido

Infatti:|Advection

trasf. trasf.

| ( , ) | ( , ) | ( , )

( ) ( , ) ( )

t A t t t A c t

V c t m

∆ ∆ = ∆ ∆ ×⊥ ⊥= ∆ × ≡ ∆

J r u r r

r

Advection

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )c t c t t t c tt

∂ = − ∇⋅ + ⋅∇∂r r u r u r r

Applicando la regola di derivazione di un prodotto di funzioni:

(fluidi incomprimibili)( , ) 0 t∇⋅ =u r

Advection( , ) ( , ) ( , )t t c t−∇⋅ − ⋅∇J r u r r≃

L’espressione si semplifica assumendo fluido incomprimibile:

(l’origine di questa condizione matematica sarà chiarita nel capitolo dedicato alla fluidodinamica). L’assunzione è ammissibile per i liquidi, ma è spesso applicata anche all’aria. Segue:

Equazioni della fluidodinamica

(Navier-Stokes)( , )tu r

Procediamo affrontando i meccanismi del trasporto locale:

1) Moto molecolare per diffusione (propriamente detta);

2) Diffusione vorticosa in regime di moto turbolento del fluido ditrasporto;

3) Dispersione idrodinamica in materiali inomogenei.

Obiettivo: Dare una forma ai contributi dinamici “locali”

flusso loc.

( , ) ( , )[ ( , ) ( , )] c t c tt c tt t

=

∂ ∂−∇⋅ +∂ ∂r ru r r

Advection dovuta al flusso“medio” (da definire!)

diffusionemolecolare

“diffusione”turbolenta

dispersioneidrodinamica