Capítulo 3 - Fisica cuántica Ilusión o realidad Alastair Rae.pdf

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ticular por el notable físico David Bohtn; y han sido desarrolladas hasta un nivel en el que una teoría de este tipo puede reproducir la mayor parte de los resultados de la física cuántica convencional. Sin embargo, estas teorías tienen sus propios problemas y mucha gente piensa que conceptualmente son tan inaceptables como los del enfoque cuántico usual. En particular, los detalles matemáticos de las teorías de variables ocultas son mucho más complejos que los de la física cuántica, sencillos y elegantes en lo fundamental. La «onda piloto» parece ser por completo diferente de cualquier otro campo de ondas conocido en física: no posee energía propia, a pesar de que es capaz de influir el comportamiento de sus partículas asociadas. Pero las teorías de variables ocultas tienen una desventaja adicional y en opinión de algunos fatal: aunque ideadas para preservar la localidad en situaciones como las discutidas, resultan ser incapaces de lograr esto en todas las circunstancias. En concreto, determinadas situaciones que involucran el comportamiento cuántico de pares de fotones son inexplicables utilizando cualquier teoría local de variables ocultas. Esto parece excluir la principal ventaja de este tipo de teorías. No obstante, cuando se sugirió por primera veZ esta idea se comprendió que no se había realizado todavía ninguna prueba experimental del comportamiento correlacionado de los pares de fotones, lo que dejaba abierta la posibilidad de que la física cuántica estuviese, en realidad, equivocada en tales situaciones y que fuese correcta algún tipo de teoría local de variables ocultas. Esta posibilidad ha sido el tema de una investigación considerable, tanto teórica como experimental, efectuada a lo largo de los últimos años. Debido a su importancia, y a la luz que arroja sobre nuestra comprensión general de los fenómenos cuánticos, dedicaremos el siguiente capítulo a dar ·una explicación razonablemente detallada de este trabajo.

Capítulo 3

¿QUÉ PUEDE HAB.ER OCULTO EN UN PAR DE FOTONES?

El comentario de Albert Einstein «Dios no juega a los dados» resume la forma en la cual reacciona mucha gente cuando se enfrenta por primera vez a las ideas que hemos discutido en los dos capítulos anteriores. ¿Cómo es pasible que los acontecimientos futuros no estén completamente determinados por el estado presente de las cosas? ¿Cómo puede tener una causa dos o más efectos posibles? Si la elección de los acontecimientos futuros no está determinada por leyes naturales,· ¿significa esto que siempre que acontece un suceso cuántico interviene alguna fuerza sobrenatural ( ¿Dios?)? Este tipo de preguntas preocupan a la mayoría de los estudiantes de física, pero casi todos ellos, condicionados por una educación científica que los habitúa a los problemas conceptuales, dicen «La Naturaleza es así» y aplican las ideas de la física cuántica a sus estudios o a sus investigaciones sin preocuparse por su verdad o falsedad fundamental. Sin embargo, alguno físicos jamás se acostumbraron a las contradicciones, cuando menos aparentes, y creen que los procesos físicos fundamentales subyacentes en Ia: física básica del universo deben ser descriptibles en términos deterministas o al menos realistas objetivos. Einstein fue uno de ellos. A lo largo de los años 20 y 30 se opuso con obstinación a la creciente corriente de opinión que tendía a aceptar el indeterminismo y la falta de realismo objetivo como contrapartida inevitable de una teoría que estaba demostrando un enorme éxito

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en una amplia variedad de situaciones prác,ficas. No deja de ser irónico, sin embargo, que la mayor contribución de Einstein a este asunto no haya sido una sutil explicaci6n de la estructura subyacente de la física cuántica, sino la explicaci6n de una consecuencia aún más sorprendente de la teoría cuántica que resulta del análisis del comportamiento cuántico de sistemas que contienen dos o más partículas que interaccionan y después se separan. Einstein fue capaz de demostrar que, en determinadas circunstancias, la física cuántica implica que las partículas separadas influyen una en la otra incluso cuando no hay interacci6n conocida entre ellas. En este capítulo se discuten los argumentos que están en la base de esas conclusiones. Por desgracia estos son inevitablemente bastante más complejos y técnicos que los del resto del libro, pero dada su importancia merecen el esfuerzo que puedan exigir.

Las ideas que se tratan en este capítulo fueron propuestas por primera vez por Einstein y sus colaboradores, Boris Podolsky y Nathan Rosen, en 1935, motivo por el cual se denota este asunto por sus iniciales EPR. Sus razonamientos fueron presentados en el contexto de la dualidad onda-corpúsculo, pero en 1951 David Bohm demostró que el tema podía clarificarse mucho más si se consideraba la medida de variables, como -por ejemplo-la polarizaci6n *del fot6n, cuyos resultados estuviesen limitados a un número pequeño de valores posibles. Para entender el problema de EPR consideraremos un sistema físico formado por átomos en los que tiene lugar una transici6n desde un estado excitado al estado fundamental con la emisi6n de dos fotones en rápida sucesi6n. Las longitudes de onda de los dos fotones son distintas, por lo que corresponden a dos colores diferentes, digamos rojo y verde, pero su propiedad más importante es que sus polarizaciones forman siempre ángulos rectos: si el fot6n rojo está polarizado en el plano vertical, entonces el fot6n verde lo está en el horizontal o si uno está polarizado :.o. + 45° respecto de la horizontal, el otro está a -45°, etc. Por supuesto, no todos los átomos que emiten pares de fotones tienen esta propiedad pero algunos sí y, según veremos, los experimentos con estos sistemas son perfectamente hacederos.

* El artículo de Bohm se refería en realidad a la medida del momento angular o «espín» de los átomos. No obstante, resulta que tanto las medidas experimentales como las predicciones teóricas relativas al «espín» de la partícula son prácticamente idénticas a las relacionadas con la polarización del fot6n.

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Física cumtica: ¿Ilusión o·realidad? 49

¿C6mo sabemos que 'las polarizaciones forman siempre ángulos rectos? Una respuesta podría ser que lo exige la teoría cuántica del átomo; aunque una raz6n más importante es que esta propiedad puede medirse directamente. Considérese para ello el dispositivo de la figura 3.1. En él se coloca un gas at6mico que emite pares de foto-

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FIG. 3.1.-En determinadas circunstancias puede conseguirse que los átomos emitan pares de fotones en rápida sucesión. Los dos miembros de cada par se alejan de la fuente en direcciones opuestas. Dado que tienen longitudes de onda distintas cabe identificarlos haciendo pasar la luz a través de filtros adecuados. En el dispositivo experimental de la figura se mide la polarización HV de uno de los dos fotones con el aparato del lado derecho mientras que la del otro se mide con el del lado izquierdo. Siempre que un fotón del lado derecho está polarizado horizontalmente el de la izquierda se registra como vertical, y a la inversa.

nes entre dos filtros, uno de los cuales deja pasar s6lo luz roja y el otro verde. Cada uno de esos rayos de luz se dirige después a un polarizador HV, del tipo descrito en el capítulo anterior, cuyos dos canales de salida están controlados por sendos detectores de fotones. Todo está dispuesto para que la intensidad de la luz emitida sea lo bastante baja y para que los detectores funcionen con la suficiente rapidez como para que sean detectados pares de fotones individuales. Cuando se conecta el aparato se comprueba que cada vez que se detecta un fot6n en el canal H del polarizador de la izquierda se encuentra un fot6n V en el de la derecha, y a la inversa. Por supuesto, no hay nada de especial en la configuraci6n HV y si se giran los dos polarizadores el mismo ángulo, sea el que sea, se obtiene el mismo resultado; por ejemplo, si se colocan de forma tal que hagan medidas de la polarizaci6n a 4 5°, un fot6n de + 4 5° de la izquierda estará siempre acompañado de un fot6n de -45° en la derecha, y viceversa.

Esto puede parecer muy sencillo, pero considérese ahora el dispositivo de la figura 3.2. Es exactamente el mismo de antes, con la salvedad de que hemos eliminado el polarizador de la derecha . y los correspondientes detectores porque ya no son necesarios. Si la pola·

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rización del fotón de la derecha es siempre perpendicular a la del de la izquierda, entonces sabemos su polari.2ación sin necesidad de medirla; o dicho de otra manera, el acto de medir la polarización del de la izquierda es también una medida de la polarización del de la derecha. Pero ... ¡un momento! Esto sería perfecto si estuviésemos haciendo una medida clásica convencional; en el capítulo anterior vimos que un aspecto importante de cualquier medida cuántica es que afecta al sistema que se mide. Nosotros no sabemos cuál es en realidad la polarización del fotón de la izquierda antes de que sea medida y es bastante improbable que sea con exactitud horizontal o vertical. Cabe presumir. que el polarizador haya cambiado la dirección de polarización del fotón de la izquierda, de forma que ahora sea H o V, pero es evidente que no puede haber afectado al fotón de la derecha, ¡que está -recordemos- en el otro extremo del laboratorio en el instante en el que se hace la medida sobre el de la izquierda!

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FIG. 3.2.-Dado que sabemos que los polarizadores de los pares de fotones forman siempre ángulos rectos, el aparato de la derecha de la figura 3.1 es innecesario. Siempre que en la izquierda se detecte un fotón como vertical podemos concluir que su compañero (al pasar por el punto indicado por la flecha) tiene que estar polarizado según la horizontal, y viceversa. Pero, si una medida cuántica altera el estado del objeto medido, ¿cómo puede el aparato de la izquierda afectar a la polarización del fotón de la derecha que está a algunos metros de distancia?

¿Cómo podríamos explicar los resultados expresados más arriba si prescindimos de la idea de que el aparato de medida afecta a distancia al fotón? Una idea posible sería sugerir que el efecto descrito en la figura .3 .1 depende decisivamente de la presencia de los dos polarizadores y sus detectores asociados. Después de todo, la polarización del fotón de la derecha de la figura .3 .2 no se ha medido, asf que no hay ningún modo de saber si su polarización forma de verdad un ángulo recto con la del fotón de la izquierda y muy bien podría suceder que fuese la inserción del conjunto polarizador-detector de la· derecha lo que produjese el efecto. Bastaría con postular, senci-

Física cuántica: ¿Ilusión o tealidad? 51

llamente, que todos los fotones interaccionan con el instrumento de medida de la inisma manera y que, sea cual sea su polarización real antes de ser detectados, emergen siempre en canales opuestos de los dos aparatos. Al decir esto, sin embargo, implícitamente rechazamos la idea cuántica de que la medida es un proceso aleatorio y por lo tanto indeterminado. Los fotones se detectan siempre con polarizaciones perpendiculares, de suerte que si este es el resultado de sus interacciones con los dos dispositivos de medida no puede haber lugar a ninguna indeterminación asociada con esta interacción. En otras palabras, tenemos aquí una fuerte evidencia a favor de una teoría determinista de variables ocultas del tipo de las discutidas en el capítulo 2: el resultado de la medida de la polarización parece estar determinada de antemano por alguna propiedad del fotón (cada fotón «sabe lo que va a suceder» antes de entrar en el polarizador). \ Semejante conclusión es similar a la alcanzada por Albert Einstein

y sus colaboradores en su artículo original titulado «¿Puede considerarse completa la descripción que de la realidad física proporciona la mecánica cuántica?». Si el aparato de la izquierda no puede afectar al estado del fotón de la derecha, entonces el dispositivo de la figura .3 .2 debe medir alguna propiedad del fotón de la derecha sin perturbarlo. Incluso aunque esta propiedad no sea la polarización misma,

.ésta debe estar relacionada con la variable oculta que va a determinar el resultado de la medida de la polarización. Por ello esa propiedad tiene que ser «real». En palabras de Einstein:

Si podemos predecir con certeza (es decir, con probabilidad igual a la unidad) el valor de una magnitud fisica sin perturbar de ningún modo al sistema, entonces existe un elemento de realidad fisica que corresponde a esa magnitud. V Esto nos deja, pues, la siguiente elección: o bien se extienden l~s ideas de la medida cuántica para que un aparato afecte a un fotón que está situado a gran distancia de él, o bien hay una teoría determinista de variables ocultas subyacentes a la física cuántica. Lo que necesitamos ahora es un experimento que distinga entre esos dos modelos posibles.

El tipo de experimento que vamos a considerar es uno en el que además de medir, al igual que antes, la polarización HV del fotón ae la izquierda, medimos también la polarización del segundo fotón paralela y perpendicular a un determinado ángulo ~ respecto a la horizontal, según se muestra en la figura .3 . .3. Primero analizaremos

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52 x Alastair l. M. Rae

~=G+- * -+-r[]=~ FIG. 3.3.-Cabe contrastar las predicciones de la física cuántica para pares de fotones midiendo la polarización HV de un fotón y la polarización </>. del otro (es decir si está polarizado paralela o perpendicularmente a una dirección que forma un ángulo </> con la horizontal). Si la medida de la izquierda sitúa al fotón de la derecha en un estado HV concreto, es posible calcular las probabilidades de los resultados de una medida </>., posterior.

este experimento utilizando la teoría cuántica convencional y prescindiendo de cualquier duda que podamos tener relativa a las acciones a distancia. Desde esta perspectiva, cuando el fotón de la derecha llega a un punto que está a la misma distancia del centro que el polarizador de la izquierda se mide su polarización HV, y a partir de ahí sigue polarizado ya horizontal ya verticalmente, dependiendo del resultado de la medida de la izquierda. Imaginemos que este experimento se repite un gran número de veces (digamos N), después de las cuales es de esperar que poco más o menos la mitad de los fotones (N/2) haya pasado a través de cada uno de los canales HV del polarizador. De nuestras actuales suposiciones se desprende que correspondiendo a cada uno de los N /2 fotones de la izquierda verticalmente polarizados hay un fotón en la derecha que está horizontalmente polarizado antes de que llegue al aparato de la derecha. Podemos, en consecuencia, calcular el número de ellos que deberían emerger en el canal positivo (es decir, polarizados un ángulo .P respecto de la horizontal) del aparato </>. Llamamos a este número n(v,<f>+), que, a partir de la figura 3.4 y de la teoría general discutida en el capítulo 2, es justo igual a (N /2) cos2 cp, mientras que el número de los que emergen en el otro canal, n(v, .P-), es justo (N/2) sen2 rp. Cabe aplicar unos razonamientos similares a los pares de fotones cuyos constituyentes de la izquierda están horizontalmente polarizados. Resumiremos nuestros resultados de la forma siguiente:

n(v, .P+> = lh.N cos2 .¡,,~ n(v, </>-) = lh.N sen2 cp, n(h, .P+> = lh.N sen2 .¡,, n(h, 4>-) = lh.N cor .p.

[1]

Física cuántica: ¿liusión o realidad? 5.3

Observemos, siquiera sea de pasada, que el número total en el canal 4> positivo --es decir, n(v, .P+) + n(h, 4>+)- es el mismo que el número total en el canal .p negativo --o sea, n(v, 4>-) + n(h, .P-)e igual a lh.N, como cabría esperar, dado que no hemos supuesto nada acerca de la dirección absoluta de polarización de los fotones emitidos por la fuente.

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(a) (b)

FIG. 3.4.-Si el fotón de la izquierda está verticalmente polarizado, a partir de la teoría cuántica deducimos que el de la derecha lo está según la horizontal. Si se mide la polarización </>"' de Y2N de tales fotones, el número de ellos registrado como <1>+ será proporcional al cuadrado de la componente <1>+ del campo eléctrico de una onda horizontalmente polarizada. De (a) se desprende que este número,(n, v, <1>+) debe ser igual a Y2N cos2 </> mientras que el número de los que emergen en el canal <1>-, n(v, <1>-) es igual a %,N sen2 </>. Asimismo, de (b) se desprende que n(h, <I>+)=YlN sen2 </>y n(h, <f>-)=lhNcos2 </>.

Para comparar las predicciones de la ffsica cuántica con las de las teorías de variables ocultas, es útil calcular lo que se conoce como «coeficiente de correlación» e, definido

C= [n(v, .P+)+n(h, .P-)-n(v, 4>-)-n(h, .P+)J!N [2]

La razón por la cual se llama coeficiente de correlación puede verse considerando algunas situaciones especiales. Si 4> =O, los dos aparatos están haciendo la misma medida, y en ese caso sabemos que deben obtener siempre el mismo resultado; en consecuencia:

n(v, <f>+)=n(h, .P-)= lh,N y n(v, .P-)=n(h, .P+)=O.

Utilizando esas relaciones y la ecuación [2] vemos que ahora C= 1,0 y decimos· que los resultados están perfectamente correlacionados. El caso en el cual 4> = 90° es justo el mismo, con la excepción de que

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los papeles de los dos canales de la derecha se han invertido; es fácil ver que ahora e es igual a - 1 ,o, teniendo lo que llamamos una «anticorrelación» perfecta. En la posición intermedia, cuando 4>=45°, deberíamos esperar, a partir de consideraciones de simetría, que todas las combinaciones de pares de fotones fuesen igual de probables, de forma que:

n(v, 4>+)=n(h, 4>-)=n(v, 4>-)=n(h, 4>+)=N/4.

e es, por consiguiente, cero en este caso y no hay correlación alguna. En general y para distintos valores de 4>, e mide hasta qué punto están correlacionados uno con otro los resultados de los dos lados y lo que en breve com.pararemos con los experimentos y entre sí es la predicción del valor que de esa cantidad hacen la teoría cuántica y las teorías de variables ocultas.

La predicción cuántica del coeficiente de correlación se obtiene con facilidad utilizando las expresiones dadas por las ecuaciones [ 1] y [2]:

C (cuántica)=( 1,.2N cos2 4>+ 1,.2N cos2 4>- V2N sen2 4>- V2N sen2 4>)/N = cos2 4> - sen2 4> =cos 24> [3]

La gráfica correspondiente a esta función se muestra en la figura 3.5. V amos a considerar ahora qué tipo de correlación cabría esperar

de una teoría determinista de variables ocultas. La variedad de estas teorías es muy amplia, así que elegiremos una versión simple en la que supondremos que todos los fotones emitidos por el átomo tienen una polarización plana en alguna dirección, que cambia al azar de unos pares a otros, y que los dos fotones de cada par tienen siempre polarizaciones perpendiculares. Supondremos, también, que un fotón emerge siempre a través del canal del polarizador cuya dirección está más próxima a su polarización efectiva; así, un fotón que se aproxime a un polarizador HV aparecerá horizontalmente polarizado si su verdadera dirección de polarización forma un ángulo menor de 45° con la horizontal y aparecerá verticalmente polarizado en los demás casos.

Podemos deducir la forma del coeficiente de correlación, esperado a partir de este modelo, mediante una cuidadosa consideración de las direcciones relativas de polarización. La figura 3.6 ilustra esto y por

Física cuántica: c!Ilusi6n o realidad? 55

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FIG . .3.5.-La física cuántica predice que el coeficiente de correlaci6n C=cos 2<1> (linea continua), pero una teoría de variables ocultas predice que C=l-<1>/45" (linea a trazos). Los resultados de los experimentos concuerdan con la teoría cuántica y están en desacuerdo con las predicciones de las variables ocultas.

el momento supondremos que realizadas sendas medidas sobre un par, el resultado ha sido que la polarización del fotón de la izquierda es vertical y la del de la derecha paralela a la dirección 4>. A partir de la primera medida podemos concluir que la dirección de polarización del fotón de la izquierda antes de la medida tiene que haber estado dentro de un ángulo menor de 45° respecto de la vertical y, por lo tanto (dado que las dos polarizaciones forman siempre ángulos rectos), la polarización efectiva del fotón de la derecha tenía que estar comprendida dentro de un ángulo de 45° respecto de la horizontal, es decir, dentro del sector rayado de la figura 3.6 (a). La segunda medida implica que el fotón del lado derecho está polarizado en alguna dirección comprendida dentro de un ángulo de 45° a partir de la dirección 4> y por esta razón en la parte rayada de la figura 3.6 (b). Juntando esas dos conclusiones vemos que el fotón del lado izquierdo será medido como vertical y el del lado derecho como paralelo a 4> si la polariza-

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ci6n efectiva del fotón de la derecha cae dentro de la porci6n rayada dos veces de la figura 3.6 (e). Dado que la dirección inicial de polarización varía aleatoriamente de un par de fotones a otro, se deduce que el número de los que tienen esa propiedad es proporcional al tamaño de este sector cuyo ángulo es claramente igual a 90°-t/J. Cabe aplicar unos razonamientos parecidos a los otros resultados posibles de la medida y poniendo juntos todos esos resultados obtenemos:

n(v, tP+)/N=(90°-t/J)/180°, n(v, t/J-)/N=t/J/180°, n(h, t/J-)/N=(90°-t/J)/180° n(h, tP+)/N =t/J/180°,

y, en consecuencia, combinando las ecuaciones [ 3] y [ 4], e (variables· ocultas) =(90° -t/J+ 90°-t/J-t/J-4>)/180°

= 1-t/J/45°

[4]

[5]

Esta func}6n está también representada en la figura 3.5, en la que se ve que coincide con la predicci6n cuántica en los puntos concretos 4>=0°, 45° y 90°, aunque está en bastante desacuerdo para los demás ángulos. Esta discrepancia alcanza un máximo para f/J=22 1,1°, cuando e (cuántica)=0,71 y e (variables ocultas)= 0,50. Los experimentos con pares de fotones son muy difíciles, pero en los últimos años se han realizado algunos y los resultados de las medidas de esos coeficientes de correlación están en buena concordancia con la predicci6n cuántica y en desacuerdo con esta teoría de variables ocultas.

La teoría de variables ocultas que se acaba de exponer es s6lo una de las muchas teorías deterministas locales ideadas para describir el comportamiento de los fotones. Es posible, por ejemplo, modificar la teoría para que la conexión causal entre el resultado de la medida y el ángulo formado por la dirección «real de polarizaci6n» y el eje de referencia sea más compleja que la considerada antes. Podríamos intentar efectuar esta modificaci6n de tal modo que las predicciones de la teoría de variables ocultas fuesen idénticas a las de la teoría cuántica o, cuando menos, tan próximas a ellas que sean indistinguibles experimentalmente, pero esta resultaría ser una tarea infructuosa. Decimos esto porque en 1964 John S. Bell demostró que ninguna teoría de variables ocultas que preserve la localidad y el determinismo es capaz de reproducir las predicciones cuánticas para el experimento

Física cuántica: ¿Ilusión o realidad? 57

(a)

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(e)

FrG. 3.6.-Según la teoría de variables ocultas expuesta en el texto, si se mide que el fotón de la izquierda está verticalmente polarizado, la polarización del fotón de la derecha debe estar comprendida dentro de un ángulo de 45• a partir de la horizontal -es decir, en el área rayada de (a)-. Si una medida de la com· ponente </> de la derecha es positiva se desprende, de forma análoga, que la polarización debe estar dentro del área rayada de (b). Así que si en un par de fotones se obtienen esos dos resultados, la polarización del de la derecha debe estar comprendida dentro del área doblemente rayada de (e). La parte del círculo ocu· pada por el área doblemente rayada de (e) es, sin duda, (90•-<t>)/180•.

de los dos fotones. Esta es una deducci6n te6rica de vital importancia que ha sido el motivo principal de la mayor parte de la investigaci6n tanto te6rica como experimental que se ha realizado en este campo a lo largo de los últimos quince años. Debido a esto dedicaremos la siguiente sección a demostrar lo que ha llegado a conocerse como Teorema de Bell. El lector que no esté interesado en las pruebas matemáticas y ·aquel que esté dispuesto a aceptar esos resultados como

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verdaderos puede pasar directamente a las conclusiones de la sección que empieza después de la ecuación [9], en la página 62, sin perder por ello el argumento principal de este capítulo.

El teorema de Bell

Empezemos abandonando de momento el mundo de la física cuántica para jugar al siguiente juego. Coja una hoja de papel y escriba tres símbolos, cada uno de los cuales debe ser un + o un -, en cualquier orden; a continuación escriba otro tres + y - debajo de los anteriores y repita el proceso hasta que tenga 10 o 20 filas conteniendo cada una de ellas tres símbolos. En la tabla 3.1 se representa un ejemplo del modelo que se genera.

TABLA 3.1

h ~ 8

+ + + - +

+ + - +

+ + +

+ +

+ + + +

+ + + + - +

Designe las tres columnas por h, ~ y 8, según se muestra. El paso siguiente consiste en examinar su lista y contar cuántas filas tienen un signo + en las columnas h y ~ y llamar a este número n(h = +,


~= +) (en el ejemplo anterior este número es igual a tres). Cuente ahora cuántas tienen un signo - en la columna ~ y al mismo tiempo un signo + en la columna 8 y llame a este número n( ..¡, = -, 8 = +) (5 en el ejemplo). Por último, halle n(h= +, 8= + ), el número de pares con signo + en las dos columnas h y 9 ( 4 en el ejemplo anterior). Sume ahora los dos primeros números y si ha seguido correctamente las instrucciones verá que su respuesta es siempre mayor que, o quiz4 igual a, el último número. O sea,

n(h=+.~=+)+n(,¡fJ=-, 8=+)>n(h=+, 8=+) [5]

Si lo desea, intente encontrar de nuevo un conjunto de triplas compuesto de signos + y - que no satisfagan esa relación. No lo conseguirá porque es imposible.

Es bastante fácil demostrar que la relación [5] tiene que cumplirse para todos los conjuntos de números del tipo descrito. Considere primero el grupo que tiene h = + y _, = +. Está formado por dos clases de componentes: aquellos con h = + , ..¡, = + y 8 = + y los que son: h= +, ~= + y 8= -.Es decir:

n(h=+, ~=+)=n(h=+, 4>=+, 8=+)+ +n(h=+, 4>=+, 8=-)

De la misma manera

y

n(,¡fJ=-, 8=+)=n(h=+, 4>=-, 8=+)+ +n(h=-, 4>=-, 8=+)

n(h=+, 8=+)=n(h=+, 4>=+, 8=+)+ +n(h=+, ~=-, 8=+)

Si sumanos las dos primeras ecuaciones tenemos:

n(h=+, ~=+)+n(t/>=-, 9=+) =n(h= +, 4>= +. 9= + )+n(h= +. 4>= +, 9=- )+ +n(h= +. 4>= -, 9= + )+n(h= -, 4>= -, 9= +)

Ahora bien, los términos primero y tercero del lado derecho de esa ecuación son justo aquellos que sumados forman el término n(h = +,

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8= +).De ahí se deduce que:

n(h= +, 4>= + )+n(4>=-, 8= +) =n(h= +, fJ= + )+n(h= +, 4>= +, 8=- )+

+n(h=-, 4>=-, 8=+) > >n(h= +, 8= +)

que es precisamente la ecuaci6n [5]. En la figura 3.7 se muestra una versi6n geométrica de la misma prueba.

A

E

D

FIG. 3.7.-Las porciones de este diagrama representan los números de triplas de los tipos indicados. Así, el número con h= + y 9'>= + está representado por el sector AOC. De modo análogo, n( <1> = -, fJ = +) viene dado por COE y n(h=+, fJ=+) por BOD. Desde luego, OAC+COE tiene que ser mayor o igual a BOD, de donde se sigue que

n(h=+,<l>=+) + n(<l>=-,8=+);::;.. n(h=+,B=+)

¿Qué tiene todo esto que ver con las propiedades de los pares de fotones polarizados? Imagine primero que pudiésemos medir la polarizaci6n de un fot6n en tres direcciones distintas, sin perturbarlo en modo alguno, y que averiguamos si ésta era: (i) paralela o perpendicular a la horizontal, (ü) paralela o perpendicular a una direcci6n que forma un ángulo 4> con la horizontal y (üi) paralela o perpendicular a una tercera direcci6n que forma un ángulo 8 con la horizontal. En cada uno de estos casos escribimos un signo + cuando

Ffsica cuántica: ¿Ilusión o realidad? 61

el resultado sea paralelo y un signo - cuando sea perpendicular. Si repetimos el experimento un cierto número de veces obtendríamos un conjunto de números justo igual a los discutidos más arriba y sujeto, por tanto, a la relaci6n [5]. En realidad, no podemos hacer esto porque sabemos que no es posible realizar medidas independientes de las tres componentes de la polarizaci6n de un fot6n individual. No obstante, resulta que todas las cantidades que componen la ecuaci6n [ 5 ] pueden obtenerse a partir de medidas efectuadas sobre pares de fotones correlacionados, a condici6n s6lo de que se satisfagan los supuestos de la localidad y el determinismo de las variables ocultas, es decir, siempre que la polarizaci6n de un fot6n no pueda verse afectada por la medida realizada en el otro, separado por una gran distancia, y que el resultado de cada medida esté determinado por alguna propiedad (oculta) del fot6n.

Consideremos tres experimentos independientes, tal y como se muestra en la figura 3.8. En el primero se mide la polarizaci6n HV del fot6n del lado izquierdo, mientras que en el del lado derecho se mide la 4>+· Dando por sentada la localidad podemos decir que cada

G-*-G G-*-8 G-*-8

FIG. 3.8.-Para probar el teorema de Bell considerarnos tres conjuntos separados de medidas sobre pares de fotones correlacionados en los que los polarizadores tienen las orientaciones que se indican.

vez que se detecta un fot6n en el canal vertical del lado izquierdo, debería haberse detectado otro fot6n en el canal horizontal del derecho si el aparato del lado derecho hubiese sido colocado de esta ma-


nera. De ahí se deduce que si se repitiese este experimento un gran número de veces, se obtendría un valor para n( h = +, 4> = +) correspondiente a los fotones del lado derecho. Es decir,

n(v, 4>+)=n(h=+, 4>=+). [6]

Consideremos ahora un segundo experimento en el que se reorienta el aparato del lado derecho para hacer medidas en alguna otra dirección (digamos a 8 grados respecto de la horizontal), mientras que el aparato del lado izquierdo permanece en la orientación HV. De la misma manera, exactamente, obtendremos:

n(v, 9+)=n(h= +, 9= +) [7]

(Desde luego, no hemos hecho las dos medidas en el mismo conjunto de pares de fotones, pero siempre que el número total de pares sea grande y el mismo para ambos experimentos podemos concluir que, si el aparato del lado derecho hubiese estado en la dirección 4> para el segundo experimento, el número n(v, 4>+) obtenido habría sido el mismo de antes, dejando a un lado pequeñas fluctuaciones estad.fsticas). Consideremos ahora un tercer experimento en el que se orienta el aparato del lado izquierdo en la dirección 4>, mientras que el del lado derecho sigue con la misma orientación que tenía, o sea, la 8. Igual que antes, cada vez que encontremos un fotón del lado izquierdo en el canal++ supondremos que el del lado derecho habría estado en el f/J- y concluimos que

n(4>+, 9+)=n(4>= -, 8= +) [8]

De esas relaciones y de la ecuación [ 5] se deduce directamente que si nuestras hipótesis son correctas

n(v, 4>+)+n(4>+, 8+)>n(v, 8+) [9]

~ste es el Teorema de Bell, conocido a veces como desigualdad de Bell. Dicho con palabras, el teorema afirma que si realizamos tres experimentos para medir las polarizaciones de un gran número de pares de fotones en las que los polarizadores del lado izquierdo y derecho estén respectivamente (i) vertical y formando un ángulo 4> con

Ffsica cuántica~ ¿Ilusión o lealidad? 63

la horizontal, (ü) vertical y formando un ángulo O con la horizontal y (iü) según ángulos 4> el de la izquierda y 8 el de la derecha, entonces el número total de pares en los que los dos fotones se registran como positivos en el segundo experimento no puede ser nunca mayor que la suma de los números de los pares doblemente positivos en los otros dos experimentos, a condición siempre de que los resultados de los experimentos estén determinados por variables ocultas poseídas por los fotones y que el estado de uno cualquiera de los fotones del par no se vea afectado por la disposición del otro aparato ( distante).

Veamos ahora si la teoría cuántica está de acuerdo con la desigualdad de Bell. La expresión cuántica para n(v, 4>+) viene dada, según la ecuación [ 1 ] , por lhN cos 2 4> y, de forma similar, n( v, 8 +) es igual a lhN cos2 9. Para obtener una expresión para n(4>+, 8+) basta con darse cuenta de que si giramos nuestros ejes un ángulo 4>, la dirección 4>+ corresponde 'a la nueva dirección «horizontal» y la dirección fh forma un ángulo 9-4> con ella. Por lo tanto, n(4>+, 9+)=n(h, (9-4>)+)= lhN sen2 (8-f/>), usando [1] de nuevo. De ahí se deduce que la desigualdad de Bell y la física cuántica serán consistentes entre sí sólo si

cos2 4> + sen2 ( 9 -4>) > cos2 9 [10]

para todos los valores posibles de .8 y f/>. O dicho de otra manera, para demostrar que la física cuántica y el Teorema de Bell son inconsistentes basta con demostrar que la ecuación [ 1 O] es falsa para algunos valores concretos de 8 y f/>. Es conveniente considerar el caso especial en el que 4> = J9, caso en el que el lado izquierdo de esa ecuación se transforma en cos2 .38+sen2 28. La figura .3.9 muestra la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de [ 1 O] en función de 9. En ella, se ve que aunque se satisface el Teorema de Bell para valores de 9 mayores de .30°, se viola claramente si 9 está comprendida entre 0° y .30°. En el caso particular en el que 8 = 20° y 4> = 60°, los lados izquierdo y derecho valen, respectivamente, 0,66 y 0,88, en abierta contradicción con la ecuación [ 1 O].

Nos vemos, pues, forzados a concluir que o bien la física cuántica no predice con corrección los resultados de medidas de polarización realizadas en pares de fotones, o bien las hipótesis en que se basa el Teorema de Bell son erróneas. Pero esas son hipótesis en extremo básicas: dicen simplemente que el resultado de un experimento que


l. O

o;-~----7-------------~

-0.4

(J

o 9()0

FIG. 3.9.-Si la física cuántica fuese consistente con el teorema de Bell, la función cos2 31J+sen2 21J-cos21J sería positiva o nula para todos los valores de /J. La gráfica muestra que esto no es cierto para los valores de /J comprendidos entre O" y 30°.

consista en la medida de la polarización de un fotón no puede verse afectado por el modo en el cual otro aparato distante (en general, separado varios metros) está instalado y que los resultados de semejante medida están determinados por alguna propiedad del fotón. ¡Todos los demás supuestos son reglas básicas de la lógica y de las matemáticas! Debería quedar claro ahora por qué han sido tan importantes los experimentos con pares de fotones en estos últimos años: tendrían que ser capaces de determinar de una vez si los objetos físicos se ven afectados sólo por influencias en el lugar en el que están o si la no localidad implícita en la física cuántica es un hecho inevitable de la naturaleza.

Los experimentos

Podría pensarse que el éxito excepcional de la teoría cuántica sobre todo el ámbito de los fenómenos físicos significa que las pre-

Física cuántica: ¿Ilusi6n o realidad? 65

dicciones del Teorema de Bell habían sido ya implícitamente sometidas a prueba por experimentos realizados antes de su publicación en 1964. En particular, cabría esperar que el excelente acuerdo entre las propiedades calculadas y observadas del helio, cuyos átomos contienen cada uno dos electrones, fuese sensible a las propiedades de los pares de partículas correlacionadas. Sin embargo, muy pronto se comprendió que en realidad no se había realizado ninguna prueba directa del tipo concreto de correlación implicada por la desigualdad de Bell. Hay una serie de ejemplos en la historia de la física en los que de forma equivocada se pensó que se había comprobado ya experimentalmente una determinada posibilidad y cuando se hizo de verdad el experimento éste demostró que la teoría aceptada hasta ese momento era errónea. Un ejemplo reciente y bien conocido de lo que decimos fue el descubrimiento, en los años cincuenta, de que algunos procesos físicos dependen de la paridad* del sistema. Así, incluso aunque muy pocos físicos dudasen de la corrección de la física cuántica, era muy importante hacer un examen directo del Teorema de Bell. No obstante, en seguida se reconoció que había distintos tipos de dificultades prácticds que impedían el examen directo de la desigualdad de Bell en la forma dada más arriba. Su origen concreto estaba en que ni los polarizadores ni los detectores tenían una eficiencia del 100 por 100 y muchos de los fotones emitidos por la fuente no eran efectivamente registrados. Además, esa falta de eficiencia puede depender de la colocación de los polarizadores, haciendo que la demostración de la sección anterior sea inaplicable en la práctica. El examen posterior de estos problemas condujo a la derivación de una nueva forma del Teorema de Bell que no está sujeta a esta crítica, y que implica la consideración de un experimento en el que las medidas se hacen con cuatro orientaciones relativas de los polarizadores en lugar de las tres contempladas más arriba. No discutiremos aquí la prueba de esta extensión del Teorema de Bell y nos limitaremos a escribir que su resultado es:

n(v, 4>+)-n(v, ifl+)+n(8+, 4>+)+n(8+, ifl+)S, n(8+)+n(4>+) [11]

* La paridad es una propiedad de los sistemas físicos caracterizada por el comportamiento del signo de su función de onda al reflejarse en el espacio. Si la funci6n de onda no cambia su signo se dice que la paridad es par y si lo cambia se dice que es impar. (N. del T.)


en donde el polarizador del lado izquierdo puede ser colocado para medir ya sea la polarización HV, ya sea la polarización a un ángulo () respecto de la horizontal, siendo las dos orientaciones del polarizador del lado derecho </> y if¡. Los números del lado izquierdo de la ecuación [ 11 ] se refieren al número de veces que se registran a la vez los fotones en los canales apropiados, mientras que los números del lado derecho de la ecuación [ 11 ] se refieren a medidas hechas con uno de los polarizado res quitados; así, n( fJ +) representa el número de veces que un fotón aparece en el canal 8 + del lado izquierdo al mismo tiempo que se registra un fotón en el lado derecho que tiene el palarizador sin colocar, y n(<f>+) se define de un modo parecido. Está claro que para reunir los datos expresados por la ecuación [ 11] es necesario realizar seis experimentos separados, todos ellos de la misma duración para que el número total de pares de fotones involucrados sea en cada caso el mismo.

La desigualdad de Bell ampliada tiene una importante propiedad adicional que expondremos también sin demostración. Esta es que somete a prueba no sólo las teorías deterministas, sino que cubre una amplia variedad de teorías de variables ocultas que incluyen un elemento aleatorio, tales como el modelo de la onda piloto al que nos hemos referido casi al final del segundo capítulo. Si se viola la relación expresada por la ecuación [ 11 ] , todo tipo de teoría de variables ocultas que mantenga la localidad queda excluida.

A lo largo de los últimos quince años se han realizado algunos experimentos con el objeto de someter a prueba el Teorema de Bell, en esta forma o en otras similares. Aunque uno de los primeros experimentos dio unos resultados que estaban de acuerdo con el Teorema de Bell y en desacuerdo con la teoría cuántica, todos los demás (incluida la repetición del experimento anterior) concordaban con las predicciones cuánticas y violaban la desigualdad de Bell. Los experimentos han sido llevados a cabo por distintos investigadores, pero el más reciente y quizá más definitivo ha sido el efectuado por Alain Aspect en Francia. En 1982 presentó un informe acerca de un experimento, justo como el descrito antes, en el que los ángulos eran:

0=45° ; 4>=671!2° ; if!=22li2°

Cuando se sustituyen los resultados de esos experimentos en la ecuación [ 11] se encuentra que el lado izquierdo, en lugat: de ser


[ :J HV * tP±

:J

(J± "'± -¡-.

LJ t..:.J LJ

FIG. 3.10.-En el experimento de Aspect, que somete a prueba las predicciones del teorema de Bell para pares de fotones polarizados, pueden medirse en la izquierda cualquiera de las dos polarizaciones HV o 8 •• y en la derecha cualquiera de las </>± o .V±- Los conmutadores ultrasónicos S operan con tanta rapidez que es imposible que los fotones se vean influidos por la disposición del aparato distante, a no ser que semejantes influencias se propaguen más rápido que la luz. El resultado de este experimento concuerda con las predicciones de la física cuántica y está en desacuerdo con cualquier teoría local de variables ocultas.

más pequeño que el derecho, es en realidad mayor en una cantidad igual a 0,101N, siendo N el número total de pares de fotones en cada cuenta. El cálculo cuántico de la misma cantidad (tomando en consideración la eficiencia de los detectores) da el resultado 0,112N. Los errores estimados en el experimento son lo bastante grandes como para incluir el resultado cuántico, pero lo suficientemente pequeños como para excluir la desigualdad de Bell.

El experimento de Aspect tiene una faceta adicional de considerable interés. Esto se ilustra en la figura 3.10, en la que se ve que las dos medidas de la polarización en cada lado se hicieron utilizando realmente distintos polarizadores que estaban siempre emplazados, siendo dirigidos los fotones a un polarizador u otro, con el objeto de llevar a cabo las medidas apropiadas, por los dispositivos señalados en la figura con una S. Esos «conmutadores» funcionan por ondas ultrasonoras de alta frecuencia de manera que la medida cambie de un canal a otro unos cien millones de veces por segundo. Esta rápida conmutación tiene una consecuencia importante. Recuerde que al


comienzo de nuestra discusión mostramos cómo los resultados cuánticos eran una secuela del hecho de que el fotón del lado derecho está en apariencia influido por la colocación del aparato de la izquierda. Cabría, por consiguiente, imaginar que el aparato del lado izquierdo enviase algún tipo de «mensaje» al fotón de la derecha diciéndole cómo está situado para que él pueda interaccionar de la forma apropiada con el polarizador del lado derecho. El experimento de los conmutadores demuestra que cualquier mensaje de este tipo debe moverse en un tiempo menor que la cien millonésima parte de un segundo (si no el fotón del lado derecho se comportaría como si hubiese sido medido por un polarizador situado en la orientación previa del aparato del lado izquierdo). Pero en el experimento de Aspect los dos polarizadores están separados unos 1 O metros y una señal que viajase a la velocidad de la luz tardaría aproximadamente tres veces ese tiempo en recorrer esa distancia. Ahora bien, es de sobra conocido que ningún objeto físico o señal puede viajar más rápido que la luz, así que la posibilidad de que el fotón reciba mensajes del otro detector debe también ser rechazada.

Se ha dedicado un considerable esfuerzo a la valoración crítica del diseño de los detalles de experimentos como los discutidos para ver si los resultados están realmente en contradicción con el Teorema de Bell o si aún hay alguna salida en el razonamiento. La única posibilidad imaginable parece ser que las eficiencias de los detectores de fotones dependan de alguna manera de las variables ocultas. Esto no sería posible, desde luego, si los detectores registrasen siempre cada uno de los fotones que entran en ellos, pero las eficiencias de los detectores reales son muy bajas y no puede decirse que esta salida esté cerrada por completo. Sin embargo, lo improbable de esta hipótesis combinado con el hecho de que los resultados experimentales no sólo violan el Teorema de Bell sino que están también en un acuerdo excelente con la teoría cuántica han convencido a casi todo el mundo que trabaja en esta área de que todas las teorías locales de variables ocultas pueden ser ahora descartadas.

Discusión

Debería estar claro ahora por qué los resultados de los experimentos de dos fotones llevaron a algunas personas a describir el


efecto de Einstein, Podolsky y Rosen como una «paradoja». Aunque · bastantes científicos se oponen con fuerza a esta denominación, hay algo muy paradójico en la posición a la que hemos llegado. Empezamos demostrando, primero,. que la física cuántica implica que una operación realizada en un fotón afecta al estado de otro separado por una gran distancia. Consideramos después la posibilidad alternativa de que el efecto proviniese de alguna propiedad poseída por cada fotón desde que se creó el par; y el Teorema de Bell y los experimentos relacionados con él nos han forzado a rechazarla. Por fin, el experimento de Aspect prueba que el aparato distante no puede pasar ningún mensaje al fotón. ¡A primera vista esto parece contradecir la afirmación inicial, que pensábamos que había sido confirmada!

No hay, desde luego, una respuesta sencilla alproblema de la nolocalidad y de la paradoja de EPR. En el próximo capítulo volveremos sobre este asunto en el contexto de una discusión profunda de la interpretación convencional o de «Copenhague» de la teoría cuántica; por el momento resaltaremos ciertos puntos importantes que deben recordarse en cualquier discusión de este problema.

Primero, aunque el fotón parece ciertamente estar influido por el aparato distante, esta influencia no es del tipo que acostumbramos a encontrar entre los objetos físicos. En particular, no es el tipo de influencia que usamos para transmitir información o señales de un lugar a otro. Es bastante simple ver por qué es esto así considerando dos experimentadores situados en los extremos de un aparato de dos fotones que tratan de usar ese equipo para pasarse señales uno a otro. El asunto es que, esté como esté orientado el aparato de la izquierda, los fotones emergerán al azar a través de los canales del polarizador de la derecha. Esto es consecuencia del hecho de que incluso en el caso de que el polarizador del lado izquierdo (suponiéndole por el momento en la orientación HV) ponga un fotón del lado derecho en un estado de polarización vertical, pondrá el siguiente en el mismo estado o en el opuesto al azar; por consiguiente, los fotones emergen de forma aleatoria de los dos canales del polarizador de la derecha, sea cual sea su orientación. Podemos, pues, concluir que no hay procedimiento alguno por el cual un experimentador pueda sacar ninguna conclusión relativa a la orientación del otro aparato observando sólo sus «propios» fotones. Es únicamente al juntar los resultados de las medidas realizadas en los dos extremos y examinar las correlaciones cuando se observan los efectos discutidos en este capítulo.


Segundo, el hecho de que sea imposible utilizar un dispositivo EPR para transmitir información resuelve, al menos en parte, el problema de las influencias que en apariencia se mueven más rápido que la luz. Si esas influencias no pueden ser usadas para transmitir información, entonces no necesitan estar sujetas a la teoría de la relatividad, que exige que ninguna señal sea transmitida a velocidad mayor que la de la luz. Nos estamos ocupando de una correlaci6n entre dos conjuntos de sucesos que no se desplazan en ninguna dirección. Cuando analizamos antes la situación en la que el aparato de la izquierda medía la polarización HV, mientras que el de la derecha la medía según un ángulo .P respecto de la horizontal (véase la figura 3.3 y las ecuaciones [ 1] y [ 2]), dijimos que el aparato de la izquierda había colocado al fotón de la derecha en el estado H o en el V, estado que a continuación es analizado por el polarizador de la derecha. Pero si lo hubiésemos puesto de cualquier otro modo y considerado la medida de la derecha primero, habríamos obtenido las mismas respuestas para todos los resultados experimentales tales como n(v, .P+), etc., y los coeficientes de correlación. A decir verdad, los lectores familiarizados con la teoría de la relatividad comprenderán que un observador que pase por delante del aparato de la figura 3.3 desde la izquierda hacia la derecha a una velocidad lo bastante grande, concluiría que el fotón del lado derecho había sido detectado antes que el de la izquierda y que, por consiguiente, la medida .P había tenido lugar primero. Dado que las correlaciones medidas no dependen de ninguna dirección supuesta de movimiento de ese observador, no hay inconsistencia entre los experimentos de EPR y la teoría de la relatividad.

Notemos, finalmente, que aunque los experimentos de Aspect confirman las predicciones de la física cuántica su significado es de un alcance todavía mayor. El hecho de que se viole la desigualdad de Bell significa que ninguna teoría local puede ser consistente con los experimentos. Incluso si se demostrase mañana que la teoría cuántica era incorrecta, toda nueva teoría fundamental que se propusiese tendría que enfrentarse al desafío de la violación de la desigualdad de Bell y ser capaz de predecir las correlaciones observadas entre medidas ampliamente separadas.

Este capítulo ha pretendido demostrar que es imposible evitar el carácter revolucionario de las ideas conceptuales de la física cuántica postulando cualquier tipo de teoría de variables ocultas que pre-

Ffsica cuántica: ¿Ilusión o realidad? 71

serve la localidad. Las propiedades observadas de los pares de fotones no pueden explicarse sin postular alguna correlación entre el estado del aparato de medida y el del fotón distante. Sin embargo, lo que hoy día constituye el enfoque ortodoxo de la física cuántica adopta un punto de vista aún más radical que éste, cuestionando si semejante postulado tiene significado y si de verdad puede decirse que los fotones tienen existencia alguna hasta que son observados. Este punto de vista, conocido como la interpretación de Copenhague, será el tema de nuestro próximo capítulo.

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Capítulo 3 - Fisica cuántica Ilusión o realidad Alastair Rae.pdf