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Estadística y Distribuciones Probabilísticas Sergio Nieves Vanegas
PROBABILIDAD
Introducción
La probabilidad está asociada al azar y teoría de juegos, como una medida de
certidumbre o pronóstico, en el uso cotidiano la probabilidad hoy en día está
inmersa en todos los campos como economía, medicina, educación, ingeniería,
ciencias, política, mercadeo, meteorología, entre otras; y sus usos son como por
ejemplo: factibilidad de un negocio, probabilidad de lluvia o tormentas para un día
dado, favorabilidad de un candidato en unas elecciones, probabilidad de recesión
económica de acuerdo a los mercado internacionales, probabilidad de que la
selección nacional gane un campeonato mundial o clasifique a una instancia final,
que tan probable que el procedimiento quirúrgico sea efectivo, riesgo de contraer
cierta bacteria o enfermedad ,etc. como se puede apreciar la probabilidad está
asociada a todos los campos del saber y por ello es muy importante su estudio.
Definición formal
La probabilidad es la medida numérica de la ocurrencia de un evento, la cual se
encuentra entre 0 y 1.
La probabilidad debe cumplir tres axiomas para garantizar que exista la ocurrencia
del evento junto con su asignación numérica de la ocurrencia de dicho evento:
Axioma 1: Para cualquier evento A, P(A)
Axioma 2:
Axioma 3: Si es un conjunto de eventos mutuamente excluyentes,
entonces:
El axioma uno confirma que la probabilidad es un número positivo y nunca su
resultado puede ser inferior a cero, el segundo axioma establece que la
probabilidad de todo el espacio muestral de experimento debe ser igual a uno o el
100% y el tercer axioma garantiza que la probabilidad de que suceda por lo menos
un evento y no dos o más al mismo tiempo es la suma de los hechos individuales
Estadística y Distribuciones Probabilísticas Sergio Nieves Vanegas
Definiciones de probabilidad
Existen tres modelos que definen la probabilidad, a saber
1. Modelo de frecuencias relativas
Define la probabilidad de ocurrencia de un evento como:
Éste modelo se basa en las frecuencias relativas por lo tanto asume que la
suma de las probabilidades es igual a uno.
La principal desventaja del modelo de frecuencias relativas es que se basa en
datos históricos para poder calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento
por lo tanto si dicho evento no ha ocurrido o durante el proceso de recolección
de los datos se pierde parte de la información no se podrá calcular la
probabilidad de dicho evento.
2. Modelo Subjetivo
Éste modelo se aplica para determinar la probabilidad de eventos que no han
ocurrido en el pasado y no existen datos históricos del mismo por lo tanto se
recurren a sondeos, opiniones o encuestas para calcular la probabilidad de
ocurrencia del evento, con la desventaja que dicho cálculo es personal o
subjetivo.
3. Modelo clásico
Define la probabilidad de ocurrencia de un evento como:
Éste modelo más empleado puesto no se basa en datos históricos ni asigna
valores a las probabilidades de un evento de manera subjetiva.
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Conceptos básicos:
Experimento: es todo proceso que genera resultados bien definidos
Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de un
experimento
Puntos muestrales: son los resultados individuales que componen el
espacio muestral
Evento. Hecho o suceso: es la denotación por extensión o comprensión de
los resultados de un experimento, los cuales pueden ser:
Evento cierto o certeza absoluta : es cuando la probabilidad de
ocurrencia de un evento es igual a 1 o 100%
Evento verosímil: es cuando la probabilidad de ocurrencia de un
evento es mayor a 0.5 y menor que la unidad.
Evento inverosímil: es cuando la probabilidad de ocurrencia de un
evento es mayor a cero y menor o igual a 0.5.
Evento imposible: es cuando la probabilidad de ocurrencia de
evento es cero o nula
Clases de Eventos y teoría de conjunto
1. Eventos mutuamente excluyentes
La ocurrencia de un evento, anula la ocurrencia de otros eventos. Ejemplo: al
lanzar un dado si sale 2 anula la ocurrencia de los otros resultados
2. Eventos compatibles
La ocurrencia de un evento A no afecta la ocurrencia de un evento B y se
pueden presentar simultáneamente. Ejemplo: la probabilidad de que un
empleado obtenga un puntaje bajo en una prueba no incide que sea graduado
o no sea graduado de la universidad.
3. Eventos dependientes.
La ocurrencia de un segundo evento depende de la ocurrencia de un primer
evento, la ocurrencia de un tercer evento depende de lo que ocurrió en el
primero y el tercero y así sucesivamente. Cabe resaltar que en este tipo de
eventos se establece la selección con reemplazo y sin reemplazo, es decir sin
reemplazo es que se selecciona aleatoriamente un elemento del espacio
muestral y no se vuelve a incluir en el mismo y con reemplazo es que se extrae
un elemento se anota la característica especifica del estudio y se vuelve a
incluir en el espacio muestral. Ejemplo: se tiene una urna con 5 balotas de las
cuales 2 tiene premios si se hace una extracción sin repetición la escogencia de
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un premio depende de cada selección, es así que si la primera escogencia no
arroja premio, la segunda extracción dependerá de la primera, hasta la quinta
extracción.
4. Eventos independientes
La ocurrencia de un evento no se ve afectada por la ocurrencia de otros
eventos. Ejemplo: la probabilidad de obtener doble seis en el lanzamiento de
dos dados son eventos totalmente independientes puesto que la ocurrencia
del primer dado no se ve afectada por la ocurrencia del segundo dado.
5. Eventos complementarios
Son todos los demás eventos que completen el espacio muestral, se simboliza
como , de tal forma que:
Ejemplo: la probabilidad de encontrar en un lote un porcentaje de piezas es
defectuosas es del 12%, por lo tanto el complemento será el porcentaje de
piezas sin ningún defecto es de 88%.
6. Eventos colectivamente exhaustivos
Si los eventos son mutuamente excluyente, serán colectivamente exhaustivos
cuando ocurra uno de los eventos del espacio muestral. Ejemplo: al lanzar un
dado si no sale en dicho lanzamiento tres, deberá salir uno o dos o cuatro o
cinco o seis.
Conceptos básicos de teoría de conjuntos
La teoría de conjunto está ligada a la probabilidad, puesto se basa en sus
operaciones, propiedades y axiomas.
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Reglas de la Probabilidad
Existen dos reglas en la teoría de probabilidad las cuales contienen las clases de
eventos, estas son:
Regla Aditiva.
Emplea el conectivo lógico de la unión por lo tanto se aplica la suma como
operación principal, los eventos en que se aplica dicha regla son:
Eventos mutuamente excluyentes
Y así para n eventos
Eventos compatibles
Ésta última se conoce como la regla de inclusión-exclusión y es atribuida a
Joseph Sylvester, pero en realidad se debe a Abraham de Moivere.
Regla Multiplicativa
Emplea el conectivo lógico y ( ), de la intersección, por lo cual el producto es la
operación en estos eventos:
Eventos independientes
Y así para n eventos
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Eventos dependientes
Y así para n eventos
Probabilidad Condicional
Es la probabilidad de que ocurra un segundo evento B si ya ocurrió un primer
evento A, se basan en eventos dependientes y de la fórmula de eventos
dependientes con un simple despeje se desprende la siguiente fórmula:
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes basa la probabilidad de un evento condicionado por la
ocurrencia de otro suceso, el teorema se debe al matemático y reverendo
inglés Thomas Bayes (1702-1761), Bayes fue un pionero en el cálculo de
probabilidades de manera inductiva y se le atribuye las bases para la inferencia
estadística, lo que se conoce hoy en día como Estadística Bayesana, su
teorema tiene aplicaciones en el campo de los test para dopaje y la prueba de
efectividad de medicamentos y tratamientos clínicos hasta el sistema de
detección del famoso spam en el campo informático.
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El teorema:
Sea un conjunto de eventos mutuamente excluyentes y
exhaustivos, entonces para cualquier evento B con y para todo
K= 1,2,……, n, se cumple que:
Si se observa el denominador en dicha fórmula conduce a la ley de
probabilidad total, la cual versa:
Sea un conjunto de eventos mutuamente excluyentes y
exhaustivos, entonces para cualquier evento B, se cumple que:
Ejemplo:
Una fábrica tiene cuatro máquina, las cuales producen 400 unidades, 300, 200 y
100 unidades respectivamente, la gerencia sabe por experiencia que el porcentaje
de piezas defectuosas de cada una es de 3%, 2%, 1% y 4% correspondientemente,
si se procede a extraer una pieza del total producido, determine la probabilidad de
que
a. La pieza sea defectuosa
b. Si la pieza es defectuosa ¿cuál maquina la produjo?
Solución.
Se deben identificar los eventos, por tanto:
Producción:
Máquina A = 400 unidades;
Máquina B = 300 unidades
Máquina C= 200 unidades;
Máquina F = 100 unidades;
Total 1000 unidades; Total= 0.1=100%
El porcentaje de piezas defectuosas producidas por cada una de las máquinas son:
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Sea D el evento de la pieza defectuosa, entonces:
Máquina A = 3%;
Máquina B = 2%;
Máquina C= 1%;
Máquina F= 4%;
a. Para determinar la probabilidad de que la pieza extraída sea defectuosa debe
considerarse. La probabilidad de que haya sido producida por alguna de las
máquinas, es decir por la máquina A o B o C o D, para ello se debe aplicar el
principio de la probabilidad total, puesto la pieza defectuosa pudo haber salido de
A o B o C o D, por tanto:
Reemplazando se tiene que:
La probabilidad de que la pieza escogida sea defectuosa es de 2.4%
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Análisis Combinatorio
Las técnicas de conteo permiten encontrar el espacio muestral de un experimento
de una manera simple, se dividen en:
1. Permutaciones.
Es un arreglo de elementos que implican orden en la disposición de los
elementos, las permutaciones se dividen en:
Simple: es cuando se permuta todo el conjunto
Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden ubicar a cuatro personas en
igual número de puestos?
Solución: Claramente es una permutación puesto que implica orden
Con una repetición: se repite un elemento del conjunto
Con dos o más repeticiones: se repiten dos o más elementos del
conjunto.
Variaciones: se permuta solo una parte del conjunto
Con repetición: Admite la repetición de los elementos muestrales más
de una vez.
Circular: se pueden disponer en un círculo los elementos de un
conjunto.
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2. Combinaciones
Es un arreglo de elementos que no implica orden en su disposición. La
denotación de las combinaciones es , se dividen en:
Sin repetición:
Es una combinación de elementos que no admite repetición de los
mismos.
Con repetición:
Al momento de plantear y dar solución a los problemas de análisis combinatorio,
se debe establecer si la disposición de los elementos implica orden o no, de tal
forma que si implica orden se trata de una permutación, de lo contrario será una
combinación.
Teorema fundamental del conteo
Cuando existen varias características que pueden variar de un experimento y la
cantidad total de resultado es el producto de las posibles s características de los
elementos muestrales
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Problemas Resueltos.
1. La siguiente tabla muestra tres procesos de producción de cierta empresa,
detallando el número de piezas defectuosas y no defectuosas que se seleccionaron
aleatoriamente de un lote en el último mes, los datos se detallan a continuación:
Defectuosa Sin defectos Total
Proceso A 6 (0.07) 4 (0.04) 10 (0.12)
Proceso B 15 (0.18) 32 (0.38) 47(0.56)
Proceso C 12 (0.14) 15(0.18) 27(0.32)
Total 33(0.39) 51(0.61) 84(1.00)
Si se extrae una pieza al azar determine:
a. La probabilidad del proceso A
b. La probabilidad de que la pieza sea defectuosa
c. La probabilidad de que sea defectuosa y del proceso B
d. La probabilidad de que sea defectuosa si es producida bajo el proceso A
e. La probabilidad de que sea defectuosa pero no provenga del proceso B
f. La probabilidad de que siendo no defectuosa no sea del proceso C
g. Son independientes los eventos defectuosa y proceso A
Solución.
Al definir los eventos se tiene:
Evento A: proceso de producción A
Evento B: proceso de producción B
Evento C: proceso de producción C
Evento D: Pieza defectuosa
Evento : Pieza no defectuosa
Las probabilidades son:
a.
b.
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c.
d.
e.
f.
g. Para que los eventos A y D sean defectuosos deben cumplir que:
Por lo tanto los eventos no son independientes.
2. Se realizó un estudio para determinar la incidencia del porcentaje de piezas con
algún defecto en los turnos de día y de noche, se seleccionó una muestra aleatoria
de 500 piezas, de las cuales 300 correspondían al turno diurno, los cuales al final
del turno arrojaban un total de 130 piezas con contracción, mientras que el turno
nocturno 90 piezas no presentaron ninguna contracción. El ingeniero de planta
desea determinar al seleccionar aleatoriamente una pieza, las siguientes
probabilidades.
a. Que una pieza tenga contracción dado que provenga del turno diurno
b. Que una pieza sin contracción y sea del turno nocturno
c. De que la pieza tenga contracción
d. De que la pieza no tenga contracción si fue producida por el turno nocturno
e. Del turno nocturno
f. De que la pieza tenga contracción o del turno diurno
g. De que la pieza no tenga contracción o del turno nocturno
h. ¿Son independientes los eventos contracción y el turno diurno?
i. Interprete los resultados
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Solución.
Es conveniente construir una tabla de contingencia o cruzada que se convertirá en una
tabla de probabilidad.
Turno Diurno (D) Turno Nocturno (N) Total
Contracción (C) 130 (0.26) 110 (0.22) 240 (0.48)
Sin contracción ( ) 170 (0.34) 90 (0.18) 260 (0.52)
Total 300 (0.6) 200 (0.4) 500 (1)
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
0.26
Por lo tanto los eventos C y D no son independientes
i. El porcentaje de piezas con alguna contracción es mayor en el turno nocturno
(55%), que en el turno matutino (43.34%), lo que debe indicarle al ingeniero jefe
plantear los días de descanso o el desempeño de los empleados en las jornadas
nocturna. Muy a pesar de que el porcentaje de piezas con contracción es mayor en
el turno de día.
