6-1

Capítol 6

Circuits de corrent continu. Energia i potència

6.1 Introducció

6.2 Generador lineal

6.3 Receptor lineal

6.4 Diferència de potencial entre

dos punts d’un circuit

6.5 Equació del circuit

6.6 Problemes

Objectius• Conéixer el generador de força electromotriu i el receptor de

força contraelectromotriu.

• Realitzar balanços energètics en circuits.

• Calcular la diferència de potencial entre dos punts d’un circuit.Resoldre circuits simples.

6.1 IntroduccióL’existència de càrrega lliure sotmesa a l’acció d’un camp elèctric dóna

com a resultat un corrent elèctric a causa de les forces elèctriques que actuensobre aquestes càrregues. L’existència d’un gradient de potencial elèctricimplica l’existència d’un camp elèctric, per la qual cosa es pot relacionardirectament el corrent elèctric amb la diferència de potencial entre dos punts.

Si s’uneixen amb un fil conductor dos conductors a distint potencial,s’iniciarà un moviment de càrregues elèctriques que comporten el transportd’electrons del conductor de menor potencial al de major potencial fins aaconseguir l’equilibri electrostàtic en què ambdós conductors estan a igualpotencial i, per tant, es deté el moviment de càrrega elèctrica. Cal recordar quela intensitat, tal com s’ha definit, es correspon amb el moviment de lescàrregues positives, després aniria des del conductor de major potencial fins alde menor potencial. Per a produir un corrent durador, cal mantenir la diferènciade potencial de manera permanent, i això s’aconsegueix mitjançant undispositiu denominat generador.

6-2

Un generador és el dispositiu que mantéla diferència de potencial entre els dos extrems,denominats borns i, per tant, subministral’energia necessària perquè les càrreguescirculen per un circuit.

Un símil el trobem en una font d’aigua decicle tancat: de la mateixa manera que cal unabomba per elevar l’aigua fins a l’eixida de lacanella, cal un dispositiu que “eleve” el potencial

de les càrregues, perquè aquestes adquirisquen l’energia necessària. Labomba pren aigua del recipient i li proporciona energia potencial per a elevar-la.De manera anàloga, considerarem que les càrregues entren al generador ambun potencial V1, i per tant amb una energia qV1, i són portades a un altrepotencial V2, i per tant una energia qV2. L’energia subministrada a cada càrregaés q∆V.

I

qV1 qV2

∆ U = q (V2 - V1)

Figura 6.2. Als generadors, el corrent ix del born positiu.

En la Figura 6.2 es pot observar el símbol del generador, on la líniavertical major es correspon amb el born de major potencial (born positiu). Adiferència del que passa en una resistència, la intensitat de corrent travessa elgenerador des del born de menor potencial (born negatiu) fins al de majorpotencial.

Els generadors poden ser de tipus diferents, segons siga l’energiaprimària que es transforma en energia elèctrica, per exemple, de tipus químic(piles o bateries), mecànic (alternadors i generadors elèctrics) i fotovoltaic,entre d’altres. També convé assenyalar que, a més de generar-se correntcontinu, es pot generar corrent altern, com passa a les grans centralselèctriques o a l’alternador d’un automòbil. En aquest tema ens limitarem aestudiar els generadors de corrent continu, també denominats fonts de tensió.

Es defineix l’energia generada com aquella que el generador converteixdes de l’energia primària en energia elèctrica. Aquesta energia s’utilitza per aaportar energia potencial a les càrregues que travessen el generador. L’energiagenerada per unitat de càrrega es denomina força electromotriu, ε.

Força electromotriu d’un generador (fem) ésl’energia produïda per unitat de càrrega quetravessa el generador

dqdU

=ε

Equació 6.1

També pot definir-se en funció de la potència, dividint numerador idenominador de l’expressió anterior entre dt:

IP

dtdqdtdU

generada==ε Pgenerada = εI

qV1 ∆U = q∆Vq

UqV2

Figura 6.1

6-3

Les dimensions de la força electromotriu són les mateixes que les delpotencial electrostàtic i, per tant, la seua unitat en el SI és el volt (V). La seuadenominació com a “força” té caràcter històric i prové de quan el concepte deforça s’associava a tot "motor" de canvi: no s’ha de confondre amb el concepteactual de força, més restrictiu, que es deriva de les lleis de Newton.

6.2 Generador linealEl funcionament que seria desitjable que tinguera un generador és que la

diferència de potencial entre els borns es poguera fixar de manera independenta la intensitat subministrada. Però això no és així. En un generador real, enaugmentar la intensitat que subministra al circuit, la diferència de potencialentre els borns disminueix. Això es deu a diferents factors de funcionament idepén del dispositiu utilitzat.

Una situació bastant habitualés la mostrada en la Figura 6.1,en la qual la caiguda de tensióentre els borns del generadorvaria linealment amb la intensitat.Un generador amb aquestcomportament es denominagenerador lineal. El generadorideal seria equivalent a ungenerador lineal de pendent nul icom a conseqüència la d.d.p.entre els borns seria constant iigual a la força electromotriu.

Assumint que la caiguda detensió es deu a pèrdues energètiques a l’interior del generador, la forçaelectromotriu serà la d.d.p. en els borns del generador quan la intensitat siganul·la (en circuit obert).

En connectar el circuit i travessar una intensitat el generador, part de lapotència generada (εI ) serà dissipada en el mateix generador abans de sersubministrada al circuit. Si es considera que aquestes pèrdues internes es

corresponen a pèrdues per efecte Joule al generador,tindran com expressió rI2, sent r la resistència interna delgenerador. A l’eixida del generador, la potència consumidapel circuit en què està instal·lat, o subministrada pelgenerador, té com a valor I(VA-VB), sent VA>VB (Figura6.2).

Si es realitza un balanç de potències, la potènciasubministrada al circuit ha de ser igual a la generada algenerador menys les pèrdues internes:

Psum = Pg - Pjoule = εI - I2r = I (ε - Ir) = I (VA – VB)

on, eliminant les intensitats, s’obté l’equació de la recta que representa elcomportament del generador lineal en la Figura 6.1. Llavors, l’equació de larecta que ens dóna la característica tensió–intensitat del generador serà de laforma:

I

V

εGenerador ideal: VAB = ε

Generador real: VAB = ε - Ir

Figura 6.1. Corbes característiques d’un generador ideal ireal.

ε

r

A

B

I

Figura 6.2. Model degenerador lineal.

6-4

VA – VB = ε - Ir Equació 6.1

la qual cosa és equivalent a suposar que un generador real és equivalent a ungenerador ideal i una resistència r, denominada resistència interna, posats ensèrie (Figura 6.2).

La recta té un pendent negatiu, la qual cosa significa que hi haurà unaintensitat tal que la diferència de potencial als borns s’anul·le. Aquesta intensitates denomina intensitat de curtcircuit, i és la intensitat màxima que pot produirun generador.

∆V → 0 ; I → r

ICε

=

La fem es calcularà com la intersecció entre la recta i l’eixd’ordenades, mentre que el pendent de la recta escorrespon amb la resistència interna. La intensitat potcalcular-se considerant el circuit on està connectat elgenerador. Si denominem R la resistència externa, lacaiguda de tensió en aquesta val IR = VA – VB = ε - Ir. Laresistència interna no pot aïllar-se de la resta delgenerador, ja que no és una resistència tangible, però hasigut separada en l’esquema per a major claredat. En laFigura 6.4 s’ha representat de manera esquemàtica lacaiguda de potencial entre els borns d’un generador lineal

tenint en compte els elements que el formen.

Aïllant I de l’expressió anterior, tindrem:

rRI

+ε

=

Convé ressaltar la distinció entrepotència generada i potència subministrada.Potència generada és tota la potència que elgenerador aporta al sistema al qual pertany, ival εI. La potència subministrada al circuitextern al generador, I(VA-VB), és menor, jaque part de la potència generada es dissipaen la resistència interna per efecte Joule, queval I2r,

Pgenerada εIPdissipada I2r

Psubministrada I (VA – VB)

El rendiment d’un sistema és la relació entre l’“objectiu assolit pelsistema” i el “cost utilitzat per fer-ho”. L’objectiu d’un generador és subministrarpotència al circuit i amb aquest fi ha hagut de produir una determinada quantitatde potència. Així doncs, el rendiment d’un generador és el quocient entre lapotència subministrada i la potència generada:

ε

r

A

B

R

I

Figura 6.3. Generadorlineal amb càrrega.

r ε

A BI

VA

VB

Irε

Figura 6.4. Desglossament d’un generadorreal en el component generador i el

component resistiu.

6-5

12

<ε

=ε−ε

==η AB

gen

sum VIrII

PP

En aquesta expressió, es veu que el rendiment augmenta en disminuir laresistència interna. En una bateria ideal el rendiment és la unitat, i per aqualsevol bateria real, el rendiment és sempre menor que un.

6.3 Receptor linealUn receptor és un dispositiu que transforma energia elèctrica en altres

formes de l’energia distintes de la calor, és a dir, qualsevol dispositiu quedissipe o emmagatzeme energia per mecanismes diferents a la llei de Joule. Sibé el cas més comú són els motors que transformen energia elèctrica enmecànica, hi ha sistemes de consum d’energia per a usos químics, com elsacumuladors o els banys electrolítics; generadors d’ones electromagnètiques,com els forns microones; o de camps magnètics com les grueselectromagnètiques, per posar-ne uns exemples.

El paràmetre característic de tot receptor és la força contralectromotriu ε’que es defineix de la manera següent:

La força contraelectromotriu d’un receptor ésl’energia transformada pel receptor en energiamecànica o altres, per unitat de càrrega quetravessa el receptor.

dqdU

=ε'

Equació 6.1

L’equació dimensional és igual a la de la força electromotriu i la unitat enel SI és el volt (V).

La potència que transforma, pot obtenir-se dividint numerador idenominador en l’expressió anterior per dt:

Ptransf = ε’ I

El comportament d’un receptor ideal seria el del que transforma total’energia que se li subministra, és a dir, que la potència consumida pel receptor(Pcons=I(VA-VB), sent VA-VB la d.d.p. entre els borns del receptor) siga igual a lapotència transformada, de manera que la diferència de potencial als borns VA -VB, coincidisca amb la seua força contraelectromotriu en qualsevolcircumstància.

El símbol d’un receptor està representat en la Figura 6.1. La intensitatque travessa un receptor ho fa sempre entrant pel born de major potencial, dela mateixa manera que passa en una resistència.

M+ -ε'ε' ε'

+-

Figura 6.1. Símbols de receptors. En tots aquests la intensitat elstravessa entrant pel born de major potencial.

6-6

Quan en un circuit s’ha instal·lat un generador i la intensitat que eltravessa ho fa entrant pel born positiu, aquest generador es comporta com unreceptor de força contraelectromotriu igual a la força electromotriu delgenerador. Seria aquest el cas, per exemple, quan instal·lem una bateriarecarregable en un circuit de càrrega.

En la realitat sempre hi ha pèrduesd’energia al receptor, per la qual cosaconsumeix més energia que la que estransforma, o, el que és el mateix, la diferènciade potencial a l’entrada del receptor sempre ésmajor que la força contraelectromotriu.

Un receptor lineal serà aquell en quèl’evolució de la d.d.p. entre els seus borns ambla intensitat siga una línia recta. Si se suposaque les pèrdues al receptor són degudes adissipació de calor per efecte Joule i es realitzaun balanç de potències, s’obté:

Pcons=Ptransf + Pcalor = ε’ I + I2r’ = I(ε’ + Ir’) = I (VA – VB)

on, eliminant la intensitat, s’obté l’equació d’una recta que relaciona la d.d.p. enborns del receptor amb la intensitat que el travessa:

VA – VB = ε’ + Ir’ Equació 6.2

que es correspon amb la descrita en el gràfic. El pendent positiu de la recta escorrespon amb la resistència interna del receptor r’, responsable de la calordissipada. Llavors, el comportament d’un receptor es pot considerar anàleg ald’un receptor ideal i una resistència en sèrie.

Per tant, un receptor lineal està caracteritzat per dos paràmetres, forçacontrelectromotriu i resistència interna, i la seua es pot considerar equivalent ald’un receptor ideal amb una resistència en sèrie.

ε' ε'r' r'

Figura 6.3. Model de receptor lineal.

En la Figura 6.4 es representa la caiguda de potència dels borns d’unreceptor lineal descompost a partir dels dos elements que el conformen.

I

V

ε’Receptor ideal: VAB = ε’

Receptor real: VAB = ε’ + Ir’

Figura 6.2. Corbes característiques d’unreceptor ideal i real.

6-7

De forma anàloga al receptor, convéassenyalar les diferències existentsen un receptor lineal entre la potènciaque el receptor transforma en un altretipus d’energia, potènciatransformada; les pèrdues per efecteJoule en la resistència interna,potència dissipada, i la potènciaconsumida pel receptor, que és lasuma de les dues anteriors:

Ptransformada ε’IPdissipada I2r’Pconsumida I (VA – VB)

L’objecte d’un receptor és la transformació de potència elèctrica en unaltre tipus de potència, per a la qual cosa consumeix una quantitat major depotència a causa de la presència de pèrdues. Llavors, el rendiment d’unreceptor és el quocient entre la potència transformada i la potènciasubministrada:

1'<

ε==η

ABsum

transf

VPP

el rendiment augmenta quan disminueix la resistència interna. El rendiment ésla unitat per al cas d’un receptor ideal, i menor que un per al cas d’un receptorreal.

6.4 Diferència de potencial entre dos punts d’un circuitSi considerem el tram d’un circuit, representat en la Figura 6.1, travessat

per una intensitat amb sentit del punt A al B, podem realitzar un balanç depotències tenint en compte que la potència consumida pel tram en la seuatotalitat serà la potència consumida en cadascun dels elements que el formen.

ε1 r1 ε2 r2 ε' r' R

A B

+

Figura 6.1. Branca d’un circuit entre els punts A i B, ambgeneradors, receptors i una resistència.

Atés que la intensitat que travessa el tram, ho fa des de A cap a B, lapotència total consumida és I(VA-VB) (si aquest valor fóra negatiu indicaria queel tram del circuit considerat genera més energia de la que consumeix). Lespotències consumides apareixeran amb signe positiu a la dreta de la igualtat,mentre que les generades apareixeran amb signe negatiu.

Així, el generador 1, treballa com a receptor, atés que la intensitat eltravessa de major a menor potencial, de manera que consumeix una potènciaigual a ε1I+r1I2; el generador 2, participa com a generador i, per tant, generauna potència igual a ε2I (que apareixerà amb signe negatiu) i la potència

VA

VB

r’ ε‘

A BI

Ir’

ε‘

Figura 6.4. Desglossament d’un receptor real en elcomponent transformador i el component resistiu.

6-8

dissipada val r2I2; el receptor té la polaritat assenyalada en la figura i consumeixuna potència igual a ε'I+r'I2 i la resistència dissipa RI2. Realitzant el balanç depotències, tenim:

I(VA-VB)= ε1I+r1I2+ε2I+ r2I2+ε'I+r'I2+ RI2

equació que, dividida per la intensitat, quedarà:

VA-VB= ε1+r1I+ε2+ r2I+ε'+ r'I + RI

Expressió que ens permet calcular la diferència de potencial entre elspunts A i B.

Aquest resultat, pot sistematitzar-se per a poder usar-lo com una regla:

VAB = VA - VB = ΣIR - Σε Equació 6.1

Equació que s’ha d’utilitzar amb el criteri de signes següent:

1. VA – VB representa la diferència de potencial entre el punt A i el punt B. Per acalcular aquesta diferència de potencial es recorre la branca del circuit desde A fins a B.

2. En el sumatori ΣIR, s’han de considerar totes les resistències del circuit,incloent-hi les resistències internes de bateries i receptors. En aquestsumatori, la intensitat és positiva si va de A a B (en el mateix sentit en què esrecorre la branca), i negativa si va en sentit oposat.

3. Σε representa el sumatori per a totes les forces electromotrius icontraelectromotrius. En aquest sumatori, ε es considera positiu quan enrecórrer la branca de A a B eixim pel born positiu de la bateria o del receptor,i ε és negatiu quan en anar de A a B eixim pel born negatiu de la bateria odel receptor. En aquest criteri no es diferencia entre bateries i receptors,l’única cosa que s’ha de considerar és el signe del born pel qual s’ix enrecórrer el circuit de A a B.

Podem arribar a la mateixa solució recorrent el circuit element a element.Amb aquest fi partim d’una branca com la de la Figura 6.2, i la recorrem d’unpunt A a un altre B. En aquest cas, suposarem que la intensitat que travessa eltram de circuit ho fa des de B cap a A, la qual cosa implica la polaritatassenyalada en el receptor.

6-9

Eixint del punt A, travessem enprimer lloc una resistència, que éstravessada pel corrent I. Lesresistències sempre produeixen unacaiguda del potencial, per la qualcosa la tensió a l’eixida (el punt A) ésmenor que a l’entrada. Com hem eixitdel punt A, això suposa que elpotencial puja en una quantitat IR. Acontinuació travessem un receptorideal que implica una nova caigudade potencial en el sentit de laintensitat. Posteriorment, travessemun receptor ε1, eixint pel born positiu,per la qual cosa “eixim” amb més potencial que hem entrat, en una quantitat ε1.Finalment, travessem un generador ε2, eixint pel born negatiu, és a dir, “eixim”amb un potencial ε2 menor. Si sumem tots aquests augments i disminucions delpotencial, arribem a: VAB = VA - VB = -IR - ε' - ε1 + ε2.

Exemple 6.1

Calculeu la diferència de potencial entre els punts A i B de la branca dela figura. La branca consumeix o subministra energia a la resta del circuit?

30 Ω 10 V10 Ω30 V50 V

BI = 2 A

MA

Solució

Aplicant l’Equació 6.1, tindrem:

VAB = VA - VB = ΣIR - Σε = -2(40) - (-50 + 30 + 10) = -80 +10 = -70 V

Observem d’una banda, que la intensitat va de B a A, i per tant en sentitcontrari al nostre desplaçament, per la qual cosa és negativa. D’altra banda,en els motors, el corrent ix pel negatiu, per la qual cosa en anar de A a B,hem eixit pel positiu.En aquesta branca, les càrregues ixen per A amb menys energia que hanentrat per B, per la qual cosa la branca en conjunt consumeix energia de laresta del circuit.

R ε1 ε2

A BI

VAIR

ε1 ε2

ε'

ε'

+

VB

Figura 6.2. Diferència de potencial entre A i B.

6-10

6.5 Equació del circuitSi en un circuit tancat es coneixen tots els

elements que el configuren, és possible calcular elvalor de la intensitat que hi circula. Així, suposem elcircuit de la Figura 6.1 i ens fixem en els punts A i B,que estan units per un conductor sense resistència,per la qual cosa la diferència de potencial VAB észero. Si calculem VAB pel camí llarg, tindrem:

VAB = 0

ΣIR = Σε

Obtenint una equació que ens permet calcular la intensitat de correntque circula per un circuit tancat que conté generadors, receptors i resistències:

∑∑ε

=R

I Equació 6.1

Resulta útil per comprendre el funcionament d’un circuit fer un balançd’energia o de potències, assenyalant en un esquema la totalitat de lesenergies posades en joc per cada element d’un circuit, i comprovar així elprincipi de conservació de l’energia.

Per exemple, per al circuit mostrat en la Figura 6.1, tindríem un diagramacom el mostrat en la Figura 6.2.

I2rI2r’

Pgen= εI

Pacum= ε’I

I2R

Figura 6.2. Diagrama d’un balanç d’energia.

Hi observem que la suma de la potència subministrada equival a la suma de lapotència consumida.

εI = I2r + I2r’ + ε’I + I2R

Determinació del sentit de la intensitatEn les equacions presentades, se suposa coneguda la intensitat del

circuit. Normalment, resoldre un circuit implica calcular la intensitat, conegutsels elements que el formen. A l’hora de calcular la intensitat, és importantobtenir adequadament el sentit. De vegades, la col·locació de les bateriesindica clarament quin és el sentit de la intensitat, però altres vegades (quan hiapareixen bateries i receptors), pot no ser evident quin és el sentit que tindrà laintensitat.

R

ε, r ε‘, r’

A

B

I

Figura 6.1. Circuit simple amb ungenerador, un receptor i una

resistència.

6-11

En cas de dubte sobre el sentit de la intensitat s’ha de procedir de lamanera següent:

1. Suposar de manera arbitrària un sentit per a la intensitat.2. Mitjançant l’expressió anterior, calcular el valor de la intensitat, i comprovar

si és positiva o negativa.3. Si la intensitat resultant és positiva, el sentit que inicialment hem suposat és

el correcte i el problema queda resolt.4. Si la intensitat és negativa el sentit que inicialment hem suposat en l’apartat

1 no és l’adequat. Llavors hem d’assignar-li el sentit contrari.5. Calculem novament la intensitat, i tornem a comprovar-ne el signe.6. Si la intensitat és positiva, el sentit que hem suposat en el punt 4 és el

correcte i el problema queda resolt.7. Si la intensitat és negativa, aquest sentit que hem suposat tampoc és el

correcte. D’aquesta manera, cap dels dos sentits de la intensitat éspossible, la qual cosa indica que no hi ha corrent en el circuit: la intensitat észero. Això pot ser així en el cas que en el circuit tinguem algun motor, i lesbateries d’aquest no tinguen potència suficient per moure el motor.

Hem d’assenyalar que en absència de receptors, si la intensitat ésnegativa, podem deduir que la intensitat va en sentit contrari al calculat peròamb el mateix valor absolut. Això es deu al fet que l’Equació 6.1 és simètrica (elcanvi de sentit de la intensitat afecta per igual el signe de tots els sumands) enabsència de receptors. La presència d’un receptor trenca aquesta simetria iobliga a realitzar novament els càlculs davant d’un valor de la intensitatnegativa que el travesse.

6-12

Exemple 6.1

Calculeu la intensitat que circula pel circuit dela figura.

Solució

Podem observar que els possiblesgeneradors estan disposats de manera que elsseus efectes se sumen, per la qual cosa no hi hareceptors, i el sentit del corrent és el de la figura.La intensitat, l’obtenim aplicant l’equació delcircuit.

A54,102230

=+

=I

4 Ωε

2 Ω

3 Ω

1 Ω

22 V0,2 Ω

30 V0,2 Ω

I

Exemple 6.2

Donat el circuit de la figura, responeu les qüestions següents:a) Calculeu el valor i el sentit de la intensitat que circula pel circuit.b) Diferència de potencial entre el punt A i el C (VA – VC).

Desenvolupeu el càlcul pel camí ABC i pel camí ADC.c) Quins elements subministren energia al circuit? Calculeu el valor de

la potència subministrada per cada element.d) Quins elements consumeixen energia en el circuit? Calculeu el valor

de la potència consumida per cada element.e) Quin és el rendiment del motor? I el de la font (2)?f) Si modifiquem la força electromotriu de la font (1), quin ha de ser el

nou valor perquè la diferència de potencial entre els punts A i C tinga valorzero? Quina és la intensitat del circuit en aquest cas?

Solució:

a) A la vista de les fonts que actuen i la polaritat d’aquestes, calesperar que la intensitat tinga sentit dextrogir. Si calculem el valor ambaquesta consideració prèvia:

6-13

( ) A04,0

2502030

=−

=ε′−ε

=∑

∑i

ii

RI

com I > 0, el sentit de les intensitats, tal com s’havia previst, és dextrogir.

Si haguérem suposat un sentit levogir d’intensitats, haguérem obtingut elsegüent:

( ) A0,12

250101030

i

'ii −=

+−−=

ε−ε=

∑∑

RI

La qual cosa implicaria recalcular novament la intensitat en l’altre sentit.Observeu que la presència de la força contraelectromotriu del motor fa quel’equació no siga simètrica amb el sentit de les intensitats i, per tant, elsvalors absoluts de les quantitats calculades no coincideixen.

b) Calcularem en primer lloc VA - VC seguint el camí que passa pelpunt B:Apliquem l’equació:

( )∑∑ ε′−ε−=−ACAC ii

ACiACCA RIVV

IAC és la intensitat que va de A a C, amb el signe corresponent, i els termesinclosos en el sumatori corresponen als elements que es troben entre A i Cen el camí elegit. Llavors:

VA – VC = 0,04(10+100+10) - (-10 + 10) = 4,8 V

Si el camí elegit és el que passa pel punt D, observem la presència d’unaforça contraelectromotriu deguda al motor. Llavors el càlcul correcte de ladiferència de potencial haurà de fer-se de tal manera que la intensitat quetravessa el motor tinga valor positiu en l’expressió: per tant calcularem VC -VA. D’aquesta manera la intensitat considerada en l’equació travessa elmotor amb la polaritat correcta.

VC – VA = 0,04(20+100+10) - (20 - 10) = - 4,8 Vamb la qual cosa,

VA – VC = 4,8 V

valor que es correspon amb el que hem trobat anteriorment.

c) Les fonts són els únics elements amb capacitat de subministrarenergia al circuit. Entre aquestes, subministraran energia aquellesl’aportació de les quals al circuit implique prendre càrregues a un potencial itornar-les al circuit amb un potencial major, o el que és el mateix, amb majorenergia potencial. Llavors, subministraran energia aquelles fonts en lesquals el corrent elèctric entra pel born negatiu. En aquest exercici, aixòpassa amb les fonts (2) i (3).La potència que subministren al circuit serà el resultat de llevar a la potènciagenerada per les fonts les pèrdues per efecte Joule en les seuesresistències internes:

6-14

PS = Pg - PJ = εI - rI2La font (2):

PS = 10·0,04 - 10·0,042 = 0,384 WLa font (3):

PS = 20·0,04 - 20·0,042 = 0,768 W

La potència total subministrada al circuit és la suma d’ambdós valors= 1,152 W

d) Consumiran energia les resistències, el motor i aquelles fonts enles quals les càrregues elèctriques perden energia en travessar-les (entrenpel born positiu), la qual cosa passa, en aquest exercici, amb la font (1). Lapotència consumida serà:- En les resistències, per efecte Joule:

PJR = RI2 = 100·0,042 = 0,16 W

Sent aquest valor comú per a ambdues resistències.

- En el motor s’haurà de considerar la potència transformada i les pèrduesper efecte Joule en les seues resistències internes:

PCM = PT + PJ = ε’I + rI2 = 10·0,04 + 10·0,042 = 0,416 W

- En el generador (1), la força electromotriu actua com acontraelectromotriu, consumint o emmagatzemant energia. També s’haurande considerar les pèrdues per efecte Joule en les seues resistènciesinternes.

PCε = Pε + PJ = εI + rI2 = 10·0,04 + 10·0,042 = 0,416 W

En total, la potència consumida en el circuit (sense considerar lesresistències internes dels generadors que actuen com a tals), és:

PC = 2PJR + PCM + PCε = 2·0,16 + 0,416 + 0,416 = 1,152 W

Valor que és igual a la potència subministrada al circuit. El balanç depotències dóna per tant, tal com ha de passar, la igualtat entre energiessubministrades i consumides en el circuit.

e) L’objecte d’un receptor és transformar potència elèctrica en unaltre tipus de potència. En el cas del motor aquesta última serà potènciamecànica. El rendiment ens donarà una valoració de l’èxit obtingut enaquesta tasca. El seu valor vindrà donat per la relació entre la potènciatransformada i la potència total consumida:

962,0416,0

4,0+

2 ==

ε′ε′

==ηrI I

IPP

MC

T

Donant el resultat en %, tindrem:

6-15

η = 96,2 %

O siga, cada 100 watts consumits pel motor, 96,2 es transformen elpotència mecànica, i la resta es perd per escalfament.

Per la seua banda, l’objecte d’un generador és prendre potència d’una fontenergètica i subministrar-la al circuit en forma de potència elèctrica. Peròpart de la potència transformada, que en aquest cas denominem"generada", es perd abans d’arribar al circuit a causa de l’existència deresistències internes al generador. El rendiment ens donarà una valoracióde l’èxit obtingut pel generador per a executar la seua tasca i vindrà donatper la relació entre la potència subministrada al circuit i la generada:

96,04,0

384,0- 2==

εε

==ηIr I I

PP

g

S

Valor que donat en % queda:

η = 96 %

Llavors cada 100 watts generats per la font, 4 es perden per escalfament enles resistències internes.

f) La presència del motor planteja la possibilitat que hi haja duessolucions distintes que donen com a resultat que VA - VC = 0, atés quel’equació que determina aquesta diferència de potencial pel camí ADC ésdistinta en funció del sentit que tinga la intensitat en el circuit.

Si considerem que la intensitat manté el sentit dextrogir, i calculem VC - VApel camí ADC:

VC - VA = 130 I - (20 - 10) = 0d’on

A131

=I

Per a calcular el valor de la força electromotriu de la font (1), calcularemaquesta mateixa diferència de potencial pel camí ABC:

( ) 0=10- - 131 120 ε

−=− AC VV

d’on

V1310

1312010 =−=ε

Exemple 6.3

6-16

El motor del circuit de la figura consumeix 20 W, dels quals un 10 % ésper efecte Joule. Si la font subministra 60 W al circuit extern, determineu:

a) la potència consumida en la resistència de 10 W,b) si la font genera una potència de 64 W, determineu-ne les

característiques: ε, rc) finalment, calculeu les característiques del motor: ε´, r´

M

ε

50 Ω

rr’

ε’

Solució:El problema està plantejat en termes d’energia, i podem recordar el

comportament dels elements del circuit a partir d’aquest punt de vista perpoder fer un plantejament general del circuit abans de resoldre els apartats:

El generador és l’únic que pot aportar energia al circuit. L’energia quegenera per unitat de temps, la potència generada, és proporcional a laintensitat que circula pel circuit: Pg = εI. D’aquesta energia, una part es perd enforma de calor en el mateix generador (I2r), i la resta és la que es transmet ales càrregues, se subministra al circuit. Expressades en termes de potència,les pèrdues es calculen amb les de l’efecte Joule de la resistència interna delgenerador, i l’energia subministrada al circuit per unitat de temps serà lapotència generada menys les pèrdues, i seguirà l’expressió següent:

PJG = I2r; PS = IVB - IVA = ε·I - I2r

En la resistència les càrregues sempre perden energia, segons la lleide Joule, la qual ens donarà la calor produïda per unitat de temps:

PJ = I2R

6-17

Finalment, en el motor les càrregues aporten l’energia que estransforma una part en energia mecànica (ε'I), i una altra que es perd en formade calor en el mateix motor (I 2r'). Per tant, l’energia que consumeix el motorper unitat de temps és la suma de la transformada més les pèrdues per efecteJoule en la seua resistència interna: Pc = ε’I + I2r’

Així, podem considerar el circuit com un sistema en el qual, de maneracontínua, es produeixen intercanvis d’energia, i podem representar-lo utilitzantel diagrama de flux d’energia per unitat de temps següent.

Si ara, tenint en compte totes aquestes consideracions, interpretemprogressivament les dades del problema, arribarem a determinar totes lescaracterístiques del generador i del motor.

En el generador la potència consumida s’inverteix en produir potènciamecànica (90%) i en pèrdues per efecte Joule (10%)

ε' I + I2r’ = 20 W10 % (20 W) = 2 W = I2r’

18 W = ε’I

La potència que subministra el generador al circuit (60 W) serà igual a lasuma de la que consumeix el motor (20 W) i la que es perd per efecte Jouleen la resistència R:

60 W = 20 W + I2R → PJ = I2R = 40 W = I2·10 Ω → I = 2 ADels 64 W que genera el generador, 60 W se subministren al circuit i laresta són pèrdues per efecte Joule en el mateix generador:

εI = 64 W = 60 W + I2r

6-18

Ara ja podem resoldre tots els apartats del problema:a) PJ = I2R = 40 Wb) εI = 64 W → ε = 32 V I2r = 4 W → r = 1 Ωc) ε’I = 18 W → ε’ = 9 V I2r’ = 2 W → r ‘= 0,5 Ω

6.6 Problemes

1. Es connecta una resistència variable R a un generador de força electromotriuε que es manté constant independentment de R. Per a un valor de R = R1 elcorrent és de 6 A. Quan R augmenta fins a R = R1 + 10 Ω, el corrent cau fins a2 A. Calculeu: a) R1, b) ε.Sol: a) 5 Ω, b) 30 V

2. Una bateria té una força electromotriu ε i una resistència interna r. Quan esconnecta una resistència de 5 Ω entre els terminals d’aquesta, el corrent és de0,5 A. Quan se substitueix aquesta resistència per una altra d’11 Ω, el correntés de 0,25 A. Calculeu: a) La força electromotriu ε i b) la resistència interna r.Sol: a) 3 V, b) 1 Ω

3. En el circuit de la figura la ε = 6 V i la r = 0,5 Ω. Ladissipació de calor per efecte Joule en r és 8 W. Calculeu: a) laintensitat, b) la diferència de potencial entre els extrems de R,c) valor de R.Sol: a) 4 A, b) 4 V, c)1 Ω

4. Calculeu la diferència de potencial entre elsborns del generador ε.Sol: 29 V

5. Si a un generador de força electromotriu ε i resistència interna r es connectauna resistència R, determineu quin ha de ser-ne el valor perquè la potènciadissipada en R siga màxima.Sol: R = r

6. En les figures es representa la característica tensió corrent de diferentselements d’un circuit de CC. Identifiqueu-ne cadascuna amb l’element al qualcorrespon.

ε , r

R

ε

1 Ω

4 Ω

3 Ω

30 V0,2 Ω

2 Ω 22 V0,2 Ω

6-19

recta característicageneradorreceptorresistència

1

1

V (V)

I (A) 2 3 4 5

2

3

4

5

6

7 (a)

(b)

(c)

7. En la figura es representa la característica tensió corrent d’un generador.Representeu en la mateixa figura la gràfica corresponent a: a) tres generadorsidèntics a l’anterior disposats en paral·lel, b) ídem en sèrie.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

789

V (V)

I (A)

a) b)

ε r ε r ε r ε r

ε r

ε r

ε r

8. Determineu la diferència de potencial entre els punts A i B en les figuressegüents:Sol: a) 290 V, b) -118 V, c) 10 V, d) 5 V

6-20

20 Ω 50 V10 Ω30 V10 V

BI = 10 A

MA

5 Ω 7 Ω12 VB

I = 10 AA

10 V 20 V

4 Ω 3 ΩB

A

10 V

2 Ω

C

D

3 Ω 1 Ω

A B

4 Ω

a)

b)

c)

d)

10 V 2 Ω 9 Ω 10 V

9. Un conjunt de N generadors idèntics amb força electromotriu ε i resistènciainterna r s’associen en sèrie tancant el circuit amb un fil sense resistència.Calculeu: a) intensitat que recorre el circuit, b) diferència de potencial entre dospunts qualssevol j i k.Sol: a) ε/r , b) 0

10. Donat el circuit de la figura amb r1 > r2, calculeu el valor de Rperquè la diferència de potencial en borns d’un dels generadorssiga zero. Indiqueu en quin.Sol: R = r1 - r2. En l’1.

11. El motor del circuit de la figura consumeix50 W, dels quals un 20% ho és per efecteJoule. Si la font subministra 100 W al circuitextern, determineu: a) potència consumida enla resistència de 50 Ω, b) si la font genera unapotència de 110 W, determineu lescaracterístiques de la font: ε, r, c) lescaracterístiques del motor: ε´, r´.Sol: a) 50 W, b) 110 V, r = 10 Ω, c) 40 V, 10 Ω.

12. Si pel circuit de la figura circula unaintensitat I = 2 A, en el sentit indicat, i elrendiment del generador εx és del 80%.Determineu els valors de εx i Rx.Sol: εx = 225 V i Rx = 22,5 Ω.

R

r1 r2

εε

Mε, r

50 Ω

ε’r’

5 Ω

20 Ω

50 Ω

10 V

20 V

I = 2 Aεx

rx

6-21

GLOSSARI

Força electromotriu d’un generador és l’energia quesubministra per unitat de càrrega.

Generador lineal: Dispositiu que subministra energia a uncircuit, que produeix una diferència de potencial entre els bornsque decreix linealment amb la intensitat en la forma

VA – VB = ε - Ir

Rendiment d’un generador és el quocient entre la potència quesubministra i la potència que genera.

Receptor: Dispositiu que transforma energia elèctrica en altresformes de l’energia distintes de la calor.

Força contraelectromotriu d’un receptor és l’energiatransformada pel receptor en energia mecànica o altres formesdistintes de la calor, per unitat de càrrega que travessa elreceptor.

Rendiment d’un receptor és el quocient entre la potènciatransformada i la potència subministrada.