Capítulo 4: Polinomios - Universidad de Sevilla · Introducci on a los polinomios De nici on de polinomio De nici on (Polinomios con coe cientes en A) Sea A un anillo. Llamaremos

Capıtulo 4: Polinomios

Miguel Angel Olalla [email protected]

Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla

Diciembre de 2016

Olalla (Universidad de Sevilla) Capıtulo 4: Polinomios Diciembre de 2016 1 / 49

Contenido

1 Introduccion a los polinomios

2 Divisibilidad

3 Maximo comun divisor

4 Factorizacion. Factores multiples

5 Congruencias. Teorema chino del resto

6 Factorizacion en C[x ] y en R[x ]

7 Factorizacion en Q[x ]

8 Factorizacion en Fp[x ]


Introduccion a los polinomios

Definicion de polinomio

Definicion (Polinomios con coeficientes en A)

Sea A un anillo. Llamaremos conjunto de polinomios con coeficientesen A, y lo denotaremos por A[x ], al conjunto de las expresiones de la forma

a(x) = amxm + am−1x

m−1 + . . .+ a1x + a0,

con los ai ∈ A y m ∈ N.



Grado de un polinomio

Definicion (Grado)

El grado de un polinomio a(x), notado grado(a(x)), es el mayor entero ntal que an 6= 0. El polinomio cuyos coeficientes son todos nulos se llamapolinomio nulo y se denota por 0. Por convencion, su grado esgrado(0) = −∞.



Algunas definiciones

Definicion

Sea a(x) =∑n

i=0 aixi ∈ k[x ] un polinomio no nulo con an 6= 0 (de grado

n).Llamaremos termino lıder de a(x) al termino anx

n, coeficiente lıder a any termino constante a a0.Un polinomio es monico si su coeficiente lıder es 1. Los polinomios sedicen constantes cuando su grado es cero, ası como el polinomio nulo.



El anillo A[x ]

Teorema

El conjunto A[x ] con la suma y producto habituales es un anillo. Ademas:

Si A es un anillo conmutativo, A[x ] es conmutativo.

Si A es un anillo con elemento unidad, A[x ] tiene elemento unidad.

Si A es dominio de integridad, A[x ] es dominio de integridad.

Observacion

Sean los polinomios a(x) =∑n

i=0 aixi y b(x) =

∑mi=0 bix

i . Entonces:

- grado(a(x) + b(x)) ≤ max{grado(a(x)), grado(b(x))}, no dandose laigualdad solamente cuando m = n y am + bn = 0.

- grado(a(x)b(x)) ≤ grado(a(x)) + grado(b(x)) (se da la igualdadcuando A es dominio de integridad).



El anillo A[x ]

Teorema

El conjunto A[x ] con la suma y producto habituales es un anillo. Ademas:

Si A es un anillo conmutativo, A[x ] es conmutativo.

Si A es un anillo con elemento unidad, A[x ] tiene elemento unidad.

Si A es dominio de integridad, A[x ] es dominio de integridad.

Observacion

Sean los polinomios a(x) =∑n

i=0 aixi y b(x) =

∑mi=0 bix

i . Entonces:

- grado(a(x) + b(x)) ≤ max{grado(a(x)), grado(b(x))}, no dandose laigualdad solamente cuando m = n y am + bn = 0.

- grado(a(x)b(x)) ≤ grado(a(x)) + grado(b(x)) (se da la igualdadcuando A es dominio de integridad).



Unidades de A[x ]

Teorema

Si A es un dominio de integridad, un polinomio de A[x ] es una unidad si ysolo si es una constante y es una unidad en A. Es decir, el grupomultiplicativo A[x ]∗ de las unidades de A[x ] es el grupo A∗ de las unidadesde A.


Divisibilidad

Division euclıdea de polinomios

Teorema (Teorema de division)

Sean f (x), g(x) ∈ k[x ] dos polinomios, con g(x) 6= 0. Entonces, existendos unicos polinomios q(x), r(x) ∈ k[x ] tales que

f (x) = q(x)g(x) + r(x)

y grado(r(x)) < grado(g(x)).


Divisibilidad

Algoritmo de division

Para calcular el cociente y el resto de la division entre f (x) y g(x), degrados respectivos m y n.Si m ≥ n tome

f1(x) = f (x)− (a/b)xm−ng(x) , q1(x) = (a/b)xm−n.

Repita con f1(x) y g(x) hasta que grado(ft(x)) < grado(g(x)). El cocientey el resto son

q(x) = q1(x) + . . .+ qt−1(x), r(x) = ft(x).

Si m < n, el cociente es 0 y el resto el propio f (x).


Divisibilidad


Corolario (4.2.2)

Sea I ⊂ k[x ] un ideal. Entonces I es un ideal principial. Eso es, existem(x) ∈ k[x ] tal que

I = m(x) · k[x ] = {f (x)m(x) | f (x) ∈ k[x ]}.

Corolario (Teorema del resto)

Sea un polinomio f (x) ∈ k[x ], y sea un elemento del cuerpo a ∈ k .Entonces f (a) es el resto de dividir f (x) por x − a.


Divisibilidad


Corolario (4.2.2)

Sea I ⊂ k[x ] un ideal. Entonces I es un ideal principial. Eso es, existem(x) ∈ k[x ] tal que

I = m(x) · k[x ] = {f (x)m(x) | f (x) ∈ k[x ]}.

Corolario (Teorema del resto)

Sea un polinomio f (x) ∈ k[x ], y sea un elemento del cuerpo a ∈ k .Entonces f (a) es el resto de dividir f (x) por x − a.


Divisibilidad

Divisibilidad

Definicion (Divisibilidad)

Sean f (x) y g(X ) dos polinomios de A[x ], decimos que g(x) divide af (x), y lo escribimos g(x)|f (x) si existe un polinomio h(x) tal quef (x) = g(x) · h(x).

Observacion

Un polinomio divide a cualquier polinomio no nulo de k[x ] si y solo sies una constante no nula.

En k[x ] g(x)|f (x) si y solo si el resto de dividir f (x) entre g(x) esnulo.

En k[x ], si g(x)|f (x) y f (x)|g(x) entoncesgrado(f (x)) = grado(g(x)) y f (x) = a · g(x) donde a ∈ k \ {0} esuna constante no nula.


Divisibilidad

Divisibilidad



Observacion





Divisibilidad

Divisibilidad



Observacion





Divisibilidad

Divisibilidad



Observacion





Divisibilidad

Raız de un polinomio

Definicion (Raız de un polinomio)

Se dice que un elemento a ∈ A es raız del polinomio f (x) ∈ A[x ] sif (a) = 0. es decir, si al sustituir x por a en f (x) se obtiene el valor 0.

Corolario (Teorema de la raız)

Sea un polinomio f (x) ∈ k[x ] de grado positivo. Entonces f (x) tiene unaraız a ∈ k si y solo si es divisible por x − a.


Divisibilidad

Raız de un polinomio

Definicion (Raız de un polinomio)

Se dice que un elemento a ∈ A es raız del polinomio f (x) ∈ A[x ] sif (a) = 0. es decir, si al sustituir x por a en f (x) se obtiene el valor 0.

Corolario (Teorema de la raız)

Sea un polinomio f (x) ∈ k[x ] de grado positivo. Entonces f (x) tiene unaraız a ∈ k si y solo si es divisible por x − a.


Divisibilidad

Multiplicidad de una raız

Definicion (Multiplicidad de una raız)

Sean f (x) ∈ A[x ] un polinomio y a ∈ A una raız. Se llama multiplicidad dea al mayor entero positivo m tal que (x − a)m divide a f (x).

Corolario (D’Alembert)

Un polinomio no nulo f (x) ∈ k[x ] de grado n tiene a lo sumo n raıcesdistintas en k .

Observacion (Nota 2.4.6)

Hay que hacer notar que este corolario no implica el aserto de que todopolinomio posee tantas raıces como su grado. Este teorema es mucho masprofundo e interesante y necesita conceptos que no veremos hasta mastarde.


Divisibilidad









Divisibilidad









Maximo comun divisor


Definicion (Maximo comun divisor)

Sean dos polinomios f (x), g(x) ∈ k[x ]. Un polinomio p(x) ∈ k[x ] es unmaximo comun divisor de f (x) y g(x) si verifica:

1. p(x)|f (x) y p(x)|g(x)

2. Si q(x) es otro polinomio que divide a f (x) y a g(x) entoncesq(x)|p(x).





El maximo comun divisor de dos polinomios no es unico. Sip(x) = mcd(f (x), g(x)), entonces, para cualquier a ∈ k \ {0},ap(x) = mcd(f (x), g(x)).

Por eso cuando hablamos de un maximo comun divisor, podremos acordarque estamos tomando un polinomio monico y, en esas condiciones, sı quees unico.





El maximo comun divisor de dos polinomios no es unico. Sip(x) = mcd(f (x), g(x)), entonces, para cualquier a ∈ k \ {0},ap(x) = mcd(f (x), g(x)).Por eso cuando hablamos de un maximo comun divisor, podremos acordarque estamos tomando un polinomio monico y, en esas condiciones, sı quees unico.




Proposicion (4.4.2)

Sean f (x), g(x) ∈ k[x ] dos polinomios. Si f (x) = q(x)g(x) + r(x),entonces se tiene que

mcd(f (x), g(x)) = mcd(g(x), r(x))




Algoritmo (de Euclides)

Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) ≥ grado(g(x)).Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene:

f (x) = q(x) · g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x))g(x) = q0(x) · r(x) + r1(x) grado(r1(x)) < grado(r(x))r(x) = q1(x) · r1(x) + r2(x) grado(r2(x)) < grado(r1(x))

...rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))rn−1(x) = qn(x) · rn(x).

Este proceso es finito y, con las notaciones anteriores,mcd(f (x), g(x)) = rn(x).






f (x) = q(x) · g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x))

g(x) = q0(x) · r(x) + r1(x) grado(r1(x)) < grado(r(x))r(x) = q1(x) · r1(x) + r2(x) grado(r2(x)) < grado(r1(x))








f (x) = q(x) · g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x))g(x) = q0(x) · r(x) + r1(x) grado(r1(x)) < grado(r(x))

r(x) = q1(x) · r1(x) + r2(x) grado(r2(x)) < grado(r1(x))...

rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))rn−1(x) = qn(x) · rn(x).








...

rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))rn−1(x) = qn(x) · rn(x).








...rn−2(x) = qn−1(x) · rn−1(x) + rn(x) grado(rn(x)) < grado(rn−1(x))

rn−1(x) = qn(x) · rn(x).




















Identidad de Bezout

Teorema (Identidad de Bezout)

Sean f (x) y g(x) dos polinomios de k[x ] no nulos y sead(x) = mcd(f (x), g(x)). Entonces existen unos polinomiosa(x), b(x) ∈ k[x ] tales que

d(x) = a(x) · f (x) + b(x) · g(x).


Factorizacion. Factores multiples

Polinomio irreducible

Definicion (Polinomio irreducible)

Un polinomio p(x) ∈ k[x ] es irreducible si no es una constante, y si el quepodamos escribir p(x) = f (x)g(x) implica que uno de los dos factores seauna unidad (una constante).

Proposicion (4.4.1)

Sea p(x) ∈ k[x ] un polinomio irreducible. Si f (x) es un polinomio que noes divisible por p(x), entonces mcd(f (x), p(x)) = 1.



Polinomio irreducible

Definicion (Polinomio irreducible)

Un polinomio p(x) ∈ k[x ] es irreducible si no es una constante, y si el quepodamos escribir p(x) = f (x)g(x) implica que uno de los dos factores seauna unidad (una constante).

Proposicion (4.4.1)

Sea p(x) ∈ k[x ] un polinomio irreducible. Si f (x) es un polinomio que noes divisible por p(x), entonces mcd(f (x), p(x)) = 1.



Irreducibilidad

Proposicion (Teorema de Euclides)

Sea p(x) ∈ k[x ] un polinomio irreducible. Dados dos polinomiosf (x), g(x) ∈ k[x ], si p(x)|f (x)g(x), entonces p(x) divide a alguno de losdos.



Irreducibilidad

Teorema (Descomposicion en factores irreducibles)

Cualquier polinomio no constante de k[x ] es irreducible o factoriza enproducto de polinomios irreducibles. Este producto es unico en tanto quesi tenemos dos factorizaciones de f (x) en producto de polinomiosirreducibles en k[x ] de la forma

f (x) = p1(x) · · · ps(x) = q1(x) · · · qt(x)

necesariamente s = t y existe una correspondencia uno a uno entre losfactores p1(x), . . . , ps(x) y q1(x), . . . , qt(x) donde si pi (x) se correspondecon qj(x), existe un α ∈ k \ {0} tal que pi (x) = αqj(x).



Irreducibilidad

Proposicion (4.4.3)

Sea I = (f (x)) ⊂ k[x ] un ideal. Entonces son equivalentes las siguientescondiciones:

1. I es maximal.

2. I es primo.

3. f (x) es irreducible.



Derivada de un polinomio

Notacion

- f ′(x) es el polinomio que se obtiene al derivar f (x);

- D : k[x ]→ k[x ] es la funcion que a cada polinomio le asocia suderivada. Esto es, D(f (x)) = f ′(x).

Definicion (Derivada de un polinomio)

La derivada de un polinomio f (x) viene definida por las siguientes reglas:

1- Si f (x) = axn con a ∈ k, entonces D(axn) = naxn−1. (Si n = 0,D(a) = 0.)

2- Si f (x) = g(x) + h(x), entonces D(f (x)) = D(g(x)) + D(h(x)). Estoes, la derivada es un homomorfismo de grupos aditivos.



Derivada de un polinomio

Notacion

- f ′(x) es el polinomio que se obtiene al derivar f (x);

- D : k[x ]→ k[x ] es la funcion que a cada polinomio le asocia suderivada. Esto es, D(f (x)) = f ′(x).

Definicion (Derivada de un polinomio)

La derivada de un polinomio f (x) viene definida por las siguientes reglas:

1- Si f (x) = axn con a ∈ k, entonces D(axn) = naxn−1. (Si n = 0,D(a) = 0.)

2- Si f (x) = g(x) + h(x), entonces D(f (x)) = D(g(x)) + D(h(x)). Estoes, la derivada es un homomorfismo de grupos aditivos.



Propiedades de la derivada de polinomios

Proposicion (4.4.4)

Para cualesquiera polinomios f (x), g(x) ∈ k[x ] y para todo natural s > 1se verifica que:

1 D(f (x)g(x)) = f (x)D(g(x)) + g(x)D(f (x)).

2 D(f (x)s) = sf (x)s−1D(f (x)).



Factores multiples de un polinomio

Teorema (Factores multiples de un polinomio)

Sea f (x) ∈ k[x ] un polinomio, donde k ∈ {Q,R,C}. Entonces f (x) tienefactores multiples si y solo si f (x) y f ′(x) no son primos entre sı.


La especificacion de que el cuerpo de coeficientes es Q, R o C no esirrelevante. En efecto, en la segunda implicacion hemos usado que unpolinomio de grado mayor que 1 no puede dividir a su derivada. Esto encuerpos como Fp no es cierto ya que, por ejemplo, f (x) = x3 + 1 es unpolinomio irreducible de F3[x ] que verifica que f ′(x) = 0 y, por tantof (x)|f ′(x).



Factores multiples de un polinomio

Teorema (Factores multiples de un polinomio)

Sea f (x) ∈ k[x ] un polinomio, donde k ∈ {Q,R,C}. Entonces f (x) tienefactores multiples si y solo si f (x) y f ′(x) no son primos entre sı.


La especificacion de que el cuerpo de coeficientes es Q, R o C no esirrelevante. En efecto, en la segunda implicacion hemos usado que unpolinomio de grado mayor que 1 no puede dividir a su derivada. Esto encuerpos como Fp no es cierto ya que, por ejemplo, f (x) = x3 + 1 es unpolinomio irreducible de F3[x ] que verifica que f ′(x) = 0 y, por tantof (x)|f ′(x).


Congruencias. Teorema chino del resto

Congruencia de polinomios

Definicion (Congruencia de polinomios)

Sea p(x) ∈ k[x ] un polinomio. Dados dos polinomios f (x), g(x) ∈ k[x ],diremos que f (x) y g(x) son congruentes modulo p(x), y escribiremos

f (x) ≡ g(x) (mod p(x)),

si p(x) divide a f (x)− g(x).




Proposicion (4.5.1)

Si un polinomio m(x) tiene grado d , cualquier clase de congruenciamodulo m(x) tiene un unico representante r(x) de grado estrictamentemenor que d .

Observacion

Dicho de otro modo, lo que esto prueba es que el conjunto de polinomiosde k[x ] de grado estrictamente menor que el de m(x) es un conjuntocompleto de representantes para k[x ]/(m(x)).




Proposicion (4.5.1)

Si un polinomio m(x) tiene grado d , cualquier clase de congruenciamodulo m(x) tiene un unico representante r(x) de grado estrictamentemenor que d .

Observacion

Dicho de otro modo, lo que esto prueba es que el conjunto de polinomiosde k[x ] de grado estrictamente menor que el de m(x) es un conjuntocompleto de representantes para k[x ]/(m(x)).



Congruencia de polinomios: Ejemplo 4.5.2

Sea m(x) = x2 + 1 ∈ Q[x ]. Por la proposicion, cada elemento deQ[x ]/(m(x)) tiene un representante de grado menor o igual que 1.

Como

x2 ≡ −1 (mod x2 + 1),

multiplicando por x tenemos que

x3 ≡ −x (mod x2 + 1).

En general, es facil ver por induccion en n que

x2n ≡ (−1)n (mod x2 + 1), x2n+1 ≡ (−1)nx (mod x2 + 1).

Como Q es un cuerpo infinito, existen infinitos polinomios de grado menoro igual que 1 en Q[x ], y por tanto Q[x ]/(x2 + 1) es un conjunto infinito.Si utilizaramos ahora F3 en lugar de Q, por lo anterior tendrıamos que

(F3)[x ]/(x2 + 1) = { 0, 1, 2, x , x + 1, x + 2, 2x , 2x + 1, 2x + 2 }.




Sea m(x) = x2 + 1 ∈ Q[x ]. Por la proposicion, cada elemento deQ[x ]/(m(x)) tiene un representante de grado menor o igual que 1. Como

x2 ≡ −1 (mod x2 + 1),


x3 ≡ −x (mod x2 + 1).




(F3)[x ]/(x2 + 1) = { 0, 1, 2, x , x + 1, x + 2, 2x , 2x + 1, 2x + 2 }.





x2 ≡ −1 (mod x2 + 1),


x3 ≡ −x (mod x2 + 1).




(F3)[x ]/(x2 + 1) = { 0, 1, 2, x , x + 1, x + 2, 2x , 2x + 1, 2x + 2 }.





x2 ≡ −1 (mod x2 + 1),


x3 ≡ −x (mod x2 + 1).



Como Q es un cuerpo infinito, existen infinitos polinomios de grado menoro igual que 1 en Q[x ], y por tanto Q[x ]/(x2 + 1) es un conjunto infinito.

Si utilizaramos ahora F3 en lugar de Q, por lo anterior tendrıamos que

(F3)[x ]/(x2 + 1) = { 0, 1, 2, x , x + 1, x + 2, 2x , 2x + 1, 2x + 2 }.





x2 ≡ −1 (mod x2 + 1),


x3 ≡ −x (mod x2 + 1).




(F3)[x ]/(x2 + 1) = { 0, 1, 2, x , x + 1, x + 2, 2x , 2x + 1, 2x + 2 }.



Teorema chino del resto

Teorema (Teorema chino del resto)

Sean m1(x), . . . ,mn(x) ∈ k[x ] polinomios primos entre sı dos a dos, y seana1(x), . . . , an(x) ∈ k[x ] otros polinomios arbitrarios. Entonces existef (x) ∈ k[x ] tal que:

f (x) ≡ a1(x) (mod m1(x))f (x) ≡ a2(x) (mod m2(x))

......

f (x) ≡ an(x) (mod mn(x))

Ademas, para que el polinomio f (x) ∈ k[x ] sea otra solucion es condicionnecesaria y suficiente que se verifique que

f (x) ≡ f (x) (mod m1(x)m2(x) · · ·mn(x)).



Sistemas lineales de congruencias

Para resolver el sistema

f (x) ≡ ai (x) (mod mi (x)) , i = 1, . . . , n,

siendo los mi (x) polinomios primos entre sı y los ai (x) polinomioscualesquiera.

Tome, para cada i , li (x) =(∏n

j=1 mj(x))/mi (x). Aplique la identidad de

Bezout a cada pareja li ,mi para obtener la igualdad

1 = αi (x)mi (x) + βi (x)li (x).

Las soluciones son

f (x) = a1(x)β1(x)l1(x) + a2(x)β2(x)l2(x) + . . .+ an(x)βn(x)ln(x),

y los polinomios congruentes con el modulo∏n

j=1 mj(x).


Factorizacion en C[x] y en R[x]

Teorema fundamental del algebra

Teorema (Teorema fundamental del algebra)

Todo polinomio f (x) ∈ C[x ] de grado positivo tiene una raız compleja.

Corolario

Todo polinomio f (x) ∈ C[x ] de grado positivo, digamos n, tiene n raıcesen C, esto es, se puede escribir como

f (x) = αn∏

i=1

(x − αi ),

donde α, αi ∈ C.



Teorema fundamental del algebra

Teorema (Teorema fundamental del algebra)

Todo polinomio f (x) ∈ C[x ] de grado positivo tiene una raız compleja.

Corolario

Todo polinomio f (x) ∈ C[x ] de grado positivo, digamos n, tiene n raıcesen C, esto es, se puede escribir como

f (x) = αn∏

i=1

(x − αi ),

donde α, αi ∈ C.



Factorizacion en R[x ]

Proposicion

Todo polinomio de R[x ] de grado impar tiene una raız en R. Todopolinomio se descompone en producto de polinomios de grados 1 o 2 (loscuales son irreducibles si y solo si sus raıces son complejas no reales).


Factorizacion en Q[x]

Polinomios de grado 2 o 3

Sea f (x) ∈ k[x ] un polinomio de grado 2 o 3. En ese caso, f (x) esreducible si y solo si tiene una raız en k . En efecto, el hecho de que f (x)sea reducible es equivalente a decir que tiene un divisor que es de grado 1.Si este es ax − b, entonces b/a es una raız de f (x).

Naturalmente, lo anterior no funciona para grados mayores. Un polinomiode grado 4 se puede descomponer, por ejemplo, en dos factoresirreducibles de grado 2, como x4 + 3x2 + 2 en Q, luego no tiene por quetener raıces en k



Polinomios de grado 2 o 3

Sea f (x) ∈ k[x ] un polinomio de grado 2 o 3. En ese caso, f (x) esreducible si y solo si tiene una raız en k . En efecto, el hecho de que f (x)sea reducible es equivalente a decir que tiene un divisor que es de grado 1.Si este es ax − b, entonces b/a es una raız de f (x).

Naturalmente, lo anterior no funciona para grados mayores. Un polinomiode grado 4 se puede descomponer, por ejemplo, en dos factoresirreducibles de grado 2, como x4 + 3x2 + 2 en Q, luego no tiene por quetener raıces en k



Regla de Ruffini

Proposicion (4.7.1)

Sea el polinomio

f (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x + a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , n,

de grado n > 0. Supongamos que f (x) tiene una raız racional α = a/b cona y b primos entre sı. Entonces a|a0 y b|an.



Lema de Gauss

Definicion (Contenido de un polinomio)

Dado un polinomio f (x) ∈ Z[x ] no nulo, se llama contenido de f (x) almaximo comun divisor de sus coeficientes. Se denota por c(f ). Se dira quef (x) es primitivo si su contenido es 1.

Teorema (Lema de Gauss)

El producto de dos polinomios primitivos es primitivo.



Lema de Gauss

Definicion (Contenido de un polinomio)

Dado un polinomio f (x) ∈ Z[x ] no nulo, se llama contenido de f (x) almaximo comun divisor de sus coeficientes. Se denota por c(f ). Se dira quef (x) es primitivo si su contenido es 1.

Teorema (Lema de Gauss)

El producto de dos polinomios primitivos es primitivo.



Consecuencias del Lema de Gauss

Corolario (4.7.2)

Si f (x), g(x) ∈ Z[x ] son polinomios no nulos, entonces

c(fg) = c(f )c(g).

Corolario (4.7.3)

Sea f (x) ∈ Z[x ] un polinomio de grado positivo, digamos n, que sedescompone en Q[x ] en producto de dos polinomios de gradosestrictamente menores que n. Entonces, se descompone en Z[x ] enproducto de dos polinomios de esos mismos grados.

Corolario (4.7.4)

Sea f (x) ∈ Z[x ] un polinomio de grado positivo, digamos n, y primitivo.Entonces f (x) es reducible en Z[x ] si y solo si lo es en Q[x ].




Corolario (4.7.2)


c(fg) = c(f )c(g).

Corolario (4.7.3)


Corolario (4.7.4)





Corolario (4.7.2)


c(fg) = c(f )c(g).

Corolario (4.7.3)


Corolario (4.7.4)




Criterio de Eisenstein

Proposicion (Criterio de Eisenstein)

Sea un polinomio de grado n > 0

f (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x + a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , n.

Supongamos que existe un elemento irreducible p ∈ Z que divide a todoslos coeficientes, salvo a an, y cuyo cuadrado p2 no divide a a0. Entoncesf (x) es irreducible en Q[x ].


Factorizacion en Q[x] El metodo de los interpoladores de Lagrange

Polinomios interpoladores de Lagrange

Algoritmo (Polinomios interpoladores de Lagrange)

Para factorizar un polinomio f (x) ∈ Z[x ].Sea d = bn/2c, tome d + 1 enteros distintos ai . Forme la (d + 1)-upla(f (ai )).Forme todas las posibles (d + 1)-uplas (si ) formadas por divisores de losf (ai ), y resuelva el sistema g(x) ≡ si (mod x − ai ), para todo i , y todaslas (d + 1)-uplas que no se diferencien en un signo.Si f (x) es reducible, de entre las soluciones no constantes, al menos dosseran un factor de f (x).



Ejemplo 4.7.6

Sea el polinomio f (x) = x4 + x3 + x − 1 ∈ Z[x ], primitivo. Como tienegrado 4, elegimos 5 puntos cercanos al cero para evitarnos hacer cuentasmas latosas. Calculamos los valores que toma f (x) en esos puntos:

f (−2) = 5 , f (−1) = −2 , f (0) = −1 , f (1) = 2 , f (2) = 25.

Podemos formar 768 5–uplas distintas, de las que nos quedamos con 384,la mitad. Evidentemente no vamos a comprobar todas ellas.



Ejemplo 4.7.6

Probemos con la 5–upla (1,−1,−1, 1, 5). Tenemos ası el siguiente sistemade congruencias:

S :

g(x) ≡ 1 (mod x + 2)g(x) ≡ −1 (mod x + 1)g(x) ≡ −1 (mod x)g(x) ≡ 1 (mod x − 1)g(x) ≡ 5 (mod x − 2)

,

que tiene como solucion al polinomio x2 + x − 1. Si dividimos f (x) entreaquel, obtenemos como cociente x2 + 1, que se conseguıa al tomar la5–upla (5, 2, 1, 2, 5). Por consiguiente, f (x) es reducible, y como los degrado 2 que hemos obtenido son irreducibles sobre Q, hemos terminado decalcular su descomposicion.


Factorizacion en Fp [x]

Factorizacion en Fp[x ]

Seaf (x) = anx

n + . . .+ a1x + a0 ∈ Z[x ]

primitivo, sea p un primo que no divida a an, y llamemos f (x) al polinomio

f (x) = anxn + . . .+ a1x + a0 ∈ Fp[x ],

siendo ai = ai (mod p), 0 ≤ i ≤ n.

Proposicion (4.8.1)

Si f (x) es irreducible en Fp[x ], entonces f (x) es irreducible en Q[x ].



Factorizacion en Fp[x ]

Seaf (x) = anx

n + . . .+ a1x + a0 ∈ Z[x ]

primitivo, sea p un primo que no divida a an, y llamemos f (x) al polinomio

f (x) = anxn + . . .+ a1x + a0 ∈ Fp[x ],

siendo ai = ai (mod p), 0 ≤ i ≤ n.

Proposicion (4.8.1)

Si f (x) es irreducible en Fp[x ], entonces f (x) es irreducible en Q[x ].



Ejemplo 4.8.2

Sea f (x) = x4 − x3 + x2 − x + 1 ∈ Z[x ]. Tomemos p = 2. Entoncesf (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 ∈ F2. Ya que f (0) = 1 y f (1) = 1, f (x) notiene raıces en F2.

Intentemos factorizar f (x) de forma artesanal. Como en caso de serreducible, ningun factor de la descomposicion de f (x) serıa de grado 1,pongamos por caso que

f (x) = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d).



Ejemplo 4.8.2

Como otras veces, operando e igualando coeficientes obtenemos el sistema

S :

1 = a + c1 = b + ac + d1 = ad + bc1 = bd

La ultima ecuacion nos dice que b = d = 1, y sustituyendo en el resto nosquedamos con

S :

{1 = a + c1 = ac

,

que no tiene solucion. Por tanto, f (x) es irreducible en F2 y ası, por laproposicion, f (x) es irreducible sobre Q.



El recıproco no es cierto

Observacion (Nota 4.8,3)

Si bien en apariencia este procedimiento simplifica los calculos a la hora deestudiar si un polinomio es o no irreducible sobre Q, tiene un graveinconveniente. El recıproco de la proposicion anterior es falso. Por ejemplo,el polinomio x2 + 2 es irreducible sobre Q, pero f (x) = x2 ∈ F2[x ] esreducible, o el polinomio x2 − x + 1, irreducible en Q y con f (x) reducibleen F3.


Factorizacion en Fp [x] El algoritmo de Berlekamp

Teorema de Berlekamp

Teorema (Teorema de Berlekamp)

Sea f (x) ∈ Fp[x ] de grado n, sin factores multiples y monico, ysupongamos que existe un polinomio g(x) tal que

f (x)| (g(x)p − g(x)) .

Entonces

f (x) =

p−1∏s=0

mcd(f (x), g(x)− s),

aunque varios de estos factores pueden ser polinomios constantes.



Algoritmo de Berlekamp

Para factorizar un polinomio f (x) ∈ Fp[x ] de grado n.Para cada i = 0, . . . , n − 1, efectue las divisiones de x ip entre f (x) paraobtener los restos

r(x) = r0i + r1ix1 + . . .+ rn−1,ix

n−1.

Construya la matriz R = (rij), y plantee el sistema lineal

(R − In) x = 0.



Algoritmo de Berlekamp

Si el sistema no tiene solucion, f (x) es irreducible. Si tiene una solucion(a0, . . . , an−1)t que represente a un polinomio no constante, f (x) sedescompone como

p−1∏s=0

mcd(f (x), (a0 − s) + a1x + . . .+ an−1x

n−1).



Ejemplo 4.8.4

Sea f (x) = x4 + x3 + x + 2 ∈ F3[x ]. Dividimos determinadas potencias dex entre f (x) y obtenemos:

1 = q0(x)f (x) + r0(x) = 0 · f (x) + 1

x3 = q1(x)f (x) + r1(x) = 0 · f (x) + x3

x6 = q1(x)f (x) + r1(x) = q2(x)f (x) + 1 + x + 2x2 + x3

x9 = q1(x)f (x) + r1(x) = q3(x)f (x) + x

Los cocientes no los hemos indicado todos porque solo nos interesan losrestos para formar la matriz. En nuestro caso,

R =

1 0 1 00 0 1 10 0 2 00 1 1 0

.



Ejemplo 4.8.4

El sistema lineal en F3[x ] que tenemos que resolver es0 0 1 00 2 1 10 0 1 00 1 1 2

x = 0,

que tiene como solucion cualquier vector de la forma x = (α, β, 0, β)t ,donde α, β ∈ F3. Si tomamos α = 1, β = 0, obtenemos la constante 1,que obviamente cumple que f (x)|13 − 1 = 0. Escogiendo puesα = 0, β = 1 conseguimos la descomposicion

f (x) = mcd(f (x), x3 + x) ·mcd(f (x), x3 + x + 1)··mcd(f (x), x3 + x + 2)

= (x2 + 1) · (x2 + x + 2) · 1.


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Capítulo 4: Polinomios - Universidad de Sevilla · Introducci on a los polinomios De nici on de polinomio De nici on (Polinomios con coe cientes en A) Sea A un anillo. Llamaremos