Capítulo XIV: Sistemas de modulación exponencialingenieria1.udistrital.edu.co/archivosudin/cancino...Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas 240 Fig. 14.1 Señal modulada

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

237

Capítulo XIV:

Sistemas de modulación

exponencial


238


239

14. MODULACIÓN EXPONENCIAL

En estos sistemas se varía el ángulo de la portadora en función del mensaje con la

Magnitud constante.

Xc(t) = Ac Cosi(t) (14.1)

En este caso el espectro ya no tiene una relación lineal con el espectro de la señal en

Banda-base.

Se consideran dos tipos de modulación exponencial:

Modulación de Fase (FM).

Modulación de frecuencia (PM).

14.1 Modulación de Fase (PM).

Considerando una señal sinusoidal con ángulo:

i(t) = 2 fc t + (t) (14.2)

Donde el ángulo de fase es proporcional al mensaje:

(t) = Kp x(t) (14.3)

x(t) es el mensaje en [volts] y Kp es la constante de Sensibilidad de fase del módulo en

[rad/volts].

La señal modulada en PM puede escribirse como:

( ) ( ( )) (14.4)

Frecuencia instantánea de la onda PM puede estudiarse como:

( ) ( )( )i c c p

d t d x tt K

dt dt

(14.5)

Una onda modulada en PM se muestra en la Fig. 14.1 donde la señal moduladora es una onda

cuadrada y se aprecian los cambios de fase abruptos en la señal modulada.


240

Fig. 14.1 Señal modulada en PM con onda cuadrada.

14.2 Modulación de Frecuencia.

La frecuencia instantánea en el FM depende del mensaje.

( )= ( ) (14.6)

Donde:

= Frecuencia de la portadora no modulada [Hz]

=Sensibilidad de la frecuencia [Hz/volt]

A partir del ángulo instantáneo de la señal, se puede obtener la frecuencia instantánea:

dt

tdtf i

i

)(

2

1)(

( ) 2 ( )i id t f t dt

(14.7)

De donde se obtiene:

( ) 2 ( ( ))i c fd t f R x t dt (14.8)

Y en consecuencia, el ángulo instantáneo se puede determinar como:

0( ) 2 2 ( )

t

i c ft f t R x d (14.9)

Finalmente la señal modulada en FM se puede escribir como:

0( ) 2 2 ( )

t

FM c c fx t A Cos f t K x d

(14.10)

Si se comparan FM y PM en el tiempo se verán muy parecidos, no obstante es importante

destacar que la amplitud de la portadora es constante y su potencia será:


241

constanteA

P cAV

2

2

(14.11)

Fig. 14.2 Señal modulada en PM

14.3 Modulación de Frecuencia de Tono Único:

Tomando en consideración la expresión analítica para el FM:

0( ) 2 2 ( )

t

FM c c fX t A Cos f t K x d

(14.12)

Para x(t) un tono único a la frecuencia fm:

( ) (14.13)

La frecuencia instantánea de la onda será:

( ) (14.14)

Llamando: f = La desviación de frecuencia (máximo alejamiento de la frecuencia instantánea

de la onda FM respecto a la frecuencia de la portadora fc).

(14.15)

Donde f es proporcional a la amplitud de la moduladora. El ángulo instantáneo de la señal

modulada con un tono será:

0 0( ) 2 ( ) 2 ( 2 )

t t

i i c mt f d f f Cos f d (14.16)

( ) 2 2i c m

m

ft f t Sen f t

f

(14.17)


242

Llamando: = Índice de modulación en FM:

f m

m m

K Af

f f

(14.18)

y en consecuencia el ángulo de la señal modulada será:

( ) 2 2i c mt f t Sen f t (14.19)

En el sentido físico representa la desviación de la fase de FM es decir la máxima separación

entre i(t) y el ángulo 2 fc t de la portadora. Luego la onda FM tono único será:

( ) [2 (2 )]FM c c mX t A Cos f t Sen f t (14.20)

Dependiendo del índice de modulación es posible distinguir 2 casos de modulación en

frecuencia:

1) FM de banda angosta si es pequeño.

2) FM de banda ancha si es grande.

14.4 FM Banda Angosta en General

De acuerdo a la expresión obtenida en el numeral 14.2

( ) 2 2 ( )t

i c ft f t K x d

(14.21)

Si se asume que la fase es: ( ) 2 ( ) 1t

ft K x d

La señal modulada puede verse como:

( ) ( )FM c cx t A Cos t t (14.22)

( ) ( ) ( )c c c cx t A Cos t Cos t A Sen t Sen t (14.23)

Dado que 1)(máx

t

( ) 1Cos t

( ) ( )Sen t t


243

La expresión del FM se simplifica para el FM banda angosta (Narrow Band =NB):

( ) ( )FMNB c c c cx t A Cos t A t Sen t (14.24)

( ) 2 ( )t

FMNB c c c f cx t A Cos t A K x d Sen t

(14.25)

Aplicando Transformada de Fourier:

Y teniendo encuenta que:

( )( )

2

t X fx d

j f

F

(14.26)

2 2( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 2 ( ) 2 2 ( )

c f c fcFMNB

A K A KA X f fc X f fcX f f fc f fc

j j f fc j j f fc

( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 ( ) ( )

c fcFMNB

A KA X f fc X f fcX f f fc f fc

f fc f fc

(14.27)

De esta expresión se puede deducir que si el ancho de banda de x(t) es W, el ancho de banda

de la señal xFMNB(t) será 2W.

14.5 FM Banda Angosta para un Tono

Si x(t) es un tono: AmCosmt, donde f m

m

K A

f

La expresión del FM será:

( ) ( )FM c c mx t A Cos t Sen t (14.28)

( ) ( ) ( )FM c m c m cx t A Cos Sen t Cos t Sen Sen t Sen t (14.29)

Como <<1 radian

( ) 1mCos Sen t

( )m mSen Sen t Sen t

( )FMNB c c c m cx t A Cos t A Sen t Sen t (14.30)

( ) ( ) ( )2

cFMNB c c c m c m

Ax t A Cos t Cos t Cos t


244

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 4

c c c cFMNB

A A A AX f f fc f fc f fc fm f fc fm

)(4

)(4

fmfcfA

fmfcfA cc

(14.31)

La Fig. 14.3 muestra el espectro de la señal

( )FMNBX f

para el caso de un tono.

Fig. 14.3 Espectro de una señal en FMNB modulada con un tono

14.6 ¿Cómo generar una señal xFMNB(t)?

Basados en la ecuación:

( ) 2 ( )t

FMNB c c c f cx t A Cos t A K x d Sen t

(14.32)

Se puede deducir el diagrama de bloques de un modulador en FM banda angosta

Fig. 14.4 Diagrama de bloques de un modulador en FM banda angosta.


245

Esta configuración funciona bien hasta en una desviación de fase máxima de 30°.

14.7 Comparación entre AM Y FMNB:

a) FASORIALMENTE:

La Fig. 14.5 muestra los fasores de la señal modulada en AM y FMNB

Fig. 14.5 Esquemas fasoriales de una modulación en AM y en FMNB

b) ESPECTRALMENTE:

Fig. 14.6 Espectros de una modulación en AM y en FMNB

Se aprecia que el ancho de banda de FMNB es igual al obtenido en AM. No obstante, se

mostrará más adelante que este tipo de modulación angular (FMNB) produce menos mejoría

en (S/N)D respecto al AM.

14.8 FM Banda Ancha cuando el mensaje es un Tono:

Partiendo de la expresión del FM para un tono:

( ) (2 )FM c c mx t A Cos f t Sen t (14.33)

Ecuación que se puede transformar como:


246

2 ( )( ) Re c mj f t j Sen t

FM cx t A e e

( ) 2

( ) Re m cj Sen t j f t

FM cx t A e e (14.34)

Llamando: ( )( ) mj Sen t

FM cx t A e

2( ) Re ( ) cj f t

FM FMx t x t e (14.35)

( )FMx t Es una señal periódica cuya frecuencia fundamental es fm.

2( ) mj n f t

FM n

n

x t c e

; 22

mm Tt

T

(14.36)

Donde, los coeficientes de la serie de Fourier son:

1/2

(2 ) 2

1/2

1m m

fmj Sen f t jn f t

n cfm

m

c A e e dtT

(14.37)

1/2

( (2 2 )

1/2

m mfm

j Sen f t n f t

n m cfm

c f A e dt

(14.38)

Efectuando un cambio de variable:

x = 2 fm t ; dx=2 fm dt dt=dx/2 fm

Para los límites:

a) Si

xf

tm2

1

b) Si

xf

tm2

1

Remplazando en nc :

( )

2

j Senx nxm cn

m

f Ac e dx

f

(14.39)

Simplificando:

( )

( )

1

2

j Sen x n x

n c

Jn

c A e dx

(14.40)


247

Donde: Jn() = Función de Bessel de 1era

clase de orden n y argumento .

Luego:

Cn=Ac Jn() 2( ) ( ) mj n f t

FM c n

n

x t A J e

(14.41)

y

2 2( ) Re ( ) m cj n f t j f t

FM c n

n

x t A J e e

(14.42)

( ) ( ) ( )FM c n c m

n

x t A J Cos t n t

: FM Banda ancha 1 tono.

El espectro de esta señal es:

( ) ( ) ( ) ( )2

cFM m m n

n

AX f f fc n f f fc n f J

(14.43)

Es decir que se tienen las líneas espectrales en:

Infinito

ffn

ffn

fn

mc

mc

c

2:2

:1

:0

Por tanto el ancho de banda teórico del ( )FMX f es: y por esta razón, el peso de cada uno de

los pulsos del espectro, lo dan las funciones de Bessel.

Veamos el comportamiento de Jn() en función de . Ver Figuras 14.7 y 14.8


248

Fig. 14.7 Funciones de Bessel de diferente orden vs el argumento

Fig. 14.8 Funciones de Bessel de diferente

vs la relación (n/)


249

14.9 Propiedades de la función Jn()

1. Los Jn() son valorados en los números reales.

2. Jn()= J-n(), para n par

3. Jn()= -J-n(), para n impar

4.

-n

2 1)(Jn

Para pequeño: FM Banda angosta:

Los Coeficientes de Bessel se simplifican:

0 1 1( ) 1; ( ) ; 0, 2; ( )2 2

nJ J J n J

(14.44)

Por tanto, el espectro de la señal FM será:

0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

cFMNB

AX f J f fc f fc J f fc fm f fc fm

)()()(1 fmfcffmfcfJ (14.45)

Este espectro se muestra en la Fig. 14.9

Fig. 14.9 Espectro de la señal FMNB

Resulta un espectro exactamente igual al descrito por el primer método ya visto.

En general se tienen líneas espectrales cuya altura depende de los coeficientes cn.

La potencia total dela señal FM será: 2

2Ac, que se reparte en todas las líneas espectrales.

Obsérvese que los pesos dados por Jn() varían de acuerdo con el valor de que se disponga.


250

Análisis de Jn():

Recordar que .fK Am f

f fmfm fm

Se puede establecer:

. Si =1 f = fm (1)

. Si =2 f = 2fm (2)

. Si =5 f = 5fm (3)

TABLA 15.1 DE FUNCIONES DE BESSEL

X J0 J1 J2 J3

0 1.00 0 0 0

.25 0.984 0.124 0.00777 0.00032

.50 0.938 0.242 0.0306 .00256

.75 0.864 0.349 0.067 .00850

1.00 0.765 0.440 0.115 0.0196

1.5 0.512 0.558 0.232 0.0610

2.0 0.2241 0.578 0.353 0.129

2.40 +0.00250 0.520 0.431 0.198

2.41 -0.00270 0.518 0.433 0.200

3.00 +0.260 0.339 0.486 0.309

3.83 -0.403 +.007 0.403 0.420

3.84 -0.403 -.0033 0.399 0.421

4.00 -0.397 -.0660 0.364 0.430

5.00 -0.178 -0.328 0.293 0.356

5.13 -0.134 -0.339 +0.00191 0.340

5.14 -0.13 -0.340 -0.00148 0.339

5.52 -0.00002 -0.3403 -0.123 0.251

5.53 +0.0037 -0.340 -0.126 0.248

6.00 0.151 -0.277 -0.243 0.115

7.00 0.300 -0.00468 -0.301 -0.168

7.02 0.3001 +0.00132 -.299 -0.172

8.00 0.172 0.235 -.113 -0.291

8.66 -0.0017 0.272 +0.064 -0.242

9.00 -0.090 0.245 0.145 -0.181

10.00 -0.246 0.043 0.255 +0.058


251

Estudiando la variación del número de líneas significativas en función de se puede

establecer la relación del ancho del espectro de la señal modulada en FM y su índice de

modulación para el caso de una señal modulante de un tono, como se aprecia en la Fig.

14.10.

Fig. 14.10 Variación del número de líneas significativas en función de

(a. =1;b. =2; c.=5)

Se concluye que cuando Jn() disminuye, n se incrementa y por tanto la mayor cantidad de

potencia se concentra en una banda limitada. Se deduce que cuando n > +2, el valor de Jn()

se hace despreciable. Con esta observación, se puede establecer un criterio para limitar el

ancho de banda del FM.

14.10 Ancho de Banda en FM

Teniendo encuenta que el FM puede expresarse como:


252

( ) ( ) ( )FM c n c m

n

x t A J Cos n t

(14.46)

Pero de la figura 14.8 se observa que:

1)( nJ si 1

n

(14.47)

Por tanto Jn() disminuye cuando n crece y en consecuencia, la mayor cantidad de potencia se

concentra en una banda limitada.

Se puede decir que cuando n > +2 la Jn() es pequeña, luego el número de líneas

significativas = +2 y el ancho de banda puede calcularse para el caso de modulación con un

tono como:

BW=2 (+2) fm (14.48)

Para el caso de un mensaje cualquiera, existe la norma conocida como REGLA DE

CARLSON que establece:

BW = 2(Kfx(t)máx+W) =2f +2 (14.49)

Pero esta fórmula subestima el ancho de banda.

En general si x(t)máx= 1 se define (La regla de Carlson) en función del parámetro :

W

Rf

(14.50)

BW=2(+1)W 2Kf Si >>1 (14.51)

BW=2(+1)W 2Kf Si <<1 (14.52)

BW=2(+2)W Si tiene valores intermedios (14.53)

Obsérvese que de estas fórmulas se establece el caso particular de modulación de tono.

Existe otra forma de calcular el ancho de banda (bajo los mismos criterios): Mediante el

concepto del número de líneas significativas.

BW=2M()W (14.54)

Donde: M() = N° de líneas significativas

W = Ancho de banda del mensaje

Para la modulación de un tono:

BW=2M()W (14.55)


253

M() se escoge dependiendo del umbral para despreciar líneas espectrales:

- Si se desprecian las líneas cuya magnitud está por debajo del 10% de Ac Jn()<0.1

M()=+1 (14.56)

- Si se desprecian las líneas que tienen una amplitud por debajo de 1% de Ac Jn()<0.01

M()=+2 (14.57)

Así en general:

BW = 2 (+) fm Con 1 < < 2 (14.58)

2f m

m

m

K ABW f

f

(14.59)

2 f m mBW K A f (14.60)

El máximo ancho de banda se consigue con Ammáx y fmmáx aunque esto no representa el

máximo.

14.11 Modulación Multitono en FM.

Sea la siguiente señal multitono:

x(t)=A1Cos1t+ A2Cos2t (14.61)

Donde f1 kf2: no están armónicamente relacionados.

Extendiendo el concepto de modulación FM de 1 tono:

xFM(t)=Ac Cos(ct + 1Sen1t + 2Sen2t) (14.62)

Donde: 1 2

1 2

1 2

;f fK A K A

f f

Desarrollando un procedimiento similar al de 1 tono:

Llamando:

1 1 1

1 1( )j Sen t n j t

n

n

x e J e

(14.63)

2 2 2

2 2( )j Sen t n j t

n

n

x e J e

(14.64)

Se obtiene:


254

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )FM c n m c

n m

x t A J J Cos n m t

(14.65)

Si f1<<f2 y 1 2, se puede graficar XFM(f) como se muestra en la Fig. 14.11.

Fig. 14.11 Espectro de banda ancha para un FM modulada con un tono

Como se aprecia en la Fig. 14.11 aparecen líneas espectrales en: fc nf1 mf2 , lo que implica

que se trata de un proceso no lineal.

14.12 Moduladores FM

Existen 2 métodos básicos para generar FM:

1) METODO DIRECTO:

Basado en el funcionamiento de un VCO (Oscilador Controlado por Voltaje), el cual cambia

la frecuencia instantánea de la señal de salida, según la magnitud del voltaje de entrada que se

convierte en señal de control al emplear el PLL.

Fig. 14.12 El VCO como método directo para generar FM.

En el rango de frecuencias de microondas, el VCO se realiza con tubos Klystron ó

semiconductores tales como diodos Túnel ó GUNN.


255

En frecuencias más bajas se utilizan circuitos discretos paralelos donde uno de los elementos

(bobina ó condensador) varia su valor con una tensión aplicada, permitiendo así la variación

de frecuencia.

El caso más común es la variación de la capacidad con diodos VARACTOR ó VARICAP:

Fig. 14.13 Circuito básico Varactor empleado como modulador de FM.

La capacidad del circuito de salida C(t), es función del mensaje de entrada x(t):

C(t) = Co - c x(t)

Donde: Co = Capacidad en ausencia de modulación.

c = Cambio máximo de capacidad.

Fig. 14.14 Capacidad de salida en función de la polarización inversa del diodo

En consecuencia, la frecuencia de la señal de salida se puede analizar como:

)(2)((2

1

2

1

0

00

0

tXC

Cff

tCXCLLCf

t

osc

2) METODO INDIRECTO:

Para aumentar el rango de variación de la frecuencia del método directo, se introducen

multiplicadores de frecuencia, tal como se muestra en la Fig. 14.15.


256

Fig. 14.15 Método indirecto para generar FM.

Sin embargo la salida de método, produce una frecuencia central N veces la frecuencia central

(Nf0) distinta a la frecuencia deseada. En este caso se utiliza un mezclador para trasladar la

frecuencia Nf0 a la frecuencia fc deseada.

Fig. 14.16 Método indirecto con mezclador

- VENTAJA DE ESTE METODO: Se puede conseguir grandes desviaciones de frecuencia.

- DESVENTAJA: La frecuencia central no proviene de un cristal, luego la frecuencia de

salida puede sufrir corrimientos que en el detector se verían como cambios del mensaje.

Un método para controlar estos corrimientos sería el siguiente:

Fig. 14.17 Método indirecto con mezclador y Oscilador a Cristal.

14.13 Demoduladores FM


257

Para recuperar la señal modulante x(t) a partir de la señal modulada en FM se requiere un

circuito cuya salida varíe linealmente con la frecuencia de la señal de entrada.

Se tienen 2 tipos de esquemas que realizan esta operación:

a) DISCRIMINADORES DE FRECUENCIA:

El principio de un discriminador de frecuencia es el siguiente:

xFM(t)= AcCos(t); 0

( ) 2 ( )t

c ft t K x d (14.66)

Al derivar:

dt

tdtSenA

dt

tdxc

FM )().(

)(

(14.67)

Pero:

( )2 ( )c f

d tK X f

dt

(14.68)

( )

( ) 2 ( )FMc c f

dx tA Sen t K X f

dt

(14.69)

Luego con la derivación se ha convertido una señal FM en AM-FM y por tanto la señal

demodulada se puede obtener con un circuito derivador y un detector de envolvente.

Fig. 14.18 Demodulador básico de FM

Como derivador puede utilizarse el filtro pasa altos de la Fig. 14.19

Fig. 14.19 Filtro Pasa-altos


258

Pero en este análisis se supone que Ac no varía en el tiempo. Sin embargo dado que el ruido se

adiciona a la señal durante la transmisión, requiere la colocación de limitadores de amplitud,

que son dispositivos con la siguiente función de transferencia.

Fig. 14.20 Limitador de dos niveles para eliminar ruido

Un circuito sencillo que puede realizar esta función podría ser con diodos en oposición como

se muestra en la Fig. 14.20:

Fig. 14.21 Limitador a dos niveles empleando diodos en oposición.

El circuito limitador a 2 niveles debe ser colocado antes del derivador, tal como se indica en la

Fig. 14.22.

Fig. 14.22 Demodulador de FM completo

Estos 2 esquemas pueden realizarse con 1 circuito.

Empleando un filtro pasa-banda como derivador:


259

Fig. 14.23 Empleando un filtro pasabanda como derivador

Si se tiene una señal de entrada: xFM (t), a la salida del circuito de la Fig. 14.23 la señal FM se

convierte en AM+FM. No obstante este detector presenta problemas como es

fundamentalmente su rango lineal (o rango dinámico) muy pequeño.

Si se tiene una señal FM como se muestra en la Fig. 14.24

Fig. 14.24 Señal modulada en FM

A la salida del fitro pasabanda, se obtiene la señal de la Fig. 14.25

Fig.14.25 Señal a la salida del filtro (AM+FM)

Este problema se puede solucionar en parte colocando 2 estructuras en la siguiente forma:


260

Fig. 14.26 Filtro diseñado con dos estructuras

Circuitalemente esto se logra de dos formas:

a) DISCRIMINADOR DE TRAVIS: Ver Fig. 14.27

Fig. 14.27 Discriminador de Travis

Este circuito no requiere bloquear el DC de salida. C1 y C2 se ajustan a las frecuencias f1 y f2,

R1 y R2 determinan los anchos de banda respectivos.

Cuando fin = fc, los 2 circuitos dan la misma salida pero con signos opuestos y por tanto la

salida final es 0.

Cuando fin > fc, el circuito sintonizado 1 da una salida grande >0 y el sintonizado 2 da una

salida pequeña (negativa) la salida final será grande y mayor que 0. Cuando fin < fc la

salida será grande pero menor que 0.

Esto permite un rango lineal grande, pero difícil de calibrar.


261

b) DISCRIMINADOR FOSTER-SEELY. Ver Fig. 14.28

Fig. 14.28 Discriminador Foster Seely

En este caso los 2 tanques están sintonizados a f0.

Por el tap central se sabe que 1está en contrafase con 2:

A cada diodo le llega:

A D1: (t) + 1; A D2: (t) + 2 (fasorialmente).

- Para f = f0 la diferencia de fase entre (t) y 1 es 90°

Fig. 14.29 Esquema fasorial para el detector Foster Seely

La salida de D1 es proporcional a |E1|

La salida de D2 es proporcional a |E2|

La salida neta es 0

- Para f > f0 se produce un desfase de 1 respecto a


262

Fig. 14.30 Esquema fasorial si f > f0

La salida neta > 0

- Para f < f0

Fig. 14.31 Esquema fasorial si f < f0

La salida neta < 0

14.14 Demodulador por Lazo de Enganche (PLL)

El PLL (de sus siglas: PHASE LOCKED LOOP) es un circuito de laso cerrado cuyo objetivo

es detectar los cambios de fase que se producen en el puerto de entrada al ser comparados con

la señal del VCO (oscilador controlado por voltaje).

Fig. 14.32 El PLL como detector de FM


263

Los cambios de fase se manifiestan en cambios de nivel a través de un filtro pasa bajos que a

su vez realimenta al VCO para mantenerse enganchado a la frecuencia de la portadora.

Aquí se obliga a la fase de la salida del VCO a seguir las variaciones de la fase de la señal de

entrada. Suponga que inicialmente (t)=ct + 0. Si )(ˆ t (ángulo detectado) es igual a (t)

(ángulo de la señal FM), la salida del filtro pasabajos es cero y el VCO sigue produciendo la

misma salida.

Si (t) varia se detectará una diferencia de fase que producirá una tensión proporcional que a

su vez hace variar la frecuencia del VCO para tratar de engancharse de nuevo.

14.15 Demodulación FM usando Línea de Retardo.

Se había partido inicialmente que para detectar xFM(t) era necesario derivar:

0

( ) 1lim ( ) ( )FM

FM FM

dx tx t x t

dt

(14.70)

Si se hace tan pequeño como un :

( ) 1

( ) ( )FMFM FM

dx tx t x t

dt

(14.71)

Donde

1

Esta operación se puede efectuar con una línea de retardo.

El detector Foster-Seeley está basado en la idea del diferencial, pero usan desplazamientos de

fase lineales del circuito resonante para lograr el retardo temporal.

Fig. 14.33 Demodulador FM usando línea de retardo

14.16 Detector de Cruces por Cero:

Puesto que la información de una onda en FM viene en la frecuencia, los cruces por cero de

esta onda tienen importancia, pues contienen la información de la señal que se quiere

demodular. Veamos:


264

0( ) 2 ( ) ( )

t

FM c c f c ix t A Cos t K x d A Cos t (14.71)

Fig. 14.34 Detección FM mediante cruces por cero.

3

1

)(2)(2)()( 1313

t

tfc dXRtttt

(14.72)

Si el ancho de banda W<<fc, entre t1 y t3 el mensaje debe ser más o menos constante.

3

1

1 3 1

3 1 3 1

( )( )

( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2t

c ft

X t t t

t t t t K x d

(14.73)

x(t1)(t3-t1) se puede ver como el área bajo la curva. Luego:

1

3 1 3 1

2 1( )i ffi fc K x t

t t t t

(14.74)

Si se mide el tiempo entre las cruces por cero fi, se puede obtener el mensaje. Esto se puede

efectuar de la siguiente forma:

Asumiendo que W<<fc, en un tiempo dado t se mide el número de cruces por cero (con

pendiente positiva).

N= Número de cruces por cero.

t3-t1 = T

Pero:

3 1

1( )f

Nfi fc K x t

t t T

(14.75)

fc se aprecia como un Nivel D.C

Eliminado el nivel D.C se obtiene:


265

sin' ( )DC f

Nfi K x t

T

(14.76)

El circuito utilizado para este propósito se ilustra en la Fig. 14.24

Fig. 14.35 Circuito para la detección de cruces por cero

14.17 Receptor FM

Las diferencias entre receptores AM y FM son los filtros de énfasis en la salida. El propósito

de estos filtros será explicado cuando se trate el ruido en los sistemas de modulación.

El receptor de FM comercial en la banda de 88 a 108 MHz, es un receptor superheterodino que

emplea como frecuencia intermedia 10.7 MHz y ancho de banda de 200 KHz.

Fig. 14.36 Receptor para FM comercial.

14. 18 Modulación de Fase:

La ecuación que describe la modulación de fase se muestra en Ecu. 14.

( ) ( )PM c c Px t A Cos t K X t (14.77)

( ) . ( ) . ( )PM c c p c c px t A Cos t CosK x t A Sen t SenK x t (14.78)


266

14.18.1 PM Banda Estrecha:

Teniendo encuenta que en este caso: ( ) 1pK x t

Luego:

( ) 1; ( ) ( )p p pCosR x t SenK x t K x t

( ) ( )PMNB c c c P cx t A Cos t A K x t Sen t (14.79)

14.18.2 Modulador XPMNB(t):

El modulador de banda estrecha se muestra en la Fig. 14.26

Fig. 14.37 Modulador PMNB

En consecuencia el ANCHO DE BANDA del PMNB = 2W.

Como caso particular, efectuar x(t)=Am Senmt y comparar xPMNB(t) con xFMNB(t)

( ) .

p

PMNB c c P m c m cx t A Cos t K A A Sen t Sen t

( ) .FMNB c c c m cx t A Cos t A Sen t Sen t

14.18.3 PM Banda Ancha:

Analizando la modulación de tono:

( ) ( )PM c c p m mx t A Cos t K A Sen t (14.80)

( ) ( )PM c c p m

p p m

x t A Cos t Sen t

K A

(14.81)

Expresión similar al FM solo que p no depende de fm.

Si se varía fm, varia la distancia entre líneas espectrales, pero no varía su amplitud.

xPM(t) en términos de los coeficientes de Bessel:


267

( ) ( ) ( )PM c n p c m

n

x t A J Cos t n t

(14.82)

En el dominio de f:

( ) ( ) ( ) ( )2

cPM c m c m n p

n

AX f f f nf f f nf J

(14.83)

14.18.4 Ancho de Banda en PM:

2( 1)

2( 1)

p m

m p m

B fPMNB

B A K f

(14.84)

PMfB mp )2(2 (14.85)

Para un caso general en FM:

Definimos: W

R

W

RA ffmMáx desviación de fase.

2( 1)

2( 2)

FM

FM

BW W NB

BW W Banda Ancha

(14.86)

Comparando directamente en PM, la máxima desviación para amplitud unitaria es Kp

2( 1)

2( 2)

2 4

FM p

FM p

FM p

BW K W NB

BW K W Banda Ancha

BW K W W

(14.87)

14.19 Ejercicios propuestos:

14.19.1 Una señal sinusoidal de 1 KHz modula en fase a una portadora en 146.52 MHz con

una desviación de fase pico de 45°.

a) Evalúe la magnitud del espectro de la señal PM si . Grafique su resultado.

b) Evalúe el Ancho de Banda de la señal PM y observe si es un número razonable

comparado con el obtenido por la gráfica espectral.

14.19.2 En el circuito de la Fig. 14.38 un generador de tonos modula un transmisor de FM

con un tono (coseno) de amplitud constante de 0.3 voltios y frecuencia variable, generando en

el analizador de espectros la figura mostrada, donde se representan la primeras líneas del

espectro de la onda modulada en FM.


268

Fig. 14.38 Ejercicio 14.19.2

Determinar:

a) El índice de modulación b) La frecuencia fm del generador de tonos.

c) La frecuencia de la portadora fc.

d) El valor de Ac.

e) La desviación en frecuencia f.

f) La expresión analítica de ( ). g) El espectro de magnitud del FM y dibújelo (Altura de líneas vs. n ó frecuencia)

h) Número de líneas significativas del espectro.

i) El Ancho de Banda del FM.

j) La potencia promedio total del FM.

14.19.3 En el esquema de la Fig. 14.39, la frecuencia de la señal moduladora se disminuye

desde una frecuencia muy alta hasta obtener el espectro de la señal modulada en FM como se

muestra en la figura, donde se obtiene el primer nulo de la línea espectral .

Fig. 14.39 Ejercicio 14.9.3

Si el Ancho de Banda del mensaje es de 6 KHz, determine:

a) La Constante de sensibilidad del modulador: .

b) La amplitud de la portadora: .

c) La frecuencia de la portadora: .

d) El Ancho de Banda de transmisión: .

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Capítulo XIV: Sistemas de modulación exponencialingenieria1.udistrital.edu.co/archivosudin/cancino...Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas 240 Fig. 14.1 Señal modulada