CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011

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6TRU014: Mecânica II Prof. Roberto Buchaim

Exercícios resolvidos, Revisão em 22/03/2011 Exercícios de Vigas Isostáticas 1º Exercício - Determinar para a viga bi-apoiada abaixo as reações de apoio, e os diagramas dos esforços solicitantes. Usar as equações indefinidas de equilíbrio.

Dados

=

=

ml

mKNq

8

/90

1º passo: Determinação da função )(xq

Conforme a figura, por semelhança de triângulos tem-se xl

qxq

l

q

x

xq 00 )()(

=∴=

Ou ainda , pode-se partir da equação geral da reta baxxq +=)( , com as

condições:

=∴==⇒=

=∴+==⇒=

l

qalaqlqlx

bbaqx

0

0.)(

00.0)0(0

donde xl

qxq 0)( = , como antes.

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2

2

2º passo: Cálculo das reações de apoio Estas são obtidas através das equações de equilíbrio, calculando-se antes o total de carga aplicada na viga, bem como sua posição na viga.

( )∫ ∫ =−====l l l lq

ll

qx

l

qxdx

l

qdxxqQ

0

0220

0 0

2

00

20

22)(

(esta expressão também é igual à área do carregamento da viga, um triângulo de

base l e altura 0

q ).

Posição da resultante Q ( igualam-se os momentos estáticos em relação ao ponto

A da carga resultante e da carga distribuída ao longo da viga ):

[ ]∫=l

CG xdxxqxQ0

)(. ou ∫=l

CG dxxl

qx

lq

0

200

2

Isolando CGx tem-se:

[ ] lxll

ll

l

x

ldxx

l

q

lqx CG

ll

CG3

2

3

2

3

20

3

2

3

222

333

200

3

2

20

0

=∴==−=

== ∫

(posição do centro de gravidade de um triângulo retângulo de base l e altura 0

q )

Cálculo das reações de apoio

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3

3

∑ = 0Ma lQlRB3

2. =

23

2

3

2 0 lqQR B ==∴

3

0lq

RB =

3º passo: Determinação da força cortante ( )xV pela equação indefinida de

equilíbrio:

l

xqxq

dx

xdV 0)()(

−=−=

Integrando de 0 a x tem-se:

∫ +−= 1

0)( Cxdxl

qxV

1

2

0

2)( C

x

l

qxV +−=

Cálculo do valor da constante 1

C : para 0=x resulta 6

)0( 0lq

RV A ==

60

26

0

11

00lq

CCl

qlq=∴+⋅−=

62)( 020

lqx

l

qxV +⋅−=

62)( 0

2

2

0 lq

l

xlqxV +⋅−=

+

−=

3

1

2)(

2

0

l

xlqxV

ou ainda, denominando l

x=ξ a abscissa adimensional, obtém-se

+−=

3

1

2)(

20 ξξlq

V

∑ = 0Fy QRR BA =+ 632

000 lqlqlqRA =−=

2

B

A

RR =

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4

4

A força cortante se anula para 3

3

3

10

3

12 ===⇒=

+−

l

xξξ

Ou llx 577.03

3≅⋅= ( um pouco além do meio do vão ).

Conferindo, no apoio B : lx = ou 1==l

xξ

BR

lqlqlqlqV −=−=

−=

+−=

+−==

33

2

23

1

3

3

23

11

2)1( 00020ξ OK

4º passo: Determinação do momento fletor ( )xM pela equação indefinida de

equilíbrio:

+−−==

3

1

2)(

)(2

2

0

l

xlqxV

dx

xdM

Integrando os dois lados, tem-se:

∫ +

+−−= 22

2

0

3

1

2)( Cdx

l

xlqxM 22

3

0

3

1

32)( C

l

xlqxM +

+−−=

23

3

0

32)( Cl

l

xl

l

xlqxM +

⋅+⋅−

⋅−=

2

32

0

6)( C

l

x

l

xlqxM +

+

−−=

Cálculo da constante 2

C : para 0=x tem-se 006

0)0( 22

2

0 =∴+×−== CClq

M

−=

32

0

6)(

l

x

l

xlqxM ou [ ]3

2

0

6)( ξξζ −=

lqM (parábola cúbica)

Conferindo: para lx = 0)( =lM . OK

O momento máximo, maxM , ocorre para 0=V . Logo, 3

3=ξ . Substituindo na

equação de )(ξM , obtém-se:

−=

32

0

3

3

3

3

6max

lqM 385,0

6

2

0lq

≅588,15

2

0lq=

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5

5

5º Passo: Gráficos , com mKNq 90

= e ml 8=

( )m

x

l

x=ξ

( )ll

( )

−=

−= 220

3

136

3

1

2ξξξ

lqV

( )KN

( ) [ ] [ ]22

2

0 19616

ξξξξξ −=−=lq

M

( )mKN.

0 0 12 0

1 0,125 11,4375 11,8125

2 0,25 9,75 22,5

3 0,375 6,9375 30,9375

4 0,5 3 36

4.62 0,5774 0 maxM 36.9504

5 0, -2,0625 36,5625

6 0,75 -8,25 31,5

7 0,875 -15,5625 19,6875

8 1 -24 0

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6

6

-24

-20

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

0 2 4 6 8

Abscissa (m)

Viga Isostática, Carga Triangular: Força Cortante (kN)

V(x)

40

35

30

25

20

15

10

5

0

0 2 4 6 8

Abscissa (m)

Viga Isostática, Carga Triangular: Momento Fletor (kNm)

M(x)

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7

2º Exercício- Determinar para a viga bi-apoiada da figura as reações de apoio e os diagramas dos esforços solicitantes. Usar as equações indefinidas de equilíbrio. (Obs.: Esta carga é usada em superestruturas de pontes).

Dados

=

=

ml

mKNq

8

/90

1º Passo: Determinação da função )(xq

( )BlAxq sen.)( = condições de contorno: ( )

==⇒=

=⇒=

BlAlqlx

qx

sen.0)(

0)0(0

Como ( ) 0sen0 =⇒≠ BlA ou l

BBlπ

π =∴=

Para 2

lx = resulta ( )

=

==

22.2

0

ππAsen

l

lsenAqlq . E como

01

2sen qA =∴=

π

Logo,

=

l

xsenqxq

π0)(

2º Passo: Cálculo das reações de apoio No caso, por causa da simetria, as reações de apoio são iguais à metade da carga total aplicada Q , que vale:

∫ ∫

==

l l

dxl

xsenqdxxqQ

0 0

0)(π

ll

l

xlq

l

xd

l

xsen

lqQ

00

00 cos

−=

= ∫

π

π

ππ

π

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8

A variável x está no intervalo [ ]l,0 . Mudando a variável para l

xπ, esta nova

variável estará no intervalo [ ]πππ

,0.

,0.

=

l

l

l, donde

( ) ( )[ ]0coscos0 −−= ππ

lqQ [ ]

ππ

lqlqQ 00 211 =−−−= lq

lqlqQ

0

0

06366,0

57,1

2=≅

=

π

Logo π

lqQRR BA

0

2===

3º passo: Determinação da força cortante ( )xV pela equação indefinida de

equilíbrio:

−=−=

l

xqxq

dx

xdV .sen)(

)(0

π

Integrando os dois lados tem-se:

∫ +

−=

10)( Cdx

l

xsenqxV

π ∫ +

−=

1

0)( Cl

xd

l

xsen

lqxV

ππ

π

1

0 cos)( Cl

xlqxV +

−−=

π

π

1

0 cos)( Cl

xlqxV +

=

π

π

Cálculo do valor da constante 1

C : para 0=x tem-se π

lqRV A

0)0( == .

( ) ( ) 00cos011

1

00 =∴+

== CC

lqlqV

876

ππ Logo ( )

=

l

xlqxV

.cos0 π

π

Conferindo para

( ) ( )

( )

=

=

=⇒=

−==−=⇒=

−

02

cos2

cos22

cos

00

0

1

0

π

π

π

π

ππ

π

lql

l

lqlVlx

lqlqRlVlx B

876

4º passo: Determinação do momento fletor ( )xM pela equação indefinida de

equilíbrio:

==

l

xlqxV

dx

xdM π

πcos)(

)( 0

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9

9

Integrando os dois lados tem-se:

∫ +

= 2

0 cos)( Cdxl

xlqxM

π

π ∫ +

= 2

0 cos)( Cl

xd

l

xllqxM

ππ

ππ

22

2

0)( Cl

xsen

lqxM +

=

π

π

Cálculo do valor da constante 2

C : para 0=x tem-se

( ) 00sen0)0( 22

0

2

2

0 =∴+== CClq

M

48476

π

( )

=

l

xlqxM

.sen

2

2

0 π

π

O máximo momento fletor, maxM , ocorre para 0=V , o que se dá na abscissa

2

lx = . Substituindo na equação de )(xM , vem:

=

2senmax

2

2

0 l

l

lqM

π

π 2

2

0

π

lq=

87,9

2

0lq≅

5º Passo: Gráficos , com mKNq 90

= e ml 8=

( )m

x 8

x

l

x ππ=

( )rad (*)

( )

=

=

8cos

72cos0 x

l

xlqxV

π

π

π

π

( )KN

( )

=

=

8361,58

2

2

0 xsen

l

xsen

lqxM

ππ

π

( )KNm

0 0 22,9183 0

0,5 0,1963 22,4779 11,3857

1 0,3927 21,1738 22,3338

1,5 0,5890 19,0559 32,4236

2 0,7854 16,2057 41,2675

2,5 0,9817 12,7237 48,5254

3 1,1781 8,7705 53,9185

3,5 1,3744 4,4711 57,2396

4 1,5708 0 maxM 58,361

5 1,9635 -8,7705 53,9185

6 2,3562 -16,2057 41,2675

7 2,7489 -21,1738 22,3338

8 3,1416 -22,9183 0

(*): Notar que o ângulo, na calculadora, deve ser posto em radianos.

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10

10

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8

Abscissa (m)

Viga Isostática, Carga Senoidal: Força Cortante (kN)

V(x)

60

50

40

30

20

10

0

0 2 4 6 8

Abscissa (m)

Viga Isostática, Carga Senoidal: Momento Fletor (kNm)

M(x)

.