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CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMTICAS APLICADAS A LAS CIENCIASSOCIALES / EXAMEN COMPLETO

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EXAMEN COMPLETO

Indicaciones al alumnoEl examen consta de 3 Bloques. Cada bloque tiene dos opciones: ayb. El alumno ha de

resolver los tres bloques, permitindosele elegir en cada bloque una de las dosopciones.

BLOQUE 1 (3,5 puntos)

Opcin 1-aUn fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos,ofreciendo el modelo A a un precio de 9000 euros y el modelo B un tercio ms caro.La oferta est limitada por las existencias, que son de 20 coches del modelo A y 10del B y por el deseo de vender al menos tantas unidades del modelo A como delmodelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campaa, los ingresosobtenidos con ella deben ser al menos de 36000 euros.1. Cuntos coches de cada modelo deber vender para maximizar sus ingresos?2. Cul es el importe de la venta?

Opcin 1-bUna tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 19152euros. La ltima versin del videojuego ha salido a la venta por un importe de 36euros. Adems d la ltima versin ha vendido, con un descuento del 30 % y del 40%, otras dos versiones anteriores del videojuego. El nmero total de ejemplaresvendidos de las dos versiones anteriores ha sido la mitad del de la ltima versin.

Cuntos ejemplares vendi de cada versin?

BLOQUE 2 (3,5 puntos)

Opcin 2-a

Sea la funcinx

xxf

1)(

2 += .

Determinar:a) Dominio de definicin.

b) Asntotas si existen.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin, as como sus mximos ymnimos.

d) rea encerrada por: f(x), la recta x = 5 y la funcinx

xg1

)( =

Opcin 2-bLa suma de tres nmeros positivos es 60. El primero ms el doble del segundo msel triple del tercero suman 120. Hallar los nmero que verifican esta condicin ycuyo producto es mximo.

BLOQUE 3 (3 puntos)

Opcin 3-a

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Las probabilidades de aprobar los exmenes de Historia, Lengua e Ingls, para unalumno determinado, son: 2/3, 4/5 y 3/5, respectivamente. Obtener lasprobabilidades de:a) Suspender las tres asignaturas.

b) Suspender slo una de las tres.

c) Suspender Lengua si se sabe que slo suspendi una asignatura de las tres.

Opcin 3bUn determinado producto se envasa en paquetes cuyo peso, en gramos, secomporta como una N(250, 35). Si con dichos paquetes se forman cajas de 100unidades, se pide determinar:a) El intervalo de confianza del 90 % para los pesos medio de los paquetes de las

cajas.b) El nmero de paquetes de las cajas si queremos que el error cometido sea la

dcima parte que en el caso anterior, con un nivel de confianza del 90 %.

Solucin de la Opcin A de cada Bloque

Opcin 1aSe trata de un problema de programacin lineal.Si vende x coches del modelo A e y del modelo B, debe cumplirse:

0 x 20; 0 y 10x y; 9000x + 12000y 36000 3x + 4y 12

El objetivo es maximizar los ingresos: I(x, y) = 9000x + 12000y

Las restricciones generan la regin factible, sombreada, en la siguiente figura.

La solucin ptima, mxima o mnima, se encuentra en alguno de los vrtices de esaregin factible; sus coordenadas son:

P:

=

=+

yx

yx 1243 P = (12/7, 12/7);

Q = (10, 10); R = (20, 10); S = (20, 0) y T = (4, 0)

Los ingresos para esos niveles de ventas son:En P, I(12/7, 12/7) = 36000 euros.En Q, I(10, 10) = 210000 eurosEn R, I(20, 10) = 300000 eurosEn S, I(20, 0)) = 180000 euros

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En T, I/4, 0) = 36000 euros.

Los ingresos se maximizan vendiendo todos los coches, los 20 del modelo A y los 10del B.

b) Los ingresos ascendern a 300000 euros.

Opcin 2aa) Dominio: R{0}.

b) Como =+

x

xlmx

12

0, x = 0 es asntota vertical.

Tambin tiene una asntota oblicua, pues el grado del numerador es igual al de

denominador ms 1. Esta asntota esy = mx + n, siendo:

m = 11)(

2

2

=+

= x

xlm

x

xflm

xx y

n= 011

))((2

==

+=

xlmx

x

xlmmxxflm

xxx

Por tanto, la asntota es y = x.

c) Derivando se tiene:2

2

2

22 1)1(2)(x

x

x

xxxf =+=

Esta derivada se anula en x = 1 y en x = 1.

Si x < 1,f(x) > 0 f(x) es creciente. Si 1 < x < 0,f(x) < 0 f(x) es decreciente. En consecuencia, en x = 1

hay un mximo.

Si 0 < x < 1,f(x) < 0 f(x) es decreciente. Si x > 1,f(x) > 0 f(x) es creciente. En consecuencia, en x = 1 hay un

mnimo.

d) Las grficas defy gse cortan en las soluciones de

xx

x 112=

+ 112 =+x x = 0, precisamente donde no estn definidas

ninguna de las dos funciones.Se trata, pues, de una integral impropia (salvo error en el enunciado). En concreto, elrea pedida es la sombreada en la figura siguiente.

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Su valor es:

A = =

+=

+ + dxxx

xlmdx

xx

x

tt

5 2

0

5

0

2 1111

2

25

22

25

2

2

0

52

0

5

0=

=

==

+++ t

lmx

lmdxxlmt

tttt

Opcin 3aSuponemos que se tratan de tres sucesos independientes.Llamamos H, L e I a los sucesos aprobar Historia, Lengua e Ingls, respectivamente.

Sus contrarios los designamos por nH, nL, nI

Las probabilidades respectivas son:

P(H) =3

2 P(nH) =

3

1

P(L) =5

4 P(nL) =

5

1

P(I) =5

3 P(nI) =

5

2

Con esto:

a) P(suspender las tres) = P(nH) P(nL) P(nI) =75

2

5

2

5

1

3

1=

b) P(suspender slo una de las tres) = P(HLnI, HnLI, nHLI) =

=75

34

75

12

75

6

75

16

5

3

5

4

3

1

5

3

5

1

3

2

5

2

5

4

3

2=++=++

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c) P(suspender L/suspendi slo una) =34

6

75

345

3

5

1

3

2

una)slorP(suspende

L)slorP(suspende==

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