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信号与系统

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电子教案第四章傅里叶变换和系统的频域分析

4.1 信号分解为正交函数一、正交函数集

二、信号分解为正交函数

4.2 周期信号的傅里叶级数一、周期信号的分解

二、奇、偶函数的傅里叶级数

三、傅里叶级数的指数形式

4.3 周期信号的频谱一、周期信号的频谱

二、周期矩形脉冲的频谱

三、周期信号的功率

4.4 非周期信号的频谱一、傅里叶变换

二、奇异函数的傅里叶变换

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4.5 傅里叶变换的性质一、线性

二、奇偶性

三、对称性

四、尺度变换

五、时移特性

六、频移特性

七、卷积定理

八、时域微分和积分

九、频域微分和积分

十、相关定理

4.6 能量谱和功率谱一、能量谱

二、功率谱

第四章傅里叶变换和系统的频域分析

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4.7 周期信号的傅里叶变换

一、正、余弦函数的傅里叶变换

二、一般周期函数的傅里叶变换

三、傅里叶系数与傅里叶变换

4.8 LTI系统的频域分析

一、频率响应

二、无失真传输

三、理想低通滤波器的响应

4.9 取样定理

一、信号的取样

二、时域取样定理

三、频域取样定理

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4.10 序列的傅里叶分析一、周期序列的离散傅里叶级数(DFS)

二、非周期序列的离散时间傅里叶

变换(DTFT)

4.11 离散傅里叶变换及其性质一、离散傅里叶变换(DFT)

二、离散傅里叶变换的性质

第四章傅里叶变换和系统的频域分析

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法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于

欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。

傅里叶简介

1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固

体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅里叶分析等

理论均由此创始。（傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶积分、傅里叶变换，这些统称为傅里叶分析。）其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。

1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推

导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。

http://www.dyu.edu.tw/~mfht206/history/18/18franceface/JeanBaptisteJosephFourier/JeanBaptisteJosephFourier.html

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电子教案第四章连续系统的频域分析

4.1 信号分解为正交函数

一、矢量正交与正交分解

时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为

一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。

本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信

号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。

这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。

矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：

其内积为0。即

03

1

i

yixi

T

yx vvVV

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电子教案 4.1 信号分解为正交函数

由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集

如三维空间中，以矢量

vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)

所组成的集合就是一个正交矢量集。

对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量集{ vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即

A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz

矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。


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x

y

0

A2 yC v

1 xC v

(a) 平面矢量分解

x

y

0

A2 yC v

1 xC v

(b) 空间矢量分解

3 zC v

z


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二、信号正交与正交函数集 1. 定义：

定义在(t1，t2)区间的两个函数1(t)和2(t),若满足

2

1

*

1 2( ) ( )d 0

t

tt t t (两函数的内积为0)

则称1(t)和2(t) 在区间(t1，t2)内正交。

2. 正交函数集：

若n个函数1(t)，

2(t)，…，

n(t)构成一个函数集，当这些

函数在区间(t1，t2)内满足

2

1

*0,

( ) ( )d0,

t

i jt

i

i jt t t

K i j

则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。

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3. 完备正交函数集：

如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足

则称此函数集为完备正交函数集。

例如:三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}

虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}

是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。

2

1

0d)()(t

ti ttt ( i =1，2，…，n)

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电子教案

2

2

cos sin 0

T

T n t m t dt

2

2

,cos cos 2

0,

T

T

Tm n

n t m t dt

m n

2

2

,sin sin 2

0,

T

T

Tm n

n t m t dt

m n

4.1 信号分解为正交函数

三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 在一个周期内是完备正交函数集

3. 完备正交函数集：

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三、信号的正交分解

设有n个函数1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为

f(t)≈C1

1+ C

2

2+…+ C

n

n

如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)

内为最小??

通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为

2

1

2 2

12 1

1[ ( ) ( )] d

nt

j jt

j

f t C t tt t

平均误差最小？？不合适！

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为使上式最小

2

1

2

2

1

[ ( ) ( )] d 0n

t

j jt

ii j

f t C tCC

t

展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为

2

1

2 2[ ]d2 ( ) ( ) ( ) 0

t

ti i

i

i iC f t t C t

Ct

即 2 2

1 1

22 ( ) ( )d 2 ( )d 0

t t

i i it t

f t t t C t t

所以系数

2

21

21

1

2

( ) ( )d 1( ) ( )d

( )d

t

i tt

i it ti

it

f t t tC f t t t

Kt t

对于三角正交基，Ki=？

信号与系统



代入，得最小均方误差（推导过程见教材）

2

1

2 2 2

12 1

1[ ( )d ] 0

nt

j jt

j

f t t C Kt t

在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有

2

1

2 2

1

( )dt

j jt

j

f t t C K

上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。

1

( ) ( )j j

j

f t C t

函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和

信号与系统


电子教案 4.2 傅里叶级数

4.2 周期信号的傅里叶级数

一、傅里叶级数的三角形式

设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数

0

1 1

( ) cos( ) sin( )2

n n

n n

af t a n t b n t

系数an , bn称为傅里叶系数

2

2

2( )cos( )d

T

Tna f t n t t

T

2

2

2( )sin( )d

T

Tnb f t n t t

T

可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。

狄里赫利(Dirichlet)条件.ppt






信号与系统



0

1

( ) cos( )2

n n

n

Af t A n t

式中，A0 = a0 2 2

n n nA a b arctan n

n

n

b

a

上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，

A0/2为直流分量；

A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；

A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；

一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。

可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。

an = Ancosn， bn = –Ansin n，n=1,2,…

将上式同频率项合并，可写为

信号与系统



例1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数, T=3。

解： ( ) 3, 2 / 2 / 3f t T T 为的周期信号，傅里叶系数为

02 2

022

2 2 2( )cos( ) ( 1) cos( ) 1 cos( )

T T

TTna f t n t dt n t dt n t dt

T T T

t

( )f t

0

1

1

2

T T

2

T

T 3

2

T

02 1 2 1

[ sin( )] [sin( )] 2

02

T

n t n tTT n T n

考虑到Ω=2π/T，可得： 0na

信号与系统



信号的傅里叶级数展开式为：

0

1 1

( ) cos( ) sin( )2

n n

n n

af t a n t b n t

02 2

022

2 2 2( )sin( ) ( 1) sin( ) 1 sin( )

T T

TTnb f t n t dt n t dt n t dt

T T T

02 1 2 1

[cos( )] [ cos( )] 2

02

T

n t n tTT n T n

2{[1 cos( )] [1 cos( )]

2

Tn n

T n

2[1 cos( )]n

n

0, 2,4,6,

4, 1, 3,5,

n

nn

4 1 1 1[sin( ) sin(3 ) sin(5 ) sin( ) ], 1, 3,5,

3 5t t t n t n

n

信号与系统



0 1 2 3 4 5 6

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

基波

信号与系统



0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0

0.5

1

t

基波＋三次谐波

信号与系统



0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0

0.5

1

t

基波＋三次谐波＋五次谐波

信号与系统



0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0

0.5

1

t

基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波

动画

动画集锦/第四章/傅l里叶级数.avi

信号与系统



二、波形的对称性与谐波特性

1. f(t)为偶函数——对称纵坐标

2

2

2( )cos( )d

T

Tna f t n t t

T

2

2

2( )sin( )d

T

Tnb f t n t t

T

展开为余弦级数 2

0( )cos( )

0

4d

T

n

n

a f t n t tT

b

( )

n n

n

A a

m m

是整数

f(t)

t0 T

T/2-T/2-T

f(-t)=f(t)

信号与系统



二、波形的对称性与谐波特性

2. f(t)为奇函数——对称于原点

展开为正弦级数。

2

2

2( )cos( )d

T

Tna f t n t t

T

2

2

2( )sin( )d

T

Tnb f t n t t

T

2

0

0

( )sin( )d4

T

n

n

a

b f t n t tT

( 1)( )

2

n n

n

A b

mm

是整数

f(t)

t0 T

T/2-T/2

-T

f(-t)= - f(t)

信号与系统


电子教案

例: 求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。

4.2 傅里叶级数

20

2

1d 0

T

T

Aa t t

T T

2

2

2cos d 0

T

Tn

Aa t n t t

T T

2

2

2sin d

T

Tn

Ab t n t t

T T

1( 1) 1, 2, 3

π

nAn

n

周期锯齿波的傅里叶级数展开式为

0 sin sin 2π 2π

A Af t t t

( ) 2 2

A T Tf t t t

T

直流基波二次谐波

t

tf

A/2

2

T

2

T

2π

T

解：

信号与系统



( ) ( )( )

2od

f t f tf t

( ) ( )( )

2ev

f t f tf t

3. f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)

f(t)

t0 TT/2

此时其傅里叶级数中只含

奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即

a0=a2=…=b2=b4=…=0

实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即

f(t) = fod(t) + fev(t)

f (-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以

信号与系统


电子教案

)(tf

O tTT

1

1

2/T

既是奇函数又是奇谐函数

只含奇次谐波,且为正弦波.

4. f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t±T/2)

f(t)

t0 TT/2-T/2

此时其傅里叶级数中只含

偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即

a1=a3=…=b1=b3=…=0

4.2 傅里叶级数

例判断图示波形展开后的什么情况

信号与系统


电子教案

j( ) e

n t

n

n

f t F

j2

2

1( )e d

T

n t

TnF f t t

T

系数Fn 称为复傅里叶系数

虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}


三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。

4.2 傅里叶级数

可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2 .

信号与系统



( ) ( )0

1

[e e ]2 2

n nj n t j n tn

n

A A

0

1 1

1 1e e e e

2 2 2n nj jjn t jn t

n n

n n

AA A

0

1

( ) cos( )2

n n

n

Af t A n t

上式中第三项的n用–n代换，A– n

=An，

– n= –

n，则上式写为

0

1 1

1 1e e e e

2 2 2n nj jjn t jn t

n n

n n

AA A

令A0=A

0ej0 ej0t ，

0 =0

1( ) e e

2nj jn t

n

n

f t A

所以


复傅里叶系数推导，可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2 .

信号与系统



令复数 1

e e2

n nj

n n nA F F

称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。

1 1 1( cos sin ) ( )

2 2 2nj

n n n n n n n nF A e A jA a jb

2 2

2 2

2

2

cos( ) sin1 1

( ) d ( ) d

1( )

( )

e d

T T

T T

T

j

T

n t

f t t f t tT T

f t tT

n t j n t

( ) ejn t

n

n

f t F

2

2

1( )e d

T

jn t

TnF f t t

T

n = 0, ±1, ±2，…

表明:任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。

信号与系统



例2：求如图所示周期信号的指数型傅里叶级数。

t

( )f t

0

1

2 1

2

21 3 4

解： ( ) 3, 2 / 2 / 3f t T T 为的周期信号，指数型傅里叶系数为

2 3

0 2

1 1( ) [ 2 ]

3

Tjn t jn t jn t

no

F f t e dt e dt e dtT

2 3 22 1[1 ] [ ]

3 3

j n j n j ne e e

j n j n

2 32 1 1 1

3 30 2

jn t jn te e

jn jn

信号与系统



2 3 22 1[1 ] [ ]

3 3

j n j n j ne e e

j n j n

2 32 3

3

j n j ne e

j n

4

232 3

2

j nj n

e e

j n

4

33

(1 )2

j n

ej n

指数型傅里叶级数为：

4

33

( ) (1 )2

j njn t jn t

n

n n

f t F e e ej n

信号与系统


电子教案

2 2 2 20

01

1 1( ) ( ) | |

2 2

T

n n

n n

Af t dt A F

T

直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。

n≥0时， |Fn| = An/2。

周期信号一般是功率信号，其平均功率为

这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。

四、周期信号的功率——Parseval等式

4.2 傅里叶级数

信号与系统


电子教案

对于三角函数形式的傅里叶级数

0

1

( ) cos sin2

n n

n

af t a n t b n t

平均功率

2

2 0

0 01

1 1( )d cos sin d

2

T T

n n

n

aP f t t a n t b n t t

T T

2

2 20

1

1

2 2n n

n

aa b

22 2

20

1 1

1 1

2 2 2 2n n

n n

a aA A

对于指数形式的傅里叶级数 2

n

n

F

2

0

1( )d

T

P f t tT

0

02

aF

总平均功率=直流、各次谐波的平均功率之和

四、周期信号的功率——Parseval等式

4.2 傅里叶级数

证明:

信号与系统


电子教案

2 21 1

2 2n n n n

F a b A

arctan nn

n

b

a

j1 1e e ( j )

2 2n n

n n n n nF F A a b

n的偶函数：an ， An ， |Fn |

n的奇函数: bn ，n

cosn n n

a A

sinn n n

b A

傅里叶系数之间关系

4.2 傅里叶级数

信号与系统


电子教案 4.3 周期信号的频谱

4.3 周期信号的频谱及特点

一、信号频谱的概念

从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。

周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。

将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。

也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。

信号与系统


电子教案

3

nA

2

0A

1A

3A

O 3

n

O

离散谱，谱线幅度频谱

相位频谱

~nA

~n

频谱图示（单边）

4.3 周期信号的频谱

信号与系统



单边谱和双边谱关系

(1). |Fn|= |F-n|= An/2，双边谱的左边是单边谱的偶对称；

(2). 双边相位谱的左边是单边相位谱的奇对称。

信号与系统



例1：已知

请画出其幅度谱和相位谱。

12

0 A 00

236.251 Aπ 15.01

12 A π 25.02

解：化为余弦形式

单边频谱图

1 1

π( ) 1 5 cos( 0.15π) cos 2

4f t t t

三角函数形式的傅里叶级数的谱系数

1

1A

2

0A 2A

12O

24.2

1 1

nA

12

π25.0

π15.0

O1

n

1 1 1

π( ) 1 sin 2cos cos 2

4f t t t t

信号与系统



1 1

1 1 1 1

π π2 j 2 j

j j j j 4 41 2 1( ) 1 e e e e e e

2j 2 2

t tt t t tf t

1 1 1 1

π πj j

j j j2 j24 41 1 1 1

( ) 1 1 e 1 e e e e e2 j 2 j 2 2

t t t tf t

1

2j

2

e n t

n

n

F

0 1F j0.15π

1

11 1.12e

2jF

j0.15π

1

11 1.12

2jF e

πj4

2

1e

2F

πj4

2

1e

2F

整理

12

5.0

O1

1

12.1

12

12.15.0 1

nF

12

π 25.0

π 15.0

O

1

1

π 15.0

12

π 25.0

n

双边频谱图

信号与系统



例2：周期信号 f(t) =

试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。

1 2 11 cos sin

2 4 3 4 3 6t t

解首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即

1 2 1( ) 1 cos cos

2 4 3 4 3 6 2f t t t

显然1是该信号的直流分量。

1cos

2 4 3t

的周期T1 = 8

1 2cos

4 3 3t

的周期T2 = 6

所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12

根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P=

2 21 1 1 1 37

12 2 2 4 32

信号与系统



1cos

2 4 3t

是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量；

1 2cos

4 3 3t

是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量；

画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图

(a) (b)

o

An

12

6

4

3

2

0A

2

1

4

1

w

ow

3

3

4

6

12

3

2

n

1

信号与系统



二、周期信号频谱的特点

举例：有一幅度为1，脉冲宽度为

的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。

f(t)

t

0

T-T

…

1

2

2

2 2

2 2

1 1( )e d e d

T

jn t jn t

TnF f t t t

T T

sin2

2

T

n

n

令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）

2

2

sin( )1 e 2 2

jn t

n

T jn T n

试画Sa(x)图形

( )2

( )n

nF SS

n

Ta

Ta

T

, n = 0 ,±1，±2，…

信号与系统



Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4τ画图。

零点为

mn

2所以

mn

2 ，m为整数。

Fn

0 2

2

4

4

1

(1)包络线形状：抽样函数

(3)离散谱（谐波性）

5 nF（）函数处为实函数是复（此），幅度/相位

0 0 0, πn nF F ，相位为，相位为。

(2)最大值：n=0， T

(4)第一个零点：（n=4） 2

信号与系统



谱线的结构与波形参数的关系：

(a) T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间

的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。

(b) 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。

特点: (1) 周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置

是基频Ω的整数倍；

(2) 一般具有收敛性。总趋势减小。

如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，

谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。

信号与系统


电子教案

三、周期信号的功率——Parseval等式

2 2

2 2

2 20

1

1 1( ) [ cos( )]

2

T T

T T n n

n

AP f t dt A n t dt

T T

含义：直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功

率之和。

周期信号一般是功率信号，其平均功率为

0

1

2nF A

2 2

0

1

2 n

n

F F

2 20

1

1( )

2 2n

n

AA

2| |n

n

F

0F n是的偶函数

表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在

频域中求得的信号功率相等。

2

cos( )

cos( ) cos( )

2

n

n n

n

n t

m t n t

m n

Tm n A

展开式中具有形式的余弦项，

其在一个周期内的积分等于零；

具有形式的项，

当时，其积分为零，

当时，其积分值为。


信号与系统


电子教案

1.问题提出 nF

O

T

2π

第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）

由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。


四、频带宽度

2

信号与系统



四、频带宽度

而总功率

二者比值

0.181

2 22 2 2 2 2 22

5 0 1 2 3 4 1 2 3 4nP F F F F F F F F F

22

0

1( )d

T

n

n

P f t t FT

2

0

1( )d 0.2

T

P f t tT

5 90.5%nP

P

1 1

20 4τ s,T s 以例取前5次谐波

信号与系统


电子教案

在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。

对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率区间定义为频带宽度。

语音信号频率大约为 300~3400Hz，

音乐信号 50~15,000Hz，

扩音器与扬声器有效带宽约为 15~20,000Hz。

3．系统的通频带 >信号的带宽，才能不失真

一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：

2 π 1fB B

或，带宽与脉宽成反比。


四、频带宽度

信号与系统


电子教案 4.4 傅里叶变换

4.4 非周期信号的频谱—傅里叶变换

一、傅里叶变换

非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。

TFT

FjF n

T

n

T lim

/1lim)( (单位频率上的频谱）

称F(jω)为频谱密度函数。

j2

2

1( )e d

T

n t

TnF f t tT

频谱

连续谱，幅度无限小；离散谱

2 π

T 频率间隔 0

0

再用Fn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。令

信号与系统



2

2

de)(

T

T

tjn

n ttfTF

n

tjn

nT

TFtf1

e)(

考虑到：T→∞，Ω→无穷小，记为dω；

n Ω→ ω（由离散量变为连续量），而

2

d

2

1

T同时，∑ → ∫

于是，

ttfTFjF

tj

nT

de)(lim)(

de)(

2

1)(

tjjFtf

傅里叶变换式

傅里叶反变换式

F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。

f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。

根据傅里叶级数

信号与系统



也可简记为 F(jω) = F [f(t)]

f(t) = F –1[F(jω)]

或 f(t) ←→ F(jω)

F(jω)一般是复函数，写为

F(jω) = | F(jω)| e j(ω) = R(ω) + jX(ω)

说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数

f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:

ttf d)(

(2)用下列关系还可方便计算一些积分

dttfF )()0(

d)(

2

1)0( jFf

信号与系统



二、常用函数的傅里叶变换

1. 单边指数函数f(t) = e–tε(t)， >0实数

jjtjF tjtjt

1

e1

dee)( 0

)(

0

tf

O t

1

信号与系统


电子教案

2 2

1jF

10, j

, j 0

F

F

arctan

0, 0

π,

2

π,

2

幅度频谱：

相位频谱：

jF

O

1

O

2π

2π

4.4 傅里叶变换

单边指数频谱图

信号与系统



二、常用函数的傅里叶变换

2. 双边指数函数 f(t) = e–t , >0

220

0 211deedee)(

jjttjF

tjttjt

tf

O t

1

jF

O

2

信号与系统



3. 门函数(矩形脉冲)

2,0

2,1

)(

t

ttg

jtjF

jj

tj

222/

2/

eede)(

)2

Sa(

)2

sin(2

1

0 t

gτ (t)

2

2

信号与系统


电子教案

2π 1fB B

或

幅度频谱

相位频谱

频宽：

jF

π2O π4π2

π20 π4

π2

π

π

jF

π2O π4

π2

门函数频谱图

4.4 傅里叶变换

信号与系统



4. 冲激函数(t)、´(t)

1de)()(

ttt tj

jt

ttt t

tjtj

0ed

dde)(')('

信号与系统



5. 常数1

有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)

等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。

可构造一函数序列{fn(t)}逼近f

(t) ，即

而fn(t)满足绝对可积条件，并且{f

n(t)}的傅里叶变换

所形成的序列{Fn(j)}是极限收敛的。则可定义f(t)的

傅里叶变换F (j)为

)(lim)( tftf nn

)(lim)( jFjF nn

这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。

信号与系统



构造 f(t)=e-t ，> 0←→ 22

2)(

jF

)(lim1)(0

tftf

所以

0,

0,02lim)(lim)(

2200

jFjF

冲激函数

2arctan2lim

1

2lim

2lim

020220

dd

因此， 1←→2()

，下面计算其强度

信号与系统



另一种求法： (t)←→1代入反变换定义式，有

)(de2

1t

tj

将→t ，t→- )(de2

1

t

tj

再根据傅里叶变换定义式，得

1 e d 2 ( ) 2 ( )1 j t t

或：

→ x，t→ -y

x→ w，y→ t

信号与系统


电子教案

6. 符号函数

4.4 傅里叶变换

0,1

0,1)sgn(

t

tt

00,e

0,e)(

t

ttf

t

t

)(lim)sgn(0

tft

22

211)()(

j

jjjFtf

j

jjFt

22lim)(lim)sgn(

2200

te

tet

1

1

)sgn(t

O

不满足绝对可积条件

信号与系统


电子教案

j

22 2 2

s g n j ej

t

2

2 2jF

jF 函数是偶

π2, 0

2arctan

π0, 0

2

是奇函数

6. 符号函数

2

)(jF

O

O

2

π

2

π

信号与系统



7. 阶跃函数(t)

jtt

1)()sgn(

2

1

2

1)(

1

0 t

ε (t)

信号与系统



归纳记忆：

1. F 变换对

2. 常用函数 F 变换对：

t

域ω

域

tetfjF

tjd)()(

tejFtf

tjd)(

2

1)(

δ(t)

ε(t) 1

( )j

e -t ε(t) 1

j

gτ(t) 2

Sa

sgn (t) 2

j

e –|t|

1

1 2πδ(ω)

信号与系统


电子教案 4.5 傅里叶变换的性质

4.5 傅里叶变换的性质

一、线性(Linear Property)

If f1(t) ←→F1(jω)， f2(t) ←→F2(jω)

then

Proof: F [a f1(t) + b f2(t)]

1 2[ ( ) ( )]e dj t

af t bf t t

1 1a ( )e d b ( )e dj t j t

f t t f t t

= [a F1(jω) + b F2(jω) ]

[a f1(t) + b f2(t) ] ←→ [a F1(jω) + b F2(jω) ]

信号与系统



For example F(jω) = ?

0

f ( t )

t1-1

1

Ans: f (t) = f1(t) – g2(t)

f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω)

g2(t) ←→ 2Sa(ω)

∴ F(jω) = 2πδ(ω) - 2Sa(ω)

‖

0

f 1( t )

t

1

0

g2 ( t )

t1-1

1

-

信号与系统



二、奇偶性(Parity)

If f(t) is real, then

tttfjtttfttfjF

tjd)sin()(d)cos()(de)()(

= R(ω) + jX(ω)

)()(|)(| 22 XRjF

)(

)(arctan)(

R

X

cos d

sin d

R f t t t

X f t t t

(1) R(ω)= R(–ω) , X(ω) = – X (–ω)

|F(jω)| = |F(– jω)| , (ω) = – (–ω)

信号与系统




(2) If f(t) = f(-t) ,

cos d

sin d

R f t t t

X f t t t

0

2 cos df t t t

0

2 sin dj f t t t

If f(t) = -f(-t) ,

then X(ω) = 0, F(jω) = R(ω)=

then R(ω) = 0, F(jω) = jX(ω)=

tttfjtttfttfjF

tjd)sin()(d)cos()(de)()(

= R(ω) + jX(ω)

信号与系统




jf t F

j ( ) ( )

( ) ( )

j

F R jX

R jX

F

jf t F

(3)

[ ] ( ) , = -tj tF f t f t e d t

令

？

( ) ( )jf e d

( )( ) jf e d

( )F j

信号与系统



三、对称性质(Symmetrical Property)

If f (t) ←→F(jω) then

Proof:

de)(

2

1)(

tjjFtf （1）

in (1) t →ω，ω→t then

tj tFf

tjde)(

2

1)(

（2）

in (2) ω → -ω then

tj tFf

tjde)(

2

1)(

∴ F(j t) ←→ 2πf (–ω) end

F( jt ) ←→ 2πf (–ω)

信号与系统




δ(t)

1 对称性：

例1： t

1

？ ?

δ'(t)

信号与系统




For example

←→ F(jω) = ? 2

1( )

1f t

t

Ans: | |

2 2

2e t

if α=1, | |

2

2e

1

t

∴ | |

2

22 e

1 t

| |

2

1e

1 t

信号与系统



四、尺度变换性质(Scaling Transform Property)


where ―a‖ is a nonzero real constant.

Proof: F [ f (a t ) ] =

For a > 0 , F [ f (a t ) ]

for a < 0 ,

F [ f (a t ) ]

That is , f (a t ) ←→

Also,letting a = -1, f (- t ) ←→ F( -jω)

1( )

| |f at F j

a a

( ) dj t

f at e t

1

( )e dat j

afa

1

F ja a

1 1( )e d ( )e d

at j ja af f

a a

1F j

a a

1

| |F j

a a

信号与系统



物理含义


o

E

π2

F

π2

o t/ 2 / 2

f t

E

o t

2

tf

E

o

E2

π

22F

π

(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。

脉冲持续时间增加a

倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。

信号与系统



物理含义


(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。

o t

4

4

tf 2

E

o

2

E

π4

22

1 F

π4

(3) a=-1 时域反转，频域也反转。

持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。

信号与系统



For example

f(t) = ←→ F(jω) = ?

Ans:

Using symmetry,

Using scaling property with a = -1,

so that,


12 e ( )

1jt

1

1jt

1e ( )

1

t tj

12 e ( )

1jt

12 e ( )

1jt

信号与系统



五、时移性质(Timeshifting Property)


where ―t0‖ is real constant.

Proof: F [ f (t – t0 ) ]

00( ) e ( )

j tf t t F j

0( )e dj t

f t t t

00( )e d e

t tj tj

f

0e ( )j t

F j

信号与系统



For example 1 F(jω) = ?

Ans: f1(t) = g6(t - 5) ,

f2(t) = g2(t - 5)

g6(t - 5) ←→

g2(t - 5) ←→

∴ F(jω) =

0

f ( t )

t2-1

2

1

4 6 8

‖

0

f1 ( t )

t2

2

1

4 6 8

+

0

f2 ( t )

t2

2

1

4 6 8


56Sa(3 )e

j

52Sa( )e

j

5[6Sa(3 ) 2Sa( )]e

j

信号与系统


电子教案

For example 时移尺度

Given that f (t)←→F( jω), find f (at – b) ←→ ?

Ans: f (t – b)←→ e -jωb F( jω)

f (at – b) ←→

or

f (at) ←→

f (at – b) =



1e

| |

j ba F j

a a

1

| |F j

a a

( )b

f a ta

1

| |

j bae F j

a a

信号与系统



For example 2 ←→ F(jω) = ?

Ans:

if α=1,

∴

* if F(jω) = ?


| |2 ( ) e

je

2

1( )

1f t

t

| |

2 2

2e

t

| |

2

2e

1

t

| |

2

22 e

1 t

| |

2

1e

1 t

2

2

2 3( )

2 2

t tf t

t t

信号与系统



六、频移性质(Frequency Shifting Property)


Proof:

where ―ω0‖ is real constant.

F [e jω0t f(t)]

= F[ j(ω-ω0)]

0

0[ ( ) ] ( )j t

F j e f t

For example 1

f(t) = ej3t ←→ F(jω) = ?

Ans: 1 ←→ 2πδ(ω)

ej3t ×1←→ 2πδ(ω-3)

0e ( )e dj t j t

f t t

0( )( )e d

j tf t t

信号与系统



For example 2

f(t) = cosω0t ←→ F(jω) = ?

Ans:

F(jω) = π[δ(ω+ω0)+ δ(ω-ω0)]

For example 3

Given that f(t) ←→ F(jω)

The modulated signal f(t) cosω0t ←→ ?

六、频移性质(Frequency Shifting Property)

sinω0t ←→?

0 01 1

( ) e e2 2

j t j tf t

信号与系统


电子教案

已知矩形调幅信号 0c o s ,f t E g t t

τg t其中为矩形脉冲，试求其频谱。

jg t G ω 矩形脉冲的频谱为

j2

G

Sa

解：

因为 0 0j j1e e

2

t tf t Eg t

jf t F 根据频移性质的频谱为

0 0

1 1j [j( )] [j( )]

2 2F EG EG

频移（调制）特性例

t

tf

o

2

2

E

(a)矩形调幅信号的波形

信号与系统


电子教案

0 0

1 1j [j( )] [j( )]

2 2F EG EG

0 0 Sa Sa

2 2 2 2

E E

0将包络线的频谱一分为二，向左、右各平移

π20

0

O

0

2

E jF

(b)矩形调幅信号的频谱

信号与系统



七、卷积性质(Convolution Property)

Convolution in time domain：

If f1(t) ←→F1(jω)， f2(t) ←→F2(jω)

f1(t)*f2(t) ←→F1(jω)F2(jω)

Convolution in frequency domain：

If f1(t) ←→F1(jω)， f2(t) ←→F2(jω)

f1(t) f2(t) ←→ F1(jω)*F2(jω) 1

2

信号与系统



Proof:

d)()()(*)( 2121 tfftftf

F [ f1(t)*f2(t) ]=

d]de)()[(ded)()( 2121 ttffttff

tjtj

Using timeshifting

jtj

jFttf

e)(de)( 22

So that, F [ f1(t)*f2(t) ]=

de)()(de)()( 1221

jjfjFjFf

= F1(jω)F2(jω)

信号与系统



For example

?)(sin

2

jF

t

t

Ans: )Sa(2)(2 tg

Using symmetry,

22Sa( ) 2 ( )t g

2Sa( ) ( )t g

)(*)(2

)]([*)]([2

1sin2222

2

ggggt

t

g2(ω)*g 2(ω)

2

2-2 0 ω

F(jω)

π

2-2 0 ω

注意：

2 2(t)* (t)g g 的波形

g2(t)

1

0t

=g2(t)*g2(t)2

2-2 0 t

2 2

g2(t)

1

0

t

2 2

( )f t

=*

信号与系统



八、时域的微分和积分 (Differentiation and Integration in time domain)


)()()()( jFjtf nn

j

jFFxxf

t )()()0(d)(

ttfjFF d)()()0( 0

Proof:

f(n)(t) = (n)(t)*f(t) ←→(j ω)n F(jω)

f(-1)(t)= (t)*f(t) ←→

j

jFFjF

j

)()()0()(]

1)([

信号与系统



f(t)= 1/t2 ←→?

For example 1

Ans: j

t2

)sgn(

)sgn(22

jt

)sgn(1

jt

)sgn()sgn()(1

d

d

jj

tt

||)sgn(12

t

信号与系统



For example 2 Given that f (t)←→ F1(jω) Proof

f (t)←→ F1(jω) + [f(-∞)+ f(∞)]() j

1

1

1

d ( ) 1 d ( )( ) ( ) d ( ) d ( )

d d

1( ) [ ( ) ( )] ( )

tj tf t f t

f t f t F j e tt j t

F j f fj

Proof

)()]()([)(1

)()(2)( 1

ffjFj

fjF

So )()]()([)(

1)( 1

ffjF

jjF

Summary: if f (n)(t)←→ Fn(jω)，and f(-∞)+ f(∞) = 0

Then f (t)←→ F (jω) = Fn(jω)/ (jω)n

信号与系统



For example 3 f(t)

2-2 0 t

2

Determine f (t)←→ F (jω)

f '(t)

t2-2 0

-1

1

t2-2

(1) (1)

(-2)

f "(t)

Ans1: f ‖(t) = (t+2) – 2 (t) + (t –2)

F2(jω)= F [f ‖(t)] = e j2ω– 2 + e – j2ω= 2cos(2ω) – 2

F (jω) = 22

2 )2cos(22

)(

)(

j

jF

Notice: dε(t)/dt = (t) ←→ 1 ε(t) ←×→ 1/(jω)

Ans2: f’ (t) = g2(t+1) –g2(t –1)

F1(jω)= F [f ’(t)] =2Sa(ω)[ ejω–e–jω]

F (jω) = 2( )4 ( )

F jSa

j

信号与系统



九、频域的微分和积分 (Differentiation and Integration in frequency domain)


(–jt)n f (t) ←→F(n)(jω)

1(0) ( ) ( ) ( )df t f t F jx x

jt

where

d)(

2

1)0( jFf

信号与系统



Notice: tε(t) =ε(t) * ε(t) ←→

jj

1)(

1)(

It’s wrong.

Because ()() and (1/j)() is not defined.

For example 1 Determine f (t) = tε(t) ←→ F (jω)=?

jt

1)()( Ans1:

jtjt

1)(

d

d)(

2

1)(')(

jtt

Ans2: 频域卷积

信号与系统



For example 2 Determine

d

)sin(

a

Ans:

)sin(2)(2

atg a

de

)sin(1de

)sin(2

2

1)(2

tjtj

a

aatg

d

)sin(1)0(2

ag a

sin( )d

a

0 sin( )d

2

a

0

sin( )d ?

a

信号与系统


电子教案

十、相关定理


If f1(t) ←→F1(jω) ，f2(t) ←→F2(jω) ，f(t) ←→F(jω) then

F [R12(τ)] = F1(jω) F2*

(jω)

F [R21(τ)] = F1*

(jω) F2 (jω)

F [R(τ)] = |F (jω)|2

证明：利用相关函数与卷积积分的关系

R12(τ) = f1(τ)* f2(–τ)

F [R12(τ)] = F [ f1(τ)* f2(–τ)]= F [ f1(τ)] F [ f2(–τ)]

由于F [ f2(–τ)] = F2 (–jω)= F2*(jω)

故 F [R12(τ)] = F1(jω) F2*(jω)

信号与系统


电子教案

4.6 能量谱和功率谱

4.6 能量谱和功率谱

一、能量谱

2lim ( ) d

T

TTE f t t

1. 信号能量的定义：时间（-∞, ∞）区间上信号的能量。

2( ) d

T

Tf t t

信号(电压或电流)f(t)在1Ω电阻上的瞬时功率为|f(t)|2,

在区间（-T, T）的能量为

如果信号能量有限，即0<E<∞，信号称为能量有限信

号，简称能量信号。例如门函数，三角形脉冲，单边或双边指数衰减信号等。

信号与系统


电子教案

2 21( ) d ( ) d

2E f t t F j

2. 帕斯瓦尔方程（能量方程）：

证法一： 2 *( ) d ( ) ( ) dE f t t f t f t t

*1( ) ( ) e d d

2

j tf t F j t

*1( ) ( ) e d d

2

j tF j f t t

* 21 1( ) ( ) d | ( ) | d

2 2F j F j F j

4.6 能量谱与功率谱

信号与系统


电子教案

2 21( ) d ( ) d

2E f t t F j

2. 帕斯瓦尔方程（能量方程）：

证法二：


由相关定理知 2

( ) (j )R F F2 j1

( ) (j ) e d2π

R F

所以

21(0) (j ) d

2πR F

又能量有限信号的自相关函数是 *( ) ( ) ( ) dR f t f t t

2(0 ) ( ) dR f t t

因此，得 2

(0 ) ( ) dR f t t

21(j ) d

2F

信号与系统


电子教案

3. 能量谱密度


为了表征能量在频域中的分布情况，可以借助于密度的概念，定义一个能量密度函数，简称为能量频谱或能量谱。

能量谱密度定义为单位频率的信号能量，记为E(ω)

在频带df内信号的能量为E(ω) df，因而信号在整个频率范围的总能量

1d d

2E f

E(ω) E(ω)

由帕塞瓦尔关系可得 E(ω)=|F(jω)|2

R(τ) ←→E(ω)

能量谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。

信号与系统


电子教案

For example

Determine the energy of sin 5

2 cos(997 )t

tt

Ans: 10

sin 5( )

tg

t

10 10

sin 52 cos(997 ) ( 997) ( 997)

tt g g

t

2 1 10( ) d (10 10)

2E f t t


信号与系统


电子教案 4.6 能量谱和功率谱

二、功率谱

21lim ( ) d

2

def T

TTP f t t

T

由信号能量和功率的定义可知，若信号能量E有限，则P=0；若信号功率P有限，则E=∞。

1. 信号功率：定义为时间（-∞, ∞）区间上信号f(t)的

平均功率，用P表示。

如果信号功率有限，即0<P<∞，信号称为功率有限信号，简称功率信号。如阶跃信号，周期信号等。

如果f(t)为实函数，则

21lim ( )d

2

def T

TTP f t t

T

信号与系统



功率有限信号的能量趋于无穷大，即 2 ( )df t t

从f(t)中截取|t|≤T/2的一段，得到一个截尾函数fT(t)，它可以表示为：

( ) ( )[ ( ) ( )]2 2

T

T Tf t f t t t

如果T是有限值，则fT(t)的能量也是有限的。令

( ) [ ( )]T TF j f t F

fT(t)的能量ET可表示为：

22 1( ) ( )

2T T TE f t dt F j d

由于 2

2

2 2( ) ( )T

TTf t dt f t dt

信号与系统



f(t)的平均功率为：

2

2

2

2( )1 1

lim ( ) d lim2

T

T

defT

T T

F jP f t t d

T T

当T增加时，fT(t)的能量增加，|FT(jω) |2也增加。当T→∞时， fT(t) → f(t) ，此时|FT(jω) |2 /T可能趋于一极限。

1( ) d ( ) d

2P f

P P

比较得：

2( )

( ) limT

T

F j

T

P

2. 功率密度谱：类似于能量密度谱，定义功率密度谱

函数P (ω) 为单位频率的信号功率。从而平均功率：

信号与系统



信号的功率谱P(ω) 是ω的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。单位：W·s。

自相关函数： 2

2

1( ) lim[ ( ) ( ) d ]

T

TTR f t f t t

T

3. 功率密度谱与自相关函数的关系：

若f1(t)和f2(t)是功率有限信号，此时相关函数的定义为：

2

2

2

2

12 1 2

21 1 2

1( ) lim[ ( ) ( ) d ]

1( ) lim[ ( ) ( ) d ]

T

T

T

T

T

T

R f t f t tT

R f t f t tT

信号与系统



两边取傅里叶变换，得：

2

2

1[ ( )] [lim ( ) ( ) d ]

T

TTR f t f t t

T

F F

1[lim ( ) ( ) d ]T T

Tf t f t t

T

F

1{lim [ ( ) * ( )]}T T

Tf f

T

F

21lim ( )TT

F jT

比较前面推导：

-1

( ) [ ( )]

( ) [ ( )]

R

R

P F

F P

功率有限信号的功率谱函数P(ω) 与自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换。

信号与系统


电子教案

求余弦信号 1( ) co s( )f t E t 的自相关函数和功率谱。

解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有

2

2

1lim d

T

TT

R f t f t tT

功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换

2

1 1( ) ( )2

E

j ( )e dR

P(ω)

2

21 1

2

lim cos cos dT

TT

Et t t

T

2

21 1 1 1 1

2

lim cos cos cos sin sin dT

TT

Et t t t

T

2 2

221 1 1

2

lim cos cos d cos2

T

TT

E Et t

T

信号与系统


电子教案

周期信号：f(t)←→傅里叶级数Fn 离散谱

周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？

f t

统一的分析方法：傅周期

非周期里叶变换

非周期信号：f(t)←→傅里叶变换F(jω) 连续谱


4.7 周期信号傅里叶变换

正、余弦的傅里叶变换

一般周期信号的傅里叶变换

傅里叶系数与傅里叶变换

信号与系统


电子教案



一、正、余弦的傅里叶变换

0 0 0 0j j j j

0 0

1 1cos e e sin e e

2 2 j

t t t tt t

已知 1←→2πδ(ω)

由频移特性得

e jω0t ←→ 2πδ(ω–ω0 )

e –jω0t ←→ 2πδ(ω+ω0 )

0 0 0 0 0

1cos 2π 2π π π

2t

0 0 0 0 0sin jπ jπ = jπ[ ]t

信号与系统


电子教案



一、正、余弦的傅里叶变换

0 0 0co s π ( ) ( )t

0 0 0s in j π j πt

0 0

π π

jF

O

0co s :t 频谱图

0s in :t 频谱图

0 0

π π

jF

o

0

0

2

2

o

信号与系统


电子教案 4.7 周期信号傅里叶变换

二、一般周期信号的傅里叶变换

n

tjn

nT Ftf e)(

2

2

de)(1

T

T

tjn

Tn ttfT

F

( ) ejn t

T n

n

f t F

(1)

说明： (1)周期信号fT(t)的傅氏变换由冲激序列组成，冲激函数仅

存在于谐波频率处；

(2)谱线的幅度不是有限值，因为F(jω)代表频谱密度。

强度是各相应幅度的2π倍。

( ) 2 ( )T n

n

F j F n

信号与系统



二、一般周期信号的傅里叶变换

例1：周期为T的单位冲激周期函数 T(t)=

m

mTt )(

Tdtetf

TF

T

T

tjn

n

1)(

12

2

解：

2( ) ( )T

n

t nT

(1) e )( () ( ) 2T

jn t

T n n

n n

F j Ff t F n

T t

to T 2T 3TT-2T-3T

1

o 2 32 3

( ) ( )n

n

( )( )n

n

信号与系统



例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。

0-1 1

fT(t)

t

1

4-4

……

0-1 1

f0(t)

t

1

解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即

fT(t) = f0(t) * T(t)

FT(jω) = ΩΩ(ω) F0(jω) 0( ) ( )

n

F jn n

FT(jω) = 2Sa( ) ( )n

n n

本题 f0(t) = g2(t)←→ 2Sa( )2

2T

(2)

Sa( ) ( )2 2n

n n

信号与系统



例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。

fT(t) = T(t)* f0(t)

FT(jω) = ΩΩ(ω) F0(jω) 0( ) ( )

n

F jn n

(2)

(2)式与 (1)式比较，得 0 0

1( ) ( )

2nF F jn F jn

T

这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。

e )( () ( ) 2T

jn t

T n n

n n

F j Ff t F n

(1)

0

1= ( )

n

F jT

信号与系统


电子教案

三、傅里叶系数与傅里叶变换关系

0

1j

nF F

T n

tf 0

t

2

T

2

T

tfT

T T too

0 0 jf t F 设

j20 0

2

j e d (1)

T

t

TF f t t

j2

2

1e d (2)

T

n t

Tn TF f t t

T

推导：第一个周期单脉冲f0(t)的傅氏变换F0(jω)与周期信号fT(t)

的傅氏系数Fn的关系：

比较(1)(2)

0 T

n

f t f t


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信号与系统 电子教案 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 第四章 …web.xidian.edu.cn/lshi/files/20160526_111824.pdf · 信号与系统 第3-3页 西安电子科技大学

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