電路學

第八章

拉普拉氏轉換

拉氏轉換

交流電路的分析基本上可分為時域分析及頻域分析兩種在時域分析裡分析電路的方程式包含有時變函數的積分導數或微積方程式欲求解這些方程式往往需要經過煩雜冗長的微積分運算要避免此一冗長運算最簡單的方法就是將時域的微分方程式轉換成以相量來表示的頻域方程式然後以簡單的代數方法來求解再將其結果轉換成原本的時域型態將時域與頻域相互轉換所使用的數學形式稱為拉普拉氏轉換簡稱拉氏轉換拉氏轉換不單只能簡化正弦波的運算其它非正弦訊號波形也能處理且其分析方法及流程均較時域型態來得簡單

拉氏轉換的定義

若某一時變函數f(t)在tgt0時為分段連續則其拉氏轉換可定義為

pound其中pound表示拉氏轉換的運算子s為複頻率它可表示為

s＝σ＋jωF(s)表示以複頻率來表示的拉氏轉換結果使f(t)可進行拉氏轉換的充分條件為

lt infin σ為正實數也就是指拉氏轉換式的積分對某一範圍的s值具有收斂性亦即指若f(t)e－st在0到infin區間為絕對可積分則f(t)的拉氏轉換必然存在若f(t)為無界限亦即對某些t值或t＝infin時f(t)趨近於無限大則其拉氏轉換可能存在但也可能不存在

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minus

dte)t(f t0

σminusinfinint

拉氏轉換的定義

拉氏轉換只考慮時變函數f(t)在tgt0的部分而不考慮tlt0的情形因為tlt0的部分在電路中己經以初始值來表示若f(t)在t＝0時不連續則拉氏轉換的積分下限可用t＝0－或t＝0＋來替代其拉氏轉換可定義為

pound或

pound將時變函數f(t)轉變為頻率函數F(s)的步驟稱為拉氏轉換相反的將頻率函數F(s) 轉變為時變函數f(t)的步驟稱為反拉氏轉換以pound－1表示其運算子通常它表示為

f(t)＝pound－1[F(s)]

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minusminus

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minus+

基本函數的拉氏轉換單位步階函數u(t)

單位步階函數u(t)的定義為

u(t)的拉氏轉換為

基本上u(t)的拉氏轉換與f(t)＝1的拉氏轉換是相同的因為f(t)＝1與tgt0時的u(t)是完全相同若有一步階函數其大小不是單位值而是某一a值(a可為正實數或負實數)則它的拉氏轉換為

pound[au(t)]＝apound[u(t)]＝

⎩⎨⎧

ranglang

=0t10t0

)t(u

s1)10(

s1)eelim(

s1

se)st(de

s1dte1)]t(u[

0sst

t

0

st

0st

0st

=minusminus=minusminus=

minusint =minus

minus=int times=

timesminusminus

infinrarr

infinminusinfin minusinfin minus

sa

基本函數的拉氏轉換

指數函數

指數函數的通式為eat或e－at(a為正實數)由基本定義可知其拉氏轉換為

pound as1e

)as(1dtedtee]e[

0

t)as(0

t)as(st0

atat

mmmm =

minus=int=int=

infinminusinfin minusminusinfin plusmnplusmn

基本函數的拉氏轉換

正弦函數

求證正弦函數的方法有兩種其中之一是利用積分公式而另一種是利用尤拉公式首先探討利用積分公式的方法

對正弦sinωt而言依定義可知

pound由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[sinωt]＝

dte)t(sin]t[sin0

stintinfin minusω=ω

]btcosbbtsina[ba

ebtdtsine 22

atat minus

+=int

22022

t)s(

s]tcostsin)s[(

)s(e

ω+ω

=ωωminusωminusω+minus

infinminus

基本函數的拉氏轉換

對餘弦cosωt而言

pound[cosωt]＝由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[cosωt]＝

dte)t(cos0stint ωinfin minus

]btsinbbtcosa[ba

ebtdtcose 22

atat +

+=int

22022

t)s(

ss]tsintcos)s[(

)s(e

ω+=ωω+ωminus

ω+minusinfin

minus

基本函數的拉氏轉換尤拉公式是表示正弦函數與指數函數間的關係它可以表示為

ejθ＝cosθ＋jsinθ e－jθ＝cosθ－jsinθ或相反的

因此正弦函數的拉氏轉換可以表示為

pound[sinωt]＝pound ＝pound[ejωt]－pound[e－jωt]

對餘弦cosωt而言它可以表示為

pound[cosωt]＝pound ＝pound[ejωt]＋pound[e－jωt]

2eecos

jj θminusθ +=θ

j2eesin

jj θminusθ minus=θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minus ωminusω

j2ee tjtj

22

2

22 s])j(s[j2

j21]

js1

js1[

j21

ω+ω

=ωminusω

=ω+

minusωminus

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tjtj

22ssω+

=

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為

pound[sinhωt]＝pound

pound[coshωt]＝pound

2eecosh

θminusθ +=θ

2eesinh

θminusθ minus=θ

22s]

s1

s1[

21

ωminusω

=ω+

minusωminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ minus ωminusω

2ee tt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tt

22ss]

s1

s1[

21

ωminus=

ω++

ωminus=

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換

交流電路的分析基本上可分為時域分析及頻域分析兩種在時域分析裡分析電路的方程式包含有時變函數的積分導數或微積方程式欲求解這些方程式往往需要經過煩雜冗長的微積分運算要避免此一冗長運算最簡單的方法就是將時域的微分方程式轉換成以相量來表示的頻域方程式然後以簡單的代數方法來求解再將其結果轉換成原本的時域型態將時域與頻域相互轉換所使用的數學形式稱為拉普拉氏轉換簡稱拉氏轉換拉氏轉換不單只能簡化正弦波的運算其它非正弦訊號波形也能處理且其分析方法及流程均較時域型態來得簡單

拉氏轉換的定義

若某一時變函數f(t)在tgt0時為分段連續則其拉氏轉換可定義為

pound其中pound表示拉氏轉換的運算子s為複頻率它可表示為

s＝σ＋jωF(s)表示以複頻率來表示的拉氏轉換結果使f(t)可進行拉氏轉換的充分條件為

lt infin σ為正實數也就是指拉氏轉換式的積分對某一範圍的s值具有收斂性亦即指若f(t)e－st在0到infin區間為絕對可積分則f(t)的拉氏轉換必然存在若f(t)為無界限亦即對某些t值或t＝infin時f(t)趨近於無限大則其拉氏轉換可能存在但也可能不存在

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minus

dte)t(f t0

σminusinfinint

拉氏轉換的定義

拉氏轉換只考慮時變函數f(t)在tgt0的部分而不考慮tlt0的情形因為tlt0的部分在電路中己經以初始值來表示若f(t)在t＝0時不連續則拉氏轉換的積分下限可用t＝0－或t＝0＋來替代其拉氏轉換可定義為

pound或

pound將時變函數f(t)轉變為頻率函數F(s)的步驟稱為拉氏轉換相反的將頻率函數F(s) 轉變為時變函數f(t)的步驟稱為反拉氏轉換以pound－1表示其運算子通常它表示為

f(t)＝pound－1[F(s)]

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minusminus

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minus+

基本函數的拉氏轉換單位步階函數u(t)

單位步階函數u(t)的定義為

u(t)的拉氏轉換為

基本上u(t)的拉氏轉換與f(t)＝1的拉氏轉換是相同的因為f(t)＝1與tgt0時的u(t)是完全相同若有一步階函數其大小不是單位值而是某一a值(a可為正實數或負實數)則它的拉氏轉換為

pound[au(t)]＝apound[u(t)]＝

⎩⎨⎧

ranglang

=0t10t0

)t(u

s1)10(

s1)eelim(

s1

se)st(de

s1dte1)]t(u[

0sst

t

0

st

0st

0st

=minusminus=minusminus=

minusint =minus

minus=int times=

timesminusminus

infinrarr

infinminusinfin minusinfin minus

sa

基本函數的拉氏轉換

指數函數

指數函數的通式為eat或e－at(a為正實數)由基本定義可知其拉氏轉換為

pound as1e

)as(1dtedtee]e[

0

t)as(0

t)as(st0

atat

mmmm =

minus=int=int=

infinminusinfin minusminusinfin plusmnplusmn

基本函數的拉氏轉換

正弦函數

求證正弦函數的方法有兩種其中之一是利用積分公式而另一種是利用尤拉公式首先探討利用積分公式的方法

對正弦sinωt而言依定義可知

pound由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[sinωt]＝

dte)t(sin]t[sin0

stintinfin minusω=ω

]btcosbbtsina[ba

ebtdtsine 22

atat minus

+=int

22022

t)s(

s]tcostsin)s[(

)s(e

ω+ω

=ωωminusωminusω+minus

infinminus

基本函數的拉氏轉換

對餘弦cosωt而言

pound[cosωt]＝由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[cosωt]＝

dte)t(cos0stint ωinfin minus

]btsinbbtcosa[ba

ebtdtcose 22

atat +

+=int

22022

t)s(

ss]tsintcos)s[(

)s(e

ω+=ωω+ωminus

ω+minusinfin

minus

基本函數的拉氏轉換尤拉公式是表示正弦函數與指數函數間的關係它可以表示為

ejθ＝cosθ＋jsinθ e－jθ＝cosθ－jsinθ或相反的

因此正弦函數的拉氏轉換可以表示為

pound[sinωt]＝pound ＝pound[ejωt]－pound[e－jωt]

對餘弦cosωt而言它可以表示為

pound[cosωt]＝pound ＝pound[ejωt]＋pound[e－jωt]

2eecos

jj θminusθ +=θ

j2eesin

jj θminusθ minus=θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minus ωminusω

j2ee tjtj

22

2

22 s])j(s[j2

j21]

js1

js1[

j21

ω+ω

=ωminusω

=ω+

minusωminus

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tjtj

22ssω+

=

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為

pound[sinhωt]＝pound

pound[coshωt]＝pound

2eecosh

θminusθ +=θ

2eesinh

θminusθ minus=θ

22s]

s1

s1[

21

ωminusω

=ω+

minusωminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ minus ωminusω

2ee tt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tt

22ss]

s1

s1[

21

ωminus=

ω++

ωminus=

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的定義

若某一時變函數f(t)在tgt0時為分段連續則其拉氏轉換可定義為

pound其中pound表示拉氏轉換的運算子s為複頻率它可表示為

s＝σ＋jωF(s)表示以複頻率來表示的拉氏轉換結果使f(t)可進行拉氏轉換的充分條件為

lt infin σ為正實數也就是指拉氏轉換式的積分對某一範圍的s值具有收斂性亦即指若f(t)e－st在0到infin區間為絕對可積分則f(t)的拉氏轉換必然存在若f(t)為無界限亦即對某些t值或t＝infin時f(t)趨近於無限大則其拉氏轉換可能存在但也可能不存在

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minus

dte)t(f t0

σminusinfinint

拉氏轉換的定義

拉氏轉換只考慮時變函數f(t)在tgt0的部分而不考慮tlt0的情形因為tlt0的部分在電路中己經以初始值來表示若f(t)在t＝0時不連續則拉氏轉換的積分下限可用t＝0－或t＝0＋來替代其拉氏轉換可定義為

pound或

pound將時變函數f(t)轉變為頻率函數F(s)的步驟稱為拉氏轉換相反的將頻率函數F(s) 轉變為時變函數f(t)的步驟稱為反拉氏轉換以pound－1表示其運算子通常它表示為

f(t)＝pound－1[F(s)]

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minusminus

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minus+

基本函數的拉氏轉換單位步階函數u(t)

單位步階函數u(t)的定義為

u(t)的拉氏轉換為

基本上u(t)的拉氏轉換與f(t)＝1的拉氏轉換是相同的因為f(t)＝1與tgt0時的u(t)是完全相同若有一步階函數其大小不是單位值而是某一a值(a可為正實數或負實數)則它的拉氏轉換為

pound[au(t)]＝apound[u(t)]＝

⎩⎨⎧

ranglang

=0t10t0

)t(u

s1)10(

s1)eelim(

s1

se)st(de

s1dte1)]t(u[

0sst

t

0

st

0st

0st

=minusminus=minusminus=

minusint =minus

minus=int times=

timesminusminus

infinrarr

infinminusinfin minusinfin minus

sa

基本函數的拉氏轉換

指數函數

指數函數的通式為eat或e－at(a為正實數)由基本定義可知其拉氏轉換為

pound as1e

)as(1dtedtee]e[

0

t)as(0

t)as(st0

atat

mmmm =

minus=int=int=

infinminusinfin minusminusinfin plusmnplusmn

基本函數的拉氏轉換

正弦函數

求證正弦函數的方法有兩種其中之一是利用積分公式而另一種是利用尤拉公式首先探討利用積分公式的方法

對正弦sinωt而言依定義可知

pound由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[sinωt]＝

dte)t(sin]t[sin0

stintinfin minusω=ω

]btcosbbtsina[ba

ebtdtsine 22

atat minus

+=int

22022

t)s(

s]tcostsin)s[(

)s(e

ω+ω

=ωωminusωminusω+minus

infinminus

基本函數的拉氏轉換

對餘弦cosωt而言

pound[cosωt]＝由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[cosωt]＝

dte)t(cos0stint ωinfin minus

]btsinbbtcosa[ba

ebtdtcose 22

atat +

+=int

22022

t)s(

ss]tsintcos)s[(

)s(e

ω+=ωω+ωminus

ω+minusinfin

minus

基本函數的拉氏轉換尤拉公式是表示正弦函數與指數函數間的關係它可以表示為

ejθ＝cosθ＋jsinθ e－jθ＝cosθ－jsinθ或相反的

因此正弦函數的拉氏轉換可以表示為

pound[sinωt]＝pound ＝pound[ejωt]－pound[e－jωt]

對餘弦cosωt而言它可以表示為

pound[cosωt]＝pound ＝pound[ejωt]＋pound[e－jωt]

2eecos

jj θminusθ +=θ

j2eesin

jj θminusθ minus=θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minus ωminusω

j2ee tjtj

22

2

22 s])j(s[j2

j21]

js1

js1[

j21

ω+ω

=ωminusω

=ω+

minusωminus

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tjtj

22ssω+

=

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為

pound[sinhωt]＝pound

pound[coshωt]＝pound

2eecosh

θminusθ +=θ

2eesinh

θminusθ minus=θ

22s]

s1

s1[

21

ωminusω

=ω+

minusωminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ minus ωminusω

2ee tt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tt

22ss]

s1

s1[

21

ωminus=

ω++

ωminus=

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的定義

拉氏轉換只考慮時變函數f(t)在tgt0的部分而不考慮tlt0的情形因為tlt0的部分在電路中己經以初始值來表示若f(t)在t＝0時不連續則拉氏轉換的積分下限可用t＝0－或t＝0＋來替代其拉氏轉換可定義為

pound或

pound將時變函數f(t)轉變為頻率函數F(s)的步驟稱為拉氏轉換相反的將頻率函數F(s) 轉變為時變函數f(t)的步驟稱為反拉氏轉換以pound－1表示其運算子通常它表示為

f(t)＝pound－1[F(s)]

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minusminus

)s(Fdte)t(f)]t(f[ 0st =int=

infin minus+

基本函數的拉氏轉換單位步階函數u(t)

單位步階函數u(t)的定義為

u(t)的拉氏轉換為

基本上u(t)的拉氏轉換與f(t)＝1的拉氏轉換是相同的因為f(t)＝1與tgt0時的u(t)是完全相同若有一步階函數其大小不是單位值而是某一a值(a可為正實數或負實數)則它的拉氏轉換為

pound[au(t)]＝apound[u(t)]＝

⎩⎨⎧

ranglang

=0t10t0

)t(u

s1)10(

s1)eelim(

s1

se)st(de

s1dte1)]t(u[

0sst

t

0

st

0st

0st

=minusminus=minusminus=

minusint =minus

minus=int times=

timesminusminus

infinrarr

infinminusinfin minusinfin minus

sa

基本函數的拉氏轉換

指數函數

指數函數的通式為eat或e－at(a為正實數)由基本定義可知其拉氏轉換為

pound as1e

)as(1dtedtee]e[

0

t)as(0

t)as(st0

atat

mmmm =

minus=int=int=

infinminusinfin minusminusinfin plusmnplusmn

基本函數的拉氏轉換

正弦函數

求證正弦函數的方法有兩種其中之一是利用積分公式而另一種是利用尤拉公式首先探討利用積分公式的方法

對正弦sinωt而言依定義可知

pound由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[sinωt]＝

dte)t(sin]t[sin0

stintinfin minusω=ω

]btcosbbtsina[ba

ebtdtsine 22

atat minus

+=int

22022

t)s(

s]tcostsin)s[(

)s(e

ω+ω

=ωωminusωminusω+minus

infinminus

基本函數的拉氏轉換

對餘弦cosωt而言

pound[cosωt]＝由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[cosωt]＝

dte)t(cos0stint ωinfin minus

]btsinbbtcosa[ba

ebtdtcose 22

atat +

+=int

22022

t)s(

ss]tsintcos)s[(

)s(e

ω+=ωω+ωminus

ω+minusinfin

minus

基本函數的拉氏轉換尤拉公式是表示正弦函數與指數函數間的關係它可以表示為

ejθ＝cosθ＋jsinθ e－jθ＝cosθ－jsinθ或相反的

因此正弦函數的拉氏轉換可以表示為

pound[sinωt]＝pound ＝pound[ejωt]－pound[e－jωt]

對餘弦cosωt而言它可以表示為

pound[cosωt]＝pound ＝pound[ejωt]＋pound[e－jωt]

2eecos

jj θminusθ +=θ

j2eesin

jj θminusθ minus=θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minus ωminusω

j2ee tjtj

22

2

22 s])j(s[j2

j21]

js1

js1[

j21

ω+ω

=ωminusω

=ω+

minusωminus

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tjtj

22ssω+

=

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為

pound[sinhωt]＝pound

pound[coshωt]＝pound

2eecosh

θminusθ +=θ

2eesinh

θminusθ minus=θ

22s]

s1

s1[

21

ωminusω

=ω+

minusωminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ minus ωminusω

2ee tt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tt

22ss]

s1

s1[

21

ωminus=

ω++

ωminus=

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

基本函數的拉氏轉換單位步階函數u(t)

單位步階函數u(t)的定義為

u(t)的拉氏轉換為

基本上u(t)的拉氏轉換與f(t)＝1的拉氏轉換是相同的因為f(t)＝1與tgt0時的u(t)是完全相同若有一步階函數其大小不是單位值而是某一a值(a可為正實數或負實數)則它的拉氏轉換為

pound[au(t)]＝apound[u(t)]＝

⎩⎨⎧

ranglang

=0t10t0

)t(u

s1)10(

s1)eelim(

s1

se)st(de

s1dte1)]t(u[

0sst

t

0

st

0st

0st

=minusminus=minusminus=

minusint =minus

minus=int times=

timesminusminus

infinrarr

infinminusinfin minusinfin minus

sa

基本函數的拉氏轉換

指數函數

指數函數的通式為eat或e－at(a為正實數)由基本定義可知其拉氏轉換為

pound as1e

)as(1dtedtee]e[

0

t)as(0

t)as(st0

atat

mmmm =

minus=int=int=

infinminusinfin minusminusinfin plusmnplusmn

基本函數的拉氏轉換

正弦函數

求證正弦函數的方法有兩種其中之一是利用積分公式而另一種是利用尤拉公式首先探討利用積分公式的方法

對正弦sinωt而言依定義可知

pound由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[sinωt]＝

dte)t(sin]t[sin0

stintinfin minusω=ω

]btcosbbtsina[ba

ebtdtsine 22

atat minus

+=int

22022

t)s(

s]tcostsin)s[(

)s(e

ω+ω

=ωωminusωminusω+minus

infinminus

基本函數的拉氏轉換

對餘弦cosωt而言

pound[cosωt]＝由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[cosωt]＝

dte)t(cos0stint ωinfin minus

]btsinbbtcosa[ba

ebtdtcose 22

atat +

+=int

22022

t)s(

ss]tsintcos)s[(

)s(e

ω+=ωω+ωminus

ω+minusinfin

minus

基本函數的拉氏轉換尤拉公式是表示正弦函數與指數函數間的關係它可以表示為

ejθ＝cosθ＋jsinθ e－jθ＝cosθ－jsinθ或相反的

因此正弦函數的拉氏轉換可以表示為

pound[sinωt]＝pound ＝pound[ejωt]－pound[e－jωt]

對餘弦cosωt而言它可以表示為

pound[cosωt]＝pound ＝pound[ejωt]＋pound[e－jωt]

2eecos

jj θminusθ +=θ

j2eesin

jj θminusθ minus=θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minus ωminusω

j2ee tjtj

22

2

22 s])j(s[j2

j21]

js1

js1[

j21

ω+ω

=ωminusω

=ω+

minusωminus

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tjtj

22ssω+

=

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為

pound[sinhωt]＝pound

pound[coshωt]＝pound

2eecosh

θminusθ +=θ

2eesinh

θminusθ minus=θ

22s]

s1

s1[

21

ωminusω

=ω+

minusωminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ minus ωminusω

2ee tt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tt

22ss]

s1

s1[

21

ωminus=

ω++

ωminus=

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

基本函數的拉氏轉換

指數函數

指數函數的通式為eat或e－at(a為正實數)由基本定義可知其拉氏轉換為

pound as1e

)as(1dtedtee]e[

0

t)as(0

t)as(st0

atat

mmmm =

minus=int=int=

infinminusinfin minusminusinfin plusmnplusmn

基本函數的拉氏轉換

正弦函數

求證正弦函數的方法有兩種其中之一是利用積分公式而另一種是利用尤拉公式首先探討利用積分公式的方法

對正弦sinωt而言依定義可知

pound由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[sinωt]＝

dte)t(sin]t[sin0

stintinfin minusω=ω

]btcosbbtsina[ba

ebtdtsine 22

atat minus

+=int

22022

t)s(

s]tcostsin)s[(

)s(e

ω+ω

=ωωminusωminusω+minus

infinminus

基本函數的拉氏轉換

對餘弦cosωt而言

pound[cosωt]＝由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[cosωt]＝

dte)t(cos0stint ωinfin minus

]btsinbbtcosa[ba

ebtdtcose 22

atat +

+=int

22022

t)s(

ss]tsintcos)s[(

)s(e

ω+=ωω+ωminus

ω+minusinfin

minus

基本函數的拉氏轉換尤拉公式是表示正弦函數與指數函數間的關係它可以表示為

ejθ＝cosθ＋jsinθ e－jθ＝cosθ－jsinθ或相反的

因此正弦函數的拉氏轉換可以表示為

pound[sinωt]＝pound ＝pound[ejωt]－pound[e－jωt]

對餘弦cosωt而言它可以表示為

pound[cosωt]＝pound ＝pound[ejωt]＋pound[e－jωt]

2eecos

jj θminusθ +=θ

j2eesin

jj θminusθ minus=θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minus ωminusω

j2ee tjtj

22

2

22 s])j(s[j2

j21]

js1

js1[

j21

ω+ω

=ωminusω

=ω+

minusωminus

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tjtj

22ssω+

=

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為

pound[sinhωt]＝pound

pound[coshωt]＝pound

2eecosh

θminusθ +=θ

2eesinh

θminusθ minus=θ

22s]

s1

s1[

21

ωminusω

=ω+

minusωminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ minus ωminusω

2ee tt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tt

22ss]

s1

s1[

21

ωminus=

ω++

ωminus=

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

基本函數的拉氏轉換

正弦函數

求證正弦函數的方法有兩種其中之一是利用積分公式而另一種是利用尤拉公式首先探討利用積分公式的方法

對正弦sinωt而言依定義可知

pound由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[sinωt]＝

dte)t(sin]t[sin0

stintinfin minusω=ω

]btcosbbtsina[ba

ebtdtsine 22

atat minus

+=int

22022

t)s(

s]tcostsin)s[(

)s(e

ω+ω

=ωωminusωminusω+minus

infinminus

基本函數的拉氏轉換

對餘弦cosωt而言

pound[cosωt]＝由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[cosωt]＝

dte)t(cos0stint ωinfin minus

]btsinbbtcosa[ba

ebtdtcose 22

atat +

+=int

22022

t)s(

ss]tsintcos)s[(

)s(e

ω+=ωω+ωminus

ω+minusinfin

minus

基本函數的拉氏轉換尤拉公式是表示正弦函數與指數函數間的關係它可以表示為

ejθ＝cosθ＋jsinθ e－jθ＝cosθ－jsinθ或相反的

因此正弦函數的拉氏轉換可以表示為

pound[sinωt]＝pound ＝pound[ejωt]－pound[e－jωt]

對餘弦cosωt而言它可以表示為

pound[cosωt]＝pound ＝pound[ejωt]＋pound[e－jωt]

2eecos

jj θminusθ +=θ

j2eesin

jj θminusθ minus=θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minus ωminusω

j2ee tjtj

22

2

22 s])j(s[j2

j21]

js1

js1[

j21

ω+ω

=ωminusω

=ω+

minusωminus

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tjtj

22ssω+

=

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為

pound[sinhωt]＝pound

pound[coshωt]＝pound

2eecosh

θminusθ +=θ

2eesinh

θminusθ minus=θ

22s]

s1

s1[

21

ωminusω

=ω+

minusωminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ minus ωminusω

2ee tt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tt

22ss]

s1

s1[

21

ωminus=

ω++

ωminus=

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

基本函數的拉氏轉換

對餘弦cosωt而言

pound[cosωt]＝由積分公式可知

將此一關係代回定義可得

pound[cosωt]＝

dte)t(cos0stint ωinfin minus

]btsinbbtcosa[ba

ebtdtcose 22

atat +

+=int

22022

t)s(

ss]tsintcos)s[(

)s(e

ω+=ωω+ωminus

ω+minusinfin

minus

基本函數的拉氏轉換尤拉公式是表示正弦函數與指數函數間的關係它可以表示為

ejθ＝cosθ＋jsinθ e－jθ＝cosθ－jsinθ或相反的

因此正弦函數的拉氏轉換可以表示為

pound[sinωt]＝pound ＝pound[ejωt]－pound[e－jωt]

對餘弦cosωt而言它可以表示為

pound[cosωt]＝pound ＝pound[ejωt]＋pound[e－jωt]

2eecos

jj θminusθ +=θ

j2eesin

jj θminusθ minus=θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minus ωminusω

j2ee tjtj

22

2

22 s])j(s[j2

j21]

js1

js1[

j21

ω+ω

=ωminusω

=ω+

minusωminus

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tjtj

22ssω+

=

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為

pound[sinhωt]＝pound

pound[coshωt]＝pound

2eecosh

θminusθ +=θ

2eesinh

θminusθ minus=θ

22s]

s1

s1[

21

ωminusω

=ω+

minusωminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ minus ωminusω

2ee tt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tt

22ss]

s1

s1[

21

ωminus=

ω++

ωminus=

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

基本函數的拉氏轉換尤拉公式是表示正弦函數與指數函數間的關係它可以表示為

ejθ＝cosθ＋jsinθ e－jθ＝cosθ－jsinθ或相反的

因此正弦函數的拉氏轉換可以表示為

pound[sinωt]＝pound ＝pound[ejωt]－pound[e－jωt]

對餘弦cosωt而言它可以表示為

pound[cosωt]＝pound ＝pound[ejωt]＋pound[e－jωt]

2eecos

jj θminusθ +=θ

j2eesin

jj θminusθ minus=θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ minus ωminusω

j2ee tjtj

22

2

22 s])j(s[j2

j21]

js1

js1[

j21

ω+ω

=ωminusω

=ω+

minusωminus

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tjtj

22ssω+

=

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為

pound[sinhωt]＝pound

pound[coshωt]＝pound

2eecosh

θminusθ +=θ

2eesinh

θminusθ minus=θ

22s]

s1

s1[

21

ωminusω

=ω+

minusωminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ minus ωminusω

2ee tt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tt

22ss]

s1

s1[

21

ωminus=

ω++

ωminus=

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為

pound[sinhωt]＝pound

pound[coshωt]＝pound

2eecosh

θminusθ +=θ

2eesinh

θminusθ minus=θ

22s]

s1

s1[

21

ωminusω

=ω+

minusωminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ minus ωminusω

2ee tt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ωminusω

2ee tt

22ss]

s1

s1[

21

ωminus=

ω++

ωminus=

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

基本函數的拉氏轉換多項式函數

多項式函數[tn]的拉氏轉換為pound[tn]＝

令st＝u將s移項得t＝[us]微分之得dt＝[duds]將這些關係代入得

pound[tn]＝

＝

由珈瑪函數的定義可知多項式函數的拉氏轉換可寫為

pound[tn]＝ (其中n為正整數)

dte)t(0stnint

infin minus

dueus1

sdue)

su( un

0 1n0

un minusinfin

+

infin minus intint =

dueus1dueu

s1 u

01)1n(

1n0un

1nminusinfin minus+

+

infin minus

+ int=int

dtet)n( 0t1nint=Γ infin minusminus

1ns)1n(

+

+Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換

(a)f(t)＝2(b)f(t)＝e3t(c)f(t)＝sin2t(d)f(t)＝cosh5t(e)f(t)＝t3

[解](a)F(s)＝pound[2]＝ (b)F(s)＝pound[e3t]＝

(c)F(s)＝pound[sin2t]＝

(d)F(s)＝pound[cosh5t]＝ (e)F(s)＝pound[t3]＝

s2

3s1minus

4s2

2s2

222 +=

+

25ss

5ss

222 minus=

minus 413 s6

s3=

+

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-2

試求f(t)＝3+5e-7t+2t4的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[3+5e-7t+2t4]＝pound[3]＋pound[5e-7t]+pound[2t4]

＝

＝

)s

42()7s

15()s13( 14+times+

+times+times

5s48

7s5

s3

++

+

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換

[解]F(s)＝pound[cos(3t+θ)]＝pound[cos3tcosθ－sin3tsinθ]＝cosθpound[cos3t]－sinθpound[sin3t]

＝

＝

2222 3s3sin

3sscos

+θminus

+θ

)sin3coss(9s

12 θminusθ+

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-4

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝pound－1[

7s6)s(F 2 +

=

7s6

2 +

t7sin7

6]])7(s[

77

622

=+

times

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-5

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]－pound－1[ ]

＝6pound－1[ ]－3pound－1[ ]

＝6e-2t－3cos t

15ss3

2s6)s(F 2 +

minus+

=

2s6+ 15s

s32 +

2s1+ 22 )15(s

s+

15

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-6

設 求f(t)

[解]f(t)＝pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]

＝

3s5)s(F =

3s5

2213

t25t

25

)3(t5 ==Γ

timesminus

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合移位微分及積分等四類

線性定理

設f1(t)及f2(t)為時變函數並均存在有拉氏轉換F1(s)及F2(s)若k1及k2為任意常數則

pound[k1f1(t)plusmnk2f2(t)]＝k1pound[f1(t)]plusmnk2pound[f2(t)]＝k1F1(s)plusmnk2F2(s)若k1＝k2＝1則它可寫為

pound[f1(t)plusmnf2(t)]＝pound[f1(t)]plusmnpound[f2(t)]＝F1(s)plusmnF2(s)為拉氏轉換的重疊性也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於各函數之拉氏轉換的和

若k2＝0則pound[k1f1(t)]＝k1pound[f1(t)] 為拉氏轉換的齊次性也就是指某一常數與時變函數之乘積的拉氏轉換等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就是時間位移兩種首先考慮s軸上之移位設pound[f(t)]＝F(s)且pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a)則

pound[eatf(t)]＝pound[f(t)]srarrs－a＝F(s－a) 其中a為常數

所表示的是當函數f(t)乘上eat後其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t)的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離如圖8-1所示或是指某函數f(t)乘以指數函數eat後其拉氏轉換等於直接對f(t)取拉氏轉換再以s－a來替代s同理可得

pound[e－atf(t)]＝pound[f(t)]srarrs+a＝F(s＋a) 反之若pound－1[F(s)]＝f(t)則pound－1[F(splusmna)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-7

試求f(t)＝e－2tcos6t的拉氏轉換

[解]因pound[cos6t]＝

故pound[e－2tcos6t]＝

36ss

6ss

222 +=

+

36)2s(2s

2 +++

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-8

設 求f(t)

[解]

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e-2tcos3t＋(53)e-2tsin3t＝e-2t[2cos3t＋(53)sin3t]

13s4s9s2)s(F 2 ++

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+=

++++

=++

+=

3222

222

3)2s(3

35

3)2s(2s2

3)2s(5)2s(2

13s4s9s2)s(F

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-9

試求f(t)＝e－attn的拉氏轉換

[解]已知pound[tn]＝

pound[e－attn]＝pound[tn]srarrs－a＝

1ns)1n(

+

+Γ

1nass1n )as()1n(

s)1n(

+minusrarr+ minus+Γ

=+Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外時間軸t也會產生移位若某一函數f(t)以t－a(agt0)來替代t時則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位之距離如圖8-2所示

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(t－a)u(t－a)]＝e－aspound[f(t)]＝e－asF(s) 及 pound[f(t)u(t－a)]＝e－aspound[f(t+a)] 其結果如圖8-3所示它指出若一拉氏轉換式中含有e－as項時則可將它視為時變函數的位移運算子

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-10(續)

[解]由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π)因此

pound[f(t)]＝e－πspound[sint]＝

⎩⎨⎧

πlangπrangπminus

=t0

t)tsin()t(f

1se

1s1e 2

s

2s

+=

+

πminusπminus

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換

圖8-5 例8-11的圖

[解]圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知f(t)＝u(t－a)－u(t－b)因此

pound[f(t)]＝e－aspound[1]－e－bspound[1]＝

若ararr0及brarra則可得到如圖8-7所示的正規脈波此時所對應的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

)ee(s1)

s1e()

s1e( bsasbsas minusminusminusminus minus=timesminustimes

)e1(s1 asminusminus

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形若坐標沒有位移而只是標度改變則其拉氏轉換為

設pound[f(t)]＝F(s)則

pound[f(at)]＝ (sgt0) )as(F

a1

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-12

已知pound[f(t)]＝ 求pound[f(2t)][解]

pound[f(2t)]＝

)s201(s1+

)s101(s1

)]as(201)[

2s(

121

+=

+times

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質時變函數可作拉氏轉換相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理若某一時變函數f(t)其拉氏轉換為pound[f(t)]＝F(s)它在t＝0時的初始值f(0)為有限值時則它的微分之拉氏轉換可以表示為

pound[frsquo(t)]＝sF(s)－f(0) 所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換對於其二階三階或更高階的導數其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之例如f(t)二階導數的拉氏轉換為

pound[frsquorsquo(t)]＝spound[frsquo(t)]－frsquo(0)將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得

pound[frsquorsquo(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－frsquo(0)＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0) 同理f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為

pound[frsquorsquorsquo(t)]＝s3F(s)－s2f(0)－sfrsquo(0)－frsquorsquo(0) 依此類推f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0)－sn－2frsquo(0)－sn－3frsquorsquo(0)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0)－sf(n－2)(0)－f(n－1)(0)

其中f(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存在若某一導數其初始值不連續則在上式中的初始值f(0)必須以f(0－)或f(0＋)的初始值來取代之也就是指宅必須改寫為

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0－)－sn－2frsquo(0－)－sn－3frsquorsquo(0－)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0－)－sf(n－2)(0－)－f(n－1)(0－) 或

pound[fn(t)]＝snF(s)－sn－1f(0＋)－sn－2frsquo(0＋)－sn－3frsquorsquo(0＋)－sdotsdotsdotsdotsdotsdot－s2f(n－3)(0＋)－sf(n－2)(0＋)－f(n－1)(0＋)

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-13

設f(t)＝tsinωt並設f(0)＝0frsquo(0)＝0求其拉氏轉換

[解]f(t)＝tsinωt frsquo(t)＝sinωt＋ωtcosωtfrsquorsquo(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt f(0)＝0frsquo(0)＝0

將上述各式代入pound[frsquorsquo(t)]＝s2F(s)－sf(0)－frsquo(0)得

pound[2ωcosωt－ω2tsinωt]＝s2pound[tsinωt]－stimes0－0

2ωtimes pound[tsinωt]＝s2pound[tsinωt]

(s2＋ω2)pound[tsinωt]＝ pound[tsinωt]＝

222s

sωminus

ω+

22ss2ω+

ω222 )s(

s2ω+ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數試求pound[δ(t)][解]由單位脈衝函數δ(t)的定義可知

因u(t)在t＝0時不連續故必須以u(t)在t＝0＋或t＝0－時的初始值來計算δ(t)的拉氏轉換若考慮t＝0＋的初始值則

pound[δ(t)]＝pound =spound[u(t)]－u(0＋)＝s －1＝0

)]t(u[dtd)t( =δ

)]t(udtd[ )

s1(

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-14(續)

若考慮t＝0－的初始值則

pound[δ(t)]＝pound ＝spound[u(t)]－u(0－)＝s －0＝1

對電路分析而言因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0－的初始值大多為零而在t＝0＋的初始值不一定為零但為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數因此以t＝0－

的情況來考量所以對單位脈衝函數而言拉氏轉換一般令其為

pound[δ(t)]＝1

)]t(udtd[ )

s1(

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質除了導數可進行拉氏轉換外時變函數的積分也可進行拉氏轉換設f(t)為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數則

pound

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s換言之在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1s)在上式的積分下限為0若此一下限不等於0時即需修正為

pound ＝pound ＋pound

除了一次積分以外也可推廣至n重積分

pound

int =ττt0 s

)s(F]d)(f[

int ττta ]d)(f[ int ττ0

a ]d)(f[ int ττt0 ]d)(f[

)s(Fs1]duddd)(f[ t

0 n0 0int =τsdotsdotsdotsdotsdotλαint int αsdotsdotsdotsdotsdotτ λ

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-15

設 試求pound[f(t)][解]因積分下限不為零所以

pound[ ]＝ pound[cosωt]＋

int τωτ= ωπ

t dcos)t(f

int τωτωπ

t dcos

s1

int τωτωπ

0 ]dcos[

s1

2222

022

s1)00(

s1

s1

])tsin1(s1[]

ss

s1[

ω+=minus+

ω+=

ωω

+ω+

times= ωπ

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-16設f(t)＝1＋3e－3t試求pound[ ][解]因積分下限不為零因此

pound[ ]＝pound ]＝pound[1＋3e－3t]＋[

＝pound[1]＋pound[3e－3t]＋

int ττta d)(f

int ττta d)(f int τ+ τminust

a3 d)e31([

])e31([s1 0

a3int τ+ τminus

0

a

3 ]e3

3[s1 τminus

minus+τ

)a1e(s1

)3s(s3s4

]ea1[s1]

)3s(ss3)3s([

s1

)]ea(1[s1]

3s3

s1[

s1

a32

a3

a3

minusminus+++

=

+minusminus++++

=

minusminusminus++

+=

minus

minus

minus

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)試求此一單位斜坡函數的拉氏轉換

[解]由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數

的積分即

因

故

pound[r(t)]＝pound[ ]＝ pound[u(t)]＝

int ττ= infinminus

t d)(u)t(r

0d)(u0 =int ττinfinminus

int ττt0 d)(u

s1

2s1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外頻率函數也可進行微分及積分處理當某一時變函數f(t)乘上t後其拉氏轉換與f(t)之拉氏轉換成微分關係即

pound[tf(t)]＝ pound[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數即

F(n)(s)＝(－1)npound[tnf(t)]

dsd

minus )s(Fdsd

minus

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換

[解]pound[tsinωt]＝ pound[sinωt]ds

dminus

22222222

12222

)s(s2)]s(

dsd)s([

])s[(dsd]

s[

dsd

ω+ω

=ω+timesω+minusωminus=

ω+ωminus=ω+

ωminus=

minus

minus

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-19

設n為正整數試求f(t)＝tneat及f(t)＝tn之拉氏轉換

[解]今以數學歸納法來求f(t)＝tneat的拉氏轉換當n＝1時pound[teat]＝ pound[eat]＝

當n＝2時pound[t2eat]＝ pound[teat]＝

當n＝3時pound[t3eat]＝ pound[t2eat]＝

依此類推當n＝n時pound[tneat]＝

若令a＝0即tneat＝tn因此

pound[tn]＝

dsd

minus2)as(

1])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus32 )as(

2])as(

1[dsd

minus=

minusminus

dsd

minus 43 )as(6]

)as(2[

dsd

minus=

minusminus

1n)as(n

+minus 1n)as(n

+minus

1nsn+

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質

若pound[f(t)]＝F(s)且存在則

pound或

＝pound－1

或

pound pound[f(t)]ds

int λλ= infin

s d)(F]t

)t(f[

t)t(f

int λλinfin

s d)(F

intinfin

=s

]t

)t(f[

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-20

試求pound

[解]pound pound[sinωλ]dλ＝

]t

tsin[ ω

intinfin

=ω

s]

ttsin[ λ

ω+λω

intinfin

ds 22

ω=

ωminus

π=

ωλ

= minusminus

infin

minus scotstan2

tan 11

s

1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質發現兩者具有相對關係在頻率積分裡若時變函數內含有(1t)因子則在拉氏轉換後此因子變為運算子相對的在時間積分若拉氏轉換式有(1s)因子則可將之視為由時變函數的積分運算子而來

同理比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質可發現兩者也俱有相對關係在頻率微分裡若時變函數內含有t因子則在拉氏轉換後此因子變為(－dds)運算子相對的在時間微分裡若拉氏轉換式有s因子則可將之視為由時變函數的微分(ddt)運算子而來

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析裡如交流電路所用的正弦波就是典型的週期函數所謂週期函數是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件其中T為週期n為任意正整數(n＝123sdotsdotsdotsdot)亦即指週期函數是每隔一週期會重覆出現相同波形的函數

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時則它的拉氏轉換可以表示為

pound[f(t)]＝

＝ pound[f1(t)] (sgt0)

其中f1(t)為f(t)在0至T之函數波形亦即週期函數的基本波形

intminus

minus

minus

T0

stTs dte)t(f

e11

Tse11

minusminus

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-21(續)

[解]由圖8-9可知此一方波的週期為2T它的基本波形為

f1(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]Ts2e11minusminus Ts2e1

1minusminus

2Tstanh

s1

)e1(s)e1(

)e1)(e1(s)e1(

)e1(s)e1(

s1e

s2e

s1

e11

Ts

Ts

TsTs

2Ts

Ts2

2TsTs2Ts

Ts2

=+minus

=minus+

minus=

minusminus

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minus

minus=

minus

minus

minusminus

minus

minus

minusminusminus

minus

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換

圖8-10 例8-22的圖

[解]由圖8-10可知此一全波整流的週期為(πω)它的基本波形為

)]t(u)t(u[tsin)t(f1 ωπ

minusminusω=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound

－pound

－pound [－sinωt]

se1

1ωπ

minusminus

se1

1ωπ

minusminus

)]t(u)t(u[tsinωπ

minusminusω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus= )]t([sin

ωπ

+ω

s

22se

s

e1

1 ωπ

minus

ωπ

minusminus

ω+ω

minus=

)s

(e1

e1)s

es

(e1

122s

s

22

s

22s ω+ω

minus

+=

ω+ω

+ω+

ω

minus=

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

ωπ

minus

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換

圖8-11 例8-23的圖

[解]由圖8-11可知脈衝列可表示為

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋middotmiddotmiddot

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為

pound[f(t)]＝1＋e－Ts＋e－2Ts＋middotmiddotmiddot＝

若將它視為週期＝T的週期函數可得

pound[f(t)]＝ pound[f1(t)]＝ pound[δ(t)]＝

Tse11

minusminus

Tse11

minusminus Tse11

minusminus Tse11

minusminus

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題轉換成以頻率來作為變數的代數方程式然後以代數方法來求得其解最後利用反拉氏轉換將它轉換回時變型態的電路問題之解整個流程如圖8-12所示

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為

多項式P(s)的根為F(s)的零點因為當s等於這些根時F(s)＝0而Q(s)的根為F(s)的極點因為當s等於這些根時F(s)＝infin如果F(s)為s的有理函數則ngtm此時F(s)稱為真分式若nltmF(s)稱為假分式對假分式而言F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和即

其中[P1(s)Q(s)]為真分式當F(s)具有上式的型態時其解含有兩部分其一為一多項[cm－nsm－n＋middotmiddotmiddot＋c2s2＋c1s＋c0]的解另一為真分式的解對多項式部分而言其反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝a0δ(t)＋a1δrsquo(t)＋a2δrsquorsquo(t)＋middotmiddotmiddot＋anδ(n)(t)

011n1nn

n

011m

1mm

m

bsbsbsbasasasa

)s(Q)s(P)s(F

++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdotsdotsdot++

==minusminus

minusminus

)s(Q)s(Pcscscsc)s(F 1

o12

2nm

nm ++++sdotsdotsdot+= minusminus

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

對真分式部分而言其解依Q(s)的型態來定一般Q(s)有四種型態分別為(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)也就是單根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)也就是重根形式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝(s－a)n(s－b)(s－c) middotmiddotmiddot(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2](s－c)(s－d)middotmiddotmiddot(4)Q(s)含有重覆之二次因式此時Q(s)可以表示為

Q(s)＝[(s－a)2＋b2]n(s－c)(s－d)middotmiddotmiddot

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分將上式等號兩邊乘以(s－a)得

再令s＝a

)s(Mas

Acs

Cbs

Bas

A)cs)(bs)(as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

+minus

=sdotsdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

)as)(s(MA)as()s(Q)s(P

minus+=minustimes

0A)as()s(Q

)s(P

as

+=minus

=

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

故

同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝Aeat＋Bebt＋Cect＋middotmiddotmiddot

as)as()s(Q)s(PA

=minus

=

bs)bs()s(Q)s(PB

=minus

=cs)cs()s(Q

)s(PC=

minus=

sdotsdotsdot+minus

+minus

==

btat

as

e)bs()s(Q

)s(Pe)as()s(Q

)s(P

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-24

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先將F(s)分解成部分分式可得

由此可得

pound－1

s2s3s4s)s(F 23

2

+++

=

)2s(C

)1s(B

sA

)2s)(1s(s4s

s2s3s4s)s(F

2

23

2

++

++=

+++

=++

+=

t2t

t2

2s

2t

1s

2t0

0s

2

ee52

e)1s(s

4se)2s(s

4se)2s)(1s(

4s)]s(F[

minusminus

minus

minus=

minus

minus==

+minus=

++

+++

+++

+=

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)n則它可以表示為

將等號兩邊乘以(s－a)n得

)s(M)as(

A)as(

Aas

Acs

Cbs

B)as(

A)as(

Aas

A)cs)(bs()as(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

nn

221

nn

221

n

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdot+minus

+minus

+minus

+sdotsdotsdot+minus

+minus

=

sdotsdotsdotsdotminusminusminus==

nn1n

2n2

n1

n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minustimes

minus

minus

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

令

將s＝a代入可得H(a)＝An即

對H(s)取微分可得

將s＝a代入可得Hrsquo(a)＝An－1即

nn1n

2n2

n1n

)as)(s(MA)as(A

)as(A)as(A)as()s(Q

)s(P

minus++minus+

sdotsdotsdot+minus+minus=minus

minus

minus

)s(H)as()s(Q

)s(Pn =minus

0)a(HAn =

])as)(s(M[dsdA)as(A2

)as)(2n(A)as)(1n(A)s(H

n1n2n

3n2

2n1

minus++minus+

sdotsdotsdot+minusminus+minusminus=

minusminus

minusminus

1)a(HA 1n =minus

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

相似的對Hrsquo(s)取微分可得

將s＝a代入可得 Hrsquorsquo(a)＝2An－2即

依此方式繼續進行可得Hrsquorsquorsquo(a)＝3times2An－3即

同理可得 H(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)middotmiddotmiddotmiddot(3)(2)A1即

])as)(s(M[dsdA2

)as)(3n)(2n(A)as)(2n)(1n(A)s(H

n2

2

2n

4n2

3n1

minus++sdotsdotsdot+

minusminusminus+minusminusminus=

minus

minusminus

2)a(HA 2n =minus

3)a(HA 3n =minus

)1n()a(HA

)1n(

1 minus=

minus

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法由此可得相對應的反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

+pound－1[M(s)]

＋pound－1[M(s)]

])as(

A)as(

A)as(

A)as(

A[ nn

1n1n

221

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus minusminus

at1n

n

2n

1n

2

321 e])1n(

tA)2n(

tA2

tA1tAA[

minus+

minus+sdotsdotsdot+++=

minusminus

minus

at1n2n)2n(0)1n(

e])1n(

t0

)a(H)2n(

t1

)a(H1t

)2n()a(H

0t

)1n()a(H[

minus+

minus+sdotsdotsdot+

minus+

minus=

minusminusminusminus

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-25

設 試求pound－1[F(s)]

[解]先求對應於因式(s+1)3的反拉氏轉換再求相對應於因式(s－2)的反拉氏轉換因

將s＝－1代入可得

將s＝－1代入可得

)2s()1s(2s4s)s(F 3

2

minus+minus+

=

)2s(2s4s)s(H

2

minusminus+

=

3A35)1(H ==minus

2

2

)2s(6s4s)s(H

minusminusminus

=

2A91)1(H =minus=minus

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-25(續)

將s＝－1代入可得

對因式(s－2)求其反拉氏轉換

因此

3)2s(20)s(Hminus

=

1A2720)1(H =minus=minus

2710

)1s(2s4s

)bs()s(Q)s(PB

2s3

2

bs

=+

minus+=

minus=

==

)2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720()s(F 32 minus

++

++minus

++

minus=

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-25(續)

pound－1[F(s)]＝pound－1 ])2s()2710(

)1s()35(

)1s()91(

)1s()2720([ 32 minus

++

++minus

++

minus

t2t2

t2t2tt

e2710e]t

65t

91

2710[

e2710et

65te

91e

2710

++minusminus=

++minusminus=

minus

minusminusminus

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

若Q(s)包含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]也就是含有二次因式[(s－a)2＋b2]時拉氏轉換可以表示為

將兩邊乘以二次因式可得

)s(Mb)as(

BAsds

Dcs

Cb)as(

BAs)ds)(cs](b)as[(

)s(P)s(Q)s(P)s(F

22

22

22

++minus

+=

sdotsdotsdot+minus

+minus

++minus

+=

sdotsdotsdotsdotminusminus+minus==

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q)s(P 2222 +minus++=+minustimes

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

令

將s＝a＋jb代入(8-75)式可得

H(a＋jb)＝A(a＋jb)＋B＋0＝(aA＋B)＋jbA＝φr＋jφi

其中φr＝(aA＋B)表示將s＝a＋jb代入H(s)的實數部而φi＝bA表示將s＝a＋jb代入H(s)的虛數部同時A＝(φib)

]b)as)[(s(M)BAs(]b)as[()s(Q

)s(P 2222 +minus++=

+minus

)s(H]b)as[()s(Q

)s(P22 =

+minus

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

相對應的反拉氏轉換可以表示為

pound－1[F(s)]＝pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]＝pound－1 ＋pound－1[M(s)]

＝ pound－1[ ]＋ pound－1[ ]＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

＝ ＋pound－1[M(s)]

22 b)as(BAs+minus

+ ]b)as(

BaA)as(A[ 22 +minus++minus

]b)as(

b)as(b[

22

ri

+minus

φ+minusφ

]b)as(

b)as(b1[ 22

ri

+minusφ+minusφ

biφ

22 b)as(as+minus

minus

brφ

22 b)as(b+minus

btsineb1btcose

b1 at

rat φ+φ

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

部分分式法

由此可知相對應於[(s－a)2＋b2]的反拉氏轉換為

若Q(s)包含有重覆的共軛複數因式[(s－a)2＋b2]時則F(s)中相對應於此因式的部份分式可寫為

然後採用與含不重覆共軛複數因式相同的方法來求解即可

)btsinbtcos(be

r

at

φ+φ

22222 b)as(NMs

]b)as[(BAs

+minus+

++minus

+

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-26

設 試求pound－1[F(s)]

[解]首先考慮(s－1)2因式的反拉氏轉換f1(t)設

將s＝1代入可得

將s＝1代入可得

)2s2s()1s(2s)s(F 22 ++minus

+=

)2s2s(2s)s(H 2 ++

+=

53)1(H =

22

2

)2s2s(2s4s)s(H

++minusminusminus

=

257)1(H minus=

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-26(續)

因此(s－1)2因式所對應的反拉氏轉換為

次求(s2＋2s＋2)因式的反拉氏轉換f2(t)此一因式可改寫

(s2＋2s＋2)＝(s＋1)2＋1它所對應的H(s)為

則

其實部 及虛部

t1 e)t

53

257()t(f +minus=

2)1s(2s)s(H

minus+

=

257j

251

)1s(2s)s(H

j1s2j1s

+minus=minus+

=+minus=

+minus=

251

r minus=φ257

i =φ

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-26(續)

故

整個反拉氏轉換為

pound－1[F(s)]＝f1(t)＋f2(t)

)tsin251tcos

257(e)t(f t

2 minus= minus

)tsin251tcos

257(ee)t

53

257( tt minus++minus= minus

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

利用拉氏轉換求解微分方程式

其本上拉氏轉換可以將微分方程式轉變成代數方程式然後以代數方法來求解它的求解方法比求解微分方程式來得容易一般電路基本上有兩個不同的響應它們分別是自然響應及強迫響應若以時變函數的微分方程式來求解這兩個響應時需分兩次來求解但若採用拉氏轉換則只需一次運算就可求得電路的完全響應另外拉氏轉換對不同輸入型態之電路響應的求法皆相同而微分方程式對不同的輸入型態需用不同的解法

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

利用拉氏轉換求解微分方程式

設一二階微分方程式為

其對應的初始條件為x(0)＝1xrsquo(0)＝2首先對微分方程式進行拉氏轉換則

pound ＝pound[e－2t]

由微分的拉氏轉換可知

將初始條件代入可得

t22

2

ex3dtdx4

dtxd minus=++

]x3dtdx4

dtxd[ 2

2

++

2s1)s(X3)]0(x)s(sX[4)]0(x)0(sx)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

2s1)s(X3]1)s(sX[4]2s)s(Xs[ 2

+=+minus+minusminus

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

利用拉氏轉換求解微分方程式

解X(s)可得

利用部份分式法可得

進行反拉氏轉換可求得x(t)為

x(t)＝3e－t－e－2t－e－3t

由此一例子發現拉氏轉換的解法較微分方程式的解法簡單

)3s)(2s)(1s(13s8s)s(X

2

+++++

=

)3s(1

)2s(1

)1s(3)s(X

+minus

+minus

+=

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

利用拉氏轉換求解微分方程式

今以一RLC串聯電路(圖8-13)作例子來說明如何以拉氏轉換來求解電路問題

圖8-13 RLC串聯電路

由KVL可知RLC串聯電路相對於電流i(t)的微分方程式可寫為

int =ττ+++ t0 SC )t(vd)(i

C1)0(v

dt)t(diL)t(Ri

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

利用拉氏轉換求解微分方程式

進行拉氏轉換可得

經整理後可得I(s)為

由上式可看出利用拉氏轉換來分析電路時具有以下之特點

(1)等號左邊第一項只與輸入電源vS(t)的拉氏轉換有關這部分代表了電流的強迫響應

(2)等號左邊第二項只與初始值有關這部分代表了電流的自然響應也就是零輸入響應

(3)對不同的輸入vS(t)只需將它對應的拉氏轉換代入上式就可得到各不同輸入情況下的電流I(s)由此可知拉氏轉換對各種不同輸入的完全響應其解法皆相同

)s(V)s(IsC1

s)0(v)]0(i)s(sI[L)s(RI S

C =++minus+

)LC1(s)LR(sL)]0(v[)0(si)s(V

)LC1(s)LR(s)Ls()s(I 2

CS2 ++

minus+

++=

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

利用拉氏轉換求解微分方程式

初值定理設一函數f(t)之拉氏轉換F(s)為真分式則

欲求f(t)各階導數的初始值可將f(t)逐次以frsquo(t)frsquorsquo(t)middotmiddotmiddotmiddot取代之即可求得因此若以frsquo(t) 取代f(t)則

pound[frsquo(t)]

同理

pound[frsquorsquo(t)]

依此類推就可求得f(t)各階導數的初始值

)s(sFlim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)s(Fs[lim

)]0(f)s(sF[slim2

s

s

+

infinrarr

+

infinrarr

minus=

minus=

slim)0(f)t(flims0t infinrarr

+

rarr==

+

)]0(sf)0(fs)s(Fs[lim

)]0(f)0(sf)s(Fs[slim23

s

2

s

++

infinrarr

++

infinrarr

minusminus=

minusminus=

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

利用拉氏轉換求解微分方程式

假若有一函數f(t)其拉氏轉換可以表示為

則f(t)及其各階導數在t＝0+時的初始值可分別表示為f(0+)＝a1frsquo(0+)＝a2frsquorsquo(0+)＝a3middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotf(n－1)(0+)＝an

nn

33

221

sa

sa

sa

sa)s(F +sdotsdotsdotsdot+++=

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-27

設 試求 和 在t＝0+時的初始值

[解]

)2s2s(s2)s(F 2 ++

= )]t(f[dtd

)]t(f[dtd

2

2

0)2s2s(s

2lim)s(sFlim)0(f 2ss=

++==

infinrarrinfinrarr

+

0]02s2s

s2[lim)0(f 2s=minus

++=

infinrarr

+

2]002s2s

s2[lim)0(f 2

2

s=minusminus

++=

infinrarr

+

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

利用拉氏轉換求解微分方程式

終值定理若F(s)為f(t)的拉氏轉換同時使其分母為零之根(即F(s)的極點)皆位於複數平面的左半面上(亦即複頻s的實數部為0或負值)則

)s(sFlim)(f)t(flim0st rarrinfinrarr

=infin=

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-28

試求下列拉氏轉換所對應的時變函數在trarrinfin時的終值

(a) (b) (c)

[解](a)此一F(s)有兩個極點s＝0及s＝－1它們都位在複數平面的左半面上因此其終值為

(b)因F(s)的極點為s＝3它位在複數平面的右半面而非左半面上因此不適用終值定理此一情況可由直接求F(s)的反拉氏轉換來得到驗證令

f(t)＝pound－1[F(s)]＝2e3t rArr

)1s(s2s)s(F++

= 3s2)s(Fminus

=)4s(s2s6s3)s(F 2

2

+minus+

=

2)1s(s)2s(slim)(f)t(flim

0st=

++

=infin=rarrinfinrarr

infin=infinrarr

)t(flimt

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-28(續)

若直接以終值定理來求則

(c)由F(s)的分母可知它存在有s＝plusmn2j的極點此一情況也不適用終值定理因為

f(t)＝pound－1[F(s)]＝

因此 不存在若直接以終值定理來求則

0)3s(

2slim)(f)t(flim0st

=minus

=infin=rarrinfinrarr

t2sin3t2cos27

21

++minus

21

4s2s6s3slim)(f)t(flim 2

2

0stminus=

+minus+

=infin=rarrinfinrarr

)t(flimt infinrarr

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換電路的分析

在前面的討論裡是先寫出電路中相關變數的微分方程式然後利用拉氏轉換將時變函數的微分方程式轉變成頻率變數的代數方程式但若電路本身所有的參數都已經過拉氏轉換則可以直接從電路得出所需的代數方程式如此一來就可省略了建立微分方程式的步驟而且也可以省略將此微分方程式轉換成代數方程式的步驟因此在了解如何利用拉氏轉換來求解電路前先建立以複頻率s為參數的電路元件模型

圖8-14(a)所示為時域獨立電壓源v(t)經過拉氏轉換後它將轉變成如圖8-14(b)所示的複頻域獨立電壓源V(s)＝pound[v(t)]相似的圖8-15(a)所示的時域獨立電流源i(t)經過拉氏轉換後也可以轉變成如圖8-15(b)所示的複頻域獨立電流源I(s)＝pound[i(t)]

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換電路的分析

圖8-14 獨立電壓源(a)時域(b)複頻域

圖8-15 獨立電流源(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換電路的分析

在時域裡電阻器的i(t)-v(t)關係為 v(t)＝Ri(t) 應用拉氏轉換可寫成V(s)＝RI(s) 其轉換關係如圖8-16所示

圖8-16 電阻器(a)時域(b)複頻域

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電流i(0)之電感器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

V(s)＝sLI(s)－Li(0) 及

其轉換關係如圖8-17所示其中圖8-17(b)為串聯等效而圖8-17(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為L亨利的電感器在複頻域裡將轉換成sL歐姆的阻抗

dt)t(diL)t(v = int +ττ= t

0 )0(id)(vL1)t(i

s)0(i

sL)s(V)s(I +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換電路的分析

圖8-17 電感器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換電路的分析

在時域裡含有初始電壓v(0)之電容器的i(t)-v(t)關係為

或

應用拉氏轉換它們可寫成

及

I(s)＝sCV(s)－Cv(0) 其轉換關係如圖8-18所示其中圖8-18(b)為串聯等效而圖8-1(c)為並聯等效由這一轉換關係可看出在時域裡為C法拉的電容器在複頻域裡將轉換成(1sC)歐姆的阻抗

int +ττt0 )0(vd)(i

C1)t(v

dt)t(dvC)t(i =

s)0(v

sC)s(I)s(V +=

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換電路的分析

圖8-18 電容器(a)時域(b)複頻域串聯等效

(c)複頻域並聯等效

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換電路的分析

圖8-19(a)所示為時域變壓器的電路符號它的i(t)simv(t)關係可以表示為

而在複頻域裡其電路符號如圖8-20(b)所示所對應的IsimV關係為

V1(s)＝sL1I1(s)－L1i1(0)＋sMI2(s)－Mi2(0) V2(s)＝sM1I1(s)－Mi1(0)＋sL2I2(s)－L2i2(0)

其中i1(0)及i2(0)分別表示一次圈及ニ次圈的初始電流

dt)t(diL

dt)t(diM)t(v

dt)t(diM

dt)t(diL)t(v

22

12

2111

+=

+=

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

拉氏轉換電路的分析

圖8-19 變壓器(a)時域(b)複頻域

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-29

試繪出圖8-20電路的複頻域等效並求時域及複頻域的輸出電壓

圖8-20 例8-29的電路

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-29(續)

[解]圖8-21所示為圖8-20電路的複頻域等效

圖8-21 圖8-01電路的複頻域等效

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-29(續)

由圖8-21可知輸出電壓Vo(s)可以表示為

將各電路參數代入可得

經由反拉氏轉換可得時域輸出電壓為

Vo(t)＝pound－1[Vo(s)]＝40[e－t－e－4t]u(t)[V]

]V)[s(I)RC1(s

)C1()s(I]sC1R[)s(V SSO ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

]V[4s

401s

40)1s)(4s(

120)1s

0030)(4s

00040()s(VO

+minus

+=

++=

++=

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-30

在圖8-22的電路裡開關K先閉合一段時間使整個電路達到穩態然後在t＝0時開關K被打開試求tgt0時電容器電壓vC(t)的完全響應

圖8-22 例8-30的電路

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-30(續)

[解]在開關K被打開前電路達到穩態此時電感器視為短路而電容器視為開路由此可得電感器的初始電流及電容器的初始電壓分別為

在t＝0時開關K被打開此時電路可用複頻域等效來表示(圖8-23)相對於VL(s)及VC(s)的節點方程式分別為

]A[23

1V1

11V1

RV

RRV)0(i)0(i)0(i

2

2

31

1 =Ω

+Ω+Ω

=++

=== minus+

]V[21V1

111V

RRR)0(v)0(v)0(v 1

31

3CCC =times

Ω+ΩΩ

=+

=== minus+

)0(CvsRV

R1)s(V]

R1sC

R1[ C

1

1

3C

31

+=minus++

s)0(i)s(V]

sL1

R1[)s(V

R1 L

L3

C3

minus=++minus

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-30(續)

聯解上述兩方程式可求得VC(s)為

因此電容器電壓vC(t)的完全響應為

vC(t)＝pound－1[VC(s)]= pound－1[ ]

＝ tgt0

]V[1)1s(

1s2

12s2s

1s2

1)s(V 22C ++minus=

++minus

+=

1)1s(1

s21

2 ++minus

]V)[tsine21( tminusminus

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-30(續)

圖8-23 tgt0時圖8-22電路的複頻域等效

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-31

對圖8-24的電路而言在tlt0時S1為打開S2為閉合經過一段長時間電路達到穩態在t＝0時使S1閉合並將S2打開試求tgt0時的輸出電壓

圖8-24 例8-31的電路

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-31(續)

[解]電路在tlt0時達到穩態所以在t＝0時電容器的初始電壓vC(0)＝1V及電感器的初始電流iL(0)＝1A

在tgt0時S1 閉合及S2打開此時電路的結構如圖8-25所示而其對應的複頻域等效如圖8-26所示

圖8-25 tgt0時的電路結構

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-31(續)

對圖8-26電路寫出其網目方程式為

圖8-26 tgt0時圖8-25電路的複頻域等效

⎪⎩

⎪⎨

⎧

minusminus=+++minus

+=minus+

1s1)s(I)1

s2s()s(sI

1s4)s(sI)s(I)1s(

21

21

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-31(續)

由此可求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+minus=

+++minus

+=minus+

s)1s()s(I

s2ss)s(sI

s4s)s(sI)s(I)1s(

2

2

1

21

]A[2s3s2

1s2

s2sss

s1ss

)1s(ss

4s1s

)s(I 2

2

2 ++minus

=

++minus

minus+

+minusminus

++

=

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-31(續)輸出電壓為

為A1的共軛因此

]V[

47j

43s

A

47j

43s

A

1s23s

27s

s1)

2s3s21s2(

s2

s1)s(I

s2)s(V

11

222O

+++

minus+=

++

+=+

++minus

=+=

1Ao

)47(j)

43(s

1 576142

47j

43s

27s

A minusang=++

+=

+minus=

]V)[t(u)]576t47cos(e284[)t(v ot)43(

O minus= minus

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-32

試以戴維寧等效來求圖8-27電路裡流過電容器的電流I1(s)[解]在電路裡是以電容器作為負載因此在求戴維寧等效阻抗時將電容器移走並將電流源開路及電壓源短路然後由端點1及2間看入即可求得戴維寧等效阻抗為

ZTh(s)＝R+sL[Ω]

圖8-27 例8-32的電路

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-3(續)

而端點1及2間的開路電壓為

因此由端點1及2間看入的戴維寧等效如圖8-29所示而流過電容器的電流為

圖8-28 戴維寧等效電路

]V[s

)0(V)0(Li)s(RI)s(V CTh minus+=

]A[

sC1sLR

C)0(v)0(Li)s(RI

sC1)s(Z

)s(V)s(IC

Th

Th1

++

minus+=

+=

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

網路函數

任何一時域電路其輸入x(t)與輸出y(t)間之微分方程式關係可以表示為

＝

其中aoa1middotmiddotmiddotmiddotan及bob1middotmiddotmiddotmiddotbm均為常數n為微分方程式的階數此一階數與電路內儲能元件的個數及電路結構有關

假設不考慮初始值則上式的拉氏轉換可以表示為

＝

yadtdya

dtyda

dtyda o11n

1n

1nn

n

n ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

xbdtdxb

dtxdb

dtxdb o11m

1m

1mm

m

m ++sdotsdotsdot++ minus

minus

minus

)s(Y)asasasa( o11n

1nn

n ++sdotsdotsdot++ minusminus

)s(X)bbsbsb( o11m

1mm

m ++sdotsdotsdot++ minusminus

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

網路函數

若改寫為分式則

定義為網路函數表示電路輸出與輸入之拉氏轉換的比值因此若已知某一電路的網路函數為H(s)則輸出可以表示為

Y(s)＝H(s)X(s) 電路的輸出可能與輸入是在同一對端點或同一埠上也可能在不同的兩對端點上若某一電路輸出與輸入是在同一對端點上則此電路稱為單埠電路或驅動點電路如圖8-29所示此類電路所對應的網路函數稱為驅動點函數若某一電路輸出與輸入是在不同一對端點上而是分別存在於兩對不同的端點則此電路稱為雙埠電路如圖8-30所示此類電路所對應的網路函數稱為轉移函數

o11n

1nn

n

o11m

1mm

m

asasasabsbsbsb

)s(X)s(Y)s(H

++sdotsdotsdotsdot++++sdotsdotsdotsdot++

== minusminus

minusminus

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

網路函數

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

網路函數

圖8-29 單埠電路

圖8-30 雙埠電路

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

網路函數

對單埠電路而言電路的輸入及輸出可為電壓或電流它們均取自同一端點對所對應的驅動點函數有两個分別為

及

其中Z(s)稱為驅動點阻抗而Y(s)稱為驅動點導納它們兩者互為倒數

驅動點阻抗(或導納)代表由電路驅動端點看入電路所得到的等效阻抗(或導納)若將輸入端視為驅動點則所得到的是輸入阻抗(或導納)若將輸出端視為驅動點則所得到的是輸出阻抗(或導納)

][)s(I)s(V)s(Z Ω= ][

)s(V)s(I)s(Y Ω=

)s(Y1)s(Z =

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

網路函數

對雙埠電路而言它有兩對端點分別為輸入端點及輸出端點在圖8-30裡假設左邊的端點對為輸入端或輸入埠或稱為1埠而右邊的端點對為輸出端或輸出埠或稱為2埠在輸入端有輸入電流及輸入電壓相似的在輸出端有輸出電流及輸出電壓因此它有四個變數故可以定義出四個網路函數(在單埠電路裡因輸入及輸出存在同一端點對它只有兩個變數故只能定義出兩個網路函數)這四個網路函數或轉移函數分別為

在上述各式裡1表示輸入2表示輸出Z12(s)稱為轉移阻抗單位為歐姆(Ω)Y12(s)稱為轉移導納單位為西門子(S)Gv(s)稱為電壓增益是無單位比值Gi(s)稱為電流增益是無單位比值

][)s(I)s(V)s(Z

1

212 Ω= ]S[

)s(V)s(I)s(Y

1

212 =

)s(V)s(V)s(G

1

2v =

)s(I)s(I)s(G

1

2i =

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

網路函數

在驅動點函數裡阻抗與導納互為倒數但在轉移函數裡阻抗與導納不為倒數關係

表8-3 網路轉移函數

][)s(I)s(V

)s(Y1][

)s(I)s(V)s(Z

2

1

121

212 Ω=neΩ=

無電流電流電流增益Gi(s)無電壓電壓電壓增益Gv(s)

西門子(S)電流電壓轉移導納Y12(s)歐姆(Ω)電壓電流轉移阻抗Z12(s) 單位輸出參數輸入參數轉移函數

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-33

試求圖8-31電路的驅動點阻抗

圖8-31 例8-33的電路

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-33(續)

[解]

][

LC1)LR2(s

LC1s)]

RC1()

LR[(s

R

sC1RsLR

)]sC1(R][sLR[

)sC1R()sLR(

)s(I)s(V)s(Z

2

2

Ω+++

+++=

+++

++=

++==

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-34

試求圖8-32電路的轉移導納(I2(s)V1(s))及電壓增益

圖8-32 例8-34的電路

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-34(續)

[解]電路的網目方程式為

V2(s)＝I2(s)R2

解方程式求得I2(s)為

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++minus

=minus+

0)s(I)sC1sLR()s(sLI

)s(V)s(sLI)s(I)sLR(

221

1211

]A[Rs)CRRL(LCs)RR(

)s(VLCs

Ls)sC1(sLR)[sLR(

)s(sLV)s(I

1212

21

12

2221

12

++++=

minus+++=

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

例8-33(續)

因此轉移導納為

因

所以電壓增益為

]S[Rs)CRRL(LCs)RR(

LCs)s(V)s(I)s(Y

1212

21

2

1

212

++++=

=

]V[Rs)CRRL(LCs)RR(

sLCRR)s(I)s(V

1212

21

22

222

++++=

=

1212

21

22

1

2v

Rs)CRRL(LCs)RR(sLCR

)s(V)s(V)s(G

++++=

=

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係

網路函數

假設在沒有初始值時當已知輸入為Vi(s)則可從轉移函數H(s)來求得輸出Vo(s)為

Vo(s)＝H(s)Vi(s) 若輸入vi(t)為單位脈衝函數δ(t)則由拉氏轉換得知

pound[vi(t)]＝pound[δ(t)]＝1＝Vi(s) 因此其響應可以簡化為

Vo(s)＝H(s)(1)＝H(s) 若以時域函數來表示即

vo(t)＝pound－1[H(s)]＝h(t) 其中h(t)表示當輸入為單位脈衝且初始值為零時的輸出此一輸出稱為脈衝響應它與H(s)互為拉氏轉換關係