经济应用数学 课教案

学 期：07—08 学年第一学期

学 时： 56 学时

系 （部）： 基础部

教 研 室： 理科教研室

授 课 教 师： 张焕玮

授课班级所

在系

授课班级 授课班级

所在系

授课班级

工商管理系 07 工商管理

1、2 班

工商管理系 07 金融管理 07 工商管理 3

第 1 次课教案 2007 年 9 月 25 日 星期二

章 节：第 1 章 应用数学绪论 第 2 章 函数模型

§2.1 函数及其性质 §2.2 初等函数

教学任务： 使学生深刻理解函数的概念，熟练掌握基本初等函数、分

段函数的定义、性质与图像.

重点、难点： 1. 分段函数； 2. 基本初等函数的定义、性质与图像.

教学内容提要：第 1 章 应用数学绪论

第 2 章 函数模型 §2.1 函数及其性质 2.1.1 函数的概念

( )y f x= x∈D

2.1.2 分段函数 在自变量的不同范围内，函数的对应关系不同.

2.1.3 反函数 2.1.4 函数的几种特性

奇偶性、单调性、周期函数、有界函数. §2.2 初等函数

2.2.1 基本初等函数

1.常函数 y=C

2. 幂函数 y= αx

3. 指数函数 y= (a>0 且 a≠1) xa

4. 对数函数 y= alog x (a>0 且 a≠1)

5. 三角函数 ①正弦函数 y=sin x 定义域（－∞，＋∞）

②余弦函数 y=cos x 定义域（－∞，＋∞）

③正切函数 y=tan x ④余切函数 y=cot x

⑤正割函数 y=sec x ⑥余割函数 y= scc x

6.反三角函数 ①反正弦函数 y=arcsin x

②反余弦函数 y=arccos x ③反正切函数 y=arctan x

x④反余切函数 y=arccot 2.2.2 复合函数 2.2.3 初等函数

复习思考题、作业：

1、2； 1～11 4P∗ 16P∗

课后小结：

第 2 次课教案 2007 年 9 月 27 日 星期四

章 节：第 2 章 函数模型 §2.3 几种常见的经济函数 §2.4 典型例题详解

教学任务：

使学生理解经济函数的意义，使学生理解与掌握单利模型

(1t )A P tr= + 与复利模型 ( )1t

tA P r= + .

重点、难点： 1. 经济函数的意义；

2. 单利模型 (1t )A P tr= + 与复利模型 ( )1t

tA P r= + .

教学内容提要： 复习复合函数. §2.3 几种常见的经济函数 1. 需求函数 ( )Q Q p=

是商品的需求量 Q 与价格 p 的函数关系（通常是单调递减函数）.

2. 价格函数 ( )p p Q=

是需求函数的反函数.

2.3.2 供给函数 ( )S S p=

是商品的供给量 S 与价格 p 的函数关系（通常是单调递增函数）. 例 2.3.1（P12）

均衡价格 p =27；均衡数量Q =14.

2.3.3 总成本函数 ( ) ( )1 2C C Q C C q= = +

其中 是固定成本， 是可变成本. 1C ( )2C q

例 2.3.2（P12） 总成本 C（50）=700 元；平均成本 A=14 元/件. 2.3.4 收入函数与利润函数

1. 收入函数 ( ) ( )R R q qP q= =

是总收入 R 与商品数量 q 的函数关系， ( )P q 是商品的价格函数.

例 2.3.3（P13）

2. 利润函数 ( ) ( ) ( )L L q R q C q= = −

是总利润 L 与商品数量 q 的函数关系. 例 2.3.4（P13） 例 2.3.5（P14） 思考题 2.3（P14） §2.4 典型例题详解

单利模型为 ( )1tA P tr= +

复利模型为 ( )1 ttA P r= +

复习思考题、作业：

13、14、15 17p∗

课后小结：

第 3 次课教案 2007 年 10 月 9 日 星期二

章 节：第 3 章 极限与连续 §3.1 极限

教学任务： 使学生正确理解数列的极限与函数的极限的概念，理解无

穷小与无穷大的定义与性质，了解极限的性质.

重点、难点： 1．数列的极限； 2．左极限与右极限； 3. 夹逼准则.

教学内容提要：

第 3 章 极限与连续 §3.1 极限 3.1.1 函数的极限 1. 数列的极限

nny

∞→lim =A 或 →A（n→∞） ny

2. 函数的极限

（1） x →∞时，函数 ( )f x 的极限

∞→x

lim ( )f x =A 或 ( )f x →A ( x →∞ )

+∞→xlim ( )f x =A 或 ( )f x →A ( x→+∞)

−∞→x

lim ( )f x =A 或 ( )f x →A ( x→-∞)

（2） x→ 时，函数0x ( )f x 的极限

0

limxx→

( )f x =A 或 ( )f x →A ( x→ ) 0x

3.1.2 左极限与右极限 左极限

−→ 0lim

xx( )f x =A 或 ( )f x →A ( x→ ) −0x

右极限 +→ 0

limxx

( )f x =A 或 ( )f x →A ( x→ ) +0x

3.1.3 无穷小量 1. 无穷小量的定义 2. 极限与无穷小的关系 3. 无穷小的运算性质 3.1.4 极限的性质 性质 1（唯一性） 性质 2（有界性） 性质 3（保号性） 性质 4（夹逼准则） 3.1.5 无穷大量 1. 无穷大量的定义 2. 无穷大量的性质 3. 无穷小与无穷大的关系

复习思考题、作业：

1、2、3 40p∗

课后小结：

第 4 次课教案 2007 年 10 月 11 日 星期四

章 节：第 3 章 极限与连续 §3.2 极限的运算

教学任务： 使学生掌握极限的四则运算法则，理解两个重要极限，会

利用法则及重要极限公式求极限.掌握复利与连续复利的模型.

重点、难点： 1. 两个重要极限； 2. 复利与连续复利的模型.

教学内容提要：§3.2 极限的运算 3.2.1 极限的四则运算法则 定理 3.6 推论 3.2.2 两个重要极限

1. 0

lim→x x

xsin =1

例 3.2.9（P27）求0

lim→x

tan xx

，例 3.2.10 求 0

lim→x

sin 23

xx

例 3.2.11 求 0

lim→x 2

1 sco xx

−，例 3.2.12（P28） 求

xx

x

1sinlim∞→

2. n

n n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

11lim =e (e=2.718281828…)

例 3.2.13 求 x

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

21lim

3.2.3 无穷小的比较 定理 3.7（无穷小替换定理）在自变量的同一变化过程中，若

,α α β β′ ′∼ ∼ ，且 lim βα′′存在，则 lim β

α= lim β

α′′.

推论（无穷小传递性质）若 ,α γ γ β∼ ∼ ，则α β∼ .

3.2.4 复利与连续复利

每年计息的复利计算模型 A=P ( )1 tr+ （第 t 年末）

每半年计息的复利计算模型 A=P2

12

tr⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

（第 t 年末）

每月计息的复利计算模型 A=P12

112

tr⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

（第 t 年末）

每年计息 x次的复利计算模型 A=P 1xtr

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

（第 t 年末）

连续复利计算模型 A= li Pmx→∞

1xtr

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

=P limx→∞

1

rtxrr

x

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=P rte

复习思考题、作业：

4、5、6、7、8 40p∗

课后小结：

第 5 次课教案 2007 年 10 月 16 日 星期二

章 节：第 3 章 极限与连续 §3.3 函数的连续性 §3.4 闭区间上连续函数的性质

§3.5 典型例题详解（P38）

教学任务： 使学生理解函数的连续性的实质，会判断间断点的类型；

正确使用初等函数的连续性的结论，了解闭区间上连续函数的性

质.

重点、难点： 1. 函数连续的定义； 2. 闭区间上连续函数的性质.

教学内容提要：§3.3 函数的连续性 3.3.1 函数的连续性 1. 函数的增量 2. 连续

3. 间断（1） f ( )存在； 0x

（2）0

limxx→

( )f x 存在；

（3）0

limxx→

( )f x = f ( )三条缺一则间断. 0x

3.3.2 初等函数的连续性 1. 初等函数的连续性 定理 3.9 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数. 定理 3.10 连续函数构成的复合函数仍是连续函数. 定理 3.11 基本初等函数在其定义域上是连续的. 定理 3.12 一切初等函数在其定义域上都是连续的.

由定理知 f(g(0

limxx→

x ))=f( g(0

limxx→

x ))=f(g( )) 0x

2. 复合函数求极限的方法

例 3.3.5（P36）求 ( )1

0limln 1 xx

x→

+

解 ( )1

0limln 1 xx

x→

+ = ( )1

0ln lim 1 ln 1x

xx e

→+ = =

思考题 3.3（P36） §3.4 闭区间上连续函数的性质

定理 3.13（最大值与最小值定理）若函数 ( )f x 在闭区间[ , 上连

续，则

]a b

( )f x 在[ , 上必有最大值与最小值。 ]a b

定理 3.14（零点定理）若函数 ( )f x 在闭区间[ , 上连续，且]a b ( )f a

与 ( )f b 异号，则至少存在一点ξ∈ ( ),a b ，使得 f(ξ)=0，即方程

( )f x =0 在 ( ),a b 内至少有一个实根。

定理 3.15（介值定理）若函数 ( )f x 在闭区间[ , 上连续，m 与 M

分别是

]a b

( )f x 在[ , 上的最小值与最大值，则对于介于 m 与 M 之

间的任意实数 c，至少存在一点ξ∈

]a b

( ),a b ，使得 f(ξ)=c.

§3.5 典型例题详解（P38）

复习思考题、作业：

9、10 40p∗

课后小结：

第 6 次课教案 2007 年 10 月 18 日 星期四

章 节：习题课

教学任务： 使学生理解与掌握极限的定义与运算，理解两个重要极限，

会利用法则及公式求极限.理解函数连续性概念，能够综合运用所学理论解决实际问题.

重点、难点： 小结第 3章.

教学内容提要：

测试题： 一. 填空

1. 函数 ( )f x =⎪⎩

⎪⎨⎧

二. 指出下列函数的复合过程

1. y=sinsin x 2. y=tanxx cosln

1+

3. y= [ ]52 3ln(1 −+ x

三. 求极限

1.12

1lim 22

0 −−−

→ xxx

x 2.

121lim 2

2

1 −−−

→ xxx

x 3.

121lim 2

2

−−−

∞→ xxx

x

4. x

xx

2sinlim0→

5. x

xx

2sinlim4π

→ 6.

xx

x

2sinlim∞→

7. xx

x21lim0

−→

8. x

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→

41lim2

9. x

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

41lim

四. 设 ( )f x = ， ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=

第 7 次课教案 2007 年 10 月 23 日 星期二

章 节：第 4 章 导数与微分 §4.1 导数的概念

教学任务： 使学生正确理解变化率问题，理解导数的概念及其几何意

义，掌握求导的公式与法则，会求函数的导数.

重点、难点： 1.导数的概念； 2. 求导的公式与法则.

教学内容提要：第 4 章 导数与微分 §4.1 导数的概念 4.1.1 两个实例 1.变速直线运动的瞬时速度

v=ts

t ΔΔ

→Δ 0lim =

0limtΔ →

0 0( ) (S t t S tt

)+ Δ −Δ

这个值最好地反映了物体在第 时刻的速度，称为瞬时速度. 0t

2. 总产量的变化率 4.1.2 导数概念

1. 导数的定义 x

xfxxfxy

xx Δ−Δ+

=ΔΔ

→Δ→Δ

)()(limlim 00

00

2. 导数的几何意义

)( 0xf ′ 是曲线 y= ( )f x 在点( ，0x 0( )f x ) 处切线的斜率.

3. 高阶导数 4.1.3 可导与连续

1 可导必连续 2 连续不一定可导 3 不连续一定不可导. 4.1.4 求导公式 (1) =0 C′

(2) =α ( )′αx 1−αx 211 xx −=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ( )

xx

21

=′

(3) ( ) aaa xx ln=′ ( ) xx ee =′

(4) ( )ax

ex

x aa ln1log1log ==′ ( )

xx 1ln =′

(5) ( )′xsin =cos x =-sin( ′xcos ) x ( )′tgx =x2cos

1 = x2sec

( ) 221 csc

sincotx x

x′ = − = − ( )sec sec tanx x x′ = ( )csc cscx xcotx′ = −

(6) ( )21

1arcsinx

x−

=′ ( )′xarccos =-21

1x−

( ) 21arctan

1x

x′ =

+ ( )arccotx ′ =- 21

1x+

4.1.5 函数的和、差、积、商的导数

定理 4.1 ( ) VUVU ′±′=′± ( ) VUVUUV ′+′=′

特别地 ( ) VCCV ′=′ （C 是常数）

2VVUVU

VU ′−′

=′

特别地 21

VV

V′

−=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

复习思考题、作业：

1 54P∗

课后小结：

第 8 次课教案 2007 年 10 月 25 日 星期四

章 节：§4.2 复合函数的求导法则 习题课

教学任务： 使学生熟练掌握复合函数的求导法则，会利用法则求函数

的导数.

重点、难点： 1. 复合函数的求导法则； 2. 利用法则求函数的导数.

教学内容提要： 复习求导公式与法则

§4.2 复合函数的求导法则

定理 4.2 dxdu

dudy

dxdy

=

注 复合函数求导数应当经过所有的中间变量。 Y→u→ x

例 4.2.1 设 y=sin3 x，求 dydx

.

解 dydx

= cos3 x·3= 3cos3 x

EX 求下列函数的导数

(1) y= (2)y=sin (3)y=x3sin 3x )5ln( 2 +x

(2) (4)y=( )221

1x+

(5)y=1001⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx (6)y= 3 21 x+

(7)y= xx + (8)y= (9)y=)1(cos 23 +x xxtg cosln21 2 +

(10)y=2

2cos

2sin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx (11)y=xxx

+−

11 求 )

21(f ′

测试题 1. 填空

（1）过曲线 y=x

x−+

44 上一点（2，3）的切线斜率是

（2）曲线 y= 3 x 在点（0，0）处的切线方程是

2. 求导

（1） (2) y=ln[cos(10+3 )] xx xxy +++= 33 33 2x

（3）y= sin2x x ln (4) y=5xxxx

1

（5）y=sin （6）y= x2 xsin2

3. 已知 y= 21cos

xx

+ ，求 π=′ xy

复习思考题、作业：

2 54P∗

课后小结：

第 9 次课教案 2007 年 10 月 30 日 星期二

章 节：§4 .3 微分及其应用 §4 .4 典型例题详解

教学任务： 使学生理解微分的概念，了解微分的几何意义，掌握微分

公式，会求函数的微分.

重点、难点： 1. 微分的概念的理解； 2. 微分公式的熟练应用.

教学内容提要：

§4 .3 微分及其应用 4.3.1 微分的概念 1. 定义

定义 4.2 对于自变量在 x处的改变量Δ x，如果函数 y= ( )f x 相应

的改变量Δy 可以表为 Δy=AΔ x +o(Δ x ) (Δ x→0)

其中 A 与Δ x无关，则称 y= ( )f x 在 x点可微。并称 AΔ x为 y= ( )f x

在点 x处的微分. 记作：dy 或 d ( )f x

即： dy=AΔ x 2. 微分的几何意义 4.3.2 微分公式

dy= Δ)(xf ′ x = tgαMN

4.3.3 微分在近似计算中的应用

例 4.3.5 求 3 8.02 的近似值

EX 求 (1) 5 95.0 (2) 的近似值 05.0e

思考题 4.3（P52）

§4 .4 典型例题详解（P53） 测试题 1. 填空：

（1） [ ]′)( 0xf = ( 0 )

（2）已知 y= ，则 = )(xfe y ′′ ( )(xfe ( )[ ])()( 2 xfxf ′′+′ ) （3）曲线 y= -33x x 上的切线在点 平行于 x轴

（4）若 y= (a>0 且 a≠1) ，则axlog y ′ =

（5）若 ( )f u 可导，且 y=f( ) ，则 dy= xe

2. 求下列函数的导数或微分

（1）y=3

cos5sin 23 xx 求 （2）y=y ′ x sin(ln x +4π ) 求 dy

复习思考题、作业：

3、4、5、6、7 55P∗

课后小结：

第 10 次课教案 2007 年 11 月 1 日 星期四

章 节：第 5 章 导数应用 §5.1 拉格朗日中值定理与罗比塔法则

教学任务： 使学生了解拉格朗日中值定理，正确理解罗比塔法则，并

会利用罗比塔法则求函数的极限.

重点、难点： 1.拉格朗日中值定理； 2. 罗比塔法则.

教学内容提要：第 5 章 导数应用 §5.1 拉格朗日中值定理与罗比塔法则 5.1.1 拉格朗日中值定理 定理 5.1 拉格朗日（Lagrange）中值定理

)(ξf ′ =ab

afbf−− )()(

定理 5.2 洛尔（Rolle）定理 5.1.2 未定式的定值法——罗比塔法则

定理 5.3（罗比达法则） 若函数 ( )f x 与 满足条件 ( )g x

（1） )(lim)(lim xgxfaxax →→

= =0；

(2) 在点 a 的某邻域内可导，且 )(xg ′ ≠0；

（3）)()(lim

xgxf

ax ′′

→=A（或∞）.

则必有)()(lim

xgxf

ax→=

)()(lim

xgxf

ax ′′

→=A（或∞）.

例 5.1.2 6

42

1lim1x

xx→−−

例 5.1.3 nx xxlnlim

+∞→

例 5.1.4 limx

x

ex→+∞

例 5.1.5 201lim

x

x

e xx→− −

例 5.1.6 0

sinlimsinx

x xx x→−+

例 5.1.7 limx x

x xx

e ee e

−

→+∞

+−

例 5.1.8 )ln1

1(lim

1 xxx

x−

−→

例 5.1.9 0

lim lnx

x x+→

求极限小结

复习思考题、作业：

1 76p∗

课后小结：

第 11 次课教案 2007 年 11 月 6 日 星期二

章 节：§5.2 函数的单调性与极值

教学任务： 使学生理解函数的单调性的定义与判别，会利用定理求函

数的极值.

重点、难点： 1. 函数的单调性的定义与判别； 2. 函数的极值.

教学内容提要：§5.2 函数的单调性与极值 5.2.1 函数单调性的判别

定理 5.4 设 ( )f x 在 ( 内可导，那么 ),a b

（1）若 x∈ ( ),a b ， 0)( >′ xf ，则 ( )f x 在 ( ),a b 内单调递增；

（2）若 x∈ ( ),a b ， 0)( 0，而 x

∈（ ， +δ），0x 0x )(xf ′

则 ( )f x 在 点取得极小值0x f ( )；③若0x x∈（ -δ， +δ）（0x 0x x

≠ ），0x )(xf ′ 不变号，则 ( )f x 在 点无极值. 0x

例 5.2.3 求 ( )f x = 4 33 4x x 1− + 的单调区间和极值

定理 5.7 设 )( 0xf ′ =0， 存在，那么①若)( 0xf ′′ )( 0xf ′′ >0 ，则 f ( )

是

0x

( )f x 的极小值；②若

第 12 次课教案 2007 年 11 月 8 日 星期四

章 节：§5 . 3 微分在经济学中的应用 §5 . 5 典型例题详解（P74）习题课

教学任务： 使学生懂得边际成本、边际收入、边际利润及最大利润原

则的含义，学会做边际分析及弹性分析.

重点、难点： 1.边际成本、边际收入、边际利润及最大利润原则的意义； 2. 边际分析及弹性分析.

教学内容提要：§5 . 3 微分在经济学中的应用 5.3.1 边际分析 1. 边际成本

( )C x′ = ( )0

( )limx

C x x C xxΔ →

+ Δ =Δ

边际成本的经济意义：在一定产量 x的基础之上，再增加一单位产品时应增加的总成本.即总成本对产量的变化率. 2. 边际收入

边际收入 ( )R x′ = ( )0

( )limx

R x x R xxΔ →

+ Δ =Δ

边际收入的经济意义：每增加一单位销量时总收入中增加的数量.即总收入对销量的变化率. 3. 边际利润

边际利润 ( )L x′ = ( )R x′ - ( )C x′

4. 最大利润原则： ( )R x′ = 且( )C x′ ( ) ( )R x C x′′ ′′<

5.3.2 弹性分析

测试题 1. 填空

（1）函数 y= ( )f x 在点 处可导，则0x xxfxxf

x Δ−Δ−

→Δ

)()(lim 00

0=

（2）若 ( 1)f x + = ，则xx +2 )(xf ′ =

（3）设 y= x ln x ，则 =′′ )1(f

（4）设 y= x x−6 在[0，6]上满足罗尔定理的条件，则定理中的

ξ=

（5）当 x =3 时，y= +p2x x +q 取极小值，则 p=

（6）设总成本为 C( x )=40 x +600，则边际成本为 2. 求导数或微分

（1）y=lntan2x求 dy （2）y= xx

1

求 1=′ xy

3. 某厂生产某产品 x件的固定成本是 1800 元，变动成本是2

2x +5 x

（元）.市场对该产品的需求规律是 x =280-2p (p 是价格)，试求利润最大时的产量，最大利润是多少？

复习思考题、作业：

5；6；7；8 76p∗

课后小结：

第 13 次课教案 2007 年 11 月 13 日 星期二

章 节：第 6 章 不定积分 §6.1 不定积分的概念与性质

教学任务： 使学生理解不定积分的概念与性质，掌握基本积分公式.

重点、难点： 1.不定积分的概念与性质； 2. 基本积分公式.

教学内容提要：第 6 章 不定积分 §6.1 不定积分的概念及性质 6.1.1 原函数与不定积分

定义 6.1 )(xF ′ = ( )f x 或 dF( x )= ( )f x d x

则称 F( x )是 ( )f x 的一个原函数。

定义 6.2 ∫ dxxf )( =F( x )+C 6.1.2 不定积分的性质 1. 积分与微分运算的互逆性质

（1） [ ]′∫ dxxf )( ( )= x 或 ∫ dxxfd )( = ( )f x d x f（2） 或 ∫ +=′ CxFdxxF )()( ∫ += CxFxdF )()( 2. 不定积分的运算性质

（1） （k≠0） ∫ ∫= dxxfkdxxkf )()(

（2） [ ] ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 6.1.3 不定积分的基本积分公式 例 6.1.1 求不定积分

（1） 21 1

2x x d

x x⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

x (2)2

21x dx

x+∫

（3） 2tan xdx∫ （4） 2 21

sin cosdx

x x∫

EX 求不定积分

（1） （2）∫ dxx7 ∫ dxe xx3

（3） ∫+ dxe

x

21 （4） ( )∫ + dxxx 22

（5） ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

dxx

eex

x 1 （6） ( )∫ +++ dxxxxx2

2

11

（7） ( )∫ ++ dx

xxx

22

2

121 （8） ∫ + x

dx2cos1

复习思考题、作业：

1（1）（2）（3） 84p∗

课后小结：

第 14 次课教案 2007 年 11 月 15 日 星期四

章 节：§6.2 不定积分的积分方法

教学任务： 使学生在基本掌握基本积分公式的基础之上，正确理解并

熟练掌握不定积分的凑微分法。

重点、难点： 1. 微分公式的熟练掌握； 2. 凑微分法。

教学内容提要：

§6.2 不定积分的积分方法 6.2.1 换元积分法 1. 第一换元法 （凑微分法） 问题的提出：我们先看一个例

( )∫ − dxx 25 = ( )∫ +−=+− xxxdxxx 255312510 232 +C

如果是求 ( )∫ − dxx 1005 呢？

例 6.2.1 22 cosx x dx∫

例 6.2.2 1 ln xdxx∫

例 6.2.3 求下列函数的不定积分

（1）1

2

1 xe dxx

−

∫ （2） ( )102 1x dx+∫ （3） sin cosx xdx∫

EX 求下列函数的不定积分

（1） (2)∫ xdx5sin ∫ − dxx11 （3） ∫ − dxx1 (4) ∫ dxa x3

常 见 的 凑 微 分 形 式

① ∫ ∫ ++=+ )()(1)( baxdbaxfa

dxbaxf

② ∫ ∫=− αααα α daxaxfadxxaxf )(1)( 1

③ ∫ ∫= xxxx deefdxeef )()(

④ ∫ ∫= xdxfxdxxf ln)(ln)(ln

⑤ ∫ ∫= xdxfxdxxf sin)(sincos)(sin

⑥ ∫ ∫−= xdxfxdxxf cos)(cossin)(cos

⑦ 21(tan ) (tan ) tan

cosf x dx f x d x

x=∫ ∫

⑧ 21( ) ( )

sinf cotx dx f cotx dcotx

x= −∫ ∫

⑨ ∫ ∫=−

xdxfdxx

xf arcsin)(arcsin1

1)(arcsin2

⑩ 21(arctan ) (arctan ) arctan

1f x dx f x d x

x=

+∫ ∫

复习思考题、作业：

84p∗ 1（4）～（9）

课后小结：

第 15 次课教案 2007 年 11 月 20 日 星期二

章 节：§6.2 不定积分的积分方法 §6.3 典型例题详解

教学任务： 使学生正确理解并熟练掌握不定积分的换元积分法和分部

积分法。

重点、难点： 1. 换元积分法； 2. 分部积分法。

教学内容提要： 2. 第二换元积分法

例 1 求不定积分 11 1

dxx+ +∫

EX 求不定积分

（1） ∫ − dxxx

3 (2) ∫ + 3 xx

dx（3） ∫ −1xx

dx (4) ∫ ++ 3 11 xdx

6.2.2 分部积分法

∫ ∫−= vduuvudv

例 6.2.5 求不定积分 ∫ xdxx cos

例 6.2.6 求不定积分 ∫ dxxe x

例 6.2.7 求不定积分 arctanx xdx∫

EX1 已知 ( )f x 的一个原函数是 ，求2xe− ∫ ′ dxxfx )(

EX2 已知x

xsin是 ( )f x 的一个原函数，求 ∫ ′ dxxfx )(

EX3 求不定积分

（1） （2） (3)∫ xdxln ∫ xdxarcsin ∫ xdxe x sin

（4） arctan xdx∫ (5) ∫ (6)xdxx ln ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ dx

xx 2ln

（7） ( )∫ ++ dxxx 21ln (8) arctan xdx∫ (9) ∫ xdxlnsin （10）

2

arctan1

x x dxx+∫

= 2arc n 1ta xd x+∫

（11） sin ln tanx xdx∫ =1ln tan cos cos ln tan

sinxd x x x dx

x− = − +∫ ∫

= cos ln tan ln cscx x x cotx C− + − +

思考题 6.2 §6.3 典型例题详解（P83）

注：“积不出” ∫ − dxe x2

∫ dxx 2sin ∫ dxxxsin

∫ dxxln1 ∫

+dx

x 411

复习思考题：

1（10）～（14） 84p∗

课后小结：

第 16 次课教案 2007 年 11 月 22 日 星期四

章 节：习题课

教学任务： 使学生深刻理解不定积分的基本概念，并熟练掌握不定积

分的计算方法。

重点、难点： 不定积分方法论的灵活运用。

教学内容提要：

EX 求下列函数的不定积分

（1） (2)( )∫ + dxx 10025 ∫ + dxx32 （3） ∫ + dxx 2)12(1

(4) ∫ + dxx 121 （5） （6）∫ − dxe x3 ∫ − dxx)52cos(

（7） tan xdx∫ （8） ∫ − dxx 211

= ( )∫ +−+

=+−−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+C

xxCxxdx

xx 11ln

211ln1ln

21

11

11

21

(9) (10)∫ xdxx 32 sincos ∫ + dxx 241 （11） ∫ − dxxx 32

(12) （13）∫ − dxxe x2

( )∫ +dx

xx

32 12 (14) ∫ dxxx 32 cos

（15） ∫ + dxxx

3

2

1 (16) ∫

− 21 xxdx

（17） (18)∫ dxxx 2sin( )∫

+ 32

3

2

28x

dxx

（19） ∫ dxxxcos (20) ∫ ++

+ dxxx

x1

122

（21） (22)∫ dxee xx sin ∫ xxdx

2ln

（23） ∫−

dxx

x21

arcsin （24） ∫−

dxe

ex

x

21

(25) ∫ xdxxlnsec2 （26） dx

xx

∫ +++

1)1ln(4

(27) ∫ − dxxxx)1(

arcsin （28） ∫ − dxee xx2

(29) ∫ dxxctgxsinln

(30) ∫−

− dxx

x21

12 (31) ∫ +− dx

xx

2491

复习思考题、作业：

补充作业

课后小结：

第 17 次课教案 2007 年 11 月 27 日 星期二

章 节：第 7 章 定积分 §7.1 定积分的概念与性质

教学任务： 使学生了解定积分的起源，从而知道定积分的几何意义；理

解定积分的概念与性质；掌握牛顿·莱布尼兹公式。

重点、难点： 1. 定积分的概念与性质； 2. 牛顿·莱布尼兹公式。

教学内容提要：

第 7 章 定积分 §7.1 定积分的概念与性质

7.1.1 两个实例 1. 曲边梯形的面积

例 求由曲线 y= ( )f x 、 x =a 、 x =b 及 x轴所围成的曲边梯形

的面积。 2. 变速直线运动的路程 7.1.2 定积分的概念

定义 7.1 ∫ = b

a

dxxf )( ∑=

→ΔΔ

n

iiix

xf10

)(lim ξ

7.1.3 定积分的几何意义

定积分 是介于曲线 y=∫b

a

dxxf )( ( )f x 、x =a、x =b、x轴之间各个

部分面积的代数和.位于 x轴上方的是面积的正值，而位于 x轴下方的是面积的负值.

7.1.4 定积分的性质

注 ☆f(ξ)= ∫−b

a

dxxfab

)(1 称为函数 ( )f x 在[ ],a b 上的平均值.

7.1.5 牛顿·莱布尼兹公式

引理 若 ( )f x 在[ ],a b 上连续，则dxd∫x

a

dttf )( = ( )f x x∈[ ] ,a b

即 被积函数变上限的定积分是被积函数的原函数. EX1 填空

（1）dxd∫x

t dte0

2 （2）dxd∫−1

2cosx

tdt （3）dxd∫

2

sinx

x

tdt

EX2 求极限

（1）x

dttx

x

∫→

0

2

0

coslim = =1 2

0coslim x

x→

（2） 2

1

cos

0

2

limx

dtex

t

x

∫ −

→=

xxe x

x 2sinlim

2cos

0

−

→= x

xe

xx 2cos

0

sin21lim

→=

e21

定理 7.1 若 ( )f x 在[ 上连续，且 F(],a b x )是 ( )f x 的一个原函数，

则 =∫b

a

dxxf )( baxF )( =F(b)-F(a) ——牛顿·莱布尼兹公式

复习思考题、作业：

（1）；（2）；（3） 94p∗

课后小结：

第 18 次课教案 2007 年 11 月 29 日 星期四

章 节：§7.2 定积分的积分方法 §7.3 典型例题详解

教学任务： 使学生理解并熟练掌握定积分的换元积分法和定积分的分

部积分法。

重点、难点： 1. 定积分的换元积分法 2. 定积分的分部积分法

教学内容提要：

定义广义积分 =∫+∞

a

dxxf )( +∞a

xF )( = F(+∞)-F(a)

其中 F(+∞)= ，若limx→+∞

( )F x limx→+∞

( )F x 存在，则称 收敛，

若其不存在，则称 发散.

∫+∞

a

dxxf )(

∫+∞

a

dxxf )(

§7.2 定积分的积分法

1. 凑微分法

例 7.2.1 求定积分2

5

0

cos sinx xdx

π

∫

例 7.2.2 求定积分1

lne x dxx∫

2. 第二换元积分法

注：换元的同时换上下限.

例 7.2.3 求4

0

11

dxx+∫

关于奇偶函数在对称区间上的积分：

（1） 若 ( )f x 是奇函数，即 ( )f x− =- ( )f x ，则 =0； ∫−

a

a

dxxf )(

（2） 若 ( )f x 是偶函数即 ( )f x− = ( )f x ，则 =2 . ∫−

a

a

dxxf )( ∫a

dxxf0

)(

7.2.2 分部积分法

定积分的分部积分公式：

∫∫ −=b

a

b

a

b

a

vduuvudv

例 7.2.4 ∫1

0

dxxex

例 7.2.5 ∫e

xdx1

ln

复习思考题、作业：

（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 94p∗

课后小结：

第 19 次课教案 2007 年 12 月 4 日 星期二

章 节：习题课

教学任务： 使学生深刻理解定积分的基本概念及性质，熟练掌握定积

分的计算方法。

重点、难点： 1. 定积分与不定积分的区别与联系 2. 定积分计算方法的熟练掌握

教学内容提要： EX1 求下列定积分

(1) dxxx∫ +1

0

21 （2） ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2

1

1 dxx

e x (3) ∫−+2

1

2 32 dxx

xx

（4） ∫−

21

021

1 dxx

(5) ∫2

12

1 dxx

（6） ∫+3

2

1 dxx

x

(7) ∫ +2

024

1 dxx

(8)( )∫ +

1

0321 x

xdx （9） ∫−

21

021 x

xdx

(10) ∫+e dxx

x

1

ln2

（12）设 f(x)=⎩⎨⎧

≤

（13）设 ( )f x = ，求 ⎩⎨⎧

≤<≤≤

215102

xxx

∫2

0

)( dxxf

EX2 求下列定积分

（1）求 ∫ +8

0311 dx

x 3ln3 （2）

( )∫ +2

0 2324 x

dx 82

EX3 求下列定积分

（1） ∫2

0

cos

π

xdxx 12−

π （2） ∫1

0

xarctgxdx21

4−

π

（3） ∫e

xdxx1

ln ( 141 2 +e ) （4） ∫

8

0

2coscossin

π

xdxxxx 641

（5） ∫3

4

2sin

π

π

dxx

xdx （6） ( )∫∫ −=4

0

24

03

2

1secseccossin

ππ

dxxxdxxx

（7） ( )∫1

0

2arcsin dxx 24

2

−π

复习思考题、作业：

补充练习

课后小结：

第 20 次课教案 2007 年 12 月 6 日 星期四

章 节：第 8 章 定积分应用 §8.1 积分应用

教学任务： 使学生更深刻地理解定积分的概念及其应用，熟练运用定

积分的微元法求平面图形的面积及求解经济类问题。

重点、难点： 1. 求平面图形的面积 2. 求解经济类问题

教学内容提要： 第 8 章 定积分的应用

§8.1 积分应用 8.1.1 定积分应用的微元法 微元法:

（1） 选积分变量 x∈ [ ],a b ，任取一个微小区间[ ],x x dx+ ，然后写出这个小区间上所对应的“待求量”A 的部分量△A 的近

似值.记 ( )dA f x dx= ，称为 A 的微元.

（2） 将微元 ( )dA f x dx= 在 [ ],a b 上积分（无限累加），即得

( )b

a

A f x dx= ∫ .

8.1.2 用定积分求平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积计算

（1） x—型区域 S= [ ]∫ −b

a

dxxgxf )()(

（2）y—型区域 S= [ ]∫ −d

c

dyyy )()( ψϕ

8.1.2 定积分在经济上的应用 在许多问题中，已知边际函数求总函数或最大值的问题，就是积分的应用问题. 例 8.1.2 （P98） EX1 已知某商品每周生产 Q 单位时，总费用的变化率是 f(Q)=0.4Q-12 求总费用 F（Q）.若商品的销售单价是 20 元，求总利润.并求每周生产多少单位时获利最大？最大利润是多少？ EX2 某厂生产某种产品 Q 百台的总成本 C（Q）（单位：万元）的

边际成本为 )(QC ′ =2，固定成本为零.边际收益是 )(QR′ =7-2Q，

求（1）当产量为多少时，总利润最大？（2）在利润最大的基础之上又生产 50 台，总利润变化几何？

EX3 设某产品的边际成本为2

6)( QQC +=′ (单位： 百件万元 )

边际收入为 )(QR′ =12-Q (单位： 百件万元 )

求（1）当产量为多少时，总利润最大？ （2）已知固定成本 C（0）=5 万元，写出总成本和总利润与产量的函数关系； （3）在利润最大的基础之上又生产 2 百件，总利润将怎样变化？

复习思考题、作业：

99p∗ 1；2

课后小结：

第 21 次课教案 2007 年 12 月 11 日 星期二

章 节：§8.2 典型例题详解 习题课

教学任务： 使学生能够综合运用积分概念及其计算方法，将数学知识

恰当地运用到其专业知识领域。

重点、难点： 综合运用数学知识的能力

教学内容提要：

测试题 一. 填空 1.sin2 x是 2cos2 x 的原函数；

2.在区间 [a，b]内，如果 )()( xgxf ′=′ ，则 f( x )= g( x )+C

3.若 ∫ = dxedxxfx33)( ，则 f( x )= 3

x

e

4.设 f( x )的一个原函数是x1，则 )(xf ′ = 3

2 x

5.设 是 f(xe− x )的一个原函数，则 ∫ dxxxf )( = x +1)+C x−e (

6. = sin( )∫ ′dxxsin x +C

7. = 0 ∫−

2

2

2 sin xdxx

8. ∫ +0

211

x

dttdx

d = 211t+

−

9.若 =2 ，则 k= 1 ( )∫ +1

0

2 dxkx

10. =′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫b

a

dxxf )( 0

二.计算下列积分

1. dxxxx∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛ −112 2. 3

ln x dxx∫

3.1

20

2 31

x dxx

−+∫ 4.

20

1

1

xxe dx−−∫

5. eedxexexdedxxe xxxxx =−=+−=−=∞+−

+∞−∞+−

+∞−

+∞− ∫∫∫ 0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

三.求曲线 xy 2= 及过该曲线上点（2，2）的切线与 x =0 所围成

的平面图形的面积. 四.某产品总成本的变化率为C′=1，总收益的变化率为R′=5-Q（单

位台

万元 ）.求产量为多少时，总利润最大?最大利润是多少？

复习思考题、补充作业：

课后小结：

第 22 次课教案 2007 年 12 月 13 日 星期四

章 节：第 12 章 矩阵 §12.1 行列式

教学任务： 使学生理解行列式的定义及性质，会利用行列式的定义及性

质计算行列式的值；掌握克拉默法则。

重点、难点： 1. n 阶行列式的定义

2. 行列式的性质

3. 克拉默法则

教学内容提要：

§12.1 行列式 12.1.1 二元线性方程组与二阶行列式

行列式起源于求解线性方程组，在许多实际问题中，常常会

碰到求解线性方程组的问题.

对于二元一次方程组 ⎩⎨⎧

=+=+

2222121

1212111

bxaxabxaxa

解为

2221

1211

222

121

11

aaaaabab

DD

x ==

2221

1211

221

111

22

aaaababa

DD

x == （克拉默法则）

定义 12.1 由 个元素 组成的记号 2n ( , 1, 2, , )ija i j n=

D= ∑=

=n

jjj

nnnn

n

n

Aa

aaa

aaaaaa

111

21

22221

11211

称 为 n 阶 行 列 式 .

ijA = ( 1)i j+− ijM 称为 的代数余子式，ija ijM 称为 D 中元素 的余子

式.

ija

12.1.3 行列式的性质 性质 1 行列互换，行列式不变。 性质 2 交换行列式的两行（列），行列式反号. 推论 两行（列）相同，行列式为零. 性质 3 一行（列）的公因子可以提出去.

或者说：以一数乘以行列式的一行（列）就相当于用这个数

乘此行列式. 推论 两行（列）成比例，行列式为零.

性质 4

333231

332211

131211

aaacbcbcb

aaa+++ =

333231

321

131211

aaabbbaaa

+

333231

321

131211

aaacccaaa

即：如果某一行（列）是两组数的和，那么，这个行列式就

等于两个行列式的和，而这两个行列式除了这一行（列）以外全

与原来行列式的对应行（列）一样.

性质 5 以一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变.

复习思考题、作业：

162P∗ 1（1）；（2）；（3）

课后小结：

第 23 次课教案 2007 年 12 月 18 日 星期二

章 节：§12.2 矩阵的概念 §12.3 矩阵的运算

教学任务： 使学生正确理解矩阵的概念，理解一般线性方程组的矩阵

表达，学会矩阵的加法、数乘及乘法运算。

重点、难点： 1. 矩阵的概念

2. 矩阵的乘法

教学内容提要：

§12.2 矩阵的概念 12.2.1 引例

引例 设有一般线性方程组

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mmmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

2211

22222121

11212111

A=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

21

222221

111211

定义 12.3 由 m×n 个数 （ =1，2，…，m；j=1，2，…，n）

排成的一个 m 行 n 列的矩形表，称为一个 m×n 矩阵，记做

ija i

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

其中 称为矩阵第 行第 j 列的元素. ija i

一般地，我们用大写字母 A、B、C … 表示矩阵. 12.2.2 几种特殊的矩阵

§12.3 矩阵的运算 12.3.1 矩阵的线性运算 定义 12.4 矩阵的相等： A=B

定义 12.5 数与矩阵的乘法（数乘） kA= ( ) nmijnmij kaak ×× = )( 定义 12.6 矩阵的加法

设 A= ( )nmij

a×，B= ( )

nmijb

×，则 A+B= ( )

nmijijba

×+

定义 12.7 矩阵的减法 A-B=A+（-B） 12.3.2 矩阵的乘法运算

定义 12.8 设矩阵 A= ( )ik m la × ，B= ( )kj l nb × ，则矩阵 A 与 B 的乘积定

义 C=AB= 1

l

ik kjk m n

a b= ×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑

复习思考题、作业：

162P∗ 2；3；4

课后小结：

第 24 次课教案 2007 年 12 月 20 日 星期四

章 节：§12.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩

教学任务： 使学生理解与掌握矩阵的初等变换，理解矩阵的秩的概念，

会利用矩阵的初等变换求矩阵的秩.

重点、难点： 1. 矩阵的初等变换 2. 矩阵的秩

教学内容提要：

§12.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 定义 12.9 对矩阵施以下列 3 种变换，称为矩阵的初等变换. （1） 交换矩阵的两行（列）； （2） 以一个非零数 k 乘矩阵的某一行（列）； （3） 把矩阵的某一行（列）的 l 倍加到另一行（列）上. 定义 矩阵 A 与 B 称为等价的，如果 B 可以由 A 经过一系列初等变换得到.

记做 A～B. 不难证明：A～A（反身性） 若 A～B，则 B～A 若 A～B，B～C，则 A～C 定义 12.10 对单位矩阵 E 施以一次初等行（列）变换后得到的矩阵，称为相应的初等行（列）矩阵. 定理 12.3 对于一个 m×n 矩阵 A 作一次初等行（列）变换，相当于在 A 的左边（右边）乘上相应的 m 阶（n 阶）初等行（列）

矩阵. 定理 12.4 任意一个 m×n 矩阵 A 都与简化阶梯形矩阵 等价，它称为矩阵 A 的标准形.（主对角线上 1 的个数等于 A 的秩；1 的个数可以是零）.

定义 12.11 矩阵A= ( )ija 的阶梯形矩阵中非零行的数目称为矩阵A的秩. 记做 r（A） 定义 12.12 对 n 阶方阵 A，若 r（A）n，则称 A 为满秩矩阵，或非奇异矩阵.

显然若 A 是满秩的则 01 ≠=A .

事实上 n 阶矩阵 A 是满秩的⇔ 0≠A .

定理 12.5 可逆矩阵总可以经过一系列初等变换化成单位矩阵. 推论 n 阶矩阵 A 是满秩的 A 可以表成一系列初等矩阵的乘积. ⇔ 用初等变换的方法求矩阵的秩 定理 初等变换不改变矩阵的秩.

复习思考题、作业：

163P∗ 5

课后小结：

第 25 次课教案 2007 年 12 月 25 日 星期二

章 节：§12.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩

教学任务： 使学生理解与掌握矩阵的初等变换，理解矩阵的秩的概念，

会利用矩阵的初等变换求矩阵的秩.

重点、难点：

1. 求可逆矩阵的逆矩阵

教学内容提要：

EX

（1）2 + = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 02

31⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −1132

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 13

34

（2）设 A= ，则⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−−

110021211

A3 = -27；3 A = -3

（3）设 A=（1，2），B=（2，1），又 C= ，则 = TA B 99C 982 1

44 2

（4）设 A= ，B= ，则 BA= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 012

301

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

043211

（4） 设 A= ( )3ij

a ，若 A =-2，则 AA =

EX1 化矩阵 A= ；A= 成标准形. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

210253143212

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−− 523012101

EX2 化矩阵 A= ； 成标准形. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

41201013

2101

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

412320

101321

EX1 求矩阵 A= 的秩

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

154140131021

1001

EX2 求矩阵 A= 的秩

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−

5341112332122131

EX3 求矩阵 A= 的秩

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

41221283123122

复习思考题、作业：

补充作业

课后小结：

第 26 次课教案 2007 年 12 月 27 日 星期四

章 节：§12.5 逆 矩 阵

教学任务： 使学生理解逆矩阵的定义与性质，理解伴随矩阵的定义，会

利用矩阵的初等变换求可逆矩阵的逆矩阵。

重点、难点： 2. 逆矩阵的定义

3. 伴随矩阵的定义

4. 求可逆矩阵的逆矩阵

教学内容提要：§12.5 逆 矩 阵 12.5.1 逆矩阵的定义 定义 12.13 对于 n 阶矩阵 A，如果存在 n 阶矩阵 B，使得 AB=BA=E 那么矩阵 A 成为可逆矩阵，而 B 称为 A 的逆矩阵. 例 12.5.1 单位矩阵 E 的逆矩阵是它本身. 例 12.5.2 零矩阵不可逆. 逆矩阵的性质： 性质 1 如果矩阵 A 可逆，则 A 的逆矩阵是唯一的。

性质 2 =A ( ) 11 −−A

性质 3 ( ) ( )TT AA 11 −− = 性质 4 11 −− = AA

性质 5 ( ) 111 −−− = ABAB

性质 6 ( ) 11 1 −− = Ak

kB （k 是数）

定理 12.6 矩阵 A 可逆⇔ A ≠0.

12.5.2 用初等变换求逆矩阵

伴随矩阵： 设有 n 阶矩阵 ，则

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A 中元素 的

代数余子式 所构成的 n 阶矩阵 称为 A 的伴

随矩阵，记做 .

ija

ijA

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

21

22212

12111

*A

用初等变换的方法求可逆矩阵的逆矩阵

作一个 n×2n 矩阵（AE），对此矩阵施以仅限于行的初等变换，

则使 A 化成 E 的同时，E 就化成 了. 1−A

例 12.5.3 （P159） 例 12.5.4 （P159）

复习思考题、作业：

163P∗ 6；7

课后小结：

第 27 次课教案 2008 年 1 月 8 日 星期二

章 节：习题课

教学任务： 使学生正确理解与掌握行列式与矩阵的定义与基本计算方

法，能够综合运用所学理论解决一般线性方程组的问题.

重点、难点： 行列式与矩阵知识的恰当运用

教学内容提要：

复习思考题、作业：

补充作业

课后小结：

第 28 次课教案 2008 年 1 月 10 日 星期四

章 节：总复习

教学任务： 辅导答疑

重点、难点： 经济应用数学的综合运用

教学内容提要：

复习思考题、作业：

补充作业

课后小结：

第1.2.3章.doc第4.5章.doc第6.7.8章.doc第12章.doc