数理統計講義資料確率論の基礎hchigira/st1611.pdf · 次元確率変数（個の確率変数）だけで経済データを扱えるか例所得の調査宮城県民の所得の母集団分布

数理統計講義資料��

確率論の基礎��

��多次元の確率変数・確率分布��

� ��

� はじめに�次元確率変数（�個の確率変数）�だけで経済データを扱えるか�

例�� 所得の調査宮城県民の所得の母集団分布� ��（�次元確率変数）

� 平均所得を調べるため、�人にアンケート

� �� で�次元確率変数

例� 所得と消費の調査宮城県民の所得�と消費� の母集団分布（次元確率変数）

� �と� の関係を調べるため、�人にアンケート

� �� で�次元確率変数

� ��

�アンケートデータの扱い確率変数同士の関係性の記述

などのために多次元確率変数を考える

� ��

講義の構成� 離散な多次元確率変数

�� 連続な多次元確率変数

�� 独立で同一分布な多次元確率変数� ��

� 離散な多次元確率変数

❏ 同時確率関数

つの離散確率変数�、� を考える

�

�

��

�

�

�

��

� ��

同時確率関数（�� ）�

�� （�が�をとり、かつ� が�をとる確率）

� ��

Æ ��の性質� ��

�

�

��

��

Æ �次元確率変数の��

�� となり、� ��

��

��

� ��

❏ 周辺確率関数�つの確率変数�（または�）だけに着目したい

�

�

��

�

�

� ��

� ��

� ��

��

周辺確率関数（�� ）��

��

� ��

（� に関わらず、�が�をとる確率）

��

� �� （�に関わらず、� が�をとる確率）

� ��

Æ ��の性質� �� 、 ��

�

�

�� 、

��

��


��の��

��

��

��の��

��

��

��

� ��

❏ 条件付き確率関数�が� に応じてどう変わる（または� が�に応じてどう変わる）�

� �� ! � �

��

��

�

�

�

�

��

��

�

�

�

� ��

��

�� "

��! �

��

��

��

�

� ��

��

�

� �

��

条件付き確率関数（�� ）��

��

� ��

（� が�をとった時に、�が�をとる確率）

��

� ��

（�が�をとった時に、� が�をとる確率）

� ��

Æ ��の性質� �� 、 ��

�

�

�� 、

��

��


��の��

��

��の��

��

��

� ��

❏ 独立性�と� が無関係なことを表す

�と� が独立� ��

� ��

� ��

Æ �次元確率変数の独立性

�� は互いに独立 � ��

��

� ��

❏ 同一分布性�と� の��が同じなら�と� は同一分布

Æ �次元確率変数の同一分布性

�� の��が同じなら�� は同一分布

❏ 独立かつ同一分布

�� は互いに独立で同一分布（�� !�!� !��

� !�� #��! � ��）

��

� ��

❏ 実例

日本全国の$$�%�世帯の居住地と、現居住のタイプ�� 人口$万人以上の市、� �� それ以外の都市と町村

� �� 持ち家、� �� 持ち家ではない分割表�

�

�

��

�

�

� � 計� ��$& �� %

� �� $& ��&�

計 ��&� �$��% $$�%�

総務省『全国消費実態調査』（��年）より作成

�

便宜上、この$$�%�世帯を母集団と考えて各種の母集団分布を計算してみる（本当の母集団は日本全国の全世帯で約

��万世帯）

� ��

��と��（先の表のセルにある値を$$�%�で割る）

�

�

��

��

�

�

� � ��

� ��$�� $ ��&&�

� ��%� ��& ��

�� &% ��& �

��

都市部に住みかつ持ち家� �� $��

住む場所に関わらず持ち家� �� &%

家のタイプに関わらず都市部に住む� �� &&�

といったことが解る

ここで、明らかに ��

なので�と� は独立ではない。居住地と家のタイプには関係があるので��を計算してみる

� ��

��

�

�

��

�

�

� �

�� "

��! �

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�$��

�&&� � �%

��$

�&&� ��

�

��%�

�� %��

��&

��

都市部の持ち家率 �� は町村部の持ち家

率 �� より低い

ちなみに、 ��

��

��。つまり、

母集団を都市部に住む人に限定した際の持ち家率と考えられる

� ��

� 連続な多次元確率変数

❏ 同時確率密度関数

つの連続確率変数�、� を考える同時確率密度関数（�� !�#�� ）�

�� （�が�をとり、かつ� が�をとる確率密度）

Æ �� の性質

� ��

��


��

� ��

❏ 周辺確率密度関数�つの確率変数�（または�）だけに着目したい

周辺確率関数（�� !�#�� ）��

�� （� に関わらず、�が�をとる確率密度）

��

�� （�に関わらず、� が�をとる確率密度）


��の��

� � �

��

��の��

� � �

��

� ��

❏ 条件付き確率密度関数�が� に応じてどう変わる（または� が�に応じてどう変わる）�

条件付き確率密度関数（�� !�#��

��

� ��

（� が�をとった時に、�が�をとる確率密度）

��

��

（�が�をとった時に、� が�をとる確率密度）


��の��

��

��の��

��

��

� ��

❏ 独立性�と� が無関係なことを表す

�と� が独立 � ��

� ��

� ��

Æ �次元確率変数の独立性

�� は互いに独立 � ��

��

� ��

❏ 同一分布性�と� の�� が同じなら�と� は同一分布

Æ �次元確率変数の同一分布性

�� の�� が同じなら�� は同一分布

❏ 独立かつ同一分布

�� は互いに独立で同一分布（�� !�!� !��

� !�� #��! � ��）

��

� ��

� 独立で同一分布な多次元確率変数

アンケートデータ等に関して、

��

という仮定を置くことが非常に多い（もしくは��となるようにアンケート等を取る）

❏ 数学的な計算の簡単化

�次元確率変数��

�

��次元��

�次元��

�が大きいと計算が大変

� ��

�� を仮定

��

��

独立

��

同一分布

��

��

独立

��

同一分布

��

��次元��

�次元��

が��次元��

�次元� � � ��

になり、計算が大幅に簡単化

� ��

❏ 偏りの無いデータ��となるようアンケートを取ると、一般に偏りの無いデータ

が得られる

例� 講義の成績履修者��人の母集団分布�

�� $� ��

平均成績を調べるため、人にアンケートを取る

�

�人目を��人から無作為に選ぶ。�� 。�人目は

'さん（成績は�）になった

�

人目も、�人目が'さんだったこととは無関係に、��人から無作為に選ぶ。�� 。人目は(さん（成績は�）になった

� ��

この時は�� 。平均成績��$は

�� &に近い

例（続き）� 講義の成績先ほどの例で、人目を'さんの友人��人の中から無作為に選ぶとする

�

��

�� さん� �

�� さん� ��

�� $�� さん� �

で、人目は)さん（成績は$）になった

この時は�� ではない。 ��

�� さん�は ��とは大きく異なり、平均成績��$

は�� &から遠い

� ��

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