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CE-715 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICAMATEMÁTICA I

NOTAS DE AULAS

Estas notas seguem de muito perto a bibliografia referenciadaabaixo e que correspondem aos livros textos deste Curso. Sugere-se a sua aquisição. O único objetivo destas notas éfacilitar as atividades dos alunos em sala de aula, pois nãoprecisarão anotar conteúdos e enunciados de exercícios. Deforma que o aluno tem um maior conforto em sala de aula e o

professor poderá explicar os temas de forma mais rápida. De

nenhuma maneira a leitura ou consulta da bibliografia estádescartada, isto é dever do aluno.

Anselmo Chaves Neto

BIBLIOGRAFIA[1] JAMES, BARRY R. - Probabilidade, um curso em nível intermediário, 2a. ed., IMPA (RJ),

1996.[2] DEGROOT, M.H. – Probability and Statistics, ed. Addison-Wesley Publishing

Company, Inc., 1975.[3] MOOD A. M., GRAYBILL F., BOES, D. C. – Introduction to the Theory of Statistics,

McGraw-Hill Book Company, 17 ª imp., 1986.[4] BICKEL, P. J. & DOKSUM, K.A. – Mathematical Statistics, Basic Ideas and Selected

Topics, ed. Holden Day Inc., 1977.[5] MEYER, P.L. - Probabilidade, Aplicações à Estatística, Ed. Livros Técnicos e

Científicos Editora S.A., 1972.[6] SPIEGEL, M.L. - Probabilidade e Estatística, Coleção Schaum, Ed. McGraw-Hill., 1978.[7] Montgomery, D. C. & Runger, G. C. – Estatística Aplicada e Probabilidade para

Engenheiros, 2

a.

ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro(021-2221-9621/fax 021-2221-3202), 2003.[8] Triola, M. F. – Introdução à Estatística, 7ed., ., LTC – Livros Técnicos e Científicos

Editora S.A., Rio de Janeiro (021-2221-9621/fax 021-2221-3202), 1999.

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SUMÁRIO

1. CONCEITOS INICIAIS...........................................................................................4

1.1- CONJUNTOS................................................... ........................................................... .................................. 4

1.2 - AMOSTRAS ORDENADAS E NÃO-ORDENADAS: Princípio Fundamental da Contagem,Diagrama em Árvore e Análise Combinatória ................................................................... ................................ 7

1.2.1 - Princípio Fundamental da Contagem....................................................... ........................................... 7 1.2.2 - Amostras Ordenadas..................................................... ........................................................... ............. 7 1.2.3 - Amostras não-ordenadas ........................................................ ........................................................... ... 9

2. PROBABILIDADE E MODELOS DE PROBABILIDADE .....................................12

2.1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS ................................................................. ............................................ 12

2.2 - PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE....... ................................................................ ....................... 15

2.3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS: ...................................... 17 2.3.1 - Probabilidade Condicional ..................................................... ........................................................... . 17 2.3.2 Teorema da Multiplicação ou da Probabilidade Composta ...............................................................18 2.3.3 - Independência de eventos ....................................................... ........................................................... . 18

2.4 - EVENTOS ALEATÓRIOS......................................................... ............................................................ ... 19 2.4.1 - Eventos Mutuamente Exclusivos.................................................. ...................................................... 19 2.4.2 - Eventos Independentes........................................................... ........................................................... . 19 2.4.3 - Propriedades de Eventos Independentes ...........................................................................................19

2.5- PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL ..................................................... ......................................... 21 2.5.1- Teorema da Probabilidade Total ..................................................... ................................................... 21 2.5.2- Teorema de Bayes........................................................... ........................................................... ........... 22

3. VARIÁVEL ALEATÓRIA ......................................................................................25

3.1- VARIÁVEL ALEATÓRIA .......................................................... ............................................................ ... 25

3.2 - FUNÇÃO DE PROBABILIDADE (f.p.) E FUNÇÃO DENSIDADE de PROBABILIDADE (f.d.p.).26 3.2.1- Distribuição de Probabilidades ........................................................ ................................................... 27

3.3. ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA......................................... ........... 38 3.3.1. Definições..................................................... ........................................................... ............................... 38

3.4. ESPERANÇA DE FUNÇÕES DE VARIÁVEL ALEATÓRIA E DESIGUALDADES......................... 46 3.4.1 Esperança de uma Função de Variável Aleatória .........................................................................46 3.4.2 Desigualdades ................................................... ........................................................... ..................... 46 3.4.3 Momentos .......................................................... ........................................................... ..................... 48

3.5. VETORES ALEATÓRIOS: DISCRETOS E CONTÍNUOS................................................................... 49 3.5.1- Independência de variáveis aleatórias ....................................................... ......................................... 50 3.5.2- Função de variáveis aleatórias: transformação de variáveis ............................................................53

3.6 - FUNÇÃO GERATRIZ DE MOMENTOS............................................................. ................................... 55

3.7 - FUNÇÃO CARACTERÍSTICA ..................................................................... ........................................... 59

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4. LEI DOS GRANDES NÚMEROS..........................................................................62

4.1- Convergência em Seqüências de Variáveis Aleatórias. ................................................................ ............. 62

4.2-Lei dos Grandes Números: Lei Fraca e Lei Forte .................................................................... .................. 64 4.2.1- Introdução................................................... ........................................................... ............................... 64

4.2.2- Lei Fraca dos Grandes Números...................................................... ................................................... 64 4.2.3- Lei Forte dos Grandes Números ...................................................... ................................................... 66

5. TEOREMA CENTRAL DO LIMITE .......................................................................68

6. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS............................................................................70

6.1 NOÇÕES DE POPULAÇÃO E AMOSTRA............................................................................................... 70

6.2 – ESTATÍSTICA: MOMENTOS AMOSTRAIS.................... ................................................................ .... 71

6.3. AMOSTRAGEM DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL...................................................................... ............ 72

7. SUFICIÊNCIA .......................................................................................................75

7.1- INTRODUÇÃO.... ....................................................... ............................................................ ..................... 75

7.2- TEOREMA DE NEYMAN-FISHER OU TEOREMA DA FATORIZAÇÃO........................................ 79

7.3- FAMÍLIA EXPONENCIAL UNIPARAMÉTRICA......................................................... ........................ 81

7.4- FAMÍLIA EXPONENCIAL K-PARAMÉTRICA....... ................................................................ ............. 83

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................85

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1. CONCEITOS INICIAIS

1.1- CONJUNTOS

Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementosdo conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas A, B, C,...., N,... e a suarepresentação é feita por enumeração dos elementos, p.ex. D = {1,2,3,4,5,6} ou porcompreensão, p.ex. Z+ = {x ∈ R x > 0}.

EXEMPLOS:

1) Conjunto dos números naturais Ν = {0, 1, 2, 3, ... };2) Conjunto dos números das faces de um dado D = {1, 2, 3, 4, 5, 6};3) Conjunto das faces de uma moeda F = {cara, coroa}.

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

A relação existente entre elemento e conjunto é a de pertinência.

EXEMPLOS:

1) 3 ∈ N 2) -1 ∈ Z 3) 2 ∉ N 4) 2 ∈ R

SUBCONJUNTO

Seja o conjunto A, tal que todo elemento de A é também elemento do conjunto B. Entãodizemos que A é subconjunto de B.

RELAÇÃO DE INCLUSÃO

A relação existente entre subconjunto e conjunto é a de inclusão.

EXEMPLOS:

1) Seja B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {2, 4, 6}, então A está contido em B ou B contém A e

representa-se por: A ⊂ B ou B ⊃ A .

CONJUNTO VAZIO

O conjunto que não possui nenhum elemento é chamado de vazio e representado por ∅.

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CONJUNTO UNIVERSO

O conjunto que contiver todos os demais conjuntos é chamado de conjunto universo erepresentado por U.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Entre conjuntos existem as seguintes operações:

1a.) UNIÃOO conjunto de todos os elementos (pontos) que pertencem ao conjunto A ou

pertençam ao conjunto B ou a ambos é chamado UNIÃO de A e B e denotado por A∪B.U

Diagrama de VennA

B

2a.) INTERSECÇÃOO conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B é

chamado interseção entre A e B e representado por A ∩ B.

EXERCÍCIO:

Represente por um diagrama de Venn a intercessão dos conjuntos A e B.

3a.) DIFERENÇAO conjunto formado pelos elementos de A e que não pertencem a B é chamado

diferença entre A e B e denotado por A - B. Se B ⊂ A, então A - B é chamado decomplemento de B em relação a A e representado por B A

c e se A é o conjunto universo A - Bé chamado de complemento e representado por Bc.

EXERCÍCIO:

Represente por um diagrama de Venn a diferença dos conjuntos A - B e U - B.

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CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO

Dado o conjunto A, chamamos conjunto das partes de A ao conjunto formado por todos os

subconjuntos de A e o representamos por P (A). Assim, definimos o conjunto das partes por P (A) = {X X ⊂ A}.

EXERCÍCIOS:

1) Dado o conjunto A = {a,b,c}, pede-se o conjunto das partes de A;

2) Mostre que o número de elementos de P (A) (cardinal de A) é sempre 2n, onde n é onúmero de elementos de A.

CONJUNTOS DISJUNTOS

Os conjuntos A e B são chamados de disjuntos quando a sua interseção é um conjunto vazio,

ou seja, A ∩ B = ∅.

EXERCÍCIOS:

1.1.1) Mostre que os conjuntos A = {2,4,6} e B = {1,3,5} são disjuntos.1.1.2) Prove, usando as operações com conjuntos, as seguintes propriedades de conjuntos:

a) A∪B = B∪A - Lei Comutativa da União b) A∪(B∪C) = (A∪B)∪C = A∪B∪C - Lei Associativa da Uniãoc) A∩B = B∩A - Lei Comutativa da Interseção

d) A∩(B∩C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C - Lei Associativa da Interseçãoe) A∩( B∪C) = (A ∩ B) ∪ (A∩C) - Lei distributiva da Interseçãof) A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) - Lei distributiva da Uniãog) A - B = A ∩ Bc

h) Se A⊂ B, então Ac ⊃ Bc ou Bc ⊂ Ac i) (A∪B)c = Ac ∩ Bc - 1a. Lei de De Morgan

j) ( A ∩B)c = Ac∪Bc - 2a. Lei de De Morgank) A = (A ∩B) ∪ (A∩Bc)

1.1.3) Seja A o conjunto de todos os reais cujos quadrados são iguais a 25. Descreva A.1.1.4) Sejam os conjuntos A = {x ∈ℜ x é inteiro impar} e B = {x ∈ℜ x2-8x+15=0}, mostre

que B⊂ A .1.1.5) Seja o conjunto Ω = {0, 1, 2}. Quantos elementos tem o conjunto das partes de Ω?

Descreva o conjunto das partes de Ω, P (Ω).1.1.6) Verifique se os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {10, 20, 30} são disjuntos.1.1.7) Prove que se A⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.1.1.8) Álgebra de subconjuntos, A, do conjunto não-vazio Ω é uma classe de subconjuntos de

Ω satisfazendo os axiomas:• A1) Ω ∈ A • A2) Se A ∈ A ⇒ Ac ∈ A

• A3) Se A ∈ A e B ∈ A ⇒ A∪B ∈ A

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Desta forma, mostre que valem ainda para a álgebra de conjuntos as seguintes propriedades:• A4) ∅ ∈ A

• A5) ∀n, ∀A1, A2, ......, An ∈ A tem-se Aii

n

=1∪ ∈ A e Ai

i

n

=1∩ ∈ A

1.2 - AMOSTRAS ORDENADAS E NÃO-ORDENADAS: Princípio Fundamentalda Contagem, Diagrama em Árvore e Análise Combinatória

1.2.1 - Princípio Fundamental da Contagem

Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de talmodo que:

m1 é o número de possibilidades da 1a. etapa;

m2 é o número de possibilidades da 2a. etapa;

.....................................................................

.....................................................................

mk é o número de possibilidades da k a. Etapa.

Então, o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer é m1. m2.m3. ..... .mk.

EXERCÍCIO

No Brasil, as placas de automóveis são formadas por três letras seguidas por quatroalgarismos. Usando o alfabeto de 26 letras, quantas placas diferentes é possível formar?R. 263.104 = 175.760.000

1.2.2 - Amostras Ordenadas

Suponha que se tenha os conjuntos A e B. Se A tem m elementos (pontos) distintos a1, a2,..... , am e B tem p elementos distintos b1, b2, ..... , b p; então, o número de pares (ai,b j) i = 1,2,..... ,m j = 1,2, .... ,p, que podem ser formados, tomando-se um ponto de A e um ponto de B ém.p (pelo Princípio Fundamental da Contagem). Suponha, ainda que se tenha n conjuntos A1,

A2, .... ,An cada um tendo m1,m2, ...... ,mn elementos distintos, respectivamente. Então, onúmero de n-uplas (x1,x2, ..... ,xn) que podem ser formadas com um elemento xi de cadaconjunto Ai é m1.m2.m3. ..... .mn (Princípio Fundamental da Contagem). Quando cadaconjunto Ai, i = 1,2, .... , n, é o mesmo conjunto A com N elementos distintos, tem-se N

n n-uplas, pois N.N.N. ..... .N = Nn.

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EXERCÍCIO 1: Amostragem com Reposição

Suponha que uma caixa contenha N bolas distintas numeradas de 1 a N. Extrai-se uma bola dacaixa, registra-se o seu número e a seguir repõe-se a bola na caixa. Repete-se o procedimenton vezes. Pergunta-se:

1o.) Que tipo de número cada extração produz?2o.) Como você pode representar o resultado final da operação?3o.) Quantas n-uplas podem ser formadas com os n números obtidos nas extrações.4o.) Suponha que a caixa tenha apenas três bolas, represente as possíveis n-uplas resultantes

de n=2 extrações.

5o.) Qual o nome do procedimento onde se retira n elementos com possível repetição de uma população com N elementos distintos? O resultado (x1,x2, ... ,xn) dos registros das extraçõesrecebe que denominação?

EXERCÍCIO 2: Amostragem sem Reposição

Seja o experimento do exercício 1, anterior, onde se retira n bolas da caixa com N bolasnumeradas de 1 a N. Mas, agora, não se recoloca a bola na caixa depois de registrar-se o seunúmero. Assim, quando se vai retirar a 2a. bola existem N-1 bolas na caixa. Se novamenteregistrarmos o número de cada bola na n-upla (x1, x2, ...... ,xn) pergunta-se?

1o.) Qual o número registrado na 1a. extração? E na 2a. extração? E na na. Extração?2o.) Os elementos da n-upla (x1,x2, .... ,xn) são todos distintos ou podem se repetir?3o.) Quantas n-uplas distintas podem ser formadas?4o.) Qual o nome do procedimento onde se retira n elementos sem repetição de uma

população com N elementos distintos? O resultado (x1,x2, ... ,xn) dos registros das extraçõesrecebe que denominação?

EXERCÍCIO 3: Diagrama em Árvore

Represente esquematicamente o experimento de se extrair um elemento do conjunto A = {a1,a2, .... ,am} e um elemento do conjunto B = {b1, b2, ..... ,bn}, quanto a possível dupla formadaresponda as perguntas seguintes:

1o.) Quantas e quais são as duplas que podem ser formadas?

2

o

.) Mostre que você pode obter o resultado por meio de um Diagrama em Árvore.3o.) Suponha G = {g1,g2} um conjunto com duas gravatas distintas e C = {c1,c2,c3,c4} umconjunto com quatro camisas distintas. Quantas são as maneiras de se combinar uma dascamisas e uma das gravatas?4o.) Suponha a situação anterior das camisas e gravatas, quantas são as maneiras de secombinar a camisa, a gravata e um paletó do conjunto P = {p1,p2,p3}?

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1.2.3 - Amostras não-ordenadas

Suponha que se deseja calcular o número de amostras sem reposição com tamanho n, ou

seja, com n elementos, tomadas de uma população (conjunto) com N elementos N ≥ n. Pode-se observar o seguinte:

1o.) O número de amostras sem reposição, portanto com todos os elementos distintos, detamanho n tomadas da população é dado por An

N = N.(N-1).(N-2). ... .(N-n+1).2o.) Cada amostra (subconjunto) distinta (x1,x2, ... , xn) com n objetos distintos pode ser re-arranjada de n! modos distintos e, portanto tem-se:

N

n

A

n

N N N N n

n

N

n N nn N

= =

− − − +=

−!.( ).( )....( )

!

!

!( )!

1 2 1

combinações distintas ou melhor N

n

diferentes amostras de tamanho n que podem ser

extraídas, sem reposição e sem consideração de ordem, de um conjunto com N objetosdistintos.

Como se pode observar, nos arranjos (permutações) intervém a ordem dos objetos(elementos). Assim, abc é um arranjo distinto de bca. Quando se está interessado apenas nosobjetos, sem distinção da ordem (posição) que eles ocupam, os grupos são chamados decombinações. Então, abc e bca representam a mesma combinação.

EXERCÍCIOS:

1.2.1) Suponha que se tenha n caixas distintas e n bolas distintas. Qual é o número total demaneiras de se distribuir as n bolas nas n caixas de modo que cada caixa contenha exatamenteuma bola?Solução:

Para a primeira caixa temos n escolhas, na segunda caixa, 1−n escolhas, ..., na última caixatemos 1 escolha. Pelo princípio multiplicativo existem !1...)1( nnn =⋅⋅− maneiras de distribuiras bolas.

1.2.2) Um Departamento é composto por 25 professores titulares, 15 professores adjuntose 35 professores assistentes. Uma comissão de 6 membros deve ser selecionada ao acaso docorpo discente do Departamento. Determine:

a) O número de comissões distintas que podem ser formadas com esses professores; b) O número de comissões que podem ser constituídas somente com professores assistentes;

n1−n 1

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Solução:

Como não há restrição quanto aos membros das comissões, temos que combinar os 75

professores de 6 em 6, ou seja, temos 20135955023456

707172737475

!6!69

!75675

=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅==C

comissões.

Obs.: Para entender o motivo do resultado acima basta observar que para formar uma fila

a primeira pessoa pode ser escolhida de 75 modos, a segunda de 74,..., a sexta de 70. No

entanto, cada grupo de seis pessoas foi contado !66 = P vezes. Como a ordem não é

relevante, o resultado fica estabelecido.

Agora só os 35 assistentes são considerados, portanto temos ==!6!29

!35635

C

162316023456

303132333435=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= comissões.

1.2.3) Considere uma “mão de pôquer” com cinco cartas de um baralho com 52 cartas.Calcule:a) O número possível de “mãos” diferentes de se obter;

b) O número de “four”, isto é, quatro cartas de mesmo valor;

1.2.4) Suponha que se distribui n bolas em n caixas, de modo que a caixa 1 fique vazia, uma

das outras n-1 caixas contenha 2 bolas e as outras n-2 caixas contenham apenas 1 bola.Calcule o número de maneiras de se fazer isto.

1.2.5) O código Morse consiste de uma seqüência de pontos e traços em que repetições são permitidas.a) Quantas letras se podem codificar usando exatamente n símbolos?

b) Qual é o número de letras que se pode codificar usando n ou menos símbolos?

1.2.6) Uma pessoa possui n moedas no bolso, das quais somente uma é de R$0,50. Se eleolhar o valor das moedas de uma em uma, qual o número máximo de tentativas que deveráfazer até achar a sua moeda de R$0,50?

1.2.7) Um ônibus parte com duas pessoas e para em três pontos diferentes. Supondo que os passageiros possam descer em qualquer dos pontos com igual possibilidade, determinar:a) o número de maneiras de se distribuir os passageiros nos pontos tal que os dois

passageiros não desembarquem na mesma parada? b) o número de maneiras possíveis dos passageiros desembarcarem nos pontos?

1.2.8) Suponha que se tenha r caixas numeradas 1,2,3, ... ,r onde são colocadas n < r bolasnumeradas 1,2,3, ... ,n, aleatoriamente, uma de cada vez. Determine:a) o número total de maneiras de se colocar as n bolas nas r caixas, que tipo de

amostragem pode ser associado a este experimento? b) o número de maneiras de se colocar as n bolas nas r caixas até que se pare na n-ésima

bola com 2 bolas numa caixa e no máximo uma bola nas outras caixas.

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1.2.9) Uma caixa contém N bolas numeradas de 1 a N. Seleciona-se ao acaso n bolas da caixa

(com n < N), registrando o seu número e repondo a bola na caixa. O processo é repetido nvezes. Pergunta-se: qual o número total de maneiras de se agrupar estas n bolas em umadas tentativas? Qual o tipo de amostragem correspondente a este experimento?

1.2.10) Se o Anselmo e o Festa estão dispostos aleatoriamente numa fila entre n - 2 outras pessoas determine:a) o número de modos em que podem ficar exatamente k pessoas entre eles; b) o número total de modos em que podem ficar o Anselmo e o Festa e as outras n - 2 pessoas?

1.2.11) Um dominó é um bloco retangular dividido em dois sub-retângulos. Cada sub-retângulo possui um número. Sejam x e y esses números (não necessariamente distintos).Como o bloco é simétrico, o dominó (x, y) é o mesmo que (y, x). Quantos blocosdiferentes de dominó se podem fazer usando n números diferentes?

1.2.12) Suponha que se distribui n bolas em n caixas.a) de quantos modos poderemos colocar as n bolas nas n caixas, de maneira que

exatamente uma caixa fique vazia? b) dado que a caixa 1 está vazia, de quantos modos se tem somente uma caixa vazia?

1.2.13) O código genético especifica um aminoácido através de uma seqüência de três de trêsnucleotídeos. Cada nucleotídeo pode ser de um dos quatro tipos T, A, C e G, sendo

permitido a repetição. Quantos aminoácidos podem ser codificados desta maneira?

1.2.14) Descreva um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: (a)3 jogadas de uma moeda; (b) número de fumantes em um grupo de 500 adultos de sexomasculino; (c) jogar uma mesma moeda até que apareça coroa; (d) número de partículasnucleares que entram em um contador Geiger; (e) jogada de uma moeda e um dado.

Associando cara ao número 0 e coroa ao 1, temos como resultados possíveis as triplas

ordenadas do conjunto { }10|),,( 321 =∨==Ω ii x x x x x , que tem 823 = elementos.

{ }500,...,3,2,1,0=Ω .{ } { }1,1,...1,0,|),...,,(),...1,0,0,0(),1,0,0(),1,0(),1( 21 =−==∈==Ω nin xni x N n x x x{ } N ==Ω ,...3,2,1,0 .{ }6,...,2,1,10|),( ==∨==Ω y x x y x .

1.2.15) De um baralho comum de 52 cartas extrai-se uma carta ao acaso. Descreva o espaço

amostral: (a) não levando em conta os naipes; (b) levando-se em conta os naipes.

Solução:

{ } RV D A ,,,10,9,8,7,6,5,4,3,2,=Ω .

{ } E P OC E P OC E P OC R R R R A A A A ,,,,...,2,2,2,2,,,,=Ω .

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2. PROBABILIDADE E MODELOS DE PROBABILIDADE

2.1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Considere o experimento de jogar um dado equilibrado e observar o número da facesuperior. Observa-se no experimento que:

a) Os “resultados possíveis” de ocorrer formam o conjunto Ω = {1,2,3,4,5,6}.

DEF. 1 ESPAÇO AMOSTRAL, Ω, de um experimento realizado sob condições fixas, é oconjunto de todos os resultados possíveis do experimento, entendendo-se por resultado

possível todo resultado elementar e indivisível do experimento.

DEF. 2 RESULTADO COMPOSTO é todo resultado formado por mais de um resultadoelementar e indivisível.

b) Observa-se no experimento que o resultado “número par” não é elementar e indivisível, pois é composto por três resultados deste tipo {2,4,6}, logo “número par” é um resultadocomposto.

c) Cada resultado pode ser associado ao espaço amostral como um subconjunto dele. Oresultado “número par” é o subconjunto NP = {2, 4, 6} ⊂ Ω.Assim, todo resultado doexperimento é subconjunto do espaço amostral.

EXERCÍCIOS

2.1.1) Considere, agora, outro experimento que consiste na escolha, ao acaso, de um pontoeqüidistante dos extremos do segmento de reta AB com comprimento de 2 cm, contido noeixo das abscissas de um Sistema Cartesiano e com A colocado na origem do sistema.

a) Descreva o espaço amostral do experimento; b) Descreva o resultado ω1 “distância entre o ponto escolhido e o ponto médio do segmento é

≤ 2” na forma de subconjunto do espaço amostral;c) Descreva o resultado ω2 “distância entre o ponto escolhido e a origem é ≤ ½”;d) Descreva o resultado ω3 “a 1a. coordenada do ponto escolhido tem comprimento menor que

a 2a ".

2.1.2) Uma caixa d’água cilíndrica que abastece certo local não recebe o suprimento de águade forma completamente previsível. Em um dia qualquer, a entrada de suprimento de água éigualmente provável para 1,5 m 1,75 m ou 2,00 m. A demanda de água é, também, variável e

pode necessitar das quantidades equivalentes a 1,25 m, 1,50 m ou 1,75m na caixa d1água. Ademanda é equiprovável.

a) Quais são as possíveis combinações do fluxo de entrada de água e do fluxo de saída? b)Assumindo que o nível da água na caixa seja 1,75 m no início de um dia, qual são os

possíveis níveis da água no final do dia?

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c) Qual é a probabilidade de que no final do dia exista, pelo menos 2,25 m na altura da águaremanescente?

DEF. 3 σ-ÁLGEBRA, A, de subconjuntos do conjunto não-vazio Ω é a classe desubconjuntos de Ω satisfazendo as propriedades:1a.) Ω ∈ A2a.) Se A ∈ A ⇒ Ac ∈ A

3a.) Se A1, A2, A3, ..... ∈ A ⇒ Aii=

∞

1∪ ∈ A

DEF. 4 Seja Ω o espaço amostral do experimento. Todo subconjunto A ⊂ Ω será chamado deevento, o conjunto Ω é evento certo, o subconjunto ∅ é o evento impossível e se ω ∈Ω oevento {ω} é dito elementar e indivisível.

DEF. 5 DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE (quando Ω é finito).Seja A um subconjunto do espaço amostral Ω, A ∈ P (Ω). Então, se todos os resultadoselementares de Ω são equiprováveis a medida da probabilidade de ocorrência do evento A é

dada por P(A) =##

A

Ω, A ∈ A.

DEF. 6 Seja A um evento do espaço amostral Ω, então se atribuirmos uma probabilidade aoevento A ele é chamado de evento aleatório.

DEF. 7 DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DE PROBABILIDADE (Gnedenko)Suponha que um segmento seja parte de um outro segmento L e que se tenha escolhido aoacaso um ponto de L. Se admitirmos que a probabilidade deste ponto pertencer a é

proporcional ao comprimento de e não depende do lugar que ocupa em L, então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em é:

P comp

compL( )

.

=

L

Analogamente suponha que uma figura plana g seja parte de uma outra figura plana G e quese escolha ao acaso um ponto de G. Admitindo-se que a probabilidade deste ponto pertencer ag seja proporcional à área de g e não depende do lugar que g ocupa em G, então a

probabilidade de que o ponto selecionado esteja em g é:

P g areag

areaG( ) = g G

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14

Analogamente tem-se P vvolv

volV ( ) = , onde ν é um volume contido no volume maior V.

DEF. 8 DEFINIÇÃO FREQUENTISTA DE PROBABILIDADE (Von Mises)A probabilidade de ocorrência do evento A em n ensaios é definida, segundo Von Mises, por:

P Ann

( ) lim=→ ∞

1 (número de ocorrências de A em n ensaios)

DEF. 9 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE (Kolmogorov)Probabilidade ou medida de probabilidade na σ-álgebra A é a função P definida em A e quesatisfaz os axiomas seguintes:

A1) P(A) ≥0A2) P(Ω)=1A3) Se A e B ∈ A e são disjuntos ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Se A1, A2, A3, ... , An ∈ A e são disjuntos ⇒ P U A P Ai

n

i ii

n

( ) ( )=

=

= ∑1

1

A3’) Se A1, A2, A3, ... ∈ A e são disjuntos ⇒ ==

∞

=

∞

∑ P U A P Ai

i I i

( ) ( )1

1

DEF. 10 ESPAÇO DE PROBABILIDADEÉ o trio (Ω, A , P), onde Ω , A e P são definidas acima.

EXERCÍCIOS:

2.1.2) Um dado é lançado. Pergunta-se a probabilidade dos eventos:a) A= sair um número ímpar.

b) B= sair um número menor que 3.c) C= sair um número maior que 10.d) Ω= sair um número inteiro maior ou igual a 1 e menor ou igual a 6.

2.1.3) Uma carta é retirada ao acaso de um baralho com 52 cartas.a) Qual a probabilidade de sair a carta de espadas?

b) Qual a probabilidade de sair um rei?

2.1.4) Suponha que 4 cartas estejam numeradas de 1 a 4. Das 4 cartas retira-se uma de cadavez, ao acaso e sem reposição, até retirar-se o 1o. número par. Conta-se o número de retiradasnecessárias. Descreva um espaço de probabilidade para o experimento.

2.1.5) Seja o experimento, onde se escolhe ao acaso um ponto do círculo unitário centrado naorigem.a) Qual a probabilidade de ocorrer o evento A = “distância entre ponto escolhido e a origem é

≤1 2 ”? b) Qual a probabilidade de ocorrer o evento B = “ 1 a coordenada do ponto escolhido é > que a

2 a ”?

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2.2 - PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE

Além das propriedades enunciadas na definição axiomática, a função P goza, ainda, dasseguintes:

P1) Se A é um evento aleatório, então a probabilidade de A não ocorrer é dada por P A P AC ( ) ( )= −1 .

P2) Se A é um evento aleatório, então 0 ≤ P(A) ≤ 1.

P3) Se A1 ⊂ A2 ⇒ P(A1) ≤ P(A2) e P(A2 - A1) = P(A2) - P(A1).P4) P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∩ A2).

P5) P U A P Ai

n

i ii

n

( ) ( )=

=

≤ ∑1

1

P6) P U A P Ai i ii

( ) ( )=

∞

=

∞

≤ ∑1 1 .P7) P A A A P U A S S S S S n

i

n

ir

r r

nr

n

( ) ( ) ( ) ( )1 21

11 2 3

1

1

1 1∪ ∪…∪ …= = − = − + − + −=

− −

=∑ .

P8) P A P Ai

n

I iC

i

n

( ) ( )∩ ≥ −=

=∑

11

1 .

P9) P A P Ai

i iC

i

( ) ( )∩=

∞

=

∞

≥ − ∑1 1

1 .

P10) Continuidade em Probabilidade: “Seja a seqüência {Ai} i = 1,2,3, ... onde Ai ∈ A ∀i,

entãoa) se Ai ↑ A ⇒ P(Ai) ↑ P(A) e b) se Ai ↓ A ⇒ P(Ai) ↓ P(A).

EXERCÍCIOS

2.2.1) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou nãodefeituosas (P). As peças são inspecionadas e suas condições registradas. Isto é feito até queduas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que quatro peças tenham sidoinspecionadas, aquilo que ocorrer em primeiro lugar. Descreva o espaço amostral para esteexperimento.

2.2.2) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N) com filamento partido. Essaslâmpadas são verificadas uma a uma até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada.a) Descreva o espaço amostral do experimento.

b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas uma a uma, até que todas as defeituosastenham sido encontradas. Descreva o espaço amostral para este experimento.

2.2.3) Considere 4 objetos a, b, c, d. Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listadosrepresente o resultado de um experimento. Sejam os eventos A e B definidos por:

A = {a está na 1a. posição} B = {b está na 2a. posição}a) Enumere todos os elementos do espaço amostral do experimento.

b) Enumere todos os elementos dos eventos: A ∩ B e A ∪ B.

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2.2.4) Um lote contém peças pesando 5, 10, 15, ... , 50 g. Admite-se que ao menos 2 peças decada peso sejam encontradas no lote. Duas peças são retiradas do lote. Seja X o peso da 1 a.

peça escolhida e Y o peso da 2a.. Portanto, o par de números (X, Y) representa um resultadosimples do experimento. Empregando o plano XY, marque o espaço amostral e os seguinteseventos:

a) {X = Y} b) {Y > X}c) {Y = 2X}

2.2.5) Durante um período de 24 h, em algum momento X, uma chave é posta na posição“ligada”. Depois em algum momento futuro Y (dentro do período de 24h) a chave é virada

para a posição “desligada”. Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos,com o início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo

par de números (X, Y).a) Descreva o espaço amostral.

b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos:

i) O circuito está ligado por uma hora ou menos.ii) O circuito está ligado no tempo Z, onde Z é algum instante no período de 24 h.iii) O circuito é ligado antes do tempo t1 e desligado depois do tempo t2 (onde t1< t2 são2 instantes durante o período de 24 h especificado).iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado.

2.2.6) Sejam A, B, C três eventos associados a um experimento. Exprima em notação deconjunto as seguintes afirmações verbais:

a) Ao menos um dos eventos ocorre; b) Exatamente um dos eventos ocorre;c) Exatamente dois dos eventos ocorrem;d) Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente.

2.2.7) Demonstre o Teorema “Se A, B e C forem três eventos quaisquer,então:

P(AUBUC) = P(A)+ P(B)+P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C ) - P( B C ∩ ) + P(A ∩ ∩ B C )”.

2.2.8) Sejam os eventos A e B possíveis de ocorrer. Prove que a probabilidade de que ocorraexatamente um dos eventos é dado por P[(A ∩ ∩B U B Ac c) ( ) ]=P(A)+P(B)-2P(A ∩ B).

2.2.9) Certo tipo de motor elétrico falha nas seguintes situações:

A. emperramento dos mancais;

B. queima dos rolamentos;

C. desgaste das escovas;

Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima e esta é quatrovezes mais provável do que o desgaste das escovas. Qual será a probabilidade de que o motorfalhe devido a cada uma dessas circunstâncias?

2.2.10) Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = x, P(B) = y e P(A ∩ B) z= .

Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z:

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a) P(A c cUB ) b) P(A c B∩ ) c) P(A cUB) d) P(A c c B∩ )

2.2.11) Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(A ∩ ∩B P C B) ( )= = 0 e P(A ∩ C) = 1 8/ . Calcule a probabilidade de que ao menos um doseventos A, B ou C ocorra.

2.2.12) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens com mais de 21 anos, 4homens com menos de 21 anos, 6 mulheres com mais de 21 anos e 3 mulheres com menos de21anos de idade. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os seguintes eventos: A={a

pessoa é maior de 21 anos};B={a pessoa é menor de 21 anos};C={a pessoa é homem};D={a pessoa é mulher}. Calcule:

a)P(BUD) b)P(A c cC ∩ )

2.2.13) Em uma sala 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 a 10. Três pessoassão escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente. O número do seuemblema é anotado. Qual a probabilidade de que o menor número de emblema seja 5? Qual a

probabilidade de que o maior número do emblema seja 5?

2.2.14) Uma remessa de 1500 arruelas contém 400 peças defeituosas e 1100 perfeitas.Duzentos arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classificadas.

a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças defeituosas?

b) Qual a probabilidade de que sejam encontradas ao menos 2 peças defeituosas?

2.2.15) Suponha que os três dígitos 1, 2 e 3 sejam escritos em ordem aleatória. Qual a

probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio? Qual a probabilidade deque os dígitos 1, 2, 3 e 4 ocupem os seus lugares próprios quando são escritos em ordemaleatória? Qual a probabilidade de que os dígitos 1, 2, 3, 4, .... ,n ocupem os seus lugares

próprios na mesma situação de escrita em ordem aleatória?

2.2.16) Prove as propriedades de probabilidade enunciadas anteriormente, inclusive P10“Continuidade em Probabilidade”.

2.3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS:

2.3.1 - Probabilidade Condicional

DEF. Sejam o espaço de probabilidade ( Ω, A , P) e os eventos A, B ∈ A com P(B) > 0, a probabilidade condicional do evento A dado B é definida por:

P(AB)=P A B

P B

( )

( )

∩ A∈ A

OBS: 1a.) Se P(B) = 0, P(AB) pode ser arbitrariamente definida. A maioria dos livros fazP(AB) = 0, mas é conveniente pela independência se fazer P(AB)=P(A).

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2a.) Como P(AB) é uma probabilidade, vale para ela todas as propriedades de probabilidade.

3a.) Como P(AB)=P A B

P B

( )

( )

∩, então a probabilidade da ocorrência simultânea dos

eventos A e B é dada por: P(A )B|A(P).B(P)A|B(P).A(P)B ==∩ .

2.3.2 Teorema da Multiplicação ou da Probabilidade Composta

“Seja o espaço de probabilidade (Ω, A , P), então:

I. P(A ∩ B P A P B A) ( ). ( / )= ∀ A,B ∈ A

II. P(A1 ∩ ∩ ∩ A An2 ... ) = P(A )A...AA|A(P)...AA|A(P).A|A(P). 1n21n213121 −∩∩∩ ∀A 1 2 3, ,...A A ∈ A ”.

EXERCÍCIOS

2.3.1) Dez fichas numeradas de 1 a 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas(x, y), são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidadede x + y =10?

2.3.2) Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves.Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que:a) Ele não tenha defeitos:

b) Ele não tenha defeitos graves:c) Ele seja perfeito ou tenha defeitos graves:d) Resolva os itens c e b aplicando a definição de probabilidade:

2.3.3 - Independência de eventos

DEFINIÇÃO: Seja o espaço de probabilidade (Ω, A ,P). Os eventos aleatórios A e B sãoestocasticamente independentes se P(A ∩ B P A P B) ( ). ( )= , ou seja, P(B|A)=P(B) e P(A|B) =

P(A).

EXERCÍCIOS:

2.3.3) Se do lote de artigos do problema anterior, dois artigos forem escolhidos (semreposição), ache a probabilidade de que:a) Ambos sejam perfeitos;

b) Ambos tenham defeitos graves;

c) Ao menos 1 seja perfeito;d) No máximo 1 seja perfeito;e) Exatamente 1 seja perfeito;

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f) Nenhum tenha defeitos graves;g) Nenhum deles seja perfeito.

2.3.4) Um número inteiro é escolhido ao acaso, dentre os números 1,2,...,50. Qual será a probabilidade de que o número escolhido seja divisível por 6 ou por 8? Qual é a

probabilidade do número escolhido ser divisível por 6 e por 8?

2.4 - EVENTOS ALEATÓRIOS

2.4.1 - Eventos Mutuamente Exclusivos

Os eventos A e B, com A,B ∈ A, são mutuamente exclusivos (disjuntos) se P(A ∩ B) = 0 ouseja A ∩ B = ∅.

2.4.2 - Eventos Independentes

Os eventos A e B, com A,B ∈ A, são independentes se P(A|B)=P(A) e P(B|A)=P(B).

2.4.3 - Propriedades de Eventos Independentes

1a.) O evento aleatório A ∈ A é independente de si mesmo se e somente se P(A) = 0 ou

P(A) = 1.

2a.) Se A e B são eventos aleatórios independentes pertencentes a A, então A e Bc, Ac e B, Ac e Bc também são independentes.

3 ª) Se A e B são eventos aleatórios mutuamente exclusivos pertencentes a A , então A e B sãoindependentes somente se P(A) = 0 ou P(B) = 0.

EXERCICIOS:

2.4.1) Uma propriedade de eventos aleatórios independentes é que o evento A ∈ A éindependente de si mesmo se e somente se P(A) = 0 ou P(A) = 1. Prove esta propriedade.

2.4.2) Uma caixa contém etiquetas numeradas 1, 2, 3, ... ,n. Duas etiquetas são escolhidas aoacaso. Determine a probabilidade de que os números das etiquetas escolhidas sejam inteirosconsecutivos se:

a) As etiquetas forem escolhidas sem reposição. b) As etiquetas forem escolhidas com reposição.

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2.4.3) Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhe-se ao acaso 4 números (semreposição) e multiplicam-se esses números. Qual será a probabilidade de que o produto sejaum número positivo?

2.4.4) Um lote contém n peças, das quais se sabe serem r defeituosas. Se a ordem da

inspeção das peças se fizer ao acaso, qual a probabilidade de que a peça inspecionada em k-ésimo lugar (k ≥ r) seja a última peça defeituosa mantida no lote?

2.4.5) A urna 1 contém x1 bolas brancas e y 1 bolas vermelhas. A urna 2 contém x 2 bolas brancas e y 2 bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na urna 2. Aseguir uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual seria a probabilidade de que esta bolaseja branca?

2.4.6) Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. As válvulas sãoensaiadas, uma a uma, até que ambas as defeituosas sejam encontradas.

a) Qual a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundoensaio?

b) Qual a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no terceiroensaio?c) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada noquarto ensaio?d) Some os números de (a), (b) e (c) acima. O resultado será surpreendente?

2.4.7) Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outraválvula também seja perfeita?

2.4.8) No problema anterior, as válvulas são verificadas extraindo-se uma válvula ao acaso,ensaiando-se e repetindo-se o procedimento até que todas as 4 válvulas defeituosas sejamencontradas. Qual será a probabilidade de que a quarta válvula defeituosa seja encontrada

a) no quinto ensaio b) no décimo ensaio.

2.4.9) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6 enquanto a probabilidade de ocorrência deA for igual a 0,4 determine a probabilidade da ocorrência de B

2.4.10) Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas são inspecionadas uma apósoutra. Se essas peças forem extraídas ao acaso, qual será a probabilidade de que:a) as duas primeiras peças sejam defeituosas:

b) as duas primeiras peças sejam perfeitasc) das duas primeiras peças inspecionadas, uma seja perfeita e a outra defeituosa.

2.4.11) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4enquanto P(AUB) = 0,7. Seja P(B) = p.a) Para qual valor de p, A e B serão mutuamente excludentes?

b) Para qual valor de p, A e B são independentes?

2.4.12) Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída de um baralhocompleto (52 cartas). Qual será a probabilidade de que: a) O dado mostre um número PAR e a

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carta seja de um naipe vermelho? b) O dado mostre um número PAR ou a carta seja de umnaipe vermelho?

2.4.13) Um número binário é constituído apenas dos dígitos 0 e 1. (Por exemplo, 1011, 1100,etc.). Esses números têm importante papel na utilização de computadores eletrônicos.

Suponha que um número binário seja formado por n dígitos. Suponha que a probabilidade deque um digito incorreto apareça seja p e que os erros em diferentes dígitos sejamindependentes uns dos outros. Qual será a probabilidade de formar-se um número incorreto?

2.4.14) Um dado é atirado n vezes. Qual é a probabilidade de que a face 6 apareça ao menosuma vez em n jogadas?

2.4.15) Cada uma de 2 pessoas joga três moedas equilibradas. Qual é a probabilidade de queelas obtenham o mesmo número de caras?

2.4.16) Prove as três propriedades de eventos independentes enunciadas anteriormente.

2.5- PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL

2.5.1- Teorema da Probabilidade Total

PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL

A1 Ω

A3 ...

A2

• Sejam A1, A2, A3, ... eventos aleatórios mutuamente exclusivos e exaustivos, isto é, os Ai são disjuntos e U Ai = Ω, então os eventos Ai formam uma PARTIÇÃO DO ESPAÇOAMOSTRAL Ω.

• É importante observar DUAS COISAS, admitindo-se que a seqüência A1, A2, A3, ... sejaFINITA ou INFINITA ENUMERÁVEL:

1) Ai e A iC formam uma PARTIÇÃO, ∀ Ai ∈ A .

2) ∀ evento B ∈ A temos B U A Bi

i= ∩( ) , pois os Ai são disjuntos, então os B ∩ Ai também

são disjuntos e B U B Ai

I = ∩ logo

P B P A B P A P B Ai iii

( ) ( ) ( ) ( /= ∩ = ⋅∑∑ i)

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A1 A4 A3

Ω

A2 A5 B

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

Se a seqüência (finita ou infinita enumerável) de eventos aleatórios A1, A2, A3, ... forma umaPARTIÇÃO do espaço amostral Ω, então a probabilidade de um evento B contido em Ω édada por:

∑ ⋅=i

ii )A|B(P)A(P)B(P

OBS: O Teorema da Probabilidade Total é utilizado quando se conhecem todas as P(A i) e asP(B/Ai), mas se desconhece diretamente P(B).

2.5.2- Teorema de Bayes

Com base no Teorema da Probabilidade Total é possível calcular a probabilidade do evento A j dada à ocorrência do evento B, pela fórmula:

∑ ⋅

⋅=

⋅=

∩=

iii

j j j j j j )A|B(P)A(P

)A|B(P)A(P

)B(P

)A|B(P)A(P

)B(P

)BA(P)B|A(P

Esta expressão é conhecida como FÓRMULA DE BAYES (Teorema de Bayes).

EXERCÍCIOS

2.5.1) De um lote com 20 peças defeituosas e 80 perfeitas são extraídas 2 peças, semreposição. Determine a probabilidade do evento B={a 2a. peça extraída é defeituosa}.

2.5.2) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de certa questão, em um exame demúltipla escolha é p. Das opções de resposta para cada questão, somente uma é correta. Se oaluno não sabe a resposta para a questão, ele seleciona ao acaso uma resposta dentre as mopções. Se a probabilidade do aluno responder corretamente dado que ele sabe a resposta é0,88; pergunta-se:

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a) Se o aluno responder corretamente a questão, qual a probabilidade de que ele tenhachutado a resposta?

b) Se o aluno responder incorretamente a questão, qual a probabilidade de que ele nãotenha chutado a resposta?

c) Se o aluno responder corretamente a questão, qual a probabilidade de que ele não tenha

chutado a resposta?d) Se o aluno o aluno responder incorretamente a questão, qual a probabilidade de quetenha chutado a resposta?

2.5.3) Três candidatos A1, A2 e A3 disputam uma eleição. Uma prévia eleitoral mostra quesuas chances de vencer são respectivamente 0,5, 0,3 e 0,2. As probabilidades de que elesvenham a promover mudanças substanciais caso eleitos são respectivamente 0,7, 0,6 e 0,3 .Qual é a probabilidade de que as mudanças substanciais ocorram, após a posse do eleito?

2.5.4) Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é 0,3. O meu time ganha um jogo

em dia de chuva com probabilidade 0,4 e em dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se o meutime ganha o jogo em novembro, qual a probabilidade de que tenha chovido no dia?

2.5.5) Em um experimento sobre sabor de vinho a uma equipe de 5 especialistas ( someliers) éservido um entre 2 vinhos, um do vale do rio S. Francisco (PE/BA) e o outro do vale dosVinhedos (RGS). O vinho é selecionado por lançamento de uma moeda honesta. Suponha quecada especialista tenha uma probabilidade ¾ de adivinhar corretamente, independentementedos outros especialistas. Então, pergunta-se:

a) Se 4 dos 5 juizes afirmarem que o vinho é do Vale do S. Francisco, qual a probabilidade de que na verdade o vinho gaúcho tenha sido servido?

b) Nas mesmas condições do item a, qual a probabilidade de que o vinho do Vale do S.Francisco tenha sido servido?

2.5.6) Cinco em 100 homens são daltônicos e 25 em 1000 mulheres são daltônicas. Uma pessoa escolhida ao acaso é daltônica. Qual a probabilidade de que seja homem?

2.5.7) Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada urna tem duas gavetas. A urna 1 contém umamoeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra; enquanto a urna 2 contém umamoeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso, a seguir uma de suas gavetasé aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro. Qual a

probabilidade de que a moeda provenha da urna 2?

2.5.8) Um saco contém 3 moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto asoutras duas moedas são normais. Uma moeda é tirada ao acaso e jogada quatro vezes emseqüência. Se sair CARA toda vez, qual será a probabilidade de que essa seja a moeda de duascaras?

2.5.9) Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produziram 25, 35 e 40% do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina 5, 4 e 2% respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e se verifica ser defeituoso. Qual seráa probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? da B? da C?

2.5.10) Três componentes C1, C2 e C3 de um mecanismo são postos em série (linha reta).Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. Seja R o evento {C2

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está à direita de C1} e seja S o evento {C3 está à direita de C1}. Os eventos R e S sãoindependentes? Por quê?

2.5.11) Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números diferentes, qual será a probabilidade de que uma face seja 4?

2.5.12) Sabe-se que na fabricação de um artigo, defeitos do tipo D1 ocorrem com probabilidade 0,1 e defeitos do tipo D2 com probabilidade 0,05, independentemente dosoutros tipos de defeitos. Qual será a probabilidade de que um artigo não tenha ambos os tiposde defeitos?2.5.13) Enuncie e prove o Teorema da Probabilidade Total.

2.5.14) Enuncie e prove o Teorema de Bayes.

2.5.15) Na busca pelo ouro dos Incas os conquistadores espanhóis vasculharam todo o Peru,muitas vezes foram bem sucedidos outras vezes não. Uma vez, certo conquistador se viu sob o

seguinte dilema. Os 1/3 dos incas de uma aldeia que foram interrogados responderam que o“El Dorado” estaria no final do caminho na direção nordeste, 1/3 disseram que estaria no finaldo caminho na direção leste e 1/3 no final do caminho da direção sudeste. Antes de escolher ocaminho a ser percorrido o conquistador encontrou o Grande Feiticeiro inca. O feiticeiro, quetudo sabia e podia, afirmou que no final de um dos caminhos realmente existia o “El Dorado”,mas no final de cada um dos outros dois existia uma região povoada por índios antropófagos,onças, cobras e com chuvas intensas. Nenhuma expedição, dos incas ou de outro povo, que seaventurou até o final de qualquer deles teve algum membro de volta. Então, o feiticeiro

propôs o seguinte jogo. Independentemente do caminho que o conquistador escolhesse deinício, ele mostraria num passe de mágica o que havia no final de uma das duas direções nãoescolhidas. Mas, mostraria um dos caminhos perigosos para que o conquistador se desse contado que o esperava. Então, o conquistador teria chance de mudar a sua escolha inicial ou

permanecer com ela. Qual a probabilidade do conquistador alcançar a lendária cidade do “ElDorado”?

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3. VARIÁVEL ALEATÓRIA

3.1- VARIÁVEL ALEATÓRIA

DEF. Uma variável X em um espaço de probabilidade (Ω, A , P) é uma função real definidano espaço Ω, tal que o evento [ X ≤ x ] é evento aleatório ∀ x ∈ R, isto é a função X: Ω → Ré variável aleatória se o evento [ X ≤ x ] ∈ A , ∀ x ∈ R.

EXEMPLO

Seja uma família com duas crianças.a) Escreva todas as situações possíveis de ocorrer quanto ao sexo das crianças;

b) Associe a cada situação possível um número real;

A função X(ω) é uma variável aleatória. Associa a cada evento contido no espaço amostral Ω

um número real.

c) O campo de variação de variável aleatória X é o conjunto {0, 1, 2}.

DEF. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

A v.a. X é chamada de DISCRETA quando o seu contradomínio é um conjunto finito ouinfinito enumerável, ou melhor, se existe um conjunto finito ou infinito enumerável {x1, x2,x3, ...} ⊂ R tal que X(ω) ∈ {x1, x2, x3, ...} ∀ ω ∈Ω.

DEF. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

A v.a. X é chamada de CONTÍNUA quando o seu contradomínio é um conjunto infinito.

DEF. FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO OU FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DEUMA VARIÁVEL ALEATÓRIA X

A função distribuição (f.d.) ou função distribuição acumulada da v.a. X é definida por:FX(x) = PX(X ≤ x).

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO

1a.) A função distribuição da v.a. X, FX(x) = PX(X ≤ x), é não decrescente, isto é, se x < yentão FX(x) < FX(y).

2a.) A função distribuição da v.a. X, FX(x) = PX(X ≤ x), é contínua à direita, isto é, se xn ↓ x⇒ FX(xn) ↓ FX(x).

3a.) O valor da função distribuição da v.a. X, FX(x) = PX(X ≤ x) em -∞ é Fx(-∞) = 0 e em ∞ éFX(∞) = 1, ou seja, se xn ↓ -∞ ⇒ FX(xn) ↓ 0 e se xn ↑ ∞ ⇒ FX(xn) ↑ 1.

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EXERCÍCIOS

3.1.1) Prove as três propriedades da função distribuição, f.d., ou seja, FX é não-decrescente,contínua à direita e que F(- ∞) =0 e F( ∞)=1.

3.2 - FUNÇÃO DE PROBABILIDADE (f.p.) E FUNÇÃO DENSIDADE dePROBABILIDADE (f.d.p.)

Uma vez que uma v.a. assume um valor do seu contradomínio com uma certa probabilidade,tem-se que as probabilidades são associadas a valores da variável aleatória discreta por umafunção de probabilidade (f.p.) e as probabilidades são associadas a intervalos de valores deuma variável aleatória contínua por uma função densidade de probabilidade (f.d.p.).

DEF. A função de probabilidade da v.a. X, discreta, representada por P(X=x) = p(x) é uma

função tal que para X(ω) ∈ {x1,x2,x3, ...} ∀ω ∈ A , tem-se p(xi) ≥ 0 e p xii

( ) ==

∞

∑ 11

.

DEF. A função densidade de probabilidade da v.a. X, contínua, representada por f X(x) é uma

função tal que f X(x) ≥ 0 e f x dx( ) =−∞

∞

∫ 1 e como a f.d. da v.a. X é P(X < x) = FX(x) = ∫∞−

x

dt t f )(

tem-se que f(x) = x

x F X ∂

∂ )(.

DETERMINAÇÃO da DISTRIBUIÇÃO de PROBABILIDADE da v.a. X.

A distribuição de probabilidades de uma v.a. X fica determinada por qualquer das seguintesfunções. Usa-se, geralmente, a mais apropriada.

• A função distribuição FX;• A função de probabilidade P(X = x) = p(x);• A função densidade de probabilidade f x(x);• A função característica φX(x) = E(eitx).

DEF. Seja uma v.a. X, discreta, que assume valores no conjunto {x1, x2, x3, ... ,}. Chama-seVALOR MÉDIO ou ESPERANÇA MATEMÁTICA de X ao valor: µ = E(X) =

∑= =n

1iii )xX(Px .

DEF. Chama-se VARIÂNCIA da v.a. X ao valor: σ2 = V(X) = E[X – E(X)]2 =

)xX(P)x(n

1ii

2i∑

=

=µ− (no caso discreto).

DEF. A raiz quadrada da variância da v.a. X é denominada desvio padrão e é definido por σ =

V X ( ) .

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27

Uma relação muito importante é V(X) = E(X2) – [E(X)]2, onde E(X2) = ∑=

=n

1ii

2i )xX(Px .

Da mesma forma, se a v.a. é contínua tem-se a esperança de X dada por E(X) = µ =

∫∞

∞−dx)x(xf e a variância por E(x - µ)2 = σ2 = ( ) ( ) x f x dx−

−∞

∞

∫ µ 2 .

É importante observar que a variância mede a dispersão (espalhamento) dos dados em tornoda média µ = E(X) e o desvio padrão faz isto também, mas na mesma unidade de medida dosdados.

3.2.1- Distribuição de Probabilidades

Distribuição de Bernoulli

Uma v.a. X tem uma distribuição de Bernoulli com parâmetro θ quando assume apenas osvalores 1 e 0 com probabilidade θ e (1-θ), respectivamente. O número 1, em geral, representasucesso.

EXEMPLOS:

1) Face de uma moeda: cara ou coroa.2) Sexo de uma criança: masculino ou feminino.3) Qualidade de uma peça: perfeita ou defeituosa.

A v.a. X é chamada variável de Bernoulli e θ é a probabilidade de “sucesso”,

PX(x) = PX (X = x) = θ X (1-θ)1-x x = 0, 1 0 < θ < 1

Os parâmetros de uma variável de Bernoulli são: E X

V X

( )

( ) ( )

== −

θ

θ θ 1

EXERCÍCIOS:

3.2.1.1) Qual a esperança e a variância da v.a. X ~ b(1,1/4)?

Distribuição Binomial

Uma v.a. Y tem distribuição binomial com parâmetros n e θ quando assume valores noconjunto {0, 1, 2, 3, ... ,n} e a sua f.p. é dada pela expressão:

−==

−

=== −

)1()(

)()1()()(

θ θ

θ θ θ

nY V

nY E

y

n yY P y P yn yY Y

A v.a. Binomial corresponde ao número de sucessos em n provas tipo Bernoulli,independentes.

EXEMPLOS:

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1) Y conta o número de meninos em uma família com n =5 crianças, com θ = ½.2) Y conta o número de peças defeituosas em um lote com n = 20 peças, com probabilidade

de defeitos θ = 0,001.3) Y conta o número de alunos aprovados em Probabilidade I em uma turma com 90 alunos,

com probabilidade θ = 70% = 0,70.

EXERCÍCIOS:

3.2.1.2) Qual a esperança e a variância de uma v.a. com distribuição binomial?

3.2.1.3) De um lote que contém 25 peças das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 aoacaso. Seja Y o número de defeituosas encontradas na amostra tomada do lote. Estabeleça adistribuição de probabilidade de Y, quando:a) As peças forem escolhidas com reposição;

b) As peças forem escolhidas sem reposição;c) Calcule a esperança matemática de Y no experimento do item a;d) Calcule o desvio padrão de Y no experimento do item a.

3.2.1.4) Seja X uma v.a. Bernoulli com parâmetro θ = 0,80, ou seja, X assume o valor 1 com probabilidade igual a 0,80 e X assume o valor 0 com probabilidade igual a 0,20.

a) Escreva a expressão da f.p. da v.a. X; b) Calcule o desvio padrão de X.

3.2.1.5) Uma moeda honesta é lançada 5 vezes.a) Qual a probabilidade de ocorrer CARA na 1a. vez?

b) Qual a probabilidade de ocorrer CARA na 2

a.

vez?c) Os eventos “cara na 1 vez” e “cara na 2 vez” são de que tipo?d) Qual a probabilidade de ocorrer CARA exatamente 4 vezes nos 5 lançamentos?e) Qual a probabilidade de ocorrer CARA exatamente 2 vezes nos 5 lançamentos?f) Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos 3 caras nos 5 lançamentos?g) Qual a probabilidade de ocorrer no máximo 2 caras?h) Qual a probabilidade de ocorrer 1 ou 3 caras nos 5 lançamentos?

3.2.1.6) Seja X ~ b(10; 0,30). Calcule:a) P(X = 1);

b) P(X = 2);

c) P(X > 1);d) P(1 < X < 3);d) P(X ≤ 2);e) A esperança e o desvio padrão de X.

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29

Distribuição Hipergeométrica

Uma v.a. X tem uma distribuição chamada HIPERGEOMÉTRICA se a sua função de probabilidade é dada por:

P X x

K

x

N K

n x N

n

X ( )= =

−

−

x = 0, 1, 2, ... , n E(X) = n K

⋅

K= 0, 1, 2, ... , N

n = 1, 2, 3, ... , N V(X) = n K N K N n

⋅ − −

− 1

N= 1, 2, 3, ...

EXERCÍCIOS

3.2.1.7) Retiram-se 4 cartas ao acaso de um baralho com 52 cartas, sem reposição. Seja avariável X que conta o número de reis na amostra.

a) Qual a distribuição da v.a. X? b) Calcule a probabilidade de não sair rei na amostra.c) Qual o número esperado de reis?d) Qual o desvio padrão da v.a. X?

3.2.1.8) Seja uma lagoa onde existem exatamente N peixes, sendo que deste total K peixes sãode uma certa espécie. Uma rede é lançada e são pescados n peixes. Seja a variável X queconta o número de peixes da certa espécie pescados na rede. Qual a distribuição da variávelX?

Distribuição de Poisson

Uma v.a. X tem uma distribuição de Poisson quando a sua f.p. é da forma:

P x x

X xe

x

( ).

!

= =−θ θ

x = 0,1,2,3,...

θ >0A esperança e a variância de X são dadas por E(X) = µ =θ e V(X) = σ2 = θ

EXERCÍCIOS

3.2.1.9) Suponha que o número de erros tipográficos em uma única página de um livro tenhauma distribuição de Poisson com parâmetro θ =1. Calcule a probabilidade de que:a) Uma página qualquer contenha exatamente 1 erro;

b) Uma página qualquer não contenha erros;

c) Uma página qualquer contenha pelo menos 1 erro;d) Uma página qualquer contenha 2 ou 3 erros;

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e) No máximo 1 erro na página;f) Qual o número esperado de erros por página?g) Qual o desvio padrão do número de erros por página?

3.2.1.10) Seja X ~ P(2), portanto .2=θ Calcule:

a) P )42( ≤≤ x x ; b) PX )1( ≥ x ;c) P )31( ≤≤ x x ;d) A esperança e a variância da v.a. X.

3.2.1.11) Um PBX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Supondo que as chamadasque chegam constituam uma distribuição de Poisson.

a) Calcule a probabilidade de não receber chamadas durante um intervalo de 1 minuto.

b) Calcule a probabilidade de se obter no máximo 2 chamadas em 4 minutos (θ = 20);c) Calcule a probabilidade de se obter exatamente 2 chamadas em 4 minutos;d) Calcule a probabilidade de se obter no máximo 2 chamadas em 10 minutos (θ = 50);e) Qual o número esperado de chamadas em um período de 4 minutos?

Distribuição Normal (Gaussiana)

Uma v.a. X tem distribuição Normal ou Gaussiana quando a sua f.d.p. tem a forma:

f X(x) =2

2

2

)x(

e

2

1 σµ−

−

πσ

x ∈ ℜ, µ ∈ ℜ e σ ∈ ℜ+

Na distribuição Normal a probabilidade da v.a. X assumir um valor entre a e b (a < b) é dado

por: P(a < X < b) = f x dxa

b

( )∫ Como é difícil trabalhar-se com todos os membros da família Normal, prefere-se trabalharcom a Normal Reduzida ou Normal Padrão. Esta v.a. é representada por Z e tem a seguintef.d.p.

f Z(z) =

1

2

2

2

π e

z−

z ∈ ℜ

A distribuição de Z tem média e variância iguais a, respectivamente, µ = 0 e σ2 = 1 e essav.a. é obtida da transformação Z = (X - µ)/σ, onde X ~ N(µ, σ2).

EXERCÍCIOS

3.2.1.12) Seja a v.a. X ~ N (10,4). Calcule:

a) P(8 < X < 10), P(X ≥ 12), P(X ≤ 5) e P(11 < X < 13); b) Qual é a média e a variância da variável X;

c) Calcule P(| X-10| ≤ 1);d) Calcule P(|X-5| ≤ 2).

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31

3.2.1.13) O peso dos frangos de corte criados em um galinheiro pode muito bem serrepresentado por uma distribuição normal, com média de 2,0 kg e desvio padrão de 0,1 kg.Um frigorífico comprou 4.000 desses frangos e pretende classificá-los de acordo com o pesodo seguinte modo: 20% dos mais leves como pequenos, os 50% seguintes como médios, os

20% seguintes como grandes e os 10% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação?

Distribuição Qui-quadrado

Uma v.a. X tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade (G.L’S). Quando a suaf.d.p. é dada por:

f x

nn

x x

n x e( )

( ). . .=

− −1

2

1

2

22

11

2

Γ x > 0

n ∈ N * e Γ(n

2) é o valor de função gama no ponto

n

2 ( ∫

∞−−=Γ

0

1)( dxe xm xm ) m > 0 e no caso

de m inteiro tem-se Γ (m+1) = m! e Γ (m+2

1 ) = π m

m

2

)12.......(5.3.1 −

A v.a. Qui-quadrado tem por média o número de graus de liberdade (µ = n) e por variânciaduas vezes o número de graus de liberdade, σ2 = 2n.

EXERCÍCIOS:

3.2.1.14) Seja X uma v.a. com distribuição Qui-quadrado (X ~ χ 102 ) com 10 G.L’S., calcule:

a) P(X < 18,31); b) P(X > 18,31);c) P(X ≥ 6,74);d) P(3,25 )48,20≤≤ X ;e) P(3,94 )31,18≤≤ X ;

3.2.1.15) Seja X uma variável com distribuição qui-quadrado com 20 G.L’S. Determine:a) P(8,26 )57,37≤≤ X ;

b) P(9,59 )17,34≤≤ X ;c) P(X >23,83);d) P(X

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Sejam as variáveis Z ~ N(0,1) e U ~ χ2ν. Então a v.a. T = Z

U

ν

é tem distribuição “t” de

Student com ν graus de liberdade. A v.a. T tem média E(T) = µ = 0 e variância V(T) = σ2 =

2−ν ν

, e é muito parecida com a Normal Padrão. Tem a variância um pouco maior. A f.d.p. dav.a. T ~ t ν é dada por:

f(t) =2

12

)t

1(

11

)2/(

]2/)1[(+ν

ν+

νπνΓ+νΓ

, t ∈ R e ν>0, µ = E(T) = 0 e V(T) =2−ν

ν ν>2

EXERCÍCIOS

3.2.1.17) Se X ~ N( µ σ , )2 e se sn

n

2 2

1

=−

σ (variância amostral) é a estimativa de σ 2 com

base em uma amostra com n observações, então a variável T = X

s

−tem distribuição t n−1 ,

ou seja, T ~ tn-1. Neste caso, se o tamanho da amostra é n = 11, calcule:

a) P(-2,23 )23,2≤≤ T ; b) P(T >2,76);c) P(-1,813 )813,1≤≤ T .

3.2.1.18) Seja a v.a. T ~ t 20 ,calcule:

a) P(T >2,53); b) P(T > 1,725);c) P(T < -2,53);d) P(T < -1,725).

Distribuição F de Snedecor

Seja U uma variável X m2 e V uma variável X n

2 . Então a variável X =U m

V n

/

/ tem distribuição F

de Snedecor com m e n G.L’s. A esperança e a variância da v.a. X são E(X) = µ = 2−nn

n >

2 e V(X) = σ2 =)4()2(

)2(22

2

−−

−+

nnm

nmn. A f.d.p. da v.a. X é f(x) =

2/)(

2/)2(2/

])/(1[)(

)2/()2/(

]2/)[(nm

mm

xnm

x

n

m

nm

nm+

−

+ΓΓ+Γ x > 0 e m, n = 1,2,3, .......

EXERCÍCIOS

3.2.1.19) Escreva a f.d.p. da v.a. X, que tem distribuição Fm,n com m = 10 e n = 5 g.l’s.

3.2.1.20) Escreva a esperança e a variância da v.a. do exercício anterior.

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33

EXERCICIOS:

3.2.1.21) A distribuição da v.a. X que corresponde ao tamanho de sementes utilizadas na dietade uma espécie particular de pardal, segue aproximadamente a distribuição Normal com

média 1,5mm e variância 0,99. Calcule P(X ).9,1≥

3.2.1.22) Suponha que a v.a. que representa o valor do Q.I. siga uma distribuição Normal, emuma população definida, com média 100 e desvio padrão 15. Qual a proporção da populaçãoque terá Q.I. menor do que 90? Qual proporção da população que terá Q.I. maior do que 145?E qual será a proporção daqueles que terão Q.I. entre 120 e 140?

Distribuição Uniforme no intervalo (a, b)

A variável U tem distribuição Uniforme no intervalo (a, b) se a sua f.d.p. é dada por

f U ( )u b a= −1

. A média e a variância dessa v.a. são dadas, respectivamente por E(U) = µ =(a+b)/2 e V(U) = σ2 = (b-a)2/12.

EXERCÍCIOS

3.2.1.23) Qual a média e a variância da distribuição Uniforme no intervalo (10, 30)?

3.2.1.24) Escreva a f.d.p. da v.a. U ~ U (0,1). Para que serve especificamente essadistribuição? Qual a sua média e sua variância?

3.2.1.25) Esboce o gráfico da f.d. da v.a. X ~ b(4, ½).

3.2.1.26) Esboce o gráfico da f.d. de uma v.a. X contínua, qualquer.

3.2.1.27) Seja Y = F(x) a f.d. da v.a. X. Mostre que Y ~ U (0,1).

3.2.1.28) Seja Y ~ b(1, ¼). Escreva a f.p. de Y e mostre que P(Y = y) é realmente uma f.p.

3.2.1.29) Verifique se f(x) é realmente uma f.d.p. e faça o gráfico da função usando um

programa estatístico, sendo a função f(x) = abx b-1baxe − x ∈ R + a, b ∈ R + (Weibull).

Solução:

• ∫∞

∞−

=1)( dx x f (Condição para f.d.p.)

• ( ) 1. 00

0

1 =−−=−= ∞−∞ ∞

−−−∫ eeedxeabxbb axaxb

Distribuição Exponencial com Parâmetro

A v.a. X tem distribuição Exponencial com parâmetro θ se a sua f.d.p. é dada por f(x) = θe-θx x > 0 θ > 0. A média e a variância dessa v.a. são dadas, respectivamente por, E(X) = µ = 1/θ e V(X) = 1/θ2.

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EXERCÍCIOS

3.2.1.30) Seja a v.a. X que tem distribuição Exponencial com parâmetro θ, X ~ ε (θ).

a) Escreva a f.d.p. da v.a. X;

b) Determine a f.d. de X;c) Determine se realmente f(x) é f.d.p e F(x) é f.d..d) Determine a esperança e a variância da v.a. X;e) Faça o gráfico da f.d.p de X e da f.d. de X;f) Dada a f.d. F(x) = 1 - e xθ− , x > 0 e θ > 0, determine a f.d.p. da v.a. X.

3.2.1.31) Suponha uma caixa com D peças defeituosas e N-D peças perfeitas. Sejam osexperimentos seguintes:

1) Extrair n < N peças da caixa com reposição das peças;2) Extrair n 0 e c ∈ R.

Então a v.a. Y tem densidade f Y(y) =1

bf X ( )

y c

b

− y ∈ R. Prove esta proposição.

Prova:Usando o Método do Jacobiano, tem-se que f Y(y) = f X(g

-1(y)). |Jg(g-1(y))|. Se Y =

bX + c, então, g-1(y)=b

c y − e Jg(g

-1(y)) =bdy

dx 1= . Assim, f Y(y) = f X(

b

c y −). |

b

1| e, como b

> 0, Y tem densidade f Y(y) =b

1.f X(

b

c y −).

3.2.1.33) Qual o nome que é dado para cada um dos parâmetros c e b?

3.2.1.33A) Seja a v.a. com f.d.p. f(x) = π21

e

2x2

1−

x ∈ R, determine a f.d.p. de Y = µ+σX.

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3.2.1.34) Verifique se a função f(x) = 1 com o intervalo [0,1] como contradomínio da v.a. X éf.d.p. (distribuição Uniforme (0, 1)).

3.2.1.35) Verifique se a função f(x) = θe-θx com θ > 0 e x > 0 é f.d.p. (Exponencial com

parâmetro θ).

3.2.1.36) Verifique se a função f(x) = β 2

1 e- β α || − x

com x ∈ R, α ∈ R e β ∈ R + é f.d.p.

(distribuição de Laplace ou exponencial dupla). Mostre que E(X) = α e V(X) = 2β2.

Distribuição Lognormal

Uma v.a. X tem distribuição Lognormal quando a função de X, Y= ln(X), tem distribuição Normal. A f.d.p. da v.a. X com distribuição Lognormal é:

f(x) =π σ 2

1

xe-

22

))x(ln(2

1λ−

ξ com x ∈ R +, µ ∈ R e σ ∈ R +

E(Y) = E(ln(X)) = λ e V(Y) = V(ln(X)) = ξ2.

Exercícios

3.2.1.37) Mostre que ∫∞

−

0

x2e dx =2

π.

3.2.1.38) Mostre que Γ(1/2) = π .3.2.1.39) Verifique se a função f(x) =

π σ 2

1

xe-

22

))(ln(2

1µ

σ − x com x ∈ R +, µ ∈ R e σ ∈ R +

é uma f.d.p. (dist. Lognormal).3.2.1.40) Mostre que E(Y) = E(ln(X)) = λ e V(Y) = V(ln(X)) = ξ2.3.2.1.41) Mostre que existem as seguintes relações entre os parâmetros de Y, (λ e ξ2) e os

parâmetros de X, (µ e σ):

V(Y) = V(ln(X)) = ξ2 = ln[1+(µσ

)2] e λ = ln(µ) -2

1ξ2

3.2.1.42) Mostre que se X tem distribuição lognormal, então P(a < X < b) = Φ( ξλ−) bln(

) -

Φ(ξ

λ−)aln(), onde E(ln(X)) = λ e V(Y) = V(ln(X)) = ξ2.

3.2.1.43) Mostre que E(X) =)

2

1( 2

e σ+µ

e V(X) = )2()22(22

ee σ+µσ+µ − .

3.2.1.44) A v.a. Z tem distribuição de probabilidade conhecida como Normal Padrão, ou seja,

Z ~ N(0,1) se a sua f.d.p. é f(z) =π 2

1 e-2

2

1 z z ∈ R. Prove que f(z) realmente é uma f.d.p.

Prova:

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Seja A = dze z

∫∞

∞−

− 22

1

.2

1

π , então A2 = dze

z

∫∞

∞−

− 22

1

.2

1

π . dwe

w

∫∞

∞−

− 22

1

.2

1

π ,

A2 = dzdwew z

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

+− )(2

1 22

.2

1

π

Fazendo a troca z = r.senθ e w = r.cosθ, tem-se que

A2 = dr d rer

θ π

π

∫ ∫∞

−

0

2

0

2

1 2

.2

1

A2 = 10

2

1 2

=∫∞

−dr re

r

Assim,

A = dze z

∫∞

∞−

− 22

1

.2

1

π = 1

3.2.1.45) Um resultado muito importante na geração de números aleatórios é o seguinte: “SejaY = FX(x) a f.d. da v.a. X, então Y tem distribuição Uniforme 0-1, ou seja, Y ~ U(0,1)”.

a) Prove este resultado. b) Faça o gráfico de Fx(x) e também de f(y).

3.2.1.46) Seja o experimento onde se conta o número de provas Bernoulli até a ocorrência do primeiro sucesso (inclusive). Esse experimento pode ser, p.ex., aquele onde se estáinteressado no número de amostras a serem tomadas de um processo produtivo até que ocorra

da média amostral ficar fora dos limites de controle do processo. Suponha que a probabilidadede sucesso seja θ.

a) Escreva o contradomínio da v.a. X que conta o número de provas até o sucesso;R : x = 1, 2, 3, ...

b) Escreva a f.p. da v.a. X e o nome da distribuição dessa v.a.;R : A variável X tem uma distribuição geométrica com função de probabilidade dada

por P(X = x) = θ(1 – θ)(x – 1) x = 0, 1, 2, 3, ....c) Verifique se a função que você escreveu no item anterior é realmente uma f.p.;

Solução:0 ≤ θ ≤ 1 e 0 ≤ (1 – θ)(x – 1) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ θ.(1 – θ)(x – 1) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ P(X = x) ≤ 1

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑ ∞

=

−∞

=

=

−−

=+−+−+−=−==1

210)1(

1

1)1(1

1....111..1)(

x

x

x

x X P θ

θ θ θ θ θ θ θ

3.2.1.47) Seja X uma v.a. que tem distribuição Bernoulli com parâmetro θ, ou seja, X ~ b(1,θ).

a) Escreva a f.p. da v.a. X; b) Verifique se a função do item anterior é realmente uma f.p.;c) Faça o gráfico de p(x).

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3.2.1.48) Seja Y uma v.a. que conta o número de sucessos em n provas do tipo Bernoulli. Adistribuição dessa v.a. é conhecida como Binomial n - θ, ou seja, Y ~ b(n,θ).

a) Escreva a f.p. da v.a. Y; b) Prove que a função que você escreveu é realmente uma f.p.

3.2.1.49) Seja a função definida por f(x) =

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38

3.2.1.53) Um lago profundo lago azul possui N peixes, sendo K de certa espécie. Um pescador está autorizado a pescar cinco peixes com anzol.

a) Qual a probabilidade do pescador pescar exatamente um peixe da tal espécie? b) Qual a probabilidade do pescador não pescar peixes da tal espécie?

3.2.1.54) Diz-se que o vetor X’ = [X1, X2, ..... ,Xk ] tem distribuição multinomial com

parâmetros p1, p2, ... ,pk e n onde pi ∈ (0,1) e ∑=

k

ii p

1

= 1 se p(x1,x2, ... xn) = P(X1 = x1, X2 = x2,

.... , Xk = xk ) = k xk

x x

k

p p p x x x

n.....

!!......!

!21

2121

para toda escolha de x1, x2, ... ,xk inteiros não-

negativos e independentes tais que ∑=

k

ii x

1

= n.

a) Jogando-se um dado 12 vezes, qual a probabilidade de se obter exatamente uma vez a face1, duas vezes a face 2, três vezes a face 3, uma vez a face 4, duas vezes a face 5 e trêsvezes a face 6?R :

P(X1=1,X2=2,X3=3,X4=1,X5=2,X6=3)=321321

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1.

!3!2!1!3!2!1

!12

P(X1=1,X2=2,X3=3,X4=1,X5=2,X6=3) = 0,00153

b) Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao acaso,anota-se a cor e repõe-se a bola de volta na caixa. Determine a probabilidade de que, de 6

bolas extraídas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e uma azul.

R :

P(X1=3,X2=2,X3=1) =123

12

3

12

4

12

5.

1!2!3

!6

= 0,1206

c) Prove de acordo com o enunciado do problema que Xi ~ b(12, pi).

3.3. ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

3.3.1. Definições

DEF. Seja uma v.a. X, discreta, que assume valores no conjunto {x1, x2, x3, ... ,}. Chama-seVALOR MÉDIO ou ESPERANÇA MATEMÁTICA de X ao valor: µ = E(X) =

∑=

=n

1iii )xX(Px .

DEF. Chama-se VARIÂNCIA da v.a. X ao valor: σ2 = V(X) = E[X – E(X)]2 =

)xX(P)x(

n

1ii

2

i

∑= =µ− (no caso discreto).

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DEF. A raiz quadrada da variância da v.a. X é denominada desvio padrão e é definido por σ =V X ( ) .

Uma relação muito importante é V(X) = E(X2) – [E(X)]2, onde E(X2) = ∑=

=n

1i

i2i )xX(Px .

Da mesma forma, se a v.a. é contínua tem-se a esperança de X dada por E(X) = µ =

∫∞

∞−

dx)x(xf e a variância por V(X) = E(X-µ)2 = σ2 = ( ) ( ) x f x dx−−∞

∞

∫ µ 2 .

É importante observar que a variância mede a dispersão (espalhamento) dos dados em tornoda média µ = E(X) e o desvio padrão faz isto também, mas na mesma unidade de medida dosdados.

DEF. Se as v.a’s X e Y não são independentes, existe uma diferença entre E(X.Y) eE(X).E(Y), esta diferença é chamada de covariância e definida por cov(X,Y) = E[(X-E(X)).(Y-E(Y))] e se cov(X,Y) = 0, as v.a’s são chamadas de não-correlacionadas.

DEF. A covariância entre as v.a’s X e Y padronizadas é chamada de coeficiente de correlação

ρ = E[( X E X Y E Y

x y

− −( ))(

( )

σ σ )]

EXERCÍCIOS

3.3.1) Mostre que:

a) cov(X,Y) = E(X.Y) - E(X).E(Y) b) ρ é realmente covariância entre v.a’s padronizadas;c) -1 ≤ ρ ≤ 1d) ρ(X,Y) = 1 se e somente se P(Y = aX+b) = 1 ∀a > 0 e ∀ b ∈ R.e) ρ(X,Y) = -1 se e somente se P(Y = aX+b) = 1 ∀a < 0 e ∀ b ∈ R.

3.3.2) Seja X uma variável de Bernoulli, ou seja, X = 1 com probabilidade θ e X = 0 com probabilidade 1 - θ.a) Escreva a f.p. da variável X;

b) Determine a esperança matemática de X;c) Determine a variância de X;d) Determine o desvio padrão de X.

3.3.3) Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara 3 vezes mais freqüentemente quecoroa. Essa moeda é jogada 3 vezes; seja Y o número de caras que aparece.

a) Estabeleça a distribuição de probabilidade (f.p.) de Y.R :

P(Y = y) =)3(

4

1

4

33 y y

y

−

, y = 0, 1, 2, 3.

b) Estabeleça a Função Distribuição (f.d.).

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R : FY(k) = P(Y ≤ k) = ∑=

−

k

y

y y

y0

)3(

4

1

4

33y = 0, 1, 2, 3.

c) Construa os gráficos da f.p. e da f.d. da v.a. Y, usando um programa estatístico.

d) Determine a esperança (média) e a variância da variável Y.R :

E(Y) = nθ = 25,24

9

4

3.3 ==

V(Y) = n.θ.(1 – θ) =3.3/4.1/4 = 9/16 = 0,5625.

e) Determine o desvio padrão da variável Y.R :

75,05625,0)( === Y V Y σ

3.3.4) Uma sacola contém 3 moedas de prata e 1 de ouro. Retiram-se sucessivamente 3moedas da sacola com reposição, olhando se ela é de prata ou de ouro.a) Descreva o espaço amostral Ω do experimento.

b) Seja a variável aleatória X(ω) que associa com um número real a quantidade de moedas deouro ocorridas no experimento, quais os valores que X(ω) pode assumir?

c) A variável X é discreta ou contínua, por quê?d) Escreva na tabela anterior uma coluna com a distribuição de probabilidade da variável X

(Função de Probabilidade).e) Faça o gráfico da função de probabilidade.f) Escreva na tabela anterior uma coluna com a Função Distribuição da variável aleatória X.

g) Faça o gráfico da f.d.h) Calcule a esperança e a variância da variável X.i) Calcule o desvio padrão da variável X.

3.3.5) Seja uma família com 4 crianças e seja a variável X que é associada a um número decrianças com olhos azuis na família. Sabe-se que nesta família a probabilidade de criançasnascerem com olhos azuis é de ¼.a) Calcule a probabilidade de não existir crianças com olhos azuis na família, ou de uma

criança com olhos azuis, ou duas crianças, ou três crianças, ou quatro crianças. b) Escreva a função de probabilidade da variável X, PX, e a função distribuição.c) Calcule a esperança e a variância de X.d) Calcule o desvio padrão de X.

3.3.6) Classifique as variáveis abaixo relacionadas em discreta ou contínua:a) A variável X correspondente ao número de filhos de um casal,{0,1,2,3,...}.

b) A variável Y correspondente à altura de uma pessoa adulta.c) A variável E correspondente ao erro de uma medida física.d) A variável W correspondente ao número de pessoas que chegam em casa às 9h.e) A variável T correspondente ao tempo de espera em fila de banco.f) A variável Z correspondente à duração de uma lâmpada elétrica.

3.3.7) Prove a relação V(X) = E(X

2

) - [E(X)]

2,

para o caso de X ser uma v.a. contínua.Solução:

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41

( )∫∞

∞−

−= dx x f x X V X )()(2

µ

∫∫∫ ∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

+−= dx x f dx x f xdx x f x X V X X )()(.2)()(22 µ µ

2222 )(1.2)()( X X X X X E X E X V µ µ µ µ −=+−= = E(X2) – [E(X)]2

3.3.8) A definição de Esperança Matemática em termos da integral de Stieltjes é E(X) =

∫∞

∞−

)( x xdF X = ∫∞

∞−

dx x xf )( , então prove a seguinte proposição: E(X) = ∫∞

−0

)](1[ dx x

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