Cef Matematica 2 2012

CEF MATEMTICA (TC. BANCRIO) 15-2-2012

APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos

Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 1

JUROS SIMPLES

Consideremos os seguintes fatos:

Emprestei R$ 100 000,00 para um amigo pelo prazo de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 24 000,00 de juros.

O preo de uma televiso, a vista, R$ 4.000,00. Se eu comprar essa mesma televiso em 10 presta-es, vou pagar por ela R$ 4.750,00. Portanto, vou pagar R$750,00 de juros.

No 1. fato, R$ 24 000,00 uma compensao em di-nheiro que se recebe por emprestar uma quantia por de-terminado tempo.

No 2. fato, R$ 750,00 uma compensao em dinhei-ro que se paga quando se compra uma mercadoria a pra-zo.

Assim:

Quando depositamos ou emprestamos certa quantia por determinado tempo, recebemos uma compen-sao em dinheiro.

Quando pedimos emprestada certa quantia por de-terminado tempo, pagamos uma compensao em dinheiro.

Quando compramos uma mercadoria a prazo, pa-gamos uma compensao em dinheiro.

Pelas consideraes feitas na introduo, podemos di-zer que :

Juro uma compensao em dinheiro que se recebe ou que se paga.

Nos problemas de juros simples, usaremos a seguinte nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomi-na-se capital.

O porcentual denomina-se taxa e representa o juro re-cebido ou pago a cada R$100,00, em 1 ano.

O perodo de depsito ou de emprstimo denomina-se tempo.

A compensao em dinheiro denomina-se juro.

RESOLUO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES

Vejamos alguns exemplos:

1. exemplo: Calcular os juros produzidos por um capi-tal de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao ano, duran-te 5 anos.

De acordo com os dados do problema, temos:

25% em 1ano 125% (25 . 5) em 5 anos

125% = 100

125= 1,25

Nessas condies, devemos resolver o seguinte pro-blema:

Calcular 125% de R$ 720 000,00. Dai:

x = 125% de 720 000 =

1,25 . 720 000 = 900 000.

Resposta: Os juros produzidos so de R$ 900.000,00

2. exemplo: Apliquei um capital de R$ lo 000,00 a uma taxa de 1,8% ao ms, durante 6 meses. Quanto esse capital me render de juros?

1,8% em 1 ms 6 . 1,8% = 10,8% em 6 meses

10,8% = 100

8,10 = 0,108

Dai:

x = 0,108 . 10 000 = 1080

Resposta: Render juros de R$ 1 080,00.

3. exemplo: Tomei emprestada certa quantia durante 6 meses, a uma taxa de 1,2% ao ms, e devo pagar R$ 3 600,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada?

De acordo com os dados do problema:

1,2% em 1 ms 6 . 1,2% = 7,2% em 6 meses

7,2% = 100

2,7 = 0,072

Nessas condies, devemos resolver o seguinte pro-blema:

3 600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule x.

Dai:

3600 = 0,072 . x 0,072x = 3 600

x = 072,0

3600

x = 50 000

Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 50.000,00.

4. exemplo: Um capital de R$ 80 000,00, aplicado du-rante 6 meses, rendeu juros de R$ 4 800,00. Qual foi a taxa (em %) ao ms?

De acordo com os dados do problema:




x% em 1 ms (6x)% em 6 meses

Devemos, ento, resolver o seguinte problema:

4 800 representam quantos % de 80 000?

Dai:

4 800 = 6x . 80 000 480 000 x = 4 800

x = 000 480

800 4 x =

800 4

48 x = 0,01

0,01 = 100

1 = 1 %

Resposta: A taxa foi de 1% ao ms.

Resolva os problemas:

- Emprestando R$ 50 000,00 taxa de 1,1% ao ms, durante 8 meses, quanto deverei receber de juros?

- Uma pessoa aplica certa quantia durante 2 anos, taxa de 15% ao ano, e recebe R$ 21 000,00 de ju-ros. Qual foi a quantia aplicada?

- Um capital de R$ 200 000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses taxa de 18% ao ano. No final des-se tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acumulado (capital aplicado + juros)?

- Um aparelho de televiso custa R$ 4 500,00. Como vou compr-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrar juros simples de 1,6% ao ms. Quanto vou pagar por esse aparelho.

- A quantia de R$ 500 000,00, aplicada durante 6 meses, rendeu juros de R$ 31 000,00. Qual foi a taxa (%) mensal da aplicao

- Uma geladeira custa R$ 1 000,00. Como vou com-pra-la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobra-ra juros simples de 1,5% ao ms. Quanto pagarei por essa geladeira e qual o valor de cada prestao mensal, se todas elas so iguais.

- Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O preo original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros simples cobrados pela firma foram de R$ 160,00. Qual foi a taxa (%) mensal dos juros cobra-dos?

Respostas

R$ 4 400,00

R$ 70 000,00

R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00

R$ 5 220,00

1,1%

R$ 1 075,00 e R$ 215,00

R$ 109 600,00

2,5%

JUROS COMPOSTOS

1. Introduo

O dinheiro e o tempo so dois fatores que se encontram estreitamente ligados com a vida das pessoas e dos negcios. Quando so gerados excedentes de fundos, as pessoas ou as empresas, aplicam-no a fim de ganhar juros que aumentem o capital original disponvel; em outras ocasies, pelo contrrio, tem-se a necessidade de recursos financeiros durante um perodo de tempo e deve-se pagar juros pelo seu uso.

Em perodo de curto-prazo utiliza-se, geralmente, como j se viu, os juros simples. J em perodos de longo-prazo, utiliza-se, quase que exclusivamente, os juros compostos.

2. Conceitos Bsicos

No regime dos juros simples, o capital inicial sobre o qual calculam-se os juros, permanece sem variao alguma durante todo o tempo que dura a operao. No regime dos juros compostos, por sua vez, os juros que vo sendo gerados, vo sendo acrescentados ao capital inicial, em perodos determinados e, que por sua vez, iro gerar um novo juro adicional para o perodo seguinte.

Diz-se, ento, que os juros capitalizam-se e que se est na presena de uma operao de juros compostos.

Nestas operaes, o capital no constante atravs do tempo; pois aumenta ao final de cada perodo pela adio dos juros ganhos de acordo com a taxa acordada.

Esta diferena pode ser observada atravs do seguinte exemplo:

Exemplo 1: Suponha um capital inicial de R$ 1.000,00 aplicado taxa de 30.0 % a.a. por um perodo de 3 anos a juros simples e compostos. Qual ser o total de juros ao final dos 3 anos sob cada um dos rearmes de juros?

Pelo regime de juros simples:

J = c . i . t = R$ 1.000,00 (0,3) (3) = R$ 900,00

Pelo regime de juros compostos:

J C ion

1 1 =

00,197.1$13,100,000.1$ 3 RRJ Demonstrando agora, em detalhes, o que se passou

com os clculos, temos:

Ano Juros simples Juros Compostos

1 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00

2 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.300,00(0,3) = R$ 390,00




3 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.690,00(0,3) = R$ 507,00

R$ 900,00 R$1.197,00

Vamos dar outro exemplo de juros compostos:

Suponhamos que voc coloque na poupana R$ 100,00 e os juros so de 10% ao ms.

Decorrido o primeiro ms voc ter em sua poupana: 100,00 + 10,00 = 110,00

No segundo ms voc ter:110,00 + 11,00 =111,00

No terceiro ms voc ter: 111,00 + 11,10 = 111,10

E assim por diante.

Para se fazer o clculo fcil: basta calcular os juros de cada ms e adicionar ao montante do ms anterior.

JUROS COMPOSTOS

Conceito

Juros compostos, acumulados ou capitalizados, so os que, no fim de cada perodo, so somados ao capital cons-titudo no incio, para produzirem novos juros no perodo seguinte.

Seja, por exemplo, um capital de 1.000 unidades mone-trias colocado a 20% a.a. durante 4 anos.

No fim do primeiro ano o juro igual a 200, que capi-talizado, isto , somado ao capital 1000 para, assim, o novo capital, 1200, produzir juros no segundo ano. Ao final deste, o juro ser de 240, ou seja, 20% de 1200. O capital a produzir juro no terceiro ano de 1.440 (1.200 + 240). O juro ser 288. No quarto ano o juro ser de 20% sobre o capital 1.728 (1.440 + 288), ou seja, 345,60. Dessa forma, o montante no fim do quarto ano ser de 2.073,60 unida-des de capital.

O grfico abaixo mostra os juros calculados no fim de cada perodo e os respectivos montantes.

Comparando os juros compostos com os juros simples, verifica-se que os primeiros crescem em progresso geo-mtrica, enquanto os juros simples so constantes em todos os perodos, pois so calculados sempre sobre o capital inicial.

No problema citado, os juros simples so iguais a 200 unidades monetrias em todos os anos. Assim, o montante do capital de 1.000, a juros simples de 20% a.a., cresce numa progresso aritmtica de razo 200, enquanto o montante a juros compostos cresce em progresso geom-trica de razo 1,2. O quadro abaixo apresenta a evoluo dos montantes a juros simples e compostos.

Anos 0 1 2 3 4

Montante a

Juros simples

1000 1200 1400 1600 1800

Montante a

Juros compostos

1000 1200 1440 1780 2073,6

Representando graficamente, temos:

Pode-se verificar, pelo grfico acima, que, para n 1, os juros compostos e os juros simples so iguais; para n < 1, os juros simples so maiores que os juros compostos e, para n > 1, os juros compostos sempre excedem os juros simples.

CLCULO DO MONTANTE (CN)

No problema anterior, calculou-se o montante do capital de 1.000, em 4 anos, a 20% a.a., resolvendo quatro pro-blemas de juros simples, ou seja, calculando os juros em cada ano a partir do montante constitudo no ano anterior. Pode-se, entretanto, deduzir uma frmula para o clculo do montante em funo do capital inicial, da taxa do juro e do tempo de aplicao.

Os juros foram calculados, em cada ano, aplicando-se a frmula j = Ci (n = 1) e os resultados obtidos estio resu-midos no quadro abaixo:

Capital Juros Montante

1 ano 1000 200 1200

2 ano 1200 240 1440

3 ano 1440 288 1728

4 ano 1780 345,6 2073,6

Representando literalmente os valores do quadro aci-ma, temos:

Capital Juros Montante

n =1 C j1 C1

n =2 C1 J2 C2

n =3 C2 j3 C3

n =4 C3 j4 C4

Seja CN, o montante do capital C, taxa i, no fim de n




perodos. Resolvendo literalmente o problema anterior, temos:

para n =1 C1 = C+ j1

como j1 = Ci

C1 =C + Ci = C(1+i)

para n =2 C2 = Ci + j2

C2 = C1 +C1i = C1 (1+i) = C (1+i) (1+i) =C (1 +i)2

para n = 3 C3 = C2+j3

C3 = C2 + C2i = C2 (1+i) = C (1 +i)2 (1+ i) = C(1 +j)

3

para n=4 C4 = C3+j4

C4 = C3 +C3 i = C3 (1 +i) = C(1+i)3 (1 +i) = C (1+j)

4

Analogamente:

C5 =C (1 + i)5

C6 = C (1+i)6

Finalmente, para n qualquer,

Cn = C ( 1+i)n

Obs.: Nessa frmula, como em todas as demais da ma-temtica financeira, a taxa unitria i e o nmero de pero-dos n devem referir-se d mesma unidade de tempo. Assim, se i taxa anual, n dever expressar nmero de anos; se l taxa semestral. n ser nmero de semestres etc.

EXEMPLOS

1. Calcular o montante do capital de 10.000 unidades monetrias, a 10% a.a., em 3 anos.

C = C(1+i)N

C = 10.000

C = 0,1 (10%a.a.)

n = 3(anos)

C3 = 10.000(1+0,1)3

C3 = 10.000 x 1,13

C3 = 10.000 x 1,331

C3= 13.310

2. Determinar o montante de 3.000 unidades monetrias, a 2% ao ms, no fim de 2 anos.

Cn = C (1 +i)n

C = 3.000

i = 0,02 (2% ao ms)

n = 24 (meses)

C24 = 3.000(1 +0,02)24

= 3.000x 1,0224

O valor de 1,0224

fornecido por tbua financeira (T-bua 1) e igual a 1,608437.

C24 = 3.000 x 1,608437

C24 = 4.825,31

TBUAS FINANCEIRAS

Na aplicao da frmula do montante deve-se calcular

o valor da potncia (1 + j)n. Por isso, foi colocada no fim

deste livro (apndice) a Tbua financeira 1, que fornece os valores da expresso (1 + i)

n para vrios valores de i e n.

Para localizar, na Tbua 1, determinado valor, procura-se na primeira linha a taxa centesimal correspondente a / e, na primeira coluna, o valor de n. na interseco da linha dos perodos com a coluna da taxa que ele se encon-tra. Convm recordar aqui que se estiver tomando uma taxa anual, n estar representando o nmero de anos; se a taxa for trimestral, n ser o nmero de trimestres etc.

EXEMPLOS:

1. Se o problema envolve uma taxa mensal de 2% por um ano e 6 meses, ento:

(1 +i)n =(1 + 0,02)

18

1,428246

2. Para taxa trimestral de 5% em 2 anos, temos:

(1 +i)n =(1 + 0,05)

8

1,477455

CAPITALIZAO DOS JUROS

Na constituio do montante, os juros podem ser calcu-lados no fim de cada ano, semestre, trimestre ou ms. Assim, os juros podem ser capitalizados anualmente, se-mestralmente, trimestralmente ou mensalmente.

Geralmente, com referncia ao perodo de capitaliza-o, a taxa de juros anual.

EXEMPLOS

1. Juros de 18% .a. capitalizados semestralmente.

2. Juros de 20% a.a. capitalizados trimestralmente.

3. Juros de 12% a.a.capitalizados mensalmente.

Nesses casos, ao calcular o valor da expresso (1 + i)n

emprega-se a taxa proporcional, ou seja: no exemplo 1, a taxa semestral proporcional a 18% a.a. de 9%; no exem-plo 2 a taxa proporcional de 5% ao trimestre; e, no e-xemplo 3, a taxa a ser utilizada de 1% ao ms. Entretan-to, s vezes, usa-se a taxa equivalente, conforme se ver mais frente.




EXEMPLOS

1. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.m., no fim de 2 anos, com juros de 24% a.a. capitalizados tri-mestralmente?

Cn = C (1 +i)n

i = 0,06 (6% ao trimestre)

n = 8 (trimestres)

C8 = 500 (1 +0,06)8

(1 + 0,06)8

1,593848

C8 = 500 x 1,593848

C8 = 796.92 u.m.

2. O capital de 120 u.m. foi colocado a juros de 20% a.a capitalizados semestralmente. Qual o montante no fim de 2 anos e 6 meses?

Cn = C (1 +i)n

i = 0,1 (10% ao semestre)

n = 5 (semestres)

C5 = 120 (1 +0,1)5

(1 + 0,1)5

1,610510

C5 = 120 x 1,610510

C5 = 193,26 u.m.

Em meses:

Cn = C (1 +i)n

i = 0,02 (2% ao ms)

n = 20 (meses)

C20 = 3.000 (1 +0,02)20

(1 + 0,02)20

1,485947

C20 = 3.000 x 1,485947

C20 = 4.457,84 u.m.

CLCULO DO VALOR DE (1 + i)n NO TABELADO

Quando o valor da expresso (1 + i)n no for fornecido

diretamente pela tbua financeira, isto 6, a tbua no tiver a taxa do problema ou n for um nmero que no conste na

tbua, pode-se achar o valor dessa expresso com auxlio de logaritmos ou fazendo interpolao dos valores tabela-dos. Obviamente, se se dispuser de uma calculadora que faa potenciao, o clculo ser bem simplificado.

Clculo de (1 +i)n com emprego de logaritmos

Fazendo:

x = (1 +i)n

Log x = log (1 +i)n

Log x = n log(1 +i)

x = antilog [n log (1+i)]

EXEMPLOS

1. Se a taxa de 5,5% ao trimestre e o prazo de aplicao de 2 anos, entro:

(1 +i)n =(1 + 0,055)

8

Por hiptese, a tabela no fornece a taxa de 5,5%, po-de-se calcular o valor de (1 + 0,055)

8 com auxlio de lo-

garitmos. Assim:

x = (1 + 0,055)8

log x = log(1 + 0,055)8

log x = 8log 1,055

log x = 8 x 0,0232525

log x = 0,18602

x = antilog 0,18602

x = 1,534687

Portanto, (1 + 0,055)8 = 1,534687 (veja Tbua 1)

2. Admita-se que um capital colocado por 2 anos e 2 meses a juros de 20% a.a. capitalizados semestralmen-te. Neste problema, a taxa de 10% ao semestre e n igual a 4 2/6 = 4 1/3 (semestres). Ento:

3

13

0,1)(10,1) (1 n

i) (1 31

4

3

13

0,1)(1x

3

13

0,1)log(1 xlog

log1,13

13 xlog

0,4139273

13 xlog




log x = 0,1793683

x = antilog 0,1793683

x = 1,511361

portanto 511361,1 31

4

0,1) (1

INTERPOLAO DE VALORES TABELADOS

Nos dois exemplos anteriores, os valores da expresso (1 + 1) podem tambm ser calculados fazendo-se interpo-lao linear dos valores aproximados, fornecidos pela t-bua financeira.

Para o clculo do valor de (1 + 0,055)8, procuram-se na

tbua as taxas mais prximas de 5,5%, que so 5% e 6%. Na linha correspondente a 8 perodos, os valores da fun-o (1 + i)

n, para estas taxas, so 1,477455 e 1,593848,

respectivamente. Estabelecendo uma regra de trs calcula-se o valor da funo para a taxa de 5,5%.

5% 6%

8 1,477455 1,593848

Para um acrscimo da taxa de 1% (6% 5%), a fun-o tem um acrscimo de 0,116393 (1,593848 1,477455); ento, um acrscimo de 0,5% (5,5% 5%) corresponde a um acrscimo de x no valor da funo. Por-tanto:

1% 0,116393

0,5% x

x

0,116393

0,5

1

x = 0,5 x 0,116393

x = 0,058196

Somando-se esse valor ao da funo correspondente taxa de 5% e 8 perodos, tem-se o valor da expresso (1 + 0,055)

8. Dessa forma:

(1+0,055)8 = 1,535651(1,477455+0,058196)

Entretanto, deve-se observar que os valores de (1 + i)n

obtidos por interpolao linear da taxa sero sempre um pouco maiores que os valores reais, pois estes crescem na forma exponencial e, pela interpolao linear considera-se um segmento de reta entre dois pontos da exponencial.

Podemos observar melhor a superestimao de (1+ i)n,

pela interpolao linear, atravs da representao grfica abaixo.

Neste exemplo, verifica-se que o valor calculado para (1 + 0,055)

8 com auxlio de logaritmos, 1,534687 (valor

real), menor que 1,535651, calculado por interpolao linear. Assim, sempre que o clculo exigir preciso deve-se evitar a interpolao linear.

No segundo exemplo, onde 3

14n e a taxa de 10%,

interpolando os valores tabelados, temos:

Acrscimo no n Acrscimo da funo

1

0,149510(1,610510 1,461000)

3

1

x

x = 3

1 x 0,149510

x = 0,049836

Portanto: 31

40,1)(1 = 1,510836

Comparando este valor com aquele obtido com auxlio de logaritmos (1,511361) verifica-se que a interpolao linear subestima o valor real de (1 +i)

n Isto ocorre pois,

como foi visto anteriormente, em 3

1 de perodo os juros

simples (interpolao linear) so maiores que os juros compostos (exponencial). Este tipo de interpolao no ser empregado, pois, nesses casos, o clculo do mon-tante feito atravs do sistema de capitalizao mista.

CAPITALIZAO MISTA

Como vimos, quando n < 1 os juros simples so maio-res que os compostos, por isso, sendo n um nmero misto, na prtica, calcula-se o montante a juros compostos na parte inteira de n e, em seguida, calculam-se os juros sim-ples desse montante na parte fracionria de n. Esse siste-ma de clculo denomina-se capitalizao mista.

EXEMPLO

Determinar o montante de 900 unidades monetrias, a 24% a.a. capitalizados semestralmente, em 2 anos e 2 meses.

Ci = C(1+i)n

i = 0,12(12% ao mestre)




3

14n (semestre)

Pela capitalizao mista, calcula-se o montante a juros compostos em 4 penodose, em seguida, calcula-se os juros simples desse montante em 2 meses.

C4= 900 (1+ 0,12)4

(1+ 0,12)4

1,573519

C4= 900 . 1,573519

C4= 1.416,17

Aplicando agora a frmula do montante a juros simples, Cn = C(l + i n), onde:

C= 1.416,17

i = 0,02(2% ao ms)

n = 2 (meses)

C2 = 1.416,17(1+0,02x2)

C2 = 1.472,81

Portanto, o montante pela capitalizao mista de 1.472,81 unidades monetrias. Esse mesmo resultado obtido se resolvermos o problema fazendo a interpolao linear para o clculo do valor de (1 + i)

n. Vejamos:

Cn = C(1+i)n

C = 900

i = 0,12(12% ao mestre)

3

14n (semestre)

C3

14

= 900(1+0,12) 31

4

n 12%

4 1,573519

5 1,762341

1

0,188822(1,762341 1,573519)

3

1

x

x = 3

1 x 0,188822

x = 0,062941

C3

14

= 1.472,81

SISTEMA PRICE

Quando um capital colocado a juros compostos capi-talizados mensalmente a uma taxa anual, convencionou-se chamar esse sistema de capitalizao de Price, e as tabu-as financeiras, que fornecem taxas anuais de juros e o nmero de perodos de capitalizao em meses, de tabelas Price.

No apndice, apresenta-se uma amostragem das tabe-las Price (Tbuas VI a X).

EXEMPLO

1. Calcular o montante do capital de 1.000 unidades mo-netrias, por 2 anos, a 12% a.a. capitalizados mensal-mente.

i = (1 + ik)k 1

ik = 0,005

k = 12

i = (1 + 0,005)12

1

(1 + 0,005)12

1,061678

i = 1,061678 1

i = 0,06167 ou 6,167% a.a.

JUROS COMPOSTOS CONTNUOS

Os juros compostos so denominados contnuos quan-do o nmero de capitalizaes tende para infinito.

Considere-se o seguinte problema: calcular o montante de 1.000 unidades monetrias, por 3 anos, a 10% a.a. capitalizados:

a) anualmente

b) semestralmente

c) trimestralmente, e

d) mensalmente

1.348,181,3481811000360,00833)1000(13d)C

1.344,891,3448891000120,025)1000(13c)C

1.340,101,340095100060,5)1000(13b)C

1,3311,331000100030,1)1000(13a)C

Verifica-se, atravs desse problema, que, medida que aumenta o nmero de capitalizaes. o montante tambm




aumenta. Quando n tende para infinito, os juros compostos so contnuos.

CLCULO DO MONTANTE

O problema de juros compostos contnuos consiste em calcular o limite para o qual tende o montante quando o nmero de capitalizaes tende para infinito.

Pode-se verificar, no exemplo anterior, que o montante no cresce proporcionalmente ao nmero de capitaliza-es. Dessa forma, a curva correspondente aos montantes de um certo capital, a uma determinada taxa, em funo do nmero de capitalizaes, num tempo constante, tem con-cavidade para baixo, conforme o grfico seguinte:

Cn o limite para o qual tende o montante quando n

tende para infinito

Seja k o nmero de capitalizaes em 1 ano, e n o nmero de anos.

Teremos a frmula geral do montante:

Cn = C (1+i)n

Substituindo i por k

1:

kn

kCnC )

11(

Dividindo 2 termos da frao por i:

kn

i

kCCn )

11(

Seja k =i

k;portanto, k = ki

ink

k

iCCn

')'

1(

Calculando o limite quando k ,

nik

kn ')

'

11(

k'C lim

k'C lim

ni

kn k

'

)'

11(

k' lim

k'C lim

k'C lim '

Sendo Cn e C constantes;

nn C ' k

C lim

C ' k

C lim

A expresso lim(1+i

k)k

um dos limites fundamentais

da lgebra e igual a e = 2,718. Portanto:

K

Cn=C ein

Obs: O valor da expresso ein

ter de ser calculado

com calculadora eletrnica ou com o auxlio de logaritmos.

EXEMPLO

Calcular o montante do capital de 1.000 unidades mo-netrias, em 3 anos, com juros de 10% a.a. capitalizados continuamente.

Cn = C .e in

C = 1000

e = 2,718

i = 0,1

n = 3

C3 = 1000 x 2,7180,1 x 3

C3 = 1000 x 2,7180,3

Fazendo x = 2,7180,3

e calculando com auxlio de loga-ritmos,

logx = log2,7180,3

logx = 0,3log2,718

logx = 0,3 x 0,432495

logx = 0,13027485

x = antilog 0,13027485

x = 1,34981

C3 = 1,34981

C3 = 1000 x 1,34981

C3 = 1,349,81

Taxa instantnea

A taxa anual cujos juros so capitalizados continuamen-te denominada taxa instantnea.

Taxa anual equivalente taxa instantnea




Seja i a taxa anual e ii a taxa instantnea equivalente. Ento, um capital C, em n anos, produzir o mesmo mon-tante taxa i e taxa ii. Os montantes so:

Cn = C (1 + i)n (capitalizao anual)

Cn = C . eiin

(capitalizao contnua)

C(1+i)n = C x e

ii

1+ i = eii

Dessa igualdade, pode-se deduzir i em funo de ii e em funo de i. No primeiro caso, temos:

1 ii

ei

Para deduzir a expresso do valor de ii em funo de i aplicam-se logaritmos igualdade.

)1log(4342495,0

1

)1log(log

1

log)1log(

log)1log(

1

ii

ie

i

eii

ei

ei

i

i

i

i

i

i

i

ii = 2,3028 log (1+i)

EXEMPLO

1. Qual a taxa anual equivalente taxa instantnea de 10%?

a.a 10,51% ou 0,10551i

11,10551i

1,1051x

0,04342495logx

0,43424950,1logx

80,1log2,71logx

0,12,718x

10,1

2,718i

0,1ii

2,718e

1ieii

2. Qual a taxa de instantnea equivalente a 10% a.a?

%53,90953,0

0413927,03028,2

)1,01log(3028,2

1,0

)1log(3028,2

oui

i

i

i

ii

i

i

i

i

PROBLEMAS RESOVIDOS

1. Calcular os juros do capital de 1000 unidades monetrias, colocado por 4 anos, a 20% a.a. capitalizados semestralmente.

J = Cn - C

Cn = C (1+i)n

J = C (1+i)n C

J = C[(1+i)n 1]

i = 0,1 (10% ao semestre)

n = 8 (semestre)

J = 1.000 [(1 + 0,1)8 1]

(1 + 0,1)8

2,143588 (Tbua I)

J = 1.000 [2,143588 1]

J = 1.000 x 1,143588

J = 1.143,59

2. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.m., a 10% a.a. capitalizados mensalmente, em 2 anos?

Cn = C (1 + i)n

i = 0,00833... (0,833... % ao ms)

n = 24 (meses)

C24 = 500 (1 + 0,00833...)24

(1 + 0,00833...)

24

1,220390 (Tbua VI)

C24 = 500 x 1,220390

C24 = 610,20

3. Um emprstimo de 2000 unidades monetrias dever ser resgatado no fim de 3 anos com juros de 15% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual o valor do resgate?

1212

nn

0,0375)2000(1C

s)(trimestre 12n

trimestre) ao (3,75% 0,0375i

i)C(1C




Interpolados os valores da Tbua I, correspondente a

(1+i)n para3,5% e 4%, temos:

n

3,5%

4%

12 1,511069 1,601032

0,5%

0,089963

0,25%

x

5,0

x0,0899630,25 x

Portanto:

(1+0,0375)12

= 1,511069+0,044982 = 1,556051

C12 = 2000 x 1,556051

C12 = 3.122,10

4. Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondente a 2% ao ms.

Taxa nominal = 2% x 12 = 24% a.a.

Taxa efetiva:

i =(1 +k)k -1

ik = 0,02

k = 12

i = (1+0,02)12

-1

i = 1,268242-1

i = 0,268242 ou 26,824%a.a.

5. Com relao ao ano-base de 1964,o ndice de preos no ano de 1966 foi de 149, passando para 212 em 1968. Considerando os ndices referidos ao ms de dezembro, calcular a taxa mensal mdia de inflao nesse perodo de 24 meses.

Log(1+i) = log Pn- log P

n

Pn = 212

P =149

n = 24

log(1+i) = log212 log149

24

log(1+i) = 2,32633586 2,17318627

24

6. O capital de 1.000 unidades monetrias produziu o montante de 1.70P unidades monetrias em 1 ano e 9 meses. Qual foi a taxa trimestral dos juros?

Cn = C (1+i)n

Cn = 1700

C = 1000

n = 7(trimestralmente)

1700 = 1000 (1+i)7

(1+i)7 = 1700

1000

(1+i)7 =1,7

Implementando:

n 7% 8%

7 1,605781 1,713824

O valor de (1 + i)7 = 1,7 est na tbua entre as taxas de

7% e 8%.

0,108043 1%

0,094219 x

x = 0,094219

0,108043

x = 0,87%

x = 7,87% ao trimestre

EQUIVALNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS

Def.: Dois capitais so ditos diferidos se tm venci-mentos em datas diferentes.

Def.: Dois ou mais capitais so ditos equivalentes se, em certa poca, seus valores atuais forem iguais.

Problemas de equivalncia de capitais diferidos tm uma importncia muito grande pois permitem a substituio de ttulos que vencem em datas diferentes.

Mas, para resolver problemas assim, devemos:

1) Estabelecer uma data de comparao. No caso de juros simples, esta deve ser a data em que a dvida foi contrada (data zero).

2) Calcular o Valor Atual de todos os ttulos envolvi-dos no problema na data de comparao.




3) Comparar os valores calculados. Se o resultado for uma igualdade, esses capitais diferidos so equivalentes podendo, portanto, ser trocados.

PROBLEMAS PROPOSTOS

01. Calcular o montante de 1.000 u.m. no fim de 3 anos, a 16% a.a. capitalizados semestralmente.

02. Qual o juro de 2.000 u.m. no fim de 2 anos e meio, a 20% a.a. capitalizados trimestralmente? .

03. O capital de 1.500 u.m. foi colocado a 12% a.a. durante 4 anos. Qual o tante?

04. O capital de 1.000 u.m. produziu o montante de 1.695,881 u.m. em 3 anos. Qual a taxa trimestral do juro?

05. Em quanto tempo um capital dobrar de valor a 18% a.a. capitalizados trimestralmente?

06. Determinar o montante de 1.200 u.m. no fim de 4 anos, a 12% a.a. capitalizados mensalmente.

07. Qual a taxa anual de juros que, capitalizados semestralmente, faz com que o capital de 2.500 u.m. produza 2.000 u.m. de juros em 3 anos e 6 meses?

08 Durante quanto tempo 2.500 u.m. produzem 1.484,621 u.m. de juros, a 24% a.a. capitalizados trimestralmente?

09 O capital de 4.000 u.m. colocado a 20% a.a. capitalizados trimestralmente e o de 7.000 u.m. colocado a 10% a.a. capitalizados semestralmente. No fim de quanto tempo os montantes sero iguais?

10 Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a.a. capitalizados trimestral-mente e o restante, a 20% a.a. capitalizados semestralmente. No fim de 2 anos e 6 meses retirou o montante de 2.061,877 u.m. Qual foi o capital aplicado?

11 Uma instituio financeira paga juros de 24% a.a. capitalizados trimestral-mente. Qual a taxa efetiva?

12. Qual a taxa trimestral de juro equivalente a 22% a.a.?

13. Um capital foi aplicado a 1,5% ao ms. Qual a taxa anual equivalente?

14. Qual a taxa mensal de juro equivalente a 20% a.a.?

15. O capital de 1.000 u.m. foi aplicado durante 1 ano e 3 meses a uma taxa trimestral de juros. Se a taxa fosse de 2% ao ms os juros seriam maiores em 69,58 7 u.m. Qual a taxa de aplicao?

Respostas:

01- 1.586,874 u.m.

02- 1.257,79 u.m.

03- 2.360,279 u.m.

09- 5 anos, 8 meses e 23 dias.

10- 1.323,07 u.m.

11- 26,24%a.a.

04- 4,5% ao trimestre.

05- 3 anos, 11 meses e 6 dias.

06- 1.934,671 u.m.

07- 17,52% a.a.

08- 2 anos.

12- 5,11% ao trimestre.

13- 19,56% a.a.

14- 1,532% ao ms.

15- 5% ao trimestre.

EXERCCIO RESOVIDOS MATEMTICA

01. Quanto 13% de 200?

Soluo:

Taxa = 13% = 100

13,0

Principal = 200

Porcentagem = taxa principal

Porcentagem = 0,13 200 = 26

Resposta: 13% de 200 26.

02. Calcular 250% de 32.

Soluo:

Taxa = 250% =100

250 = 2,5

Principal = 32


Porcentagem = 2,5 32 = 80

Resposta: 250% de 32 80.

03. Obter 3,5% de $4 500,00.

Soluo:

Taxa = 3,5% = 100

5,3 = 0,035

Principal 4 500


Porcentagem = 0,035 4 500 = 157,5

Resposta: 3,5% de $4 500,00 $ 157,50.

04. Qual o principal que taxa de 20% resulta uma porcentagem de 36?

Soluo




Taxa = 100

20 = 0,2

Porcentagem = 36


36 = 0,2 principal

Principal =2,0

36 = 180

Resposta: O principal 180.

05. Qual a taxa que, aplicada num capital de $720 000,00, resulta uma porcentagem de $21 600,00?

Soluo

Principal = 720 000

Porcentagem = 21 600


21 600 = taxa 720 000

Taxa =720000

21600 21600 = 0,3 =

100

3 = 3%

Resposta: A taxa de 3%.

06. Por quanto devo vender um carro que comprei por $ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra?

Soluo

Preo de venda = (1 + 0,05) 40000

Preo de venda = 1,05 40000

Preo de venda = 42 000

Resposta: Devo vender por $ 42 000,00.

07. A quanto devo vender um objeto que comprei por $ 1900,00 para lucrar 5% sobre a venda?

Soluo:

Preo de venda: )05,01(

1900

Preo de venda = 95,0

1900

Resposta: O preo de venda ser de $ 2000,00.

08. Uma fatura de $ 5000,00 sofrer descontos suces-sivos de 5% e mais 8%. Por quanto ser liquidada?

Soluo:

Valor lquido = 5000 (1 - 0,05) (1 - 0,08)

Valor lquido 5 000 0,95 0,92

Valor lquido 5 000 0,8740

Valor Lquido 4 370

Resposta: A fatura ser liquidada por $ 4370,00.

09. Na venda de um objeto ganhou-se 5% sobre o pre-o de venda, ou seja, $200,00. Qual foi o preo de custo?

Soluo:

Se foram ganhos 5% sobre a venda, podemos dizer que o custo corresponde a 95%, pois:

95% + 5% = 100%

custo lucro venda

Numa regra de trs, teremos:

5%

200

95%

x

Ento:x =5

20095 =3 800

Resposta: O objeto foi comprado por $3 800,00.

10. Certo comerciante vendeu mercadorias compradas por $1800,00 com o lucro de 10% sobre a venda. Quanto ganhou?

Soluo:

J que o lucro foi de 10% sobre a venda, o preo de custo corresponde a 90%. pois 90% + 10% = 100%.

Numa regra de trs, teremos:

90%

1 800

10%

x

x = 90

1800 10= 200

Resposta: O comerciante ganhou $ 200,00 na transa-o.

11. Qual o juro simples que um capital de $ 30000,00 produz, quando aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m. (l-se ao ms)?

Soluo:

J = C i n J = 30000 0,035 5

J = 5 250

Resposta: O juro de $ 5250,00.




12. Qual o juro simples que um capital de $ 2500,00 rende quando aplicado durante um ano, taxa mensal de 2%?

Soluo:

J = C i n J = 2500 0,02 12

J = 600

Resposta: O juro de $ 600,00.

13. Um capital de $ 10000,00, investido a juros simples de 63% ao ano, foi sacado aps trs meses e dez dias, a contar da data do investimento. Qual foi o ju-ro?

Soluo:

Na resoluo desse problema importante tomar cui-dado com as unidades de tempo. Assim:

3 meses e 10 dias = 100 dias

J = C i n J = 10000 0,63 360

100

Observe que o perodo n foi reduzido a anos, uma vez que dividimos o nmero de dias por 360, que o ano comercial.

J = 10000 0,63 360

J = 1750

Resposta: O juro de $1750,00.

O mesmo efeito seria obtido se fizssemos:

J = 10000 0,63 12

3

13

Veja que, nesse caso, utilizamos o tempo em meses,

pois 3 meses e 10 dias = 3

13 meses.

14. Qual a taxa mensal de juros simples que deve incidir sobre um capital de $ 5000,00 para que este em quatro meses e meio, renda $ 720,00?

Soluo:

J = C i n 720 = 5000 i 4,5

5,45000

720 = i

Resposta: A taxa dever ser de 3,2% ao ms.

15. Que capital inicial, em cinqenta dias, a uma taxa simples de 0,5% a.d. (l-se ao dia) rende $ 2000,00?

Soluo

J = C i n 2000 = C 0,005 50

C50005,0

2000

C = 8000

Resposta: O capital inicial de $ 8 000,00.

16. Qual taxa mensal de juros simples deve incidir num capital para que ele duplique de valor em um ano?

Soluo:

Neste caso, o juro igual ao prprio capital.

J = C i n C = C i 12

...0833,012

1ii

12C

C

A taxa, portanto, ser de 8,33% ao ms.

Esta mesma taxa, se calculada anualmente, se tornaria, evidentemente, 100% (afinal, o capital dobrou!). Portan-to:

8,33% a.m. 100% a.a.

17. Qual o montante resultante de uma aplicao de $ 29800,00 taxa de 12% a.m. durante 6 meses?

Soluo:

Como o capital aplicado de $ 29 800,00 precisamos saber os juros.

J = C i n 29800 0,12 6

J = 21 456

Como os juros so de $ 21456,00, o montante de:

$29 800,00 + $21 456,00 = $51 256,00

Poderamos tambm resolver esse problema, usando a frmula:

M = C (1+ i n)

Assim, temos:

M = 29 800 (1 + 0,12 6)

M = 29800 1,72

Resposta: De qualquer maneira que se resolva esse problema, o montante ser de $ 51 256,00.

18. Coloquei uma certa quantia em um banco a 120% a.a. e retirei, depois de 4 anos, $ 928000,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicao foi feita base de juros simples?

Soluo:




Temos neste problema:

M = 928000, i = 1,2 e n = 4

Como J = C i n, ento:

J = C 1,2 4

J = 4,8C

Mas, como M = C + J, ento:

928 000 C + 4,8C

928 000 = 5,8C

8,5

928000C

C = 160 000

O capital investido foi, portanto, de $ 160 000,00.

Para achar os juros, basta subtrair o montante do capi-tal:

M = C + J J = M - C

J = 928000 - 160000

J = 768 000

Poderamos tambm resolver o problema usando as

frmulas M = C (1 + i n) ou 42,11

MC

Nessas frmulas, substituindo as letras pelos valores, temos:

160000C

8,5

928000C

42,11

928000C

Resposta: De qualquer maneira, os juros sero de $768

000,00, pois M = C + J J = M - C = 928 000 - 160 000.

19. Qual o desconto, a 5% a.m., sobre um ttulo de $ 750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do vencimen-to?

Soluo

N = 750, n = 2 meses e 10 dias = 70dias

i = 0,05

D = N 1 n D = 750 50,877030

05,0

Resposta: O desconto foi, portanto, de $ 87,50.

20. Um ttulo no valor de $ 1200, 00, pago 5 meses an-tes do vencimento, ficou reduzido a $ 900.00. Qual foi a taxa mensal usada?

Soluo:

N = 1200 n = 5 meses

L = 900

Vamos resolver este problema de dois modos.

Primeiro modo: usando o clculo de desconto

D = N j n

D = N - L = 1200 - 900 = 300

300 = 1200 5.

i = 05,051200

300

A taxa aplicada foi, portanto, de 5% ao ms.

Segundo modo: usando a frmula do valor lquido

L = N (1 - in)

900 000 = 1200000 (1 i 5)

5%a.m. ou 05,06000

300i

1200

300i5

1200

9001i5i51

1200

900

Resposta: A taxa mensal foi de 5%.

21. Resgatei, em 16 de abril, uma nota promissria cujo vencimento estava marcado para 10 de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de $4400,00, cal-culado com uma taxa mensal de 6%. Qual era o va-lor nominal da promissria?

Soluo

D = 4400 i = 0,06

Consultando a tabela 1, obtemos a informao:




Resposta: O valor nominal da promissria era de $40000,00.

JUROS E CAPITALIZAO SIMPLES

CAPITALIZAO COMPOSTA

DESCONTO E TAXAS DE DESCONTO

Por definio, juro simples aquele pago unicamente sobre o capital inicial, ou principal, sendo diretamente pro-porcional a esse capital e ao tempo em que este aplica-do. Pelo regime de capitalizao simples o fator de propor-cionalidade a taxa de juros por perodo, i.

JURO SIMPLES ORDINRIO

Como o perodo financeiro mais comum o ano, e pelo costume vigente, as operaes com prazos superiores a um ano so, na maior parte das vezes, avaliadas pelo regime de capitalizao composta, resulta que a frmula do juro simples:

J = C . i . n (1)

Onde C = capital inicial ou principal;

i = taxa de juros do perodo e

n = prazo de aplicao ( a mais utilizada para perodos n menores do que um ano)

Nessa hiptese, deve-se observar duas normas financeiras comuns:

O ANO CIVIL - considera-se o ano civil como base de clculo, isto , o ano com 365 dias ou 366 dias, conforme seja bissexto ou no. Desse modo, um dia eqivale, conforme o caso, frao 1/365 ou 1/366 do ano.

O ANO COMERCIAL - considera-se o ano comercial como base de clculo, isto , o ano de 360 dias, subdividido em 12 meses de 30 dias cada. Assim, um dia equivale frao 1/360 do ano e um ms equivale frao 1/ 12 do ano.

JURO SIMPLES EXATO

Considerando-se o ano civil para o clculo do juro, deve-se contar o tempo em seu nmero exato de dias.

Exemplo: O juro de um capital aplicado de 17.3.19XI a 25.6.19XI, calculado sobre 100 dias, nmero exato de dias decorridos entre as duas datas.

Sendo n o nmero exato de dias durante os quais um ca-pital C colocado a juros simples, taxa i, obtm-se o juro calculando n/365, na frmula (1) : J = C . i . n/365 ou J = C . i . n/366.

O juro assim calculado, chamado de juro simples exato.

JURO SIMPLES COMERCIAL

Adotando-se a conveno do ano comercial, deve-se computar o prazo de acordo com a mesma conveno, isto e, considerando-se cada ms como tendo 30 dias. Assim, por exemplo, de 17.3.Xl a 25.6.Xl deve-se contar 98 dias, da

seguinte maneira:

De 17.3 a 17.6 ...... 90 dias (3 meses)

De 17.6 a 25.6 ...... 8 dias

98 dias

Representando por n o nmero de dias de corridos entre as duas datas e, calculando pelo processo acima temos que, um capital C aplicado taxa i durante esse prazo, obtido calculando n/360 na frmula (1), resultando em J = C . i . n/360 (2)

Denominaremos o juro, assim calculado, de juro simples ordinrio ou usual.

Como h tabelas que fornecem diretamente o nmero e-xato de dias decorridos entre duas datas, na prtica bancria, onde as operaes, raramente, so realiza das a prazo supe-rior a 120 dias, usa-se, freqentemente, a frmula (2), toman-do-se, contudo, para n, o nmero exato de dias.

Frmulas Derivadas

Considerando a frmula bsica (1) para o clculo do juro em regime simples de capitalizao, podemos, por simples transformao algbrica, encontrar o quarto termo ou valor da frmula, desde que sejam dados os outros trs, assim:

a) Para calcular o capital inicial: C = J / i . n

b) Para calcular a taxa de juros: i = J/C . n

c) Para calcular o prazo: n = J/C . i

OBSERVAES:

Supe-se que o juro e o principal so devidos apenas no fim do prazo de aplicao, a no ser que haja mudana de conveno.

O prazo de aplicao (n) deve estar expresso na mesma unidade de tempo, na frmula, a que se refere a taxa (i) con-siderada.

Exemplo 1 - Caso uma aplicao seja por 2 anos mas, a taxa de juros seja expressa em semestre, devemos converter o prazo para semestres.

2. Taxa Percentual e Taxa Unitria

FORMA PERCENTUAL - Neste caso, a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtm aps dividir-se o capital por 100. A frmula (1) tomaria, ento, as seguintes formas:

J = C . i/100.n ou

J = C/100 . i . n ou

J = C . i . n/100 ou

o que o mesmo que:

J = C . i . n/100 (3)

a partir da qual chega-se expresso do montante ou va-




lor futuro, como soma do capital e juros:

M = C + C . i . n/100

Exemplo 1 - Calcular o juro que rende um capital de $10.000 aplicado por um ano taxa de juros de 10% a.a.

Resoluo: Utilizando a frmula (3), temos:

Jx x

10 000 10 1

100000

.$1.

b) FORMA UNITRIA

Agora a taxa refere-se unidade do capital, isto , calcula-se o que rende a aplicao de uma unidade de capital no intervalo de tempo a uma dada taxa.

Exemplo 2 - Se tivermos uma taxa de 0,24% a.a., ento a aplicao de $1,00 por ano, gera um juro de $0,24.

Exemplo 3 - No exemplo 1, com a taxa na forma unitria (0,10% a.a.).

Resoluo: J = 10.000 x 0,10 x 1 =

J = $1.000,00

Pode-se observar que para transformar a forma percentual em unitria, basta dividir a taxa expressa na forma percentual por 100. E, o inverso, transformar a forma unitria em percen-tual, basta apenas multiplicar a forma unitria por 100.

OBSERVAO:

A fim de diferenciar, simbolicamente, a taxa de juro per-centual da taxa de juro decimal ou unitria, podemos conven-cionar que:

A notao r signifique a taxa de juros efetiva em cada pe-rodo de capitalizao, dada em porcentagem, e sempre men-cionando a unidade de tempo considerada. Exemplo: r = 15% ao ano.

A notao i signifique a taxa de juros efetiva em cada per-odo, dada em frao decimal. Exemplo:

i = r/100 = 0,15 a.a.

A taxa i ser usada no desenvolvimento de todas as frmulas, enquanto, r ser usada na fixao os juros.

3. Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Por definio, a taxa nominal aquela cujo perodo de capitalizao no coincide com aquele a que ela se refere, ou seja, aquela em que a unidade de referncia de seu tempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao. A taxa nominal, normalmente, dada em termos anuais, e os perodos de capitalizao podem ser dirios, mensais, trimestrais, ou semestrais.

Exemplo 1 - So exemplos de taxas nominais:

a) 6% a.a. capitalizados trimestralmente;

b) 30% a.a. capitalizados mensalmente;

c) 18% a.a. capitalizados semestralmente.

No mercado financeiro, encontramos a taxa nominal sen-do muito utilizada como referncia, mas no sendo usada nos clculos, por no representar uma taxa efetiva. Esta, por estar embutida na taxa nominal, a taxa que realmente interessa, pois ela que ser efetivamente aplicada em cada perodo de capitalizao.

Exemplo 2 - Aproveitando os mesmos dados do Exemplo 1 vamos demonstrar como se calcula as taxas efetivas decorrentes das taxas nominais:

6% a.a., capitalizados trimestralmente, significa uma taxa efetiva de:

6% a.a./4 trimestres =1,5% a.t.

30% a.a., capitalizados mensalmente, significa uma taxa efetiva de:

30% a.a./12 meses = 2,5 a.m.

18% a.a., capitalizados semestralmente, significa uma taxa efetiva de: 18% a.a./2 semestres = 9% a.s.

Uma vez encontradas as taxas efetivas, devemos aban-donar as taxas nominais e efetuar todos os clculos com as taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1,5% a.t., 2,5% a.m. e 9% a.s.

Devemos ter em mente que a obteno da taxa efetiva contida na taxa nominal feita no regime de juros simples, e que, neste regime, as taxas nominais sero sempre taxas efetivas. Ainda, por conveno, a taxa efetiva, que aquela a ser considerada na aplicao de frmulas, correspondente a uma dada taxa nominal a taxa que, relativa ao perodo de capitalizao mencionado, lhe seja proporcional.

Conclundo, podemos definir taxa efetiva ou real como sendo aquela em que a unidade de referncia de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitaliza-o. Considerando o exemplo 2 , dizemos 1,5% a,t., simples-mente, ao invs de dizermos, 1,5% a.t., capitalizados trimes-traImente .

4. Taxas Proporcionais

Pelo regime de juros simples, duas ou mais taxas de juros so consideradas proporcionais quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado, ao final daquele perodo. Donde se conclui que, o conceito de taxas proporcionais, est estritamente vinculado ao regime de juros simples.

Exemplo 1- Calcular o montante acumulado (VF), no final de trs anos, considerando um capital inicial (VP) de $1.000,00, pelo regime de juros simples, para cada uma das seguintes taxas de juros: a) 36% ano ano; b) 18% ao semestre; c) 9% ao trimestre; d) 3% ao ms; e, e ) 0,1% ao dia.

Resoluo: Utilizando a frmula VF = VP (1 + i . n)

a) VP= $1.000,00; ia = 0,36; n= 3 anos; VF = ?

VF= 1.000 (1 + 0,36 x 3) = 1.000(1 + 1,08) =




VF= 1.000 (2,08) = 2.080

b) VP= $1.000; is= 0,18; n= 6 semestres; VF=

VF= 1.000(1 + 0,18 x 6) = 1.000(1 + 1,08) =

VF= 1.000(2,08) = 2.080

c) VP= $1.000,00; it= 0,09; n= 12 trimestres; VF = ?

VF= 1.000(1 + 0,09 x 12) = 1.000(1+1,08) =

VF= 1.000(2,08) = 2.080

d) VP= $1.000,00; im= 0,03; n= 36 meses; VF=?

VF= 1.000(1 + 0,03 x 36) = 1.000(1+1,08) =

VF= 1.000(2,08) = 2.080

e) VP= $1.000,00;id= 0,001; n= 1.080 dias

VF= 1.000(1 + 0,001 x 1.080) =

VF= 1.000(1 + 1,08) - 1.000(2,08) = 2.080

Podemos concluir que, as taxas 36% a.a.;18%a.s.; 9% a.t.; 3% a.m.; e, 0,1% a.d., so proporcionais, porque aplica-das sobre um mesmo capital inicial e um mesmo prazo total, resultaram em um mesmo montante acumulado.

Se considerarmos o ano comercial, ou seja, o ano com 360 dias, as frmulas, a seguir, conduzem ao clculo dessas taxas proporcionais:

i i i i ia s t m d 2 4 12 360

5. Taxas Equivalentes

Pelo regime de juros simples, duas taxas so considera-das equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, ambas gerarem o mesmo montante acumulado no final daquele prazo.

Exemplo 1 - Seja um capital inicial de $20.000,00 que pode ser aplicado, alternativamente, taxa de 3% a.m. ou de 36% a.a.

Considerando um prazo de aplicao de 3 anos, certificar se as taxas so equivalentes.

Resoluo: Utilizando a frmula VF = VP (1 + i . n), temos:

a) VP= $ 20 .000; ia = 0,36 ao ano; n= 3 anos;

VF = ?

VF= 20.000(1 + 0,36 x 3) = 20.000(2,08) =

VF= 41.600

b) VP= $20.000,00; im= 0,03 ao ms; n= 36 meses; VF = ?

VF= 20.000(1 + 0,03 x 36) = 20.000(2,08) =

VF= 41.600

Atravs desse exemplo, certificamos que, o montante acumulado (VF) igual nas duas hipteses e, dessa maneira, constatamos que a taxa de 3% a.m. equivalente taxa de 36% a.a.

Podemos, ento, concluir que, pelo regime de juros sim-ples, as taxas proporcionais de juros so igualmente equiva-lentes, e que tanto faz, falarmos que duas taxas de juros so proporcionais ou so equivalentes.

6. Prazo, Taxa e Capital Mdios

Quando os prazos de diversos capitais no so os mes-mos e as taxas de juros diferem entre si, recorremos ao expe-diente de calcular a mdia para cada caso. Vamos utilizar exemplos ilustrativos como a forma mais objetiva de expor os conceitos:

PRAZO MDIO DE VENCIMENTO DE DIVERSOS CAPITAIS

CASO 1 - TAXAS IGUAIS

Pode-se determinar o prazo mdio de vencimento de di-versos capitais empregados a tempos diferentes. O critrio considerar os capitais como pesos. A frmula ser, pois, cha-mando n1, n2, n3 :. os tempos dados, supostas as taxas iguais:

Prazo mdio (PMe) = C n C n C n

C C C

1 1 2 2 3 3

1 2 3

...

...

Exemplo: O Sr. Elesbo deve a um terceiro, os seguintes capitais a 10% a.a.; $2.000 a 45dias; $5.000 a 60 dias e $1.000 a 30 dias. Quando poder pagar tudo de uma s vez, de modo que desta unificao de vencimentos no advenha prejuzo nem para o devedor nem para o credor?

Resoluo:

Aplicando a frmula acima, temos:

PMe

x x x

2 000 45 5 000 60 1000 30

2 000 5 000 1000

. . .

. . .

PMe 420 000

8 00052 5

.

., dias

Ao fim deste prazo, a contar da data da operao, pode ser feito o pagamento integral dos capitais devidos, disso no resultando, prejuzo algum, nem para o devedor nem para o credor.




CASO 2 - TAXAS DIFERENTES

Quando isto acontece, o critrio a adotar-se o mesmo do caso dos, tempos diferentes para a taxa mdia, escrevendo-se

PMeC i n C i n C i n

C i C i C i

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 2 2 3 3

. . .

. . .

funcionando agora, como pesos, os produtos dos capitais pelas respectivas taxas.

Exemplo: Calcular o prazo mdio de vencimento, para pagamento de uma s vez dos seguintes capitais: $ 20.000 por 6 meses a 6% a.a. e $ 50.000 por 4 meses a 12% a.a.

Resoluo: utilizando a frmula acima, temos:

PMe

20 000 66

1250 000 12

4

12

20 000 6 50 000 12

. .

. .

PMe 260 000

720 0000 36

.

., do ano ou 4 meses e 9

dias.

OBSERVAO:

Quando os capitais forem iguais, deve-se tomar, como pesos, as taxas dadas, vindo pois:

PMei n i n i n

i i i

1 1 2 2 3 3

1 2 3

...

...

b) JUROS DE DIVERSOS CAPITAIS

CASO 1 - TAXA NICA

Quando vrios capitais so empregados em tempos dife-rentes e todos a uma s taxa, o total dos juros produzidos dado, a partir da frmula: J = C . i . n, pela soma;

Juros Totais = C1in1 + C2in2 + C3in3 + ... na qual i a taxa nica, C1 , C2, C3 . . . os capitais dados e n1, n2, n3 ... os tempos correspondentes.

Exemplo: A Sra. Pancrcia da Silva deve os seguintes ca-pitais, a 12% a.a.; $1.500 em 30 d; $5.000 em 90 d; $2.400 em 60 d. Calcular o total dos juros devidos.

Resoluo:

Exprimindo-se os tempos em fraes do ano comercial, tem-se, de acordo com a frmula acima:

JT = 0,12[(1.500x30/360)+(5.000x90/360)+ (2.400x60/360)]

JT = $ 213,00

c) TAXA MDIA

a operao que tem por objetivo determinar uma taxa de

juros capaz de substituir vrias outras relativas a capitais empregados. uma aplicao da mdia ponderada.

CASO 1 - TEMPOS IGUAIS

Para a deduo da frmula, consideremos os capitais C1, C2, C3, ...colocados respectivamente, s taxas i1, i2, i3, ...anuais e todos pelo mesmo prazo. Tomando-se os capitas como pesos, pode-se escrever:

Taxa Mdia = TMeC i C i C i

C C C

11 2 2 3 3

1 2 3

...

...

Exemplo: Um comerciante deve os seguintes capitais: $1.500 a 10% a.a.; e, $5.000 a 12% a.a. Calcular a taxa m-dia de juros anuais.

Resoluo:

Multiplicando-se os capitais pelas respectivas taxas e dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais, obtm-se:

TMe

x x

1500 010 5 000 012

1500 5 0000115

. , . ,

. .,

ou seja, na base percentual, 11,5%

OBSERVAO: Se os capitais fossem iguais, a soluo do problema recairia sobre o princpio da mdia aritmtica simples, bastando que se calculasse a mdia das taxas.

CASO 2 - TEMPOS DIFERENTES

O mtodo a ser adotado o da mdia ponderada, porm, funcionando como pesos, os produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Temos assim:

TMeC i n C i n C i n

C n C n C n

11 1 2 2 2 3 3 3

1 1 2 2 3 3

...

...

Exemplo: Sinfrnio e sua noiva contraram as seguintes dvidas para poderem realizar o casamento deles: $ 2.000 a 12% a.a. por 2 meses;

$ 5.000 a 8% a.a. por 3 meses; e,

$10.000 a 10% a.a. por 1 ms.

Calcular a taxa mdia anual.

Resoluo:

Utilizando a frmula anterior, temos:

Tme

x x x x x x

x x x

2 000 0122

125 000 0 08

3

1210 000 01

1

12

2 0002

125 000

3

1210 000

1

12

. , . , . ,

. . .

TMe 223 33

2 416 660 092

,

. ,, ou 9,2 a.a.

7. Equivalncia de Capitais




A necessidade de antecipar ou de prorrogar ttulos nas operaes financeiras, muito frequente. s vezes, precisamos substituir um ttulo por outro ou um ttulo por vrios. Podemos, tambm, ter vrios ttulos que precisamos substituir por um nico. Tais situaes dizem respeito, geralmente, equivalncia de valores distintos relacionadas com datas distintas.

Dois capitais so equivalentes numa certa poca, se, nes-sa poca seus valores presentes so iguais. O problema de equivalncia de capitais diferidos aplica-se quando existe a substituio de um ttulo por outro(s), com data(s) diferente ( s ) .

Seja VN o valor nominal de um ttulo para n dias. O pro-blema consiste em encontrar um valor VN' de um outro ttulo, equivalente ao primeiro, com vencimento para n' dias.

DVN n

Obs.: VN = VF = valor do Resgate do

Ttulo

Seja VP o valor presente do 1. ttulo e VP' o do 2.; temos:

VP VFVF n

e VP VF

VF n' '

' '

Como VP = VP', vem:

VFVF n

VFVF n

'

' '

nVFn'VF'nVFVF

n

nVFVF'n'VF'

Exemplo 1 - Um Comerciante deseja trocar um ttulo de $10.000, vencvel em 3 meses, por outro com vencimento de 5 meses. Considerando a taxa de juros contratada de 3% a.m. para esta transao, calcular o valor nominal do novo titulo.

Resoluo:

VF = 10.000; n = 90 dias; n'= 150 dias;

36 000

361000

..

Utilizando a frmula anterior, temos:

VF'

. .

.$10. ,

10 000 1000 90

1000 150705 80

O valor nominal do 2. ttulo ($10.705,80) equivalente ao valor nominal do 1. ($10.000).

8. Montante

O montante composto o resultado que se obtm ao incrementar o capital inicial com o valor dos juros compostos. Se se dispe de um capital C e aplica-se em um banco e

deseja-se saber o montante M do qual se dispor ao final de um perodo n, basta apenas agregar-lhe o juros J ganho. Assim:

M = C + J, porm J = C . i . t, quando t = 1,

J = C . i, assim M = C + C . i que fatorando:

M = C (1 + i)

Como pode-se ver, o montante de um capital ao final de um perodo se obtm multiplicando este pelo fator ( 1 + i ) . Desta maneira, ao final do segundo perodo, temos:

M = C ( 1 + i ) ( 1 + i ) = C ( 1 + i )2

Ao final do terceiro perodo, temos:

M = C ( 1 + i )2 ( 1 + i ) = C ( 1 + i )

3

e assim sucessivamente. Esta sucesso de montantes forma uma progresso geomtrica cujo n-simo termo igual a:

M = C ( 1 + i ) n

Esta equao conhecida como a frmula do montante pelo regime de juros compostos.

Exemplo 1 - Um investidor aplica a prazo fixo, em um banco, a quantia de $500.000,00 taxa de 48,0% a.a. capitalizvel mensalmente. Qual ser o montante acumulado em 2 anos?

Resoluo: M = C ( 1 + i ) n

Como j observamos, o perodo de clculo deve ser o mesmo para i e para n. Assim, para calcular a taxa de juros mensal, divide-se a taxa anual entre a frequncia de converso:

i = taxa de juros anual

frequencia de conversao =

18

12 = 0,04 ou i = 4,0 % a.m.

Para determinar n, multiplica-se o lapso em anos pela frequncia de converso:

n = 2 (12) = 24 assim M = 500.000 ( 1 + 0,04 )24

ou M = 500.000 ( FVFPU )

Fator de Valor Futuro de Pagamento nico (FVFPU )

FVFPU = (1 + 0,04)24

Neste momento surge a pergunta: como calcular? Existem quatro alternativas :

Utilizar papel e lpis e realizar a operao 24 vezes.

Resolver a equao utilizando logaritmos.

Utilizar de tabelas financeiras existentes nos livros de finanas.

Empregar calculadoras financeiras. Este o meio mais prtico.

FVFPU = (1, 04)24

= 2,5633




M = 500.000 ( 2,5633 ) = 1.281.650

Em dois anos, a aplicao de $500.000 transformar-se- em um montante de $1.281.650,00 pela gerao de um juro composto de $781.650,00.

Exemplo 2 - Um indivduo obtm um emprstimo bancrio de $1.500.000 a ser pago dentro de um ano e com juros de 52,0% conversvel trimestralmente. Qual o montante que dever ser liquidado?

Resoluo:

Primeiramente, determina-se a taxa de juros por perodo de converso: 1 = .54/2 = .13

n = 12 / 3 = 4

M = C ( 1 + i )n = 1.500.000 ( 1,13 )

4 =

M = 1.500.000 ( 1,6305 ) = 2.445.750

A quantia a ser liquidada ser de 52.445.750

8. Valor Atual, Valor Presente ou Principal

O valor atual, presente ou principal de um pagamento simples, ou nico, o valor de um mon tante a ser pago ou recebido daqui a n anos, descontado a uma taxa que determine o seu valor hoje, no momento zero.

Para calcula-lo, vamos utilizar a frmula do montante ou valor futuro:

M = C ( 1 + i ) n

Como C indica o capital no momento zero, temos:

= ni + 1 M = n

i + 1

M = C

FVAPU) ( M = n

i + 1

1 M

FVAPU = Fator de Valor Atual de Pagamento nico

Generalizando, podemos dizer que conhecendo 3 das 4 variveis envolvidas: M, C, n, i, podemos calcular a quarta.

Exemplo 1 Quanto se deve depositar em um banco se desejar obter um montante de $ 5.000.00 dentro de 3 anos a uma taxa de juros de 20,0% a.a., capitalizvel semestralmente?

Resoluo:

Pela frmula: M = C ( 1 + i ) n

, temos: M = 5.000.000; i = 10.0% a.s.; n = 6 semestres

Calculando o FVAPU = 1/(1,10)6 = 1 / 1,7716

C = 5.000.000 / (1,10)6 =

5.000.000 / 1,7716 = C = 2.822.307,52

Deve-se depositar $2.822,307,52

Exemplo 2 - Jos Elesbo deseja adquirir uma casa pelo valor de $15.000.000,00. O vendedor pediu-lhe 50,0% de entrada e 50,0% em um ano e meio, quando do trmino da construo da casa e entrega do imvel. Quanto Elesbo deve depositar num banco hoje para poder garantir a liquidao de sua dvida, se a taxa de juros vigente de 7,0% a.m.?

Resoluo:

Jos Elesbo paga neste momento $7.500.000,00 (50.0% na operao e, deve pagar outro tanto daqui a 18 meses).

Para calcular a quantidade de dinheiro que deve depositar hoje, vamos a frmula do valor atual :

M = C ( 1 + i ) n

=

18 1,07

1 7.500.000

372.218.979, = 3,3799

1 7.500.000

A fim de garantir o pagamento de sua dvida, Elesbo deve depositar $2.218.979,37 j para ter os $7.500.000,00 restantes daqui a um ano e meio.

Como se pode ver nestes exemplos, C o valor presente, atual ou principal de M. Isto , pode-se considerar que o capital C e o montante M so dois valores equivalentes de uma determinada taxa de juros i e um perodo determinado n.

Exemplo 3 - A Cia de Modas Messeder, planeja realizar um investimento de $2.000.000,00 para produzir um artigo de moda do qual espera uma receita total de $5.000.000 dentro de dois anos. Considerando uma inflao mdia anual de 50,0%, e que os juros real i, seja igual a 5.0% a.a., convm C.M.M, investir?

Resoluo:

Comparam-se os $2.000.000,00 que se devem investir no momento zero com $5.000.000,00 que se espera receber em 2 anos. Para fazer essa comparao, necessrio que ambas as quantidades de dinheiro sejam equivalentes.

Em primeiro lugar, devemos calcular a taxa nominal de juros: i = taxa nominal; r = taxa real de juros; d = taxa de inflao.

i = ( 1 + r ) ( i + d ) - 1

i = ( 1,05 ) ( 1,50 ) - 1 = 0,575 ou 57,5% a.a.

C = M

1

1,575 = 5.000.000

1

2,4806 =

2

C = 2.015.641,38

Conforme apuramos, $2.015.641,38 maior que $2.000.000,00. Portanto, a C.M.M, deve investir, por que




alm de descontar a inflao de 50,0% a.a., a empresa ser remunerada taxa de 5,0% a.a., que a taxa de mercado e, ainda vo sobrar $ 15.641,38

Exemplo 4 - Uma companhia de minerao descobriu uma jazida de mangans e deve decidir sobre a convenincia ou no de sua explorao. A fim de poder beneficiar o mineral, necessrio realizar uma inverso de $350.000.000,00 Seus analistas financeiros estimam que a jazida tem minrio suficiente para 3 anos de explorao e, de acordo com os preos vigentes do metal, as entradas de caixa seriam os seguintes:

Ano 1 = $100.000.000,00;

Ano 2 = $200.000.000,00;

Ano 3 = $300.000.000,00;

Estimando que a taxa de inflao, em mdia, seja de 30.0% a.a. e que a taxa de juros real desejada pela empresa seja de 10,0% a.a., deve a companhia aprovar o projeto?

Resoluo:

C = $350.000.000,00

Entradas de Caixa = Ecx1 = $100.000.000,00

= Ecx2 = $200.000.000,00

= Ecx3 = $300.000.000,00

d = 30,0% a. a. ; r =10,0% a.a.; i = ?

i = (1 + d) (1 + r) - 1 = (1,3) (1,1) - 1 =

i = 1,43 - 1 = 0,43 = 43,0% a.a.

Valor Presente das Entradas de Caixa = VPECx

VPECx =

ECx

1 + i =

200.000.000

1,43 = 97.804.294,*2

2n 2

VPECx =

ECx

1 + i

= 100.000.000

1,43

= 69.930.070,*11

n 1

VPECx

n3 3 =

ECx

1 + i

= 300.000.000

1,43

= 102.591.916 *2

* (centavos arredondados)

VPECx = somatrio das ECx descontadas =

VPECx1 + VPECx2 + VPECx3

VPECx = 69.930.070 + 97.804.294, + 102.591.916, = VPECx = 270.326.280,

Observamos que, o total do valor presente das entradas de caixa ($270.326.280) menor que o

investimento inicial necessrio para sua explorao ($350.000.000,). Portanto, a companhia no deve explorar a jazida, a menos que o preo do metal se eleve e com ele, elevem-se as entradas de caixa.

9. Desconto Racional Composto

o desconto obtido pela diferena entre o VALOR NOMINAL e o VALOR PRESENTE de um compromisso que seja saldado n perodos antes do vencimento, calculando o valor presente taxa de desconto. Sendo :

N = valor nominal ou montante do compromisso em sua data de vencimento.

n = nmero de perodos compreendido entre a data de desconto e a data de vencimento.

i = taxa de juros utilizada na operao.

Dr= desconto racional composto

Vr= valor descontado racional composto na data de desconto, calculado taxa de desconto.

A frmula utilizada, :

Vr n

= N 1

1 + i

Podemos reparar que, essa frmula do valor descontado, a mesma do valor presente calculado no regime de juros compostos, onde:

Vr = C e N = M

O desconto obtido pela diferena entre o valor nominal e o valor descontado:

D = N - V N -

N

1 + i

= N 1 - 1

1 + i r r

n n

Exemplo 2 - Um ttulo no valor de $100.000,00 foi saldado seis meses antes do vencimento. O possuidor do ttulo obteve uma taxa de desconto de 2,0% a.m. Calcular o desconto racional e a quantia recebida.

Resoluo:

N = 100.000; i = 2,0% a.m.; n = 6 meses

Utilizando a frmula, temos:

Dr n

N 1-1

1+ i = 100.000 1 -

1

1,02 6

Dr = 100.000 0,1121 = 11.210




E a quantia recebida:

Vr = N Dr = 100.000 - 11.210 = 88.790

Observe que, se aplicarmos o valor descontado (Vr) por 6 meses taxa de juros compostos de 2,0% a.m., obteremos:

N = C6; Vr = C0 C6 = C0 ( 1 + i )6 =

N = 88.790 (1,02)6 = 88.790 ( 1,1262 ) 100.000

E os juros devidos so dados por:

J C6 0 = C = 100.000 - 88.790 = 11.210 J = D6 6 r

Fica evidenciado que o desconto racional composto igual ao juro devido no perodo de antecipao, desde que seja calculado taxa de desconto.

Exemplo 3 - Um ttulo de valor nominal de $ 30.000,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, taxa de 5,0% a.m. Calcule o desconto racional concedido.

Resoluo:

Para simplificar a notao, passaremos a indicar:

1

1 + i n

por ( 1 + i )-n

, assim a frmula fica:

Dr = N [ 1 - (1 + i)-n

] N = 30.000; 1 = 5.0% a.m.; n = 4 meses; Dr =?

Dr = 30.000 [1- (1,05)4 ] =30.000 ( 1-0,8227 )

Dr = 30.000 (0,1773) 5.319

Exemplo 4 - A Financeira Desconta Tudo informou, ao descontar uma Nota Promissria no valor de $10.000,00 que, sua taxa de desconto racional era de 36,0% a.a.. Se o desconto fosse realizado 3 meses antes do vencimento, qual se ria o valor do resgate (valor lquido) a ser recebido pelo possuidor do ttulo?

Resoluo:

N = 10.000; i = 36.0% a.a.; n = 3 meses; Vr = ?

Vr = N (1+ 1)-n

= 10.000 [ ( 1,36 )1 / 12

] -3

=

Vr = 10.000 [ 1,0259 ]-3

= 10.000 [ 0,9262 ] =

Vr = $ 9.261,58

Exemplo 4 - O Sr. Lencio Armando, numa operao de desconto recebeu $ 10.000,00 como valor de resgate. Sabendo-se que a antecipao fora de 6 meses e o desconto de $ 1.401,75, calcule a taxa de juros anual utilizada na operao.

Resoluo:

Vr = 10.000; Dr = 1.401,75; n = 6 meses; i = ?

Vendo Vr = N - Dr deduzimos que, N = Vr + Dr

N = 10.000 + 1.401,75 = 11.401,75

Utilizando a frmula, vem:

Vr = N ( i + 1 )-n

ou N = Vr ( i + 1 )n

Substituindo os termos, temos:

10.000 = 11.401,75 (1+i)-6 / 12

(considerando-se i anual)

1 + i = 11.401,75

10.000,00 = i + 1 = 1,140175

6 12 1 2

1,30 = i + 1 = 2 1,140175 = 221 i + 1

i = 0,30 ou 30,0 % a. a.

Exemplo 5 - O Sr. Cristiano Jos descontou um ttulo no valor nominal de $6.500,00 e o desconto concedido foi de $835,63. Considerando que a taxa de juros de mercado era de 3,5%a.m. Calcular o prazo de antecipao.

Resoluo:

N = 6.500; Dr= 835,63;

i = 3,5% a,m.; n = ?

Utilizando a frmula: Dr = N [ 1 - (1 + i)-n

] , temos:

835,63 = 6.500 [ 1 - (1,035) ] -n

835 63

6 500

,

. = 1 - 1,035 0,128558 = 1 - 1,035

n n

= 0,871442 n 1,035 0,1285581

n1,035

0,871442

1 = n

1,035

1

1,147524 = 1,035 n

As opes para encontrar n so trs:

1) utilizar uma mquina calculadora de boa qualidade;

2) procurar em tabelas financeiras para i = 3,5%; e

3) empregar logaritmos.




Vamos utilizar a opo prtica de demonstrar os clculos, que atravs de logaritmos:

log 1,147524 = n log 1,035

procurando na tabela de logaritmos, encontramos:

0 0597620 01494

,,

= n 0,1494 n = 0,059762

= 4 meses

Exemplo 6 - Caso a antecipao seja de 8 meses, o valor de um compromisso de 5 vezes o desconto racional. Qual o seu valor nominal, sabendo-se que o valor lquido (valor de resgate) de $1.740,00?

Resoluo:

Vr = 1.740; n = 8; N = 5Dr

Sendo N = 5 Dr , temos: N / Dr = 5 e

Dr / N = 1/ 5 = 0,20

Utilizando a frmula Dr = N [ 1 - ( i + 1 )-n

], vem:

D Nrn

= 1 - 1 + i 1 + i

0 20 18

,

1 8 8 - 0,20 = 1 + i = 0,80 = 1 + i

1 0 80 8 8, = 1 + i = 1,25 = 1 + i

i 0,028286 ou i 2,83 a.m.

substituindo a taxa encontrada na frmula:

N = Vr ( 1 + i )n, vem: N = 1.740 (1,028286)

8

N = 1.740 ( 1,25 ) N = $ 2,175

CAPITAIS EQUIVALENTES

Como j foi visto neste trabalho, o dinheiro tem um valor diferente no tempo; no a mesma coisa ter $1.000,00 neste momento e dentro de um ano depois, dependendo da taxa de inflao vigente, este ver reduzido seu valor em maior ou menor grau.

Conceitualmente, dois ou mais valores nominais, referentes a datas de vencimentos determinadas, se dizem equivalentes quando seus valores, descontados para uma mesma data, mesma taxa em condies idnticas, produzirem valores iguais. Isto pode ser demonstrado de forma simblica, assim:

Os capitais C1, C2, C3..., Cn , com vencimentos nas datas t1, t2, t3,...,tn, respectivamente, considerados a partir da data de referncia t0, so ditos equivalentes se os seus respectivos valores presentes na data focal t0, considerada

a taxa de juros i, forem iguais; ou seja, esses capitais sero equivalentes se:

C

1 + i

= C

1 + i

=C

1 + i

= . . . = C

1 + i

1 2 3 nt t t n1 2 3

em que 1 a taxa peridica de juros (mensal, trimestral, anual) e t prazo (em meses, trimestres, anos) .

Exemplo 1 - Dados dois capitais $ 33.335,22 vencvel de hoje a 6 meses e $ 39.702,75 vencvel daqui a 9 meses, verificar se so equivalentes, na data de hoje, taxa de juros de 6.0% a.m.

Resoluo:

Esses dois capitais sero equivalentes se:

33 335 22

6

. ,

1 + i

39 702 75

9

. ,

1 + i

Efetuando os clculos, temos:

33 335 22

168948

. ,

, = 23.500

39 702 75

168948

. ,

. = 23.500

Portanto, esses dois capitais so equivalentes.

Depois de haver demonstrado que, dois ou mais capi-tais so equivalentes em determinada data focal, para determinada taxa, esses mesmos capitais, sero equiva-lentes em qualquer data tomada como focal, mesma taxa de juros ou de desconto racional composto. Porm, se considerarmos qualquer outra taxa, a equivalncia no se verificar.

Exemplo 2 - A fim de comprovar o que foi afirmado acima vamos desenvolver, com os dados acima, os clculos do valor dos dois capitais no final de 12 meses, a partir de hoje.

Resoluo:

Para determinar o valor do capital de $ 33.335,22, no final de 12 meses, basta capitaliz-lo por mais 6 meses, a uma taxa de 6% a.m. E para o capital de $ 39.702,75, capitaliza-lo por mais 3 meses, mesma taxa.

Aplicando a frmula do valor futuro:

M = C ( 1 + i )n, temos:

33.335,22 (1,06)6 =33.335,22 (1,41852) = 47.286,68

39.702,75 (1,06)3 = 39.702,75 (1,19102) =47.386,61

23.500,00 (1,06)12

= 23.500,00 (2,01220) = 47.286,62

Nos clculos acima, inclumos o capital inicial de $23.500,00, para ratificarmos o que foi dito sobre equivalncia de capital.




Exemplo 3 - O Sr. Joo das Bottas trocou um ttulo com o valor nominal de $10.200,00, com vencimento para 5 meses, por outro de $ 8.992,92, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado de 6,5 % a.m., houve vantagem?

Resoluo:

A nossa tarefa comparar esses dois capitais para verificar se so equivalentes ou no. A equivalncia ser feita atravs da taxa de juros.

Como os capitais encontram-se em momentos diferentes de tempo, devemos compara-los numa mesma data focal.

A fim de reforar as caractersticas que conduzem equivalncia, vamos considerar trs datas focais: zero, trs e cinco.

a) Data focal zero:

V

C

1 + i

= 8.992,92

1,065

= 10.200

1,20795 = $ 7.444,793

33 3

V =

C

1 + i

= 10.200

1,065

= 10.200

1.37009 = $ 7.444,795

52 5

Como V3 = V5 = $ 7.444,79, constatamos que no houve vantagem alguma na troca dos ttulos.

a) Data focal trs:

V =

C

1 + i =

10.200

1,065 =

10.200

1.13423 = $ 8.992,92'3

5

2 2

Constatamos que V3 = C3 = $ 8.992,92

b) Data focal cinco:

V52 2

' = C 1 + i = 8.992,92 1,065 =3

V5 ' = 8.992,92 1,1423 = $ 10.200,00

Exemplo 4 - A Casa Kreira Ltda lanou uma campanha promocional vendendo tudo a prazo, em trs vezes sem acrscimo. Sendo o preo a vista dividido por 3 e a primeira parcela dada como entrada. Considerando que a taxa da loja de 11,5% a.m., calcule o desconto sobre o preo a vista de uma mercadoria que de $600,00.

Primeiramente, vamos calcular o valor das parcelas: $600,00 / 3 = $200,00

A seguir, devemos esboar o diagrama do tempo e dinheiro:

A terceira etapa encontrar X = preo a vista da




mercadoria, ou seja, o valor presente das parcelas, ou ainda, o preo com desconto:

X = 200 +

200

1,115 +

200

1,115 2

X = 200 + 179,37 + 160,87

24323,1

200 +

1,115

200 + 200 = X

X = $ 540,24

DESCONTOS

WalterSpinelli

1. Introduo

Ao contrair uma dvida a ser paga no futuro, muito comum o devedor oferecer ao credor um documento denominado titulo, que o comprovante dessa operao.

De posse do titulo, que usado para formalizar uma d-vida que no ser paga imediatamente, mas dentro de um prazo estipulado, o credor poder negociar o pagamento antecipado da dvida atravs de um banco. Vamos tratar, neste captulo, desse tipo de operao bancria.

2. Ttulos

H trs tipos de ttulos bastante usados: nota promissria, duplicata e letra de cmbio.

Nota promissria Pode ser usada entre pessoas fsicas, ou ainda entre pessoas fsicas e instituies financeiras. Trata-se de um ttulo de crdito, que corresponde a uma promessa de pagamento, em que vo especificados: valor nominal ou quantia a ser paga (que a dvida inicial, normalmente acrescida de juros), data de vencimento do ttulo (em que a dvida deve ser paga), nome e assinatura do devedor, nome do credor e da pessoa que dever receber a importncia a ser paga.

Duplicata E usada por pessoa jurdica contra um cliente (que pode ser pessoa fsica ou jurdica) para o qual vendeu mercadorias a prazo ou prestou servios a serem pagos no futuro (segundo contrato). Na duplicata deve constar o aceite do cliente, o valor nominal, a data de vencimento, o nome de quem dever pagar e o nome da pessoa a quem dever pagar. Uma duplicata s legal se for feita tendo por base da nota fiscal.

Letra de cmbio um ttulo ao portador, emitido por uma financeira em operaes de crdito direto para pessoas fsicas ou jurdicas. Uma letra de cmbio tem especificados: valor de resgate (que o valor nominal acrescido de juros), data de vencimento do ttulo e quem deve pagar.

O credor Marcelo dos Santos de posse da nota promissria, conforme o modelo apresentado na pgina 96, deseja resgatar a dvida em 01/01/88.

Voc deve ter notado que, na verdade, Marcelo dos

Santos quer receber a dvida 2 meses antes da data proposta na promissria. Do mesmo modo que no valor nominal da nota incluem-se os juros pela postergao do pagamento, podemos aceitar o fato de que o adiantamento do mesmo tambm dever vir acompanhado de juros, mas agora no sentido contrrio, ou seja, descontados do valor nominal.

Supondo uma taxa de 1,4% a.m. para o desconto, em dois meses de adiantamento, teremos sobre os $ 100 000,00 o seguinte clculo:

Desconto = 100 000 . 0,014 . 2

Desconto = 2 800

Marcelo dos Santos dever receber, ento:

$100 000,00 $ 2 800,00 = $ 97 200,00

Chamemos, ento, de desconto de ttulo ao abatimento dado sobre o valor nominal, pela antecipao do pagamento.

O desconto bancrio aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor

nominal.

O desconto bancrio tambm conhecido como comercial ou por fora.

As frmulas que utilizaremos para calcular o desconto bancrio so bem semelhantes s de juros simples.

Chamando:

D = desconto

N = valor nominal

L = valor lquido recebido aps o desconto

I = taxa

n = perodo de tempo, teremos:

D = N .i . n

L = N D ou L = N N . i . n, ento:

L = N . (1in)

1. Qual o desconto, a 5% a.m., sobre um ttulo de $ 750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento?

Soluo:

N=750, n=2 meses e 10 dias=70 dias i = 0,05

D=N.i.n= D=750. 30

05,0.70=87,50

Resposta: O desconto foi, portanto, de $ 87,50.




2. Um ttulo no valor de $ 1.200,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a $ 900.00. Qual foi a ta-xa mensal usada?

Soluo:

N = 1200 n = 5 meses L = 900

Vamos resolver este problema de dois modos.

Primeiro modo: usando o clculo de desconto

D = N i n

D = N L = 1 200 900 = 300

300 = 1.200 5. i

i = 51200

300

= 0,05

A taxa aplicada foi, portanto, de 5% ao ms.

Segundo modo: usando a frmula do valor lquido

L = N (1 in)

900.000 = 1.200.000 . (1 i . 5)

200.1

900= 1 5i =1

200.1

900

5i =200.1

300

i =000.6

300=0,05 ou 5% a.m.

Resposta: A taxa mensal foi de 5%.

3. Resgatei, em 16 de abril, uma nota pro-missria cujo vencimento estava marcado para 10 de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de $4 400,00, calcula-do com uma taxa mensal de 6%. Qual era o valor nominal da promissria?

Soluo

D = 4400 i = 0,06

Consultando a tabela 1, obtemos a informao:

161 106 = 55 = n

D = N . i . n

4.400 = N 30

06,055 N=

550,06

304.400

N = 40 000

Resposta: O valor nominal da promissria era de $40 000,00.

DESCONTO RACIONAL

O desconto racional tambm conhecido como desconto por dentro. Trata-se, nesse caso, de usar uma taxa sobre um valor no conhecido, situao semelhante analisada em lucros sobre a venda.

O desconto racional aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor lquido.

O desconto racional, Dr, calculado sobre o lquido, dado por:

Dr = L . i . n

Mas, tambm, fato que:

L + Dr = N

Podemos, pois, calcular o lquido fazendo:

L + L . i . n = N

L (1 + i . n) = N

in1

NL

No caso de querermos o desconto diretamente,

substituiremos L por in1

N

na expresso Dr = L . i . n.

Ficaremos com:

Dr = L . i . n = in1

N

. i . n

in1

niNDr

1 Exerccios Resolvidos

1. Calcular o desconto por dentro de um t-tulo de $ 6 864,00, taxa de 12% ao ms, 1 ms e 6 dias antes do vencimento.

Soluo:

N = 6864 i = 0,12

n = 1 ms e 6 dias = 36 dias

L = in1

N

=

3630

12,01

6864

L= 144,01

6864

= 6000

O desconto foi, portanto, de:

$6864,0

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Cef Matematica 2 2012