cenidet · cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Departamento de Ingeniería Electrónica TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS “AAnnáálliissi iss,, lMMooddeellaad

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS

““AAnnáálliissiiss,, MMooddeellaaddoo yy SSiimmuullaacciióónn ddee llaa OOppeerraacciióónn ddee SSiisstteemmaass

ddee GGeenneerraacciióónn EEoollooeellééccttrriiccaa BBaassaaddooss eenn GGeenneerraaddoorreess

ddee IInndduucccciióónn TTiippoo JJaauullaa ddee AArrddiillllaa””

que presenta:

Aldo Marino Hernández Sánchez

Ing. Electrónico por el Instituto Tecnológico de Minatitlán

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de Tesis:

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez

Cuernavaca, Morelos, México 15 de Diciembre de 2008

cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRIA EN CIENCIAS

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que presenta:


Ing. Electrónico por el Instituto Tecnológico de Minatitlán

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de Tesis:

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez

Jurado:

Dr. Abraham Claudio Sánchez Presidente

Dr. Alejandro Rodríguez Palacios Secretario

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez Vocal

Dr. Víctor Manuel Alvarado Martínez Vocal suplente

Cuernavaca, Morelos, México 15 de Diciembre de 2008

Resumen

Análisis, modelado y simulación de la operación de sistemas de generación

eoloeléctrica basados en generadores de inducción tipo jaula de ardilla.


Resumen

En esta tesis se presenta el estudio del generador de inducción tipo jaula de ardilla, como núcleo

principal del trabajo, y su posterior aplicación como una planta de generación eoloeléctrica.

La mayor parte de la energía eléctrica que se produce utiliza recursos no renovables. Debido a

esto, se ha pensado en la generación de ésta usando recursos renovables. Uno de los recursos más

confiables y económicamente viables es la energía eólica. Para hacer uso de este recurso es necesario

contar con una planta eoloeléctrica, donde uno de los componentes fundamentales es el generador

eléctrico.

En el trabajo se presenta el modelo de la turbina eólica trabajando en lazo abierto. Por otro lado,

se realiza el estudio de la máquina de inducción, en primera instancia, funcionando como motor. Y lo

más importante para el desarrollo de este trabajo, se presentan las condiciones necesarias para hacer

funcionar a la máquina como generador. Se estudia el modelo del generador de inducción tipo jaula de

ardilla, tomando en cuenta el efecto de la saturación magnética, considerando la variación de la

inductancia de magnetización y aproximándola mediante un polinomio en función de la corriente de

magnetización. Se presentan las condiciones para que ocurra el proceso de auto-excitación en el

generador de inducción y se da una forma simple y sencilla para encontrar los valores, de la velocidad

y de la capacitancia, mínimos para que ocurra dicho proceso.

Se presenta la aplicación del generador de inducción como planta de generación eoloeléctrica

alimentando diferentes tipos de cargas: carga pasiva y carga activa.

Abstract

Analysis, modeling and simulation of the operation of eoloelectric

generation systems based on squirrel cage induction generators.


Abstract

This thesis is presented as "The study of a squirrel cage induction generator as main nucleus of

the work and its later application as an eoloelectric generation plant”.

Most of the electricity that is produced is through non-renewable resources. Because of

this, it has thought of the electric generation using renewable resources. One of the most

reliable and economically viable renewable resources is the eolic energy. To make use of this

resource, it is necessary to have an eoloelectric generation plant, where one of the key

components is the electric generator.

In this work the open loop model of the wind turbine is presented. On the other hand, the

study of the induction machine is presented. Firstly, working as motor and most important, for

the development of this work, the necessary conditions to operate the induction machine in the

form of induction generator are presented. The model of squirrel cage induction generator is

studied, taking into account the effect of the magnetic saturation, considering the variation in

magnetising inductance and approximating it by means of a polynomial in function of the

magnetising current. The conditions under which happens the self-excitation process in the

induction generator are presented and it provides an easy form to find the minimum values of

the speed and capacitance required by the process in order to happen.

The application of the induction generator as an eoloelectric generation system, feeding

different types of loads as passive and active loads, is presented.

Dedicatorias

Dedicatorias

A Dios, por ser mi apoyo en todo momento y guiarme a través de todos estos años. Por

enseñarme a no perder la fe y saber que a tu lado no hay imposibles.

A mi mamá, Carmen Sánchez. Por haberme dado la vida, por ser mi ejemplo y mi motor para

seguir adelante. No hay manera de decir todo lo que significa para mí. Con todo mi cariño

para usted.

A mi tía, Minerva Sánchez. Por haberme dado el amor de una madre y enseñarme a luchar por

lo que quiero. Por nunca dejarme caer. Con toda mi admiración para usted.

A mis abuelitos Prisco y Doma, por estar conmigo en cada instante apoyándome e

impulsándome. Por todos aquellos momentos de felicidad que compartieron conmigo:

sonriendo, llorando, rezando. Con mucho amor donde quiera que estén.

A mi hermana Xóchitl. Por apoyarme en todas las decisiones que tomo y compartir conmigo

todos esos momentos de la niñez.

A Edgar y Karen. Por permitirme compartir con ustedes todos estos momentos y alegrar mis

tardes con sus risas y juegos. Por siempre estar a mi lado.

A la Fam. Moreno Sánchez: papá Pillo, tía Zoila, Pillín. Por apoyarme en esta aventura y estar

conmigo cuando los necesitaba.

A la Fam. Sánchez Rojas: tío Joaquín, tía Elia, Chayo, Erick, Felipe. Por confiar en mí y

apoyarme como lo han hecho.

A Flor, por compartir conmigo esta aventura, que sólo es el inicio de muchas más. Por apoyar

mis sueños y alentarlos. Te amo chappy.

Agradecimientos

Agradecimientos

A Dios, por enseñarme el camino que debo seguir y guiarme en cada paso que doy. Gracias

por que en los momentos más difíciles has estado conmigo acompañándome y nunca me has

abandonado.

A mis mamás, gracias por apoyarme en todo momento, por estar conmigo en los momentos de

angustia y cuidarme en los días de enfermedad. Gracias por sus enseñanzas y por guiarme en

este difícil camino de la vida. Las AMO, mamá Carmen y tía Minita.

A mis abuelitos Prisco y Doma, por dedicarme tantos años de su vida y brindarme su cariño.

Por enseñarme que a pesar de las dificultades la vida continúa. Los quiero muchos viejitos.

A mi familia: Carnala, Edgar, Tía Zoila, papá Pillo, Pillín, Karen, tío Joaquín, tía Elia, tío

Prisco, Maruca, Mili, Runcho, Chíquila, tía Lóbica, Irma, Jorge, gracias por confiar en mí y

apoyarme en todo momento.

A mi chapy, Flor, gracias por tu amor y apoyo durante todo este tiempo, por no dejar que me

derrumbara en los momentos de angustia y por sonreír conmigo en los momentos de felicidad.

Te AMO niña.

A la Fam. Silva Carranza. Por todo el apoyo que me brindaron, las palabras de ánimos que me

dieron: Muchas gracias.

A mi asesor Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez, por sus valiosos consejos, su tiempo, su

dedicación y su paciencia para con mi persona durante todo este tiempo. Por no dejar que me

quedará en el camino. Gracias por su amistad y por ayudarme a concluir esta meta.

A mis revisores Dr. Alejandro Rodríguez Palacios y el Dr. Abraham Claudio Sánchez, gracias

por sus consejos y acertados comentarios que me ayudaron a enriquecer este trabajo y a

entender mejor las cosas.

A mis profesores Dr. Hugo Calleja, Dr. Luis Gerardo Vela, Dr. Carlos Daniel García, Dr.

Carlos Astorga, Dr. Víctor Alvarado, Dr. Enrique Quintero, Dr. Marco Antonio Oliver, Dr.

Agradecimientos

Juan Reyes, M.C. José Loyde, M.C. José Martín Gómez, Ing. Carlos Góngora, Lic. Alberto

Abarca por su paciencia y enseñanzas.

A mis amigos de toda la vida: Eder Said, Tavo, Víctor, Javier, Juan Luis, Memo, Esteban,

Millán, Erick, Gil, Troncoso, Miriam, Queso, Abel, Freddy, Ticher, Clau, Daniel, Saoly, Paco,

gracias por su amistad.

A los amigos que hice aquí: Fabián, Gabriel, Carlos, Vilchitrón, Wendolyna, Pepetrón, Joaco,

Efras, Laura, Olmos, Iván Alcalá, Kike, gracias por compartir estos momentos conmigo y por

su apoyo en los momentos difíciles.

A mis compañeros de generación y demás: Adriana, Chavito, Iván Mamá, Pomo, Hiram,

Danton, Gracia, Juan, Betty, Pato, gracias por los momentos de alegría que compartieron

conmigo.

Al Dr. Alejandro Rodríguez Palacios, por que más allá de ser mi profesor y mi revisor, fue un

amigo. Gracias por su apoyo en los momentos difíciles, por escucharme y animarme en los

momentos de angustia. Mil gracias.

A las personas que me brindaron su apoyo durante esta estancia: Sr. Mario Moreno, Sra.

Mónica, Sra. Maira Correa, Sra. Guadalupe Garrido, Srita. Ana María, Sra. Olivia Maquinay,

Sr. Alfredo Terrazas, muchísimas gracias.

A mis profesores del Tec de Mina: Antonia Zamudio, Raúl Antonio, Marcia Lorena, José de

Jesús Moreno, Manuel Gracida, Facundo, Paciano Juárez, gracias por su apoyo y confianza.

Al CENIDET, por permitirme formarme profesionalmente y por todas las facilidades que me

brindó.

Al CONACYT y DGEST, por el apoyo económico que me brindaron para concluir esta meta.

Aldo Sánchez.

Contenido I

Contenido

Lista de figuras VII

Lista de tablas XI

Lista de símbolos XIII

Capítulo 1

Introducción

1

1.1 Antecedentes 2

1.1.1 Ventajas y desventajas de la energía eólica 3

1.1.1.1 Ventajas 3

1.1.1.2 Desventajas 4

1.1.2 Sistemas de generación eoloeléctricos 4

1.1.3 Clasificación de los sistemas de generación eoloeléctricos 6

1.2 Estado del arte 6

1.3 Planteamiento del problema y justificación 8

1.4 Hipótesis 9

1.5 Objetivos 9

1.5.1 Objetivo general 9

1.5.2 Objetivos particulares 9

1.6 Metodología 9

1.7 Aportaciones 10

1.8 Organización de la tesis 11

Análisis, modelado y simulación de la operación de sistemas de generación eoloeléctrica basados

en generadores de inducción tipo jaula de ardilla

Contenido II

Capítulo 2

Estudio y modelado de la turbina eólica

13

2.1 Introducción 13

2.2 Estudio de la turbina eólica 14

2.2.1 El viento 14

2.2.2 Fuerzas sobre una pala 15

2.2.3 Turbina eólica 16

2.2.4 Energía útil del viento 16

2.2.5 Teoría del límite de Betz 18

2.2.5.1 Modelo teórico de Betz 18

2.2.6 Parámetros prácticos usados en el diseño de aerogeneradores 21

2.3 Modelado de una turbina eólica 22

2.3.1 Modelado aerodinámico o estático 23

2.3.2 Modelado dinámico 25

2.4 Simulación de la turbina eólica 29

2.5 Validación del modelo implementado de la turbina eólica 33

Capítulo 3

Estudio y modelado del generador de inducción

35


3.2 Máquina de inducción 36

3.3 Par producido en una máquina de inducción 36

3.4 Deslizamiento del rotor 37

3.5 Circuito equivalente del motor de inducción 38

3.6 Modelado del motor de inducción 39

3.6.1 Modelo trifásico del motor de inducción 39

3.6.2 Teoría del marco de referencia 41

3.6.3 Motor de inducción en el marco de referencia estacionario 43

3.7 Generador de inducción 43

3.8 Generador de inducción operando independientemente 45

Contenido

Contenido III

3.9 Modelado del generador de inducción 47

3.10 Proceso de auto-excitación 50

3.10.1 Circuito RLC 50

3.10.2 Análisis del proceso de auto-excitación 52

3.10.2.1 Condiciones para la auto-excitación 53

3.10.2.2 Velocidad y capacitancia mínima para la auto-excitación 56

3.11 Inductancia de magnetización 58

3.11.1 Inductancia de magnetización en la Máquina de inducción 58

3.11.2 Aproximación de la inductancia de magnetización 58

3.11.3 Inductancia de magnetización y su efecto en la estabilización del voltaje

generado

60

3.12 Modelo completo del generador de inducción 61

3.13 Cálculo del voltaje generado 62

3.14 Simulación del generador de inducción 63

Capítulo 4

Aplicación del generador de inducción como planta de generación eoloeléctrica

73


4.2 Planta de generación eoloeléctrica 73

4.3 Planta de generación eoloeléctrica con carga 74

4.3.1 Carga resistiva 75

4.3.2 Carga resistiva-inductiva (RL) 76

4.3.3 Motor de inducción como carga 78

4.4 Simulación de la planta de generación eoloeléctrica 79

4.4.1 Planta eoloeléctrica sin carga 79

4.4.2 Planta eoloeléctrica con carga resistiva 81

4.4.3 Planta eoloeléctrica con carga resistiva-inductiva 84

4.4.4 Planta eoloeléctrica con el motor de inducción como carga 85

4.4.5 Compensación de la disminución del voltaje 88

4.4.6 Planta eoloeléctrica con velocidad variable 90



Contenido IV

Capítulo 5

Conclusiones y trabajos futuros

93

5.1 Conclusiones 93

5.2 Trabajos futuros 95

Apéndice A 97

A.1 Ecuación de continuidad de mecánica de fluidos 97

A.1.1 Hipótesis del medio continuo 97

A.2 Conservación de la masa 98

A.2.1 Balance de masa para un proceso de flujo estable 99

Apéndice B 101

B.1 Movimiento de rotación 101

B.1.1 Posición angular 101

B.1.2 Velocidad angular 101

B.1.3 Aceleración angular 102

B.1.4 Par 102

B.1.5 Ley de rotación de Newton 103

B.1.6. Trabajo 104

B.1.7 Potencia 104

B.1.8 Elementos del movimiento de rotación 105

B.1.8.1 Inercia 105

B.1.8.2 Resorte torsional 105

B.1.8.3 Fricción para el movimiento de rotación 106

Apéndice C 107

C.1 Tren de engranes

107

Apéndice D 111

D.1 Regla de Cramer 111

Contenido

Contenido V

Apéndice E 115

E.1 Transformación de voltaje: bifásico a trifásico 115

Apéndice F 119

F.1 Modelado del motor de inducción 119

F.1.1 Modelo trifásico del motor de inducción 119

F.1.2 Teoría del marco de referencia 124

F.1.2.1 Variables del circuito estacionario y del rotor transformados al marco de

referencia

125

F.1.2.1.1 Elementos resistivos 125

F.1.2.1.2 Elementos inductivos 126

F.1.3 Modelo del motor de inducción en el marco de referencia arbitrario 128

F.1.4 Motor de inducción en el marco de referencia estacionario 129

F.2 Simulación del motor de inducción 130

Apéndice G

G.1 Cálculo de las condiciones de operación del generador 135

Bibliografía 137



Contenido VI

Lista de figuras VII

Lista de figuras

Capítulo 2


Fig. 2.1 (a) Aerogenerador de eje horizontal

(b) Aerogenerador de eje vertical

13

Fig. 2.2 Esquema de la turbina estudiada 14

Fig. 2.3 Placa situada en una corriente de aire 15

Fig. 2.4 (a) Placa en una corriente de aire con un ángulo α grande

(b) Placa en una corriente de aire con un ángulo α pequeño

15

Fig. 2.5 Aerogenerador en una corriente de aire 17

Fig. 2.6 Modelo de Betz 18

Fig. 2.7 Concepto del disco actuador 22

Fig. 2.8 Esquema general del modelo de la turbina eólica 23

Fig. 2.9 Esquema del sistema físico 25

Fig. 2.10 Acoplamiento de masas de la turbina y la carga 25

Fig. 2.11 Sistema de acoplamiento de masa equivalentes 27

Fig. 2.12 Esquema del proceso de simulación de la turbina eólica 29

Fig. 2.13 Diagrama de la turbina eólica implementado en simulink 30

Fig. 2.14 Perfil del viento 31

Fig. 2.15 Respuesta aerodinámica de la turbina eólica 31

Fig. 2.16 Respuesta dinámica de la turbina eólica 32

Fig. 2.17 Respuesta aerodinámica de la turbina eólica compara con los diferentes

modelos

33

Fig. 2.18 Respuesta dinámica de la turbina eólica compara con los diferentes

modelos

34



Lista de figuras VIII

Capítulo 3


Fig. 3.1 Circuito equivalente por fase de un motor de inducción 39

Fig. 3.2 Máquina de inducción trifásica 39

Fig. 3.3 Curva Par-Velocidad de la máquina de inducción 44

Fig. 3.4 Generador de inducción independiente 45

Fig. 3.5 Curva de magnetización en una máquina de inducción 45

Fig. 3.6 Gráfica de la característica voltaje-corriente de banco de capacitores 45

Fig. 3.7 Voltaje en terminales en vacío de un generador de inducción 46

Fig. 3.8 Circuito por fase del generador de inducción en el marco de referencia

estacionario: (a) eje q, (b) eje d

47

Fig. 3.9 Circuito RLC 50

Fig. 3.10 Corriente en el circuito RLC: (a) R positiva, (b) R negativa 52

Fig. 3.11 Diagrama de flujos para el cálculo de las raíces del generador de

inducción: (a) Variación de la capacitancia, (b) Variación de la

velocidad del rotor

57

Fig. 3.12 Esquema de la prueba de la máquina de inducción 59

Fig. 3.13 Curva de magnetización de la máquina de inducción 59

Fig. 3.14 Variación de la inductancia de magnetización en función de la corriente

de magnetización

60

Fig. 3.15 Variación de la inductancia de magnetización en función de la corriente

rms de magnetización

62

Fig. 3.16 Curva velocidad-capacitancia del generador de inducción 65

Fig. 3.17 Generador de inducción sin saturación: (a) C=84 μF, (b) C=87 μF,

(c) C=114 μF

66

Fig. 3.18 Generador de inducción saturado: (a) C=84 μF, (b) C=114 μF 68

Fig. 3.19 Generación de inducción saturado, C=114 μF y ωm variando ± 5% 69

Fig. 3.20 Generación de inducción saturado, C=114 μF y ωm 188.6 rad/s 71

Lista de figuras

Lista de figuras IX

Capítulo 4


Fig. 4.1 Sistema eólico simple 74


estacionario, con una carga resistiva: (a) eje q, (b) eje d

75


estacionario, con una carga resistiva-inductiva: (a) eje q, (b) eje d

77


estacionario, con el motor de inducción como carga: (a) eje q, (b) eje d

78

Fig. 4.5 Planta eoloeléctrica sin carga y diferentes valores de la velocidad del

rotor y del banco de capacitores

81

Fig. 4.6 Planta eoloeléctrica con diferentes cargas resistivas 83

Fig. 4.7 Planta eoloeléctrica con carga RL, L=0.12 H y R=70 Ω 85

Fig. 4.8 Planta eoloeléctrica alimentando un motor de inducción, carga mecánica

conectada a los 7 s

87

Fig. 4.9 Respuesta del motor de inducción de 0.5 hp 88

Fig. 4.10 Planta eoloeléctrica con carga resistiva de 30 Ω: (a) velocidad

aumentada en un 7.5%, (b) capacitancia aumentada en un 25%

89

Fig. 4.11 Planta eoloeléctrica trabajando a velocidad variable con y sin carga

eléctrica

91

Apéndice B

Fig. B.1.1 Representación del par 103

Fig. B.1.2 Sistema par-inercia 105

Fig. B.1.3 Sistema par-resorte torsional 106

Fig. B.1.4 Representación de la fricción viscosa 106

Apéndice C

Fig. C.1.1 Tren de engranes acoplados 107

Fig. C.1.2 Visualización del sistema de engranes 108



Lista de figuras X

Apéndice E

Fig. E.1.1 Transformación de voltajes bifásicos a trifásicos 116

Fig. E.1.2 Transformación de voltajes bifásicos a trifásicos con acercamiento 117

Apéndice F

Fig. F.1.1 Máquina de inducción trifásica 120

Fig. F.1.2 Voltaje de alimentación trifásico y bifásico del motor en el marco de

referencia estacionario

131

Fig. F.1.3 Corrientes del estator y rotor del motor de inducción 132

Fig. F.1.4 Par electromagnético y velocidad del motor de inducción 132

Apéndice G

Fig. G.1.1 Diagrama de flujo para el cálculo del voltaje generado 136

Lista de tablas XI

Lista de tablas

Capítulo 2


Tabla 2.1 Valores de los parámetros utilizados en la simulación de la turbina

eólica

30

Capítulo 3


Tabla 3.1 Parámetros del generador de inducción jaula de ardilla 63

Tabla 3.2 Raíces de la ecuación característica 64

Tabla 3.3 Inductancia de magnetización, capacitancia y velocidad del rotor 66

Tabla 3.4 Capacitancia y velocidad del rotor 67

Tabla 3.5 Capacitancia y velocidad del rotor 69

Tabla 3.6 Valores de salida del generador con 188.6rad/s y 87 μF 70

Tabla 3.7 Valores de salida del generador con 188.6rad/s y 114 μF 71

Capítulo 4


Tabla 4.1 Velocidad de la turbina y capacitancia 80

Tabla 4.2 Velocidad de la turbina, capacitancia y resistencia de carga 82

Tabla 4.3 Velocidad de la turbina, capacitancia, resistencia e inductancia de

carga

84

Tabla 4.4 Parámetros del motor de inducción jaula de ardilla de 0.5 hp 86

Tabla 4.5 Velocidad de la turbina y capacitancia 86



Lista de tablas XII

Tabla 4.6 Velocidad de la turbina, capacitancia y resistencia de carga 89

Tabla 4.7 Velocidad de la turbina, capacitancia y carga resistiva 91

Apéndice F

Tabla F.1.1 Parámetros del motor de inducción jaula de ardilla de 3 hp 131

Lista de símbolos XIII

Lista de símbolos

ξ Ángulo de inclinación de la placa

A Área del rotor de la turbina eólica

ρ Densidad del aire

Vw Velocidad del viento en la turbina

m Masa de la corriente de aire

x Grosor del paquete aire

m Gasto másico

Ecw Energía cinética del aire

Pw Potencia del viento

V1 Velocidad a barlovento de la turbina

A1 Área del tubo de aire a barlovento

V2 Velocidad a sotavento de la turbina

A2 Área del tubo de aire a sotavento

Ec1 Energía cinético del aire a barlovento

Ec2 Energía cinética del aire a sotavento

Putil Potencia útil del viento

F Fuerza ejercida por el viento

W Trabajo realizado por el viento

Cpmax Coeficiente de potencia máximo

TSR Relación de velocidad específica o periférica

ωT Velocidad de la turbina

Cp Coeficiente de potencia

β Ángulo de inclinación de las aspas



Lista de símbolos XIV

Cq Coeficiente de par

τA Par aerodinámico de la turbina

ωL Velocidad del eje de la carga

Γ Número de palas

C Relación entre las fuerzas de arrastre y elevación

JT Momento de inercia del rotor de la turbina

θT Posición del eje de la turbina

BT Coeficiente de fricción viscosa del eje de la turbina

kT Constante de rigidez del eje de la turbina

N1 Número de dientes del engrane 1

N2 Número de dientes del engrane 2

τ1 Par desarrollado en el engrane 1

τ2 Par desarrollado en el engrane 2

N Relación de engranes

θL Posición del eje de la carga

BL Coeficiente de fricción viscosa del eje de la carga

kL Constante de rigidez del eje de la carga

JL Momento de inercia de la carga

ωTe Velocidad angular equivalente de la turbina

θTe Posición equivalente de la turbina

fe Frecuencia del voltaje de alimentación

P Número de polos

nsinc Velocidad síncrona en rpm

eind Voltaje inducido

ndes Velocidad de deslizamiento en rpm

s Deslizamiento de la máquina de inducción

ωdes Velocidad de deslizamiento en rad/s

ωsinc Velocidad síncrona en rad/s

ωm Velocidad mecánica del rotor en rad/s

fr Frecuencia del rotor

Lls Inductancia de dispersión de estator

Lista de símbolos

Lista de símbolos XV

Llr Inductancia de dispersión de rotor

Lms Inductancia de magnetización del estator

Lmr Inductancia de magnetización del rotor

Lsr Inductancia mutua estator a rotor

θe Posición eléctrica del rotor

Vas, Vbs, Vcs Voltajes de alimentación en los devanados de estator

rs Resistencia del estator

rr Resistencia del rotor

Ias, Ibs, Ics Corrientes de los devanados de estator

Iar, Ibr, Icr Corrientes de los devanados de rotor

λas, λbs, λcs Enlaces de flujo de los devanados de estator

λar, λbr, λcr Enlaces de flujo de los devanados de rotor

p Operador diferencial

Vabcs Vector de voltajes del estator

Rs Matriz de resistencias del estator

Iabcs Vector de corrientes del estator

λabcs Vector de enlaces de flujo del estator

Rr Matriz de resistencias del rotor

Iabcr Vector de corrientes del rotor

λabcr Vector de enlaces de flujo del rotor

Ls Matriz de inductancias del estator

Lr Matriz de inductancias del rotor

Lsr Matriz de inductancias mutuas

L Matriz de inductancias

V Vector de voltajes del sistema

R Matriz de resistencias del sistema

I Vector de corrientes del sistema

ωr Velocidad eléctrica del rotor en rad/s

Np Número de pares de polos

θm Posición mecánica del rotor

τem Par electromagnético



Lista de símbolos XVI

Jm Momento de inercia del motor

Bm Coeficiente de fricción viscosa del motor

τL Par de carga del motor de inducción

KS Matriz de transformación de los circuitos estacionario

ωc Velocidad del marco de referencia arbitrario

θc Posición angular del marco de referencia

Vqd0s Vector de voltajes del estator

Iqd0s Vector de corrientes del estator

λqd0s Vector de enlaces de flujo del estator

Iqd0r Vector de corrientes del rotor

λqd0r Vector de enlaces de flujo del rotor

KR Matriz de transformación de los circuitos del rotor

IM Corriente de magnetización

Cqd0s Capacitancia del estator en el marco de referencia

IMq, IMd Corriente de magnetización de los ejes q y d, respectivamente

LM Inductancia de magnetización

Vqsc, Vdsc Voltaje en los capacitores

Vqsc0, Vdsc0 Voltaje inicial en los capacitores

λqr0, λdr0 Enlaces de flujo residuales en el rotor de la máquina de

inducción

Kqr, Kdr Voltajes iniciales debidos al flujo residual

Cmin Capacitancia mínima para el proceso de auto-excitación

Icqs, Icds, Ic0s Corriente en los capacitores

ILq, ILd, IL0 Corriente en la carga

RLq, RLd, RL0 Resistencia de carga

LLq, LLd, LL0 Inductancia de carga

IqsM, IdsM, I0sM Corriente de carga del motor

Capítulo 1 1

Capítulo I

Introducción

l crecimiento demográfico en nuestro país continúa su curso y sus habitantes reclaman

servicios para su desarrollo. Un servicio muy solicitado es la energía eléctrica. Por

desgracia existen malas noticias.

Cerca del 75.55% del total de la energía eléctrica se genera por medio de combustibles

fósiles (carbón, petróleo y gas natural) [CFE]. Pero estas alternativas se agotan: las reservas

petroleras de nuestro país solo tienen margen de vida de no más de 30 años, según PEMEX

[esmas]; en [El financiero] comentan que existe reserva para 10 o 12 años; y otros dicen que

menos de 10 años [La jornada].

Otra forma de generar energía eléctrica es a través de plantas nucleares. Actualmente

esta alternativa ocupa el 4.93% del total de energía generada [CFE]; pero esta forma posee

altos riesgos, los cuales pueden terminar en algún accidente nuclear, como el caso Chernobyl.

Con la problemática que arrastran las dos opciones anteriores: escasez y peligrosidad, es

bueno pensar en formas alternas para la generación de electricidad, como son los recursos

renovables.

El 19.52% del total de la energía en México se genera mediante recursos renovables,

aprovechando recursos como el agua (plantas hidroeléctricas), la energía solar y el viento

(energía eólica), etc. [CFE].

La energía eólica es la energía producida por el viento. Ésta representa, hoy en día, una

de las fuentes energéticas más confiables y económicamente viables. Para la generación de la

energía eléctrica, a partir de la energía del viento, se debe contar con un generador

E



Capítulo 1 2

eoloeléctrico o aerogenerador. Éste se encuentra compuesto, principalmente, por una turbina

eólica, por un generador eléctrico y la carga a alimentar.

1.1 Antecedentes.

Durante muchos siglos el viento se utilizó para accionar la navegación de las naves marítimas.

El viento era casi la única fuente de energía, para las naves, hasta que Watt inventó el motor

de vapor en el siglo XVIII y aparecieron los buques de vapor [Johnson].

Otras máquinas que aprovecharon el viento fueron los molinos de viento de eje vertical

en Persia (actualmente Irán) alrededor del 200 A.C. Estos molinos tenían cierto número de

aspas a manera de velas cubiertas de tela o tablas de madera. Más tarde, aparecieron los

molinos de viento de eje horizontal, alrededor del siglo X. Estos molinos se utilizaban para

moler granos y bombear agua [TECI].

En la actualidad, la energía eólica aún se utiliza en la navegación y muchos molinos de

viento continúan funcionando. Incluso en algunas regiones del mundo todavía se requiere del

viento para bombear agua. Sin embargo, existe un desarrollo relativamente reciente:

generación de energía eléctrica aprovechando el viento.

Fue a finales del siglo XIX que se construyó el primer aerogenerador para la producción

de energía eléctrica, el cual fue construido por Charles Brush durante el invierno de 1887-

1888. Este aerogenerador contaba con 17 metros de alto y un rotor de 144 aspas,

completamente construido de madera de cedro. A pesar de su tamaño, sólo era un modelo de

12 KW, ya que era una turbina de giro lento y no tenía alta eficiencia.

Posteriormente, en 1892, el danés Poul la Cour continuó con las investigaciones de los

aerogeneradores, descubriendo que las turbinas de viento que giraban rápidamente y poseían

rotores con pocas aspas generaban electricidad más eficientemente que las turbinas de viento

de movimiento lento con rotores de muchas aspas [WIPO].

Esto abrió la puerta a un gran número de avances en la turbina de viento durante el siglo

XX. En los 30’s, la corriente alterna se impuso sobre la corriente continua como forma de

distribución de energía, lo cual originó el establecimiento de una normalización para definir la

tensión y frecuencia de distribución. Una vez que se fijó la frecuencia de distribución eléctrica,

los sistemas de generación eoloeléctricos se diseñaron para operar a velocidad constante, lo

que permitió su conexión directa a la red principal de distribución eléctrica.

Durante la segunda guerra mundial, la compañía danesa de ingeniería F. L. Smidth

construyo varios aerogeneradores bi-pala y tri-pala [WIPO]. Otros avances incluyen la

Introducción

Capítulo 1 3

introducción de los generadores de corriente alterna por el Ing. Johannes Juul en 1951. El

generador de corriente continua fue sustituido por el generador asíncrono de corriente alterna;

la estandarización del modelo con rotor a barlovento (el rotor de la turbina de cara al viento);

de los equipos de orientación electromecánicos para asegurarse de que el rotor de la turbina

siempre esté directamente frente al viento y de frenos de control para prevenir que el rotor gire

muy rápido frente a vientos fuertes [TECI].

Los primeros sistemas de generación eran sencillos y bastantes estables en su operación

y en casos de fallas simplemente se desconectaban de la red. Debido al aumento del número

de sistemas generadores eoloeléctricos conectados a la red, se tornó impráctica su

desconexión, imponiéndoles nuevas restricciones de diseño que permitieran estabilizar la red

en caso de fallas. Este panorama permitió el desarrollo de nuevos sistemas de generación

eoloeléctrica que permitieran mayor control [Rodríguez].

En 1956 se desarrolló el aerogenerador de Gedser de 200 kW que representa la antesala

de los actuales aerogeneradores. Las turbinas eólicas modernas hacen uso de muy pocas aspas

pero muy largas para capturar energía del viento. Como éstas son máquinas grandes, su

rotación es relativamente lenta, pero generan grandes cantidades de energía al hacerlo [TECI].

En los 70’s surgen los primeros sistemas de generación eoloeléctricos de operación a

velocidad variable produciendo tensión a frecuencia constante. Éstos presentaron ciertas

ventajas sobre los sistemas de generación eoloeléctrica de velocidad constante; por ejemplo,

una mayor generación eléctrica a mayor velocidad.

A partir de los 80’s, el desarrollo y la fabricación de aerogeneradores recibió un fuerte

impulso y se regularon para contar con sistemas más seguros, confiables y eficientes. El

desarrollo de la tecnología metalúrgica, civil y electrónica permitió llevar a cabo el diseño de

aerogeneradores de una capacidad desde unos cuantos kilowatts hasta varios megawatts

[WIPO].

1.1.1 Ventajas y desventajas de la energía eólica [REFU].

Utilizar la energía eólica presenta ciertas ventajas y también ciertas desventajas. A

continuación se describen brevemente algunas de ellas.

1.1.1.1 Ventajas.

La energía eólica no contamina, es inagotable y frena el consumo de combustibles

fósiles, contribuyendo a evitar el cambio climático. Además, es una de las fuentes de

energía más económicas.



Capítulo 1 4

Al finalizar la vida útil de la instalación de un parque eólico, el desmantelamiento no

deja huellas.

1.1.1.2 Desventajas.

El aire al ser un fluido de pequeño peso específico, implica fabricar máquinas grandes

y en consecuencia caras.

Desde el punto de vista estético, la energía eólica produce un impacto visual inevitable.

Un impacto negativo es el ruido producido por el giro del rotor.

Existe el riesgo de mortandad de aves al impactar con las aspas.

La velocidad del viento no es constante, por lo cual, el aerogenerador no produce

energía eléctrica constante.

1.1.2 Sistemas de generación eoloeléctricos.

En un aerogenerador, las aspas que componen a la turbina eólica giran conforme les llegan las

ráfagas de viento. Ésta hace girar por medio de un juego de engranes al generador a una

velocidad mayor a la síncrona y se genera la energía eléctrica. Como partes principales de un

aerogenerador se pueden considerar a: la turbina, el generador y la carga.

La turbina es un mecanismo que recoge la fuerza viva de un fluido para transmitirla por

medio de una rueda y transformarla en otra clase de energía [ETI]. Las turbinas están

construidas para atrapar la energía cinética (de movimiento) del viento. Así pues, se

preguntará ¿porqué las modernas turbinas no se construyen con un gran número de aspas del

rotor?

Las turbinas con muchas aspas o con aspas muy anchas, es decir, turbinas con un rotor

muy sólido, están sujetas a fuerzas muy grandes, cuando el viento sopla a una velocidad de

tipo huracán. Por lo tanto, para limitar la influencia de los vientos extremos, los fabricantes de

turbinas optan por construirlas con pocas palas, largas y estrechas.

Por otro lado, un rotor con un número par de palas puede dar problemas de estabilidad

en una máquina que tenga una estructura rígida. La mayoría de las turbinas modernas tienen

diseños tri-pala. Un rotor con un número impar de palas (y como mínimo tres palas) puede

considerarse como un disco a la hora de calcular las propiedades dinámicas de la máquina

[WIPO].

Además de la turbina, se encuentra presente el generador eléctrico. El generador es un

componente fundamental en este tipo de plantas. Los generadores eléctricos son máquinas

Introducción

Capítulo 1 5

destinadas a transformar la energía mecánica en energía eléctrica. En la actualidad la mayoría

de los aerogeneradores utiliza generadores asíncronos o de inducción.

El generador de inducción se encuentra siempre asociado con fuentes alternas de

energía. Particularmente para pequeñas plantas de generación, ya que tiene un gran atractivo

económico. Entre los generadores de inducción podemos encontrar al generador de inducción

doblemente alimentado (rotor devanado) (GIDA) y el generador de inducción tipo jaula de

ardilla (GIJA).

La máquina de inducción tipo jaula de ardilla, es la máquina eléctrica más utilizada en el

ámbito industrial debido a las ventajas que presenta sobre las demás. Algunas de las razones

para utilizar a ésta [Chapman] son:

Simplicidad de construcción.

Bajo costo.

Mínima necesidad de mantenimiento.

Alta confiabilidad.

Robustez.

Menor tamaño por kw generado.

Capacidad de trabajar en ambientes sucios y explosivos.

Algunas de sus desventajas son:

Este tipo de máquina no puede producir potencia reactiva, la cual necesita para

mantener su campo magnético de estator.

Pero ésta desventaja se puede solucionar añadiendo un banco de capacitores en sus

terminales del estator.

Al generador eoloeléctrico se conectan cargas que consumen la energía generada. Sería

deseable que la carga fuera constante, pero esto no es posible. Debido a esto se realizan

estudios al sistema con dos objetivos esenciales:

Observar las características claves del rendimiento de una carga de trabajo.

Desarrollar un modelo que puede usarse posteriormente para estudiar la carga.

Al modelo desarrollado de la carga se le llama caracterización de la carga. La carga

eléctrica puede caracterizarse como:

Voltaje y corriente.

Impedancias: Resistiva (R), Inductiva (XL) ó Capacitiva (XC).

Potencias.

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_mec%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_el%C3%A9ctrica



Capítulo 1 6

1.1.3 Clasificación de los sistemas de generación eoloeléctricos.

Los sistemas de generación eoloeléctrica se dividen en aislados y conectados a la red.

Los sistemas aislados se utilizan en lugares remotos donde no se desea o resulta

impráctico conectar los generadores eléctricos a una red de distribución eléctrica mayor.

Los sistemas conectados a la red son los que se encuentran conectados a una red de

distribución eléctrica mayor. Estos permiten la utilización tanto de sistemas a velocidad fija

como de sistemas a velocidad variable.

En los sistemas de generación eoloeléctrica de velocidad fija, el generador se conecta

directamente a la red, ya que la velocidad se ajusta a la frecuencia de ésta. Por lo tanto, para

un sistema de velocidad fija las turbulencias del viento resultarán en variaciones de potencia y

se verá afectada la potencia de salida del sistema a la red.

Para un sistema a velocidad variable el generador se controla mediante un sistema

electrónico de potencia el cual hace posible el control de la velocidad del rotor. De esta

manera, fluctuaciones de potencia causadas por las variaciones del viento serán más o menos

absorbidas mediante los cambios en la velocidad del rotor y así, las variaciones de potencia

originadas por las variaciones del viento se reducirán. De esta manera, el impacto en la calidad

de la potencia en los sistemas de velocidad variable se mejorará en comparación con las

turbinas de velocidad fija.

1.2 Estado del arte.

La máquina de inducción se utiliza desde hace muchos años debido a las ventajas que ofrece.

En [Vidal], [Villanueva], [Bolio], [Torres], [Seyoum] se presentó el estudio de la

máquina de inducción, usada como motor, mostrando tanto el modelo trifásico como el

bifásico equivalente.

Es importante aclarar que en este trabajo la máquina se utilizó como generador eléctrico.

Cuando la máquina de inducción trabaja como generador, siempre se relaciona con los

recursos renovables para la generación de energía eléctrica.

En [Janaka] se obtuvo el modelo del generador de inducción doblemente alimentado

(GIDA) para utilizarse en el análisis dinámico de una planta de generación de energía eléctrica

con una turbina viento.

Introducción

Capítulo 1 7

El GIDA presenta ciertas desventajas, sobre todo cuando trabaja a la intemperie. Debido

a la conexión de sus anillos rozantes necesita de mantenimiento periódico y su utilización en

una planta eoloeléctrica puede resultar un tanto problemática.

El generador de inducción jaula de ardilla (GIJA) presenta algunas ventajas como lo son:

bajo costo, mínimo mantenimiento, confiablidad, robustez y sobre todo su capacidad para

aplicaciones a la intemperie en lugares sucios y corrosivos. También presenta una desventaja,

el GIJA no produce potencia reactiva, sino que se le tiene que suministrar. Esto se puede

solucionar suministrándose directamente de la red o mediante un banco de capacitores. En

[Wang] se realizó un análisis basado en eigenvalores y sensitividad de eigenvalores para

predecir los valores mínimos necesarios de la capacitancia requerida para la auto-excitación de

un generador de inducción trifásico.

En [Torres] y [Seyoum], se presentó una forma sencilla para encontrar el valor

correspondiente de la capacitancia necesaria para el funcionamiento del generador de

inducción jaula de ardilla.

Normalmente el análisis de la máquina de inducción no se realiza en el modelo trifásico,

sino que se transforma al modelo bifásico en los ejes q y d. Para el análisis del generador de

inducción se utiliza el modelo en el marco de referencia estacionario, ejes q y d. En [Torres],

[Seyoum], [Datta] se obtuvieron las ecuaciones dinámicas que describen al generador de

inducción.

En [Torres] se estudió al GIJA para utilizarse en una aplicación como planta generadora

hidroeléctrica.

Mientras que en [Seyoum] se pretendió utilizar al GIJA en una planta eoloeléctrica, pero

el estudio del GIJA se realizó sólo a velocidad constante. En ambos trabajos se presenta como

carga eléctrica una carga puramente resistiva.

En [Datta] se hizo trabajar al GIJA a velocidad fija y velocidad variable y,

posteriormente se comparó con el generador de inducción doblemente alimentado.

Una de las problemáticas de utilizar una planta de generación eoloeléctrica es que la

velocidad del viento no es contante, por lo cual el voltaje generado, y la frecuencia de éste,

tampoco lo es. Debido a ello es importante buscar formas para intentar mantener un nivel

voltaje y frecuencia constante.

Aunque se logre mantener un cierto nivel de voltaje generado, la variación en la

velocidad de la turbina sigue afectando la frecuencia con la cual se genera dicho voltaje, por

ello, para transferir esta energía generada a la red o alimentar dispositivos en los cuales influye

la variación de la frecuencia, es necesario convertirla a la frecuencia con que opera la línea o a

la frecuencia que trabajan las cargas. Para ello, se utiliza un acondicionador electrónico de



Capítulo 1 8

potencia que se integra con un rectificador (para convertir la corriente alterna en corriente

continua) y un inversor (para convertir la corriente continua en corriente alterna).

Si los dispositivos a los que se pretende alimentar no se ven afectados para la variación

de la frecuencia, como por ejemplo calentadores de agua, la carga se puede conectar

directamente a la planta de generación.

La turbina se encarga de recolectar la energía del viento para hacer girar al generador.

En [Slootweg], [Lopes] se presentaron las bases para el modelado de una turbina de viento,

tomando en cuenta los elementos básicos necesarios. En [Petru] se obtuvo el modelado de la

turbina con el fin de analizar la complejidad de varias partes que lo componen como

conversión aerodinámica, representación del generador, etc.

[Machmum], [Ovando] y [Bongani] presentaron el modelado de la turbina para

utilizarse con un GIDA en una planta de generación eléctrica y el estudio de esta generación

de energía eléctrica en parques eólicos para su distribución, respectivamente.

La planta generadora se debe colocar en lugares donde la existencia de viento sea

abundante para poder recolectar la mayor cantidad de energía posible. [Bakirtzis] desarrolló

un método probabilístico para la evaluación de la fiabilidad de sistemas de generación auto-

sostenidos.

La madurez de la utilización de la energía del viento, algunos diseños alternativos para

turbinas de viento, valoración económica de la planta de energía y algunos de los factores

económicos a considerar, son puntos importantes que se deben evaluar, tal como en

[Richardson].

1.3 Planteamiento del problema y justificación.

En el CENIDET se estudiaron los sistemas de generación eléctrica a partir de sistemas

de generación de energía eólica. Estos sistemas se basaron en el generador de inducción

doblemente alimentado.

Por lo que se menciona anteriormente, es importante estudiar los sistemas de generación

eólicos basados en el generador de inducción tipo jaula de ardilla.

El problema principal que se abordó en esta tesis es el estudio del generador de

inducción tipo jaula de ardilla con el propósito de aplicarlo a una planta de generación

eoloeléctrica. Este sistema se obtiene simulando, en conjunto, una señal variable, con la cual

se intenta representar el comportamiento real de la turbina de viento, como la velocidad de

rotación del generador de inducción y después de un tiempo t, conectar los diferentes tipos de

Introducción

Capítulo 1 9

cargas eléctricas a estudiar. Entre éstas se incluye una carga activa, como lo es el motor de

inducción.

1.4 Hipótesis.

Para el desarrollo de esta tesis, se plantea la siguiente hipótesis:

Es posible conocer el comportamiento de una planta de generación eoloeléctrica,

basándonos en el estudio, análisis, modelado y simulación de la operación de sus

tres componentes principales: el generador de inducción, la turbina eólica y la

carga eléctrica; y obtener resultados válidos que nos describan el funcionamiento

de dicha planta.

1.5 Objetivos.

1.5.1 Objetivo general.

El objetivo general de desarrollo de esta tesis es el análisis, modelado y simulación de

sistemas de generación eoloeléctrica basados en generadores de inducción tipo jaula de ardilla.

1.5.2 Objetivos particulares.

Obtener el modelo dinámico del generador de inducción tipo jaula de ardilla.

Estudiar la turbina eólica y los modelos existentes.

Obtener la caracterización de la carga a utilizarse.

Obtener el modelo matemático del sistema completo como planta eoloeléctrica.

Validar el sistema obtenido mediante simulaciones en computadora considerando la

simulación del sistema en lazo abierto.

1.6 Metodología.

Para el desarrollo de este trabajo se estudiaron las partes principales de un sistema de

generación eoloeléctrica, iniciando con el conocimiento de su construcción para



Capítulo 1 10

posteriormente determinar su modelo matemático y la simulación de la operación de dichas

partes, basándose en el GIJA.

Se estudió, analizó y comprendió el comportamiento de la turbina eólica, se estudiaron

algunos modelos matemáticos existentes de ésta y se comparó con el modelo que se

implementó en este trabajo. Posteriormente, se estudió al GIJA, se analizó y se comprendió su

funcionamiento, para después determinar su modelo matemático y realizar las simulaciones

pertinentes. Además, se estudió y analizó el tipo de carga a utilizarse, se caracterizó

(modelado) para poder emplearse en el trabajo desarrollado.

Una vez estudiados y modelados el generador, la turbina y la carga, se estudió, analizó y

modeló la planta eoloeléctrica completa, para posteriormente realizar las simulaciones

pertinentes para comprender el funcionamiento de ésta.

1.7 Aportaciones.

La aportación principal de este trabajo es el estudio y modelado dinámico del generador de

inducción tipo jaula de ardilla, el cual no ha sido estudiado como tal en esta institución.

Se integran las simulaciones de la planta eoloeléctrica, que sirven para la adquisición de

experiencia con respecto al funcionamiento de la planta y a las partes que la componen.

Además, se presenta un programa para calcular el valor mínimo de los capacitores de

auto-excitación y de la velocidad del pri-motor.

También se presenta un programa del funcionamiento del generador de inducción como

planta eoloeléctrica alimentando una carga activa, como lo es el motor de inducción. Ya que la

mayoría de los trabajos reportados presentan como carga eléctrica una carga resistiva.

Por otra parte, en el CENIDET se trabaja, en el área de sistemas no lineales, la línea de

máquinas eléctricas, por ello, con el desarrollo de este trabajo de tesis se pretende ayudar al

fortalecimiento de esta línea de investigación y, de una manera más específica, ayudar a

reforzar el tema de investigación de generación de energía eoloeléctrica, de los cuales ya se

desarrollaron varios trabajos de investigación en esta institución.

Introducción

Capítulo 1 11

1.8 Organización de la tesis.

El presente trabajo tiene por finalidad estudiar el funcionamiento de una planta de generación

eoloeléctrica y, principalmente estudiar al generador de inducción jaula de ardilla, para lo cual

se dividió en cinco capítulos.

En el capítulo 2 se presenta el estudio de la turbina eólica, el modelado correspondiente

a ésta, tanto en su parte estática como en su parte dinámica, además de las simulaciones

pertinentes.

En el capítulo 3 se hace un breve repaso del motor de inducción, se obtiene su modelo

trifásico y en el marco de referencia estacionario. Se estudia a la máquina de inducción

trabajando como generador, se presenta su modelado en el marco de referencia estacionario y

se presentan sus simulaciones trabajando en vacío.

En el capítulo 4 se hace la representación de la planta eoloeléctrica completa,

presentando las cargas eléctricas que se utilizan. Se realizan las simulaciones alimentando

dichas cargas y variando el valor de la capacitancia y de la velocidad del pri-motor.

En el capítulo 5 se presentan las conclusiones correspondientes a este trabajo.

En la última sección se cuenta con un apéndice, en el cual se presentan algunos temas

considerados de importancia y que no fueron tratados directamente en el desarrollo de este

trabajo.



Capítulo 1 12

Capítulo 2 13

Capítulo 2

Estudio y modelado de

la turbina eólica

2.1 Introducción.

os sistemas de generación eólicos se dividen en dos tipos: sistemas de conversión de

eje horizontal y los sistemas de conversión de eje vertical. Los sistemas de conversión

de eje horizontal se clasifican en sistemas con turbina a barlovento1 y sistemas con

turbina a sotavento2. Ambos pueden ser sistemas de baja velocidad (multi-palas) o sistemas de

alta velocidad (uni-palas, bi-palas, tri-palas).

1 El viento llega primero al rotor de la turbina y después a la góndola.

2 El viento llega primero a la góndola y después al rotor de la turbina.

L

a) b)

Fig. 2.1 a) Aerogenerador de eje horizontal

b) Aerogenerador de eje vertical



Capítulo 2 14

Para el desarrollo de este trabajo se consideró un sistema de conversión eólico de eje

horizontal, con turbina a barlovento de tres palas. Se hizo esta elección, ya que este tipo de

sistemas son los más difundidos y los más desarrollados. Presentan la ventaja de que al ser

colocados a una cierta altura del nivel del suelo, pueden recolectar mayor cantidad de energía

del viento. En la Fig. 2.2, se muestra un esquema de las partes que componen la turbina eólica

en estudio.

Fig. 2.2 Esquema de la turbina estudiada.

La turbina eólica se encuentra compuesta por las palas, el eje de baja velocidad, la caja

multiplicadora (engranes) y el eje de alta velocidad.

2.2 Estudio de la turbina eólica.

2.2.1 El viento.

El movimiento del aire es el resultado de los diferentes niveles de absorción de la energía

solar, lo que provoca diferentes niveles de calentamiento y presión en la atmósfera. El

desplazamiento del aire tiende a eliminar estos desequilibrios de presión, produciendo lo que

conocemos como el viento [Ayuso].

El viento está definido principalmente por dos parámetros:

a) Dirección.

b) Velocidad

La velocidad del viento varía a diferentes alturas, a mayor altura mayor será la velocidad

del viento. En un aerogenerador se consideran tres velocidades fundamentales:

Palas

Eje de baja

velocidad Caja

multiplicadora

Eje de alta

velocidad


Capítulo 2 15

1) Velocidad de conexión (Vconex). Es la velocidad del viento por encima de la cual

se genera energía eléctrica.

2) Velocidad nominal (Vnom). Es la velocidad del viento para la cual el

aerogenerador alcanza su potencia nominal.

3) Velocidad de desconexión. Es la velocidad del viento por encima de la cual el

aerogenerador deja de generar energía eléctrica.

2.2.2 Fuerzas sobre una placa.

Una placa que se encuentra en medio de una corriente de aire presenta una resistencia al

avance de éste, lo cual produce un efecto de sobre-presión y de depresión sobre la placa, que

depende de la forma del objeto y de su posición con relación a la dirección del viento, como se

observa en la Fig. 2.3.

Fig. 2.3 Placa situada en una corriente de aire.

Si el ángulo que forma la placa con respecto a la dirección del viento es grande, existe

una sobre-presión en la parte delantera de la placa y una depresión en la parte posterior de

carácter turbulento, Fig. 2.4a. Si el ángulo que se forma es pequeño, la sobre-presión se forma

en la parte inferior de la placa y la depresión por encima de ella, por lo que aparece una fuerza

que tiende a elevarla, que se conoce como fuerza de sustentación o de elevación, Fig. 2.4b.

Fig. 2.4 a) Placa en una corriente de aire con un ángulo α grande

b) Placa en una corriente de aire con un ángulo α pequeño

Viento

Sobre-presión Remolinos

Depresión

Viento Viento

Sobre-presión Sobre-presión

Depresión

Depresión

ξ ξ

(b) (a)



Capítulo 2 16

A la parte de la placa en donde el aire está en depresión se le conoce como extradós,

mientras que a la parte de la placa en donde el aire está en sobre-presión se le denomina

intradós [Fernández].

2.2.3 Turbina eólica.

Una turbina eólica es un dispositivo mecánico que aprovecha la energía del movimiento del

viento (energía cinética) para convertirla en energía mecánica (movimiento de un eje) que

mueve un generador eléctrico [GGPEEER].

Existen tres parámetros que determinan la cantidad de energía que se puede aprovechar

por una turbina eólica:

Velocidad del viento. La energía que aprovecha la turbina eólica es proporcional al

cuadrado de la velocidad del viento.

Área barrida por el rotor. La energía que aprovecha la turbina eólica es proporcional

al cuadrado de la longitud de las palas.

La eficacia teórica máxima. La energía que transforma la turbina eólica no puede ser

mayor al 59.5% de la energía total disponible en la corriente de aire que llega al rotor.

2.2.4 Energía útil del viento.

Para el análisis del desempeño de la turbina eólica, se utiliza la teoría del disco actuador y se

hacen las siguientes suposiciones:

Viento homogéneo, estable y de dirección fija.

No hay obstrucción al flujo del viento, ni a barlovento ni a sotavento.

Velocidad uniforme en el disco.

El flujo a través del disco está bien distinguido del resto de la corriente de aire por

medio de un tubo.

El viento es incompresible.

Número infinito de palas.

Conservación de la masa.

Ecuación de continuidad de mecánica de fluidos.

Una breve descripción de la ley de la conservación de la masa y de la ecuación de

continuidad de mecánica de fluidos, se presenta en el Apéndice A.


Capítulo 2 17

En una masa de flujo de aire constante de área circular A, que pasa a través del área del

disco de una turbina, el flujo de la masa de aire es función de la densidad del aire ρ y de su

velocidad Vw, [Fernández].

Fig. 2.5 Aerogenerador en una corriente de aire.

La masa de la corriente de aire está dada por:

m Ax

donde x es el grosor del paquete de aire.

El gasto másico, basándonos en la ecuación de continuidad de mecánica de fluidos, está

dado por:

w

d mm AV

dt

La energía cinética en el paquete de aire es:

21

2cw wE mV

y la potencia en este paquete de aire es:

31

2

cw

w w

d EP AV

dt

Para un aerogenerador de eje horizontal la superficie, A, está dada por:

2A R

donde R es el radio del rotor.

Se debe de tener en cuenta que la potencia del viento es proporcional a la densidad del

aire, al área de barrido del rotor y al cubo de la velocidad del viento.

(2.01)

(2.02)

(2.03)

(2.04)

(2.05)

x

A

Vw



Capítulo 2 18

2.2.5 Teoría del límite de Betz.

2.2.5.1 Modelo teórico de Betz.

Una turbina eólica no es capaz de extraer la potencia total que se encuentra en una masa de

aire, sino que sólo es capaz de extraer una fracción de ésta.

Si se considera que la energía del viento se puede recuperar y transformar, suponga que

el rotor de la turbina eólica se encuentra de frente y sumergido en una corriente de aire de

velocidad Vw y de superficie A, el cual a sotavento posee una velocidad 2 0V y un área

ficticia A2 y a barlovento posee una velocidad V1 y un área ficticia A1. El rotor de la turbina se

supone como un disco de radio R, como se observa en la Fig. 2.6.

Fig. 2.6 Modelo de Betz.

Mediante la Ley de la conservación de la masa, el flujo de la masa de aire debe ser igual

en todo el tubo de flujo y el gasto másico constante, por lo cual:

1 1 2 2w

d mm AV AV A V

dt

Para que esto se cumpla, la velocidad equivalente en cada sección debe disminuir. La

energía cinética en el rotor de la turbina es:

1 2

2 2

1 2

1

2

c c cE E E

m V V

y la variación de la energía cinética del viento por unidad de tiempo es:

2 2

1 2

1

2

c

útil w

d EP AV V V

dt

La fuerza ejercida por el viento, en unidad de tiempo, sobre el área ficticia A barrida por

el rotor es igual a la variación de la cantidad de movimiento del aire que lo atraviesa. El

(2.06)

(2.07)

(2.08)

V1 Vw V2

A

1 A A

2


Capítulo 2 19

trabajo que genera esta fuerza F, ejercida por el viento en unidad de tiempo, es la potencia útil,

de esta manera:

W Fx

donde W es el trabajo que realiza el viento; F es la fuerza que ejerce el viento y x es el

desplazamiento del rotor:

útil w

d W d FxP FV

dt dt

La fuerza F, en las palas del rotor, está dada por:

1 2 1 2wF m V V AV V V

Si se sustituye (2.11) en (2.10) se obtiene:

2

1 2útil wP AV V V

La cual es igual a la variación de la energía cinética por unidad de tiempo, por lo tanto

de (2.08) y (2.12) se tiene:

2 2 2

1 2 1 2

1 2

1

2

1

2

útil w w

w

P AV V V AV V V

V V V

Así, de (2.13) se obtiene que:

1 2

2w

V VV

A partir de la Fig. 2.6, se puede deducir que:

2 1V bV con 1b

Al sustituir (2.14) en (2.08) se obtiene:

2 2

1 2 1 2

1

4útilP A V V V V

Si se sustituye V2=bV1 en (2.15) se obtiene:

3 3 2

1

11

4útilP AV b b b

(2.09)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)



Capítulo 2 20

La potencia útil máxima se obtiene cuando se hace

0útild P

db , entonces de (2.16) se

obtiene:

3 2

1

13 2 1

4

útild PAV b b

db

Al igualar (2.17) a cero se tiene:

3 2

1

2

13 2 1 0

4

3 2 1 0

AV b b

b b

Para obtener la solución de (2.18) se ocupa la formula general. De esta manera, se

obtiene:

1 2

11

3b br r

de donde:

1b no cumple con la condición de que 0 1b

1

3b cumple con la condición de que 0 1b

Por lo tanto se tiene:

2 1 1

1 2

1 1

3 3

3

b V bV V

V V

La potencia útil máxima que proporciona el rotor es:

3 3 2

1

11

4útilmáxP AV b b b

Si se sustituye b=1/3 en (2.20) se tiene:

3

1

8

27útilmáxP AV

donde (2.21) se conoce como ecuación de Betz.

La potencia del viento a barlovento está dada por:

3

1

1

2útilP AV

(2.17)

(2.18)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.19-a) (2.19-a)


Capítulo 2 21

El rendimiento aerodinámico o coeficiente de potencia máximo, Cpmáx, está dado por el

cociente de la potencia útil máxima y la potencia útil como:

3

1

3

1

8

27 0.5951

2

59.5%

útilmáxpmáx

útil

AVP

CP

AV

El coeficiente de potencia dado por (2.23) se conoce como límite teórico de Betz. El

coeficiente de potencia máximo, representa la fracción de potencia máxima que se puede

extraer de la potencia del viento por la turbina eólica ideal, la cual no puede ser mayor al

59.5%, [Fernández].

2.2.6 Parámetros prácticos usados en el diseño de aerogeneradores.

La relación de velocidad específica o periférica, TSR (por sus siglas en inglés, Tip Speed

Ratio), es la relación entre la velocidad periférica de la pala, RωT, y la velocidad del viento Vw;

y se encuentra dada por [Fernández]:

T

w

RVelocidad de la periferia de la palaTSR

Velocidad del viento V

El TSR indica que la periferia de la pala gira a una velocidad TSR mayor que la

velocidad del viento Vw, y sirve para comparar el funcionamiento de diferentes máquinas

eólicas.

El coeficiente de potencia, Cp, es la relación entre la potencia que genera la turbina

eólica y la energía del viento que atraviesa al rotor:

útilp

w

PC

P

El coeficiente de potencia indica la cantidad de energía del viento que se puede convertir

en trabajo mecánico por la turbina.

(2.23)

(2.24)

(2.25)



Capítulo 2 22

2.3 Modelado de la turbina eólica.

Fig. 2.7 Concepto del disco actuador.

Una turbina eólica no es capaz de extraer toda la potencia que contiene el viento. La

potencia disponible en la turbina se encuentra dada a partir de (2.04) y (2.25) como:

31

2útil w p p wP P C C AV

El coeficiente de potencia varía con la velocidad del viento Vw, la velocidad rotacional

de la turbina TSR, el ángulo de inclinación de las aspas β y otros parámetros. La relación de

velocidad específica, es una variable que combina los efectos de la velocidad rotacional del

rotor y la velocidad del viento.

El coeficiente de potencia Cp, se debe evaluar en función del TSR y β, que es una curva

en una gráfica donde se evalúa el Cp para cada coeficiente de relación específica TSR y para

cada ángulo de inclinación β.

El desempeño del rotor de la turbina eólica se puede evaluar como una función del

coeficiente de par Cq:

, ,p qC TSR TSRC TSR

Y el coeficiente de par se puede expresar como:

,

,p

q

C TSRC TSR

TSR

El par aerodinámico τA, se relaciona con el coeficiente de par Cq, mediante:

21,

2A q wARC TSR V

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

Velocidad

Velocidad Presión Presión V1

P1

P+

P-

V2

P2


Capítulo 2 23

La potencia que extrae la turbina eólica, también se puede representar como el producto

del par aerodinámico τA y la velocidad rotacional ωT como sigue:

útil A TP

El modelo de la turbina eólica se puede dividir en dos partes:

a) Parte aerodinámica o estática.

b) Parte dinámica.

Un esquema general para el modelo de la turbina eólica es el que se muestra en la Fig.

2.8.

Fig. 2.8 Esquema general del modelo de la turbina eólica.

2.3.1 Modelo aerodinámico o estático.

La parte del modelo estático incluye las ecuaciones que no contienen derivadas y normalmente

incluye las no linealidades del rotor de la turbina. Al utilizar el modelo del disco actuador, las

ecuaciones que representan la parte estática son:

31

2

,,

w w

T

w

p

q

P AV

RTSR

V

C TSRC TSR

TSR

(2.30)

Vw

Pw

Pútil

τA

Cp

Cq

TSR

ωT ωL

Rotor de la turbina

Sistema de engranes

PARTE ESTÁTICA

PARTE DINÁMICA

kT

kL BT

BL

N1

N2

(2.31-a)

(2.31-b)

(2.31-c)



Capítulo 2 24

21,

2A q wARC TSR V

31,

2útil w p

útil A T

P AV C TSR

P

El cálculo de la potencia útil se puede realizar con (2.31-e) y (2.31-f), pero en el

desarrollo de este trabajo se utilizó (2.31-e).

Para el cálculo del coeficiente de potencia Cp, se necesita tener conocimiento acerca de

ciertos fundamentos de aerodinámica y de la construcción de las palas de la turbina, además,

de una dependencia del TSR y de β. Sin embargo, como esto es demasiado complejo, los

investigadores se dieron a la tarea, por medio de cálculos numéricos, de encontrar ciertos

coeficientes para ayudar a generalizar las ecuaciones del cálculo del coeficiente de potencia.

Una ecuación genérica para calcular el coeficiente de potencia es [Slootweg]:

5

21 3 4 6

3

,

1 1 0.035

0.08 1

i

c

TSR

p

i

i

cC TSR c c c e c TSR

TSR

TSR TSR

Debido a la complejidad del cálculo de las ecuaciones anteriores, se propusieron otras

alternativas para el cálculo del coeficiente de potencia, una de ellas es calcular un coeficiente

de potencia máximo en cada instante de tiempo Cpm, el cual depende del TSR, del número de

palas Γ y de un coeficiente establecido C, esta ecuación es [Manwell]:

1

2

3

81.32

16 0.5720127

2

pm

TSRTSR

TSRC TSR

C TSR

donde Γ es el número de palas, C es la relación de las fuerzas de arrastre y elevación que se

considera idealmente 25.

En el desarrollo de este trabajo se utilizó (2.33) para el cálculo del Cp.

(2.31-d)

(2.31-e)

(2.31-f)

(2.32-a)

(2.32-b)

(2.33)


Capítulo 2 25

2.3.2 Modelado dinámico.

Para obtener la parte del modelo dinámico, es importante dar un repaso acerca de los temas

relacionados con el movimiento de rotación y del tren de engranes, una breve descripción de

estos temas se presentan en el Apéndice B y C, respectivamente.

La parte del modelo dinámico está formado por los elementos que se encargan de

transmitir la energía del eje de baja velocidad hasta el eje de alta velocidad. El acoplamiento

entre el eje de baja velocidad y el eje de alta velocidad de la carga, se realiza a través de una

caja multiplicadora y un acoplamiento flexible en ambos ejes; además, se considera la fricción

que pueda existir entre los ejes y los momentos de inercia del rotor de la turbina y la carga

[Lopes]. El esquema de visualización del sistema físico se presenta en la Fig. 2.9.

Fig. 2.9 Esquema del sistema físico.

Si se supone que las tres aspas forman una sola masa y que los engranes son ideales, se

puede redibujar el esquema del sistema físico de la siguiente manera, en la cual se representa

la parte dinámica de la turbina eólica.

Fig. 2.10 Acoplamiento de masas de la turbina y la carga.

Rotor de la turbina

Engranes

Carga

τA

JT

θT

ωT

BT

kT

θT

ωT

τ1

N1

τ2

N2 ωL ωL

θL θL

BL

kL JL

Turbina

Carga



Capítulo 2 26

De acuerdo a la Ley de Newton para el movimiento rotacional, se tiene:

J

Para el eje de baja velocidad, es decir, para el eje de la turbina se tiene:

2

1 2

T T

A T T T T

d dB k J

dt dt

donde τA es el par aerodinámico que desarrolla la turbina eólica; BT es el coeficiente de

fricción viscosa del eje de la turbina; θT es la posición angular del eje de la turbina; kT es el

coeficiente de rigidez del eje de la turbina; τ1 es el par que desarrolla el engrane 1; JT es el

momento de inercia del rotor de la turbina.

Para el eje de alta velocidad, es decir, para el eje de la carga se tiene:

2

2 2

L L

L L L L

d dB k J

dt dt

donde τ2 es el par que desarrolla el engrane 2; BL es el coeficiente de fricción viscosa del eje

de la carga; θL es la posición angular del eje de la carga; kL es el coeficiente de rigidez del eje

de la carga; JL es el momento de inercia de la carga.

Del sistema de engranes de obtienen las siguientes relaciones:

1 1

2 2

1 2

N

N

N

1

L T

T L

T L

N

N

N

de donde:

1

2

NN

N 2

1

1N

N N

donde N1 es el número de dientes del engrane 1; N2 es el número de dientes del engrane 2; N

es la relación de engranes.

Si se despeja τ1 de (2.35) se obtiene:

2

1 2

T T

A T T T T

d dJ B k

dt dt

Al sustituir (2.37-a) en (2.39) se obtiene:

2

2 2

T TA T T TT

d dJ B k

N N dt N dt N

(2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37-a) (2.37-b)

(2.38-a) (2.38-b)

(2.39)

(2.40)


Capítulo 2 27

Al despejar τ2 de (2.36) se obtiene:

2

2 2

L L

L L L L

d dJ B k

dt dt

Al Igualar (2.40) y (2.41) se obtiene:

2 2

2 2

L T L TA T T TL L L L T

d d d dJ B kJ B k

N dt N dt dt N dt N

Si se sustituye la relación dada por (2.37-b) en (2.42), se obtiene:

2 2

2 2 2 2 2

L L L LA T T TL L L L L

d d d dJ B kJ B k

N dt N dt dt N dt N

Al agrupar términos en (2.43) se tiene:

2 2

2 2 2 2 2

L L LA T T TL L L L

d d dJ B kJ B k

N dt N dt dt N N

De (2.44) se obtienen las siguientes equivalencias:

2

2

Te L

Te L

BB B

N

kk k

N

en donde ωTe es la velocidad angular equivalente de la turbina, ke es la constante de rigidez

equivalente; Be es el coeficiente de fricción equivalente.

Normalmente se busca encontrar un modelo dinámico simple, por ello se puede

considerar un sistema equivalente consistente de dos masas, con un eje flexible y fricción

viscosa equivalente, como el de la Fig. 2.11.

Fig. 2.11 Sistema de acoplamiento de masas equivalentes.

(2.41)

(2.42)

(2.43)

(2.44)

(2.45-c)

(2.45-d)

τA τA/N ωTe

θTe

JT/N2

Be

ke θL

ωL JL

Turbina Carga



Capítulo 2 28

El modelo que se obtuvo se conoce como modelo reflejado hacia el eje de alta

velocidad. En el sistema existen tres elementos que almacenan de energía, los cuales se

seleccionan como variables de estados Te , L y e .

Se analizó el sistema equivalente y se obtuvo el modelo en variables de estados. Al

apoyarse en la Ley de Newton para el movimiento rotacional, se tiene:

J

Del sistema de la Fig. 2.11, se obtiene:

2

2 2

2

2

Te L TeA Te e Te L

Te L L

e e Te L L

d d dJB k

N dt dt N dt

d d dB k J

dt dt dt

Si se define:

e Te L

e Te L e Te L

Si se recuerda que:

2

2

Te

Te

Te

Te

d

dt

d

dt

2

2

L

L

L

L

d

dt

d

dt

Con las relaciones dadas en (2.49), se puede reescribir (2.46-a) y (2.46-b) como:

2

T ATe e Te e L e e

L L e Te e L e e

JB B k

N N

J B B k

Al despejar Te

y L

de (2.50) se tiene:

2 2 2

e e e ATe Te L e

T T T Te

e eeL Te L e

L L L

B N B N k N N

J J J J

B kB

J J J

Y de (2.48-a) se obtiene:

(2.46-a)

(2.46-b)

(2.47)

(2.48-a)

(2.49-a)

(2.49-b)

(2.49-c)

(2.49-d)

(2.50)

(2.51-a)

(2.51-b)


Capítulo 2 29

e Te L

De esta manera, la representación en variables de estados del sistema es de la forma:

x Ax Bu

y Cx

El sistema en variables de estados se representa como:

2 2 2

0

01 1 0

1 0 0

0 1 0

e e e

T T TTeTTe

e e eL L A

L L L

ee

Te

Te

L

L

e

N B N B N kN

J J JJ

B B k

J J J

El modelo dado en (2.52) representa al sistema dinámico de la turbina eólica [Ovando],

[Petru].

2.4 Simulación de la turbina eólica.

Para realizar la simulación del comportamiento de la turbina eólica, se necesita implementar

las dos partes del modelo de la turbina eólica.

Fig. 2.12 Esquema del proceso de simulación de la turbina eólica.

En la parte correspondiente al modelo estático, se tienen como entradas a la velocidad

del viento y la velocidad a la que gira el rotor de la turbina (proveniente del modelo dinámico),

y se produce como salida, un par aerodinámico. Este par que se produce, sirve como entrada al

(2.51-c)

(2.52)

Vw τA

ωL

ωT Parte

estática

Parte

dinámica



Capítulo 2 30

Programa desarrollado

con el apoyo de los

programas implementados

por Juan Carlos Gracia

y Roberto II Ovando.

wT

wL

1

radio

1.225

densidad

Vw

t

wL

wT

Pw

TSR

Pm

Cq

Cp

Ta

Ta

TSR

Pw

Pm

Vw V

R

B

C

wT

ro

Ta

Cp

Cq

Pm

TSR

Pw

fcn

Parte

Estática

dinamica

Parte

Dinámica

[wT]

[Ta]

[Ta]

[wT]

Cq

Cp

Clock

25

C

3

B

modelo dinámico, en el cual se obtiene como salida la velocidad del rotor de la turbina, la

velocidad a la que gira la carga y de ser requerido, el par que se transmite al eje de alta

velocidad. En la Fig. 2.12, se presenta un esquema de lo descrito.

El modelo completo de la turbina eólica, al considerar la parte estática y la parte

dinámica, se encuentra compuesto por (2.31-a), (2.31-b), (2.31-c), (2.31-d), (2.31-e), (2.33) y

(2.52). Los datos que se utilizan para la simulación de la turbina eólica, se presentan en la

Tabla 2.1, [Ovando].

Tabla 2.1 Valores de los parámetros que se utilizan en la simulación de la turbina eólica.

Parámetro Valor

Momento de inercia de la turbina JT 0.3 Nms2

Momento de inercia de la carga JL 0.094 Nms2

Constante de rigidez del eje de la turbina KT 1.5e4 Nm

Constante de rigidez del eje de la carga KL 1.5e2 Nm

Coeficiente de fricción viscosa del eje de la turbina BT 0.024 Nms

Coeficiente de fricción viscosa del eje de la carga BL 0.0055 Nms

Densidad del aire ρ 1.225 kg/m3

Radio del rotor de la turbina R 1 m

Número de palas B 3

El diagrama que se implementó en MATLAB/Simulink de la turbina eólica se presenta

en la Fig. 2.13.

Fig. 2.13 Diagrama de la turbina eólica implementado en simulink.


Capítulo 2 31

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

Perfil del viento "Vw"

Tiempo "s"

m/s

0 1 2 3 4 50

500

Potencia del viento "Pw"

Tiempo "s"

W

0 1 2 3 4 50

0.5

Coeficiente de potencia "Cp"

Tiempo "s"

0 1 2 3 4 50

100

200

300

Potencia en la turbina "Pm

"

Tiempo "s"

W

0 1 2 3 4 50

0.5

1

Coeficiente de par "Cq"

Tiempo "s"

0 1 2 3 4 50

10

20

30

Par aerodinámico "Ta"

Tiempo "s"

Nm

0 1 2 3 4 50

50TSR

Tiempo "s"

El perfil de viento que se utilizó para la simulación fue proporcionado por Instituto de

Investigaciones Eléctricas y se midió en la Venta, Tabasco. En la Fig. 2.14, se muestra el

perfil de viento que se utilizó para realizar las simulaciones.

Fig. 2.14 Perfil de viento.

La respuesta de la turbina eólica de la parte estática se muestra en la Fig. 2.15.

Fig. 2.15 Respuesta aerodinámica de la turbina eólica.



Capítulo 2 32

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

Velocidad de la turbina "wT"

Tiempo "s"

rad

/s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

Velocidad de la carga "wL"

Tiempo "s"

rad

/sEn la respuesta de la turbina eólica de la Fig. 15, la potencia del viento está dada por

(2.31-a), el coeficiente de potencia por (2.33), la potencia de la turbina eólica por (2.31-e), el

coeficiente de par por (2.31-c), el par aerodinámico por (2.31-d) y el coeficiente de relación

específica por (2.31-b).

En la gráfica de la Fig. 15, se puede observar como la potencia del viento varía con

respecto a su velocidad. Se observa que la relación entre el coeficiente de potencia (Cp) y el

TSR, es inversamente proporcional, ya que cuando el TSR es pequeño, el Cp se encuentra en un

valor relativamente grande y cuando el TSR aumenta el Cp disminuye. También se puede notar

la importancia de mantener un Cp alto, ya que la potencia extraída del viento también es alta;

por otro lado, si el Cp es alto, también lo será el coeficiente de par (Cq), ya que como lo indica

(2.30-c), su relación es directamente proporcional.

En la Fig. 2.16, se presenta la respuesta de la turbina eólica de la parte dinámica, de aquí

se observa que la velocidad del rotor de la turbina es 4 veces menor que la velocidad del eje de

la carga, lo cual es lo que se busca, ya que el valor de la relación de engranes es 4.

Fig. 2.16 Respuesta dinámica de la turbina eólica.


Capítulo 2 33

0 1 2 3 4 50

500

Potencia del viento "Pw"

tiempo sg

W

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

Coeficiente de potencia "Cp"

tiempo sg

0 1 2 3 4 50

100

200

300

Potencia en la turbina "Pm

"

tiempo sg

W

0 1 2 3 4 50

0.5

1

Coeficiente de carga "Cq"

tiempo sg

0 1 2 3 4 50

10

20

30

Par aerodinámico "Ta"

tiempo sg

Nm

0 1 2 3 4 50

20

40

TSR

tiempo sg

Curtis

Qiao

Zhiliu

Aldo-Ovando

2.5 Validación del modelo implementado de la turbina eólica.

El modelo que se estudio de la turbina eólica se basó en el realizado por [Ovando], por ello, la

respuesta que se obtiene en las simulaciones se comparó con las que se obtuvo en el trabajo

realizado por este autor. Además, se comparó con las que se obtienen en los trabajos

realizados por otros autores [Curtis], [Qiao], [Liu].

Los resultados de las simulaciones del comportamiento de la turbina eólica, tanto de la

parte estática como de la parte dinámica, con el modelo que se estudio en este trabajo y el

modelo que desarrollaron los otros autores, se presentan en la Fig. 2.17 y 2.18.

En la figura se puede observar que el modelo que se estudio en este trabajo coincide,

hablando del comportamiento de la turbina eólica, con el que desarrollaron los otros autores.

Aclarando que en el modelo que se presentó en [Curtis] no se tomó en cuenta la constante de

rigidez de los ejes de la turbina. En el modelo que se desarrolló por [Qiao], [Ji] y [Liu] no se

tomó en cuenta la fricción existente en los ejes.

A pesar de las consideraciones que hacen en los modelos la respuesta en éstos es la

misma. Por esta razón en las Fig. 2.17 y 2.18 sólo se logra observar una respuesta, ya que

todas coinciden.

Fig. 2.17 Respuesta aerodinámica de la turbina eólica comparada con los diferentes modelos.



Capítulo 2 34

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

Velocidad de la turbina "wT"

tiempo sg

rad

/s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

Velocidad de la carga "wL"

tiempo sg

rad

/s

Curtis

Qiao

Zhiliu

Aldo-Ovando

Curtis

Qiao

Zhiliu

Aldo-Ovando

Fig. 2.18 Respuesta dinámica de la turbina eólica comparada con los diferentes modelos.

Capítulo 3 35

Capítulo 3

Estudio y modelado del

generador de inducción

3.1 Introducción.

xisten principalmente dos máquinas de ca: las máquinas síncronas y las máquinas

asíncronas (inducción). Las máquinas síncronas son motores y generadores cuya

corriente de campo magnético se suministra por medio de una fuente de corriente

directa (cd) externa; mientras que las máquinas de inducción son motores y generadores cuya

corriente de campo magnético se suministra por medio inducción magnética (acción

transformadora) en sus devanados de campo.

Uno de los fundamentos de las máquinas de ca es que, si por los devanados de la

armadura circula un sistema trifásico de corrientes de igual magnitud y desfasados 120º, se

producirá un campo magnético giratorio de magnitud constante. En las máquinas de ca el

campo magnético creado por los conductores del rotor es giratorio e induce en los devanados

de la armadura, que se encuentran en el estator, un sistema trifásico de voltajes de ca.

Recíprocamente, un sistema trifásico de corrientes que circula por los arrollamientos de

armadura produce un campo magnético giratorio, el cual interactúa con el campo magnético

del rotor y se produce un par en el eje de la máquina. Estos dos efectos corresponden,

respectivamente, a la acción generadora y a la acción motora.

E



Capítulo 3 36

Una máquina eléctrica puede trabajar como motor y como generador. Un generador es

una máquina que transforma potencia mecánica en potencia eléctrica (ca). La máquina de

inducción, bajo ciertas condiciones, trabaja como generador, es decir, la potencia mecánica

que hace girar a su rotor se transforma en potencia eléctrica (energía eléctrica de ca).

La máquina de inducción se utiliza debido a que es robusta, de bajo costo y requiere

muy poco mantenimiento, motivo por el cual se le considera apropiada para operar en regiones

aisladas donde es difícil o muy costoso realizar un mantenimiento periódico.

3.2 Máquina de inducción.

La máquina de inducción se llama así porque el voltaje del rotor (que a su vez produce la

corriente y el campo magnético del rotor) se induce en el devanado del rotor sin que existan

conexiones físicas por medio de conductores.

El núcleo del rotor de un motor de inducción es un cilindro de acero laminado en el cual

se vacían o se devanan los conductores de cobre o aluminio de forma total o aproximadamente

paralela al eje longitudinal en ranuras o agujeros en el núcleo. Los conductores no necesitan

aislarse del núcleo, porque las corrientes inducidas en el rotor siguen la trayectoria de

resistencia mínima, es decir, el cobre o aluminio vaciados o los conductores de aleaciones de

cobre del devanado del rotor. Existen dos tipos de rotores para las máquinas de inducción: de

rotor devanado y tipo jaula de ardilla.

En el tipo de rotor devanado los devanados se conectan en estrella en las máquinas

trifásicas. El extremo de cada uno de los devanados de fase se conecta a anillos rozantes que

están aislados del eje del rotor.

En el rotor tipo jaula de ardilla, los conductores de éste están conectados en corto

circuito en ambos extremos mediante anillos continuos. Las barras del rotor jaula de ardilla no

siempre son paralelas a la longitud axial del rotor, se pueden desviar un cierto ángulo del eje

del rotor para evitar los saltos y producir un par más uniforme.

3.3 Par producido en un motor de inducción.

Si se aplica al estator un sistema trifásico de voltajes de igual magnitud y desfasados 120º, por

sus devanados circulará un sistema trifásico de corrientes. Estas corrientes producen un campo

magnético en el estator BS, cuya velocidad de rotación está dada por:


Capítulo 3 37

120 esinc

fn

P

donde fe es la frecuencia del sistema de alimentación en Hz; P es el número de polos; nsinc es la

velocidad de rotación del campo magnético en rpm, también se le conoce como velocidad

síncrona. Este campo magnético alcanzará a las barras del rotor e inducirá un voltaje en ellas,

el voltaje inducido en las barras del rotor está dado por:

inde v B l

Este voltaje inducido, genera una corriente que circula por los devanados del rotor y la

corriente de los devanados del rotor produce un campo magnético BR en el mismo. La

interacción de estos campos magnéticos produce el par electromagnético de la máquina. El par

producido en la máquina está dado por:

ind R SkB B

donde k es una constante que depende de la construcción de la máquina y, como resultado del

par producido, la máquina girará y se acelerará.

La velocidad del motor tiene un límite finito, si el rotor del motor de inducción llegara a

girar a la velocidad síncrona, sus barras estarían estacionarias con respecto al campo

magnético y no se induciría voltaje. Si eind fuera igual a cero, no habría corriente en el rotor y

por lo tanto, tampoco habría campo magnético, sin campo magnético en el rotor el par

producido sería cero y por la fricción el rotor se frenaría. En conclusión, un motor de

inducción puede girar a velocidades cercanas a la velocidad síncrona, pero nunca alcanzará

exactamente a la velocidad síncrona.

3.4 Deslizamiento del rotor.

El voltaje inducido en los devanados del rotor depende de la velocidad relativa del rotor con

respecto a los campos magnéticos. Como el comportamiento de la máquina de inducción

depende de los voltajes y las corrientes del rotor, es útil hablar en términos de la velocidad

relativa entre el rotor y los campos magnéticos, en general se utilizan dos términos para esto:

la velocidad de deslizamiento y el deslizamiento.

La velocidad de deslizamiento es la diferencia entre la velocidad síncrona y la velocidad

del rotor:

des sinc m

(3.01)

(3.02)

(3.03)

(3.04)



Capítulo 3 38

Y para el deslizamiento:

100%100%des sinc m

snic sinc

s

donde ωdes es la velocidad de deslizamiento en rad/s; ωsinc es la velocidad del campo

magnético en rad/s; ωm es la velocidad del rotor en rad/s.

Es posible expresar la velocidad mecánica del eje del rotor en función de la velocidad

síncrona y el deslizamiento como:

1m sincs

La frecuencia del rotor es directamente proporcional a la diferencia de la velocidad del

campo magnético del estator ωsinc y la velocidad del rotor ωm. La frecuencia del rotor está

dada por:

r ef sf

3.5 Circuito equivalente del motor de inducción.

Con el fin de obtener el modelo del motor de inducción se deben de tener en cuenta las

pérdidas que ocurren en el motor real, los principales aspectos que deben considerarse para la

construcción del modelo son:

1. Pérdidas en el cobre. Son pérdidas por calentamiento resistivo en los devanados del

estator y del rotor, son proporcionales al cuadrado de la corriente respectiva en los

devanados.

2. Pérdidas por corrientes parásitas. Son pérdidas por calentamiento resistivo en el

núcleo del estator, son proporcionales al cuadrado del voltaje aplicado al motor.

3. Pérdidas por histéresis. Están relacionadas con los reordenamientos de los dominios

magnéticos en el núcleo durante cada semiciclo.

4. Flujo disperso. Son los flujos que escapan del núcleo y del rotor y pasan únicamente a

través de uno de los devanados del estator.

El modelado de las pérdidas en el cobre, son pérdidas resistivas tanto en el estator como

en el rotor, se modelan colocando una resistencia rs en el circuito del estator y una resistencia

rr en el circuito del rotor. El flujo disperso es modelado por una inductancia en el estator y otra

en el rotor, la corriente de magnetización puede modelarse por una reactancia XM conectada a

(3.05)

(3.06)

(3.07)


Capítulo 3 39

través de la fuente de voltaje de estator. El modelado de las pérdidas en el núcleo debidas al

fenómeno de histéresis y corrientes parásitas, pueden ser modeladas por una resistencia RC.

En la práctica es más fácil trabajar con un modelo que represente los valores del rotor

referidos al estator, por ello, para establecer el circuito equivalente definitivo por fase del

motor de inducción, es necesario referir la parte del modelo del rotor al estator.

El circuito equivalente final por fase del motor de inducción se muestra en la Fig. 3.1.

Fig. 3. 1 Circuito equivalente por fase de un motor de inducción.

3.6 Modelado del motor de inducción.

3.6.1 Modelo trifásico del motor de inducción.

Fig. 3.2 Máquina de inducción trifásica.

La Fig. 3.2, representa una máquina de inducción trifásica con devanados sinusoidalmente

distribuidos [Krause]. Para la obtención de las ecuaciones se emplea una máquina de

inducción trifásica, simétrica, de dos polos, conectada en estrella, tipo jaula de ardilla. Los

devanados del estator son idénticos, están distribuidos en forma sinoidal, desplazados 120º

Vφ

rs

r’r/s

jXs jX’r

jXM Rc

Is

IM

I’r

+

-

cs

cs'

as'

bs'

bs

cs

br

ar

cr

cr'

ar'

br' θr

ωr

ibs

ics

ias

Vas

Vbs

Vcs

rs

rs

rs

Ns

Ns

Ns

+

+

+

i'br

i'ar

i'cr

V’ar

V’br

V’cr Nr Nr

Nr

r'r

r'r

r'r

+

+

+



Capítulo 3 40

eléctricos entre sí, con un número equivalente de vueltas Ns, y resistencia rs. Los devanados

del rotor se consideran equivalentes y similares a los del estator, con Nr vueltas y resistencia rr.

Se supone que la máquina de inducción es lineal, es decir, no existe saturación del circuito

magnético y que además, la fuerza magnetomotriz no contiene componentes armónicas.

Las ecuaciones que describen el comportamiento del motor de inducción, en forma

matricial, son:

V RI pLI LpI

Despejando las derivadas del vector de corrientes, se puede obtener el modelo de

simulación del motor de inducción, como:

1 1pI L R pL I L V

donde:

1 1 2 2cos cos cos

2 2 3 3

1 1 2 2cos cos cos

2 2 3 3

1 1 2 2cos cos cos

2 2 3 3

cos

ls ms ms ms ms r ms r ms r

ms ls s ms ms r ms r ms r

ms ms ls s ms r ms r ms r

ms r ms

L L L L L L L

L L L L L L L

L L L L L L L

L

L L '

'

'

2 2 1 1cos cos

3 3 2 2

2 2 1 1cos cos cos

3 3 2 2

2 2 1 1cos cos cos

3 3 2 2

r ms r lr ms ms ms

ms r ms r ms r ms lr ms ms

ms r ms r ms r ms ms lr ms

L L L L L

L L L L L L L

L L L L L L L

0

0

0

as

bs

abcs cs

abcr

V

V

V VV

V

' '

'

'

as

bs

abcs cs

abcr ar

br

cr

I

I

I II

I I

I

I

'

'

'

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

s

s

s

r

r

r

r

r

rR

r

r

r

donde Vas, Vbs y Vcs son los voltajes de alimentación en las fases a, b y c del estator,

respectivamente; V’ar, V’br y V’cr son los voltajes de alimentación en las fases a, b y c del

rotor, respectivamente; rs y r’r son las resistencias del estator y rotor, respectivamente; Ias, Ibs y

Ics son las corrientes en las fases a, b y c del estator, respectivamente; I’ar, I’br y I’cr son las

(3.09)

(3.08)


Capítulo 3 41

corrientes en las fases a, b y c del rotor, respectivamente; λas, λbs y λcs son los enlaces de flujo

en las fases a, b y c del estator, respectivamente; λ’ar, λ’br y λ’cr son los enlaces de flujo en las

fases a, b y c del rotor, respectivamente; p es el operador diferencial d/dt.

En el enfoque del cálculo operacional se suele representar con p al operador derivada

d/dt. El cálculo operacional es un método mediante el cual es posible la reducción de los

problemas diferenciales (ecuaciones diferenciales) a los algebraicos (ecuaciones algebraicas).

El motor que se utiliza es el motor de inducción jaula de ardilla, por lo cual el vector

voltajes de alimentación de los devanados del rotor es igual a cero.

La ecuación del par electromagnético es:

'

'

2

T sr

em abcs abcr

r

LPI I

Y la velocidad del motor de inducción se puede calcular mediante:

1m e m m L

m

BJ

donde Jm es el momento de inercia del rotor; Bm es el coeficiente de fricción de viscosa; τL es

el par de carga.

3.6.2 Teoría del marco de referencia.

Se sabe que algunas de las inductancias de la máquina son funciones de la posición del rotor,

por lo cual los coeficientes de las ecuaciones diferenciales (voltaje), que describen el

comportamiento de esas máquinas son variables en el tiempo, excepto cuando el rotor está

estacionario. Para reducir la complejidad de esas ecuaciones diferenciales es común usar un

cambio de variables [Krause]. Un cambio de variables que formula una transformación de las

variables trifásicas de elementos de los circuitos estacionario y del rotor al marco de referencia

arbitrario, se puede expresar como:

0qd abcf Kf

donde:

0 0

T

qd q df f f f T

abc a b cf f f f

donde f puede representar voltaje, corriente, enlaces de flujo o carga eléctrica.

Las matrices de transformación y las matrices de transformación inversa para los

circuitos estacionarios y del rotor están dadas por:

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13) (3.14)



Capítulo 3 42

Circuitos estacionario Circuitos del rotor

2 2cos cos cos

3 3

2 2 2sin sin sin

3 3 3

1 1 1

2 2 2

SK

2 2cos cos cos

3 3

2 2 2sin sin sin

3 3 3

1 1 1

2 2 2

RK

1

cos sin 1

2 2cos sin 1

3 3

2 2cos sin 1

3 3

SK 1

cos sin 1

2 2cos sin 1

3 3

2 2cos sin 1

3 3

RK

c

c

d

dt

c r

r

r

d

dt

donde ωr y θr son la velocidad y el desplazamiento angular del rotor, respectivamente; ωc y θc

son la velocidad y el desplazamiento del marco de referencia arbitrario, respectivamente.

Las ecuaciones de voltaje del motor de inducción en el marco de referencia arbitrario

son:

' ' ' ''

' ' ' ''

0 0 0

0 0 0

0 0 00

0 0 00

s c s c M qs qss Mqs

c s s c M ds dss Mds

c r M r c r r qr qrM r

c r M c r r r dr drM r

r L L I IL LV

L r L I IL LVp

L r L I IL L

L L r I IL L

La velocidad angular de los circuitos, ωc, se puede escoger para hacer que corresponda a

los circuitos que se están transformando, esto es, ωc=0 para los circuitos estacionarios, ωc=ωr

para los circuitos del rotor y ωc=ωe para los circuitos síncronos.

(3.20)

(3.15-a)

(3.15-b)

(3.16-a)

(3.16-b)

(3.17)

(3.18)

(3.19)


Capítulo 3 43

3.6.3 Motor de inducción en el marco de referencia estacionario.

A partir de (3.20) es posible obtener el modelo del motor de inducción en el marco de

referencia estacionario, fijo al rotor y síncrono.

Si ωc=0, entonces el modelo que se obtiene es el del marco de referencia estacionario,

en este caso el modelo del motor de inducción es:

'

'

' '' '

'' '

'

0 0 00 0

0 0 00 01

0 00 0

0 00 0

qs

qss qsr M

dsdss dsr M

qrr M r r rM sqr

drr M r r rM s

dr

IIr VL L

I Ir VL L

IL r LLL L LI

IL L rL L

I

donde:

' 2

s r MLL L L L

El par electromagnético y la velocidad del motor se encuentran dados por:

' '3

2 2e M qs dr ds qr

PL I I I I

1m e m LB

J

El desarrollo completo del modelo del motor de inducción se presenta en el Apéndice F.

3.7 Generador de inducción.

La Fig. 3.3, muestra la curva par-velocidad de la máquina de inducción. En ésta se indica hasta

el punto de par máximo que el par es proporcional al deslizamiento, es decir, a medida que

disminuye el deslizamiento disminuye el par. Cuando el deslizamiento es cero, a la velocidad

síncrona, el par es cero.

Si una máquina de inducción se impulsa a una velocidad superior a la síncrona, es decir,

un deslizamiento negativo, el motor recibe potencia mecánica en lugar de entregarla y se tiene

la operación de generador. La transición del modo motor al modo generador es función del

deslizamiento.

(3.21-a)

(3.21-b)

(3.22)

(3.23)



Capítulo 3 44

Fig. 3.3 Curva Par-Velocidad de la máquina de inducción.

En modo motor, el deslizamiento varía desde 0% en vacío hasta 100% a rotor

bloqueado. Suponga que el motor trabaja a velocidad y carga nominales, con un deslizamiento

cercano a cero; si por alguna razón la carga que se impulsa acelera al motor o de alguna

manera llega a disminuir la velocidad síncrona, el deslizamiento se reduce a cero y a valores

negativos. En este caso, la velocidad del rotor es mayor que la síncrona y la máquina trabaja

como generador, proporcionando energía eléctrica. La salida del generador de inducción

(voltaje generado) depende de la magnitud del deslizamiento negativo.

Como el generador de inducción no tiene un circuito independiente para su excitación,

no puede producir potencia reactiva, de hecho, él consume potencia reactiva y para mantener

el campo magnético de su estator necesita estar conectado permanentemente a una fuente

exterior de potencia reactiva, esta fuente también debe controlar el voltaje en terminales del

generador.

La gran ventaja del generador de inducción es su simplicidad, éste no necesita un

circuito de campo separado y no debe estar trabajando continuamente a una velocidad fija. El

hecho de que no requiera de una regulación precisa hace de este generador una buena elección

para molinos de viento, sistemas de recuperación de calor y fuentes similares de potencia

suplementaria conectadas a un sistema de potencia existente.

Velocidad del rotor (rpm)

Par

(Nm

)


Capítulo 3 45

3.8 Generador de inducción operando independientemente

La máquina de inducción puede trabajar como generador independiente de cualquier sistema

de potencia, siempre que haya capacitores disponibles para suministrar la potencia reactiva

que necesitan el generador y las cargas conectadas. El esquema del generador de inducción

independiente se muestra en la Fig. 3.4.

Fig. 3.4 Generador de inducción independiente.

La corriente de magnetización IM, requerida por la máquina de inducción es función del

voltaje en sus terminales y se puede encontrar haciendo funcionar la máquina como motor en

vacío y midiendo su corriente de armadura en función del voltaje en terminales. La curva de

magnetización correspondiente se puede observar en la Fig. 3.5.

Fig. 3. 5 Curva de magnetización en una

máquina de inducción.

Fig. 3. 6 Gráfica de la característica voltaje-

corriente del banco de capacitores.

Con el fin de obtener un determinado nivel de voltaje en un generador de inducción,

los capacitores externos deben suministrar la corriente de magnetización correspondiente para

Pri-motor

ωr

Generador

de inducción

Banco de

capacitores

Q

Vφ, V

IM, A IC, A

VC, V Capacitancia

pequeña C Capacitancia

media C

Capacitancia

grande C



Capítulo 3 46

ese nivel. La corriente reactiva que puede producir un capacitor es directamente proporcional

al voltaje aplicado a él, por lo tanto, el lugar geométrico de todas las combinaciones posibles

del voltaje y la corriente a través del capacitor es una línea recta. La curva de voltaje en

función de la corriente es como se muestra en la Fig. 3.6.

Si a las terminales de un generador de inducción se conecta un conjunto trifásico de

capacitores, el voltaje de vacío del generador estará determinado por la intersección de la

curva de magnetización del generador y la recta de carga de los capacitores. En la Fig. 3.7, se

muestran los valores de voltaje en las terminales en vacío de un generador de inducción para

tres conjuntos diferentes de capacitores.

Fig. 3.7 Voltaje en terminales en vacío de un generador de inducción.

Cuando se hace girar al generador de inducción, el magnetismo residual en su circuito de

campo produce un pequeño voltaje, ese pequeño voltaje produce un flujo de corriente

capacitiva que incrementa el voltaje, aumentando posteriormente la corriente capacitiva y así

sucesivamente hasta que el voltaje se estabiliza.

Si no existe flujo residual en el rotor del generador de inducción, no se producirá ningún

voltaje y se debe de energizar momentáneamente haciéndolo trabajar como motor. El

problema más serio del generador de inducción es que con los cambios de carga presenta

amplias variaciones de voltaje.

El voltaje en terminales del generador de inducción depende de tres factores [Torres]:

o La velocidad de la turbina.

o El tamaño de los capacitores.

o La carga conectada.

Vφ, V

IM o IC, A

V3

V2

V1

Capacitancia

media C Capacitancia

grande C

Capacitancia

pequeña C


Capítulo 3 47

3.9 Modelado del generador de inducción.

El modelo del generador de inducción es muy similar al modelo del motor de inducción, con

las diferencias de que el generador de inducción tiene un banco de capacitores conectado a sus

terminales, los cuales deben de ser considerados en el modelo del generador, y que en este

caso la velocidad del rotor, proporcionada por la turbina, se considera como una entrada y no

como una salida, como en el caso del motor.

El modelo de la máquina de inducción en el marco de referencia estacionario, nos

proporciona la respuesta transitoria y en estado estacionario de la máquina de inducción, por

lo cual fue este el modelo que se eligió para representar al generador de inducción. El circuito

por fase que representa al generador, considerando el banco de capacitores conectado a sus

terminales, en el marco de referencia estacionario, se presenta en la Fig. 3.8, [Torres],

[Seyoum].

Fig. 3.8 Circuito por fase del generador de inducción en el marco de referencia estacionario: (a) eje q, (b) eje d.

donde Cqs y Cds son las capacitancias de los ejes q y d, respectivamente; rs y r’r son las

resistencias del estator y rotor, respectivamente; Lls y L’lr son las inductancias de dispersión

del estator y rotor, respectivamente; LM es la inductancia de magnetización; ωr es la velocidad

eléctrica del rotor; λqs y λds son los enlaces de flujo del estator del eje q y d, respectivamente;

λ’qr y λ’dr son los enlaces de flujo del rotor del eje q y d, respectivamente; Iqs y I’qr son las

corrientes del eje q del estator y rotor, respectivamente, Ids y I’dr son las corrientes del eje d del

estator y rotor, respectivamente; Imq y Imd son las corrientes de magnetización del eje q y d,

respectivamente.

Cqs

Cds

rs Xls X’lr

XM r’r/s

rs Xls X’lr

XM r’r/s

(-ωr)λ’dr - +

- + (-ωr)λ’qr

Iqs

Ids

IMq

IMd

I’qr

I’dr



Capítulo 3 48

Las ecuaciones que describen a los circuitos que representan al generador de inducción

están dadas por:

0

0

cqs s qs qs

cds s ds ds

V r I p

V r I p

' ' ' '

' ' ' '

0

0

r r r dr qr

r dr r qr dr

r I p

r I p

donde p es el operador diferencial d/dt.

Los voltajes de los capacitores, Vqcs y Vdsc, están dados por:

0 0

1 1 qsc qs qsc dsc ds dsc

qs ds

V I dt V V I dt VC C

donde Vqsc0=Vqsc|t=0 y Vdsc0=Vdsc|t=0, son los voltajes iniciales en los capacitores; Vqsc y Vdsc son

los voltajes de los capacitores conectados al estator del eje q y d, respectivamente.

Los enlaces de flujo para los devanados del estator están dados por:

'

'

qs s qs M qr

ds s ds M dr

L I L I

L I L I

Y los enlaces de flujo para los devanados del rotor son:

' ' ' '

0

' ' ' '

0

qr r qr M qs qr

dr r dr M ds dr

L I L I

L I L I

donde λ’qr0 y λ’dr0 son los enlaces de flujo residuales en el eje q y d, respectivamente y se

consideran como un valor constante; Ls y L’r son las inductancias de los devanados del estator

y rotor, respectivamente, y están dados por:

' '

s ls M

r lr M

L L L

L L L

La velocidad eléctrica del rotor y los enlaces de flujo producen un voltaje rotacional, así,

el voltaje rotacional en el rotor está dado como:

' ' ' ' ' ' '

0 0

' ' '

r qr r r qr M qs qr r r qr M qs r qr

r qr r r qr M qs dr

L I L I L I L I

L I L I K

' ' ' ' ' ' '

0 0

' ' '

r dr r r dr M ds dr r r dr M ds r dr

r dr r r dr M ds qr

L I L I L I L I

L I L I K

donde Kdr y Kqr son voltajes iniciales inducidos debidos al flujo magnético residual en el eje q

y d, respectivamente, y son valores constantes.

(3.24-a) (3.24-b)

(3.25)

(3.26-a)

(3.26-b)

(3.27)

(3.28-a)

(3.28-b)


Capítulo 3 49

Sustituyendo las Ecs. (3.26-a), (3.28-a) y (3.28-b) en (3.24-a) y (3.24-b), se obtienen las

ecuaciones que describen al generador de inducción en el marco de referencia estacionario. De

esta manera se tiene:

'

'

0

0

cqs s qs s qs M qr

cds s ds s ds M dr

V r I L pI L pI

V r I L pI L pI

' ' ' '

' ' ' '

0

0

qr r M ds r qr r r dr M qs r qr

dr r M qs r r qr r dr M ds r dr

K L I r I L I L pI L pI

K L I L I r I L pI L pI

Las Ecs. (3.29-a) y (3.29-b) se pueden expresar en forma matricial como:

' '' ' '

' '' ' '

0 0 0 0 00

0 0 0 0 00

0 0 00

0 0 00

qs qs cqss s M

ds ds cdss s M

qr qr qrr M r r r M r

dr dr drr M r r r M r

I I Vr L L

I I Vr L Lp

I I KL r L L L

I I KL L r L L

De (3.30), despejando las derivadas de las corrientes se obtiene el modelo de simulación

del generador de inducción. De esta manera se tiene:

'

'

' '' '

'' '

'

0 0 00 0

0 0 00 01

00 0

00 0

qs

qs cqssr M

dsds cdssr M

qr qrr M r r rM sqr

dr drr M r r rM s

dr

II VrL L

I I VrL L

I KL r LLL L LI

I KL L rL L

I

donde:

' 2

s r MLL L L L

Como se mencionó anteriormente, (3.31) representa el modelo del generador de

inducción, pero para comprender el funcionamiento del generador de inducción es importante

estudiar el proceso de auto-excitación que ocurre en éste. A continuación se presenta una

descripción de éste proceso.

(3.29-a)

(2.29-b)

(3.30)

(3.31-a)

(3.31-b)



Capítulo 3 50

3.10 Proceso de auto-excitación.

Debido a la complejidad de las ecuaciones en el generador de inducción, el principio del

proceso de auto-excitación se explicará con el uso de un circuito , debido a que el

comportamiento del generador de inducción es similar a un circuito de este tipo.

3.10.1 Circuito RLC.

Considere el circuito que se presenta en la Fig. 3.9.

Fig. 3.9 Circuito RLC.

El signo más, se debe a la polaridad del voltaje inicial en el capacitor. Se sabe que tanto

la bobina como el capacitor pueden almacenar energía, la resistencia no es capaz de almacenar

energía. Por lo tanto, en , pueden existir dos condiciones iniciales:

a) Puede haber flujo de corriente en la bobina (si la bobina forma parte de otro circuito,

lo cual no se muestra en la Fig. 3.9).

b) Puede existir un voltaje inicial en el capacitor.

Si las dos condiciones iniciales son cero, no ocurrirá ningún transitorio o flujo de

corriente en estado estable.

Suponga que se cierra en . En este instante la corriente en el circuito es cero y el

voltaje en el capacitor es . La ecuación de voltaje en el circuito es:

0

10c

d iRi L idt V

dt C

Derivando (3.32) respecto al tiempo se obtiene:

2

2

1 10 '' ' 0

d i d iL R i Li Ri i

dt dt C C

(3.32)

S L

R Vc0

+

C

i(t)

(3.33)


Capítulo 3 51

Por el método de los factores integrantes la ecuación característica asociada con (3.33)

es:

2 10Lr Rr

C

En términos de los parámetros del circuito RLC, las raíces de la ecuación característica,

(3.34), son:

2

1,2

1

2 2

R Rr

L L LC

La naturaleza de las soluciones de (3.33) dependen de los valores de las raíces y ,

que a su vez dependen de los coeficientes o parámetros de la ecuación diferencial. Para

conocer la naturaleza de las raíces se debe analizar el discriminante de (3.36), es decir

.

En particular para el proceso de auto-excitación, es de interés la parte real de las raíces

complejas conjugadas. Éstas se obtienen de la condición , siendo las raíces

y .

En circuitos pasivos, como el circuito de la Fig. 3.9, todas las soluciones asociadas

con raíces que tienen parte real negativa, lo cual es posible si es positiva, significa que el

transitorio disminuirá, conforme el tiempo aumente, hasta que finalmente caiga a cero, Fig.

3.10a. En este caso , la parte real, es la razón a la cual disminuye el transitorio y , la parte

imaginaria, representa la frecuencia de oscilación.

En caso contrario, si en la solución la raíz tiene parte real positiva, lo cual es posible si

es negativa, la corriente en el transitorio crecerá indefinidamente, en teoría hasta el infinito,

conforme el tiempo aumente, Fig. 3.10b.

El tipo de respuesta creciente durante el transitorio, Fig. 3.10b, es muy raro. No hay

variación en ningún parámetro y por lo tanto la corriente aumenta. Cualquier

corriente que fluye en un circuito disipa potencia en el componente resistivo. Si existe un

aumento en la corriente, la potencia disipada aumenta. Este caso es el que ocurre en el

generador de inducción. El caso raro del transitorio creciente es característico de un generador

de inducción, en donde la fuente de potencia es el pri-motor.

(3.36)

(3.34)



Capítulo 3 52

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Transitorio decreciente

Tiempo "s"

Am

p

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-150

-100

-50

0

50

100

150Transitorio creciente

Tiempo "s"A

mp

Fig. 3. 10 Corriente en el circuito RLC (a) positiva, (b) negativa

3.10.2 Análisis del proceso de auto-excitación.

Básicamente una máquina de inducción se modela con el uso de un circuito . La auto-

excitación en un generador de inducción es el crecimiento de corriente y, por lo tanto, el

crecimiento asociado del voltaje a través de los capacitores conectados a las terminales de

estator del generador, sin un sistema de excitación externo.

El proceso de auto-excitación, el cual sucede cuando una de las raíces de la Ecuación

Característica del sistema tiene parte real positiva, solamente puede ocurrir si hay una fuente

de energía externa que sea capaz de suministrar todas las pérdidas de potencia asociadas con el

crecimiento de la corriente. En este caso, el generador de inducción es capaz de tener un

crecimiento en la corriente debido a la fuente de energía mecánica externa (turbina eólica). La

fuente de energía, necesaria para este tipo de transitorio inusual, es proveer la energía cinética

del rotor. Si el rotor se maneja mediante una fuente externa, se mantiene la energía cinética del

rotor y la auto-excitación y la transferencia de energía continúa permanentemente.

El proceso del aumento de voltaje continúa hasta que el núcleo magnético de la máquina

de inducción se satura y el voltaje se estabiliza. La saturación magnética de la máquina

modifica la inductancia de magnetización LM, de tal manera que la parte real de la raíz se

convierte en cero y, de esta manera, el transitorio ya no aumenta ni decrece y se convierte en

una cantidad en estado estacionario, dando una auto-excitación continua.

(a) (b)


Capítulo 3 53

Por lo tanto, determinar las raíces de la ecuación característica de las corrientes en el

generador de inducción, es la clave para saber si habrá auto-excitación o no.

La auto-excitación en el generador de inducción puede o no ocurrir, incluso conectados

los capacitores a las terminales del estator y haciendo girar al rotor. El proceso de auto-

excitación se encuentra condicionado bajo ciertos factores, estos factores son [Torres]:

1. Parámetros de la máquina. Estos se encuentran determinados por el tipo de material de

los devanados del estator y del rotor, tipo de rotor, clase de diseño, etc.

2. Inductancia de magnetización. Es el factor principal en el aumento y la estabilización

del voltaje en condiciones de vacío y carga, está determinado por el grado de

saturación del material magnético.

3. Velocidad del pri-motor. La velocidad de giro del rotor debe de ser la adecuada para

poder llevarse a cabo el proceso de auto-excitación.

4. Banco de capacitores. El tamaño del banco de capacitores es uno de los factores que se

puede variar para obtener el voltaje requerido en condiciones de vacío y con carga.

3.10.2.1 Condiciones para la auto-excitación.

Como se mencionó anteriormente, el proceso de auto-excitación se producirá en el generador

si al menos una de las raíces de la ecuación característica tiene parte real positiva. Las raíces

dependen de los parámetros de la máquina, el capacitor conectado al estator y la velocidad del

rotor. Por lo tanto, un paso importante para saber si ocurrirá la auto-excitación es determinar

las raíces de la ecuación característica de las corrientes del generador [Seyoum].

Combinando las Ecs. (3.25) y (3.30), en forma simplificada se obtiene:

0

0

'

'' ' '

' ' '

10 0

0

0 10 0

0

0

s s M

qs qs qsc

ds dsc

s s M

ds qr qr

dr drM r M r r r r

r M M r r r r

r L p L pC p I V

I Vr L p L p

C p I K

I KL p L r L p L

L L p L r L p

(3.40) se puede representar como:

ZI V

donde Z es la matriz de coeficientes del sistema.

(3.40)

(3.41)



Capítulo 3 54

Si se resuelve (3.41) para las corrientes del generador mediante el uso de la Regla de

Cramer1 se obtiene:

i

i

det ZI

det Z

donde ; V es el vector de voltajes; Z es la matriz formada por los parámetros

de la máquina, la velocidad del rotor y la capacitancia; Zi es la matriz formada al sustituir el

término homogéneo en la i-ésima columna de la matriz Z; p es el operador diferencial .

Como las matrices Z y Zi están en función de la indeterminada p, el determinante de

éstas resulta ser un polinomio con indeterminada p. De esta manera, de (3.42) se obtiene:

i

i

N pI

D p

donde Ni(p) es el polinomio del numerador que resulta de det(Zi); y D(p) es el polinomio del

denominador que resulta de det(Z).

Por las características del método, el determinante de Z, det(Z), es el denominador

común para todas las corrientes. Por lo tanto, para obtener las raíces del polinomio D(p) se

resuelve:

0det Z D p

a la que también se le llama ecuación característica.

Las corrientes del estator del eje q y del eje d, respectivamente, se pueden representar

como:

qs ds

qs ds

det Z det ZI I

det Z det Z

donde:

00

0

0

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

10 00

10

0 0

qsc Ms s qsc M

qs

dsc s s M

dsqs ds dsc M

qr r M r r r r M qr r r r r

dr M r r r r r M dr r r r r

V L pr L p V L p

C pV r L p L p

C pZ Z V L p

K L r L p L L p K r L p L

K L p L r L p L K L r L p

1 Una breve descripción de la Regla de Cramer se presenta en el Apéndice D.

(3.45-a) (3.45-b)

(3.42)

(3.43)

(3.44)

(3.46-a) (3.46-b)


Capítulo 3 55

Usando (3.44) y (3.46-a) para i=qs, se tiene:

4 3 2

4 3 2 1 0

6 5 4 3 2 2 2

6 5 4 3 2 1 0

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2 1 0

/

/

qs

N p N p N p N p N pI

D p D p D p D p D p D p D C p

U

D p D p D p D p D p D p D

donde:

2

2 2 ' ' 2 2 ' 2 2 2 2 ' 2 ' 2

2

2 ' 2 ' 20

2 ' 2 ' 2 ' '2 21

2 ' 2 ' 2 2 2 2 ' 2 2 2 ' 2 2 2 ' ' '2 2 2 42

3 2 2 2 2 ...

p

r r s s r r s r M r s s r

D L Rr r r

D R C L R R Ls r r r r r

D L C L L CR R C L R C R L L C R CR Ls r r s r s r r s r r r s r rM

D

N

C R R L C R L L C R L L C R L R

2 ' ' 2 ' '

2 2 2 ' 2 ' 2 2 2 4 2 2 2 ' 2 2 '2 2 ...4

2 2 ' 2 2 ' ... 4

... 2 2M r s r s r r

D C L L R C L C L L L C R L Rs r r r r s r r s rM M M

C R L C R L R Ls r s s r r

C L R R L L R L

' 2 ' ' 22

2 2 ' 2 ' 2 2 ' '25

2 4 2 ' 2 ' 226

C L L L Lr s rM

D C R L L L L R R L L L R Ls r s r s s r s r rM M

D C L L L L L Ls r s rM M

El término U está compuesto por los parámetros de la máquina de inducción, los voltajes

iniciales en los capacitores, el voltaje inicial debido al flujo remanente, la capacitancia y la

velocidad del rotor. Este término sólo afecta la magnitud de la corriente pero no afecta su

comportamiento.

Igualando el denominador de (3.47) a cero se obtienen las raíces con las que es posible

saber si ocurrirá la auto-excitación o no. Esto es:

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2 1 0 0D p D p D p D p D p D p D p D

Como (3.48) es un polinomio de sexto orden, en términos generales se puede

escribir como:

1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 2 2 5 3 3 6 3 3 0D p r j r j r j r j r j r j

Si cualquiera de las raíces en (3.49) tiene parte real positiva, entonces la corriente en el

transitorio será creciente, lo cual indica que ocurrirá la auto-excitación para ese punto de

(3.47)

(3.48)

(3.49)



Capítulo 3 56

operación específico. Si no hay raíces con parte real positiva entonces no ocurrirá la auto-

excitación.

3.10.2.2 Velocidad y capacitancia mínima para la auto-excitación.

Cuando la máquina de inducción se trabaja como generador, se requiere de cierto valor

mínimo de la velocidad de la turbina y de cierto valor mínimo de la capacitancia conectada a

las terminales del estator de la máquina.

Para conocer los valores de estas variables es necesario encontrar las raíces del

polinomio de sexto orden dado por (3.48), y así, conocer los valores que nos permiten obtener

las raíces con parte real positiva, esto se puede realizar mediante dos métodos:

1) Para un valor de capacitancia dada, se varía el valor de la velocidad del rotor y se

obtienen las raíces de (3.48). En el valor de la velocidad en el cual una de las partes

reales de las raíces cambia de negativa a positiva, ese será el valor de la velocidad

mínima para que ocurra el proceso de auto-excitación.

2) Para un valor de velocidad del rotor dado, se varía el valor de la capacitancia y, el valor

de la capacitancia que hace la parte real de una de las raíces positiva es el valor mínimo

de capacitancia necesaria para que ocurra el proceso de auto-excitación.

Con cualquiera de los dos procedimientos mencionados, podemos saber a partir de que

punto de operación es posible obtener el proceso de auto-excitación en el generador de

inducción.

En la Fig. 3.11, se muestra un diagrama de flujo que describe los métodos mencionados.

Otra manera de calcular el valor de la capacitancia mínima para el proceso de auto-

excitación es por medio de la siguiente fórmula [Seyoum]:

2

1min

p m M

CN L

donde ωm es la velocidad mecánica del rotor en rad/s; Np es el número de pares de polos; LM es

la inductancia de magnetización a voltaje promedio.

El cálculo de la capacitancia mínima utilizando esta fórmula y el del cálculo de las

raíces, puede arrojar valores ligeramente diferentes, pero en ambos casos se pueden considerar

como buenos.

(3.50)


Capítulo 3 57

Fig. 3.11 Diagrama de flujos para el cálculo de las raíces del generador de inducción: (a) Variación de

la capacitancia, (b) Variación de la velocidad del rotor.

(a)

Inicio

Lectura de los

parámetros del

generador

Valor inicial ωr

Encontrar las raíces

de (3.48)

¿Alguna raíz real

positiva?

Guardar los valores

de C y ωr

Detener

Incrementar C

Valor inicial C=0

(b)

Inicio

Lectura de los

parámetros del

generador

Valor inicial

ωr=0


de (3.48)

Valor inicial C

Incrementar ωr

¿Alguna raíz real

positiva?

Guardar los valores

de C y ωr

Detener



Capítulo 3 58

3.11 Inductancia de magnetización.

A continuación se presenta una descripción del comportamiento de la inductancia de

magnetización, la manera en que se obtiene y la forma en que se aproxima para incluirse en el

modelo de simulación del generador de inducción.

3.11.1 Inductancia de magnetización en la Máquina de inducción.

En el modelado de la máquina de inducción cuando se hace trabajar como motor, es

importante determinar la inductancia de magnetización, LM, a voltaje promedio. Sin embargo,

cuando la máquina de inducción se hace trabajar como generador de inducción, LM es un

factor importantísimo para el funcionamiento del generador. De hecho, la variación de LM es el

factor principal en la dinámica del aumento y estabilización del voltaje.

Si se utiliza el modelo del generador de inducción dado por (3.31), junto con LM a

voltaje promedio, el generador trabajaría en su zona lineal, lo cual haría que el voltaje

generado tendiera al infinito, hecho que es imposible de obtener con cualquier máquina real.

Por ello es importante tomar en cuenta la variación de LM y el efecto de la saturación

magnética de la máquina de inducción, para poder limitar el voltaje generado por el generador

de inducción.

3.11.2 Aproximación de la inductancia de magnetización.

La variación de LM es muy importante en el funcionamiento del generador de inducción. Ésta

se puede determinar al hacer trabajar a la máquina de inducción como motor en vacío, es

decir, cercana a la velocidad síncrona y variando el voltaje de alimentación desde cero hasta

120 % de su valor nominal. Mediante un voltímetro y un amperímetro se mide la variación del

voltaje aplicado a la máquina y también se mide la corriente que circula por los devanados del

estator de la misma, con estos datos medidos y almacenados se obtiene la curva de

magnetización correspondiente de la máquina de inducción.

En la Fig. 3.12 y 3.13, se muestra un esquema de la prueba que se realiza con la máquina

de inducción y la curva de magnetización que se obtiene de esta prueba, respectivamente.

Con los datos medidos en la prueba realizada a la máquina, se procede a calcular a LM.

Ésta se obtiene dividiendo el valor medido del voltaje entre la corriente en cada punto, con lo

cual se obtiene una reactancia dada en ohms. Después se le resta la reactancia del estator y con

ello se obtiene la reactancia de magnetización XM. La inductancia de magnetización finalmente


Capítulo 3 59

se obtiene, dividiendo la reactancia de magnetización obtenida entre 2πf, donde f representa la

frecuencia a la cual se realizó la prueba.

Fig. 3.12 Esquema de la prueba de la máquina de inducción.

Fig. 3.13 Curva de magnetización de la máquina de inducción.

Los valores de LM obtenidos se grafican en función de la corriente de magnetización. La

Fig. 3.14, muestra la curva de LM que se obtiene. Para realizar la simulación del generador de

inducción en forma correcta, es necesario incluir la saturación magnética de la máquina. Esto

se puede realizar al incluir la variación de LM en el modelo del generador de inducción.

LM se puede aproximar de diferentes formas. En este trabajo, se aproxima en función de

la corriente rms de magnetización mediante un polinomio de la siguiente forma [Simõe-1]:

2

2 1 0

n

M n m m mL a I a I a I a

(3.51)

Vas

Vbs

Vcs

N

A

A

A

V

V

V

Fuente trifásica

de voltaje

Motor de inducción

jaula de ardilla

ωm en vacío

Vφ, V

Corriente de magnetización VM, A



Capítulo 3 60

Corriente de magnetización IM

Induct

anci

a d

e m

agnetiz

aci

ón L

M

Fig. 3.14 Variación de la inductancia de magnetización en función de la corriente de magnetización.

La corriente rms de magnetización se encuentra obteniendo, primeramente, la corriente

de magnetización de cada eje q-d de la forma:

'

'

mq qs qr

md ds dr

I I I

I I I

y la corriente rms de magnetización:

2 2

2

mq md

m

I II

3.11.3 Inductancia de magnetización y su efecto en la estabilización del voltaje

generado.

La inductancia de magnetización varía como se muestra en la Fig. 3.14. Al comienzo de la

auto-excitación LM se encuentra en el punto A, una vez que la auto-excitación comienza el

voltaje generado aumenta y LM también aumenta hasta el punto B; un incremento en LM

significa un incremento en la parte real positiva de la raíz de la ecuación característica y por lo

tanto, un crecimiento más rápido del voltaje generado. Del punto B hasta el punto C, LM

disminuye mientras el voltaje sigue aumentando hasta que alcanza su valor en estado

estacionario determinado por el valor de LM, la capacitancia y la velocidad del rotor.

En la Fig. 3.14, la región comprendida entre los puntos A y B, es la región inestable, si el

generador de inducción genera voltaje en esta región, una pequeña disminución de la

A

B

C

(3.52-a)

(3.53)

(3.52-b)


Capítulo 3 61

velocidad produciría una disminución en el voltaje generado y una disminución en LM, la cual

a su vez disminuiría el voltaje y finalmente el voltaje caería a cero.

Entre los puntos B y C se encuentra la región estable. Si la velocidad del pri-motor

disminuye el voltaje disminuirá y LM aumentará permitiendo la auto-excitación de la máquina

para seguir operando. Un incremento en LM significa un incremento en la parte real de la raíces

de la ecuación característica, lo cual es bueno para la operación estable del generador de

inducción.

3.12 Modelo completo del generador de inducción.

Para obtener el modelo completo del generador de inducción es necesario incluir la saturación

magnética de la máquina de inducción, lo cual se logra hacer aproximando de alguna manera

la variación de LM en el generador de inducción. El modelo completo del generador de

inducción está dado por:

'

'

' '' '

'' '

'

0 0 00 0

0 0 00 01

00 0

00 0

qs

qs qscsr M

dsds dscsr M

qr qrr M r r rM sqr

dr drr M r r rM s

dr

II VrL L

I I VrL L

I KL r LLL L LI

I KL L rL L

I

donde: ' 2

s r MLL L L L

Vqsc y Vdsc están dados como:

0 0

1 1 qsc qs qsc dsc ds dsc

qs ds


donde Vqsc0=Vqsc|t=0 y Vdsc0=Vdsc|t=0.

La inductancia de magnetización LM se aproxima por:

5 4 4 3 3 2 3 21.175 1.353 2.08 2.183 7.88M m m m mL e I e I e I e I e

donde la corriente rms de magnetización se calcula como:

2 2

2

mq md

m

I II

(3.54-a)

(3.54-b)

(3.54-c)

(3.54-d)

(3.54-e)



Capítulo 3 62

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Corriente rms de magnetización IM

Ind

ucta

ncia

de

ma

gn

etiza

ció

n L

M

con

' ' mq qs qr md ds drI I I I I I

En la Fig. 3.15, se presenta la variación de LM de la máquina de inducción utilizada

como generador en el desarrollo de este trabajo.

Con (3.54-a), (3.54-b), (3.54-c), (3.54-d) (3.54-e), (3.54-f), (3.54-g), se tiene el modelo

completo del generador de inducción y listo para realizar las simulaciones correctas del

generador de inducción.

Fig. 3.15 Variación de la inductancia de magnetización en función de la corriente de magnetización.

3.13 Cálculo del voltaje generado.

Una vez que inicia el proceso de auto-excitación, el interés es conocer la magnitud del voltaje

que se establecerá en las terminales del generador. Cuando se lleva a cabo la prueba en vacío

de la máquina de inducción, se obtiene un conjunto de valores de voltaje-corriente, por medio

de las diversas mediciones realizadas cuando el voltaje se varía de 0 a 120%. Los valores de

LM y su relación con la corriente de magnetización, se obtienen como se explicó en la sección

3.11.2.

Ya que se conoce la relación LM-IM, como la que se ilustra en la Fig. 3.15, el programa

que encuentra las raíces del polinomio (3.48) se puede emplear para calcular el valor de LM, al

cual corresponde alguna raíz con parte real igual a cero. Esto es, encontrar el valor de LM, con

(3.54-f) (3.54-g)


Capítulo 3 63

el que se alcanza el estado estacionario. La parte imaginaria de la raíz proporciona la

frecuencia del voltaje generado. En el Apéndice G se proporciona un diagrama de flujo que

ilustra el procedimiento para el cálculo de las raíces con parte real igual a cero.

Con el valor que se encuentra de LM, para el cual se cumple la condición de estado

estacionario, y con la relación antes establecida de LM-IM, se estima la magnitud del voltaje

generado. Esto se hace como sigue: con la frecuencia proporcionada por la parte imaginaria de

la raíz se calcula el valor de la reactancia de magnetización, y con el valor correspondiente de

corriente de magnetización, se calcula el voltaje a través de la reactancia.

En vacío, este voltaje también aparece a través de la combinación serie de la

capacitancia y la impedancia del estator, de la cual la corriente del estator y el voltaje a través

de la capacitancia se puede calcular [Torres].

3.14 Simulación del generador de inducción.

Los parámetros utilizados en la simulación del generador de inducción se presentan en la

Tabla 3.1. Éstos fueron proporcionados por el M.C. Iván Alcalá, estudiante de doctorado. La

máquina de inducción es de 3 hp y se encuentra en el laboratorio de máquinas eléctricas en

esta institución.

Tabla 3.1 Parámetros del generador de inducción jaula de ardilla.

Parámetro Valor Parámetro Valor

rs 0.5825 Ω rr 0.5032 Ω

xls 1.3184 Ω xlr 1.9776 Ω

J 0.094 Kgm2 B 0

Vφ 220 V fe 60 Hz

Polos 4

Para poder llevar a cabo las simulaciones del generador de inducción, el primer paso es

conocer los valores mínimos de la velocidad de la turbina y de la capacitancia. Esto se puede

realizar mediante dos formas: 1) utilizando la formula dada por (3.50); y 2) encontrar las

raíces del polinomio dado por (3.48).

Si se propone como velocidad de rotación ωm=188.6 rad/s, y se utiliza la fórmula dada

por (3.50). La capacitancia mínima necesaria para que ocurra la auto-excitación es:



Capítulo 3 64

22

1 1

2 188.6 0.0788

89.19

min

p m M

CN L

F

Con esta primera aproximación, ahora podemos encontrar las raíces del polinomio (3.48)

y comparar el valor de la capacitancia mínima que se necesita. Las raíces se encontraron con la

ayuda del software de simulación MATLAB.

La metodología que se utilizó para encontrar estos valores mínimos fue la siguiente:

Primero se propone la velocidad de rotación, en este caso 188.6 rad/s. Con la primera

aproximación que se encontró con (3.50), se proponen varios valores de la capacitancia y se

obtienen las raíces del polinomio (3.48). El valor de la capacitancia en donde una de las raíces

cambia su parte real negativa a positiva, ese el valor mínimo de la capacitancia que se necesita

para que ocurra la auto-excitación.

En la Tabla 3.2, se presentan las raíces que se obtuvieron al variar el valor de la

capacitancia. El proceso de auto-excitación ocurrirá en el generador de inducción con una

capacitancia mínima de 87 μF.

Con el resultado que se obtuvo a partir de (3.50) y los resultados que se obtuvieron de

las raíces del polinomio (3.48) utilizando el programa MATLAB, se tiene una diferencia

aproximada de 2 μF.

Tabla 3.2 Raíces de la ecuación característica.

ωm = 188.6 rad/s

C=84 μF C=87 μF C=114 μF

1

2

3

4

5

6

73.101 1187.9435

73.101 1187.9435

54.5516 1187.8271

54.5516 1187.8271

0.1147 377.0835

0.1147 377.0835

r i

r i

r i

r i

r i

r i

1

2

3

4

5

6

73.4191 1167.2506

73.4191 1167.2506

54.4665 1167.1161

54.4665 1167.1161

0.1182 377.0655

0.1182 377.0655

r i

r i

r i

r i

r i

r i

1

2

3

4

5

6

76.2747 1019.5372

76.2747 1019.5372

53.7844 1019.1807

53.7844 1019.1807

2.2918 376.8435

2.2918 376.8435

r i

r i

r i

r i

r i

r i

En la Fig. 3.16, se muestra la curva velocidad-capacitancia del generador de inducción.

En ella se puede corroborar el valor que se obtiene de la capacitancia mínima necesaria para

que para que ocurra el proceso de auto-excitación.


Capítulo 3 65

0 1 2 3 4

x 10-4

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Capacitancia "Faradios"

Ve

locid

ad

"ra

d/s

"

Fig. 3. 16 Curva velocidad-capacitancia del generador de inducción.

A continuación se presentarán las simulaciones correspondientes al generador de

inducción. Primeramente se presentan las simulaciones que representan al generador de

inducción sin tomar en cuenta la saturación magnética de la máquina, en estas simulaciones se

ejemplifica cuando no se lleva a cabo el proceso de auto-excitación (debido a que el valor de

la capacitancia no es el adecuado) y cuando si ocurre el proceso de auto-excitación en el

generador.

Después se procede a mostrar las simulaciones en donde se considera la saturación

magnética de la máquina, es decir, en el modelo de simulación se incluye la variación de LM.

Aquí se ejemplifica, además de la limitación del voltaje generado, como influye el valor de la

capacitancia del banco de capacitores en el voltaje generado. También se ejemplifica como el

valor positivo en la parte real de las raíces influye en el proceso de auto-excitación, es decir, si

éste es lento o rápido.

Por último se presentan las simulaciones que representan al generador de inducción

cuando existe variación en la velocidad del pri-motor y como varía el voltaje generado.

a) Simulación del generador de inducción sin considerar la saturación de la máquina.

El objetivo de esta simulación es mostrar cómo afectan los diferentes valores de la

capacitancia el proceso de auto-excitación. Una capacitancia de 84 μF, no es suficiente para

que ocurra el proceso de auto-excitación, debido a que éste valor no satisface la condición de

que al menos una de las raíces tenga parte real positiva (Tabla 3.2). Sin embargo, con una

capacitancia de 87 μF, en las raíces de la ecuación característica se obtiene una raíz con parte



Capítulo 3 66

0 2 4 6 8 10-20

-10

0

10

20

Voltaje de los capacitores "Vqsc

" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

9.9 9.92 9.94 9.96 9.98 10-20

-10

0

10

20


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

Vqsc

Vdsc

0 2 4 6 8 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

9.9 9.92 9.94 9.96 9.98 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc V

qsc

Vdsc

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2x 10

12Voltaje de los capacitores "Vqsc

" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

9.9 9.92 9.94 9.96 9.98 10-2

-1

0

1

2x 10

12Voltaje de los capacitores "Vqsc

" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

Vqsc

Vdsc

real positiva, lo cual indica que el proceso de auto-excitación ocurrirá satisfactoriamente

(Tabla 3.2). Pero, ¿Qué sucede si el valor de la capacitancia se incrementa? Lo primero es

saber que la parte real de raíz será más positiva. Esto quiere decir que el proceso de auto-

excitación debe ser más rápido y que el voltaje que se genere será mayor.

En la Fig. 3.17, se presenta la simulación del generador de inducción sólo considerando

el modelo dado por (3.54-a), (3.54-b), (3.54-c), (3.54-d) y LM constante, a voltaje promedio.

Los valores que se utilizaron para esta la simulación se presentan en la Tabla 3.3.

Tabla 3. 3 Inductancia de magnetización, capacitancia y velocidad del rotor.

Variable / Parámetro Valor

ωm 188.6 rad/s

Cq=Cd 84 – 87 -- 114 μF

LM 0.0788 H

Fig. 3.17 Generador de inducción sin saturación: (a) C=84 μF, (b) C=87 μF, (c) C=114 μF.

(a)

(b)

(c)


Capítulo 3 67

En la Fig. 3.17 (a), se observa que el voltaje que se genera disminuye. Esto se debe a que

no ocurre el proceso de auto-excitación en el generador.

Si en el modelo del generador no se incluye la saturación magnética, el voltaje generado

crecerá sin límite, es decir, en ningún momento alcanzará el estado estacionario. Este

fenómeno se ilustra en la Fig. 3.17 (b) y 3.17 (c), donde puede observarse que el voltaje crece

y alcanza valores muy grandes sin llegar a un punto de operación estable.

En (b) y (c) se aprecia el efecto de tener una raíz con parte real más positiva. En (c) el

voltaje generado por la máquina es mucho mayor que en (b).

b) Simulación del generador de inducción considerando la saturación de la máquina.

Esta simulación se realiza con el objetivo de mostrar el comportamiento del voltaje y de

la corriente que se generan cuando se incluye la saturación de la máquina de inducción, ya que

ésta es la responsable de que el voltaje en terminales alcance un valor limitado. Si se usa una

capacitancia de 87 μF, el proceso de auto-excitación es de una forma lenta. Por otro lado,

cuando se utiliza una capacitancia de 114 μF , se espera que el nivel del voltaje generado sea

mayor. Además, de que el proceso de auto-excitación sea más rápido.

La respuesta del generador de inducción incluyendo la saturación magnética se presenta

en la Fig. 3.18, donde se incluye (3.54-d) en el modelo de simulación del generador. Los datos

utilizados en la simulación se proporcionan en la Tabla 3.4.

Tabla 3. 4 Capacitancia y velocidad del rotor.

Variable Valor

ωm 188.6 rad/s

Cq=Cd 87 -- 114 μF



Capítulo 3 68

0 2 4 6 8 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

9.9 9.92 9.94 9.96 9.98 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

0 2 4 6 8 100.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08

Inductancia de magnetización "Lm

"

Tiempo "s"

He

nrio

s

Lm

0 5 10 15 20

-50

0

50


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

19.9 19.92 19.94 19.96 19.98 20-100

-50

0

50

100


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

0 5 10 15 200.074

0.076

0.078

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

Lm

Fig. 3. 18 Generador de inducción saturado: (a) C=87 μF, (b) C=114 μF.

En La Fig. 3.18, se puede observar como al incluir en el modelo de simulación la

variación de LM, el voltaje en terminales queda limitado por la saturación magnética de la

máquina. Durante el proceso de auto-excitación, la inductancia de magnetización varía para

después establecerse en un valor constante, representando de esta manera la saturación

magnética.

En (a), se puede observar que el proceso de auto-excitación es muy lento. El voltaje

tarda alrededor de 12 s, en estabilizarse. El voltaje generado es de 68 V, con una frecuencia de

59.88 Hz. LM se estabilizó en 0.0756 H. En (b), se muestra que efectivamente el proceso de

auto-excitación es mucho más rápido. Esto se debe a que la parte real de la raíz obtenida tiene

un valor más positivo. El voltaje generado se estabiliza alrededor de 1.5 s. Además, la

cantidad de voltaje generado es mayor. El voltaje generado es de 127.18 V, con una frecuencia

de 59.88 Hz. LM se estabilizó en 0.0565 H.

(a) (b)


Capítulo 3 69

0 2 4 6 8 10175

180

185

190

195

200

Tiempo "s"

rad

/s

Velocidad del rotor "wm

"

0 2 4 6 8 10

-5

0

5

Corriente en los capacitores "Iqsc

" "Idsc

"

Tiempo "s"

Am

p

0 2 4 6 8 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

0 2 4 6 8 100.05

0.06

0.07

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

wm

Iqsc

Idsc

Vqsc

Vdsc

Lm

c) Simulación del generador de inducción considerando la saturación de la máquina y

variación en la velocidad del rotor.

El objetivo de presentar esta simulación, es saber qué sucede con la corriente y el voltaje

generado cuando la velocidad del rotor varía. Para esto, en un tiempo 0 2t la velocidad de

la turbina se mantiene constante en 188.6 rad/s. Pero en un tiempo 2 10t , la velocidad

varía en un ±5% del valor de 188.6 rad/s.

Como se sabe la cantidad de voltaje que se genera y su frecuencia, dependen

directamente de la velocidad del rotor, es decir, si la velocidad aumenta el voltaje generado y

la frecuencia de éste también aumentarán. Si la velocidad disminuye el voltaje generado y su

frecuencia disminuirán. Por otro lado, LM variará para compensar la variación de la velocidad

del rotor. Los valores utilizados para la simulación se presentan en la Tabla 3.5.

Tabla 3.5 Capacitancia y velocidad del rotor.

Variable Valor

ωm 188.6 rad/s ± 5%

Cq=Cd 114 μF

Fig. 3. 19 Generador de inducción saturado, C=114 μF y ωm variando ± 5%.

En la Fig. 3.19, se observa que el voltaje generado, cuando la velocidad es constante en

188.6 rad/s, es de aproximadamente 127.1 V, con una frecuencia de 59.88 Hz; y LM es

aproximadamente 0.0565 H. Sin embargo, cuando la velocidad aumenta hasta 198.03 rad/s, el



Capítulo 3 70

voltaje también aumenta hasta 138.09 V, y su frecuencia ahora es de 62.89 Hz. En esta ocasión

LM disminuye hasta 0.0509 H. Posteriormente, cuando la velocidad disminuye a 179.17 rad/s,

el voltaje también disminuye hasta 111.36 V, con una frecuencia de 57.14 Hz, y la inductancia

toma el nuevo valor de 0.0626 H.

d) Condiciones de operación del generador.

A continuación se realiza el análisis del generador y se determinan las condiciones

apropiadas bajo las cuales puede operar. Se quiere que el generador este trabajando en sus

valores nominales, es decir, se quiere que el voltaje en terminales sea de 127 V, y una corriente

de 5.8 Amp.

En la Fig. 3.16 se muestran los valores mínimos necesarios para que ocurra

satisfactoriamente la auto-excitación en el generador. Para una velocidad de 188.6 rad/s se

requiere de un valor de capacitancia de 89 μF. Se selecciona un valor de 60 Hz para la

frecuencia de operación del sistema. El siguiente paso consiste en encontrar los valores de LM

para los cuales existen raíces de (3.48) con parte real igual a cero. Para esto, se usa el diagrama

del Apéndice G. Los datos que se proporcionan al programa son los parámetros de la máquina

dados en la Tabla 3.1, la velocidad del rotor 188.6 rad/s y el valor de la capacitancia C=87

μF.

Con ayuda del programa para calcular las raíces de (3.48) y con la Fig. 3.15, se obtienen

los siguientes valores para el generador.

Tabla 3. 6 Valores de salida del generador con 188.6 rad/s y 87 μF.

LM 0.0774 H

IM 2.54 Amp

Vφ 55.11 V

fe 59.88 Hz

Se puede observar que la frecuencia se encuentra en un valor aceptable. Sin embargo el

valor del voltaje se encuentra por debajo del valor deseado. El siguiente paso es realizar las

modificaciones necesarias al programa. En este caso, se aumenta la capacitancia y se vuelven

a calcular los valores de salida del generador. Los valores que se obtienen son:


Capítulo 3 71

0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6


" "Idsc

"

Tiempo "s"

Am

p

9.9 9.92 9.94 9.96 9.98 10-6

-4

-2

0

2

4

6


" "Idsc

"

Tiempo "s"

Am

p

Iqsc

Idsc

Iqsc

Idsc

0 2 4 6 8 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

9.9 9.92 9.94 9.96 9.98 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

Vqsc

Vdsc

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

Lm

Tabla 3. 7 Valores de salida del generador con 188.6 rad/s y 114 μF.

LM 0.0583 H

IM 5.3 Amp

Vφ 124.7 V

fe 59.88 Hz

Al utilizar una capacitancia de 114 μF, se tiene una buena aproximación a los valores

deseados en el generador. La Fig. 3.20, presenta la respuesta del generador con éstos valores

de velocidad del rotor y de capacitancia.

Fig. 3.20 Generador de inducción saturado, C=114 μF y ωm=188.6 rad/s.

En la Fig. 3.20, se puede observar que la corriente y el voltaje generado se aproximan

mucho a los valores deseados, planteados al inicio de esta sección. Existe un pequeño error en

los valores finales, el cual se debe a la aproximación de la inducción de magnetización.



Capítulo 3 72

En el Apéndice E, se presenta la transformación del sistema bifásico de voltajes

generados a un sistema de voltajes trifásicos.

Capítulo 4 73

Capítulo 4

Aplicación del generador de inducción como planta

de generación eoloeléctrica

4.1 Introducción.

as turbinas eólicas actuales funcionan con alguno de los tres tipos de generadores

eléctricos: (a) el generador de inducción jaula de ardilla, (b) el generador de inducción

con rotor devanado y, (c) el generador síncrono [Monroy].

El generador de inducción es un buen candidato para la generación de electricidad,

especialmente en áreas remotas, ya que no necesitan una fuente de potencia externa para

producir su campo magnético de excitación. Además, éstos tienen un mecanismo de auto

protección contra corto circuitos en sus terminales y las ventajas de mantenimiento y costos

reducidos, son robustos y de construcción simple [Seyoum].

4.2 Planta de generación eoloeléctrica.

Los aerogeneradores se utilizan para convertir la energía disponible en el viento en energía

eléctrica. El proceso de conversión se compone de dos etapas: en la primera, una turbina

L



Capítulo 4 74

extrae la energía cinética del viento y la transforma en energía mecánica; en la segunda, por

medio de un generador, la energía mecánica se convierte en energía eléctrica.

Existen principalmente dos grandes áreas de aplicación de la generación eólica: (a) co-

generación en redes de potencia y, (b) generación en sistemas aislados. En el primer caso se

trata de generadores de potencia que aportan sólo una porción del total de energía de la red

eléctrica. En el segundo caso se trata de generadores de potencia que son la única fuente de

energía eléctrica disponible en el lugar y se usa en sitios alejados de la red eléctrica

[Leidhold].

Fig. 4.1 Sistema eólico simple.

La aplicación eólica más simple y la que se desarrolla en este trabajo, es la que

constituye un aerogenerador que alimenta a una carga sin ningún tipo de almacenamiento

energético. Su utilidad queda restringida a aquellas aplicaciones en las que la mantenibilidad

energética no es un factor determinante, un esquema de éste se muestra en la Fig. 4.1.

4.3 Planta de generación eoloeléctrica con carga.

En un generador de inducción trabajando sin carga, la corriente en el estator del

generador y la corriente en los capacitores es la misma. Sin embargo, cuando el generador de

inducción se hace trabajar alimentando cargas, esto ya no es cierto, ya que la corriente del

estator se divide entre la corriente de la rama del capacitor y la corriente de la rama de la

carga.

Así, las ecuaciones que describen el funcionamiento del generador de inducción con

carga, son diferentes a las utilizadas para analizar al generador de inducción sin carga

proporcionadas en el Capítulo III. Por esta razón, es necesario desarrollar las ecuaciones que

Turbina eólica

Generador

jaula de ardilla

Carga

trifásica

Banco de

capacitores

trifásico


Capítulo 4 75

relacionen a la corriente en el estator del generador, la corriente en el capacitor y la corriente

en la carga.

A continuación se presentan las ecuaciones complementarias para considerar a la carga

en el modelo de la planta eoloeléctrica y en las simulaciones. Las cargas a utilizarse en este

trabajo son:

a) Carga puramente resistiva.

b) Carga resistiva-inductiva

c) Motor de inducción jaula de ardilla.

ya que con éstas se cubre un amplio rango de los diferentes tipos de cargas existentes en

aplicaciones reales. Cabe aclarar que las ecuaciones dadas por (3.46-a),…, (3.46-g) se siguen

utilizando, pero se deben agregar al modelo de simulación, según sea cada caso, las

ecuaciones que serán desarrolladas en las secciones que siguen.

4.3.1 Carga resistiva.

Fig. 4.2 Circuito por fase del generador de inducción en el marco de referencia estacionario, con una

carga resistiva: (a) eje q, (b) eje d.

En la Fig. 4.2, se representa al generador de inducción alimentando a una carga puramente

resistiva. La carga comienza a consumir potencia cuando el interruptor, S, se cierra. Como se

puede observar, la carga se encuentra en paralelo con el capacitor, por lo cual el voltaje en

ambos es el mismo. Recordando que la Ley de Ohm nos dice que la corriente es igual al

voltaje sobre resistencia, es decir:

-ωrλ’qr

-ωrλ’dr

r’r/s

r’r/s

X’lr

X’lr Xls

Xls

XM

XM

rs

rs

Cds

Cqs RLq

RLd

I’qr

I’dr

Iqs

Ids IMd

IMq Icq

Icd ILd

ILq

+

+ -

- S

S



Capítulo 4 76

R

VI

R

entonces, las ecuaciones que describen la corriente en la carga resistiva son:

qsc dsc

Rq Rd

Lq Ld

V VI I

R R

Las corrientes en el nodo de conexión de la carga resistiva, el capacitor y el estator del

generador están relacionadas mediante:

cq qs Rq cd ds RdI I I I I I

El voltaje de los capacitores está dado por:

0 0

1 1 qsc cq qsc dsc cd dsc

q d


donde Vqsc0 y Vdsc0 son los voltajes iniciales en los capacitores en los ejes q y d,

respectivamente.

Incluyendo (4.02), (4.03) y (4.04) en el modelo de simulación, se puede realizar de

manera correcta la simulación de un sistema de generación eólica alimentando una carga

puramente resistiva.

4.3.2 Carga resistiva-inductiva (RL).

En la Fig. 4.3, se representa al generador de inducción alimentando a una carga RL. La carga

comienza a consumir potencia cuando el interruptor, S, se cierra. La carga RL se encuentra en

paralelo con el capacitor, por lo cual el voltaje en ambas ramas es el mismo. Recordando la

Ley de Voltaje de Kirchoff se tiene:

qsc Rq Lq dsc Rd LdV V V V V V

El voltaje en las resistencias está dado por:

Rq q RLq Rd d RLdV R I V R I

Mientras que el voltaje en las bobinas está dado como:

Lq q RLq Ld d RLdV L pI V L pI


(4.01)

(4.02)

(4.03-a) (4.03-b)

(4.04)

(4.05-a) (4.05-b)

(4.06-a) (4.06-b)

(4.07-a) (4.07-b)


Capítulo 4 77

Fig. 4.3 Circuito por fase del generador de inducción en el marco de referencia estacionario, con una

carga resistiva-inductiva: (a) eje q, (b) eje d.

Sustituyendo (4.06-a), (4.07-a) en (4.05-a) y (4.06-b), (4.07-b) en (4.05-b), se obtiene:

qsc q RLq q RLq dsc d RLd d RLdV R I L pI V R I L pI

entonces, despejando la corriente de (4.08-a) y (4.08-b), las ecuaciones que describen la

corriente de la carga RL, son:

qsc dsc

RLq RLd

q q d d

V VI I

L p R L p R

Las corrientes en el nodo de conexión de la carga RL, el capacitor y el estator del

generador están relacionadas mediante:

cq qs RLq cd ds RLdI I I I I I


0 0


q d



respectivamente.


manera correcta la simulación de un sistema de generación eólica alimentando una carga RL.

(4.08-a) (4.08-b)

(4.09)

(4.10-a) (4.10-b)

(4.11)

-ωrλ’qr

-ωrλ’dr

r’r/s

r’r/s

X’lr

X’lr Xls

Xls

XM

XM

rs

rs

Cds

Cqs

I’qr

I’dr

Iqs

Ids IMd

IMq Icq

Icd

+

+ -

- S

S

RLd

LLd

RLq

LLq



Capítulo 4 78

4.3.3 Motor de inducción como carga.

Fig. 4.4 Circuito por fase del generador de inducción en el marco de referencia estacionario, con el

motor de inducción como carga: (a) eje q, (b) eje d.

En la Fig. 4.4, se presenta el modelo del generador de inducción alimentando, como carga, a

un motor de inducción jaula de ardilla. La carga comienza a consumir potencia cuando el

interruptor, S, se cierra.

El modelo del motor de inducción está dado por:

'

'

' '' '

'' '

'

0 0 00 0

0 0 00 01

0 00 0

0 00 0

qsM

qss qsr M

dsMdss dsr M

qrr M r r rM sqr

drr M r r rM s

dr

IIr VL L

I Ir VL L

IL r LLL L LI

IL L rL L

I

con:

' 2

s r MLL L L L

donde IqsM y IdsM son las corrientes del estator del motor de los ejes q y d, respectivamente.

Las corrientes en el nodo de conexión de la carga, motor de inducción, el capacitor y el

estator del generador están relacionadas mediante:

cq qs IqsM cd ds IdsMI I I I I I

(4.12-a)

(4.12-b)

(4.13-a) (4.13-b)

-ωrλ’qr

X’lr + -

-ωrλ’dr

X’lr + -

r’r/s

Xls rs

Cds

Ids Icd

IMd I’dr

XMd

Xls rs

Cqs

Iqs Icq

IMq

XMq

I’qr

rsM

rsM

XlsM

XlsM

XMq

M

XMd

M

X’lrM

X’lrM

r’rM

r’rM

-ωrλ’dr

-ωrλ’qr

IqsM

IdsM

I’qrM

I’drM

IMdM

IMqM

S

S + -

- +

r’r/s


Capítulo 4 79


0 0


q d



respectivamente.


manera correcta la simulación de un sistema de generación eólica alimentando a un motor de

inducción.

4.4 Simulación de la planta de generación eoloeléctrica.

Ya que el núcleo principal de este trabajo es el estudio y modelado del generador de inducción

jaula de ardilla, se consideró, por simplicidad, que la velocidad proporcionada por la turbina

eólica es la necesaria para poder llevar a cabo el proceso de auto-excitación en el generador de

inducción. Para ello, se considera la velocidad de la turbina como constante para algunas

simulaciones. Ya que la respuesta de una turbina eólica real no es constante, sino que varía

dentro de ciertos límites, se construyó una señal variable que intenta hacer una representación

realista de dicha respuesta, la cual se utilizó para conocer el comportamiento del generador

ante este tipo de entrada.

Las simulaciones de la planta eoloeléctrica se presentan por secciones. Primero se

presentan las simulaciones de la planta trabajando en vacío variando la velocidad de la turbina

y el valor de la capacitancia. Enseguida se presentan las simulaciones de la planta eoloeléctrica

cuando se alimenta una carga puramente resistiva. En tercer lugar se presentan las

simulaciones de la planta eoloeléctrica al alimentar una carga resistiva-inductiva y por último

cuando alimenta a un motor de inducción jaula de ardilla.

4.4.1 Planta eoloeléctrica sin carga.

Cuando la máquina de inducción funciona como motor, conectado a una fuente de

frecuencia constante, la velocidad del campo magnético giratorio del entrehierro permanece

constante. Cuando se le conecta alguna carga al motor, la velocidad del rotor disminuye

respecto a la velocidad sincrónica determinada por la frecuencia de la fuente. Sin embargo,

para un generador de inducción, cuyo rotor gira a velocidad constante, la velocidad del campo

magnético del entrehierro, se atrasa respecto a la velocidad del rotor.

(4.14)



Capítulo 4 80

0 5 10 151

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3x 10

-4

Tiempo "s"

Fa

rad

ios

Capacitancia "Cq" "C

d"

Cqds

0 5 10 15184

186

188

190

192

194

Tiempo "s"

rad

/s

Velocidad de la turbina "wm

"

wm

En condiciones de vacío, el deslizamiento es muy pequeño, por lo que la frecuencia del

voltaje generado es cercana a la frecuencia determinada por la velocidad del rotor. Esto es, si

el rotor gira a 188.6 rad/s, la frecuencia del voltaje generado en vacío es cercana a 60 Hz,

[Torres].

a) Diferentes velocidades de la turbina y de la capacitancia.

El objetivo de esta simulación es conocer el comportamiento de la planta eoloeléctrica

cuando la velocidad de la turbina y el banco de capacitores toman diferentes valores. En

ambos casos, se presentan tres valores diferentes.

En la Fig. 4.5(a), en un tiempo 0 5t , se considera que la velocidad es de 188.6 rad/s.

Después, en un tiempo 5 10t , la velocidad aumenta hasta 192.2 rad/s; aquí se espera que

voltaje generado sea mayor y que su frecuencia también aumente. Posteriormente, en

10 15t , la velocidad disminuye hasta 185 rad/s; ahora lo que se espera es que el voltaje

generado y su frecuencia disminuyan.

En la Fig. 4.5(b), en un tiempo 0 5t , se considera que el valor del banco de

capacitores es de 114 μF. Par 5 10t , la capacitancia aumenta hasta 125μF; aquí se espera

que voltaje generado sea mayor. Posteriormente, en 10 15t , la capacitancia disminuye a

103μF; ahora el voltaje generado debe disminuir. En estos tres casos, la frecuencia del voltaje

generado debe ser la misma.

En la Tabla 4.1, se presentan los valores que se utilizaron para esta simulación.

Tabla 4.1 Velocidad de la turbina y capacitancia.

Variable Valor . .

Variable Valor

ωm 185 --188.6 -- 192. rad/s ωm 186.6 rad/s

Cq=Cd 114 μF Cq=Cd 103 – 114 -- 125 μF


Capítulo 4 81

0 5 10 15-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

0 5 10 150.05

0.06

0.07

0.08


"

Tiempo "s"H

en

rio

s

Lm

0 5 10 15-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

0 5 10 150.05

0.06

0.07

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

Lm

Fig. 4.5 Planta eoloeléctrica sin carga y diferentes valores de la velocidad del rotor y del banco de

capacitores.

En (a), se puede corroborar que el voltaje generado depende de la velocidad de la

turbina. Durante 0 5t , el voltaje generado por fase de la planta eoloeléctrica es 127.1 V,

con una frecuencia de 59.88 Hz. Cuando la velocidad aumenta en 5 10t , el voltaje

generado también aumenta. En este momento el voltaje es 132 V, y tiene una frecuencia de

61.34 Hz. En 10 15t , la velocidad disminuye, por esta razón el voltaje y la frecuencia

también disminuyen. Se tiene un voltaje de 121.46 V, su frecuencia es 58.82 Hz.

En (b), se puede observar como el voltaje generado también varía conforme lo hace la

capacitancia. En 0 5t , el voltaje generado es 179.76 V, con una frecuencia de 59.88 Hz.

Después, cuando se hace un aumento en la capacitancia en 5 10t , el voltaje generado

también aumenta. Para esta ocasión el voltaje es 131.5 V. En 10 15t la capacitancia

disminuye, por lo cual el voltaje también disminuye. El voltaje ahora es 115.9 V. La

frecuencia en los tres casos es 59.88 Hz.

Nótese que en estas simulaciones, sin importar si varía la velocidad o la capacitancia, en

cada ocasión que el voltaje toma un nuevo valor, LM varía para compensar este cambio.

4.4.2 Planta eoloeléctrica con carga resistiva.

Durante el proceso de auto-excitación se generan voltajes y corrientes y una cantidad de

potencia se disipa en la máquina. El generador de inducción tiene que absorber una cantidad

(a) (b)



Capítulo 4 82

equivalente de potencia de la turbina, la cual la hace operar a una velocidad sincrónica, que es

un poco menor que la velocidad del rotor. Cuando se conecta una carga al generador la

magnitud del deslizamiento negativo también se incrementa. En este caso la velocidad del

rotor es el parámetro de entrada, por lo tanto, el aumento en el deslizamiento se debe a un

decremento en la velocidad del campo magnético giratorio en el entrehierro. La frecuencia y el

voltaje generados son proporcionales a la velocidad del campo magnético giratorio. Una

disminución en la velocidad del campo magnético ocasiona una disminución del voltaje

generado y su frecuencia [Seyoum].

A continuación se presentarán las simulaciones correspondientes cuando se alimenta una

carga resistiva.

b) Diferentes valores de la carga resistiva.

Esta simulación se realiza con el fin de conocer el efecto que tiene la conexión de una

carga resistiva sobre el voltaje generado y su frecuencia. Para ello, en un tiempo 0 3t , la

planta trabaja en vacío hasta que alcanza su estado estable. En 3 7t , se conecta una carga

de 30 Ω, con lo cual se espera que el voltaje disminuya al igual que su frecuencia.

La caída del voltaje, al conectar una carga eléctrica, depende del tamaño de la carga. Si

la carga es muy grande (valor de la resistencia muy pequeño) la caída de voltaje es mayor. Por

otro lado, si la carga es muy pequeña (valor de la resistencia muy grande) la caída de voltaje es

menor. Por ello, en 7 11t , se conecta una carga de 70 Ω. Con lo cual, la caída del voltaje y

su frecuencia es menor que cuando se conecta la carga de 30 Ω.

Una de las características del generador de inducción jaula de ardilla es su auto-

protección contra corto circuitos en sus terminales. Para ejemplificar esta característica, se

presenta la respuesta de la planta cuando en 11 15t , se conecta una carga de 1 Ω, la cual

simula un corto circuito es las terminales de la planta. En este momento, la corriente que

demanda la carga es mayor a la que puede proporcionar la planta, por lo cual el voltaje

generado empieza a disminuir hasta que colapsa a cero.

En la Tabla 4.2, se muestran los valores correspondientes a la velocidad de la turbina, la

capacitancia y la carga resistiva.

Tabla 4.2 Velocidad de la turbina, capacitancia y resistencia de carga.


ωm 188.6 rad/s

Cq=Cd 114 μF

RL 1 – 30 -- 70 Ω


Capítulo 4 83

2 4 6 8 10 12 140

20

40

60

80

Tiempo "s"

Oh

ms

Resistencia de carga "RL"

RL

0 5 10 15-30

-20

-10

0

10

20

30


" "Idsc

"

Tiempo "s"

Am

p

0 5 10 15-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Iqsc

Idsc

Vqsc

Vdsc

0 5 10 150.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

0 5 10 15-10

-5

0

5

10

Corriente en carga resistiva "IRLq

" "IRLd

"

Tiempo "s"

Am

p

Lm

IRLq

IRLd

Fig. 4.6 Planta eoloeléctrica con diferentes cargas resistivas.

En la Fig. 4.6, se muestra el comportamiento del voltaje generado por la planta cuando

se le conecta una carga resistiva. En vacío la frecuencia del voltaje generado es 59.88 Hz, muy

cercana a 60 Hz. Al instante de la conexión de la carga, la magnitud del voltaje y la frecuencia

generados disminuyen alcanzando un nuevo punto de operación con un valor menor al voltaje

en vacío.

En vacío el voltaje generado es 127.1 V, con una frecuencia de 59.88 Hz. Cuando se

conecta la carga, la corriente que fluye por el estator se divide en la rama del capacitor y de la

carga, por lo cual la corriente en el capacitor disminuye y por consecuencia el voltaje generado

también disminuye. En un tiempo t=3 s, se conecta una carga de 30 Ω. El voltaje decae hasta

88.8 V, con una frecuencia de 58.82 Hz. LM varió desde 0.0565 H hasta 0.0708 H, para

compensar la caída de voltaje y encontrar un nuevo punto operación.



Capítulo 4 84

En t=7 s, la carga toma el valor de 70 Ω. En ese instante la carga demanda menos

corriente, por lo cual el voltaje generado aumentó. El nuevo valor del voltaje es de 119.7 V y

la frecuencia es de 59.52 Hz. La resistencia de 1 Ω ejemplifica un corto circuito en las

terminales de la planta en un tiempo t=11 s, y, como se puede observar, la corriente comenzó

a caer y por lo tanto también lo hizo el voltaje, hasta que llegó a cero.

Si el generador continúa operando de esta manera, puede ocurrir la des-magnetización

de la máquina. Aunque la velocidad se incremente, ya no se generará voltaje, por que el núcleo

se queda sin magnetismo residual, el cual es importante para el funcionamiento de la máquina

de inducción como generador. En este caso se tiene que volver a magnetizar el núcleo de la

máquina, esto se puede realizar mediante tres métodos:

1. Hacer trabajar a la máquina como motor por un breve periodo de tiempo.

2. Conectar una batería en las terminales de la máquina de inducción.

3. Cargar los capacitores y descargarlos en las terminales de la máquina de inducción.

4.4.3 Planta eoloeléctrica con carga resistiva-inductiva.

El objetivo de realizar esta simulación es conocer el comportamiento de la planta cuando

se le conecta una carga resistiva-inductiva. La carga se conecta al sistema en un tiempo t=3 s.

En la Tabla 4.3, se muestran los valores correspondientes a la velocidad de la turbina, la

capacitancia y la carga para esta simulación.

Tabla 4.3 Velocidad de la turbina, capacitancia, resistencia e inductancia de carga.


ωm 188.6 rad/s

Cq=Cd 114 μF

RL 70 Ω

LL 0.12 H


Capítulo 4 85

0 2 4 6 8 10187.5

188

188.5

189

189.5

190

Tiempo "s"

rad

/sVelocidad de la turbina "w

m"

0 2 4 6 8 10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

x 10-4

Tiempo "s"

Fa

rad

ios


d"

wm

Cq=C

d

0 2 4 6 8 10

-5

0

5


" "Idsc

"

Tiempo "s"

Am

p

0 2 4 6 8 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"V

olts

Iqsc

Idsc

Vqsc

Vdsc

0 2 4 6 8 100.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

Corriente en carga resistiva-inductiva "IRLLq

" "IRLLd

"

Tiempo "s"

Am

p

Lm I

RLLq

IRLLd

Fig. 4.7 Planta eoloeléctrica con carga RL, L=0.12 H y R=70 Ω.

En la Fig. 4.7, se muestra la respuesta del voltaje generado cuando la carga RL se

conecta a la planta. En 0 3t la planta trabaja en vacío y alcanza su estado estable. El

voltaje es 127.1 V, y su frecuencia de 59.88 Hz. En t=3 s, se conectó la carga eléctrica, el

voltaje disminuyó hasta 93.2 V, con una frecuencia de 59.52 Hz. LM varió de 0.0565 H a

0.0704 H.

4.4.4 Planta eoloeléctrica con el motor de inducción como carga.

Una planta eoloeléctrica puede alimentar cargas un tanto más complejas que simples

cargas resistivas (calentadores de agua) o cargas resistivas-inductivas (lámparas), como lo

puede ser un motor de inducción. Sin embargo, si no se cuenta con un sistema de regulación



Capítulo 4 86

de frecuencia no es conveniente realizar esta operación, ya que los motores de inducción se

diseñan para trabajar bajo ciertas condiciones.

En este trabajo se realiza la alimentación a un motor de inducción, sólo para ejemplificar

que la planta eoloeléctrica es capaz de alimentar cargas complejas. El modelo que se considera

del motor de inducción es el del marco de referencia estacionario, que se presenta en el

Capítulo III. Los parámetros del motor de inducción jaula de ardilla utilizado se presentan en

la Tabla 4.4, es una máquina de 0.5 hp.

Tabla 4.4 Parámetros del motor de inducción jaula de ardilla de 0.5 hp.


rs 20 Ω rr 12.1 Ω

xls 17.5 Ω xlr 12.2 Ω

xm 485 Ω J 0.003967 Kgm2

B 0 τL 0.65 Nm

Vφ 220 V fe 60 Hz

Polos 4

El objetivo de esta simulación es comprobar que mediante un sistema como el que se

describe, es posible alimentar una carga compleja como lo es el motor de inducción.

Primero, la planta trabaja sin carga en un tiempo 0 4t . En t=4 s, se conecta el

motor, trabajando en vacío, a las terminales de la planta. En un tiempo t=7 s, se le conecta la

carga mecánica al motor de inducción.

El valor de la velocidad de la turbina y de la capacitancia se presenta en la Tabla 4.5.

Tabla 4.5 Velocidad de la turbina y capacitancia.


ωm 188.6 rad/s

Cq=Cd 114 μF


Capítulo 4 87

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

Lm

0 2 4 6 8 10187.5

188

188.5

189

189.5

190

Tiempo "s"

rad

/sVelocidad de la turbina "w

m"

0 2 4 6 8 10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

x 10-4

Tiempo "s"

Fa

rad

ios


d"

wm

Cq=C

d

0 2 4 6 8 10

-5

0

5


" "Idsc

"

Tiempo "s"

Am

p

0 2 4 6 8 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Iqsc

Idsc

Vqsc

Vdsc

Fig. 4.8 Planta eoloeléctrica alimentando un motor de inducción, carga mecánica conectada en t=7s.

En la Fig. 4.8, se puede observar la respuesta de la planta eoloeléctrica cuando se le

conecta un motor de inducción. Hasta los 3 s, la planta se encuentra trabajando en vacío. Los

valores del voltaje, de la frecuencia y de la inductancia de magnetización, para este caso, se

dan en las simulaciones anteriores.

Cuando el motor se conecta en t=4 s, se presentó una caída de corriente y por lo tanto

del voltaje que se genera. Esto se debe al efecto transitorio de la corriente de arranque en el

motor, el cual dura aproximadamente 0.9 s, desde t=4 s hasta t=4.9 s. Después de esto, cuando

la corriente en el motor se estabilizó, el voltaje en la planta también comenzó a estabilizarse.

En 0 4t s, el voltaje es 122.7 V, y su frecuencia es 59.88 Hz. En t=7 s, al motor se le

conectó una carga mecánica. Por lo cual se presentó otra pequeña disminución en la corriente

y el voltaje generado. EL voltaje en este caso es 121.9 V, y la frecuencia de 59.88 Hz.

La respuesta del motor de inducción, se presenta en la Fig. 4.9.



Capítulo 4 88

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2

0

2

Corrientes en el estator del motor "IqsM

" "IdsM

"

Tiempo "s"

Am

pIqsM

IdsM

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2

0

2

Corrientes en el rotor del motor "iqrM

" "idrM

"

Tiempo "s"

Am

p

IqrM

IdrM

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

Velocidad sincrona y del rotor "wsinc

" "wmM

"

Tiempo "s"

rad

/s wsinc

wmM

Fig. 4. 9 Respuesta del motor de inducción de 0.5 hp.

En t=4 s, se conectó el motor a la planta. De t=4 s hasta t=4.9 s, se puede observar el

arranque del motor y su transitorio. Mientras el motor trabaja sin carga mecánica, el voltaje en

el rotor es cercano a cero y la velocidad del rotor del motor es muy cercana a la velocidad

síncrona (118.5 rad/s). En t=7 s, se conectó la carga mecánica al motor. En ese momento la

velocidad del rotor disminuyó, la corriente en el rotor y el estator aumentó.

4.4.5 Compensación de la disminución del voltaje.

Cuando una carga se conecta a la planta eoloeléctrica el voltaje generado disminuye; la

disminución del voltaje en terminales depende del tamaño de la carga. Otra problemática, es la

variación de la frecuencia al conectar la carga.

La caída del voltaje se puede compensar. Una manera de hacerlo es incrementando el

valor de la capacitancia, esto nos ayudará a aumentar el voltaje generado, pero, si la frecuencia

también disminuyó, este proceso no nos ayuda a aumentar la frecuencia.

Otra manera es aumentando la velocidad del rotor (en los casos en los que se pueda), de

esta forma se puede aumentar el voltaje generado y también nos permite compensar la

frecuencia. En una planta eoloeléctrica el incremento de la velocidad no es tan sencillo, ya que

éste depende de la velocidad del viento que es un factor aleatorio. Sin embargo, en el

desarrollo de este trabajo se consideró que se puede manipular esta variable y se aumentó la

velocidad de la turbina para observar el comportamiento del voltaje generado.


Capítulo 4 89

0 2 4 6 8 10

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

x 10-4

Tiempo "s"

Fa

rad

ios


d"

Cq=C

d

0 2 4 6 8 10185

190

195

200

205

Tiempo "s"

rad

/s

Velocidad de la turbina "wm

"

wm

0 2 4 6 8 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

0 2 4 6 8 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

Sin un sistema de regulación de voltaje y frecuencia, una planta eoloeléctrica puede

alimentar cargas donde la variación de éstos no influyan de manera contundente, por ejemplo

calentadores de agua. De lo contrario el equipo puede verse dañado.

a) Incremento en la velocidad de la turbina y en la capacitancia.

El objetivo en esta simulación es comprobar que tanto la corriente como el voltaje que se

genera se incrementan cuando la velocidad de la turbina o la capacitancia aumentan. Se

considera que durante 0 3t la planta trabaja en vacío. En t=3 s, se conecta una carga

eléctrica de 30 Ω, con lo cual disminuye el voltaje generado. En t=6 s, se incrementan tanto el

valor de la capacitancia como el de la velocidad de la turbina.

En la columna de la izquierda se presenta el voltaje cuando se incrementa la velocidad

de giro del rotor. Mientras que en la columna de la derecha se presenta el voltaje cuando se

aumenta el valor de la capacitancia.

En las tablas siguientes se presentan los valores utilizado en esta simulación.

Tabla 4.6 Velocidad de la turbina, capacitancia y resistencia de carga.


ωm 188.6 rad/s

Cq=Cd 114 μF --- 142.5 μF

RL 30 Ω


ωm 188.6 --- 202.74 rad/s

Cq=Cd 114 μF

RL 30 Ω



Capítulo 4 90

0 2 4 6 8 100.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

Lm

0 2 4 6 8 100.05

0.06

0.07

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

Lm

Fig. 4.10 Planta eoloeléctrica con carga resistiva de 30 Ω: (a) velocidad aumentada en un 7.5%,

(b) capacitancia aumentada en un 25%.

En la Fig. 4.10, de 0 a 3 s, la planta trabaja sin carga. En t=3 s, se conecta una carga

resistiva de 30Ω. Al hacer esto, el voltaje cae de 127 V a 89.7 V; y LM varía de 0.0565 H a

0.0708 H.

En (a), al aumentar la velocidad de la turbina hasta 202.74 rad/s, el voltaje se incrementó

hasta 125.5 V, y la frecuencia aumentó de 58.82 Hz hasta 62.89 Hz. LM varió de 0.0708 a

0.0610 H.

Por otro lado, en (b), cuando la capacitancia se incrementó a 142.5 μF, el voltaje se

incrementó hasta 125.2 V, pero la frecuencia se mantuvo en 58.82 Hz. LM varió de 0.0708 H a

0.0546 H.

Cabe debe aclarar que existe un compromiso entre la variable que se debe manipular

(capacitancia y velocidad del pri-motor,) cuando se quiere aumentar el voltaje generado, ya

que se corre el riesgo de aumentar la frecuencia de la señal.

4.4.6 Planta eoloeléctrica con velocidad variable.

Ya que la velocidad en una turbina eólica real no es constante, si no que varía dentro de

cierto rango de operación, se construyó una señal de velocidad variable en la cual la velocidad

aumenta y disminuye en un rango de ±5% de la velocidad propuesta para el funcionamiento

del generador (188.6 rad/s). Ésta señal se aproxima a la respuesta de una turbina eólica real.

El objetivo de llevar a cabo esta simulación, es analizar el comportamiento de la planta

eoloeléctrica cuando la velocidad del rotor no es constante. En este caso, el voltaje debe variar

conforme varía la velocidad de la turbina.

En la Fig. 4.11a, se presenta la respuesta de la planta cuando trabaja sin carga alguna.

Por otro lado, en la Fig. 4.11b, corresponde a la respuesta de la planta cuando se conecta una

carga eléctrica. En este caso, una carga resistiva de 30 Ω y se conecta en un tiempo t=3 s.

(a) (b)


Capítulo 4 91

0 2 4 6 8 100.05

0.06

0.07

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

Lm

0 2 4 6 8 100.05

0.06

0.07

0.08


"

Tiempo "s"

He

nrio

s

Lm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10175

180

185

190

195

200

Tiempo "s"

rad

/s

Velocidad del pri-motor "wm

"

wm

0 2 4 6 8 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

0 2 4 6 8 10-150

-100

-50

0

50

100

150


" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

En la Tabla 4.7, se presentan los valores utilizados para simulación.

Tabla 4.7 Velocidad de la turbina, capacitancia y carga resistiva.


ωm 188.6 rad/s ± 5%

Cq=Cd 114 μF

RL 30 Ω

Fig. 4.11 Planta eoloeléctrica trabajando a velocidad variable con y sin carga eléctrica.


ωm 188.6 rad/s ± 5%

Cq=Cd 114 μF

RL 100 MΩ

(a) (b)



Capítulo 4 92

Como se observa en la Fig. 4.11, el voltaje generado varía de forma proporcional a la

variación de la velocidad del pri-motor, lo cual era de esperarse. Cuando la velocidad aumenta,

el voltaje aumenta; cuando la velocidad disminuye, el voltaje disminuye. De igual manera la

frecuencia del voltaje varía entre el rango determinado por los limites de variación de la

velocidad.

En (a), el voltaje generado varía entre un máximo de 137.5 V con una frecuencia de

62.89 Hz, y un valor de LM de 0.0626 H, cuando la velocidad es de 198.03 rad/s. Para la

velocidad mínima de 179.17 rad/s, se tiene un voltaje mínimo de 111.4 V y una frecuencia de

57.14 Hz, con una LM de 0.051 H.

Cuando la carga resistiva se conecta a la planta el voltaje disminuye. El voltaje mínimo

generado es aproximadamente 66 V, con una velocidad de 179.17 rad/s y tiene una frecuencia

de 56.49 Hz. El voltaje máximo que se alcanza después de conectar la carga es

aproximadamente 112.2 V, con una frecuencia de 61.34 Hz, a una velocidad de 198.03 rad/s.

Debido a esta característica de una planta eoloeléctrica, donde la velocidad del viento

varía sin control, es por la que se recomienda no alimentar cargas en las cuales la variación de

frecuencia sea determinante. Muchas veces se recomienda hacer una rectificación del voltaje

generado y después usar un inversor para crear una señal con frecuencia constante, en la cual

la magnitud del voltaje si varía, pero la frecuencia no.

Capítulo 5 93

Capítulo 5


5.1 Conclusiones.

En esta tesis se estudió el generador de inducción tipo jaula de ardilla, como núcleo principal

del trabajo, y se utilizó como aplicación en una planta de generación eoloeléctrica.

Se estudió el modelo de la turbina eólica, el cual se utilizó para obtener las simulaciones

correspondientes a su operación y se corroboró el modelo obtenido con los reportados en otros

trabajos. Para esto, se realizaron las simulaciones simultáneas de todos los modelos bajo las

mismas condiciones, esto es, mismo perfil del viento y parámetros de la turbina.

Con el uso de la Teoría del Marco de Referencia, se realizó una transformación de

variables de la máquina de inducción, es decir, se transformó el modelo trifásico a un modelo

bifásico equivalente. En el cual, considerando que se trata de circuitos balanceados, la

secuencia cero se pudo descartar. Con lo que se comprobó que al realizar la transformación, el

modelo de la máquina de inducción se simplifica. El modelo que se ocupó para describir a la

máquina de inducción, es el del Marco de Referencia Estacionario.

Se comprobó, mediante la herramienta de simulación, que al satisfacer las condiciones

necesarias: a) de que la velocidad del rotor sea superior a la velocidad síncrona, y b) de que

exista una fuente de potencia reactiva para generar y mantener los campos magnéticos de la



Capítulo 5 94

máquina, ocurre en ésta un proceso denominado de auto-excitación. Este proceso es necesario

para obtener el funcionamiento como generador eléctrico de la máquina.

Para que este fenómeno ocurra se debe tener un valor mínimo de velocidad del rotor y

un valor mínimo de la capacitancia conectada en las terminales del estator. Estos valores se

obtienen determinando las raíces de la ecuación característica del sistema. Y se observa en qué

valores, de la velocidad del rotor y de la capacitancia, una de las raíces pasa de tener una parte

real negativa a tener una parte real positiva.

El problema de la fuente de potencia reactiva se solucionó considerando un banco de

capacitores, el cual se conecta a las terminales del estator de la máquina.

Se realizaron pruebas con valores por debajo de los valores mínimos (tanto de la

velocidad del pri-motor como de la capacitancia) que se obtuvieron para que ocurriera el

proceso de auto-excitación. Y se concluye que si no se satisfacen estos valores mínimos no se

lleva a cabo la auto-excitación en el generador de inducción.

Una característica importante es que en una maquina eléctrica real, existe el fenómeno

de la saturación magnética, el cual permite que el voltaje que se genera quede limitado. Este

problema se solucionó al incluir, en el modelo del generador, la variación de la inductancia de

magnetización mediante un polinomio de cuarto orden en función de la corriente rms de

magnetización.

Para la simulación del generador de inducción, se consideró la velocidad del pri-motor

como constante. También se presentan simulaciones donde se varía la velocidad del rotor

propuesta para la auto-excitación y, otras donde se varía la capacitancia que se conecta a las

terminales del estator de la máquina. En lo correspondiente a la operación de la planta

eoloeléctrica, se hace la consideración, por simplicidad, de que la turbina eólica nos

proporciona la velocidad necesaria para que ocurra el proceso de auto-excitación en el

generador de inducción.

Si la velocidad del rotor disminuye, también lo hará el voltaje que se genera y la

frecuencia de éste. Si la velocidad aumenta, aumentará el voltaje y su frecuencia. Por otro

lado, si se varía el valor de la capacitancia, también varía el voltaje, pero no se afectará, de

ninguna manera, la frecuencia del voltaje.

De esta manera se puede concluir que la frecuencia del voltaje generado depende

directamente de la velocidad del pri-motor.

Mediante las simulaciones que se realizaron, se pudo corroborar que al conectar una

carga eléctrica a la planta de generación, el voltaje que se genera decae. Además, dependiendo

del tipo de carga que se conecta, también disminuye la frecuencia de dicho voltaje.


Capítulo 5 95

Esta problemática se solucionó de dos maneras. Una de ellas es incrementando la

velocidad de la turbina, con lo cual aumentó el voltaje generado y la frecuencia de éste; y (b)

se incrementó el valor de la capacitancia del banco de capacitores, con lo cual se logró

aumentar la magnitud del voltaje.

El aumento del valor de la capacitancia soluciona el problema de la caída de voltaje. Sin

embargó, no compensa la disminución de la frecuencia.

Se debe aclarar que el generador de inducción funcionando como planta eoloeléctrica se

está operando en lazo abierto. Cuando la velocidad del pri-motor varía, como lo hace en una

planta eoloeléctrica, el voltaje que se genera varía y también lo hace su frecuencia. Este puede

ser un problema cuando se está alimentando una carga, ya que la variación de la frecuencia

puede dañar a la carga.

5.2 Trabajos futuros.

El trabajo que se desarrolló en esta tesis es sólo parte de lo que se puede realizar en la

investigación de una planta eoloeléctrica. Por ello, se proponen los siguientes trabajos futuros:

Diseñar un controlador para la turbina eólica con el propósito de mantener la velocidad

del generador dentro de un rango de operación.

Diseñar un controlador para el generador de inducción, con el cual se pueda mantener

constante el nivel del voltaje generado y de su frecuencia.

Implementar en simulación el esquema de la planta eoloeléctrica junto con los

controladores.

Implementación práctica del esquema de la planta eoloeléctrica sustituyendo la turbina

eólica por un motor de corriente directa.



Capítulo 5 96

Apéndice A 97

Apéndice A

A continuación se presenta una breve descripción del principio de la conservación de la

masa y de la ecuación de continuidad de mecánica de fluidos.

A.1 Ecuación de continuidad de mecánica de fluidos.

La mecánica de fluidos es la rama de la mecánica de medios continuos que estudia el

movimiento de los fluidos (gases y líquidos), así como las fuerzas que los provocan. La

característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos

cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). También estudia las interacciones

entre el fluido y el contorno que lo limita. La hipótesis fundamental en la que se basa toda la

mecánica de fluidos es la hipótesis del medio continuo.

En la mecánica de fluidos se asume que los fluidos cumplen las siguientes leyes: (a)

Conservación de la masa y de la cantidad de movimiento; (a) Primera y segunda ley de la

termodinámica. Pero probablemente la hipótesis más importante de la mecánica de fluidos es

la hipótesis del medio continuo.

A.1.1 Hipótesis del medio continuo.

La hipótesis del medio continuo es la hipótesis fundamental de la mecánica de fluidos y

en general de toda la mecánica de medios continuos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuos

http://es.wikipedia.org/wiki/Gas

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquido

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Fluido

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortante



http://es.wikipedia.org/wiki/Masa

http://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1mica

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Hip%C3%B3tesis_del_medio_continuo&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuos



Apéndice A 98

En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa,

ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta.

Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad,

temperatura, etc.) son funciones continuas.

A.2 Conservación de la masa.

La cantidad de masa que fluye a través de una sección por unidad de tiempo se llama

flujo másico ( m ).

El fluido fluye hacia adentro y afuera del volumen de control, usualmente pipas y

ductos. El flujo másico es proporcional a la superficie del ducto, a la densidad del fluido y a su

velocidad:

m AV

El principio de conservación de la masa para un volumen de control se expresa como:

La masa neta transferida a o de un volumen de control durante un intervalo de

tiempo, Δt, es igual al cambio neto (incremento o decremento) en la masa total

dentro del volumen de control durante Δt.

Esto es:

masa total entrando masa total saliendo cambio neto en la

durante t durante t masa durante t

O de otra manera:

VC

en salen sal VC

d mm m m m m

dt

También se puede expresar como:

VC

en sal

d mm m

dt

donde enm es el gasto másico del fluido que entra; salm es el gasto másico del fluido que sale;

/VCd m dt es la razón de cambio de masa que está dentro de los límites del volumen de

control. Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de balance de masas y se aplican a

cualquier volumen de control de cualquier tipo de proceso.

(A.01)

(A.02)

(A.03)

(A.04)

http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura

http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura

http://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_%28matem%C3%A1tica%29

Apéndices

Apéndice A 99

A.2.1 Balance de masa para un proceso de flujo estable.

Durante un proceso de flujo estable, la cantidad total de masa contenida dentro del

volumen de control no varía con el tiempo, es decir, mVC se mantiene contante. Esto es:

0d m

dt

El principio de conservación de la masa requiere que la cantidad total de masa que entra

al volumen de control sea igual a la cantidad total de masa que sale de éste.

Cuando se trata con procesos de flujo estable, no existe interés en la cantidad de flujo

que entra y sale del ducto; en lugar de ello, existe interés en la cantidad de masa que fluye por

unidad de tiempo, es decir, el gasto másico m .

El principio de conservación de la masa para un sistema general de flujo estable con

múltiples entradas y múltiples salidas, se expresa como:

en sal

m m

y enuncia que:

El promedio total de masa entrante al volumen de control es igual al promedio

total de masa que lo deja.

Muchos dispositivos de ingeniería tales como turbinas, compresores y bombas

involucran un solo flujo (una entrada, una salida). En estos casos, se eliminan los signos de

suma y a la entrada se agrega el subíndice 1 y a la salida el subíndice 2. De esta manera, para

los sistemas de flujo estable de una entrada una salida, se tiene:

1 2m m

Apoyados en la hipótesis del medio continuo, en la cual se considera que el fluido es

continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando su estructura molecular y las

discontinuidades asociadas a esta y considerando que las propiedades del fluido (densidad,

temperatura) son funciones continuas, se tiene:

1 1 1 2 2 2AV A V

Si además se considera un fluido incompresible, el principio de conservación de la masa

se puede simplificar aún más, en un fluido de este tipo la densidad se mantiene constante, por

lo cual se puede eliminar en ambos lados, por ello:

1 1 2 2AV A V

(A.05)

(A.06)

(A.07)

(A.08)

(A.09)

http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura

http://es.wikipedia.org/wiki/Densidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura

http://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_%28matem%C3%A1tica%29



Apéndice A 100

Apéndice B 101

Apéndice B

B.1 Movimiento de rotación.

A continuación se presenta un breve repaso en el tema del movimiento rotacional, ya

que se considera de importancia para la obtención del modelo de la turbina eólica, además,

como las máquinas eléctricas giran alrededor de un eje, es importante entender las leyes del

movimiento rotacional.

B.1.1 Posición angular.

La posición angular, θ, de un objeto es la posición en la cual se encuentra orientado,

medido a partir de un punto arbitrario de referencia. Usualmente se mide en radianes (rad) o en

grados (º).

El concepto lineal análogo es la distancia a lo largo de una línea.

B.1.2 Velocidad angular.

La velocidad angular, ω, es la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo;

está definida por:

d

dt

(B.01)



Apéndice B 102

La velocidad angular se mide en radianes por segundo (rad/s).

En el estudio de máquinas eléctricas, la velocidad angular es una de las cantidades más

importantes, debido a esto se hace necesario usar diferentes símbolos para los diversos

sistemas de unidades. Algunos de los símbolos más utilizados son:

ωm velocidad angular expresada en radianes por segundo (rad/s).

fm velocidad angular expresada en revoluciones por segundo (rps).

nm velocidad angular expresada en revoluciones por minuto (rpm).

Estas medidas de la velocidad del eje se relacionan entre sí mediante las siguientes

ecuaciones:

60m mn f

2

mmf

El concepto lineal análogo es el de la velocidad lineal.

B.1.3 Aceleración angular.

La aceleración angular, α, es la razón de cambio de la velocidad angular con respecto al

tiempo; está definida por:

d

dt

La aceleración angular se mide en radianes por segundo cuadrado (rad/s2).

Su concepto análogo es la aceleración lineal.

B.1.4 Par.

En términos generales, el par, τ, es la fuerza de torsión sobre un objeto. El par o acción

de torsión depende de:

La magnitud de la fuerza aplicada.

La distancia entre el eje de rotación y la línea de acción de la fuerza.

(B.02)

(B.03)

Apéndices

Apéndice B 103

Fig. B.1.1 Representación del par.

El par producido sobre un cuerpo se define como el producto de la fuerza aplicada al

cuerpo por la menor distancia entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación del

cuerpo.

fuerza aplicada distancia perpedicular

rFsin

donde r es el vector que va del eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza; F es la

fuerza aplicada; θ es el ángulo entre el vector r y F.

Sus unidades son Newtons-metros (Nm).

B.1.5 Ley de rotación de Newton.

La Ley de Newton en cuanto a objetos que se mueven en línea recta, describe la relación

entre la fuerza aplicada a un objeto y su aceleración resultante; esta relación está dada por:

F ma

donde F es la fuerza aplicada al objeto; m es la masa del objeto; a es la aceleración resultante.

Una ecuación semejante describe la relación entre el par aplicado a un objeto y su

aceleración angular resultante; esta relación se llama Ley de rotación de Newton y establece

que:

La suma algebraica de los momentos o pares alrededor de un eje fijo es igual al

producto de la inercia por la aceleración angular alrededor del eje.

En forma de ecuación se tiene:

(B.04)

(B.05)

τ=0 τ≠0

F F



Apéndice B 104

2

2

d dFuerzas J J J

dt dt

donde J es la inercia; α es la aceleración angular; τ es el par; ω es la velocidad angular; θ es el

desplazamiento angular.

B.1.6 Trabajo.

En el movimiento rotacional, el trabajo, W, resulta de la aplicación de un par durante un

ángulo; está dado por:

W d

y si el par es constante:

W

Su unidad es el joule (J).

B.1.7 Potencia.

La potencia, P, es la razón de la velocidad con la que se hace el trabajo o el incremento

de trabajo por unidad de tiempo; está dado por:

d WP

dt

Si se asume un par constante, en el movimiento rotacional, la potencia está dada por:

d W d dP

dt dt dt

P

Se mide en julios por segundo (J/s) o vatios (W), pero también se puede medir en

caballos de fuerza (hp). Donde P esta en vatios (J/s); τ está en Nm; ω está en rad/s.

Si se emplean los factores de conversión adecuados en cada término, (B.1.09) se puede

expresar como:

7.04 5252

lb ft n rpm lb ft n rpmP watts P hp

(B.06)

(B.07)

(B.08)

(B.09)

(B.10)

Apéndices

Apéndice B 105

B.1.8 Elementos del movimiento de rotación.

Los elementos involucrados con el movimiento de rotación son:

Inercia.

Resorte torsional

Fricción para el movimiento de rotación.

B.1.8.1 Inercia.

La inercia, J, se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética

del movimiento de rotación.

Cuando un par se aplica a un cuerpo con inercia J, como en la Fig. B.1.2, la ecuación del

par se escribe como:

Fig. B.1.2 Sistema par-inercia.

2

2

d t d tt J t J J

dt dt

Las unidades de la inercia son Kgm2

.

B.1.8.2 Resorte torsional.

Como con el resorte lineal para el movimiento de traslación, la constante del resorte

torsional k, en por unidad de desplazamiento angular, puede representar la compliancia de una

varilla o eje cuando está sujeto a un par aplicado.

t k t

Las unidades del resorte torsional son Nm/rad. La Fig. B.1.3, ilustra un sistema par-

resorte que se puede representar por la ecuación:

(B.11)

τ(t) J θ(t)



Apéndice B 106

Fig. B.1.3 Sistema par-resorte torsional.

B.1.8.3 Fricción para el movimiento de rotación.

Cuando existe un movimiento o tendencia al movimiento entre dos elementos físicos, se

presentan fuerzas de fricción. Las fuerzas de fricción que se presentan en los sistemas físicos,

son normalmente de naturaleza no lineal. Las características de las fuerzas de fricción entre

dos superficies que se encuentran en contacto dependen de factores como la composición de

las superficies, la posición entre las mismas, su velocidad relativa, etc.

La fricción viscosa representa una fuerza que es una relación lineal entre la fuerza

aplicada y la velocidad.

A menudo el esquema del elemento de fricción viscosa se representa como un

amortiguador. La representación matemática de la fricción viscosa es:

d tt B

dt

Fig. B.1.4 Representación de la fricción viscosa.

Sus unidades son N/m/s.

(B.12)

(B.13)

τ(t)

θ(t)

k

θ(t)

τ(t)

B

Apéndice C 107

Apéndice C

C.1 Tren de engranes.

Un tren de engranes es un dispositivo mecánico que transmite energía desde una parte

del sistema a otro, de tal forma que se altera el par, la velocidad y del desplazamiento. Estos

también se pueden ver como dispositivos de acoplamiento empleados para lograr la máxima

transferencia de potencia.

En la Fig. C.1.1, se presentan dos engranes acoplados.

Fig. C.1.1 Tren de engranes acoplados.

N1

N2

θ1

θ2

τ1

τ2



Apéndice C 108

Para desarrollar la base de las relaciones geométricas y de par, se hace la suposición de

que los engranes son ideales, es decir, no tienen momento de inercia, no se almacena energía

en ellos y no existe fricción.

El tamaño relativo de los dos engranes resulta en una constante de proporcionalidad para

los desplazamiento angulares, las velocidades de los engranes y los pares transmitidos de los

respectivos ejes.

Las relaciones entre los pares τ1 y τ2, los desplazamiento angulares θ1 y θ2, las

velocidades angulares ω1 y ω2 y los números de dientes N1 y N2 del tren de engranes se

obtienen de los hechos que se mencionan a continuación.

Para realizar el análisis de los engranes, es conveniente visualizar a éstos como dos

círculos que son tangentes en un punto de contacto, como se observa en la Fig. C.1.2.

Fig. C.1.2 Visualización del sistema de engranes.

El número de dientes sobre la superficie de los engranes es proporcional a los radios r1 y

r2 de los engranes.

El espacio entre los dientes debe ser igual en cada engrane, de forma que los radios de

los engranes sean proporcionales al número de dientes, así, r y N denotan el radio y el número

de dientes respectivamente:

1 2 2 1

1 1

2 2

r N r N

r NN

r N

La distancia sobre la superficie que viaja cada engrane es la misma.

Los puntos A y B en la Fig. C.1.2a, representan el punto en el que se encuentran en

contacto los engranes en cualquier tiempo t0; pasado un tiempo, los puntos A y B se mueven a

otra posición, Fig. C.1.2b, representando el desplazamiento por θ1 y θ2, que es el

(C.01)

(a) (b)

θ2 θ1

A B

P

A B

N2

N1 ω2

ω1

Apéndices

Apéndice C 109

desplazamiento angular de su posición original. El desplazamiento recorrido por cada punto

debe ser el mismo, entonces:

1 1 2 2

1 2

2 1

r r

rN

r

El trabajo realizado por un engrane es igual al que realiza el otro engrane, ya que se

supone que no hay pérdidas, por lo tanto:

1 1 2 2

1 2

2 1

N

De aquí se puede observar que, como se está suponiendo el caso ideal y considerando la

conservación de la energía, la potencia en el engrane 1 es igual a la potencia en el engrane 2,

entonces:

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

2 1

P P

d d

dt dt

N

De esta forma, de (C.1.01), (C.1.02), (C.1.03), (C.1.04) obtenidas anteriormente, se

obtienen las siguientes relaciones para los engranes:

1 2 2 1 1

2 1 1 2 2

r NN

r N

(C.02)

(C.03)

(C.04)

(C.05)



Apéndice C 110

Apéndice D 111

Apéndice D

D.1 Regla de Cramer.

Teorema:

Sea

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, y sea ijA a la matriz de coeficientes de

modo que podamos escribir el sistema dado como

Ax B

donde:

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

n n nn n n

a a a x b

a a a x bA x B

a a a x b

Si 0det A , entonces el sistema tiene la solución única



Apéndice D 112

1

1

2

2

n

n

det Ax

det A

det Ax

det A

det Ax

det A

donde Ai es la matriz que se obtiene de A al reemplazar la i-ésima columna de A por B.

Este teorema se conoce como Regla de Cramer, y sirve para la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplen las siguientes condiciones:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, es decir, la matriz de

coeficientes es no singular.

Los sistemas que cumplen las condiciones anteriores se denominan sistemas de Cramer.

La regla de Cramer para resolver sistemas lineales del tipo Ax B , donde A es de n n ,

es como sigue:

a) Calcular det A . Si 0det A no se puede aplicar la regla de Cramer.

b) Si 0det A , para cada i

i

i

det Ax

det A

donde Ai es la matriz obtenida de A al reemplazar la i-ésima columna de A por B.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales

1

2 3 2

5

x y z

x y z

x z

encontrar la solución del sistema mediante la regla de Cramer.

El sistema se puede expresar de la forma Ax B como sigue:

Apéndices

Apéndice D 113

1 1 1 1

1 2 3 2

1 0 1 5

x

y

z

Primero encontramos det(A):

2det A

de lo cual se puede afirmar que si se puede aplicar la regla de Cramer.

Ahora procedemos a encontrar el determinante, sustituyendo B en cada columna de la matriz A,

así, para la incógnita x, se tiene:

1

1 1 1

2 2 3 21

5 0 1

det A det

para y:

2

1 1 1

1 2 3 8

1 5 1

det A det

para z:

3

1 1 1

1 2 2 11

1 0 5

det A det

La solución para x, y y z está dada por:

1

2

2

21

2

84

2

11

2

det Ax

det A

det Ay

det A

det Az

det A



Apéndice D 114

Apéndice E 115

Apéndice E

E.1 Transformación de voltaje: bifásico a trifásico.

A continuación se presentan la transformación, del voltaje generado por la planta

eoloeléctrica, del sistema bifásico a un sistema trifásico.

Se debe recordar que las simulaciones de la planta eoloeléctrica se presentaron en un

sistema bifásico, ya que el modelo del generador de inducción jaula de ardilla se desarrollo en

el marco de referencia estacionario, esto debido a la facilidad del manejo de las ecuaciones y

del modelo en general del generador de inducción.

Para realizar la transformación del sistema bifásico a trifásico, se utiliza la matriz de

transformación inversa, presentada en la teoría del marco de referencia, la cual se presenta a

continuación:

1

0abcs S qd sf K f

donde:

0 0

T

qd s qs ds s

T

abcs as bs cs

f f f f

f f f f



Apéndice E 116

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-200

-100

0

100

200

Voltaje bifásico de los capacitores "Vqsc

" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-200

-100

0

100

200

Voltaje trifásico de los capacitores "Vasc

" "Vbsc

" "Vcsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

Vasc

Vbsc

Vcsc

1

cos sin 1

2 2cos sin 1

3 3

2 2cos sin 1

3 3

SK

De esta manera la transformación del sistema queda de la siguiente manera:

0

cos sin 1

2 2cos sin 1

3 3

2 2cos sin 1

3 3

asc qsc

bsc dsc

csc sc

V V

V V

V V

En las Fig. E.1.1 y Fig. E.1.2, se muestra la respuesta del voltaje al realizar la

transformación.

Fig. E.1.1 Transformación de voltajes bifásicos a trifásicos.

Apéndices

Apéndice E 117

9.75 9.8 9.85 9.9 9.95 10-200

-100

0

100

200

Voltaje bifásico de los capacitores "Vqsc

" "Vdsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

9.75 9.8 9.85 9.9 9.95 10-200

-100

0

100

200

Voltaje trifásico de los capacitores "Vasc

" "Vbsc

" "Vcsc

"

Tiempo "s"

Vo

lts

Vqsc

Vdsc

Vasc

Vbsc

Vcsc

Fig. E.1.2 Transformación de voltajes bifásicos a trifásicos con acercamiento.



Apéndice E 118

Apéndice F 119

Apéndice F

F.1 Modelado del motor de inducción.

Una vez conocidos los parámetros físicos de la máquina se plantean las ecuaciones de los

voltajes inducidos, los voltajes aplicados en los devanados y a partir de estas, se pueden

determinar las demás variables de interés como son las corrientes, el par electromagnético, la

velocidad, etc. Para obtener las ecuaciones se emplea una máquina de inducción trifásica,

simétrica, de dos polos, conectada en estrella, tipo jaula de ardilla. Los devanados del estator

son idénticos, están distribuidos en forma sinoidal, desplazados 120º eléctricos entre sí, con un

número equivalente de vueltas Ns, y resistencia rs. Los devanados del rotor se consideran

equivalentes y similares a los del estator, con Nr vueltas y resistencia rr. Se supone que la

máquina de inducción es lineal, es decir, no existe saturación del circuito magnético y que

además, la fuerza magnetomotriz no contiene componentes armónicas.

Estas simplificaciones no permiten predecir con exactitud el comportamiento del MI en

todos sus modos de operación. Sin embargo, esta representación simplificada proporciona

resultados adecuados del comportamiento en la mayoría de las aplicaciones prácticas

[Guerrero].

F.1.1 Modelo trifásico del motor de inducción.

La Fig. F.1.1, representa una máquina de inducción trifásica con devanados sinusoidalmente

distribuidos [Krause].



Apéndice F 120

Fig. F.1.1 Máquina de inducción trifásica.

En un sistema magnético lineal, la inductancia propia de un devanado es la relación

entre los enlaces de flujo magnético del devanado y la corriente que circula por él con las

demás corrientes de los otros devanados iguales a cero.

La inductancia mutua es la relación de los enlaces de flujo debido a la corriente que

fluye en un segundo devanado con todas las corrientes de los otros devanados iguales a cero,

incluyendo el devanado para el cual los enlaces de flujo están siendo determinados.

La inductancia de dispersión se debe principalmente al flujo de dispersión en el extremo

de las vueltas en los devanados.

Todas las inductancias propias del estator y del rotor son iguales:

asas bsbs cscs ls ms

arar brbr crcr lr mr

L L L L L

L L L L L

las inductancias mutuas de estator a estator y de rotor a rotor son iguales:

1

2

1

2

asbs ascs bsas bscs csac csbs ms

arbr arcr brar brcr crar crbr mr

L L L L L L L

L L L L L L L

Para las inductancias mutuas de estator a rotor se tiene:

cos

2cos

3

asar bsbr cscr sr r

asbr bscr csar sr r

L L L L

L L L L

2cos

3ascr bsar csbr sr rL L L L

ar'

cr' br'

as'

bs'

cs'

ar

br cr

bs cs

as

θr

ωr Eje ar

Eje as

ibs

ics

ias iar

ibr

icr

+

+

+

+ +

+

Vbs

Vcs

Vas Var

Vbr

Vcr rs

rs

rs

rr

rr

rr

Ns

Ns

Ns Nr Nr

Nr

(F.01)

(F.03)

(F.05)

(F.06)

(F.07)

(F.02)

(F.04)

Apéndices

Apéndice F 121

donde Lls es la inductancia de dispersión del estator; Lms es la inductancia de magnetización

del estator; Llr es la inductancia de dispersión del rotor; Lmr es la inductancia de magnetización

del rotor; Lsr es la inductancia mutua estator a rotor.

Las ecuaciones de voltaje para la máquina de inducción de la Fig. F.1.1, son:

as

as s as

bs

bs s bs

cs

cs s cs

dV r i

dt

dV r i

dt

dV r i

dt

ar

ar s ar

br

br s br

cr

cr s cr

dV r i

dt

dV r i

dt

dV r i

dt

donde Vas, Vbs y Vcs son los voltajes de alimentación en las fases a, b y c del estator,

respectivamente; Var, Vbr y Vcr son los voltajes de alimentación en las fases a, b y c del rotor,

respectivamente; rs y rr son las resistencias del estator y rotor, respectivamente; ias, ibs y ics son

las corrientes en las fases a, b y c del estator, respectivamente; iar, ibr y icr son las corrientes en

las fases a, b y c del rotor, respectivamente; λas, λbs y λcs son los enlaces de flujo en las fases a,

b y c del estator, respectivamente; λar, λbr y λcr son los enlaces de flujo en las fases a, b y c del

rotor, respectivamente..

Y los enlaces de flujo están dados por:

as asas as asbs br ascs cs asar ar asbr br ascr cr

bs bsas as bsbs br bscs cs bsar ar bsbr br bscr cr

cs csas as csbs br cscs cs csar ar csbr br cscr cr

ar aras as arbs br arcs c

L i L i L i L i L i L i



L i L i L i s arar ar arbr br arcr cr

br bras as brbs br brcs cs brar ar brbr br brcr cr

cr cras as crbs br crcs cs crar ar crbr br crcr cr

L i L i L i



(F.08) se puede representar de forma matricial como:

V RI pLI

En donde:

0 0 0 T T T T

abcs abcr as bs cs abcs abcr as bs cs ar br crV V V V V V I I I I I I I I I

(F.08-a) (F.08-b)

(F.09)

(F.10)



Apéndice F 122

'

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

s

s

s srs

T

r sr r

r

r

r

r

L LrR L

r L L

r

r

donde V es el vector de voltajes de alimentación; R es la matriz de resistencias; I es el vector

de corrientes; L es la matriz de inductancias. El subíndice s indica las variables y parámetros

asociados con los circuitos del estator; el subíndice r indica las variables y parámetros

asociados con los circuitos del rotor.

Considerando un sistema magnético lineal, los enlaces de flujo están dados por LI ,

para el motor de inducción se tiene:

s srabcs abcs

T

abcr abcrsr r

L L I

IL L

En donde:

asas asbs ascs arar arbr arcr

s bsas bsbs bscs r brar brbr brcr

csas csbs cscs crar crbr crcr

L L L L L L

L L L L L L L L

L L L L L L

asar asbr ascr arar arbs arcsT

sr bsar bsbr bscr sr bras brbs brcs

csar csbr cscr cras crbs crcs

L L L L L L

L L L L L L L L

L L L L L L

donde Ls es la matriz de inductancias del estator; Lr es la matriz de inductancias del rotor; Lsr

es la matriz de inductancias mutuas de estator a rotor.

Es conveniente reflejar todas las variables del rotor a los devanados del estator mediante

la relación de vueltas apropiadas, de esta manera se tiene:

' rabcr abcr

s

NI I

N ' s

abcr abcr

r

NV V

N ' s

abcr abcr

r

N

N

2

' sr r

r

NR R

N

Las inductancias de magnetización y mutuas están asociadas con las mismas trayectorias

de flujo magnético, por lo tanto, Lms, Lmr y Lsr están relacionados, de esta manera se tiene:

'sms sr sr

r

NL L L

N

(F.11)

(F.12)

(F.13)

Apéndices

Apéndice F 123

'

2 2cos cos cos

3 3

2 2cos cos cos

3 3

2 2cos cos cos

3 3

ms r ms r ms r

sr ms r ms r ms r

ms r ms r ms r

L L L

L L L L

L L L

Para Lmr se tiene:

2

'smr ms sr

r

NL L L

N

y si se hace:

2

' sr r

r

NL L

N

2

' slr lr

r

NL L

N

Entonces se tiene:

'

' '

'

0.5 0.5

0.5 0.5

0.5 0.5

lr ms ms ms

r ms lr ms ms

ms ms lr ms

L L L L

L L L L L

L L L L

Los enlaces de flujo se describen ahora como:

'

' '' '

s srabcs abcs

T

abcr abcrsr r

L L I

IL L

Desarrollando el término d(LI)/dt se obtiene:

d LI d L d II L

dt dt dt

El término d(L)/dt se puede expresar como:

r

r

r r

d L d L d d L

dt d dt d

donde θr es la posición eléctrica del rotor; ωr es la velocidad eléctrica del rotor.

La velocidad eléctrica del rotor se relaciona con la velocidad mecánica del rotor, ωm,

mediante el número de polos de la máquina [Aguilar]:

(F.14)

(F.15)

(F.16)

(F.17)

(F.18)

(F.19)

(F.20)



Apéndice F 124

2r m p m

PN

donde P es el número de polos; Np es el número de pares de polos.

Sustituyendo (F.25) en (F.24) se obtiene:

d L d IV RI I L

dt dt

De (F.28) se pueden despejar las derivadas del vector de corrientes para obtener el

modelo de simulación del motor de inducción:

1 1d I d L

L R I L Vdt dt

El motor que se utiliza es un motor de inducción jaula de ardilla, por lo cual el vector

voltajes de alimentación de los devanados del rotor es igual a cero.

El par electromagnético se expresa como:

'

'

2

T sr

em abcs abcr

r

LPI I

El par electromagnético y la velocidad del rotor están relacionadas por:

1

mme m m m L e m m L

m

dJ B B

dt J

donde Jm es el momento de inercia del rotor; Bm es el coeficiente de fricción de viscosa; τL es

el par de carga.

F.1.2 Teoría del marco de referencia.

Algunas de las inductancias de la máquina son funciones de la posición del rotor, por lo cual

los coeficientes de las ecuaciones diferenciales (voltaje), que describen el comportamiento de

esas máquinas, son variables en el tiempo, excepto cuando el rotor está estacionario. Para

reducir la complejidad de esas ecuaciones diferenciales es común usar un cambio de variables

[Krause]. Un cambio de variables que formula una transformación de las variables trifásicas

de elementos de los circuitos estacionario y del rotor al marco de referencia arbitrario, se

puede expresar como:

0qd abcf Kf

(F.23)

(F.24)

(F.25)

(F.22)

(F.21)

(F.26)

Apéndices

Apéndice F 125

donde:

0 0

T

qd q df f f f T

abc a b cf f f f

donde f puede representar voltaje, corriente, enlaces de flujo o carga eléctrica.

Las matrices de transformación y las matrices de transformación inversa para los

circuitos estacionarios y del rotor están dadas por:

Circuitos estacionario Circuitos del rotor

2 2cos cos cos

3 3

2 2 2sin sin sin

3 3 3

1 1 1

2 2 2

c c c

S c c cK

2 2cos cos cos

3 3

2 2 2sin sin sin

3 3 3

1 1 1

2 2 2

RK

1

cos sin 1

2 2cos sin 1

3 3

2 2cos sin 1

3 3

c c

S c c

c c

K 1

cos sin 1

2 2cos sin 1

3 3

2 2cos sin 1

3 3

RK

c r

c c r r

d d

dt dt

donde ωr y θr son la velocidad y el desplazamiento angular del rotor, respectivamente; ωc y θc

son la velocidad y el desplazamiento del marco de referencia arbitrario, respectivamente.

F.1.2.1 Variables del circuito estacionario y del rotor transformados al marco

de referencia.

Es conveniente tratar los elementos resistivos e inductivos separadamente.

F.1.2.1.1 Elementos resistivos.

Para un circuito trifásico resistivo se tiene:

(F.27-a) (F.27-b)

(F.28-a)

(F.28-b)

(F.29-a)

(F.29-b)

(F.30)



Apéndice F 126

' ' ' abcs s abcs abcr r abcrV R I V R I

llevando a cabo el cambio de variables se tiene:

1 1' ' '

0 0 0 0 qd s S s S qd s qd r R r R qd rV K R K I V K R K I

Todos los arrollamientos de fase del estator de la máquina de inducción simétrica están

diseñados para tener la misma resistencia. Si los elementos no nulos de la matriz diagonal Rs,

son iguales entonces:

1 1' ' S s S s R r R rK R K R K R K R

Si cada fase del circuito tiene la misma resistencia, la matriz de resistencias asociadas

con las variables de referencia arbitrario es igual a la matriz de resistencias asociada con las

variables reales.

F.1.2.1.2 Elementos inductivos.

Para un circuito trifásico inductivo se tiene:

' ' abcs abcs abcr abcrV p V p


En términos de variables sustitutas se tiene:

1 1' '

0 0 0 0 qd s S S qd s qd r R R qd rV K p K V K p K

(F.35) se puede escribir como:

1 1

0 0 0

1 1' ' '

0 0 0

qd s S S qs s S S qs s

qd r R R qd r R R qd r

V K K p K p K

V K K p K p K

de donde:

1 1

sin cos 0 sin cos 0

2 2 2 2sin cos 0 sin cos 0

3 3 3 3

2 2 2 2sin cos 0 sin cos 0

3 3 3 3

c c

S c c c R

c c

p K p K c r

(F.31)

(F.32)

(F.33)

(F.34)

(F.35)

(F.36)

(F.37)

Apéndices

Apéndice F 127

'

1 1 ' ' '

0 0

0 0

ds dr

s S qd s c qs c dqs R R qd r c r qr c r dqrK p K K p K

'

1 1 ' '

0 0

'

0 0

qs qr

S S qd s ds R R qd r dr

s r

K K p p K K p p

De esta manera, (F.36) se convierte en:

' ' '

0 0 0 0 qd s c dqs qd s qd r c r dqr qd rV p V p

El primer término del lado derecho es un voltaje que es proporcional a la velocidad

angular del marco de referencia y que es cero si ω=0, que es cuando el marco de referencia

está estacionario. Si el marco de referencia esta fijo con respecto al circuito original, entonces

las ecuaciones de voltaje para el circuito trifásico inductivo se convierte en la tasa de cambio

de los enlaces de flujo con respecto al tiempo.

En el caso de sistemas magnéticamente lineales, el cambio de variables se facilita

cuando se expresa a los enlaces de flujo como el producto de la matriz de inductancias y el

vector de corrientes:

' ' ' abcs s abcs abcr r abcrL I L I

Y en términos del marco de referencia:

1 1' ' '

0 0 0 0 qd s S s S qd s qd r R r R qd rK L K I K L K I

La matriz de inductancia que describe las relaciones de las inductancias propias y

mutuas de las fases del estator del motor de inducción es:

'

' '

'

0.5 0.5 0.5 0.5

0.5 0.5 0.5 0.5

0.5 0.5 0.5 0.5

ls ms ms ms lr ms ms ms

s ms ls ms ms r ms lr ms ms

ms ms ls ms ms ms lr ms

L L L L L L L L

L L L L L L L L L L

L L L L L L L L

entonces se tiene:

'

1 1' '

'

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

s r

S s S s R r R r

ls lr

L L

K L K L K L K L

L L

donde Ls=Lls+3Lms/2; L’r=L’lr+3Lms/2; LM=3Lms/2.

(F.40)

(F.41)

(F.42)

(F.43)

(F.38)

(F.39)



Apéndice F 128

Los sistemas lineales trifásicos acoplados magnéticamente son simétricos si los

elementos de la diagonal son iguales y todos los elementos fuera de la diagonal de la matriz de

inductancias también son iguales.

F.1.3 Modelo del motor de inducción en el marco de referencia arbitrario.

Las ecuaciones de voltaje trifásicas del motor de inducción son:

' ' ' '

abcs s abcs abcs

abcr r abcr abcr

V R I p

V R I p

Y en el marco de referencia arbitrario se tiene:

1 1 1

0 0 0 0

1 1 1' ' ' ' '

qd s S s S qd s S S qd s S S qd s

qdor R R R qdor R R qdor R R qdor

V K R K I K p K K K p

V K R K I K p K K K p

Utilizando las simplificaciones que se obtuvieron anteriormente, las ecuaciones de

voltaje del motor de inducción en el marco de referencia arbitrario son:

0 0 0

' ' ' ' '

qd s s qd s c dqs qd s

qdor R qdor c r dqr qdor

V R I p

V R I p

El conjunto de ecuaciones del motor de inducción en el marco de referencia arbitrario

está completo una vez que se determinan las expresiones para los enlaces de flujo. Para un

sistema magnéticamente lineal en variables del marco de referencia se tiene:

1 1' '

0 0

' '' ' 1 1' ' ' '0 0

s sr S S s S r Rqd s qd sabcs abcs

T T

qd r qd rabcr abcrsr r R sr S R r R

L L K L K K L K II

IIL L K L K K K K

En forma desarrollada los enlaces de flujo son:

'

'

0 0

qs s qs M qr

ds s ds M dr

s ls s

L I L I

L I L I

L I

' ' '

' ' '

' ' '

0 0

qr M qs r qr

ds M ds r dr

s lr s

L I L I

L I L I

L I

Las ecuaciones de voltaje en forma desarrollada son:

(F.45)

(F.46)

(F.48)

(F.44)

(F.47)

Apéndices

Apéndice F 129

' '

' '

0 0 0

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

0

0

0

qs s qs c s ds c M dr s qs M qr

ds c s qs s ds c M qr s ds M dr

s s s ls s

c r M ds r qr c r r dr M qs r qr

c r M qs c r r qr r dr M ds r dr

V r I L I L I L pI L pI

V L I r I L I L pI L pI

V r I L pI

L I r I L I L pI L pI

L I L I r I L pI L pI

' ' ' '

0 0r r lr rr I L pI

Como se está trabajando con circuitos balanceados, la secuencia cero se puede descartar,

así, las ecuaciones de voltaje en su forma matricial son:

' ' ' ''

' ' ' ''

0 0 0

0 0 0

0 0 00

0 0 00

s c s c M qs qss Mqs

c s s c M ds dss Mds

c r M r c r r qr qrM r

c r M c r r r dr drM r

r L L I IL LV

L r L I IL LVp

L r L I IL L

L L r I IL L

La expresión para el par electromagnético en términos del marco de referencia se

obtiene como sigue:

' '

1 1' '

0 02 2

TT sr sr

e abcs abcr S qd s R qd r

d L d LP PI I K I K I

dt dt

Esta expresión da como resultado el par electromagnético expresado en corrientes:

' '3

2 2e M qs dr ds qr

PL I I I I

F.1.4 Motor de inducción en el marco de referencia estacionario.

Si ωc=0, se obtiene el modelo en el del motor de inducción marco de referencia

estacionario:

' '' ' '

' '' ' '

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 00

0 0 00

qs qss s Mqs

ds dss s Mds

qr qrr M r r r M r

dr drr M r r r M r

I Ir L LV

I Ir L LVp

I IL r L L L

I IL L r L L

El par electromagnético y la velocidad del motor se encuentran dados mediante (F.52) y

(F.25):

(F.49-a)

(F.49-b)

(F.50)

(F.51)

(F.52)

(F.53)



Apéndice F 130

' '3

2 2

1

e M qs dr ds qr

r e m r L

m

PL I I I I

BJ

El modelo utilizado para la simulación se obtiene despejando las derivadas de las

corrientes en (F.53), de esta forma se obtiene:

'

'

' '' '

'' '

'

0 0 00 0

0 0 00 01

0 00 0

0 00 0

qs

qss qsr M

dsdss dsr M

qrr M r r rM sqr

drr M r r rM s

dr

IIr VL L

I Ir VL L

IL r LLL L LI

IL L rL L

I

donde:

' 2

s r MLL L L L

F.2 Simulación del motor de inducción.

A continuación se presentan las simulaciones del motor de inducción jaula de ardilla, tanto del

modelo trifásico así como los modelos del marco de referencia estacionario. En la Tabla F.1 se

muestran los parámetros de la máquina de inducción utilizada para la simulación del motor de

inducción.

Los parámetros de la máquina fueron proporcionados por el M.C. Iván Alcalá,

estudiante de doctorado, la máquina de inducción se encuentra en el laboratorio de máquinas

eléctricas, en esta institución, es una máquina de 3 hp.

Ya que los valores para el cálculo de las inductancias se dan como reactancias, se deben

de ocupar las siguientes fórmulas para hacer la conversión a inductancias:

2* *

lsls

e

XL

f

2* *

lrlr

e

XL

f

2* *

MM

e

XL

f

(F.54-a)

(F.54-b)

(F.55)

Apéndices

Apéndice F 131

0 1 2 3 4-200

-100

0

100

200

Voltaje trifásico de alimentación "Vabcs

"

Tiempo "s"

V

1.85 1.9 1.95 2-200

-100

0

100

200

Voltaje trifásico de alimentación "Vabcs

"

Tiempo "s"

V

0 1 2 3 4-200

-100

0

100

200

Voltaje bifásico de alimentación "Vqd0s

"

Tiempo "s"

V

1.85 1.9 1.95 2-200

-100

0

100

200

Voltaje bifásico de alimentación "Vqd0s

"

Tiempo "s"

V

Vas

Vbs

Vcs

Vas

Vbs

Vcs

Vqs

Vds

V0s

Vqs

Vds

V0s

Tabla F.1.1 Parámetros del motor de inducción jaula de ardilla de 3 hp.


rs 0.5825 Ω rr 0.5032 Ω

Xls 1.3184 Ω Xlr 1.9776 Ω

XM 29.7116 Ω J 0.094 Kgm2

B 0 τL 11.9 Nm

Vφ 220 V fe 60 Hz

Polos 4

En la Fig. F.1.2, se presenta el voltaje de alimentación trifásico y la conversión del voltaje de

alimentación de trifásico a bifásico correspondiente al marco de referencia estacionario, en la

figura se puede observar la señal sigue siendo una señal sinoidal desfasada 90º una de otra.

Fig. F.1.2 Voltaje de alimentación trifásico y bifásico del motor en el marco de referencia estacionario.

La Fig. F.1.3, muestra las corrientes del estator y del rotor del motor de inducción

cuando un par de carga se aplica en un tiempo t=2 s. Se puede observar que cuando el motor

está trabajando sin carga, la corriente del rotor es cercana a cero, ya que la velocidad del rotor

es cercana a la velocidad síncrona, sin embargo; cuando se le aplica una carga al motor, la

velocidad del rotor disminuye y por lo tanto se induce un voltaje en los devanados del rotor y



Apéndice F 132

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-20

0

20

40

Par electromagnético "Tem

"

Tiempo "s"

Nm

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

50

100

150

200

Velocidad del rotor "wm

"

Tiempo "s"

rad

/s

Tem

wm

wsinc

0 1 2 3 4-15

-10

-5

0

5

10

15

Corrientes del estator "Iqd0s

"

Tiempo "s"

Am

p

0 1 2 3 4-15

-10

-5

0

5

10

15

Corrientes del rotor "Iqd0r

"

Tiempo "s"

Am

p

Iqs

Ids

I0s

Iqr

Idr

I0r

0 1 2 3 4-15

-10

-5

0

5

10

15

Corrientes del estator "Iabcs

"

Tiempo "s"

Am

p

0 1 2 3 4-15

-10

-5

0

5

10

15

Corrientes del rotor "Iabcr

"

Tiempo "s"

Am

p

Ias

Ibs

Ics

Iar

Ibr

Icr

por consiguiente la corriente en los devanados de rotor aumenta. También se puede observar

que la corriente en los devanados del estator aumenta cuando se le aplica la carga al motor.

Fig. F.1.3 Corrientes del estator y rotor del motor de inducción.

Fig. F.1.4 Par electromagnético y velocidad del motor de inducción.

Apéndices

Apéndice F 133

En la Fig. F.1.4, se muestra el par electromecánico desarrollado por el motor de

inducción y la velocidad que alcanza el rotor del motor. Mientras el motor de inducción está

trabajando sin carga, el par electromagnético desarrollado por la máquina es igual a cero, una

vez que la carga se conecta al motor el par desarrollado aumenta al valor del par conectado en

el eje del rotor. La velocidad desarrollada por el motor de inducción cuando se encuentra

trabajando sin carga es muy cercana a la velocidad síncrona, pero cuando la carga se conecta

al motor la velocidad del rotor disminuye.

En el modelo obtenido en el marco de referencia se hizo una transformación trifásica a

bifásica del subsistema eléctrico, por ello las señales que se vieron afectadas por la

transformación solo fueron las corrientes del motor de inducción. Como se observó en la

respuesta del par electromagnético y de la velocidad del rotor, en los dos modelos es la misma,

esto se debe a que la transformación del marco de referencia no afecta al subsistema mecánico.



Apéndice F 134

Apéndice G 135

Apéndice G

G.1 Cálculo de las condiciones de operación del generador.

En la Fig. G.1.1 se muestra el diagrama de flujo para el cálculo del voltaje en el

generador de inducción



Apéndice G 136

Fig G.1. 1 Diagrama de flujo para el cálculo del voltaje generado.

Inicio

Lectura de los

parámetros del

generador Valor de ωr


de (3.48)

¿Alguna raíz real

igual a cero?

Guardar valor de LM

Detener

Incrementar LM

Valor de C

Calcular Lls y Llr

Calcular el valor de la frecuencia con el valor absoluto de la parte imaginaria de la raíz

encontrada.

Calcular el voltaje generado Vφ, con el valor obtenido de LM y

la relación LM-IM.

Bibliografía 137

Bibliografía

[Ayuso] Ayuso-Ramos A., Energía Eólica.

[Bakirtzis] Bakirtzis A. G., “A Probabilistic Method for the Evaluation of the

Reliability of Stand Alone Wind Energy Systems”; IEEE Transactions on

Energy Conversion, Vol. 7, No. 1, Marzo 1992, pp. 99-107.

[Bolio] Méndez-Bolio M. A., Controladores de Motores: Un Análisis

Comparativo, Tesis de Maestría, Cenidet, México, 2001.

[Bongani] Malinga B., Sneckenberger J. E., Feliachi A., “Modeling and Control of a

Wind as a Distributed Resource”, IEEE, 2003, pp. 108-112.

[Chapman] Chapman S. J., Máquinas Eléctricas, Ed. McGraw Hill, 1ra Edición,

México, 1992.

[CFE] www.cfe.gob.mx, Octubre, 2008, apartado:

www.cfe.gob.mx/es/LaEmpresa/generacionelectricidad/.

[Curtis] Curti M. R., Magallón G. A., De Ángelo C. H., García G. O., “Emulación

Dinámica de una Turbina Eólica”, Congreso Argentino de Control

Automático, Buenos Aires, Argentina, 28 al 30 de Agosto, 2006.

[Datta] Datta R., Ranganathan V. T., “Variable-Speed Wind Power Generation

Using Doubly Fed Wound Rotor Induction Machine – A Comparison with

Alternative Schemes”, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 17,

No. 3, September 2002, pp. 414-421.

http://www.cfe.gob.mx/

http://www.cfe.gob.mx/es/LaEmpresa/generacionelectricidad/



Bibliografía 138

[El financiero] www.elfinanciero.com.mx, Octubre, 2008, apartado:

www.elfinanciero.com.mx/ElFinanciero/Portal/cfpages/contentmgr.cfm?do

cId=106931&docTipo=1&orderby=docid&sortby=ASC.

[esmas] www.esmas.com, Octubre, 2008, apartado:

www.esmas.com/noticierostelevisa/mexico/508937.html.

[ETI] www.etimologias.dechile.net, Febrero, 2007, apartado:

www.etimologias.dechile.net/?turbina; Primera publicación 2001; última

actualización jueves 19 de abril de 2007.

[Fernández] Fernández-Díez P., Energía Eólica, Departamento de Energía Eléctrica y

Energética, Universidad de Cantabria, España.

[GGPEEER] Guía de Gestiones para Implementar en México Plantas de Generación

Eléctricas que Utilicen Energía Renovables, CONAE, Comisión Nacional

para el Ahorro de Energía.

[Janaka] Ekanayake J. B., Holdsworth L., Wu X., Jenkins N., “Dynamic Modeling

of Doubly Fed Induction Generator Wind Turbines”, IEEE Transactions on

Power Systems, Vol. 18, No. 2, Mayo 2003, pp. 803-809.

[Ji] Ji j-K., Sul S-K., “Kalman Filter an LQ based Speed Controller for

Torsional Vibration Suppression in a 2-Mass Motor Driven System”, IEEE

Transactions on Industrial Electronics, Vol. 42, No. 6, December, 1995,

pp. 564-571.

[Johnson] Johnson G. L., Wind Energy Systems, Ed. Manhattan KS, Edición

electrónica, USA, 2001.

[Kosow] Kosow I. L., Máquinas Eléctricas y Transformadores; Ed. Pearson Prentice

Hall, 2da Edición, México, 1993.

[Krause] Krause P. C., Wasynczuk O., Sudhoff S. D., Análysis of Electric Machinery

an Drive Systems, Ed. IEEE Series on Power Engineering, 2da Edición,

USA, 2002.

[Kuo] Kuo B. C., Sistemas de Control Automático, Ed. Pearson Prentice Hall,

7ma Edición, México, 1996.

[La jornada] www.lajornada.unam.mx, Octubre, 2008, apartado:

http://www.jornada.unam.mx/2007/02/23/index.php?section=economia&art

icle=022n1eco.

http://www.elfinanciero.com.mx/

http://www.elfinanciero.com.mx/ElFinanciero/Portal/cfpages/contentmgr.cfm?docId=106931&docTipo=1&orderby=docid&sortby=ASC

http://www.elfinanciero.com.mx/ElFinanciero/Portal/cfpages/contentmgr.cfm?docId=106931&docTipo=1&orderby=docid&sortby=ASC

http://www.esmas.com/

http://www.esmas.com/noticierostelevisa/mexico/508937.html

http://www.etimologias.dechile.net/

http://www.etimologias.dechile.net/?turbina

http://www.lajornada.unam.mx/

http://www.jornada.unam.mx/2007/02/23/index.php?section=economia&article=022n1eco

http://www.jornada.unam.mx/2007/02/23/index.php?section=economia&article=022n1eco

Bibliografía

Bibliografía 139

[Leidhold] Leidhold R., García G., Valla M. I., “Control para Máximo Rendimiento de

Generadores Eólicos de Velocidad de Variable, con Limitación de

Velocidad y Potencia”, Congresso Brasileiro de Automática, 2 a 5 de

Setembro, 2002, pp. 3121-3126.

[Liu] Liu K-H., Namiki S., Ishii H., “Velocity Control of 2-Mass-Spring Systems

With Large Load Uncertainty –An Adaptive Backstepping Control

Approach-”, Proceedings of the 42nd

IEEE Conference on Decision and

Control, Hawaii, USA, December, 2003, pp. 3948-3953.

[Lopes] Lopes L. A. C, Lhuiler J., Mukherjee A., Khokhar M. F., “A Wind Turbine

Emulator that Represents the Dynamics of the Wind Turbine Rotor and

Drive Train”, IEEE, 2005, pp. 2092-2097.

[Machmum] Machmum M., Darengosse C., Queric A., “Dynamic Performances of a

Doubly-fed Induction Machine for a Variable-speed Wind Energy

Generation”, IEEE, 2002, pp. 2431-2436.

[Manwell] Manwell J. F., McGowan J. G., Rogers A. L., Wind Energy Explained,

Theory, design and application, Ed. Jhon Wiley & Sons LTD, 2da Edición,

USA, 2002.

[Monroy] Monroy A., Alvarez-Icaza L., “Control de un aerogenerador con

identificación del coeficiente de potencia del rotor”, Congreso Nacional de

Control Automático, 2005.

[Ogata] Ogata, K., Ingeniería de Control Moderna, Ed. Prentice Hall, 3ra Edición,

México, 1998.

[Ovando] Ovando-Domínguez R., Emulador de Turbina Eólica para el Banco de

Pruebas de Generación Eoloeléctrica, Tesis de Maestría, Cenidet, México,

2007.

[Petru] Petru T., Thiringer T., “Modeling of Wind Turbines for Power Systems

Studies”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 17, No. 4, November,

2002, pp. 1132-1139.

[Qiao] Qiao F., Zhu Q. M., Li S. Y., Winfield A., “Torsional Vibration

Suppression of a 2-Mass Main Drive System of Rolling Mill with KF

Enhanced Pole Placement”, Proceedings of the 4th

World Congress on

Intelligent Control and Automation, Shangai, P. R. China, June, 2002, pp.

206-210.



Bibliografía 140

[REFU] www.revistafuturos.info, Febrero, 2007, apartado:

www.revistafuturos.info/futuros14/energia_eolica.htm; Revista Futuros.

[Richardson] Richardson R. D., McNerney G. M., “Wind Energy Systems”, Proceedings

of the IEEE, Vol. 81, No. 3, March, 1993, pp. 378-389.

[Rodríguez] Rodríguez-Valencia J., Diseño e Implementación de un Sistema Aislado de

Generación Eléctrica Basado en un Convertidor Reversible Back-to-Back,

Tesis de maestría, Cenidet, México, 2005.

[Simõe-1] Simõe M. G., Farret F. A., Renewable Energy Systems, Design and

Analysis with Induction Generators, Ed. CRC Press, Edición, USA, año.

[Simõe-2] Palle B., Simõe M. G., Farret F. A., “Dynamic Simulation and Analysis of

Parallel Self-Excited Induction Generators for Islanded Wind Farm

Systems”, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 41, No. 4,

August, 2005, pp. 1099-1106.

[Seyoum] Seyoum D., The Dynamic Analysis and Control of a Self-Excited Induction

Generator Driven by a Wind Turbine, Ph.D. Thesis, School of Electrical

Engineering and Telecommunications, Australia, 2003.

[Siva] Siva-Kumar CH., Sarma A. V. R. S., Prasad P. V. N., “Fuzzy Logic Based

Control of Wind Turbine Driven Squirrel Cage Induction Generator

Connected to Grid”, IEEE, 2006.

[Slootweg-1] Slootweg J. G., de Haan S. W. H., Polinder H., Kling W. L., “Modeling

Wind Turbines in Power System Dynamics Simulations”, IEEE, 2001, pp.

22-26.

[Slootweg-2] Slootweg J. G., Polinder H., Kling W. L., “Dynamic Modeling of a Wind

Turbine with Doubly Fed Induction Generator”, IEEE, 2001, pp. 644-649.

[Srinivas] Chellapilla S. R., Chowdhury B. H., “A Dynamic Model of Induction

Generators for Wind Power Studies”, IEEE, 2003, pp. 2340-2344.

[TECI] www.textoscientificos.com, Febrero, 2007, apartado:

www.textoscientificos.com/energia/eolica.

[Torres] Torres-Montalvo E., Control de Voltaje del Generador de Inducción Auto-

Excitado para Aplicaciones de Micro/Mini Generación de Energía

Eléctrica, Tesis de Maestría, Cinvestav, México, 2006.

http://www.revistafuturos.info/

http://www.revistafuturos.info/futuros14/energia_eolica.htm

http://www.textoscientificos.com/

http://www.textoscientificos.com/energia/eolica

Bibliografía

Bibliografía 141

[UNRC] www.unrc.edu.ar, Octubre, 2008, apartado:

http://www.unrc.edu.ar/publicar/intercien/001/uno.htm; Universidad

Nacional de Río Cuarto.

[Vidal] Vidal-Rosas E. E., Diagnóstico y Reconfiguración de Fallas en el Motor de

Inducción Utilizando Observadores no Lineales, Tesis de Maestría,

Cenidet, México, 2006.

[Villanueva] Villanueva-López C. A., Control no Lineal Adaptable de Motores de

Inducción, Tesis de Maestría, Cenidet, México, 2006.

[Wang] Wang L., Lee C-H., “A Novel Analysis on the Performance of an Isolated

Self-Excited Induction Generator”, IEEE Transactions on Energy

Conversion, Vol. 12, No. 2, Junio 1997, pp. 109-117.

[WIPO] www.windpower.org/es, Febrero, 2007, apartado:

http://www.windpower.org/ES/pictures/brush.htm;

www.windpower.org/es/tour/design/concepts.htm;

http://www.windpower.org/es/pictures/fifties.htm; Asociación danesa de la

industria Eólica.

http://www.unrc.edu.ar/

http://www.unrc.edu.ar/publicar/intercien/001/uno.htm

http://www.windpower.org/es

http://www.windpower.org/ES/pictures/brush.htm

http://www.windpower.org/es/tour/design/concepts.htm

http://www.windpower.org/es/pictures/fifties.htm



Bibliografía 142

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