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perla-gasparini
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Centro di massaConsideriamo un sistema di due punti materiali di masse m1 e m2 che possono muoversi in una dimensione lungo un asse x
xm1 m2
x1 x2
Centro di massa:M
xmxm
mm
xmxmx 2211
21
2211c
xc
Il centro di massa è in una posizione intermedia tra x1 e x2
Il centro di massa è più vicino al corpo di massa maggiore
Caso particolare: se m1=0 è xc=x2 (se m2=0 è xc=x1 )
Centro di massa di un sistema di puntiPer un sistema di n punti materiali in una dimensione si pone:
n
1iii
n21
nn2211c xm
M
1
m...mm
xm...xmxmx
In 3 dimensioni, la posizione del centro di massa è definita da:
n
1iii
n21
nn2211c rm
M
1
m...mm
rm...rmrmr
zmM
1z ym
M
1y xm
M
1x
n
1iiic
n
1iiic
n
1iiic
Il centro di massa è un punto geometrico che si muove come se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema
Moto del centro di massa
nn2211c rm...rmrmr M
nn2211c am...amama M
n21c F...FFa M
Nella somma delle forze vanno considerate sia le forze interne (interazioni tra i punti del sistema) che quelle esterne (dovute all’azione di agenti esterni al sistema)
Per la terza legge di Newton, le forze interne sono a due a due uguali e opposte, quindi non contribuiscono alla somma a secondo membro, dove rimane la risultante delle sole forze esterne
cext a MF
Forze interne e forze esterne
m1
m2
m3
Fext,1
Fext,2
Fext,3
f21
f12
f31
f13
f32
f23
La risultante delle forze interne è sempre nulla perchè sono a due a due uguali in modulo e dirette in verso opposto
Quantità di motoPer una particella si definisce il vettore quantità di moto:
vmp
Derivando rispetto al tempo la quantità di moto si ha:
dt
pdFFam
dt
vdm
dt
pd
L’equazione precedente è una formulazione più generale della seconda legge di Newton in quanto tiene conto della possibilità che la massa della particella possa variare nel tempo
Quantità di moto di un sistemaSi definisce la quantità di moto di un sistema di punti materiali come somma delle singole quantità di moto:
n21 pppP
...
La quantità di moto del sistema è pari alla quantità di moto che avrebbe il centro di massa se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema
Equazione del moto del centro di massa:
Centro di massa: nn2211c rm...rmrmr M
nn2211c vm...vmvmv M
dt
dt
Pd
dt
vdMa MF ext
ccext
Teorema dell’impulsoConsideriamo un punto materiale su cui agisce una forza molto intensa per un breve intervallo di tempo Δt tra t1 e t2 (situazione tipica in un urto):
(t)dtFpddt
pd(t)F
JpΔ(t)dtFpp(t)dtFpd2
1
2
1
2
1
t
t
12
t
t
t
t
Impulso: ΔtF(t)dtFJ2
1
t
t
La variazione della quantità di moto è pari all’impulso
Conservazione della quantità di moto
Sistema chiuso = nessuna particella può entrare o uscire dal sistema
Sistema isolato = sistema di punti materiali in cui la risultante delle forze esterne è nulla
In un sistema chiuso e isolato la quantità di moto del sistema si conserva (ma possono variare le quantità di moto delle singole particelle!)
Se è nulla una sola componente della risultante delle forze esterne (es. Fext,x ) allora si conserva la corrispondente componente della quantità di moto (Px )
costanteP0dt
Pd0Fext
Urto tra due punti materiali Processo di urto tra due punti materiali:
l’interazione tra i due punti è di breve durata (da potersi ritenere istantanea) rispetto al tempo di osservazione del sistema
durante l’urto, l’intensità delle forze esterne è trascurabile rispetto a quella delle forze di interazione tra i due corpi
Affinchè si verifichi un processo di urto, non è necessario che ci sia il contatto tra le due particelle Negli esperimenti di fisica subnucleare, si verificano urti tra
particelle elementari senza che queste vengano a contatto In un processo di urto si conserva la quantità di moto del
sistema:
il moto del centro di massa del sistema non risente dell’urto
f2,f1,2,i1,i pppp
Urto completamente anelastico (1)In urto completamente anelastico, le due particelle, dopo l’urto, restano attaccate.
)Vm(mvmvm 212211
Conservazione della quantità di moto:
21
2211
mm
vmvmV
La velocità finale dei due corpi è pari alla velocità del centro di massa del sistema, che resta inalterata dall’urto
Urto completamente anelastico (2)
In questo esempio, la particella di massa m2 è inizialmente ferma (v2=0):
21
11
mm
vmV
Pendolo balisticoIl pendolo balistico è usato per misurare la velocità dei proiettiliIl proiettile penetra nel blocco di legno
(urto completamente anelastico):
Il sistema blocco+proiettile oscilla, conservando la sua energia meccanica:
mM
mvV
m)gh(Mm)V(M2
1 2
2ghm
mMv
Ricavando V dalla seconda equazione e sostiuendo nella prima:
Urto elasticoIn un urto elastico si conserva l’energia cinetica del sistema
Conservazione della quantità di moto:
Conservazione dell’energia cinetica:
22112211 VmVmvmvm
222
211
222
211 Vm
2
1Vm
2
1vm
2
1vm
2
1
Velocità finali:
21
112122
21
221211
mm
v2mv mmV
mm
v2mv mmV
Se m1=m2 allora V1=v2 e V2=v1 (i corpi si scambiano le velocità)
Urto elastico con bersaglio fissoIn questo caso v2=0 e le formule per le velocità finali diventano:
121
121
21
211 v
mm
2mV v
mm
mmV
Se m1=m2 :V1 = 0 e V2 = v1 (i corpi si scambiano le velocità)
Se m2>>m1 : V1 ≈ -v1 e V2 ≈ 0 (il proiettile rimbalza sul bersaglio e torna indietro con velocità in modulo uguale a quella iniziale)
Se m2<<m1 : V1 ≈ v1 e V2 ≈ 2v1 (il proiettile prosegue il suo moto indisturbato e il bersaglio schizza via con velocità pari al doppio della velocità iniziale del proiettile)