安定結婚問題

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安定結婚問題

フィーリングカップル5対5 （講義1回目）

安定結婚問題

・ 最初の論文 → [Gale & Shapley 1962] - アメリカの研修医配属問題がきっかけ。

- どんな例題にも、必ず安定マッチングが存在する。

- 安定マッチングを多項式時間で見つけることができる。

(Gale-Shapley アルゴリズム)

・様々な類似問題

- 安定ルームメイト問題

- Residents/Hospitals 問題

・最近、様々な新種の問題

・実世界での応用

研修医配属 NRMP (National Resident Matching Program) CaRMS (Canadian Resident Matching Service) SPA (Scottish Pre-registration house officer Allocations) JRMP (Japanese Resident Matching Program)

不安定結婚とは

• カップルでない男女双方ともに互いに対する好感度が自分のカップル相手よりも高い場合、そのカップルは持続せず解消してしまう。

→不安定なカップル

• 上記の状況が全く発生していない

→安定なカップル

力任せで安定結婚問題を解くアルゴリズム コンピュータは速いから、すべての5組カップルを生成して

（５！＝５＊４＊３＊２＊１＝１２０）、それが安定か不安定かを調べればいい？

N=11 1秒

N=１２ ４秒

N=１３ 2分52秒

N=１４ ４2分３０秒

N=１５ １１時間

・すべての組み合わせを作る計算量は Ｎ！

・安定性をチェックする計算量は Ｎ＊Ｎ

・よって総計算量は Ｎ！＊Ｎ＊Ｎ

・N=16のときの大よその実行時間は 1週間

もっと速いアルゴリズムは？

• なぜ遅い？ ⇒すべての組合せを生成して，毎回浮気のチェックをしているので， 入力データ数Nの壁に阻まれる生成検査法（Generate and Test) ⇒一発で解が作れないか？ ⇒それは無理 ⇒でも無意味な組み合わせから始めるのはよくない ⇒どのような組合せなら作成可能で無駄が少ないか？

①理想的な状態（浮気が起こらない組合せ）から始めてみてはどうか？

理想状態＝第一希望の異性とのカップル

相手にパートナーがいるか否かを無視して、とりあえず強引に第一希望に申し込む。既にパートナーがいれば、その好感度を比較して、既存パートナーの好感度が高ければ、申込を破棄、低ければ、パートナーを解消して、新パートナーを作る。

②乗り換え発生時：カップル解消された人は困りますよね。その人は、一つ好感度が低い人に新たにカップルを申し入れて、先程と同様の処理をする。

③カップル解消が起きて一人はじかれると、

入れ替え（玉突き現象）が際限なく起こらない？

⇒これは大丈夫。好感度が一つ低い相手を選ぶので、

一度のカップル解消で最大入れ替え回数は？回

もっと速いアルゴリズムは？

手順１ 男性１ ④

手順２ 男性１ ④

男性２ ③

手順３ 男性１ ④

男性２ ③

男性３ ④→２

下記の例で効率的アルゴリズムを実行してみると

手順４？

．．．

？

．．．

？

．．．

④③②⑤① ③②⑤①④ ④②⑤③① ④⑤③①② ②③④①⑤

４１３２５ １３５２４ ３５１２４ ４２１３５ ４３２１５

×

男子

女子

フィーリングカップル5対5 の解答

手順１ 男性１：④

手順２ 男性１：④ 男性２：③

手順３ 男性１：④ 男性２：③ 男性３：④→②

手順４ 男性１：④→③ 男性２：③→②→⑤ 男性３：④→② 男性４：④

手順５ 男性１：④→③→② 男性２：③→②→⑤→① 男性３：④→②→⑤

男性４：④ 男性５：②→③

④③②⑤① ③②⑤①④ ④②⑤③① ④⑤③①② ②③④①⑤

４１３２５ １３５２４ ３５１２４ ４２１３５ ４３２１５

×

男子

女子

入力：男性N人

女性N人

希望リスト

より形式的に安定結婚問題を考えると

N=5の例

1: a c b d e a: 2 1 3 4 5 2: c a e b d b: 2 1 4 5 3 3: b a e d c c: 1 2 3 5 4 4: c b d e a d: 3 1 4 2 5 5: c d b e a e: 4 3 1 2 5

男性の希望リスト 女性の希望リスト

男性： 1,2,3,4,5 女性： a,b,c,d,e

1 a

2 b

3 c

4 d

5 e

出力 ：男女間の不安定マッチングの例

1: a c b d e a: 2 1 3 4 5

2: c a e b d b: 2 1 4 5 3

3: b a e d c c: 1 2 3 5 4

4: c b d e a d: 3 1 4 2 5

5: c d b e a e: 4 3 1 2 5

これは解の条件を満たしていない。

安定結婚問題: 与えられた入力から、安定マッチングを見つける。

男性 1 と女性 c は ブロッキングペア

ブロッキングペアの存在しないマッチング: 安定マッチング

1: a c b d e a: 2 1 3 4 5

2: c a e b d b: 2 1 4 5 3

3: b a e d c c: 1 2 3 5 4

4: c b d e a d: 3 1 4 2 5

5: c d b e a e: 4 3 1 2 5

The Gale-Shapley Algorithm [Gale & Shapley 1962]

(Men-propose）

×

× ×

×

×

× ×

×

Theorem [Gale & Shapley 1962, Gusfield & Irving 1989]

The Gale-Shapley algorithm finds a stable matching.