ECUACIONESECUACIONES• Identidad: expresión en la que aparece una igualdad que se cumple siempre.

- Numérica: sólo aparecen números.

4 + 3 = 7

- Algebraica: aparecen números y letras.

x + y = y + x

• Ecuación: expresión en la que aparecen números y letras en una igualdad que se cumple sólo para ciertos valores de las letras.

x + 5 = 7Incógnita

• Soluciones de una ecuación son los valores que tiene que tomar la Soluciones de una ecuación son los valores que tiene que tomar la incógnita para que se verifique la igualdad.incógnita para que se verifique la igualdad. • Las ecuaciones que tienen solución se llaman Las ecuaciones que tienen solución se llaman compatibles.compatibles.

x + 2 = 5x + 2 = 5

• Las ecuaciones que no tienen solución se llamanLas ecuaciones que no tienen solución se llaman incompatiblesincompatibles..x + 5 = x - 1x + 5 = x - 1

¿Un número que al sumarle 2 salga 5? 3

No hay ningún número que al sumarle 5 y restarle 1 salga lo mismo

SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN

ECUACIONES EQUIVALENTESECUACIONES EQUIVALENTES Regla de la suma: si a los dos miembros de una ecuación se les Regla de la suma: si a los dos miembros de una ecuación se les

suma o resta los mismos números o letras, se obtiene una ecuación suma o resta los mismos números o letras, se obtiene una ecuación equivalente.equivalente.

6x – 1 = 2x + 86x – 1 = 2x + 8

Resto 2x: Resto 2x: 6x – 1 – 2x = 2x + 8 – 2x 6x – 1 – 2x = 2x + 8 – 2x

4x – 1 = 84x – 1 = 8

Sumo 1:Sumo 1: 4x – 1 + 1 = 8 + 14x – 1 + 1 = 8 + 1

4x = 94x = 9

Objetivo: dejar la x sola a un lado de la igualdad

ECUACIONES EQUIVALENTESECUACIONES EQUIVALENTES Regla del producto: si a los dos miembros de una ecuación se les Regla del producto: si a los dos miembros de una ecuación se les

multiplica o divide por un mismo números distinto de 0, se obtiene multiplica o divide por un mismo números distinto de 0, se obtiene otra ecuación equivalente.otra ecuación equivalente.

4x + 12 = 164x + 12 = 16

Divido entre 4: Divido entre 4: 4x + 12 16 4x + 12 16

4 44 4

x + 3 = 4x + 3 = 4

Resto 3:Resto 3: x + 3 – 3 = 4 – 3 x + 3 – 3 = 4 – 3

x = 1x = 1

Solución de la ecuación

RESOLUCIÓN DE ECUACIONESRESOLUCIÓN DE ECUACIONES Para solucionar una ecuación hemos de despejar la incógnita Para solucionar una ecuación hemos de despejar la incógnita

utilizando las dos reglas anteriores, aunque habitualmente hacemos utilizando las dos reglas anteriores, aunque habitualmente hacemos dos pasos en uno: pasamos términos de un miembro a otro dos pasos en uno: pasamos términos de un miembro a otro haciendo la operación contraria.haciendo la operación contraria.- Si algo suma se pasa restando y viceversa.- Si algo multiplica se pasa dividiendo y viceversa.

23

x + 2 = 8 –6 *182

9

El “2” que está sumando pasa restandoEl “3” que está dividiendo

pasa multiplicandoEl “2” que está

multiplicando pasa dividiendo

Ahí está la solución

EJEMPLOS (I)EJEMPLOS (I)

2

322

3

1 −=+ xx

−⋅=

+⋅

2

3262

3

16 xx

912122 −=+ xx

x1021 =

10

21=x

EJEMPLOS (II)EJEMPLOS (II)

2

34

5

2 −=+− xx

−⋅=

+−⋅

2

3410

5

210 xx

1540410 −=+− xx

x5019 =

50

19=x

PROBLEMAS (I)PROBLEMAS (I)

¿Cuál es el mayor cuadrado que puede inscribirse en un círculo de radio 10 cm?

2 r

l

SISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONESUn sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son dos ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos valores.

La solución del sistema es el conjunto de valores que verifica ambas ecuaciones simultáneamente.

Al igual que las ecuaciones, los sistemas pueden ser compatibles (tienen solución) o incompatibles (no tienen solución).

′=′+′=+cybxa

cbyax

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:MÉTODO DE SUSTITUCIÓNMÉTODO DE SUSTITUCIÓN

• Regla de sustitución: si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de otra ecuación, resulta otro sistema equivalente.

• Método de sustitución:

xy 24 +=

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.2º Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación.

6243 −=++ xx

−=+=+−63

42

yx

yx

3º Se resuelve la ecuación resultante.

25

46 −=−−=x

4º Se calcula la otra incógnita, sustituyendo en la ecuación despejada el valor obtenido.

0)2(24 =−⋅+=ySolución del sistema:x = -2 , y = 0

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:MÉTODO DE REDUCCIÓNMÉTODO DE REDUCCIÓN

• Regla de reducción: si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, se obtiene un sistema equivalente.

• Método de reducción :

1º Se igualan los coeficientes (salvo el signo) de una incógnita.

=+=+354

743

yx

yx

=+=+91512

281612

yx

yxx 4

x 3

=+=+91512

281612

yx

yx

2º Se suman o restan las dos ecuaciones, según convenga, para eliminar esa incógnita.

19=y

3º Se resuelve la ecuación resultante.

19=yEn este caso sale automáticamente

4º Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones, o bien aplicando el método de reducción de nuevo.

743 =+ yx 7)19(43 =⋅+x 23−=x

PROBLEMAS (I)PROBLEMAS (I)

Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las cifras el número disminuye en 9. ¿De qué número se trata?

PROBLEMAS (II)PROBLEMAS (II)

Se quiere distribuir un lote de libros entre varias personas. Si a cada una se le dan 3 , sobran 17 libros, y si a cada una se le asignan 4, faltan 8 libros. ¿Cuántas personas y cuántos libros hay?

PROBLEMAS (III)PROBLEMAS (III)

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 60 y cuya altura es 2 unidades mayor que la base.

PROBLEMAS (IV)PROBLEMAS (IV)

Un tren parte de la estación “A” a las 9 horas con una velocidad de 30 km/h, y otro tren parte dos horas más tarde de la misma estación y con el mismo itinerario a una velocidad de 40 km/h. Halla la hora de encuentro y la distancia de A a la que se produce.

11:00

9:0030 km/h

40 km/h