Ch.5 系统稳定性

概 述一个自动控制系统要能正常工作 , 必须首先是一个稳

定的系统。 例如 , 电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能

力 ; 电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火

箭飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统。

稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后 , 显然它的平衡被破坏 , 但在

外扰去掉以后 , 它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。

如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。

也可以说 , 系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后 ,系统状态变量或输出变量的偏差量 ( 被调量偏离平衡位置的数值 ) 过渡过程的收敛性 , 用数学方法表示就是

式中， x(t) 为系统被调量偏离其平衡位置的变化量 ; 为任意小的规定量。

如果系统在受到外扰后偏差量越来越大 , 显然它不可能是一个稳定系统。

)(Lim txt

分析一个控制系统的稳定性 , 一直是控制理论中所关注的最重要问题。 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统

的稳定性判据。 在经典控制理论中 , 借助于常微分方程稳定性理论 ,

产生了许多稳定性判据 , 如劳斯 - 赫尔维茨 (Routh-Hurwitz) 判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。

但这些稳定性判别方法仅限于讨论线性定常系统输入输出间动态关系 , 讨论的是线性定常系统的有界输入有界输出 (BIBO) 稳定性 , 未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统。

再则，对于非线性或时变系统 , 虽然通过一些系统转化方法 , 上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用 , 但是难以胜任一般系统。

现代控制系统的结构比较复杂 , 大都存在非线性或时变因素 , 即使是系统结构本身 , 往往也需要根据性能指标的要求而加以改变 , 才能适应新的情况 , 保证系统的正常或最佳运行状态。 在解决这类复杂系统的稳定性问题时 , 最通常的方法

是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论 ,即李雅普诺夫稳定性定理。

实际上 , 控制系统的稳定性 , 通常有两种定义方式： 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状

态 , 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。 经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定即为外部稳

定性 。 内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈

现稳定性 , 即系统的内部状态稳定性。 第三节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。

外部稳定性只适用于线性系统 , 内部稳定性不但适用于线性系统 , 而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统 , 只有在满足一定的条件下两种定

义才具有等价性。

5.1 输入—输出稳定性

本节主要讨论经典控制理论中的稳定概念和判别方法。 1. 单变量系统 BIBO 稳定及判别 2. 多变量系统 BIBO 稳定及判别

5.1.1 单变量系统 BIBO 稳定及判别

定义：若初始状态为零的因果系统对任何有界输入u(t) ，输出 y(t) 也有界，即

则称系统是输入—输出稳定的 (BIBO)定理 5.1 设线性因果系统的初始状态为零，记 g(t,

τ) 是对 τ 时刻单位脉冲输入的响应，则对一般的输入u(τ) ，输出为 ，系统为 BIBO 稳定的充要条件是：存在一个正常数 k ，使得

),[,)()( 021 ttktyktu

dutgtyt

t 0

)(),()(

),[,),( 00

ttkdtgt

t

5.1.2 多变量系统 BIBO 稳定及判别

定义：对系统

输入—输出 (BIBO) 稳定的概念：对应任何有界输入

向量，输出向量有界。

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

),(

21

22221

11211

tgtgtg

tgtgtg

tgtgtg

tG

mrmm

r

r

rm

定理 5.2 系统为 BIBO 稳定的充分必要条件是存在一个常数 k ，使 G(t, τ) 的每一个元素 都有

定理 5.3 设线性定常系统的脉冲响应矩阵为G(t) ， G(s) 为传递函数矩阵，则系统为 BIBO 稳定的充分必要条件是存在一个常数 k ，使 G(t) 的每一个元素 都有

),( tgij

),[,),( 00

ttkdtgt

t ij

)(tgij

kdttgij

0)(

5.2 状态稳定性5.2.1 平衡状态的定义： 对于系统 ，如果存在某个状态 ，使

，则称 为系统的一个平衡点或平衡状态。),()( txFtx ex

0,0),( tttxF e ex

5.2.2 平衡状态的稳定性稳定：如果对任意给定的 ε>0 ，存在 δ(ε,t0)>0 ，

使得，当初始状态满足 时，都有 ，则称平衡状态是稳定的。

一致稳定： δ与初始时刻 t0无关。渐进稳定：存在 δ>0 ，使得当 时，以 x0 为

初始状态的系统的解都有 ，称平衡状态是渐进稳定的。

全局渐进稳定：渐进稳定域为全空间。一致全局渐进稳定：全局渐进稳定与 t0无关。

),( 00 txx e extx )(

exx0

et

xtx

)(lim

不稳定：如果存在某个 ε>0 ，无论 δ 多小，总有某个初始状态 x0 ，虽有 ，但是系统的解至少在某一时刻 t1之后的 t ，有 ，则称平衡状态是不稳定的。

定理 5.4 设线性时变系统为 ，若平衡点 稳定，则其他所有非零平衡点也稳定。定理 5.5 如果线性时变系统 的平衡点

是渐进稳定的，则为全局渐进稳定。

exx0

extx )(

)()()( txtAtx

0ex

)()()( txtAtx 0ex

5.3 稳定性判别方法5.3.1 线性定常系统的稳定性判别

定理 5.6 设线性定常系统为 ，则有 （ 1 ）零平衡点稳定的充要条件是：矩阵 A 的所有特征值实部非正，且实部为零的特征值对应着一阶约当块。

（ 2 ）零平衡点渐进稳定的充要条件是：矩阵 A 的所有特征值的实部为负。

)()( tAxtx

定理 5.7 赫维茨判别法：实系数 n次代数方程

所有根的实部为负的充要条件是下列不等式同时成立：

其中

)0(,0 011

10 aaaaa nnnn

,0

0

,0,0

345

123

01

323

01211

aaa

aaa

aa

aa

aaa

,00

000

42322212

0123

01

nnnnn

n

aaaaa

aaaa

aa

01221 nnn aaa

5.3.2 判别系统稳定性的李雅普诺夫方法（ 1 ）李雅普诺夫第一方法 设非线性系统 ，在平衡点 处的一阶 泰勒展开为

若令 则得系统的线性化方程：

（ i）如果 A 的所有特征值都具有负实部，则非线性系统在平衡点处是渐进稳定的，且与 R项无关。

)),(()( ttxFtx ex

)][()(| eexxTxxRxx

x

Fx

e

,|,exxTe x

FAxxx

)()( txAtx

（ ii）如果 A 有一个正实部的特征值，则非线性系统在平衡点处是不稳定的。

（ iii）如果 A 有实部为零的特征值，则平衡点的稳定性与 R项有关。

（ 2 ）李雅普诺夫第二方法定义：对于连续可微的标量函数 V(x), V(0)=0 (1) 若对 ，有 ，则称 V(x) 是正定的（ 半正定的） (2) 若对 ，有 ，则称 V(x) 是负定的（ 半负定的） (3) 若对 ，有 ，也有 ，则称 V(x)

是不定的。

0x )0(0)( xV

0x )0(0)( xV

0x 0)( xV 0)( xV

定理 5.8 设系统状态方程为 的平衡点为 ，如果存在标量函数 V(x)满足（ i ） V(x) 是正定的；（ ii）沿着状态方程计算的 是半负定的；则平衡点是稳定的。定理 5.9 如果存在标量函数 V(x)满足（ i） V(x) 是正定的；（ ii）沿着状态方程计算的 是负定的； 或者沿着状态方程计算的 是半负定的，但对任意

初始状态 ， 不恒为零；则平衡点是渐进稳定的。再若 平衡点是全局渐进稳定的。

)),(()( ttxFtx

0ex

)(xV

)(xV

)(xV

0)( 0 tx )(xV

)(lim xVx

定理 5.10 如果存在标量函数 V(x)满足（ i） V(x) 是正定的；（ ii）沿着状态方程计算的 也是正定的；则平衡点是不稳定的。

定理 5.11 对于线性定常系统 的平衡点 ，渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定阵 Q ，如下形式的李雅普诺夫矩阵方程

有唯一正定阵解。

)(xV

)()( tAxtx 0ex

QPAPAT

5.5 离散时间系统状态稳定性及判别法5.5.1 离散时间系统的平衡状态 设线性定常离散时间系统状态方程为

称满足 的解 为系统的平衡状态。0)0(),()1( xxkAxkx

0eAx ex

5.5.2 平衡状态的稳定性稳定： ，使得当 时有渐进稳定： ，使得当 时有全局渐进稳定：任意 ，都有不稳定： ，无论 为多小正数，总有 ，使得

0, exx0 exkx )(

0 exx00)(lim

ek

xkx

nRx 0 0)(lim e

kxkx

00 01 k

01)( exkx

5.5.3 稳定性判别定理 5.12 线性系统 的稳定性判别如下： (i) 零平衡点稳定的充要条件是：系统矩阵 A 的所有特征值的模全小于 1 或等于 1 ，且模为 1 的特征值对应的约当块是一阶的。

(ii) 零平衡点渐进稳定的充要条件是：系统矩阵 A 的所有特征值的模全小于 1 。

)()1( kAxkx

定理 5.13 设离散系统为 ，平衡点为 （若非零，可平移）。如果存在一个 x(k) 的标量函数 V(x(k)) ，满足

(i)V(x(k)) 为正定， (ii)ΔV(x(k))=V(x(k+1))-V(x(k))负定， (iii) 当 时，有 。

))(()1( kxFkx 0ex

)(kx ))(( kxV

定理 5.14 线性定常离散时间系统的平衡点 为渐进稳定的充要条件是：对任意给定的正定阵 Q ，离散型李雅普诺夫方程 有唯一正定阵解。

0ex

QPPAAT