chap_04 (régulateur PID)

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eivd RgulationautomatiqueChapitre 4Rgulateur PID4.1 Fonctions de transfert dun systme asservi5+-5++w(t)v(t)y(t)Ga1(s) Ga2(s)rgulateurpartie du systme rglersitue avant l' introductiondes perturbations v(t)(amplificateur de puissance,actionneur, etc)partie du systme rglersitue aprs l' introductiondes perturbations v(t)(processus, capteur, etc)e(t)Gc(s)u(t)f_04_23. epsFig. 4.1 Schma fonctionnel universel dun systme de rgulation automatique.Le retour est unitaire, i.e. le schma est sous forme canonique, gure 3.6 page 128)(chiersource).Lestechniquesdetransformationet derductiondeschmasfonctionnelsvues au chapitre 3 permettent de prsenter le schma fonctionnel universel dunsystmedergulationautomatiquelinairequelconquesouslaformedonnelagure4.1. Il sagitduschmafonctionnel universel, qui faitapparatrelesfonctions de transfertdu rgulateurGc(s),de la partie Ga1(s) du systme rgler situe avant le point dintroductiondes perturbationsv(t),Chapitre4 137 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiquede la partie Ga2(s) du systme rgler situe aprs le point dintroductiondes perturbationsv(t), partir desquelles les fonctions de transfertdu systme rglerGa(s),en boucle ouverteGo(s),en boucle fermeGw(s), rgulation de correspondance,en boucle fermeGv(s), rgulation de maintien,vont tre calcules dans les paragraphes suivants.4.1.1 Fonction de transfert du systme rglerGa(s)Le systme rgler comprend toutes les fonctions de transfert situes entrela commandeu(t) donne par le rgulateur et la grandeur rgle mesurey(t) :Ga(s) =Y (s)U(s)v(t)=0= Ga1(s) Ga2(s) (4.1)Les techniques de modlisation voques au chap.2 ainsi que celles didenticationmise en pratique en laboratoire (voir aussi [10]) ont pour but de dterminer Ga(s)aussi prcisment que ncessaire pour ensuite tre en position de slectionner etde calculer le rgulateur utiliser.4.1.2 Fonction de transfert en boucle ouverteGo(s)5+-5++w(t)v(t)y(t)Ga1(s) Ga2(s)e(t)Gc(s)u(t)f_04_36. epsy(t)Fig. 4.2 Fonction de transfert en boucle ouverte(chiersource).La fonction de transfert en boucle ouverteGo(s) sobtient par dnition encoupant la boucle de contre-raction (directement en amont du comparateur), enposantw(t) =0etv(t) =0, eninjectantdirectementlesignal (derreur)e(t)(gure 4.2) et en calculant :Go(s) =Y (s)E(s)w(t)=0,v(t)=0, boucle ouverte= Gc(s) Ga(s) (4.2)Chapitre4 138 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueAnoterquecettergletrssimpledecalcul deGo(s)sappliquesansautresile systme est plus compliqu, parexemple silnest pas sous forme canonique(gure 4.3).5-w(t)=0e(t)Gc(s)f_04_33. epsy(t)5v(t)x(t)Ga1(s) Ga2(s)Ga3(s)5Ga4(s)-5Ga5(s)Fig.4.3Fonctiondetransfertenboucleouvertedunsystmeprsentsousune forme quelconque, i.e. non canonique(chiersource).4.1.3 Fonction de transfert en boucle ferme, rgulation decorrespondanceGw(s)La fonction de transfert en boucle ferme, rgulation de correspondance, per-met de dterminer le comportement statique et dynamique du systme asservi enpoursuite de consigne. On la calcule pourv(t)=0, i.e. sans perturbation, pourbien mettre en vidence leet de la consigne seule sur la grandeur rgle :Gw(s) =Y (s)W(s)v(t)=0(4.3)En se rfrant au schma fonctionnel universel (gure 4.1 page 137, noter que leretour est unitaire), on a :Gw(s) =Y (s)W(s)v(t)=0=Gc(s) Ga1(s) Ga2(s)1 +Gc(s) Ga1(s) Ga2(s)(4.4)Gw(s) =Y (s)W(s)v(t)=0=Go(s)1 +Go(s)(4.5)En principe, Gw 1 car on sattend naturellement ce quey(t) w(t). Laconsquence importante en est queGo(s) devrait tre aussi grande que possible(cf dilemme stabilit-prcision, 1.5.3 page 33). En eet :Gw(s) 1 Go(s) (4.6)Pour mettre cela en vidence, on peut prsenterGw(s) sous la forme :Gw(s) =Y (s)W(s)=11 +1Go(s)(4.7)Chapitre4 139 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueS-w(t) y(t)Go(s)( )( )( )( )( )G sY sW sGsGswoo= =+ 1f_04_24. epsFig. 4.4 Fonction de transfert en rgulation de correspondance(chiersource).4.1.4 Fonction de transfert en rgulation de maintien Gv(s)Gv(s) traduit leet des perturbations v(t) sur la grandeur rgle y(t), lorsquew(t) = 0. On a :Gv(s) =Y (s)V (s)w(t)=0=Ga2(s)1 +Gc(s) Ga1(s) Ga2(s)=Ga2(s)1 +Go(s)(4.8)On sattend naturellement ce que, dans le cas idal, Gv(s) 0, traduisant une1sS1s1s++v(t)y(t)-Gc(s) Ga1(s) Ga2(s)( )( )( )( )( )GsY sV sG sGsvao= =+21f_04_26. epsFig. 4.5 Fonction de transfert en rgulation de maintien(chiersource).insensibilit aux perturbations, ce qui est le cas siGo(s) .Chapitre4 140 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.2 Rponsedusystmeasservi travaillantdansles deux modes de rgulationPar linarit, on peut simplement crire que la rponse du systme asservi leet simultan de la consigne et de la perturbation est donne parY (s) = Gw(s) W(s) +Gv(s) V (s) (4.9)puis selon la dnition de la linarit du 1.7.5 page 45, les causes ajoutent leurseets. Il est ds lors possible de calculer y(t) par transforme de Laplace inverse :y(t) = L1{Y (s)} = L1{Gw(s) W(s)} +L1{Gv(s) V (s)} (4.10)Chapitre4 141 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.3 Rgulateur PID analogique4.3.1 IntroductionLe rgulateur, dont la fonction de transfert est dsigne parGc(s) ("control-ler", Regler), est situ en amont du systme rglerGa(s).-5W(s) Y(s) Gc(s) Ga(s)U(s) E(s)REGULATEURSYSTEMEA REGLERV(s)f_04_03. epsFig. 4.6 Schma fonctionnel dun systme asservi mono-variable. On distinguele rgulateurGc(s) et le systme rglerGa(s) (chiersource).Lesystmergler Ga(s)comprend, outreleprocessus, lamplicateurdepuissance,lactionneur,lecapteuretllectroniquedetraitementdelamesureassocie.5+-5++w(t)v(t)y(t)Ga1(s) Ga2(s)rgulateurpartie du systme rglersitue avant l' introductiondes perturbations v(t)(amplificateur de puissance,actionneur, etc)partie du systme rglersitue aprs l' introductiondes perturbations v(t)(processus, capteur, etc)e(t)Gc(s)u(t)f_04_23. epsFig. 4.7 Schma fonctionnel universel dun systme asservi (chiersource).Chapitre4 142 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd RgulationautomatiqueLentre du rgulateur comprend forcment la consigne w(t) et la mesure y(t)de la grandeur rgle. Le plus souvent la comparaisone(t) = w(t) y(t) (4.11)directe est eectue, appele cart ou erreur.Le rgulateur a pour charge de maintenir le signal derreure(t) aussi prochedezroquepossible ;danscebut,ilfournitausystmerglerlacommandeu(t) telle que limagey(t) de la grandeurrgle obtenue par mesure tende correspondre la consignew(t).La commandeu(t) est construite sur la base des signaux de consignew(t) etde mesurey(t) de la grandeur rgle selon la loi de commandeu(t) = u(w(t), y(t)) . (4.12)Ralise par une lectronique de signal (amplicateurs oprationnels) voire im-plants dans un microprocesseur ( 1.6 page 40), cette commande est en gnraldunfaibleniveaudepuissance, raisonpourlaquelleunamplicateurdepuis-sance est normalement intercal entre le rgulateur et le processus proprementparler. Ledit amplicateur de puissance fait ds lors partie intgrante du systme rgler ( 4.1.1 page 138).Applique au systme rgler, la commandeu(t) provoque donc une modi-cation de la grandeur rgley(t). Le rgulateur en tenant compte pour formeru(t), on constate quey(t) apparat : lorigine de laction entreprise par le rgulateur ;comme consquence de cette action.Reprsent graphiquement sous forme de schma fonctionnel, le systme prsentedonc une boucle, i.e. une boucle de contre-raction.La loidecommande du rgulateur peut tre trs simple (rgulateur tout-ou-rien, appel aussi rgulateur action 2 positions)u(t) = umaxsi e(t) > 0 (4.13)u(t) = uminsi e(t) < 0 (4.14)ou beaucoup plus complique (rgulateurs ous, rseaux de neurones).Chapitre4 143 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.3.2 Rgulateurs non-linairesSi lon imagine vouloir rgler la temprature dune salle et la maintenir auxenvirons de20[C], on se dit quil sut denclencher ou dclencher le chauageselon que la temprature ambiante est plus petite ou plus grande que la temp-rature souhaite (gure 4.8).Avec ce rgulateur, appel tout-ou-rien, ou encore action deux positions,latempratureoscilleralgrementautourde20[C]etcelasatisfactiondesutilisateurs de la salle. Cependant, le chauagiste risque dtre trs mcontent caril verra la chaudire senclencher et dclencher sans cesse pour de courts instants.Cette situation nest pas acceptable pratiquement. Pour viter cela, on lui prfreAAmplificateurde puissanceCorps dechauffeiTcuTextpthwPotentiomtrede mesurePotentiomtrede consigne+-euRgulateur action deux positionsComparateurGnrateurde consigneCapteuryPuissancedissipepar effet Joulef_04_26. epsFig. 4.8 Rgulation automatique de la temprature dun local (chiersource).unautrergulateurdeuxniveauxavechystrse(gure4.9pagesuivante).Danscecas, onverralatempratureoscilleravecplusdamplitudeautourde20[C] et cela sans gne pour le confort des personnes prsentes. De son ct, lechauagiste sera satisfait, car la chaudire senclenchera et dclenchera pour desChapitre4 144 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatiqueu(t)w(t)+-euRgulateur action deux positionsavec hystrsey(t)e(t)f_04_29. epsFig. 4.9 Rgulateur action deux position avec hytrse(chiersource).dures raisonnables prservant ainsi sa dure de vie. Il faut cependant noter que0w(t)y(t)0u(t)tt-umax+umaxlargeur del' hystrsef_04_27. epsFig. 4.10 Allure de la grandeur rgle (temprature mesure) lors dun asser-vissement par rgulateur action deux position avec hytrse(chiersource).la non-linarit de ces rgulateurs simples rend dicile leur synthse sur la basedun cahier des charges xant les performances du systme asservi. Malgr cela,ilssontfrquemmentutilisspourdesapplicationsdontlactionneursupporteune forte sollicitation et pour lesquelles une oscillation constante de la grandeurrgley(t) autour de la consignew(t) est admissible. Un exemple dapplicationest la rgulation du courant fournit par une alimentation dcoupage [9].Dans ce qui suit, on se limitera la prsentation et ltude du rgulateurPID, de loin le rgulateur le plus utilis en pratique.Chapitre4 145 mee\cours_ra.tex\16avril2005eivd Rgulationautomatique4.3.3 Rgulateur action proportionnelle (P)Loi de commande, fonction de trans