Embed Size (px)
Citation preview
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٩٠ پائيز -گروه مخابرات ١
بنام خدا 90-91 نيمسال اول - گروه مخابرات - دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
پردازش سيگنالهاي ديجيتال (Digital Signal Processing)
:مراجع درس1)
Oppenheim A.V., Schafer R.W. and J.R. Buck,
"DISCRETE-TIME SIGNAL PROCESSING", Second Edition, Prentice-Hall, New Jersey, 1999, ISBN 0-13-083443-2.
(Text Book)
2)
Oppenheim A.V. “DIGITAL SIGNAL PROCESSING”
Prentice-
Hall 1999
3)
Sanjit
K. Mitra, "DIGITAL SIGNAL PROCESSING: A Computer Based Approach", 3rdEdition, 2005/Hardcover/972 pages, McGraw-Hill.
4)
Kermit Sigmon, "Matlab
Primer", Third Edition, Department of Mathematics, University of Florida
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٩ پائيز -گروه مخابرات ٢
: رئوس مطالب درس سيگنالها و سيستمهای زمان گسسته -١
و خواص آن z تبديل -٢
نمونه برداری از سيگنالها-٣
نمايش ساختارهای سيستمهای ديجيتال -۵
طراحی فيلترهای ديجيتال -۶
)Discrete Fourier Transform )DFT تبديل فوريه گسسته -٧
)Fast Fourier Transform )FFT تبديل فوريه سريع -٨
:ارزيابی ونمره درس
% ٣٠): دو مورد ( ميانترم -
% ۵٠: نهايی -
% ١٠: تکاليف درسی -
% ١٠: پروژه درسی -
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣
سيگنالها و سيستمهای زمان گسسته
نمايش سيگنال در حوزه فرکانس
) تبديل فوريه سيگنال(
نمونه برداری
Z تبديل
DFT/FFT
ساختارهای سيستمهای گسسته
طراحی فيلترهای ديجيتال
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ۴
:اهداف درس فهميدن مفاهيم سيگنالها و سيستمهای زمان گسسته •
و تبديل فوريه Z يادگيری مشخصات فرکانس سيگنالها با درک مفاهيم تبديل •
فهميدن روابط بين فيلترهای ديجيتال، معادالت تفاضلی و توابع سيستم •
فهميدن قواعد نمونه برداری و بازسازی سيگنالها •
ديجيتال با روشهای مختلف و نيز ساختارهای )FIR و IIR( توانايی طراحی فيلترهای •مختلف اين سيستمها
ريتمهای محاسبه سريع دانستن مفاهيم و قواعد مربوط به تبديل فوريه گسسته سيگنالها و الگو • ) FFT و DFT( آنها
در مسائل مربوط به پردازش سيگنالMatlabتوانايی استفاده از •
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ۵
سيگنالها و سيستمهای زمان گسسته : فصل اول
: تعاريف اوليه
. به هر تابعی که حاوی اطالعات باشد سيگنال گفته می شود : Signal)( سيگنال
. در حالت کلی هرسيگنال تابعی از يک يا چند متغير مستقل خواهد بود : ١نکته
.باشد.... و متغيرهای مستقل بستگی به نوع سيگنال ممکن است زمان ، مکان ، حرارت : ٢نکته
و در صورت لزوم دو متغيره از ( ان در اين درس متغير مستقا را زمان و سيگنال را تابعی يک متغيره از زم : ٣نکته .در حالت اول سيگنال را يک بعدی و در مورد دوم آنرا دو بعدی ناميم .در نظر می گيريم ) مکان
يک بعدی-سيگنال صوتی )تابعی از زمان(
تابعی از ( دوبعدی -سيگنال تصوير مقياس خاکستری –)مکان
Gray Scale Image تابعی از ( سه بعدی -سيگنال ويدئو ) مکان و زمان
( )s t ( , )i x y ( , ; )r x y t
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ۶
در صورتی که سيگنال تابعی پيوسته اززمان باشد آنرا Continuous-Time ) :( سيگنال با زمان پيوسته. سيگنال با زمان پيوسته نامند
. در اين حالت پيوسته می باشد tمتغير مستقل : ١نکته
اگردامنه سيگنال نيزمقادير پيوسته را داشته باشد : ٢نکته
.نامند ) Analog( سيگنال را آنالوگ
( )tx
t
در صورتی که سيگنال تابعی گسسته از زمان باشد آنرا Discrete-Time ) :( سيگنال با زمان گسسته .سيگنال با زمان گسسته نامند
. که نماينده زمان می باشد دراين حالت گسسته می باشد nمتغير مستقل : ١نکتهاگردامنه سيگنال نيزمقادير گسسته را داشته باشد : ٢نکته
.نامند )Digital( سيگنال را ديجيتال
( )nx
(0)x(1)x
(2)x
(3)x(4)x( 1)−x
( 2)−x
211−2− 3 4n
( ) ( )ax n x nT=
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٧
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٨
بعبارت ديگر کليه . سرو کار داريم ) و نه ديجيتال (در طول اين درس با سيگنالهای گسسته با زمان يا گسسته : نکته مهمعليرغم اين از اين نوع سيگنالها نيز بعنوان سيگنال . سيگنالها ی مورد نظربازمان گسسته و با دامنه پيوسته خواهند بود
. ديجيتال نام برده شود
( )
( ) ( ),
125 sec
a
a
x t
x n x nT
T m
=
=
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٩
)Power , Energy (توان و انرژی يک دنباله
21lim | ( ) |
2 1
N
Nn N
P x nN
+
¥=-
=+ å :توان متوسط يک دنباله
|2: انرژی يک دنباله ( ) |n
E x n+¥
=-¥
= å
ان واگر دارای انرژی محدود باشد در صورتی که يک دنباله دارای توان متوسط محدود باشد آنرا از نوع تو : ١نکته .آنرا نوع انرژی گويند
.وان متوسط صفر خواهد بود دنباله نوع توان دارای انرژی بی نهايت و دنباله نوع انرژی دارای ت : ٢نکته
که بروی ....و به هر گونه عملياتی از قبيل تقويت، تضعيف ، مدوالسيون، فيلتر کردن ):Process( پردازش .سيگنال انجام می گيرد ، پردازش گفته می شود
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ١٠
:معرفی برخی سيگنالهای مهم زمان گسسته ( ) ncα=x n سيگنال نمائی ) الف
c, مقادير حقيقی : سيگنال نمائی حقيقی -١ α
) با اندازه واحد (مختلط و مقدار حقيقی : سيگنال نمائی مختلط -٢ c0je ωα = α
00 01 ( ) ( ) ( )j nnc n e Cos n jSin nωα ω ω= = = = +x
مختلط مقادير : سيگنال نمائی مختلط در حالت کلی -٣ ,c α0
0 0| | , | | ( ) | | | | ( ) | | | | ( )j nj n nc c e e n c Cos n j c Sin nωθ α α α ω θ α ω θ= ⋅ = = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +x
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ١١
: سيگنال سينوسی -۴0( ) ( )n A Cos nω θ= ⋅ +x
.اين سيگنال به ازائ کليه مقادير متناوب نيست -١
بعبارت ديگر . باشد يک سيگنال متناوب هنگامی متناوب است که مضرب گويايی از -٢.عددی صحيح باشد
0ω
0ωπ0
2N kπω
=
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ١٢
. سرعت تغييرات سيگنال با افزايش زياد نميگردد -٣
فزايش با افزايش تا حوالی ضرايب فرد سرعت تغييرات سيگنال ا
. کاهش می يابدو با افزايش تا حوالی ضرايب زوج سرعت تغييرات سيگنال
0ω
0ω
0ω
π
π
. دنباله های سينوسی از نوع توان می باشند -۴
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ١٣
0(unit Sample Sequence)دنباله نمونه واحد ) ب 0( )
1 0
nn
nd
ìï ¹ïï= íï =ïïî( )nu
1
211−2− 3 4n
( )nδ
1
211−2− 3n
1(unit Step Sequence)دنباله پله واحد ) ب , 0( )
0 , 0
nu n
n
ìï ³ïï= íï <ïïî
. ند دنباله پله واحد از نوع توان و دنباله ضربه واحد از نوع انرژی هست ثابت کنبد: تمرين
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ١۴
نمايش يک سيگنال با استفاده از تابع نمونه واحد
4
3
( ) 2 ( 3) 3 ( 1) ( 2) ( 4)
( ) ( )k
x n n n n n
x k n k
d d d d
d=-
= + + - - - - -
= -å
( )nx
11−2− 3 4n
3−
23
21− 1−
( ) ( 1) ( 1) (0) ( ) (1) ( 1) ( ) ( )k
x n x n x n x n x k n kd d d d+¥
=-¥
= ⋅⋅⋅+ - + + + - +⋅⋅⋅ = -å
: مثال
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ١۵
)(Linear Shift Invariantسيستم هاي زمان گسسته خطی تغيير ناپذير با شيفت
به عنوان ورودي انجام ازش يكتايي بر روي دنباله به صورت رياضي يك سيستم زمان گسسته را مي توان تبديل، عملگر يا پرد شده و دنباله خروجي را به وجود مي آورد، يعني
( ) { ( )}y n T x n=
.پردازش خطي اصوال با اصل جمع آثار بيان مي شود . خطي باشد سيستم را خطي مي نامند چنانچه تبديل يا عملگر
1( )y n
1 1( ) ( )x n y n
2 2( ) ( )x n y n
( )nx ( )ny( )⋅T
1 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x n b x n a y n b y n⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
:سيستم تغيير ناپذيربا شيفت
1 0 1 0( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )x n y n x n x n n y n y n n = - = -
: سيستم خطي
: مثال
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ١۶
Convolution Sum)(محاسبه پاسخ ورودی دلخواه يک سيستم خطی تغيير ناپذيربا شيفت
{ ( )} ( )T n h nd =( )nδ ( )nh( )⋅T
:پاسخ نمونه واحد يک سيستم خطی تغيير ناپذير با زمان
{ ( )} ( )T n k h n kd - = -
)نمايش يک سيگنال با استفاده از تابع نمونه واحد ) ( ) ( )k
x n x k n kd+¥
=-¥
= -å
( ) { ( )} { ( ) ( )} ( ) { ( )}
( ) ( ) ( ) * ( )
k k
k
y n T x n T x k n k x k T n k
x k h n k x n h n
d d+¥ +¥
=-¥ =-¥+¥
=-¥
= = - = -
= - =
å å
å
. موسوم استجمع کانولوشن اين رابطه به
يک سيستم گسسته را بدون حافظه گويند هرگاه خروجی در هر لحظه ) : Memoryless( سيستم بدون حافظه .وجی مستقل از آينده و گذشته ورودی باشد ازمانفقط و فقط تابعی از ورودی در همان لحظه باشد، بعبارت ديگر خر
)2: مثال ) { ( )} ( )y n T x n x n= =
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ١٧
: شرکت پذيری -٣1 2 1 2 2 1{ ( ) * ( )} * ( ) ( ) * { ( ) * ( )} { ( ) * ( )} * ( )x n h n h n x n h n h n x n h n h n= =
1: توزيع پذيری -٢ 2 1 2( ) * { ( ) ( )} ( ) * ( ) ( ) * ( )x n h n h n x n h n x n h n+ = +
:خواص جمع کانولوشن
): جابجايی -١ ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) ( )k
y n x n h n h n x n h k x n k+¥
=-¥
= = = -å
:تعبير( )nx ( )ny
( )nh( )nh ( )ny
( )nx≡
))ترکيب موازی سيستمها ( :تعبير )nx⊕
1( )nh
( )nh( )ny( )nx
≡
2( )nh
( )ny ( )nh
1 2( ) ( ) ( )n n n+h h h
)ترکيب سری سيستمها ( :تعبير( )nx
1( )nh( )ny
2( )nh ≡( )nx
2( )nh( )ny
1( )nh( )nh( )ny( )nx
( )nh
1 2( ) ( ) ( )n n n∗h h h
≡
: و آنگاه در صورتی که -۴1 2( ) 0, ( , )x n for n n n= ∉3 4( ) 0, ( , )h n for n n n= ∉
1 3 2 4( ) ( )* ( ) 0, ( , )y n x n h n for n n n n n= = ∉ + +
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ١٨
.ستم با پاسخ نمونه واحد درزير داده شده است ، مطلوبست محاسبه خروجی سي LSIورودی يک سيستم : مثال
[ ] [ ]1 , 0 4 , 0 60 0
nn nx n h n
ايرنقاط س ايرنقاط سα≤ ≤ ≤ ≤
= =
:حل
k
x k h n k y n x k h n k( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0+¥
=-¥
- = = - =å
nnn k n k
k k
x k h n k y n x k h n k1
0
1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1a
a aa
++¥- -
=-¥ =
-- = = - = =
-å å
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ١٩
( )4 14 4
1
0 0( )
1
n nkn k n
k kn α αα α α
α
− +− −
= =
− = = =
− y
( )4 74 4
1
6 6( )
1
nkn k n
k n k nn α αα α α
α
−− −
= − = −
− = = =
− y
( ) 0, 10n n = >y
: رابطه مفيد
2 1 2
1
1
1 2,1
N N Nn
n N N Nα αα
α
+
=
−= ≤−
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٢٠
.ستم با پاسخ نمونه واحد درزير داده شده است ، مطلوبست محاسبه خروجی سي LSIورودی يک سيستم : ١مثال
( ) {4,4,3,2}, ( ) {4,5,6}x n h n↓ ↓
= =
4:حل 4 3 2
4 5 624 24 18 12
20 20 15 1016 16 12 8
36 56 47 28 12
----------------------------16
↓
↓
↓
×
− − − − − − − − − − − − −
( ) {16, 36 , 56, 47, 28, 12}y n ↓
=
( ) {1, 2,3}, ( ) {4,4,2}x n h n↓ ↓
= =
.ستم با پاسخ نمونه واحد درزير داده شده است ، مطلوبست محاسبه خروجی سي LSIورودی يک سيستم : ٢مثال
1 2 3
4 4 22 4 6
4 8 124 8 12
4 22 16 6
-----------------------
12
↓
↓
↓
×
− − − − − − − − − − −
( ) {4 22 16 6}y n ,12 , , , ↓
=
:حل
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٢١
)Stability( : پايداری)BIBO.( داشته باشد يک سيستم گسسته را پايدار گويند هرگاه هر ورودی محدود خروجی محدود
: پايدار باشد آنست که LSIشرط الزم وکافی برای آنکه يک سيستم
| ( ) |n
S h n+∞
=−∞
= < ∞: اثبات
: کفايت شرط -١
( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
| ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) |
k
k k k
y n h n x n h k x n k
y n h k x n k h k x n k M h k M S
+¥
=-¥+¥ +¥ +¥
=-¥ =-¥ =-¥
= = -
= - £ - £ £ ⋅ <¥
å
å å å
| ( ) | | ( ) |x n M , S y n< < ∞ < ∞
|: لزوم شرط-٢ ( ) | , | ( ) | | ( ) |n
x n S h n y n+∞
=−∞
< ∞ = = ∞ = ∞
* *( ) ( ), ( ) 0( ) (0) ( ) (0 ) ( ) | ( ) || ( ) | | ( ) |0, ( ) 0 k k k
h n h k h nx n y h k x k h k h kh n h k h n
+∞ +∞ +∞
=−∞ =−∞ =−∞
− ≠= = − = = = ∞ − =
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٢٢
)Causality: ( عليت
قط تابعی از ورودی در همان لحظه و يک سيستم گسسته را علی گويند هرگاه خروجی درهرلحظه اززمان نفقط و ف . لحظات قبل باشد، بعبارت ديگر خروجی مستقل از آينده ورودی باشد
: علی باشد آنست که LSIشرط الزم وکافی برای آنکه يک سيستم
( ) 0, 0h n n= <: اثبات
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k
y n h k x n k h k x n k h k x n k+∞ − +∞
=−∞ =−∞ =
= − = − + −
شرط الزم و کافی برای علی بودن سيستم . باشدجمله اول تابعی از آينده و جمله دوم تابعی از حال و گذشته ورودی می :آنست که جمله اول صفر باشد يعنی
1
( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0, 0k
h k x n k , x n h k k−
=−∞
− = ∀ = ∀ <
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٢٣
معادالت تفاضلي خطي با ضرائب ثابت
0 0( ) ( )
N M
k rk r
a y n k b x n r= =
− = −
.نست که شرايط اوليه معادله صفر باشد شرط الزم وکافی برای آنکه اين معادله مربوط به يک سيستم خطی باشد ا
آن نيز صفر باشد يا اصطالحا سيستم در شرط علی بودن سيستم آنست که ماداميکه ورودی سيستم صفر باشد خروجی .حالت آرامش اوليه باشد
0 10 0
( ) ( ) ( )M N
r k
r k
b ay n x n k y n k
a a= =
= − − −
) Infinite Impulse Response( سيستم با پاسخ ضربه نامحدود
) Finite Impulse Response( سيستم با پاسخ ضربه محدود
0 00
0
0 ( ) ( ) ( ) ( )
,( )0,
M Mr
kr r
n
ba y n x n r h r x n r
ab
0 n Mh n a OW
= =
= = − = −
≤ ≤ =
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٢۴
در حوزه فرکانس ) LSI( تجزيه و تحليل سيگنالها و سيستمها
(Frequency-
Domain Representation of DT Systems and Signals)
. سيگنال نمايی يک تابع ويژه است LSIبرای يک سيستم گسسته : لم
: اثبات ( )nx ( )ny
( )nh
0( ) j nx n e ω=
0 0 0 0 0
0 0
( )
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
j n k j n j k j n j
k k k
j j k
k
y n h k x n k h k e e h k e e H e
where H e h k e is called frequency response at
w w w w w
w w w w
+¥ +¥ +¥- -
=-¥ =-¥ =-¥
+¥-
=-¥
= - = = =
=
å å å
å
.محاسبه کنيددر صورتی که پاسخ ضربه يک سيستم بصورت زير باشد پاسخ فرکانسی آنرا : مثال
0
1( ) ( ), | | 1 ( ) ( ) = =
1-n j j n n j n
jn n
h n a u n a H e h n e a eae
w w ww
+¥ +¥- -
-=-¥ =
= < = å å
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٢۵
.در صورتی که ورودی بصورت زير باشد خروجی سيستم را محاسبه کنيد در سيستم قبل : مثال
0 0
0 0 0 0
0 00 0 0 0
00 0 0 0
0
( ( )) ( ( ))
( ( )) ( (
( ) ( ) ( )2 2
( ) ( ) ( )2 2
| ( ) | | ( ) |2 2
| ( ) | | ( ) |2 2
j j
j
j j n j j n
j n j j j n j j
j j n H e j j n H e
j j n H e j j n H e
A Ax n ACos n x n e e e e
A Ay n e e H e e e H e
A AH e e H e e
A AH e e H e e
w w
w
j w j w
w j w w j w
w w w w
w w w w
w j
-
- -
- - -
+ - - -
+ - +
= + = +
= +
= +
= +0
0 0
))
0
1 002
00
| ( ) | ( ( ))
( tan ( ))11 2 cos
j
j jA H e Cos n H e
aSinACos n
aCosa a
w
w ww j
ww j
ww-
= + +
= + --- +
:عنیپاسخ فرکانسی يک سيستم تابعی متناوب با دوره تناوب می باشد ي : ١نکته
:پاسخ فرکانسی يک سيستم دارای تقارن هرميتک خواهد بود يعنی : ٢نکته
2π
*( ) ( )
| ( ) | | ( ) | is even function , ( ) ( ) is odd function
j j
j j j j
H e H e
H e H e H e H e
w w
w w w w
-
- -
=
= = -
( 2 )( ) ( )j jH e H ew w p+=
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٢۶
)DTFT ( Discrete Time Fourier Transform)( تبديل فوريه سيگنالهای گسسته
: فوريه زير خواهد بود تابعی پيوسته متناوب با دوره تناوب می باشد دارای بسط سری از آنجا که ( )jH e w2π
( ) ( ) j j n
n
H e h n ew w+¥
-
=-¥
= å( )h n ها ضرائب بسط سری فوريه بوده و بصورت زير محاسبه می گردند:( )
2
1( )2
j j nh n H e e dω ω
πω
π=
. به توابع زوج تبديل فوريه گفته می شود ( ), ( )jH e h nw( ) ( )F jh n H e w«
نوع . فرکانسی يک سيستم گسسته بصورت زير داده شده است پاسخ:مثال. سيستم را از نقطه نظر فرکانسی تعيين کنيد
( ) ( ) , 1nh n a u n a= <
( )n
0
1 1( ) ( ) ( ) = =
1- 1 cos sinj j n j
jn n
H e h n e aeae a ja
w w ww w w
+¥ +¥- -
-=-¥ =
= =- +å å
( )2
1
1 2 cosjH e
a aω
ω =
− +
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٢٧
: ی شودبطور کلی تبديل فوريه سيگنال گسسته بصورت زير تعريف م ( )x n
( )1
2
1( ) { ( )} ( ) , ( ) { ( )}
2j j n j j j n
n
X e F x n x n e x n F X e X e e dw w w w w
pw
p
+¥- -
=-¥
= = = =å ò
:پاسخ ضربه را بدست آوريد . فرکانسی يک فيلتر پايين گذرگسسته بصورت زير داده شده است پاسخ:مثال
1 1 sin( ) { ( )}
2
Wj j n
W
Wnx n F X e e d
nw w w
p p
+-
- = = =ò
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٢٨
:پاسخ فرکانسی آنرا بدست آوريد . پاسخ ضربه يک سيستم گسسته بصورت زير ميباشد : مثال1 , 0 1
( )0,
n Nh n
OW
ì £ £ -ïïï= íïïïî- / 2 / 2 - / 2-1
- - / 2 / 2 - / 20
- ( 1)/ 2
( )1( ) ( ) = = =
1 ( )
( /2)
( /2)
j N j N j Nj NNj j n j n
j j j jn n
j N
e e eeH e h n e e
e e e e
Sin Ne
Sin
w w www w w
w w w w
w ww
++¥ -- -
+=-¥ =
-
--=
- -
=
å å
( /2)| |, 0
( /2)| ( ) | , 0
12( )
( 1)2
Sin NSinH j
N
N
H jN
ww
www
ww
p w
ìïï ¹ïï= íïï =ïïîì -ïï-ïïï= íï - -ï-ïïïî
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٢٩
خواص تبديل فوريه زمان گسسته
) خطی بودن -١ ) ( )1 2 1 2( ) ( )F
j jax n bx n aX e bX eω ω+ ↔ +
) شيفت در حوزه زمان -٢ )00( )
Fj n jx n n e X eω ω−− ↔
( )0 0( )( )F
j n je x n X eω ω ω−↔ شيفت در حوزه فرکانس -٣
) مشتق در حوزه فرکانس -۴ )( )F
jdnx n j X ed
ω
ω↔
تغيير مقياس در حوزه زمان -۵
( ) ( )( ) ( )
1( 2 ) /
0
( ) ( / )
1: ( ) ( )
j jL
Mj j k M
k
Upsampling : y n x n L Y e X e
Downsampling y n X Mn Y e X eM
ω ω
ω ω π−
−
=
= ↔ =
= ↔ =
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣٠
: خواص تقارنی-۶
Conjugate Symmetric Sequence)( دنباله متقارن مزدوج ) الف
( )ex n را دنباله متقارن مزدوج يا هرميتی گويند اگر :*( ) ( )e ex n x n- =
Conjugate antisymmetric)( دنباله نا متقارن مزدوج ) ب
Sequence
: را دنباله نامتقارن مزدوج گويند اگر ( )ox n*( ) ( )o ox n x n- = -
: متقارن و نامتقارن مزدوج نوشت هر دنباله اختياری را ميتوان بصورت مجموع دو دنباله : لم ( )x n
( ) ( ) ( ) (1)e ox n x n x n= +
*: اثبات * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2)e o e ox n x n x n x n x n- = - + - = -
*
*
1(1)&(2) ( ) { ( ) ( )}
21
( ) { ( ) ( )}2
e
o
x n x n x n
x n x n x n
= + -
= - -
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣١
ه صورت دنباله های زوج و فرد برای دنباله های حقيقی دنباله های متقارن مزدوج و نامتقارن مزدوج ب : ١نکته: يعنی: تعريف می شوند
: ( ) ( )
: ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( )}
21
( ) { ( ) ( )}2
e e
o o
e o e
o
even x n x n
odd x n x n
x n x n x n x n x n x n
x n x n x n
- =
- = -
= + = + -
= - -
ريف هستندتوابع متقارن مزدوج و نامتقارن مزدوج برای فضای فرکانس نيز قابل تع : ٢نکته
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
*
* *
1212
j j j j j je o e
j j j j j je o e
X e X e X e X e X e X e
X e X e X e X e X e X e
ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
−
− −
= + = +
= − = +
( ) ( ) ( ) ( )* *,j j j je e o oX e X e X e X eω ω ω ω− −= = −
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣٢
۶-١ (( ) ( ) ( )* * * *( ) ( ) , ( )F F Fj j jx n X e x n X e x n X ew w w-« « - «
۶-٢ (
۶-٣ (
( ) ( )Re{ ( )} , Im{ ( )}F Fj j
e ox n X e j x n X ew w« «
: در صورتی که يک دنباله حقيقی باشد آنگاه ) ۶-۴
و قسمت موهومی آن تابعی فرد از قسمت حقيقی تبديل فوريه يک سيگنال گسسته حقيقی تابعی زوج :١نتيجه : فرکانس خواهد بود
( ) ( )( ) Re{ } , ( ) Im{ }F Fj j
e ox n X e x n j X ew w« «
( )x n
( ) ( ) ( )Im{ ( )} 0 0 j j jox n X e X e X ew w w* -= = =
( ) ( ) ( ) ( )Re{ } Re{ } , Im{ } Im{ }j j j jX e X e X e X ew w w w- -= = -
: و زاويه آن تابعی فرد از فرکانس خواهد بود اندازه تبديل فوريه يک سيگنال گسسته حقيقی تابعی زوج :٢نتيجه
( ) ( ) ( ) ( )| | | | , j j j jX e X e X e X ew w w w- -= = -
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣٣
. فوريه آن تابعی حقيقی و زوج خواهد بود در صورتی که يک دنباله حقيقی و زوج باشد آنگاه تبديل ) ۶-۵ ( )x n
. فوريه آن تابعی موهومی و فرد خواهد بود در صورتی که يک دنباله حقيقی و فرد باشد آنگاه تبديل ) ۶-۶ ( )x n
: خاصيت جمع کانولوشن -٧
( ) ( ) ( )( ) ( ) * ( ) ( ) ( )F j j j
k
y n x n h n x k h n k Y e X e H ew w w+¥
=-¥
= = - « =å
: خاصيت ضرب در حوزه زمان -٨
( ) ( ) ( )( )
2
1( ) ( ) ( )
2F j j jy n x n h n Y e X e H e dw q w q
p
qp
-= ⋅ « = ò
: خاصيت پارسوال-٩
( )2 2
2
1( ) | |
2j
n
x n X e dw
p
wp
=å ò
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣۴
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣۵
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣۶
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣٧
(Discrete-Time Random Signals):سيگنالهای تصادفی زمان گسسته
: د آنگاه مقدار ميانگين اين فرايند برابر است با اگر دنباله را يک فرآيند تصادفی حقيقی زمان گسسته نامن ( )nx
( ) { ( )}xm n = E x n
: اين فرايند مستقل از زمان خواهد بود ) Mean( يانگين اگر فرآيند تصادفی زمان گسسته ايستان باشد آنگاه مقدار م
{ ( )}xm = E x n
( )nx ( )ny( )nh ( ) ( ) ( )
k
y n h k x n k+¥
=-¥
= -å
به ورودی يک سيستم خطی تغيير ناپذير با ) WSS( اگر فرآيند تصادفی زمان گسسته ايستان به مفهوم باز : خواهد بود )WSS( شيفت اعمال گردد آنگاه خروجی سيستم نيز يک فرايند تصادفی
{ ( )} { ( )} { ( ) ( )} ( )k k
E+∞ +∞
=−∞ =−∞
= = = x y xm = E x n m E y n h k x n - k m h k
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣٨
( ) ( ) j j n
n
H e h n ew w+¥
-
=-¥
= å: با توجه به رابطه تبديل فوريه
)0:ميانگين فرايند تصادفی خروجی سيستم برابر خواهد بود با ) ( )j
kH e
+∞
=−∞
= =y x xm m h k m
) : Auto Correlation Function( تابع خود همبستگی
( ) { ( ) ( )}ϕxx m = E x n x n+m
( ) { ( ) ( )} { ( ) ( ) ( ) ( )}
( ) ( ) { ( ) ( )} ( ) ( ) ( )k r
k k
ϕ
ϕ
+∞ +∞
=−∞ =−∞+∞ +∞ +∞ +∞
=−∞ =−∞ =−∞ =−∞
= ⋅ +
= ⋅ + =
yy
xxr r
m = E y n y n+m E h k x n - k h r x n m - r
h r h k E x n - k x n m -r h r h k m+k - r
l: با تغيير متغير زير = r - k
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
C
where C is autocorralation function of
ϕ ϕ ϕ+∞ +∞ +∞
=−∞ =−∞ =−∞+∞
=−∞
= = ⋅ =
=
yy xx xx hhl k l
hhk
m m -l h l+k h k m -l l
l h l+k h k h(n)
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ٣٩
) Power density function( چگالی طيف توان
: تبديل فوريه توابع خود همبستگی را چگالی طيف توان نامند ، داريم
( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) j j m j j mxx xx xx yy yy yy
n n
m e m e m e m ew w w wj j j j+¥ +¥
- -
=-¥ =-¥
« F = « F =å å
* 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) |c C H H H+∞
=−∞
= ↔ = = jw jw jw jwhh hh
k
l h l+k h k e e e e : ونيز با توجه به
2( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) | ( ) | ( )j j jc c e H e eω ω ωϕ ϕ ϕ+∞
=−∞
= ⋅ = ↔ Φ = ⋅Φyy xx hh xx hh yy xxl
m m -l l m m
: همچنين چگالی طيف توان خروجی برابراست با
2 21 1(0) { ( ) } ( ) | ( ) | ( )2 2
j j je d H e e d
= Total average power in output
π πω ω ω
π πϕ ω ω
π π+ +
− −= Φ = ⋅Φ yy yy xx= E y n
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ۴٠
اين فرايند . با مينگين صفر و واريانس باشد ) WSS( در صورتی که فرآيند تصادفی حقيقی گسسته : مثال ضربه حال اگر اين دنباله از يک سيستم خطی تغيير ناپذير با شيفت با پاسخ . نويز سفيد خواهد بود
. وريدعبور کند ، چگالی طيف توان خروجی و توان کل دنباله خروجی را بدست آ
2xσ
2{ ( )} 0, ( ) { ( ) ( )} ( )xx x ϕ σ δ= = =xm = E x n m E x n x n+m m
2( ) ( ) ( ) j j mxx xx xx x
n
m e m ew wj j s+¥
-
=-¥
« F = =å
( ) ( )nn a u n=h
1( ) ( ) ( )1
n jjn a u n H e
aeω
ω−= ↔ =−
h2
2 2 22( ) | ( ) | ( ) | ( ) |
1 2j j j j x
xe H e e H ea aCos
ω ω ω ω σσω
Φ = ⋅Φ = =+ −yy xx
2 21(0) { ( ) } ( )2
jxe d
= Total average power in input
π ω
πϕ ω σ
π+
−= Φ =xx xx= E x n
22
2
1(0) { ( ) } ( )2 2 1 2
j x de da aCos
= Total average power in output
π πωπ π
σ ωϕ ωπ π ω
+ +
− −= Φ = =
+ − yy yy= E y n
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ۴١
سيگنالها و سيستمهای دو بعدی
(unit Step Sequence)دنباله پله واحد دو بعدی ) ١1 , , 0
( , )0 ,
m nu m n
OW
ì ³ïï= íïïî ( )nu1
211−2− 3 4n
1(unit Sample Sequence)دنباله نمونه واحد دو بعدی ) ٢ , 0( , )
0 ,
m nm n
OWd
ì = =ïï= íïïî
Separable Sequence)(دنباله جدايی پذير
بتوان آنرا به صورت حاصلضرب دو دنباله يک بعدی نمايش دنباله دو بعدی را جدايی پذير گويند هر گاه :داد يعنی
( )x m,n
1 2( ) ( ) ( )= ⋅x m,n x m x n
)يعنی. دنباله های نمونه واحد وپله واحد جدايی پذيرند : مثال , ) ( ) ( )m n m nd d d= ⋅( , ) ( ) ( )u m n u m u n= ⋅
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ۴٢
Convolution Sum)( یمحاسبه پاسخ ورودی دلخواه يک سيستم خطی تغيير ناپذيربا شيفت دو بعد
نمايش يک سيگنال دو بعدی با استفاده از دنباله نمونه واحد
( , ) ( , ) ( , )k r
x m n x k r m k n rd+¥ +¥
=-¥ =-¥
= - -å å
( , )m nδ ( , )m nh( )⋅T { ( , )} ( , )T m k n r h m k n rd - - = - -
)0دنباله های جدايی ناپذير : مثال , ) cos( )x m n mnw=
( , ) { ( , )} { ( , ) ( , )} ( , ) { ( , )}
( , ) ( , ) ( , ) * ( , )
k r k r
k r
y m n T x m n T x k r m k n r x k r T m k n r
x k r h m k n r x m n h m n
d d+¥ +¥ +¥ +¥
=-¥ =-¥ =-¥ =-¥+¥ +¥
=-¥ =-¥
= = - - = - -
= - - =
å å å å
å å . موسوم است کانولوشن دو بعدی جمع اين رابطه به
)Stability( : پايداری|: دو بعدی پايدار باشد آنست که LSIشرط الزم وکافی برای آنکه يک سيستم ( , ) |
m nS
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= < ∞ h m n
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ۴٣
1معادالت تفاضلي خطي با ضرائب ثابت 1 2 2
, ,0 0 0 0
( ) ( )M N M N
k r k rk r k r
a b= = = =
= y m -k,n - r x m -k,n - r
:تجزيه و تحليل سيگنالهای دو بعدی در حوزه فرکانس
. يک تابع ويژه است دو بعدی سيگنال نمايی LSIبرای يک سيستم گسسته : لم 1 2( ) ω ω= j( m+ n)x m,n e
1 2 1 2
1 2 1 2
( )
( )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
j j j m n
j j j k r
k r
y m n H e e e
where H e e h k r e
w w w w
w w w w
+
+¥ +¥- +
=-¥ =-¥
= ⋅
= å å
)Causality: ( عليت
): علی باشد آنست که LSIشرط الزم وکافی برای آنکه يک سيستم ) 0, 0 0 = < <h m,n m ,n
: اگر سيستم جدايی پذيرباشد آنگاه . پاسخ فرکانسی سيستم دو بعدی می باشد 1 2( , )j jH e ew w
1 2 1 21 2( , ) ( ) ( )j j j jH e e H e H ew w w w= ⋅
دهقاتي دانشكده برق والكترونيك -دانشگاه صنعتي شيراز
٨٨ پائيز -گروه مخابرات ۴۴
فوريه زير خواهد تابعی پيوسته متناوب با دوره تناوب می باشد دارای بسط سری از آنجا که :بود
1 2( , )j jH e ew w
:می گردند ها ضرائب بسط سری فوريه بوده و بصورت زير محاسبه
1 2 1 2( )( , ) ( , )j j j m n
m n
H e e h m n ew w w w+¥ +¥
- +
=-¥ =-¥
= å å
1 2 1 2( )1 22
1( ) ( , )4
j j j m nH e e d dπ π ω ω ω ω
π πω ω
π+
− −= h m,n e
( )h m,n
. ل فوريه گفته می شود به توابع و زوج تبدي 1 2( , )j jH e ew w ( )h m,n1 22
( ) ( , )DTFT j jh m,n H e ew w«
2π
)2DTFT ( Discrete Time Fourier Transform)( تبديل فوريه سيگنالهای گسسته دوبعدی
: خواص تبديل فوريه دوبعدی
به . بديل فوريه دو بعدی برقرار و قابل اثبات است کليه خواص مربوط به تبديل فوريه سيگنالهای گسسته يک بعدی در مورد ت : عنوان نمونه خاصيت کانولوشن بصورت زير خواهد بود
1 2 1 2 1 22
( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )DTFT j j j j j jy m,n = x m,n * h m,n Y e e X e e H e ew w w w w w« =
1 2 1 22 ( )( ) ( , ) ( , )DTFT j j j m n
m n
where x m,n X e e x m n ew w w w+¥ +¥
- +
=-¥ =-¥
« = å å
