Chapter 3 ระบบตัวเลข ตรรกะและพีชคณิ ......ตว เลขท คนเราใช กน ในช ว ตประจาวน ค

Chapter 3

ระบบตวเลข ตรรกะและพชคณตบลน Number System, Logic and

Boolean Algebra

2

Contents

ระบบตวเลขทใชในคอมพวเตอร

การแปลงเลขฐานของระบบตวเลข

รหสทใชในคอมพวเตอร

ตรรกะหรอลอจก

การพสจนทางบลนลอจก

3

ระบบตวเลขทใชในคอมพวเตอร

ตวเลขทคนเราใชกนในชวตประจ าวนคอเลขฐาน 10 (Decimal) ทประกอบดวยตวเลข 10 ตว คอ เลข 0 ถง 9

ซงตางจากคอมพวเตอรทจะประมวลผลโดยใชระบบเลขฐาน 2 ( binary ) ซงประกอบดวย ตวเลข 2 ตว คอ 0 และ 1 เทานน เพราะภายในคอมพวเตอรมหลกการท างานแบบดจตอล และใชระดบของแรงดนไฟฟา ( voltage ) 2 ระดบในการแสดงสถานะของการ “เปด” (0) และ “ปด” (1)

เลขฐาน 2 จ านวนหนงหลกนนเราเรยกวา “บต” ( bit )

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

on

off

4

ระบบตวเลขทใชในคอมพวเตอร (ตอ)

นอกจากเลขฐาน 2 แลวคอมพวเตอรยงมการใชงานตวเลขฐานอน ๆ อก ดงน เลขฐาน 8 ประกอบดวยตวเลข 8 ตวคอ 0 ถง 7 เลขฐาน 16 ทประกอบดวยตวเลข 10 ตวคอ 0 ถง 9 และตวอกษรอก 6 ตวคอ A , B , C , D , E และ F ซงมคาเทากบ 10 ถง 15 ตามล าดบ

5

ตารางเปรยบเทยบเลขฐาน 10, ฐาน 2, ฐาน 8 และฐาน 16

เลขฐาน 10 เลขฐาน 2 เลขฐาน 8 เลขฐาน 16 0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

6

การแปลงเลขฐาน 10 เปนเลขฐาน 2

ตวอยางท 3-1 จงแปลง 5810 ใหอยในรปเลขฐาน 2

ผลหาร เศษ

58 / 2 = 29 0

29 / 2 = 14 1

14 / 2 = 7 0

7 / 2 = 3 1

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

LSB (Least Significant Bit)

คอ บตทอยทางดานขวาสดและมคานอยสด

MSB (Most Significant Bit)

คอ บตทอยทางดานซายสดและมคามากสด

ดงนนผลลพธของการแปลง 5810 ใหอยในรปเลขฐาน 2 คอ 1110102

7


การแปลงเลขฐาน 10 ทเปนเลขทศนยมใหเปนเลขฐาน 2 1. แบงตวเลขฐาน 10 ทเปนเลขทศนยมออกเปน 2 ชดคอ จ านวนเตมกบทศนยม 2. น าสวนทหนงทเปนเลขจ านวนเตมไปท าการแปลงตามวธการปกต 3. น าสวนทสองทเปนเลขทศนยมมาท าการตงคณดวย 2 โดยใหท าการคณ

ตวเลขตามปกตเหมอนกบการคณเลขฐาน 10 เมอไดผลลพธออกมาใหน าเฉพาะเลขทศนยมของผลลพธนนมาท าการตงคณตอ ท าเชนนไปเรอย ๆ จนเทากบจ านวนหลกของเลขทศนยม ( สวนทสอง ) หรอจนกวาจะไดตามจ านวนหลกทตองการหรอผลลพธมคาเทากบ 0

4. ตวเลขทอยหนาจดทศนยมของผลการคณแตละครงจะเปนผลลพธของเลขฐาน 2 ทตองการ

8


ตวอยางท 3-2 จงแปลง 13.5493210 ใหอยในรปเลขฐาน 2


13 / 2 = 6 1

6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1

1 / 2 = 0 1

0.54932 0.09864 0.19728 0.39456 0.78912

X2 X2 X2 X2 X2

ผลการคณ 1.09864 0.19728 0.39456 0.78912 1.57824

ผลลพธ 1 0 0 0 1

LSB

MSB

ผลลพธของการแปลงสวนทเปนเลขจ านวนเตมเทากบ 11012 ผลลพธของการแปลงสวนทเปนเลขทศนยมเทากบ 100012

ดงนนผลลพธของการแปลง 13.5493210 ใหอยในรปเลขฐาน 2 คอ 1101.100012

9


ในการแปลงเลขฐาน 2 กลบมาเปนเลขฐาน 10 นนสามารถท าไดโดยวธการคณตวเลขฐาน 2 ในแตละหลกดวยคาทอยประจ าหลกคอ 2n ( n คอตวเลขแสดงต าแหนงหลก ) แลวน าผลทไดจากการคณในแตละหลกมาบวกกนทงหมด ตวอยางท 3-3 จงแปลง 1110102 ใหอยในรปเลขฐาน 10 1110102 = (125) + (124) + (123) + (022) + (121) + (020)

= (132) + (116) + (18) + (04) + (12) + (01)

= 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 0

= 5810


10


การแปลงเลขฐาน 2 ทเปนเลขทศนยมใหเปนเลขฐาน 10 แปลงสวนทเปนเลขจ านวนเตม โดยวธการคณตวเลขฐาน 2 ในแตละหลกดวย

คาทอยประจ าหลกคอ 2n ส าหรบสวนทเปนเลขทศนยม ใหน าแตละหลกมาท าการคณดวย 2-n หรอหาร

ดวย 2n ตวอยางท 3-4 จงแปลง 1010.110012 ใหอยในรปเลขฐาน 10

1010.110012= (123)+(022)+(121)+(020)+(12-1)+(12-2)+(02-3)+(02-4)+(12-5)

=(18)+(04)+(12)+(01)+(10.5)+(10.25)+(00.125)+(00.0625)+(10.03125)

= 8 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0.25 + 0 + 0 + 0.03125

= 10.7812510

ดงนน ผลลพธของการแปลง 1010.110012 ใหอยในรปเลขฐาน 10 คอ 10.7812510

11


ในการแปลงเลขฐาน 10 ใหเปนเลขฐาน 8 นนมขนตอนเหมอนกบการแปลงเลขฐาน 10 ใหเปนเลขฐาน 2 แตจะใชเลข 8 เปนตวหารแทน และเศษทไดจากการหารจะมคาตงแตเลข 0 ถง 7 ตวอยางท 3-5 จงแปลง 74210 ใหอยในรปเลขฐาน 8

ผลหาร เศษ 742 / 8 = 92 6

92 / 8 = 11 4

11 / 8 = 1 3

1 / 8 = 0 1

LSB

MSB


12

การแปลงเลขทศนยมฐาน 10 เปนเลขฐาน 8


0.9541 0.6328 0.0624 0.4992 0.9936

X8 X8 X8 X8 X8

ผลการคณ : 7.6328 5.0624 0.4992 3.9936 7.9488

ผลลพธ : 7 5 0 3 7


13



54728 = ( 5 83 ) + ( 4 82 ) + ( 7 81 ) + ( 2 80 )

= ( 5 512 ) + ( 4 64 ) + ( 7 8 ) + ( 2 1 )

= 2560 + 256 + 56 + 2

= 287410


14



71.12758 = (781)+(180)+(18-1)+(28-2)+(78-3)+(58-4)

= (78)+(11)+(10.125)+(20.015625)+(70.001953125)

+(50.000244140625)

= 56 + 1 + 0.125 + 0.03125 + 0.013671875 +0.001220703125

= 57.17114257812510


15


การแปลงเลขฐาน 10 ใหเปนเลขฐาน 16 นนมขนตอนเหมอนกบการแปลงเลขฐาน 10 ใหเปนเลขฐาน 2 แตจะใชเลข 16 เปนตวหารแทน และเศษทไดจากการหารจะมคาตงแตเลข 0-9 และตวอกษร 6 ตว คอ A-F (ใชแทนกรณเศษมคาเปนตวเลขตงแต10-15 ตามล าดบ) ตวอยางท 3-9 จงแปลง 52710 ใหอยในรปเลขฐาน 16


527 / 16 = 32 15 = F

32 / 16 = 2 0

2 / 16 = 0 2

LSB

MSB

ดงนนผลลพธของการแปลง 52710 ใหอยในรปเลขฐาน 16 คอ 20F16

16



0.1875 0.0000

X16 X16

ผลการคณ : 3.0000 0.0000

ผลลพธ : 3 0


17


ในการแปลงจากเลขฐาน 16 ใหเปนเลขฐาน 10 นนมขนตอนเหมอนกบการแปลงเลขฐาน 2 ไปเปนเลขฐาน 10 แตจะใชตวคณประจ าหลกเปนเลข 16 แทน ตวอยาง 3-11 จงแปลง 1AC16 ใหอยในรปเลขฐาน 10 1AC16 = ( 1 162 ) + ( A 161 ) + ( C 160 )

= ( 1 256 ) + ( 10 16 ) + ( 12 1 )

= 256 + 160 + 12

= 42810

ดงนนผลลพธของการแปลง 1AC16 ใหอยในรปเลขฐาน 10 คอ 42810

18


ตวอยาง 3-12 จงแปลง BE.1CD16 ใหอยในรปเลขฐาน 10

BE.1CD16 = (B161)+(E160)+(116-1)+(C16-2)+(D16-3)

= (1116)+(141)+(10.0625)+(12×0.00390625) +(13×0.003173828125)

= 176 + 14 + 0.0625 + 0.046875 + 0.041259765625

= 190.15063476562510

ดงนนผลลพธของการแปลง BE.1CD16 คอ 190.15063476562510

19

การแปลงเลขระหวางเลขฐาน 2 ใหเปนเลขฐาน 8

ระบบคอมพวเตอรมการใชเลขฐาน 16 ( Hexadecimal ) และ เลขฐาน 8 ( Octal ) เปนตวเลขส าหรบภาษาเครองหรอภาษาระดบต า ซงใชแทนเลขฐาน 2

การแปลงเลขฐาน 2 ใหเปนเลขฐาน 8 ท าไดโดยการจดเลขฐาน 2 เปนกลม ๆ ละ 3 บต เรมจากทางดานขวาแลวท าการแปลงเลขในแตละกลมใหเปนเลขฐาน 8

20



แบงเลขฐาน 2 เปนกลม ๆ ละ 3 บต จะไดทงหมด 4 กลม โดยม 1 กลมทม 2 บต เมอแปลงแตละกลมใหเปนเลขฐาน 8 จะไดผลลพธของการแปลงคอ 23658


21


ส าหรบการแปลงเลขฐาน 2 ใหเปนเลขฐาน 16 นนจะใชวธการเดยวกบการแปลงเลขฐาน 2 ใหเปนเลขฐาน 8 แตจะมการจดแบงเลขฐาน 2 เปนกลม ๆ ละ 4 บต ตวอยางท 3-14 จงแปลง 100111101012 ใหอยในรปเลขฐาน 16

แบงเลขฐาน 2 เปนกลม ๆ ละ 4 บต จะไดทงหมด 3 กลม โดยม 1 กลมทม 3 บต

เมอแปลงแตละกลมใหเปนเลขฐาน 16 จะไดผลลพธของการแปลงคอ 4F516

ดงนนผลลพธของการแปลง 100111101012 ใหอยในรปเลขฐาน 16 คอ 4F516

22

การแปลงเลขฐาน 8 ใหเปนเลขฐาน 2

ตวอยางท 3-15 จงแปลง 71648 ใหอยในรปเลขฐาน 2 จดกลม ๆ ละ 3 บต

เลขฐาน 8 7 1 6 4

เลขฐาน 2 111 001 110 100


23

การแปลงเลขฐาน 16 ใหเปนเลขฐาน 2

ตวอยางท 3-16 จงแปลง 8AE716 ใหอยในรปเลขฐาน 2 จดกลม ๆ ละ 4 บต

เลขฐาน 16 8 A E 7

เลขฐาน 2 1000 1010 1110 0111

ดงนนผลลพธของการแปลง 8AE716 ใหอยในรปเลขฐาน 2 คอ 10001010111001112

24

การแปลงจากเลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 ใหเปนเลขฐาน 10

สามารถท าได 2 วธคอ แปลงจากเลขฐาน 8 หรอเลขฐาน 16 ใหเปนเลขฐาน 2 กอนแลวจงท าการแปลง

ใหเปนเลขฐาน 10 แปลงโดยตรงจากเลขฐาน 8 หรอเลขฐาน 16 ใหเปนเลขฐาน 10 โดยวธการจะ

เหมอนกบการแปลงเลขฐาน 2 ใหเปนเลขฐาน 10 แตเปลยนจาก 2n เปน 8n หรอ 16n แทน

25

ตวอยางการแปลงเลขฐานตางๆ

26

รหสทใชในคอมพวเตอร

รหสเลขฐาน 2 (Binary Code)

รหส BCD – 8421 ( Binary Code Decimal – 8421 )

รหส BCO ( Binary Code Octal )

รหส BCH ( Binary Code Hexadecimal )

รหสเอคเซส-3 ( Excess-3 )

รหสเกรยโคด ( Gray Code )

พารตบต ( Parity bit )

27

รหสเลขฐาน 2 (Binary Code)

นบเบล ( Nibble ) คอ เลขไบนารทมขนาดเทากบ 4 บต

ไบต ( Byte ) คอ เลขไบนารทมขนาดเทากบ 8 บตหรอ 2 นบเบล

เวรด ( Word ) คอ เลขไบนารทมขนาดเทากบ 16 บต หรอ 2 ไบต หรอ 4 นบเบล

ดบเบลเวรด ( Double Word ) คอ เลขไบนารทมขนาดเทากบ 32 บต หรอ 2 เวรด หรอ 4 ไบต หรอ 8 นบเบล

บต ( Bit ) : 1

นบเบล ( Nibble ) : 1111

ไบต ( Byte ) : 1111 1111

เวรด ( Word ) : 1111 1111 1111 1111

ดบเบลเวรด : 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

28

รหส BCD – 8421 ( Binary Code Decimal – 8421 )

BCD – 8421 เปนรหสไบนารขนาด 4 บต หรอ 1 นบเบล ทใชแทนเลขฐาน 10 จ านวน 1 หลก โดยปกตแลวเลขไบนารขนาด 4 บตนนสามารถจะแทนคาได 16 คา คอ 0 ถง 15 แตเลขฐาน 10 มเพยงแค 10 คา คอ 0 ถง 9 ดงนนจะใชเลขไบนารตงแต 0000 ถง 1001 เทานน โดยเลขไบนาร 4 บตจะมคาประจ าต าแหนงคอ 8 , 4 , 2 , 1 ( 23 , 22 , 21 , 20 )

ในรหส BCD-8421 นนจะใชเลขตงแต 0000 ถง 1001 โดยจะไมมการใชเลขตงแต 1010 ถง 1111 เนองจากใชแทนคาเลขฐาน 10 ทมคาตงแต 0 ถง 9 เทานน

29

การแปลงเลขฐาน 10 ใหเปน BCD-8421

ส าหรบหลกในการแปลงเลขฐาน 10 ใหเปน BCD-8421 จะใชวธการเดยวกบการแปลงเลขฐาน 16 ใหเปนเลขฐาน 2 คอ จดเปนกลม ๆ ละ 4 บตตอหนงหลก ตวอยางท 3-17 จงแปลง 4910 ใหเปนรหส BCD-8421

แสดงการแปลงเลขฐาน 10 ใหเปนรหส BCD-8421

4 9

0100 1001

ดงนนผลลพธของการแปลง 4910 ใหเปนรหส BCD-8421 คอ 0100 1001

30

รหส BCO ( Binary Code Octal )

BCO มลกษณะเชนเดยวกบ BCD-8421 แตจะใชเลขไบนารขนาด 3 บตในการแทนคาของเลขฐาน 8 ซงมทงหมด 8 คา คอ 0 ถง 7 โดยจะใชเลขไบนารตงแต 000 ถง 111 ตวอยางท 3-18 จงแปลง 728 ใหเปนรหส BCO

7 2

111 010

ดงนนผลลพธของการแปลง 728 ใหเปนรหส BCO คอ 111 010

31

รหส BCH ( Binary Code Hexadecimal )

BCH จะเปนการใชเลขไบนารขนาด 4 บตในการแทนคาของเลขฐาน 16 โดยมลกษณะเดยวกบรหส BCD-8421 แตจะสามารถใชเลขไบนารไดครบทง 16 ชด คอตงแต 0000 ถง 1111 ตวอยางท 3-19 จงแปลง A316 ใหเปนรหส BCH

แสดงการแปลงเลขฐาน 16 ใหเปนรหส BCH

A 3

1010 0011

ดงนนผลลพธของการแปลง A316 ใหเปนรหส BCO คอ 1010 0011

32

ความแตกตางระหวาง BCO และ BCH

รหส BCO จะใชหลกในการแปลงเลขฐาน 8 ใหเปนเลขฐาน 2 คอจดเลขไบนารออกเปนกลม ๆ ละ 3 บต

สวนของรหส BCH กจะใชหลกในการแปลงเลขฐาน 16 ใหเปนเลขฐาน 2 แทน โดยจดเลขไบนารออกเปนกลม ๆ ละ 4 บต

33

รหสเอคเซส-3 ( Excess-3 )

รหส Excess-3 หรอรหสเกน 3 เปนการปรบปรงมาจากรหส BCD-8421 โดยการบวกคารหส BCD-8421 เพมอก 3 และใชหลกในการแปลงของรหส BCD-8421 แตจะมคามากกวาเทานน

เลขฐาน 10 รหส BCD-8421 รหส Excess-3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

34


รหสเกรยโคดเปนการเขารหสขอมลทเปนรหสไบนารอกรปแบบหนง ซงจะมลกษณะทแตกตางจากรหสทกลาวมาแลวทงหมด โดยจะมวธการในการเขารหสทซบซอนมากขนตามล าดบขนตอนตอไปน

ขนตอนท 1 : น าบตทมคามากทสด ( MSB ) ลงมาใสในรหสเกรย ขนตอนท 2 : ท าการเปรยบเทยบคาในบตปจจบนกบบตทอยดานขวา โดย - ถาคาในบตปจจบนเหมอนกบคาในบตทอยดานขวา จะท าใหผลลพธในบตถดไปของรหส

เกรยมคาเทากบ 0 - แตถาคาในบตปจจบนตางกบคาในบตทอยดานขวา จะท าใหผลลพธในบตถดไปของรหสเกรย

มคาเทากบ 1 ขนตอนท 3 : น าผลลพธทไดใสลงในบตถดไปของรหสเกรย แลวกลบไปท าขนตอนท 2 โดย

เลอนบตไปดานขวามอครงละ 1 บต ใหท ากระบวนการนซ ากนไปเรอยๆ จนกระทงหมดทกบต

35


36


พารตบตเปนบตทขยายเพมเขาไปตอทายจากบต LSB ในรหสของเลขไบนารโดยเราจะใชพารตบตในการตรวจสอบรหสไบนารวามความถกตองหรอไมในการสงขอมลจากตนทางไปยงปลายทาง ซงพารตบตนนม 2 รปแบบดวยกนคอ พารตค ( Odd parity ) และพารตค ( Even parity )

37


ในการเพมพารตบตใหเปนพารตค ( Odd parity ) สามารถท าไดโดยการนบจ านวนเลข “1” ในเลข รหสไบนารวามจ านวนเปนเลขคหรอเลขค ถาจ านวนเลข “1” เปนเลขค ( 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , … ) ใหใสเลข 0 ใน พารตบต แตถานบแลวมจ านวนจ านวนเลข “1” เปนเลขค ( 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , … ) ใหใสเลข 1 ในพารตบตแทน

38


สวนในการเพมพารตบตใหเปนพารตค ( Even parity ) สามารถท าไดโดยการนบจ านวนเลข “1” เชนเดยวกบการท าพารตค โดยถาจ านวนเลข “1” เปนเลขคใหใสเลข 0 ในพารตบต แตถานบแลวมจ านวนเลข “1” เปนเลขคใหใสเลข 1 ในพารตบตแทน

39

ตรรกะหรอลอจก ( Logic )

ตรรกะหรอลอจกเปนสวนส าคญในการค านวณของคอมพวเตอร เพราะเปนสวนทแสดงใหเหนกระบวนการตางๆ ทงในดานการค านวณและการเปรยบเทยบ โดยตรรกะหรอลอจกไดถกน ามาใชเปนพนฐานในการออกแบบคอมพวเตอรตงแตอดตจนถงปจจบน ประกอบกบหลกการของลอจกสามารถน าไปประยกตใชในวธการเขยนโปรแกรมไดอกดวย

George Boole เปนนกคณตศาสตรและนกตรรกศาสตร ทพฒนาและคดวธการในการแกปญหาทางลอจกโดยใชสญลกษณทางพชคณต และสรางสาขาทางคณตศาสตรทรจกกนในนามของ Symbolic Logic ( หรอสญลกษณทางตรรก ) ขนมาในระหวางป 1847 ถง 1854

ไดคดหลกการ and กบ or ซงใชหลกการคลายกบการคณและบวก

40

การพสจนทางบลนลอจก

พชคณตบลน ( Boolean Algebra ) ตารางคาความจรง ( Truth table ) ทฤษฎบทพชคณตบลน รปแบบมาตรฐานของสมการพชคณตบลน

ผลรวมของผลคณ ( Sum of product หรอ Minterm ) ผลคณของผลรวม ( Product of sum หรอ Maxterms )

การลดรปสมการพชคณตบลน

41

พชคณตบลน ( Boolean Algebra )

สญลกษณ การประมวลผลทางลอจก ความหมาย

NOT กลบใหเปนตรงกนขาม

OR หรอ

AND และ

XOR ( Exclusive OR ) ถา…และถา…

พชคณตบลนเปนสาขาหนงของคณตศาสตรซงคาทเปนไปไดจากสมการพชคณตบลนนนจะมไดเพยง 2 คาคอ 0 และ 1 ( เทจและจรง ) เทานนโดยจะแสดงสถานะภายในคอมพวเตอรเหมอนกบการ “เปด” และ “ปด” สวตซไฟ

ตารางแสดงสญลกษณทางลอจก

42

ตารางคาความจรง ( Truth table )

AB ( AND ) จะมคาความจรงเปนจรง เมอ A และ B เปนจรงทงค A+B ( OR ) จะมคาความจรงเปนจรง เมอ A และ B ตวใดตวหนงเปนจรง

A( NOT ) จะมคาความจรงเปนตรงกนขาม AB ( XOR ) จะมคาความจรงเปนจรง เมอ A และ B ตวใดตวหนงเปน

จรงเพยงตวเดยวเทานน

43

ตารางคาความจรง ( Truth table )

ตารางคาความจรงนมไวเพอใชบอกสถานะของผลลพธทไดจากการค านวณทางลอจกของสมการพชคณตบลน

A B AB

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A B A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A A

0 1

1 0

A B AB

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

ตารางคาความจรงลอจก AND ตารางคาความจรงลอจก OR

ตารางคาความจรงลอจก NOT ตารางคาความจรงลอจก XOR

44

The End and Questions?

Documents

Chapter 3 ระบบตัวเลข ตรรกะและพีชคณิ ......ตว เลขท คนเราใช กน ในช ว ตประจาวน ค