21

模糊系統模型的模糊控制

1

21.1 Takagi-Sugeno-Kang 模糊系統

• Takagi-Sugeno-Kang (TSK) 模糊系統被提出為另一種模糊系統並且我們在本書中大部分的地方採用。 TSK 模糊系統由下列規則來建構：

(21.1)

其中 為模糊集合， 為常數並且 l=1,2,…,M 。

2

11 1 0 1 1

l l l l ln n n nx C x C y c c x c x 若 為 與 與 為 ，則

liC l

iC

21.1 Takagi-Sugeno-Kang 模糊系統

• 給予 TSK 模糊系統輸入 ，輸出 可由 (21.1) 式中 yl的加權平均算出，也就是

(21.2)

其中加權 wl可被計算(21.3)

3

1( , , )T nnx x x U R

( )f x V R

1

1

( )

M l l

lM l

l

y wf x

w

1

( )li

nl

iCi

w x

21.1 Takagi-Sugeno-Kang 模糊系統

• 如果 TSK 模糊系統的輸出出現它的輸入中的一個，我們得到也被稱為動態 TSK 模糊系統。特別是動態 TSK 模糊系統由下列規則所建構：

(21.4)

4

1

1

( ) ( 1) ( )

( 1) ( ) ( 1) ( )

p p pn

p p p pn

x k A x k n A u k B

x k a x k a x k n b u k

若 為 與 與 為 與 為

則

21.1 Takagi-Sugeno-Kang 模糊系統

• 其中 Aip與 Bp為模糊集合， ai

p與 Bp為常數， p=1,2,…,N， u(k) 為系統的輸入，以及

為系統的狀態輸入。動態 TSK模糊系統的輸出可計算為

(21.5)

其中 xp(k+1) 給予在 (21.4) 以及(21.6)

我們特別利用這個動態 TSK 模糊系統以模型化控制中的程序。

5

( ) ( ( ) , ( 1) , , ( 1))T nk x k x k x k n R x

1

1

( 1)( 1)

N p p

pN p

p

x k vx k

v

1

[ ( 1)] [ ( )]p pi

np

A Bi

v x k i u k

定理 21.1

• 圖 21.1 中閉迴路模糊控制系統等效於由下列規則所建構的動態 TSK 模糊系統：

(21.7)

6

11 1

1

( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ,

( 1) ( ) ( 1)

l p p pn n

nlp p p l

i ii

x k C A x k n C A u k B

x k a b c x k i

若 為 與 與 與 為 與 與 為

則

定理 21.1

• 其中 u(k) 為控制器的輸出， l=1,2,…,M, p=1,2,…,N 並且模糊集合（ Ci

l與 Aip）由歸屬

函數 來特性化。這個動態 TSK 模糊系統的輸出可計算為

(21.8)

其中(21.9)

(21.10) 7

( ( 1)) ( 1))l pi iC A

x k i k i

1 1

1 1

( 1)( 1)

M N lp l p

l pM N l p

l p

x k w vx k

w v

1

( ( 1))li

nl

Ci

w x k i

1

( ( 1)) ( ( ))p pi

np

A Bi

v x k i u k

定理 21.1

• 證　明

(21.11)

(21.12)

8

111

1

1

1 1

1

[ ( ) ( 1)]( 1) ( ) ( 1)

( ) ( 1)

M l lnp p p p l

n M l

l

M n p p l li il i

M l

l

c x k c x k n wx k a x k a x k n b

w

a b c x k i w

w

1 1 1

1 1

( ) ( 1)( 1)

M N n p p l l pi il p i

M N l p

l p

a b c x k i w vx k

w v

21.2 具模糊控制器的模糊模型閉迴路動態

9

21.1　模糊系統模型的模糊控制

(

(21.2) )

TSK

控制器

以 模糊系統的型式表現

(

(21.5) )

TSK

程序

由動態 模糊系統 模型化

( )u k

( 1)x k

( )x k

範例 21.1

假設圖 21.1 中的程序被模型化為二階動態TSK 模糊系統且由下列二個規則建構：

(21.13)

(21.14)

10

1 1 1 11 2

1

( ) ( 1) ( ) ,

( 1) 1.5 ( ) 2.1 ( 1) ( )

L x k A x k A u k B

x k x k x k u k

:若 為 與 為 與 為

則

2 2 2 21 2

2

( ) ( 1) ( ) ,

( 1) 0.3 ( ) 3.4 ( 1) 0.5 ( )

L x k A x k A u k B

x k x k x k u k

:若 為 與 為 與 為

則

範例 21.1

並且圖 21.1 中控制器是由下列二個規則來建構的 TSK 模糊系統：

(21.15)

(21.16)

11

1 1 11 2

1 1 11 2

( ) ( 1) ,

( ) ( ) ( 1)

R x k C x k C

u k k x k k x k

:若 為 與 為

則2 2 2

1 2

2 2 21 2

( ) ( 1) ,

( ) ( ) ( 1)

R x k C x k C

u k k x k k x k

:若 為 與 為

則

範例 21.1

則由定理 21.1 ，我們得到閉迴路系統為動態TSK 模糊系統且由下列四個規則建構：

(21.17)

(21.18)

(21.19)

(21.20)

動態方程式可根據 (21.8)～ (21.10) 來取得。

12

11 1 1 1 1 11 1 2 2

11 1 11 2

( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ,

( 1) (1.5 ) ( ) (2.1 ) ( 1)

S x k A C x k A C u k B

x k k x k k x k

:若 為 與 與 為 與 與 為

則12 1 2 1 2 1

1 1 2 2

12 2 21 2

( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ,

( 1) (1.5 ) ( ) (2.1 ) ( 1)

S x k A C x k A C u k B

x k k x k k x k

:若 為 與 與 為 與 與 為

則21 2 1 2 1 2

1 1 2 2

21 1 21 2

( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ,

( 1) (0.3 0.5 ) ( ) ( 3.4 0.5 ) ( 1)

S x k A C x k A C u k B

x k k x k k x k

:若 為 與 與 為 與 與 為

則22 2 2 2 2 2

1 1 2 2

22 2 21 2

( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ,

( 1) (0.3 0.5 ) ( ) ( 3.4 0.5 ) ( 1)

S x k A C x k A C u k B

x k k x k k x k

:若 為 與 與 為 與 與 為

則

21.3 動態 TSK 模糊系統的穩定性分析

• 考慮動態 TSK 模糊系統 (21.5) ，其中 (21.4) 中的 bp 等於零。我們假設 bp=0 是因為在比較 (21.4) 與 (21.7) 式後我們看到在 (21.7) 式中沒有 bpu(k) 的項。定義狀態向量 x(k)=(x(k), x(k－ 1),…,x(k－ n+1))T以及

(21.21)

則動態 TSK 模糊系統 (21.5) 可重寫為(21.22)

其中 vp定義於 (21.6) 。

13

1 2 1

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

p p p pnn

p

a a a a

A

1

1

( )( 1)

N ppp

N p

p

A k vk

v

x

x

21.3 動態 TSK 模糊系統的穩定性分析

• Lyapunov穩定性定理　考慮離散時間系統且描述為

(21.23)

其中 與 f(0)=0 。

14

( 1) [ ( )]k f k x x( ) nx k R

21.3 動態 TSK 模糊系統的穩定性分析

• 矩陣不等式引理　如果 p 為正定矩陣便得(21.24)

其中 ，則(21.25)

15

, , n nA B P R

0 0T TA PA P B PB P 及

2 0T TA PB B PA P

定理 21.2

• 動態模糊系統 (21.22) 的平衡點 0 為全域漸近穩定是如果存在共同正定矩陣 P 便得

(21.26)

對所有 p=1,2,…,N 。

16

0Tp pA PA P

定理 21.2

• 證　明(21.27)

(21.28)

(21.29)

17

[ ( )] ( ) ( )TV k k P kx x x

1 1

1 1

1 1

1 1

[ ( )] ( 1) ( 1) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

T T

N NT p pp pp pT

N Np p

p p

N N p q T Tp qp q

N N p q

p q

V k k P k k P k

A v A vk P P k

v v

v v k A PA P k

v v

x x x x x

x x

x x

2

1

1 1

[ ( )] ( ) ( )( ) ( ) ( )(

2 ) ( ) /

N Np T T p q T T

p p p pp p q

N NT p qq p

p q

V k v k A PA P k v v k A PA

A PA P k v v

x x x x

x

範例 21.2

考慮由下列二個規則所建構的動態 TSK 模糊系統：

(21.30)

(21.31)

其中模糊集合 F1與 F2的歸屬函數顯示於圖21.2 。對這個系統，我們得到

(21.32)

18

11( 1) ( 1) ( ) 0.5 ( 1)x k F x k x k x k 若 為 ，則

22( 1) ( 1) ( ) 0.5 ( 1)x k F x k x k x k 若 為 ，則

1 2

1 0.5 1 0.5,

1 0 1 0A A

範例 21.2

A1與 A2 的特徵值分別為 與 ，而這些全部都在單位圓內，所以二個區域近似的線性系統 x(k+1)=A1x(k)與 x(k+1)=A2x(k) 為穩定。然而，動態 TSK 模糊系統是由二個規則 (21.30) 與(21.31) 所建構

(21.33)

如圖 21.3 所示為不穩定，而其顯示 (21.33) 在具有初始條件 x(1)=(x(1),x(0))T=(－ 1.7,1.9)T所產生的 x(k)。

19

12

j 12

j

1 2

1 2

1 2( ) ( ( 1)) ( ) ( ( 1))( 1)

( ( 1)) ( ( 1))F F

F F

A k x k A k x kk

x k x k

x xx

21.3 動態 TSK 模糊系統的穩定性分析

20

21.2　模糊集合規則 (21.30)～ (21.31) 的歸屬函數

1F 2F1

( 1)x k 11

21.3 動態 TSK 模糊系統的穩定性分析

21

10

5

0

5

10

151050 15 20 25 30

21.3　具有初始條件的動態 TSK 模糊系統 (21.33) (x(k)) 的響應

T Tx x x(1) ( (1) , (0)) ( 1.7 , 1.9)

引理 21.1

• 假設 Ap(p=1,2,…,N) 為穩定且非奇異矩陣。如果存在共同正定矩陣 P 便得 當 p=1,2,…,N ，則 ApAq為穩定矩陣，對所有的 p,q=1,2,…,N 。

22

0Tp pA PA P

21.3 動態 TSK 模糊系統的穩定性分析

• 這個引理的證明將保留當成習題。引理21.2 顯示如果任意 ApAq為不穩定矩陣，則共同 P 將不存在並且因此動態 TSK 模糊系統可能為不穩定。對範例 21.2 ，我們得到

(21.34)

而其特徵值為 並且其中一個在單位圓的外面。

23

1 2

1.5 0.5

1 0.5A A

2 3

2

21.4 對模糊模型的穩定模糊控制器設計

• 對模糊模型的穩定模糊控制器設計–步驟 1　利用定理 20.1 將閉迴路模糊控制系統表示為動態 TSK 模糊系統。對於程序，參數 ai

p

與 bp以及歸屬函數 μAip為已知，並且對控制器

中的參數（也就是 cil與 μCil

）必須被設計。通常，固定 μCil

並且根據定理 21.2 來設計 cil。

24

21.4 對模糊模型的穩定模糊控制器設計

–步驟 2　選取參數 cil使得所有的區域近似線性

系統為穩定，其中根據 (21.7) ，區域近似線性系統為 x(k+1)=Alpx(k) 具有

(21.35)

其中 l=1,2,…,M 以及 p=1,2,…,N 。

25

1 2 11 2 1

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

p p l p p l p p l p p ln n nn

lp

a b c a b c a b c a b c

A

21.4 對模糊模型的穩定模糊控制器設計

–步驟 3　求出正定矩陣 Plp便得(21.36)

對 l=1,2,…,M與 p=1,2,…,N ，如果存在Pl*p*對一些固定 與 便得

(21.37)

對所有的 l=1,2,…,M與 p=1,2,…,N ，則選取這個 Pl*p*為共同 P ；否則回到步驟 2 重新設計參數 ci

l直到共同 P=Pl*p*被找到。

26

0Tlp lp lp lpA P A P

{1, 2 ,l , }M {1, 2 , , }p N

0Tlp l p lp l pA P A P

範例 21.3

假設程序被模型化為動態 TSK 模糊系統具有下列二個規則：

(21.38)

(21.39)

並且控制器為 TSK 模糊系統且由下列二個規則來建構：

(21.40)

(21.41)

其中 G1與 G2歸屬函數顯示於圖 21.4 ，並且控制器參數c1

1, c21, c1

2與 c22被設計使得閉迴路系統為穩定。

27

11( ) ( 1) 2.18 ( ) 0.59 ( 1) 0.603 ( )x k G x k x k x k u k 若 為 ，則

22( ) ( 1) 2.26 ( ) 0.36 ( 1) 1.120 ( )x k G x k x k x k u k 若 為 ，則

1 1 11 1 2( ) ( ) ( ) ( 1)x k G u k c x k c k 若 為 ，則

2 2 22 1 2( ) ( ) ( ) ( 1)x k G u k c x k c k 若 為 ，則

範例 21.3

28

21.4　範例 21.3 模糊集合的歸屬函數0.3 0.4 0.6 0.7

( )x k

2G1G

範例 21.3

步驟 1　從定理 21.1 我們得到閉迴路系統為動態 TSK 模糊系統且由下列四個規則所建構：

(21.42)

(21.43)

(21.44)

(21.45)

29

11 11 2 1

12

( ) ( ( 1) (2.18 0.603 ) ( )

( 0.59 0.603 ) ( 1)

x k G G x k c x k

c x k

若 為 )與 ，則

12 21 2 1

22

( ) ( ( 1) (2.18 0.603 ) ( )

( 0.59 0.603 ) ( 1)

x k G G x k c x k

c x k

若 為 )與 ，則

21 11 2 1

12

( ) ( ( 1) (2.26 1.120 ) ( )

( 0.36 1.120 ) ( 1)

x k G G x k c x k

c x k

若 為 )與 ，則

22 21 2 1

22

( ) ( ( 1) (2.26 1.120 ) ( )

( 0.36 1.120 ) ( 1)

x k G G x k c x k

c x k

若 為 )與 ，則

範例 21.3

步驟 2　對四個線性子系統 (21.42)～(21.45) 的四個矩陣 Alp為

(21.46)

(21.47)

(21.48)

(21.49)

30

1 11 2

112.18 0.603 0.59 0.603

1 0

c cA

2 21 2

122.18 0.603 0.59 0.603

1 0

c cA

1 11 2

212.26 1.120 0.36 1.120

1 0

c cA

2 21 2

222.26 1.120 0.36 1.120

1 0

c cA

範例 21.3

在多次試誤法後，如果我們選取(21.50)

可找到，則所有四個線性子系統為穩定。步驟 3　針對 (21.50) 式中的參數我們可找到共同 P 。因此，我們的穩定模糊控制器為 TSK 模糊系統且由二個規則 (21.40)～(21.41) 在具有參數 (21.50) 式所建構。

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1 1 2 21 2 1 21.564 , 0.223 , 0.912 , 0.079c c c c

21.5 總結與更多的閱讀• 靜態與動態的 TSK 模糊系統。• 閉迴路的動態方程式在程序模型化為動態

TSK 模糊系統以及控制器為靜態 TSK 模糊系統。

• 考慮確保上述閉迴路系統的穩定性。• 如何設計模糊控制器使得上述閉迴路系統為穩定。

32