บทที่ 6 เสายาว (Long Column)6.1 เกริ่นนํา6.2 แรงวิกฤติ (Critical load)6.3 สมการออยเลอร (Euler’s formula)6.4 ขอจํากัดของสมการออยเลอร (Limitations of Euler’s formula)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 1

6.1 เกริ่นนํา (Introduction)• เสา คอื ชิ้นสวนในโครงสรางที่รับแรงกดที่ปลาย โดยจะมีสัดสวนของขนาดหนาตัดที่เล็กเมื่อเทียบกับความยาว • การเสียหายของเสาจะเปนลักษณะของการโกงเดาะ (Buckling) ที่ขนาดแรงกดซึ่งมีคานอยกวาขนาดแรงที่จะทําใหเกิดการเสียหายในลักษณะของการถกูกดจนยุบ (Crushing) มาก• เสายาว (Long column) จะเสียหายในลักษณะของ Buckling• เสายาวปานกลาง (Intermediate column) จะเสียหายในรูปแบบของ Buckling และ Crushing • เสาสั้น จะเสียหายในรูปแบบของ Crushing (กรณปีกติของแรงในแนวแกนในบทที่ 1)

• เสายาว จะมีมิติของความยาวมากกวามติิดานหนาตัด มากกวา 10 เทากลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 2

ถือวาเสาในอุดมคติ• เปนวัสดุเนื้อเดียว (Homogeneous)• มีขนาดหนาตัดคงที่• มีลักษณะตรงตลอดความยาว• มีแรงกดกระทําในแนวแกนแบบตรงศูนย

(ในทางปฏิบัติแลว จะมีความไมสมบูรณของวัสด ุความคลาดเคลื่อนจากการผลิตและติดตัง้)• ทําใหเสาตองรับทั้งความเคนกดจากแรงในแนวแกนและจากโมเมนตดัดจากการเยื้องศูนยของแรงดวย

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 3

6.2 แรงวิกฤติ (Critical Load)• ถือวาเสายาวมีจุดรองรับที่ปลายแบบสลัก (คือ มีอิสระที่จะหมุน)• มีแรง H กระทําตรงกลาง ทําใหเกิดการโกงออก • คอยๆเพิ่มแรง P เขาที่แตละปลาย (ในขณะเดียวกันคา H ก็จะคอยๆลดลง เพื่อทําใหเสายังโกงดวยระยะเทาเดิม)• จุดสดุทายเปนจุด ที่ P มีคามากที่สุด

(สวน H = 0)

• คาโมเมนตที่ระยะกึ่งกลางเสา มีคาเปนδcrPM =

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 4

• แรงวกิฤติ (Critical load) เปนแรงที่ทําใหเสาอยูในลักษณะโกง โดยไมตองมีแรงดันจากดานขาง เปนแรงกดสูงสุดที่เสายังไมเกิดการเสียหาย โดยเสาจะกลับคืนสูสภาพตรงไดเหมือนเดิม ถาไมมีแรงกดกระทํา• ถาแรง P มีคาสูงเกินกวาแรงวิกฤตินี้ จะทําใหเสาโกงออกดานขางมากขึ้น (หรือเปนการเพิ่มคาโมเมนตนั่นเอง) จนเกิดการเสียหายในลักษณะของการโกงเดาะ (Buckling) ในที่สุด• ดังนั้น แรงวิกฤต ิจึงหมายถึง แรงกดในแนวแกนที่มากที่สุดที่เสายาวจะยังคงอยูในสภาพตรงได (แตจะอยูในลักษณะที่ไมมีเสถยีรภาพ กลาวคือ ถามีแรงรบกวนจากดานขางเพียงเล็กนอย มันจะเสียสมดุล หรือเกิดการเสียหายได)• สมดุลมี 3 ลักษณะ – Stable, Neutral and Unstable Equilibriums

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 5

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 6

6.3 สมการออยเลอร (Euler’s formula)• สมการทํานายพฤตกิรรมของเสายาว ตั้งขึ้นโดยนักคณิตศาสตรชาวสวิส ชื่อ ออยเลอร ในป ค.ศ. 1757• ถือวาเสายาวมจีดุรองรับทีป่ลายแบบสลัก (มีอิสระทีจ่ะหมุน แตไมสามารถเลื่อนออกดานขางได)• ถือวาระยะการโกงที่เกิดขึน้มีขนาดนอยมาก (ประมาณการวาเสาที่โกงแลวยาวเทากับความยาวเดิมของเสาตรง)• ถือวาความชนัของเสนโคงการโกงมีคานอยมาก ดังนั้น

(ก)

• สมการนี้ ไมสามารถทําการอินติเกรทไดโดยตรง เพราะวา โมเมนตไมไดเปนฟงกชั่น ของ x

PyyPMdx

ydEI −=−== )(2

2

แตโดยการใชการเทียบเคียงกับสมการการสั่นอยางงายของวตัถุ ซึ่งมีสมการเปน

และมคีําตอบทั่วไปเปน

ดังนั้น จะไดวา (ข)

• โดยการแทนคา y = 0 ที่ x = 0 ในสมการ (ข) จะได C2 = 0

• และแทนคา y = 0 ที่ x = L จะได

ซึ่งจะเปนไปได 2 กรณี คือ C1 = 0 (เมือ่รวมกับที่ C2 = 0 จะไมมกีารโกงของเสาเลย)

และอกีกรณีหนึ่ง คือ

นั่นคือ เมือ่

kxdt

xdm −=2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

EIPLC sin0 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

mktC

mktCx cossin 21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

EIPxC

EIPxCy cossin 21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

EIPLsin0

πnEIPL = ,.....3,2,1,0=n

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 7

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 8

ดังนั้น จะไดวา (ค)

• โดยสมการนี้ ไมมีความหมายเมือ่n = 0 เพราะวาแรง P = 0 (คือไมมีการโกง)• สําหรับคา n อื่นๆ จะไดลักษณะของการโกงดังรูป• โดยการโกงที่สําคัญที่สุด คือ ที่ n = 1 ซึ่งเกิดขึ้นที่คาแรง P นอยที่สุด • ถาแรง P มากขึ้นกวานั้น ถาตองการใหเกิดการโกงดังในรูป (b) หรือ (c) จะตองมีการเพิม่จดุบังคบัดานขางที่ระยะกึ่งกลางและทุกระยะ 1 ใน 3 ของความยาว ตามลําดับ• ดังนั้น สมการ (ค) จึงเขียนใหมไดเปน

(6.1)

2

22

LEInP π

=

2

2

LEIPcrπ

=

• สมการ (6.1) เปนสมการของแรงวิกฤติ ซึ่ง คือแรงกดสูงสุดที่เสาจะรบัไดโดยปลอดภัย โดยหามาไดจากเสาที่มีจดุรองรับทีป่ลายแบบสลัก • สําหรับเสาที่มจีดุรองรับทีป่ลายแบบอื่นๆ สามารถใชสมการ (6.1) มาประยุกตได โดย การเปรียบเทียบหาวาจากลักษณะการโกงของเสาแบบนั้นๆ มีตําแหนงที่มีคาโมเมนตเปนศูนยที่ไหน (จดุรองรับแบบสลัก โมเมนตเปนศูนยที่ปลายเสา)• ตําแหนงที่โมเมนตเปนศูนย คือ ตําแหนงที่กราฟเปลีย่นเครื่องหมายความโคง• สมการ (6.1) จึงเขียนใหมไดเปน

(6.2)

โดยที่ เปนความยาวเทียบเทา (Equivalent length) ของกราฟการโกงที่มีลักษณะเหมอืนกับเสาที่มจีุดรองรับแบบสลักทั้งสองปลาย• จุดรองรับทีป่ลายเสายิ่งมั่นคงเทาไหร (บงัคับการเคลื่อนที่มาก - ทําใหมีความยาวเทียบเทานอยลง) จะยิ่งสามารถรับแรงกดไดมากขึ้น• การโกงจะเกิดขึ้นรอบแกนของหนาตัดที่มีคา I นอยที่สุด

eL

2

2

ecr L

EIP π=

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 9

ลักษณะจุดรองรับทีป่ลายเสา ความยาวเทียบเทาปลายฝงแนนทั้ง 2 ปลาย (Both Ends Fixed) 0.5Lปลายฝงแนน – สลัก (One Fixed – Other Hinged) 0.7Lสลักทั้ง 2 ปลาย (Both Ends Hinged) Lปลายฝงแนน – อิสระ (One Fixed – Other Free) 2L

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 10

6.4 ขอจํากัดของสมการออยเลอร (Limitations of Euler’s formula)

• เสาจะโกงออกดานขางรอบแกนของหนาตัดที่มีโมเมนตความเฉือ่ยของพื้นที่ (I) ที่นอยที่สุดเสมอ• สมการออยเลอร ระบวุา แรงวิกฤติจะขึ้นอยูกับคา E ของวัสด ุและขนาดของเสา (I) ไมขึ้นกับความแข็งแรงของวัสด ุเชน ถาเปนเหลก็ที่มีขนาดเทากันแลว ก็จะสามารถรับแรงวิกฤติไดเทาๆกัน ไมวาจะทาํจากเหล็กกลา เหล็กหลอ (เพราะมีคา E เทากัน)• การออกแบบเสาที่ดี จะตองทําใหมีคาโมเมนตความเฉื่อยของพื้นที่มากที่สุดเทาที่จะทําได (เชน ทําใหพื้นที่สวนใหญกระจายออกไปไกลจากจดุเซ็นทรอยดใหมากที่สุด) และตองพยายยามทําใหมีคาใกลเคียงกันทั้ง 2 แกนดวย • ความเคนที่เกิดขึ้นในเสา จะตองมคีาไมเกิน Proportional Limit• สมการออยเลอรใชไดเฉพาะกับเสายาว (Long column) เทานั้น

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 11

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 12

• สมการออยเลอร สามารถเขียนในรูปของความเคนได เมือ่ให จะได (6.3)

โดย สมการ (6.3) เปนความเคนวกิฤต ิ(Critical stress) หรือความเคนสูงสุดที่จะเกิดขึ้นในเสาได โดยคาสูงสุดที่จะเปนไปได คือตองไมเกิน Proportional Limit • อัตราสวน เรียกชื่อวา อัตราสวนความยาวเรียว (Slenderness Ratio) โดยคารัศมีไจเรชั่น (r) ที่ใชจะตองเปนคาที่นอยที่สุดของหนาตัด• สมการ (6.3) สามารถใชเพือ่หาวาเสาตนนั้นเปนเสายาวหรือไม โดยการแทนคาความเคนวิกฤติดวยคาที่ Proportional Limit และ คา E ของวัสดุ ซึ่งจะทําใหไดอัตราสวนความยาวเรียวขั้นต่ําสําหรับการเปนเสายาว อาทิเชนสําหรับเหล็กกลา

หรือ

• นั่นคือ สมการออยเลอรจะใชไดกับเหล็กกลาไมได เมือ่ นอยกวา 100

2

2

)/( rLE

AP

e

cr π=

2ArI =

)/( rLe

000,1010200

102006

292

≈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xx

rLe π

100≈rLe

)/( rLe

• ในการออกแบบ จะตองพยายามทําใหมีคานอยที่สุดเทาที่จะทําได

เพราะถาหากมีคามากๆแลว จะยิ่งทําใหคาความเคนวิกฤตนิอยลงอยางรวดเรว็

ขอควรจํา• สมการออยเลอรใชทํานายแรงวิกฤต ิแตไมใชแรงที่ปลอดภัยในการทํางานจริง ดังนั้น จึงตองมีการเผื่อคาความปลอดภัยดวย ซึ่งทําไดดวยการหารดานขวาของสมการ (6.1) หรือ (6.2) ดวยคาเผื่อความปลอดภัย (Safety factor) ซึ่งมักจะอยูในชวงระหวาง 2 – 3 เทา แลวแตชนิดของวัสดุ

)/( rLe

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 13

ตัวอยางที่ 6.1ใหเลือกหนาตัดรูป W ทีม่ีขนาดเบาที่สุดมาทําเสา ซึ่งมีความยาว 7 เมตร มีแรงกระทําในแนวแกนขนาด 450 kN และใชคาเผื่อความปลอดภัยเทากบั 3 โดยสมมุติวา(ก) จุดรองรับที่ปลายเสาเปนสลักทั้งสองปลาย และ(ข) จุดรองรับเปนแบบ ปลายฝงแนน – สลกักําหนดให ความเคนที่ Proportional limit และ คา E เทากับ 200 MPa และ 200 Gpa ตามลําดับ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 14

ตัวอยางที่ 6.1 (ตอ)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 15

ตัวอยางที่ 6.2เสาอลูมิเนียมมีหนาตัดเปนรูปสี่เหลี่ยมผนืผา มีปลาย B ฝงแนน สวนปลาย A มีจุดรองรับแบบผิวเรียบปองกันไมใหเลื่อนตามแนวแกน y แตมีอิสระที่จะเลื่อนไดในแนวแกน z ใหหา(ก) อัตราสวนของดาน a/b ที่ดทีี่สุดในการออกแบบเสาตนนี้เพื่อใหไมเกิดการโกงเดาะ(ข) ขนาดหนาตัดของเสา เมื่อกําหนดให L = 500 mm, E = 70 GPa, P = 20 kN และใชคาเผื่อความปลอดภัย = 2.5

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 6 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 16