Chapter 8 Chapter 8 堆積堆積 8.1 何謂堆積8.1 何謂堆積 8.2 何謂8.2 何謂min-heapmin-heap 8.3 min-maxheap8.3 min-maxheap 8.48.4 Deap Deap

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堆積堆積 堆積 (Heap) 和二元搜尋樹大致上雷同，但有一點點差異。 Heap 在分類上大致可分為 Max-heap, M

in-heap, Min-max heap 及 Deap 。 Heap 也可用在排序上，此稱為 Heap so

rt （堆積排序）。

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 何謂堆積（ Heap ）？ 定義如下：堆積是一棵二元樹，其樹根的鍵值大於子樹的鍵值，而且必須符合第六章 6.2 節所談的完整二元樹。

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 它是一棵 Heap ，而不是二元搜尋樹。 在調整的過程中有二種方式，一是由上而下，從樹根開始與其子節點相比，若前者大則不用交換，反之，則要交換；以符合父節點大於子節點。

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 此種方法也可以讓子節點先比，找出最大者再與其父節點比，此種方法至多只要做一次對調即可，如下圖 23 和 30 中

30 較大，因此 15 和 30 對調。 由於這種方式較快，故若以由上而下調整時，皆以此種方式進行之。

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 一棵 Heap 不是唯一，因為只要父節點大於子節點即可。 需在此提醒讀者的是，當中間有某些節點互換時，需要再往上相比較，直到父節點大於子節點為止。

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 第二種方法為由下而上，先算出此棵樹的節點數目，假設 n ，再取其，從此節點，開始與它的最大子節點相比，若最大子節點的鍵值大於父節點之鍵值，則相互對調，一直做到樹根止。 記得相互對調後要往下繼續比較，看看是否還要對調喔！

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 調整的方法如下：

step 1 ：先將每一節點按完整二元樹的順序加以編號如下圖：

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 step 2 ： ，故從第 2 節點開始與其較大的子節點相比。由於 40 比 23 大，故調換之。

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 step 3 ：接下來將第１個節點與其較大子 節點比，我們發現 40 大於 15 ，故調換之，如下圖：

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 step 4 ：雖然皆已調換完成，但我們發現第

2 節點小於第 4 節點（ 15 ＜ 23 ），故需繼續對調，如下圖：

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積8.1.1 Heap 的加入 承以上的那一棵 Heap ，加入 30 及 50 。 首先按照完整二元樹的特性將 30 加進來，如下圖

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 因為加入 50 後不是一棵 Heap ，所以要加以調整之。

由於原先已是一棵 Heap ，所以，只要將加入的那一個節點往上調整即可。

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積8.1.2 Heap 的刪除 Heap 的刪除則將完整二元樹的最後一節點取代被刪除的節點，然後判斷是否為一棵 Heap ，若否，則再依上述的方法加以調整之。

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 再刪除 40 ，則將 10 取代之。

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 再舉一例，有一棵 Heap 如下：

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 今欲將 40 刪除，則以 15 取代 40 （因為

15 在完整二元樹中是最後一個節點）

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8.18.1 何謂堆積何謂堆積 此時將 15 和其所屬的最大子節點比較，亦即 15 和 35 （因為它大於 30 ）比較，直接將 15 和 35 交換。

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8.28.2 何謂何謂 min-heapmin-heap 上述介紹的 Heap ，我們稱之為 max-he

ap ，在 max-heap 樹中的鍵值，一律是上大於下，節點內的鍵值一律大於其子節點。其中 min-heap 的觀念十分簡單，其節點鍵值一律小於子節點，恰與 max-heap 相反，如下圖即為一棵 min-heap的例子。

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8.28.2 何謂何謂 min-heapmin-heap

由於其加入與刪除的方法與 max-heap十分類似，在此就不重覆說明了。

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8.38.3 min-max heap min-max heap min-max heap 包含了 min-heap 與 max-

heap 兩種 Heap 的特徵。

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8.38.3 min-max heap min-max heap 何謂 min-max heap ：為了方便解說，我們就直接以上圖為例，來定義 min-max

heap ，必須符合下列三項定義： min-max heap 是以一層 min-heap ，一層

max-heap 交互構成的。 樹中為 min-heap 的部分，仍需符合 min-he

ap 的特性。 樹中為 max-heap 的部分，仍需符合 max-h

eap 的特性。

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8.38.3 min-max heap min-max heap8.3.1 min-max heap 的加入 min-max heap 的加入與 max-heap 的原理差不多，但是加入後，要調整至符合上述 min-m

ax heap 的定義。

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8.38.3 min-max heap min-max heap 若加入 5 ，步驟如下：

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8.38.3 min-max heap min-max heap 加入後 18>5 ，不符合第一項定義，將 5與 18 交換。

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8.38.3 min-max heap min-max heap 交換後，由於 10>5 ，不符合第二項定義，將

5 與 10 對調。

此時已符合min-max heap的定義，不須再作調整。

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8.38.3 min-max heap min-max heap8.3.2 min-max heap 的刪除 若刪除 min-max heap 的最後一個節點，則直接刪除即可；否則，先將刪除節點鍵值與樹中的最後一個節點對調，再作調整動作，亦即以最後一個節點取代被刪除節點。假設已存在一棵 min-max he

ap 如下：

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8.38.3 min-max heap min-max heap

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8.38.3 min-max heap min-max heap 若刪除 45 ，則直接刪除。

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8.38.3 min-max heap min-max heap 若刪除 40 ，則需以最後一個節點的鍵值

18 取代 40 。

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8.38.3 min-max heap min-max heap 交換後 18<19 ，不符合第一項定義，將

18 與 19 交換。

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8.38.3 min-max heap min-max heap 交換後，由於 19 小於 32 、 28 、 34 、 31 ，不符合第三項定義，必需將 19 與最大的鍵值 34 交換。

符合 min-max heap 的定義，刪除動作結束。

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8.48.4 Deap Deap 何謂 Deap ： Deap 同樣也具備 max-heap 與 mi

n-heap 的特徵，其定義如下： Deap 的樹根不儲存任何資料，為一空節點。 樹根的左子樹，為一棵 min-heap ；右子樹則為 max-

heap 。 min-heap 與 max-heap 存在一對應，假設左子樹中有一節點為 i ，則在右子樹中必存在一節點 j 與 i 對應，則 i 必須小於等於 j 。

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8.48.4 Deap Deap8.4.1 Deap 的加入 Deap 的加入動作與其它 Heap 一樣，將新的鍵值加入於整棵樹的最後，再調整符合 Deap 的定義，假設已存在一 deap 如右：

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8.48.4 Deap Deap 若加入 25 ，加入後右子樹仍為一棵 ma

x-heap ，且左子樹對應節點 15 小於等於它所對應的右子樹節點 25 ，符合 deap 的定義，加入的結果如下：

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8.48.4 Deap Deap 加入 17 ，加入後的圖形如下所示：

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8.48.4 Deap Deap 此時右子樹仍為 max-heap ，但 17 小於其左子樹的對應節點 20 ，故將 17 與 20交換。

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8.48.4 Deap Deap 加入 40 ，如下所示：

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8.48.4 Deap Deap 加入後左子樹雖為 min-heap ，但 40 大於其對應節點 25 （與節點 40 的父節點對應之右子樹節點），不符合 deap 的定義，故將 40 與 25交換，如下所示：

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8.48.4 Deap Deap 交換後樹中的右子樹不是一棵 max-heap ，重新將其調整為 max-heap 即可。

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8.48.4 Deap Deap8.4.2 Deap 的刪除 Deap 的刪除動作與其它 Heap 一樣，當遇到刪除節點非最後一個節點時，要以最後一個節點的鍵值取代刪除節點，並調整至符合 deap的定義，假設存在－ Deap 如下：

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8.48.4 Deap Deap 若刪除 29 ，則直接刪除即可，結果如下圖所示：

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8.48.4 Deap Deap 刪除 21 ，此時以最後一個節點 22 取代之，再將最後一個節點刪除，檢查左子樹仍為一棵 mi

n-heap ，且節點鍵值 22 小於其對應節點 32 ，不需作任何調整。刪除結果如右：

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8.48.4 Deap Deap 刪除 12 ，以最後一個節點 27 取代。

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8.48.4 Deap Deap 左子樹不符合 min-heap 的定義，將 27子節點中鍵值較小者 16 交換。

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8.48.4 Deap Deap 最後 16 與其對應的 30 比較； 16 小於 3

0 ，並且 27 也小於它所對應 max-heap那邊的 30 ，故不需再做調整。