BAB 12BANGUN RUANG

Disusun Guna Memenuhi TugasMata Kuliah : GeometriDosen Pengampu : Dr. Dwijanto, M.Si

Oleh :

1. Khaerunisak (0401513007)2. Ferdinandus Mone (0401513078)

PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCA SARJANAUNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2014BANGUN RUANG12-1 Prisma dan Limas

Bentuk Piramid atau limas sudah digunakan sejak peradapan kuno. Piramid tersebut merupakan salah satu contoh Bidang-banyak (polyhedron)

Bidang-banyak (polyhedron) adalah suatu objek 3-dimensi yang terdiri dari daerah Polygonal yang disebut sisi (face). Sisi dan Titik pada sebuah sisi disebut rusuk (Edge) dan titik sudut (vertex).

Definisi 12-1 Suatu bidang banyak (polyhedron) adalah sejumlah daerah-daerah segibanyak yang terbatas. Setiap sisi dari suatu daerah segibanyak merupakan sebuah sisi tepat dari sebuah segibanyak yang lain. Jika dua daerah berpotongan maka dua daerah tersebut berpotongan pada sebuah sisi atau satu titik sudut.

Definisi 12-2Gambar di samping adalah Prisma Segitiga jenis khusus dari bidang-banyak (polyhedron).

baselimas merupakan sebuah polihedron yang semua permukaannya memiliki salah satu titik persekutuan kecuali sisi alasnya.

Definisi 12-3basePrisma adalah Polyhedron yang memenuhi sifat-sifat berikut :1. Terdapat sepasang sisi yang terletak pada alas (base) yang sejajar.2. Semua sisi yang lain adalah sebuah jajar genjang.

altitudeLateral faceLateral edgealtitude

Untuk kedua bangun ruang, sisi yang terletak selain pada alas disebut sisi tegak (lateral face).Rusuk yang tereltak selain pada bagian alas disebut rusuk tegak (lateral edge). Bagian antara alas-alas pada sebuah prisma yang tegak lurus pada alas adalah tinggi (altitude). Bagian dari puncak Limas yang tegak lurus pada alas adalah tinggi.

|g

Regular pyramid (limas beraturan)

Slant height (tinggi miring)

Right prism (prisma tegak)

Lateral faceLateral edgeBases are pentagonsTeorema 12-1Rusuk-rusuk tegak (lateral edges) dari sebuah prisma adalah sejajar dan kongruenLimas disebut beraturan jika alasnya berupa segibanyak (Polygon) beraturan dan rusuk-rusuk samping pada Limas kongkruen. Primsa disebut prisma tegak jika rusuk-rusuknya tegak lurus terhadap alasnya.

Bukti : 1. Def 12-3 Semua sisi pada prisma kecuali yang terletak apada alas adalah sebuah jajaran genjang.2. TEOREMADalam jajaran genjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan sebaliknya bila sisi-sisi yang berhadapan dalam segi empat sama panjang, maka segi empat itu adalah jajaran genjang (kongruen)3. Bila dalam segi empat sepasang sisi yang berhadapan sama dan sejajar, maka segi empat itu adlah jajaran genjang (sejajar)4. Sehingga kesimpulannya rusuk-rusuk samping pada sebuh prisma adalah sejajar dan konkruen.

12-2 Luas permukaan Prisma dan Limas

Luas permukaan = jumlah Luas sisi tegak+ jumlah luas sisi alas Luas permukaan limas dan prisma dapat di tentukan dengan menggunakan aturan sebagai berikut:

e6e5e1e2e3hBLimas gambar di samping dengan tinggi h, sisi samping persegi panjang dan alasnya merupan segilima (B), dan rusuk alas e1,e2,e3,e4, makaLuas permukaan sisi tegak

e4= e 1h+ e 2h + e 3h + e 4h + e5 h= h(e 1+ e 2 + e 3 + e 4 + e5)= hp, p merupakan keliling bidang alas.

Teorema 12-2

Diketahui sebuah prisma dengan sisi tegak berbentuk segiempat. Jika ketinggian suatu prisma adalah h dan sisi alas memiliki luas B dan keliling p, maka luas permukaan ditemukan dengan rumus S=hp+2B.

Limas dengan alas segi lima dengan tinggi sisi miring l, panjang rusuk alas e1, e2, e3, e4, e5. Maka Luas permukaan sisi tegak merupakan keliling sisi alas.

Teorema 12-3

Diketehui sebuah limas dengan tinggi sisi miring l , luas alas B, dan keliling p. Luas permukaan limas dapat dicari dengan = l p + B

12-3 Volume Prisma

Postulate VolumeSecara intuitive, kita berfikir volume sebagai sebagai ukuran besar ruang yang ditempati oleh bangun ruang.

Bangun persegi panjang padat (Balok) adalah sebuah prisma dengan rusuk tegak yang tegak lurus dengan alasnya + B Definisi 12-4Setiap bangun ruang ditandai dengan bilangan positif yang disebut volume + B Sebuah persegi panjang padat atau sering disebut kotak .

Postulate Volume Balokhwl

Volume dari Baloks adalah setara dengan perkalian panjang l, lebar w, dan tinggi h. dengan alasnya B

Postulate Volume tambahan

Jika sebuah balok adalah gabungan dan dua benda padat yang tidak mempunyai titik dalam persekutuan, maka volume bangun ruang tersebut adalah jumlah dari dua bangun ruang.

Gambar di samping adalah persegi panjang padat yang tealah diiris menjadi lapisan-lapisan yang tipis. Dan lapisan-lapisan tersebut berubah ke bentuk padat yang tidak teratur. Dan volume yang terbentuk dari benda padat tersebut tetap sama.Begitu juga pada, anggaplah bahwa dua benda padat diiris menjadi lapisan tipis sehingga puncak lapisan yang sesuai memiliki luas area yang sama. Intuisi menunjukkan bahwa volume dari lapisan dua benda padat tersebut adalah sama.

Postulat CavalieriDefinisi 12-5

Misalkan S dan T masing-masing adalah bangun ruang, sedangkan X adalah suatu bidang. Jika setiap bidang yang sejajar T memotong bangun ruang S dan T atas 2 daerah yang sama luasnya, maka: Volume S = Volume TSebuah penampang (cross section) dari bangun ruang adalah daerah persekutuan bangun ruang dan bidang yang berpotongan dengan bangun ruang tersebut.

STX

Teorema 12-4

Untuk sembarang prisma, Volumenya adalah perkalian dari tinggi dan luas permukaan alasnya.

Bukti :

Volume tegak segitiga siku-siku diperoleh dari membelah balok menjadi dua bagian yang sama melalui salah satu bidang diagonal ruangnya. Oleh sebab itu maka, V prisma tegak siku-siku = dari volume balok = x p x l x t = A x tJadi V prisma tegak siku-siku = A x tA = luas alas, t = tinggi prismaSelalnjutnya untuk V prisma segitiga sembarang.

Prisma tegak segitiga sembarang diperoleh dari merangkai 2 prisma tegak segitiga siku-siku dan prisma tegak segitiga siku-siku. Hasilnya akan berupa prisma tegak segitiga sembarang ABC.DEF. Jika A1dan A2 berturut-turut adalah luas alas prisma tegak segitiga siku-siku pertama dan kedua, sedang tinggi kedua prisma sama, maka volume dari prisma tegak segitiga sembarang yang dibentuknya yaitu prisma ABC.DEF adalah ;

F

D

C

Jadi Prisma tegak segitiga sembarang L= A = luas alas, t = tinggi prisma

AB

Selalnjutnya untuk V prisma Segi- n.Prisma tegak segienam dapat disusun (dirangkai) dari 6 prisma tegak segitiga sembarang (lihat gambar 10). Jika A1, A2, A3, , An berturut-turut menyatakan luas alas dari masing-masing prisma tegak segitiga yang dimaksud, sedangkan tinggi masing-masing prisma itu sama yakni t, maka volume prisma tegak segienam tersebut adalah:

12-4 Volume LimasAda banyak ... Berikut sketsa yang ditunjukkan .... limas dengan alas alas berbentuk segitiga. Kita ketahui bahwa volume berisi .....

BhKTeorema 12-7 memberikan rumus dari volume limas. Pertama kita harus menggabungkan dua teorema lain. Teorema tersebut digunakan untuk membangun teorema 12-7.Teorema 12-5Diberikan sebuah limas dengan alas B dan tinggi h. Jika A adalah perpotongan yang sejajar dengan alas dan jarak dati titik puncak ke perpotongan adalah K, maka

TPQRABCt2t1MNBukti :

Jika bidang irisan PQR sejajar dengan bidang alas ABC, sedangkan jarak titik ke puncak adalah t1 dan t2, maka luas bidang irisan dibandingkan dengan luas bidang alas adalah:

Bukti: Karena bidang irisang sejajar dengan bidang alas maka//, //, // ...(1)Akibatnya adalah

Akibatnya TPQ TAB, maka TPR TAC, maka Jika dan menyatakan tinggi limas atas dan limas seluruhnya, akibatnya PQR //ABC maka MR//NC dan TMR TNC.Karena TMR TNC, maka .... (3)Jika nilai perbandingan adalah , akibatnya (2) dan (3) adalah ... (4)

BhLuas A= Luas BSelanjutnya karena PQR sebangun dengan ABC, maka QPR = CAB misalkan sebesar , selanjutnya 2

hDXTeorema 12-6Dua limas dengan dengan tinggi yang sama danluas alas yang sama memiliki volume yang sama.

Teorema 12-7Disajikan sebuah limas dengan tinggi h dan luas alas B, volume dihitung dengan rumus V = 1/3 h B.