Dada las rectas L1 y L2 que se cruzan. Calcular la ecuación vectorial de la recta L3 y graficar, sabiendo que pasa por el origen de coordenadas y es ortogonal a L1 y L2

L1: x−32

= y−13

=1−z4

L2: x=−2 , y−21

= z2

Solución:

Transformamos las ecuaciones simétricas de las rectas a su forma vectorial

L1: (3,1,1 )+t (2,3 ,−4)

L2: (−2,2,0 )+s (0,1,2)

Sea la ecuación vectorial de L3: p=p0+tv, donde el vector “v” es el vector dirección de la recta L3

Como L3 es perpendicular a L1 y L2, el vector dirección de L3−v , es “perpendicular” a los vectores direcciónales de L1 y L2;

→v . (2,3 ,−4 )=0

→v .(0,1,2)=0

Y se sabe también que si un vector forma un ángulo de 90° con otros dos, el producto vectorial de estos dos nos el valor de un vector que tiene la misma dirección que el primero en cuestión. Para este caso tomaros el valor del resultado del producto vectorial

v=(2,3 ,−4 )× ( 0,1,2 )

v=|i j k2 3 −40 1 2 |

v=(10 ,−4,2 )

Entonces la ecuación de la recta será

L3: p=p0+t (10 ,−4,2 )

Y como pasa por (0,0,0 ), la recta será

L3: p=t (10 ,−4,2 )