Choix sociaux et théorie des juex: Résultats récent d'une approche topologique

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Choix sociaux et théorie des juex: Résultats récent d'une approche topologiqueAuthor(s): Graciela ChichilniskySource: Cahiers du Séminaire d'Économétrie, No. 23 (1981), pp. 47-75Published by: L'INSEE / GENES on behalf of ADRESStable URL: http://www.jstor.org/stable/20075542 .

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CHOIX SOCIAUX ET TH?ORIE DES JEUX :

R?SULTATS R?CENTS D'UNE APPROCHE TOPOLOGIQUE

par

Graciela CHICHILNISKY f) Universit? d'Essex et Universit? de Columbia

Gr?ce ? la topologie alg?brique, nous avons pu obtenir une s?rie de r?

sultats aussi bien en th?orie du choix social qu 'en th?orie de jeux. Cette nou

velle approche permet dans le domaine du choix social d'?clairer les th?or?mes

d'impossibilit? et d'en trouver de nouveaux, de caract?riser topologiquement

les ensembles de pr?f?rences individuelles r?solvant le paradoxe de Condorcet.

En th?orie des jeux, nous mettons en ?vidence les liens existant entre la non

manipulabilit? de certains jeux, leur in?quit? et l'existence de leurs ?quilibres de Nash. Ces r?sultats sont appliqu?s aux duopoles de Cournot et de Stackleberg.

1. INTRODUCTION

Ce papier pr?sente un bref aper?u de r?cents r?sultats obtenus dans les th?ories des jeux et du choix social et met en particulier l'accent sur les uti lisations et d?veloppements d'outils de topologie alg?brique et diff?rentielle dans ces domaines. Notre but est d'exposer: nous n'essayons ni de fournir les d?monstrations compl?tes dont nous donnons les r?f?rences correspon dantes ni de passer en revue les r?sultats ant?rieurs qui forment une grande partie de la litt?rature dans ces domaines.

L'objectif est de fournir un guide qui oriente vers les r?cents r?sultats ? l'aide d'une suite d'exemples ?conomiques de nature g?om?trique, et d'in

diquer des directions de recherche potentiellement gratifiantes. L'utilisation

(1) Cette recherche fut financ?e en partie par le Projet UNITAR Technology, Distribution and NORTH-SOUTH Relations, et en partie par NSF Grant SES 7914050.

Je remercie G. Heal, C. Henry, J.M. Larsry et M. Vergne pour leurs remarques et commentaires, et G. D?mange pour la traduction fran?aise.



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d'outils topologiques en analyse ?conomique a une longue tradition qui remonte au travail de Von Neumann sur la croissance ?conomique balanc?e

de 1937 et 1945, travail dans lequel il d?montrait une g?n?ralisation du

th?or?me de point fixe de Brower qui fut ? la base du th?or?me de Kakutani. En th?orie des jeux aussi bien que dans l'analyse de l'?quilibre g?n?ral de

march?, les m?thodes de point fixe ont constitu? les outils les plus largement utilis?s pour d?montrer l'existence de solutions ; elles repr?sentent en fait la

plus grande partie des applications actuelles de la topologie alg?brique ?

l'?conomie (* ). Par contre, la th?orie du choix social a repos? jusqu'ici es

sentiellement sur des m?thodes combinatoires ? l'instar des premiers travaux

d'Arrow [1] et de Black [2]. Cependant, comme je le montrerai dans la

suite, beaucoup de probl?mes de la th?orie du choix social et de la th?orie

des jeux ont, s'ils sont formul?s de fa?on appropri?e, une structure topolo

gique intrins?que qui peut ?tre examin?e avec fruit gr?ce ? des m?thodes

et des outils de topologie alg?brique d?passant les th?or?mes de point fixe.

Ceci permet de tirer parti de toute la richesse des techniques existantes aussi

bien que de d?velopper de nouveaux outils.

Je consid?rerai en th?orie du choix social les paradoxes du choix social

et leur relation aux th?or?mes de point fixe, l'?quivalence entre la condition

de Pareto et l'existence d'un dictateur, la r?gle des majorit?s d?cisives, enfin

des conditions n?cessaires et suffisantes ? la r?solution des paradoxes et

leur ?quivalence topologique avec les conditions classiques de ?single

peakedness? de Black.

Dans le domaine de la th?orie des jeux, je r?sume des r?sultats sur la

manipulabilit? de quelques environnements ?conomiques et sur l'existence

d'?quilibres de Nash. Je montre que la manipulabilit? de certains jeux cor

respond topologiquement ? un paradoxe du choix social. Des conditions

n?cessaires et suffisantes ? l'existence d'?quilibres de Nash (c'est-?-dire non

coop?ratifs) sont donn?es en termes d'in?quit? de certains jeux ; ce concept

d'in?quit? traduit l'in?gale opportunit? offerte aux joueurs de manipuler le jeu. Les mod?les de duopole de Cournot et de Stackelberg sont bri?ve

ment discut?s dans ces dernier cas.

(1) Dans certains travaux r?cents sur l'?quilibre g?n?ral, des m?thodes de topologie

diff?rentielle sont employ?es telles que les th?or?mes de transversalit? de Sard et Thom

afin de d?montrer certaines propri?t?s g?n?riques de r?gularit? de l'?quilibre, voir par

exemple Debreu [19], Smale [28], Chichilnisky [4] ; d'autres r?cents r?sultats utilisent des th?or?mes d'index pour ?tudier l'existence et la stabilit? des ?quilibres. Cependant ces travaux font consid?rablement appel ? la diff?rentiabilit? et ne sont donc pas de na

ture purement topologiques o? seules des propri?t?s de continuit? sont exig?es comme

dans les th?or?mes de point fixe. De fa?on g?n?rale, une propri?t? est dite topologique si elle se conserve lors de d?formation continue des objets consid?r?s.



49

2. CHOIX SOCIAL

La th?orie du choix social se propose de fournir des m?thodes ration

nelles et d?cisions collectives lorsque les individus ont des opinions diverses.

Le vote est un moyen ?vident pour les soci?t?s d'aggr?ger les pr?f?rences des individus en une pr?f?rence collective.

Un vote ? la majorit? peut ?tre en contradiction avec certains crit?res de rationalit? des pr?f?rences comme par exemple la transitivit? du choix

social ; ce ph?nom?ne connu depuis longtemps est habituellement appel? les ?paradoxe du vote? ou l'effet Condorcet. Condorcet le nota le premier en 1785 dans son livre sur la th?orie des ?lections. La th?orie g?n?rale des

?lections devient un champ fertile ? partir des travaux de Black en 1948 et

1949 et de la monographie d'Arrow en 1951. Arrow ?non?a, d'une mani?re

formelle, un ensemble de crit?res apparemment raisonnables d'imposer ? un choix social et d?montra leur incompatibilit?. On peut formaliser le pro bl?me de la fa?on suivante : la proc?dure de vote prend en compte seule

ment les comparaisons, appel?es pr?f?rences ordinales, des individus entre

les alternatives au lieu de consid?rer aussi les intensit?s des pr?f?rences entre les alternatives, appel?es pr?f?rences cardinales : ceci est ? la source des pa radoxes du choix social. En effet pour les espaces de pr?f?rences repr?sent?s par des espaces de fonctions d'utilit? (qui sont des espaces lin?aires) aucun

probl?me n'existe donc pour additionner ces pr?f?rences de fa?on satisfai sante. En particulier, les espaces lin?aires sont topologiquement triviaux. Par

contre, les espaces des pr?f?rences ordinales n'ont pas une structure topo

logique triviale. Ils ne sont pas structurables en espaces lin?aires et donc l'ad dition des pr?f?rences ordinales n'est pas possible. En fait nous montrerons dans ce papier qu'on ne peut pas non plus structurer ces espaces ? l'aide

d'une d?formation continue d'une structure lin?aire. Le probl?me est donc

topologique car il ne d?pend pas des d?formations continues de l'objet consi d?r?. La nature topologique du probl?me de choix social dans certains cas

particuliers sera mise en ?vidence par les r?sultats pr?sent?s ici, comme par exemple la non existence de r?gles continues d'aggregation respectant l'ano

nymit? et l'unanimit?. Je montrerai comment cette derni?re question est reli?e ? un th?or?me de point fixe. Apr?s l'?tude d'autres propri?t?s je r? sumerai certains r?sultats qui montrent que la ?trivialit? topologique? (c'est ?-dire la contractibilit?) de l'espace des pr?f?rences est en fait une condition n?cessaire et suffisante ? l'?limination des paradoxes.

Les probl?mes de choix social ?tudi?s dans cette partie sont semblables aux probl?mes de s?lection d'un vecteur de biens publics. Ils se pr?tent donc d'eux-m?mes ? une repr?sentation dans des espaces euclidiens. Nous consi d?rons un espace d'alternatives X, contenu dans l'orthant positif de l'espace



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euclidien R", c'est-?-dire dans l'ensemble R"+ des vecteurs ? ? composantes

positives. L'espace X est ici un cube dans Rn. On pourrait aussi choisir des

espaces d'alternatives plus g?n?raux dans des espaces euclidiens ; mais les

r?sultats donn?s sont de nature topologique et donc sont aussi valables pour tout espace topologiquement ?quivalent ? un cube de R".

Dans tout l'article nous utiliserons les notations de [11] auquel le lec

teur peut se r?f?rer. Une pr?f?rence p est un champ de vecteurs sur l'espace des alternatives X, C1 est localement int?grale(x). Pour toute alternative*

de X, p (x) est normal aux surfaces d'indiff?rence de la pr?f?rence p en x.

p est normalis? en tout point si bien que llp (x) Il = 1 Vx G X, voir figure 1

ci-dessous. P repr?sente Y espace des pr?f?rences sur X.

Fig. 1. - Une pr?f?rence C1 sur R2 : p(x) est le vecteur gradient en l'alternative x.

Une r?gle de choix social <?> est donc une application qui associe une

pr?f?rence collective ? tout fc-uple de pr?f?rences individuelles, c'est-?-dire,

<t> : P* -> P

o? k est le nombre des votants. L'espace produit Pfc est appel? Y espace des

profils des pr?f?rences individuelles. La continuit? de <?> est d?finie par rap

port ? la topologie usuelle (C1 sup) sur les champs de vecteurs C1 ; notez

que, pour cette topologie, la proximit? des pr?f?rences entra?ne la proxi mit? des surfaces d'indiff?rence.

Uanonymit? est d?finie par la condition

4>(Pi, ... , ̂ )

= 0(Pr?l,.

.. , PUk)

(1) C'est-?-dire, un champ de vecteurs qui admet un prolongement C sur un voi

sinage de X et qui est localement le champ des gradients d'une fonction C1.



51

o? 17 est n'importe quelle permutation de l'ensemble des entiers {0,..., k]. Le respect de l'unanimit? signifie que, lorsque tous les votants ont la m?me

pr?f?rence, l'image par 0 est aussi cette pr?f?rence, c'est-?-dire :

0(P>. -

,p) =

P.

0 est Pareto si <?)(px,. .. , pk) pr?f?re l'aternative x ? une autre y d?s que x est pr?f?r?e ? y par toutes les pr?f?rences du profil (px,

. .. , pk). 0 est

dictatoriale (de dictateur d) si (?>{px,. . ., pfc)

= pd pour un de {1 ,...,&}.

La condition de respect de l'unanimit? est plus faible que la condition de

Pareto, alors que l'anonymit? est plus forte que la non dictature.

Pour simplifier la pr?sentation, je consid?re maintenant un cas parti culier : les pr?f?rences sont lin?aires (c'est-?-dire sont les champs de gra dients de fonctions d'utilit? lin?aires), les votants sont au nombre de deux et l'espace des alternatives X est de dimension deux. Les r?sultats g?n?raux seront aussi ?nonc?s et les r?f?rences correspondantes donn?es. Comme je l'explique dans [9], dans le cas particulier consid?r? maintenant, P = S1 o? S1 est le cercle (de dimension 1) de R2 ; l'espace des profils avec deux votants est donc l'espace produit P x P = S1 x S1, appel? aussi le tore ? deux

dimensions, voir figure 2 ci-dessous.

Fig. 2. ? L'espace des profils des pr?f?rences lin?aires sur R2, avec deux votants.

Dans la suite, D repr?sentera le disque unit?, D = {(x, y) : x2 + y2 < 1},

et 3D sa fronti?re, le cercle S1.

P x P = S1 x S1 est le m?me espace que le carr? unit? lorsque l'on iden tifie les points des c?t?s oppos?s comme dans la partie droite de la figure. A est l'ensemble {(p, p0) : p G S1} et B =

{(p0, p) : p G S1}. La fronti?re du triangle T est la r?union de la diagonale A avec A et B, 9T = A U A U B ;



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cette fronti?re peut aussi ?tre repr?sent?e par les trois cercles reli?s par un

point comme dans la figure 3 ci-dessous.

Nous avons maintenant besoin de deux d?finitions de base de la to

pologie alg?brique. Un espace X est dit contractible (ou topologiquement

trivial) s'il peut ?tre d?form? contin?ment en un de ses points, c'est-?-dire

s'il existe une application continue /:Xx[0,l]^X telle que

/(x, 0) = x V* G X

et f(x, 1) =

x0 pour un x0 de X

? do Fig. 3

Le degr? d'une application continue /: Sx -

S1 not? deg (/) peut ?tre compris comme le nombre de fois o?/(S1) recouvre S1. Par exemple si / est la fonction identit?, deg (/)

= 1 ; si f{p) ?

2p (en radians)

deg (/) = 2 ; si {/(S1 )} n'est pas ?gal ? S1, deg (/)

= 0. Si une fonction/

change l'orientation (par exemple f{x) = ?

x) alors deg (/) est n?gatif. Voir dans [13] une d?finition compl?te du degr? d'une fonction.

a) Paradoxes du choix social et th?or?mes de point fixe

La g?n?ralisation du r?sultat suivant est valable pour toutes les pr? f?rences (non n?cessairement lin?aires), tout nombre (fini) de votants et

tout espace d'alternatives de dimension finie, voir Chichilnisky [11].

Th?or?me 1

Il n 'existe pas de r?gle de choix social <p : PxP^P continue anonyme et respectant l'unanimit?.

Dans le cas particulier consid?r?, on peut donner une d?monstration

g?om?trique simple.



53

Soit A la diagonale, A = {(px,p2) G P xP: px

= p2} .

L'ensemble A ?tant ?quivalent au cercle S1 nous pouvons d?finir le

degr? de 0 restreinte ? A, 0/A : A -> S1, 0 respecte l'unanimit? donc

0(p, p) =

pet deg (0/A) =1 (1)

Nous pouvons aussi d?finir le degr? de la restriction de 0 aux ensembles

A = (p0 x S1) et B =

(S1 x p0) puisque tous deux sont ?quivalents ? des

cercles. La condition d'anonymit? implique

deg (0/A) = deg (0/B) (2)

Le cercle A peut ?tre contin?ment d?form? dans S1 x S1 en la r?u nion des cercles A et B (voir fig. 3) ; il s'ensuit que le degr? de 0 sur A doit ?tre ?gal au degr? de 0 sur la r?union A U B (voir aussi [9]) ;

deg (0/A) = deg (0/A U B) (3)

D'autre part, le degr? de 0 sur la r?union A U B est ?gal ? la somme

des degr?s de 0 sur A et sur B car A et B sont des cercles :

deg (0/A u B) = deg (0/A) + deg (0/B) (4)

De (1), (2), (3) et (4) nous obtenons une contradiction puisque ces

?quations impliquent que un est un nombre pair. Ainsi, aucune r?gle conti nue ne respecte ? la fois l'anonymit? est l'unanimit?.

Exemples : Nous expliquons maintenant pourquoi deux candidats apparem ment naturels ? une telle r?gle 0 ne satisfont pas en fait toutes les condi

tions. La discussion repose ici sur l'hypoth?se de non saturation des pr? o f?rences dans l'int?rieur X de l'espace des alternatives. Nous examinons

o dans [5] et [8] des cas o? des points de saturation existent dans X. Soient

px et p2 deux vecteurs de S1 et 0 (px, p2 ) le vecteur unit? de direction d? termin?e par la moiti? de la distance angulaire entre les deux vecteurs px et p2 , voir figure 4 page suivante.

Maintenant, faisons tourner l'extr?mit? de px le long du cercle S1 dans le sens des aiguilles d'une montre ? partir de p2. Lorsque px tend vers p2 ? la fin de la rotation, (?>(px, p2) doit tendre vers p3

? ~p2 par d?finition

de 0. Cependant, (?)(px, p2) devrait aussi tendre vers p2, lorsque px tend vers p2 si 0 ?tait continue et respectait l'unanimit?. Ainsi cette r?gle ne satisfait pas toutes les conditions. Un probl?me semblable arriverait si la

r?gle associait ? (px, p2) la moiti? de la plus grande distance angulaire entre

Pi etp2.

Une autre r?gle d'aggr?gation pourrait ?tre celle donn?e par l'addi

tion des deux vecteurs px et p2 puis par la normalisation de la somme

obtenue,

Pi + Pi

IIPi + P2 ?



54

P3 =

0(P2, lim p ) Fi 4

Cependant cette r?gle pose plusieurs probl?mes. D'abord l'image de 0

peut violer la condition de d?finition d'une pr?f?rence ; elle n'est pas tou o

jours une pr?f?rence continue lin?aire non nulle dans X, c'est-?-dire un

vecteur de SVO, par exemple si p2 = ?

px. Mais de plus, m?me si la satu

ration compl?te des pr?f?rences dansX est admise comme dans [5], d'autres

probl?mes se posent si les pr?f?rences ne sont pas n?cessairement lin?aires, voir [5]. En particulier, m?me si px et p2 sont des champs de vecteurs

localement integrables, le champ de vecteurs q{x) associ? par cette r?gle :

pAx) + p2{x) Va: G X, q (x)

= -- n est pas en g?n?ral un champ de vec

llpj(x) + p2(x) Il teurs integrable sur X. On le v?rifie ais?ment car m?me si px etp2 satisfont

les conditions d'int?grabilit? de Frobenius, q (x) ne les satisfait en g?n?ral

pas, ? moins que px (x) etp2 (x) soient constants, c'est-?-dire les pr?f?rences individuelles lin?aires. Une telle r?gle ne peut donc pas d?finir une appli cation de ?k dans P puisque son image n'est pas dans P, ni m?me dans tout

autre espace de pr?f?rences (localement ou globalement) integrables, voir

[5]. Des probl?mes analogues se posent lorsque l'on cherche une r?gle conti

nue d'aggr?gation satisfaisant (2) et (3) pour un espace d'alternatives de di

mension trois ou plus, mais les visualiser n'est pas aussi facile qu'en dimen

sion deux.

Maintenant, je vais parler bri?vement du lien entre le paradoxe et les

th?or?mes de point fixe. Le r?sultat suivant est d?montr? dans [9].

Th?or?me 2

L'existence d'une r?gle de choix social continue, anonyme et qui res

pecte l'unanimit? comme dans le th?or?me 1 est ?quivalente ? l'existence

d'une fonction continue, sans point fixe, du disque D dans lui-m?me.



55

L'id?e sous-jacente ? ce r?sultat est simple. On prouve d'abord que le paradoxe de choix social du th?or?me 1 ?quivaut au probl?me du pro longement d'une certaine fonction continue g d?finie sur la fronti?re 3D du disque D ? valeur dans 3D g : 3D -> 3D, en une autre fonction/de tout le disque D dans 3D ; /: D -? 3D. Le probl?me est donc l'existence d'une

application continue /: D -* 3D telle que le diagramme suivant commute. D

(5) 3D ? 3D

L'?quivalence entre le paradoxe et le probl?me de prolongement de (5) s'exprime ainsi : si T est le triangle de P x P indiqu? dans la figure 3, T est o ?quivalent au disque D et la fronti?re 3D correspond ? 3T =AUAUB. Notez que sur T les conditions impos?es ? la r?gle de choix social 0 se tra duisent par des restrictions sur le comportement de 0 seulement sur A, A et B ; en effet l'anonymit? se traduit par 0/A

= 0/B et le respect de l'una

nimit? par 0/A =

id/A. De plus, on voit ais?ment qu'une fonction conti nue g : 3T~* S1 respectant l'unanimit? et l'anonymit? existe toujours. Soit, par exemple g/A(p, p)

= p et g/B

= g/A

= p0 si A D A n B =

(p0, p0). Le paradoxe du choix social est r?solu si et seulement si une telle fonction peut ?tre prolong?e en une fonction /: T-? S1 puisqu'une telle / entra? nerait l'existence d'une fonction 0 : S1 x S1 -* S1 satisfaisant toutes les pro pri?t?s requises. Ainsi la solution du paradoxe correspond ? l'existence d'un

prolongement continu d'une fonction g : 3D -* 3D (comme dans (5)). Mais un tel prolongement de g : 3D -^ 3D en /: D-* 3D existe si et seulement si deg (g)

= 0 ce qui est ?quivalent (voir [9]) au th?or?me du point fixe de Brouwer. Cette derni?re remarque met donc en lumi?re la relation entre le paradoxe et le th?or?me de point fixe.

b) Equivalence topologique entre la condition de Pareto et l'existence d'un dictateur

Les th?or?mes 1 et 2 montrent que le paradoxe apparait parce que les

propri?t?s apparemment naturelles d 'anonym it? et de respect d'unanimit? sont topologiquement en contradiction. Elles sont de mani?re ?vidente reli?es aux propri?t?s plus traditionnelles qui furent ? la base du th?or?me d'Arrow : Vabsence de dictature et la condition de Pareto. Cependant, les axiomes du th?or?me d'Arrow ne sont pas comparables aux conditions

d'anonymit? et de respect d'unanimit?, car Pareto est clairement plus forte

que l'unanimit? alors que l'absence de dictature est plus faible que l'ano

nymit?. De plus, un autre axiome quelque peut controvers? est impos? dans le paradoxe d'Arrow : l'axiome d'ind?pendance des alternatives irr?levan

ix



56

tes(* ), alors qu'ici la continuit? est exig?e ? la place. Une question naturelle est donc de savoir si, malgr? ces diff?rences, le paradoxe ?tudi? par Arrow a aussi une structure topologique. Je vais indiquer maintenant que la condi

tion Pareto est en fait topologiquement ?quivalente ? l'existence d'un dic tateur et ainsi la nature topologique des paradoxes plus traditionnels sera

mise en ?vidence. Cela ?tablira de plus que l'axiome controvers? d'Arrow

d'ind?pendance des alternatives irrelevantes n'est pas n?cessaire ? l'exis tence d'un paradoxe. Ce dernier axiome peut ?tre consid?r? comme un

moyen de r?duire ? trois alternatives seulement le probl?me et ainsi de

pouvoir appliquer le paradoxe de Condorcet. Un commentaire plus pouss? sur les domaines de pr?f?rences peut ?tre utile ici. M?me si le paradoxe d'Arrow apparait en principe s'appliquer aux pr?f?rences monotones (non

pas comme notre th?or?me 1) ce n'est pas en fait le cas gr?ce ? l'axiome

d'ind?pendance(2 ). Voir aussi la discussion dans [5].

Les r?sultats donn?s ci-dessous sont des cas particuliers de ceux de [14]

qui prouvent l'?quivalence topologique entre les r?gles v?rifiant Pareto et

les r?gles dictatoriales, ceci quels que soient la dimension de l'espace des

alternatives, les pr?f?rences C1 et le nombre des votants. La d?monstration

de ce r?sultat fait appel ? la topologie alg?brique. Une d?finition est tout

d'abord n?cessaire. Une r?gle 0 est dite topologiquement ?quivalente ?

une autre 0 s'il existe une d?formation continue de 0 en 0, c'est-?-dire une application continue

tt: PxPx [0, l]-> P telle que

w(Pi,P2>?) =

#(Pi>P2)

*(Pi, P2> D= 0(Pi>P2) V(pl5p2)GPxP

Nous examinons maintenant la cons?quence topologique de la condi

tion Pareto. Si px et p2 sont deux pr?f?rences dans P, l'ensemble des alter

natives que px et p2 tous deux pr?f?rent ? x (voir fig. 5) est le c?ne dual D

de (px, p2), c'est-?-dire l'ensemble {q G S1 : (q px) > 0 et {q* p2) > 0}. La condition Pareto signifie que la pr?f?rence sociale (t>(plfp2) pr?f?re toutes ces alternatives ? x, donc 0 est Pareto si et seulement si

0(p1,p2)G{</GS1:(<rr)>O VrGD}

(1) L'axiome d'ind?pendance des alternatives irrelevantes impose ? la pr?f?rence

collective sur tout sous-ensemble d'alternatives de ne d?pendre que des pr?f?rences in

dividuelles restreintes ? ce sous-ensemble et non pas aussi des pr?f?rences individuelles

sur des alternatives ext?rieures ? ce sous-ensemble.

(2) En effet la d?monstration du paradoxe d'Arrow repose sur l'existence d'un

?triplet de Condorcet?. Ce besoin, et l'axiome d'ind?pendance entra?ne que le do

maine des pr?f?rences o? le paradoxe d'Arrow s'applique consiste en fait de pr?f?

rences non monotones, voir [5].



57

Fig. 5. - L'ensemble hachur? de lignes circulaires est le c?ne dual D de (pi, p2). L'en

semble ray? est le c?ne engendr? par px et p2, i.e. C (px, p2).

ou encore si et seulement si <?>{px, p2) appartient au dual du c?ne dual de

Pi> P2 Qui es* pr?cis?ment le c?ne engendr? parpj et p2 not? C(px, p2). On peut alors montrer que, si 0 est Pareto, son degr? sur les ensembles:

A= {(p,q)eS1xS1: q =

p0}

et B= {(p, ^eS'xS1: q =

p0 }

(qui sont tous les deux des cercles) doit ?tre positif et au plus ?gal ? 1. En

effet, lorsque p varie dans S1, l'issue 0 (p0, p) est dans le c?ne C(p0, p). Ceci implique en particulier que, lorsque la seconde pr?f?rence p varie dans

S1 et la premi?re reste en p0 alors l'issue 0(po, p) ne peut parcourir tout

S1 que si p l'a elle-m?me parcouru. Ainsi, le degr? de 0 restreinte ? B est au plus ?gal ? 1 et clairement il ne peut pas ?tre n?gatif. Le m?me r?sultat

est valable pour le degr? de 0 sur A. De plus, comme nous le montrons

dans la suite, les degr?s de 0 sur A et sur B ne peuvent pas ?tre simultan?

ment ?gaux ? 1 lorsque 0 est Pareto. En effet d'apr?s le prochain th?or?me

3, si 0 est Pareto, 0 est topologiquement ?quivalente ? une r?gle dictato riale. Le degr? d'une application ne d?pend que de sa classe d'?quivalence

topologique. Une r?gle dictatoriale est ?videmment de degr? 0 sur l'un

des ensembles A et B et 1 sur l'autre ; par cons?quent son degr? sur A U B

est 1. Ceci reste vrai pour les r?gles Pareto puisqu'elles sont ?quivalentes ? des dictatoriales (th?or?me ci-dessous) : comme d'autre part

deg (0/A UB) = deg (0/A) + deg (0/B)

un seul des degr?s (deg 0/A ou bien deg 0/B) est ?gal ? 1 et l'autre est n?

cessairement nul lorsque 0 est Pareto.



58

Th?or?me 3

Si 0 : Px P -* P est Pareto, elle est topologiquement ?quivalente ? une

r?gle dictatoriale.

D?monstration :

Soient px et - px deux vecteurs diam?tralement oppos?s de S1. La

condition Pareto et la continuit? de 0 impliquent

soit 0(p1,-p1) =

P1) soit 0(p1,-p1) =

-p1

Sans restreindre la g?n?ralit?, supposons 0(p1,-p1) =

p1. Par continuit?, nous avons donc 0(p2,

- p2)

= p2 pour tout p2 de S1. De plus, par la

continuit? et la condition Pareto, <p(px, q) est distinct de - px pour tout

q de S1, q =? ? px puisque <p(px, q) doit appartenir au c?ne C(Pi, q) si

(Pj, q) engendre un c?ne, c'est-?-dire si q est distinc de - px. Ainsi, pour

toutpj de S1, (Pip^q)^- pifVq G S1. Soit alors n : P x P x [0, l]-> P

d?finie par

D'apr?s les remarque pr?c?dentes, le d?nominateur ne s'annule jamais, donc 7T est bien d?finie et ?videmment continue.

De plus, n(p1,p2,0)= <t>{pXip2)

et it(px, p2> 1) =

px, donc 7r d?finit une d?formation de 0 en

une r?gle dictatoriale (le premier votant est le dictateur dans notre cas).

Ce r?sultat est un cas particulier du r?sultat g?n?ral obtenu dans [14] o? l'on montre que toute r?gle Pareto (pour tout nombre k > 2 et tout

nombre de biens n > 2) correspond ? une projection (c'est-?-dire une r?gle dictatoriale sous certaines conditions. Le r?sultat est aussi d?montr? dans

[14] pour des pr?f?rences C1 quelconques (non n?cessairement lin?aires). La figure 6 ci-dessous donne l'exemple d'une r?gle de choix social

d?finie pour deux agents, des pr?f?rences lin?aires et un espace des alter

natives de dimension 2, 0: S1 x S1 -

S1. La courbe dessin?e sur la partie

gauche de la figure 6 repr?sente 0"1 (p), l'image r?ciproque par 0 de la valeur

p de S1. Sous des hypoth?ses de diff?rentiabilit? continue et de r?gularit? de 0, cette courbe est une vari?t? de S1 x S1. Notez alors que tout point

p de S1 est atteint exactement deux fois quand (p, q) parcourt A et B.

Par cons?quent deg (0/A) = 2 et 0 n'est pas Pareto d'apr?s les r?sultats

pr?c?dents ; elle n'est pas non plus d?formable en une r?gle dictatoriale.



59

Fig. 6

c) R?gles de majorit? d?cisive

On dit qu'une r?gle de choix social v?rifie une condition de majo rit? d?cisive d?s que l'issue choisie co?ncide avec la pr?f?rence de la majo rit? dans le cas tr?s particulier suivant : les agents forment deux groupes

homog?nes, les individus d'un m?me groupe dont tous la m?me pr?f?rence et les pr?f?rences des deux groupes sont diam?tralement oppos?es. 0 est

donc une r?gle de majorit? d?cisive si pour tout profil (px, p2,. . . , pk) des agents tel que pi

= p ou pf

= ? p V/ G {1,. . . , k} alors

0(Pi,.. -, Pk) =

P

si le nombre des agents de pr?f?rence p est sup?rieur au nombre des agents de pr?f?rence

- p.

La r?gle de majorit? satisfait clairement ? la condition de majorit? d?

cisive, la r?ciproque est fausse car la condition de majorit? d?cisive est nettement plus faible que celle de la majorit?. Par exemple, si toutes les

pr?f?rences px,. . . , pk des votants sont distinctes mais si tous pr?f?rent une alternative x ? une autre y, la condition de majorit? implique que

0(Pi> - f Pk) pr?f?re x ? y alors que la condition de majorit? d?cisive

n'impose rien dans ce cas ; autrement dit (?>(px,. . . ,Pfc)peut tr?s bien pr? f?rer y ? x car la condition de majorit? d?cisive est seulement contraignante pour des pr?f?rences identiques ? l'int?rieur de deux groupes d'agents, et diam?tralement oppos?es entre les deux groupes, sur tous les choix pos sibles dans X.



60

La continuit? des r?gles de choix social par rapport aux pr?f?rences individuelles peut ?tre interpr?t?e comme une condition de stabilit? struc turelle ; en effet elle impose qu'une petite variation des donn?es du pro bl?me (c'est-?-dire des pr?f?rences individuelles) ne produise pas des va

riations d?sordonn?es de l'issue. Puisque les pr?f?rences C1 sont des fonc tions de l'espace des alternatives X ? valeur dans R", la condition de conti nuit? sur la r?gle de choix social correspond ? la notion, fr?quemment uti lis?e en physique math?matique, de stabilit? structurelle des applications d?finies sur des espaces de fonctions. Cette notion correspond, gr?ce ? un

choix convenable de la topologie, ? celle de stabilit? de Liapounov souvent

utilis?e en ?conomie.

Th?or?me 4

Toute r?gle de choix social v?rifiant la condition de majorit? d?cisive

est structurellement instable.

Voir dans [13] une d?monstration de ce th?or?me.

Nous en d?duisons le corollaire suivant

Corollaire 5

Les r?gles de majorit? sont structurellement instables.

d) Intensit? des pr?f?rences et les fonctions d'utilit? de von Neumann

Morgenstern

Jusqu'? pr?sent les r?sultats que nous avons pr?sent?s ?taient valables

pour des pr?f?rences ordinales, donn?es par des champs de vecteurs p(x) normalis?s en chaque alternative x, i, e, \\p(x)l

- 1. Une telle pr?f?rence

permet seulement de ranger les alternatives par ordre, mais ne permet pas

de mesurer l'intensit? des pr?f?rences parmi les alternatives. Il est donc

naturel de s'interroger si les r?sultats s'?tendent ? des pr?f?rences plus

g?n?rales, par exemple dans le cas o? on peut exprimer que la diff?rence

de l'intensit? de pr?f?rences de H a est sup?rieure ? l'intensit? de c ? a.

Pour pouvoir consid?rer de tels cas plus g?n?raux, nous ?tudions dans

[8] des pr?f?rences cardinales. Une pr?f?rence cardinale est donn?e par un ordre des utilit?s des alternatives, qui est invariant par les transforma

tions lin?aires positives, et seulement par elles. De telles pr?f?rences per mettent d'exprimer pr?cis?ment l'id?e de l'intensit? des pr?f?rences entre

des choix. Les pr?f?rences cardinales ont ?t? ?tudi?es dans la litt?rature ;

pour des r?f?rences, voir [8]. Dans le cas d'un choix avec risque, les pr? f?rences cardinales co?ncident avec les utilit?s de von Neumann-Morgenstern sur l'ensemble des ?v?nements incertains, comme nous l'avons montr?



61

en [8]. Des r?sultats sur l'agr?gation des pr?f?rences cardinales sont donc valables pour l'agr?gation des pr?f?rences avec risque.

Contrairement aux pr?c?dents r?sultats, nous allons consid?rer main tenant des ensembles discrets de choix d'alternatives, soit finis, soit d?

nombrables. Dans le cas d'un ensemble fini de choix X = {xx,

.. ., xn}, on montre dans [8] que l'ensemble des pr?f?rences cardinales non nulles est formellement ?quivalent ? l'ensemble :

R= {(Pi>...,P?) tel que 0 < p, < 1 V/,

et p, =

0, pk = 1 pour quelques /, k}

Chaque pt d?signe la valeur d'utilit? de choix /. De plus, l'espace des pr? f?rences cardinales consid?r? maintenant contient aussi la pr?f?rence nulle, i.e. la pr?f?rence qui donne la m?me valeur d'utilit? ? tous les choix, repr? sent?e par le vecteur {0}

= (0,. .. , 0).

L'espace des pr?f?rences cardinales Q est donc Q = R U {0}. Cet es

pace a deux composantes convexes. Une d?finition analogue est donn?e

pour l'espace des pr?f?rences cardinales avec des alternatives d?nombrables.

L'espace Q dans ce cas est un sous-ensemble d'un espace de Banach, de suites d?nombrables [8]. Le probl?me de l'agr?gation ad?quate des pr?f? rences cardinales est formalis? par des fonctions 0 : Qk -> Q o? k est le nombre fini des agents de l'?conomie. Remarquons que la pr?f?rence so

ciale peut ?tre indiff?rente parmi tous les choix.

Nous avons le r?sultat suivant :

Th?or?me 6

Si l'espace des alternatives est fini, il n'existe pas de r?gle de choix so

cial 0 continue, d?finie sur l'espace des pr?f?rences cardinales 0 : Qk -* Q

qui respecte l'anonymit? et l'unanimit?. Ce r?sultat est aussi valable pour les fonctions d'utilit? de von N eumann-Morgenstern.

Le r?sultat est d?montr? dans [8] ; il s'obtient en ?tudiant les propri? t?s topologiques de l'espace des pr?f?rences cardinales. On en d?duit

qu'avec un nombre fini d'alternatives (X est un ensemble fini) une des

composantes connexes de l'espace Q est hom?omorphe ? une sph?re de Rn et n'est donc pas topologiquement trivial. Par contre avec un nombre infini d'alternatives (X infini), cette composante connexe de Q est hom?o

morphe sous certaines hypoth?ses ? la sph?re unit? d'un espace de Banach B de dimension infinie, donc est topologiquement trivial, car il a ?t? prouv? que la sph?re unit? de B est en fait contractible (voir par exemple [25]). D'apr?s [8] ceci est suffisant pour obtenir le r?sultat sous les hypoth?ses du th?or?me 6.



62

Th?or?me 7

Si les alternatives sont en nombre infini, il existe une r?gle continue

anonyme pour pr?f?rences cardinales 0 : Qk -* Q respectant l'unanimit?.

Cependant une telle r?gle est la limite des r?gles dictatoriales, et est topolo giquement ?quivalente ? une r?gle dictatoriale. Ce r?sultat est aussi valable

pour les fonctions d'utilit? de Von Neumann-Morgenstern.

Le r?sultat du th?or?me 7 choque vraiment l'intuition et il d?rive lui m?me d'un fait moins qu'intuitif : les sph?res unit?s des espaces de Banach sont contractibles (topologiquement triviales). Cette contractibilit? des

composantes de l'espace des pr?f?rences est la cl? des r?sultats d'existence comme nous l'examinerons plus loin dans cette section.

Remarquez que les r?sultats de ce paragraphe sont significativement diff?rents de ceux pr?sent?s dans les paragraphes a), b) et c) puisque dans ces derniers l'espace des alternatives est le cube unit? X alors qu'ici X est au plus d?nombrable. Si X est fini, l'espace des pr?f?rences cardinales Q est de dimension finie et si X est infini, Q est de dimension infinie. La struc ture des espaces de pr?f?rences Q est nettement diff?rente de celle de P, l'espace des paragraphes pr?c?dents.

Des recherches ult?rieures sur la topologie des espaces de pr?f?rences avec intensit?s et comparaisons interpersonnelles devraient ?tre fructueuses. Elles comprendraient l'?tude de la topologie des espaces d'orbites sous l'ac tion des groupes de Lie classiques.

e) Choix social avec des populations infinies

Comme nous l'avons expliqu? dans le pr?c?dent paragraphe, les cas en dimension infinie introduisent une diff?rence importante. Le probl?me pr?c?dent apparaissait ? cause de l'introduction des intensit?s de pr?f?rences qui modifiaient la structure de l'espace des pr?f?rences de fa?on non tri viale. Dans ce paragraphe, nous consid?rons des pr?f?rences ordinales comme

dans a), b) et c) mais les populations sont larges, c'est-?-dire contiennent un

nombre infini d'agents. L'espace des pr?f?rences est alors, en toute alterna tive x de X, de dimension infinie. Et cette dimension infinie entra?ne ?

nouveau, bien que pour des raisons assez diff?rentes, des r?sultats contre intuitifs: on peut prouver l'existence de r?gles continues de choix social satisfaisant les conditions de Pareto et d'absence de dictature ; en fait on

peut m?me les construire. Ces r?gles apparaissent cependant comme des

limites de r?gles dictatoriales. Comme un courant de la litt?rature traite ce probl?me, il est int?ressant de noter que les r?sultats donn?s ici sont reli?s aux r?sultats ant?rieurs de Fishburn [21], Kirman et Sondermann [23], Brown [3] et autres mais qu'ils sont en fait assez diff?rents. Les r?gles construites ici sont continues et les pr?f?rences compl?tes (les individuelles



63

et les collectives), donn?es par des champs de vecteurs C1 d?finis sur un es

pace d'alternatives euclidien (tel que le cube unit? de R") comme en a), b)

etc).

Par contre les r?sultats de [21] et [23] portent essentiellement sur des

r?gles d?finies pour des espaces d'alternatives finis et satisfaisant ? l'axiome

d'Arrow d'ind?pendance des alternatives irrelevantes au lieu de la conti

nuit?. Les r?sultats pr?sent?s dans ce papier sont en fait suffisamment dif

f?rents pour que, par exemple, les r?gles de choix social construites ici soient

continues sur les pr?f?rences individuelles, c'est-?-dire structurellement

stables, alors que dans les travaux ant?rieurs elles ne le sont pas en g?n?ral. La figure 7 illustre ce point.

P3M

Fig. 7

Th?or?me 8

Soit P?? = n P l'espace des profils d'une infinit? d?nombrable i = i

d'agents sur un espace d'alternatives X ; l'espace des pr?f?rences ordinales P et l'espace d'alternatives X sont tous deux d?finis comme dans le th?o r?me 1. Alors la r?gle <?)(px,. .. , pk, .. .)

- lim {pk} d?finit une r?gle k-*??

continue, Pareto et non dictatoriale.

Si la suite des vecteurs {p,^)} a une limite dans R" pour tout x de

X, la limite d?finissant 0 s'entend au sens habituel. Sinon, elle est prolon g?e, en tout point x de X, en une limite le long d'un ultrafiltre libre de l'ensemble des entiers {1, 2,. . ., k, . . .}. (Voir dans [17] les d?finitions).

D'apr?s [17], une telle limite existe toujours et la r?gle 0 ainsi d?finie est

continue, Pareto et non dictatoriale.



64

Dans la figure 7, p(x) = lim p^x) est le vecteur image de la suite

i

iPi(x), p2(x),. .. , pn(x),. . .} par une fonction 0 d?finie comme dans

le th?or?me 8. Ainsi dans cette construction les choix y et x sont indiff?

rents pour p. Par contre, dans [21] et [23] la pr?f?rence finale est choisie

de fa?on ? ce que les coalitions gagnantes soient les parties d'un ultrafiltre

libre F. Si F est un ultrafiltre libre sur les entiers N dont les parties contien nent les compl?mentaires des parties finies de N, alors la pr?f?rence collec tive associ?e ? cette m?me suite de pr?f?rences pr?f?rera strictement y ? x

d'apr?s les r?gles de [21] et [23] et donc elle sera distincte de la limite des

Pi(x). Remarquez que les r?gles de [21] et [23] sont en fait discontinues

puisqu'elles pr?f?rent strictement x ? tout point z ? gauche de y sur le cercle

alors que x est pr?f?r? strictement par tout point ? droite de y et parj>.

f ) Conditions n?cessaires et suffisantes de r?solution du paradoxe : contrac

tibilit? et ?Single Peakedness?

Les r?sultats pr?sent?s ci-dessus montrent que sans restrictions sur les

pr?f?rences des agents, le paradoxe de choix social ne peut pas ?tre ?limi

n?. Une voie traditionnelle pour ?tudier des conditions r?solvant le para doxe est de limiter l'ensemble admissible des pr?f?rences de chaque agent, c'est-?-dire de restreindre le domaine des pr?f?rences. En fait, la premi?re ?tude de telles conditions fut l'article pionnier de Black [2]. Il y introdui

sait la condition de ?single peakedness? qui signifie que l'on peut ordonner

l'ensemble (fini) des alternatives sur une ligne de fa?on ? ce que chaque

agent ?qui a une seule alternative pr?f?r?e appel?e pic? classe les alterna

tives ? droite et ? gauche de ce pic en fonction d?croissante de leur distance

au pic. Le paradoxe n'existe pas sous cette condition. Elle fut g?n?ralis?e

plus tard ? des espaces d'alternatives euclidiens (voir Kramer [24]) et resta la seule condition suffisante (pour ?liminer le paradoxe) vraiment utilis?e.

Dans un autre papier, Chichilnisky et Heal [15] prouv?rent qu'une restriction topologique est par contre n?cessaire aussi bien que suffisante

? la r?solution du paradoxe dans l'approche suivie ici. Cette restriction est

la trivialit? topologique de l'espace des pr?f?rences, c'est-?-dire sa contrac

tibilit?. Ceci signifie que le paradoxe de choix social n'existe pas si et seule

ment si l'espace des pr?f?rences admissibles ? chaque agent peut ?tre d?for

m? contin?ment en une seule pr?f?rence ou encore de fa?on ?quivalente si

et seulement si l'espace des profils de pr?f?rences peut ?tre d?form? conti

n?ment en sa ?diagonale? (c'est-?-dire le sous-ensemble des profils consti

tu?s des m?mes pr?f?rences pour tous les agents). Cette condition est donc

une unanimit? topologique. Ce r?sultat implique que seule une r?solution

triviale peut ?tre trouv?e au paradoxe du choix social. La relation entre

cette condition et celle de ?single peakedness? de Black sera examin?e apr?s les r?sultats suivants.



65

Th?or?me 9

Soit R une vari?t? repr?sentant le domaine (restreint) des pr?f?rences individuelles. Une r?gle continue 0; Rk-* R qui respecte l'anonymit? et

l'unanimit? existe si et seulement si R est contractible.

Voir dans [15] une d?monstration de ce th?or?me. Plusieurs exemples

d'espaces contractibles sont donn?s dans [15]. La figure 8 ci-dessous en

donne un simple.

Fig. 8. - En toute alternative jc de X, les directions des vecteurs p(x) varient, lorsque p

d?crit R, dans un ensemble contractible de S1 au lieu de d?crire S1 tout entier. Par

cons?quent, on peut construire une r?gle de choix social admissible continue, anonyme et respectant l'unanimit?.

Il est int?ressant de noter l'?quivalence topologique entre toute r?gle de choix social satisfaisant les conditions du th?or?me 9 et la r?gle d'ad

dition convexe. Soit R l'espace des pr?f?rences individuelles restreintes.

Nous avons alors :

Corollaire 10

Toute r?gle continue de choix social 0 : Rk -+ R anonyme et respec tant l'unanimit? est topologiquement ?quivalente ? la r?gle

k

(Pi>...,P*)= 2 P?k i? 1

Ce r?sultats se d?duit du th?or?me 9 parce que 0 existe sous les hypo th?ses du corollaire et, R ?tant contractible, deux applications de R* dans

R sont homotopes. Cette r?gle d'addition convexe peut s'interpr?ter comme un cas particulier de la fonction de bien-?tre social de Bergson-Samuelson si l'on se donne une repr?sentation d'utilit? propre et continue des pr?f? rences (c'est-?-dire une application continue, globalement d?finie sur les

pr?f?rences, ? valeur dans l'espace des fonctions r?elles). Gr?ce ? des ar

guments de la th?orie de l'obstruction, on peut montrer qu'une telle repr?



66

sentation continue R : R -* U existe toujours lorsque l'espace des pr?f? rences R est contractible. Voir aussi dans [4] et [6] un examen du pro bl?me de la repr?sentation.

Malgr? les diff?rences ?videntes entre la condition suffisante de ?single peakedness? de Black et la condition, topologique, de contractibilit? de

Chichilnisky-Heal, elles sont en fait topologiquement ?quivalentes au sens

suivant :

Th?or?me 11

Une d?formation continue de l'espace des pr?f?rences R satisfait ? la condition de ?single peakedness? si et seulement si R est contractible.

Voir dans [10] une d?monstration.

3. THEORIE DES JEUX

La structure de base de la th?orie des jeux est assez similaire ? celle

du choix social. Un jeu est compos? d'une part d'une application qui asso

cie une issue ? tout fc-uple de strat?gies des jouers, autrement dit d'une

application de l'espace produit S* des strat?gies des k joueurs dans l'espace A des issues g : S* -? A, et d'autre part des pr?f?rences individuelles sur

les issues (x). Les propri?t?s de telles applications de jeu g forment le prin

cipal sujet de la th?orie des jeux de m?me que l'?tude des applications

0 : P* -* P o? P est l'espace des pr?f?rences constitue celui de la th?orie

du choix social.

Une diff?rence essentielle provient du fait que les agents participant ? un jeu connaissent l'application g et choisissent donc leur strat?gie en

cons?quence. A l'oppos?, dans les probl?mes traditionnels de la th?orie

du choix social l'application 0 est seulement connue du planificateur ; les

individus simplement annoncent leur pr?f?rence. Les propri?t?s d'une ap

plication de choix social concernent donc essentiellement le planificateur et les axiomes ou conditions exig?s d'elle sont du domaine de la justice. Les propri?t?s d'une fonction de jeu g int?ressent par contre directement

chaque joueur : chacun choisit son coup strat?giquement en vue de maxi

miser (d'apr?s sa pr?f?rence) la valeur des issues en tenant compte du

comportement des autres joueurs.

Cependant un lien direct entre les deux sujets apparait lorsque le pro bl?me de la manipulabilit? du choix social est soulev?. Dans ce cas les

(1) La fonction g : Sk -* A est appel?e une forme de jeu.



67

agents sont suppos?s choisir strat?giquement les pr?f?rences annonc?es au planificateur dans le but d'influencer la valeur de l'issue (la pr?f?rence collective) ?valu?e en fonction de leur propre pr?f?rence. Par exemple, gr?ce ? l'introduction d'une notion ad?quate de distance une manipula tion individuelle de la r?gle de choix social peut consister en une r?v?la tion fausse de sa pr?f?rence de fa?on ? rapprocher le plus possible la pr? f?rence collective de la sienne. Cette section traitera pr?cis?ment de ces

probl?mes. Une part importante de la litt?rature existe dans ce domaine mais n'est pas ici pass?e en revue. Voir des r?f?rences dans [18].

Une premi?re diff?rence technique entre les th?ories des jeux et du choix social est que l'espace des issues A d'un jeu peut ?tre diff?rent de

l'espace des pr?f?rences, c'est-?-dire une r?gle de choix social est d?finie de Pfc dans P, 0 : Pfc

- P, alors qu'un jeu l'est de S* dans A g : S* -> A

o? A n'est pas n?cessairement ?gal ? S. Une r?gle de choix social est donc une forme de jeu d'un type particulier. Cette diff?rence peut ne pas ?tre

trop fondamentale, puisque les propri?t?s des applications d?finies sur le

produit r?p?t? k fois d'un espace et ? valeur dans lui-m?me renseignent sur

les propri?t?s des applications d'un espace produit dans d'autres espaces nature assez simple comme les espaces d'issues.

Une seconde diff?rence est introduite par l'apparition des notions

d'?quilibre en th?orie des jeux. Ceci d?place en g?n?ral l'importance de la topologie alg?brique dans le probl?me vers la g?om?trie ou au moins la topologie diff?rentielle, car les notions d'?quilibre reposent en g?n?ral sur des maximisations.

a) Manipulabilit? des jeux

Comme nous le verrons dans la suite, en g?n?ral la manipulation d'une

r?gle de choix social ou plus g?n?ralement d'un jeu est souvent un pro bl?me de nature topologique, par contre l'existence et les propri?t?s des

?quilibres s'?tudient mieux avec des outils diff?rentiables. Sous certaines

hypoth?ses cependant, les propri?t?s topologiques serviront ? ?tudier l'exis tence et les propri?t?s d'un ?quilibre. En particulier, d'apr?s le th?or?me 12

ci-dessous certains jeux poss?dent un ?quilibre de Nash seulement si

ils sont manipulables d'une fa?on in?quitable, par exemple ils sont mani

pulates par un joueur et non par les autres. Un ?quilibre de Nash ?tant une

solution non coop?rative d'un jeu, la notion d'in?quit? apparait ainsi ?troi tement reli?e ? celle de non-coop?ration. Il faut donc avoir recours aux

solutions coop?ratives si l'?quit? est souhait?e.

Dans la suite nous ?tudions des jeux dans lesquels les strat?gies des

joueurs consistent ? annoncer leur pr?f?rence et les issues sont des pr?f? rences aggr?g?es. Comme nous allons le d?finir, la pr?f?rence de chaque



68

agent sur l'espace des issues est donn?e par une fonction distance ? sa vraie

pr?f?rence. Les agents, qui connaissent la structure du jeu ont la possibi lit? de ne pas r?v?ler strat?giquement leur vraie pr?f?rence afin de biaiser

l'issue en leur faveur. L'issue du jeu ?tant une pr?f?rence collective, le jeu a une forme plus g?n?rale que d'habitude puisqu'une issue appartenent ?

n'importe quel espace d'issues A se d?duira naturellement de la maximi sation de la pr?f?rence collective obtenue en jouant g sur l'espace A. Le

jeu induit est ainsi la composition h = goM o? h : Pfc g-+ PM -* A, c'est

?-dire h : P* -* A est obtenu en jouant d'abord le jeu g puis en maximisant le crit?re M sur la pr?f?rence collective qui r?sulte du jeu g. Le r?sultat suivant se d?montre dans [7] en utilisant des outils de la th?orie d'homotopie.

Th?or?me 12

Si g : P* -* P est un jeu continu qui respecte l'unanimit?, soit il est

dictatorial, soi il existe un agent manipulateur fort c'est-?-dire un agent

qui peut obtenir exactement n'importe quelle issue d?sir?e en annon?ant des fausses pr?f?rences. De plus, le manipulateur fort est unique si le jeu est Pareto.

Formellement le premier joueur est un manipulateur fort si pour tout

q annonc? par le second joueur il existe p, une strat?gie du premier joueur telle que 0(p, q)

= px o? px est la vraie pr?f?rence du premier joueur.

Un cas particulier de ce r?sultat se d?montre sans la th?orie d'homo

topie, comme dans Chichilnisky et Heal [16] ; je r?sume maintenant la ligne directrice de la d?monstration en utilisant des r?sultats du pr?c?dent para

graphe. Ceci ?tablira clairement le lien entre la manipulation des jeux et

l'existence de paradoxes du choix social.

Comme nous l'avons vu dans la section 2 si les votants sont au nombre

de deux et s'ils ont des pr?f?rences lin?aires sur un espace d'alternatives

de dimension 2 alors le jeu est une fonction g : S1 x S1 -* S1. D'apr?s la

d?monstration du th?or?me 1 le respect de l'unanimit? implique que

g/A : A -

S1 v?rifie deg (g/A) = 1 si A est la diagonale de S1 x S1. Ceci

entra?ne en particulier, comme dans le th?or?me 1, deg (g/A U B) = 1

puisque la diagonale est d?formable en A U B ; A et B ?tant des cercles,

deg (g/A U B) =

deg (g/A) + deg (g/B). Par cons?quent, deg (g/A) et

deg(g/B), de somme ?gale ? 1, ne sont pas tous les deux nuls. La seconde

partie de la d?monstration consiste ? montrer que le premier votant est

un manipulateur fort d?s que deg (g/A) =? 0. Ceci est expliqu? en d?tail

[7]. Rappelons que A = {(p, p0) : p G S1}. Donc si deg (g/A) =? 0, pour

tout q de S1, il existe p G S1 tel que g(p, p0) =

q ; en effet le degr? de g sur A est nul sauf si l'image de g restreinte ? A est S1 tout entier. Le pre

mier agent peut donc enti?rement manipuler l'issue dans A, c'est-?-dire que si la pr?f?rence annonc?e par le second votant est p0, le premier a la pos



69

sibilit? (not?s p ci-dessus) d'obtenir exactement n'importe quelle issue

<1> il =

g(p, p0) pour certain p G S1).

Il reste ? prouver que la m?me propri?t? est vraie pour toute autre

pr?f?rence ~pQ choisie par le second agent. Or il suffit que deg (0/A) # 0

pour tout ensemble A de la forme

? = {(p, p0) : p G S1}, p0 ?tant un vecteur de S1. La d?monstration

se trouve dans [7].

Pour ce qui est de l'unicit? du manipulateur fort lorsque g est Pareto, nous rappelons que dans ce cas deg (g/A) et deg (g/B) sont tous deux

positifs et au plus ?gaux ? 1. (Voir section pr?c?dente). Donc, puisque deg (g/A U B)

= 1, un seul des degr?s, deg (g/A) et deg (g/B), est ?gal ?

1 et l'autre ? 0. Aussi, il existe un seul manipulateur fort,parce que G est

Pareto.

On peut maintenant introduire une notion d'?quit? pour des jeux

? deux joueurs (i). Un tel jeu g : P2 -

P est ?quitable si ou bien chacun

des deux joueurs ou bien aucun des deux est un manipulateur fort. Un

exemple typique de jeu ? un manipulateur fort est la fonction dictato

riale (projection) g{p,q) =

p, Vp, q G S1 x S1. La figure 9 ci-dessous

donne un autre exemple de jeu ? un manipulateur. Remarquez que seul

le premier agent peut toujours trouver une strat?gie p (pour toute stra

t?gie q du second) qui lui permet d'atteindre son issue pr?f?r?e.

Fig. 9. - Les lignes courbes dans la figure de gauche indiquent trois hypersurfaces de

l'application g : S1 x S1 -* S1 ; par hypoth?se g satisfait ? l'unanimit? si bien que g/A = 1.

Par cons?quent, pour tout q de S1, g~l(q) i= 0. Notez que, pour tout q et tout q0, il

existe p tel que g(p, q0) =

q.

D'apr?s ce qui pr?c?de, il est ?vident que le manipulateur fort choisit une strat?gie qui lui assure, en consid?rant la strat?gie de l'autre comme

donn?e, son issue pr?f?r?e. Ceci fait r?f?rence ? un concept d'?quilibre

(1) Un jeu constitutionnel est donn? par une fonction de jeu d?finie sur les &-uples de pr?f?rences P ? valeur dans P. Les pr?f?rences des joueurs sur les issues (?l?ments de

P) sont fonctions d?croissantes de la distance ? leurs propres pr?f?rences.



70

pour lequel les strat?gies optimales ne le sont que pour une structure d'in

formation particuli?re. Le cas pr?sent correspond au concept d'?quilibre de Nash puisque le manipulateur fort choisit une strat?gie de maximisation de la valeur de l'issue en supposant donn?e la strat?gie du second joueur. Le r?sultat ?tablit donc qu'aux ?quilibres de Nash du jeu, le manipulateur fort est un ?dictateur strat?gique? au sens o? il peut toujours obtenir son

issue d?sir?e (2). Voir dans [16] une discussion sur les relations entre ces

r?sultats et les r?sultats ant?rieurs.

Dans la suite j'explorerait bri?vement d'autre cas.

La figure 10 ci-dessous est un exemple de jeu ? deux manipulateurs forts. On v?rifie facilement que toute hypersurface du jeu intersecte toutes

les parall?les horizontales et verticales et que la fonction d?finissant le jeu est surjective sur S1. Remarquez que ce jeu ne peut ?tre Pareto car alors

il n'existerait qu'un seul manipulateur d'apr?s le r?sultat pr?c?dent.

Fig. 10. ? La r?union des quatre courbes sur la partie gauche de la figure repr?sente

une hypersurface du jeu g, g-1 (g).

b) In?quit? et existence d'un ?quilibre de Nash

Comme nous l'avons montr? dans l'expos? du th?or?me 12, l'existence

d'un manipulateur fort est une question topologique : essentiellement une

propri?t? de degr? du jeu sur certaines sous-vari?t?s.

Le concept d'?quilibre de Nash est par contre en principe g?om?trique

puisqu'il repose sur une maximisation: un couple de strat?gies (p, q) de

(2) Le concept de manipulabilit? utilis? ici est assez diff?rent de celui de Vickrey

[30], Gibbard [22], Satterthwaite [26], Feldman [20] et les autres. Dans ceux-ci, l'ac

cent est mis sur la fausse r?v?lation et ici sur la possibilit? d'obtenir toute issue d?sir?e.

De plus dans Gibbard un jeu est manipulable si une strat?gie dominante n'existe pas

(et alors la v?rit? en particulier n'est pas une strat?gie dominante) ; les ?quilibres de

Nash ne sont pas consid?r?s.



71

P2 est un ?quilibre de Nash si (p, q) maximise la pr?f?rence du premier agent sur toutes les strat?gies de la forme (p, q) pourp G P et (p, q) maxi

mise la pr?f?rence du second sur toutes les strat?gies (p, q) pour q G P.

Formellement, (p, q) est un ?quilibre de Nash si

uxCp,~q)= max

ux(p,q) pep

et u2(p, 4 ) = max u2(p,q)

flEP

si Wj et u2 sont des utilit?s repr?sentant les pr?f?rences du premier et du second joueur respectivement. Le r?sultat suivant ?tablit donc une relation entre un concept topologique et un concept g?om?trique. La d?monstra tion se trouve dans [16]. Soient P = S1 (c'est-?-dire l'espace des alterna tives est de dimension 2) et g : S1 x S1 -? S1 un jeu. Supposons que g res

pecte l'unanimit? et que les pr?f?rences individuelles sur les issues (les pr? f?rences collectives) sont donn?es par la distance euclidienne ? leur vraie

pr?f?rence. On obtient alors le r?sultat suivant.

Th?or?me 13

Le jeu g poss?de un ?quilibre de Nash seulement si il est in?quitable. La n?cessit? se d?duit ais?ment du dernier r?sultat : si le jeu est ?qui

table alors soit chacun soit aucun des deux joueurs peut manipuler l'issue. Le second cas est impossible puisque g respecte l'unanimit? (voir th?or?me

12). Dans le premier cas o? les deux joueurs peuvent manipuler le jeu, il est facile de v?rifier qu'aucun ?quilibre de Nash n'existe, voir [16].

La d?monstration de [16] ?tablit aussi que sous certaines hypoth?ses la condition d'in?quit? est suffisante pour l'existence d'un ?quilibre de Nash.

Remarquons, dans le cas in?quitable, la fonction de r?action de l'unique manipulateur fort c'est-?-dire la courbe des r?ponses optimales aux strat?

gies choisies par l'autre joueur, est exactement la courbe donn?e par l'image r?ciproque de son alternative pr?f?r?e. Si, sans resteindre le probl?me, nous

supposons le premier joueur ?tre le manipulateur fort, alors la fonction de r?action de ce joueur dans l'espace des strat?gies est g"1 (px) C S1 x S1 o? Pj est son issue pr?f?r?e, voir figure 11 ci-dessous.

c) Duopoles de Cournot et de Stackelberg

Les r?sultats pr?c?dents montrent qu'un ?quilibre de Nash existe dans les jeux consid?r?s dans ce papier si et seulement si le jeu in?quitable. On

peut maintenant construire un jeu de duopole qui satisfait les'conditions



72

fonction de r?action

du second joueur

Fig. 11. - La fonction de r?action du manipulateur fort est g-1 (Pi), une partie de

celle du second joueur est dessin?e en traits ?pais : un segment de la vari?t? g-1 (p2) et une ligne horizontale qui constituent l'ensemble des points de tangentes verticales

des hypersurfaces ; ces points minimisent, ?tant donn? une strat?gie du premier joueur la distance ? l'issue pr?f?r?e p2 de S1. Notez que la strat?gie du premier joueur appar tient toujours ?

7r1(g~1(p1)) car, sinon, il/elle obtiendrait une moins bonne issue.

d?j? introduites (i). L'espace des pr?f?rences P des paragraphes pr?c?dents doit alors ?tre remplac? par l'espace des modifications d'output de chaque

producteur ? partir d'un vecteur initial d'output de R".

Dans le mod?le de duopole de Cournot, la solution est un ?quilibre de

Nash du jeu : chaque duopoliste consid?re l'output de l'autre pour donn?

et choisit strat?giquement sa quantit? (en fonction de sa pr?f?rence) en vue

de maximiser son paiement. L'output total des deux joueurs d?termine le

prix du march? conjointement avec la demande. Par cons?quent, un ?quilibre de Nash d?fini dans le paragraphe b) est, s'il est convenablement r?inter

pr?t?, une solution de Cournot du jeu de duopole.

Une solution de duopole de Stackelberg suppose par contre une asy m?trie fondamentale : un joueur est le ?leader?, l'autre le ?follower?. Le

follower choisit sa quantit? pour maximiser sa pr?f?rence en supposant le

comportement de l'autre donn?. A l'oppos? le leader connait par hypoth?se la fonction de r?action du follower et il choisit en cons?quence la r?ponse

qui maximise son utilit?. On peut repr?senter la diff?rence entre les deux

solutions (de Cournot et de Stackelberg) dans l'espace des quantit?s (c'est ?-dire de contr?le) des deux joueurs. La solution de Cournot est donn?e par

(1) Remarquons que la condition de respect de l'unanimit? est suffisante mais

pas n?cessaire pour obtenir le th?or?me 12 : on peut la remplacer par la condition que

la d?riv?e Dg du jeu g soit toujours positive sur A.



73

l'intersection des deux fonctions de r?action, chacune ?tant le lieu des points ? tangentes verticales et horizontales aux courbes d'?gale valeur, c'est

?-dire, aux hypersurfaces des pr?f?rences des joueurs. Dans le cas de

Stackelberg le point choisi est un point sur la fonction de r?action du

follower, le plus proche possible de l'issue pr?f?r?e du leader ; voir figure 12 ci-dessous.

Les r?sultats du paragraphe pr?c?dent se r?interpr?te donc ici.

Corollaire 14

Dans les jeux de duopole g v?rifiant les conditions du th?or?me 13 une solution de Cournot existe seulement si elle est aussi une solution de

Stackelberg ; de plus, le leader peut obtenir pour issue exactement son issue pr?f?r?e.

L'interpr?tation est imm?diate. La figure 12 doit maintenant ?tre r?

interpr?t?e en rempla?ant l'espace des quantit?s par l'espace S1 des modi

espace des

quantit?s de la

deuxi?me firme Cournot

fonction de r?action de la

deuxi?me firme,

fonction de r?action de la

premi?re firme

quantit? optimale pour la

premi?re firme

Fig. 12

fications de quantit? par rapport ? l'?tat d'origine et en consid?rant pour

pr?f?rences les fonctions distances ? la quantit? finale pr?f?r?e. Dans la fi

gure 12 ci-dessus, les propri?t?s topologiques du jeu consid?r? dans ce co



74

rollaire assurent que la fonction de r?action du deuxi?me joueur passe en fait

par p*, la quantit? pr?f?r?e du leader. Ce dernier est donc capable d'at teindre son issue pr?f?r?e ? l'?quilibre.

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Documents

Choix sociaux et théorie des juex: Résultats récent d'une approche topologique