Institut d’Enseignement de Promotion Sociale de la CommunautéFrançaise

IEPSCF Namur Cadets Place de l’Ecole des Cadets, 6 – 5000 NAMUR

STABILITEThéorie

Chargé de cours : Pierre VASSART – pierre.vassart @ iepscf-namur.b

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NOTIONS GENERALES

Bibliographie

• Introduction à l'analyse des structuresMarc- André Studer – François FreyPresses polytechniques et universitaires romandes

• Mécanique des matériauxCharles Massonnet – Serge SescottoDe Boeck Université

Voir aussi :

• Site CSTC pour :◦ Eurocode 1◦ Dossier CSTC N° 2009/04.06 (plancher mixte bois – béton)◦ NIT 236 (conception et exécution des dalles mixtes acier-béton)

• Stab Doc G sur site espace-v.be (construction mixte acier-béton)

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RAPPEL DE QUELQUES NOTIONS DE RDM

1. Charges permanentes et charges variables

• Charges permanentes : celles qui ne varient pas au cours du temps → notamment poidspropre des différents éléments.

• Charges variables : celles qui sont susceptibles de varier → notamment les charges liées àl'utilisation de la construction (charges d'exploitation ou de service) ainsi que les chargesclimatiques.Voir Eurocode 1 NBN EN 1991 -1- ... et les ANB afférentes (site CSTC).Voir aussi tableaux site espace-v.be « données numériques »

2. Conditions d'équilibre d'un système plan de forces

Forces quelconques

Considérons un corps sollicité par les forces F 1, F 2, F 3, F 4 et F 5 .Pour que le corps soit en équilibre, il faut : R x=ΣF ix=F1x+F 2x+F 3x+...=0 R y=ΣF iy=F1y+F2y+F3y+...=0 M A( F1, F2, F3, ...)=0 avec A : point du plan des forcesOu : R x=ΣF ix=F1x+F 2x+F 3x+...=0 M A( F 1, F 2, F 3, ...)=0

M B( F1, F2, F3, ...)=0 avec A et B : points du plan des forcesOu : R y=ΣF iy=F1y+F2y+F3y+...=0 M A( F 1, F 2, F 3, ...)=0

M B( F1, F2, F3, ...)=0 avec A et B : points du plan des forces

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Ou : M A( F1, F2, F3, ...)=0

M B( F 1, F 2, F 3, ...)=0

M C( F 1, F 2, F 3, ...)=0 avec A, B et C : points non alignés du plan des forces

→ On dispose de 3 équations pour exprimer l'équilibre du corps.

Forces concourantes

Deux équations sont suffisantes.En règle générale, on exprime que R=0 , équation que l'on projette sur les axes x et y → R x=ΣF ix=F1x+F 2x+F 3x+...=0 R y=ΣF iy=F1y+F2y+F3y+...=0

Forces parallèles

Deux équations sont suffisantes : R y=ΣF iy=F1y+F2y+F3y+...=0 M A( F 1, F 2, F 3, ...)=0Ou : M A( F1, F2, F3, ...)=0

M B( F 1, F 2, F 3, ...)=0 avec A et B : points du plan des forces.

3. Calcul des réactions de liaison (système isostatique)

Un corps « tient en place » grâce aux liaisons. Ce sont les réactions de liaison (forces duesaux liaisons) qui vont équilibrer les autres forces agissant sur le corps.

Pour déterminer les réactions de liaisons, on procédera comme suit :• Représenter schématiquement le corps ou l'élément dont on étudie l'équilibre avec

TOUTES les forces (forces extérieures données ou connues + liaisons inconnues)agissant sur lui.

• Si l'on ignore le sens d'une liaison, on le fixe arbitrairement. Le calcul confirmera(signe +) ou infirmera (signe -) le choix.

• Ecrire les équations d'équilibre de l'ensemble des forces en jeu → systèmed'équations dont les inconnues sont les liaisons cherchées.

• Résoudre le système d'équations → liaisons recherchées.

4. Calcul des réactions de liaison (système hyperstatique)

Si le nombre de liaisons est supérieur à ce qu'il est strictement nécessaire pour assurer l'équilibre du corps, le système est dit hyperstatique et il faudra pour calculer les réactions deliaison ajouter des équations basées sur les déformations.

Degré d'hyperstaticité = nombre de liaisons qui sont rajoutées à celles qui sont strictement nécessaires pour assurer l'équilibre = nombre d'équations que l'on doit ajouter aux équations

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de la statique pour calculer les réactions de liaison .

• Poutre sur 3 appuis → hyperstatique de degré 1• Poutre sur 4 appuis → hyperstatique de degré 2 • Poutre encastrée à une extrémité et appuyée à l'autre → hyperstatique de degré 1• Poutre encastrée aux 2 extrémités → hyperstatique de degré 2.

Exemple de calcul : voir annexe.Utilisation logiciel RDM6.

NB : dans le cas de structures de type « portique ou cadre », les réactions de liaison ainsi queles efforts intérieurs développés dépendent aussi de la nature des colonnes et poutresconstituant la structure !

5. Avantages des poutres hyperstatiques

• Plus grande raideur. Une structure hyperstatique est toujours plus raide que sonéquivalent isostatique.

(1) : 2 poutres HEA 340 (2) : 1 poutre HEA 340

(1) → 2 poutres jointives → flèche = 1,45 cm (2) → 1 seule poutre continue → flèche = 0,6 cm

• Souvent plus résistante : une structure hyperstatique peut dans de nombreux cas (pastoujours et ce n'est notamment pas le cas dans l'exemple des poutres ci-avant)supporter des charges plus importantes avant rupture.

• Ces structures présentent aussi des inconvénients :• réalisation souvent plus difficile,• ne supportent pas les tassements différentiels.

6. Propriétés des surfaces – Centre de gravité – Moment d'inertie

Centre de gravité → calcul basé sur propriété moment statique des surfaces

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S=S 1U S 2U S 3

M stat(S )u=M stat (S 1)u+M stat(S 2)u+M stat(S 3)u

d G . S=dG1 . S 1+dG2 . S 2+dG3 . S 3

(S=S1+S 2+S 3)

Moment d'inertie d'un rectangle

Formule du changement d'axe

g et u étant 2 axes ║, l'axe g passant par le centre de figure G de la figure S.

Propriétés

I u(S)= I u (S 1)+ I u (S 2)+ I u (S 3) I u(S )= I u (S 1)− I U (S 2)

(avec : S = S1 U S2 U S3) (avec S = surface hachurée et S1 = S U S2)

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d G=d G1. S 1+d G2 . S 2+d G3. S 3

S

I b=bh3

3

I x=bh3

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I y=hb3

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I u= I g+d 2 . S

Axes principaux d'inertie – Moments d'inertie principaux

• Si on calcule les moments d'inertie d'une surface par rapport à tous les axes passantpar son centre de figure, on observe la propriété suivante : le moment d'inertie passepar un maximum et un minimum correspondant à 2 axes perpendiculaires : ces axessont les axes principaux d'inertie et les moments correspondants sont les momentsd'inertie principaux.

• Si une figure possède un axe de symétrie, cet axe est un axe d'inertie principal et ladroite qui lui est perpendiculaire et qui passe par le centre de figure est l'autre axeprincipal d'inertie.

• Il est utile de savoir distinguer l'axe principal qui donnera le moment d'inertie le plusimportant. De la définition de l'inertie, on constate que la distance intervient au carré.Par suite, plus l'aire est éloignée de l'axe, plus son inertie s'accroît. Inversement, plusla figure est ramassée le long de l'axe, plus l'inertie est faible.

x et y sont les axes principaux d'inertie.• x → axe qui donnera le moment d'inertie maximum : I x= I max

• y → axe qui donnera le moment d'inertie minimum : I y= I min

7. Efforts intérieurs dans les poutres planes

Effort normal N dans la section droite d'une poutre

= projection sur l'axe de la poutre de la résultante de toutes les forces agissant à gauche ou àdroite (au dessus ou en dessous) de cette section. Cet effort normal sera de la compressionou de la traction.

Compression (-) Traction (+)

• N (1) : projection sur l'axe de la poutre de la résultante de toutes les forcesagissant à gauche de la section

• N (2) : projection sur l'axe de la poutre de la résultante de toutes les forcesagissant à droite de la section

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Effort tranchant V dans la section droite d'une poutre

= projection dans le plan de la section, plus précisément sur l'axe de symétrie de la section,intersection du plan des forces avec le plan de la section, de la résultante de toutes les forcesagissant à gauche ou à droite (au dessus ou en dessous) de cette section.

Moment fléchissant M dans la section droite d'une poutre

= moment par rapport à cette section de toutes les forces agissant à gauche ou à droite (audessus ou en dessous) de la section considérée.

(a) (b)

• M(1) : moment par rapport à la section de toutes les forces agissant à gauche de lasection

• M(2) : moment par rapport à la section de toutes les forces agissant à droite de lasection

• cas (a) : le moment est par convention + les fibres supérieures sont comprimées et les fibres inférieures sont tendues.

• cas (b) : le moment est par convention - les fibres supérieures sont tendues et les fibres inférieures sont comprimées.

Déformations produites

• Effort normal → allongement (traction) raccourcissement (compression)• Effort tranchant → glissement transversal• Moment fléchissant → courbure

Poutres horizontales sollicitées par des charges verticales

• Efforts intérieurs → effort tranchant V et moment fléchissant M (effort normal nulpuisque forces perpendiculaires à l'axe de la poutre.

• Si uniquement charges ponctuelles :• diagramme V → tronçons horizontaux et sauts au droit des charges

ponctuelles (entre 2 charges ponctuelles consécutives, V reste constant) ;• diagramme M → contour polygonal dont les sommets se trouvent au droit des

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charges (le moment Max se trouvera par suite au droit d'une des chargesponctuelles).

• Si charge répartie + éventuellement charges ponctuelles :• diagramme V → tronçons obliques avec sauts au droit des charges

ponctuelles (entre 2 charges ponctuelles consécutives, V varie de façoncontinue si charge uniformément répartie).

• diagramme M → tronçons paraboliques dont les sommets coïncident avec lessections où V s'annule.En fait V est la dérivée première de M (la variable étant l'abcsisse de lasection) → par suite, M est max lorsque V s'annule.

• Cette approche concernant V et M peut se généraliser à tout tronçon de poutre droite.

Remarque importante

Ne pas oublier de majorer les charges dans les calculs de résistance. Voir états limites.

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LES ETATS LIMITES

1. Notion d’état limite

• Un état limite est un état dans lequel se trouve une structure ou un élément destructure et qui est tel que s'il est dépassé dans le sens défavorable, cette structure oucet élément ne répondra plus aux fonctions pour lesquelles il est conçu.

• On distingue deux catégories d'états limites :

◦ les états limites ultimes (E.L.U.) dont le dépassement équivaut à la ruine de lastructure ou de l'élément considéré ;

◦ les états limites de service (E.L.S.) dont le dépassement compromet la durabilitéde l'ouvrage ou contrarie les conditions d'exploitation de celui-ci.

2. Etat limite ultime

• Dépassement de l'E.L.U. = ruine de la structure.

• On distingue notamment :

◦ l'E.L.U. d'équilibre statique qui concerne la stabilité, l'équilibre de l'ouvrage →par exemple, un mur de soutènement ne doit ni glisser, ni basculer ;

◦ l'E.L.U. de résistance qui concerne la non rupture de l'ouvrage (les matériauxconstitutifs doivent résister → par exemple, le mur de soutènement précédentdéjà calculé pour que sa stabilité soit assurée, ne doit pas casser, se rompre sousl'effet des efforts qui lui sont appliqués ;

◦ l'E.L.U. de stabilité de forme qui concerne les pièces élancées soumises à uneffort de compression axiale → ces pièces doivent résister au flambement.

3. Etat limite de service

• Dépassement de l'E.L.S. = structure « HS » et/ou durabilité compromise.

• On distingue notamment :

◦ l'E.L.S. de déformation : des déformations trop importantes peuvent créer desdésordres → par exemple, fissuration de cloisons ou de carrelages sur une dalletrop fléchie ;

◦ l'E.L.S. vis à vis de la compression du béton : si la compression devient tropimportante, des désordres graves peuvent apparaître ;

◦ l'E.L.S. d'ouverture des fissures : la corrosion des armatures, insuffisammentprotégées peut compromettre la durabilité de l'ouvrage ; des fonctions

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d'étanchéité ou des critères esthétiques peuvent également ne pas être respectés.

4. Actions, charges

• Les actions sont les charges appliquées à la structure.• Comme indiqué au chapitre précédent, on distingue les actions permanentes (G) et

les actions variables (Q).• A côté de ces actions existent encore les actions accidentelles : séismes, action du

feu, ... ; elles ne sont à considérer que si le marché ou des documents d'ordre publicle prévoient.

5. Combinaisons d'actions

• Pour le calcul à l'E.L.U. → 1,35 G + 1,5 Q (voir aussi remarque!).• Pour le calcul à l'E.L.S. → G + Q.

• Remarque concernant le calcul à l'E.L.U.

◦ Si l'ouvrage ou l'élément étudié est sollicité à la fois par des actions permanentesfavorables et défavorables, on notera :▪ Gmax = ensemble des actions permanentes défavorables,▪ Gmin = ensemble des actions permanentes favorables.

◦ Et la combinaison de calcul à prendre en considération pour le calcul à l'E.L.U.est : 1,35 Gmax + Gmin + 1,5 Q

◦ Notons encore que dans une combinaison donnée, Gmax et Gmin doivent désignerdes actions d'origine et de nature différente. On ne peut pas scinder une actionpermanente en une partie Gmax et une autre Gmin , c'est ou Gmax ou Gmin. En cas dedoute, on fera le calcul une fois avec Gmax (X 1,35) et l'autre avec Gmin (nonmajoré) pour le calcul à l'E.L.U.

6. Application des actions

• Action permanente : partout ( à l'E.L.U., x 1,35 si défavorable, non majorée sifavorable).

• Action variable : aux endroits les plus défavorables (on ne les applique pasnécessairement partout).

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DEFORMEE D'UNE POUTRE SOLLICITEE EN FLEXION SIMPLECALCUL DES FLECHES

MATERIAU ELASTIQUE ET HOMOGENE

1. Equation différentielle de la déformée

• Considérons une poutre AB reposant sur 2 appuis et sollicitée par des chargesverticales → cette poutre va se déformer suivant une courbe y= y (x ) .

• On démontre que : EI y=M ( y = dérivée seconde de y par rapport à x). Cette équation dans laquelle E est le module d'élasticité du matériau constitutif de lapoutre, I est le moment d'inertie de la section droite de la poutre et M est le momentfléchissant, est l'équation différentielle de la déformée de la poutre.NB : on a une équation différentielle par « expression » du moment fléchissant, par« tronçon » de poutre.

• Une première intégration de cette équation va donner l'équation de la pente de ladéformée, une deuxième intégration va donner l'équation de la déformée.

• Ces intégrations vont faire apparaître des constantes d'intégration que l'on calculeraen tenant compte de différents éléments : flèche nulle au droit d'un appui, flèche etpente égale à la jonction de deux tronçons, pente et flèche nulle au droit d'unencastrement, ...

• Le produit EI est la rigidité de la poutre. Au + EI est élevé, au plus la poutre estrigide, c'est-à-dire, au plus faibles seront les déformations.

2. Rappel intégration

• Si y=axn→ y=axn+1

n+1+C (C : constante d'intégration)

• En particulier :◦ si y=a → y=ax+C

◦ si y=ax → y= ax2

2+C

• Exemple :

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y=5 x2→ y=5

x2+1

2+1+C1=

53

x3+C1→ y=

53

x3+1

3+1+C1 x+C2=

512

x4+C1x+C2

3. Unités

Pour obtenir la flèche en m :▪ Moment : en kNm▪ Module d'élasticité E : en kN/m2

• acier : E (= 21 000 kN/cm2) = 21.107 kN/m2

• bois : E (= 1 000 kN/cm2) = 107 kN/m2

▪ Moment d'inertie I : en m4

• I = I (exprimé en cm4) . 10-8 m4 .

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LES TREILLIS

1. Généralités

◦ Un treillis, encore appelé triangulation ou structure réticulée, est un ensemble de barresarticulées les unes aux autres, le tout constituant une structure portante stable plane ouspatiale.

◦ Ce type de structure est très largement utilisé en construction. Les treillis sont le plussouvent exécutés en acier, aluminium ou bois, plus rarement en béton. Ce sont desstructures assez légères mais elles présentent l'inconvénient de ne pas toujours être trèsesthétiques.

◦ Un treillis plan soutenant une toiture est une ferme.◦ Si une des dimensions est nettement plus grande que les autres, on parle de poutre ou de

colonne en treillis.

◦ Les points de rencontre des barres sont appelés noeuds.

◦ On admet que dans un treillis :▪ les axes des barres concourent aux noeuds sans excentricité ;▪ les noeuds sont des articulations parfaites,▪ les charges sont sensées être exclusivement appliquées aux noeuds (on s'arrange pour

que cela soit le cas). → Cette modélisation correspond en fait peu souvent à la réalité, particulièrement en ce qui concerne l'aspect « articulation parfaite » que devrait être un noeud, les barres

étant généralement liées quasi rigidement les unes aux autres. Cependant, cette modélisation permet de calculer les treillis avec des résultats très satisfaisants, c'est-à-dire proches de la réalité.

◦ Les barres d'un treillis sont sollicitées par un effort normal, c'est-à-dire qu'ellestravaillent soit en traction, soit en compression. Le calcul d'un treillis revient àdéterminer l'effort normal dans toutes les barres, ce qui va permettre de lesdimensionner.

2. Calcul d'un treillis par la méthode des noeuds

• On déterminera d'abord les réactions d'appui.• On étudiera ensuite successivement l'équilibre des différents noeuds en commençant par

un noeud où n'aboutissent que 2 barres. Ensuite, il faut que pour tout noeud suivant, onn'ait jamais plus de 2 efforts inconnus à rechercher.

• Pour la détermination des efforts inconnus, il est conseillé de supposer que les barrestravaillent en traction (effort « tirant » sur le noeud). Si le calcul donne un résultat +,cela signifie que la supposition est correcte, c'est-à-dire que la barre travaille bien entraction . Si le calcul donne un résultat -, cela signifie que la supposition est incorrecte,c'est-à-dire que la barre est sollicitée en compression.NB : « Si la barre tire sur le noeud, cela signifie que le noeud tire sur la barre, c'est-à-dire qu'elle est sollicitée en traction. Si au contraire, la barre pousse sur le noeud, celasignifie que le noeud pousse sur la barre, c'est-à-dire qu'elle est sollicitée en

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compression.

◦ Exemple Note : les charges sont supposées avoir été majorées.

a. Calcul des réactions d'appui

◦ M A=0 → RB=2.36+4. 36

6=36 kN

◦ Σ F y=0 → RA=36+36+18−36=54 kN

b. On va commencer par le noeud A

• L'équilibre du noeud A implique que : Σ F= RA+F1+ N 1+N 2= 0

• En projetant cette égalité vectorielle sur les axes x et y, on obtient le systèmed'équations suivant :◦ N 1+N 2cosα=0

◦ 54−18+N 2 sinα=0

• Et on trouve :

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◦ N 1=51,41 kN (signe + → sens supposé correct : la barre travaille bienen traction)

◦ N 2=−62,76 kN (signe - → sens supposé incorrect : la barre travailleen compression)

c. On va ensuite passer au noeud C (en E , on a plus de 3 barres dans lesquelles on ne connaît pas les efforts qui aboutissent → impossible ; notons également que la barre 1 étant sollicitée en traction, elle tire sur le noeud C).

• On a :◦ N 4=N 1=51,41 kN (et la barre 4 est sollicitée en traction)

◦ N 3=0 (barre non sollicitée)

d. Noeud E

• L'équilibre du noeud A implique que : Σ F= N 2+N 3+N 5+N 6+ F2=0

• En projetant cette égalité vectorielle sur les axes x et y, on obtient le systèmed'équations suivant :◦ 62,76 sin55°+0+N 5sin 55 °+N 6cos16,7 °=0

62,76 cos55°+0−N 5 cos55°+N 6 sin 16,7°−36=0

• Et on trouve :◦ N 5=−18,41 kN et la barre 5 est sollicitée en compression

◦ N 6=−37,92 kN et la barre 6 est également sollicitée en compression

e. ....

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3. Calcul de l'effort dans une barre par la méthode des coupes de Ritter

Note : les charges sont supposées avoir été majorées.Soit à déterminer l'effort dans la barre 4 du treillis précédemment étudié.On va d'abord comme dans la méthode précédente calculer les réactions d'appui et en particulier ici RA ( RA=54 kN ).Pour calculer l'effort dans la barre 4, on va réaliser une coupe mn dans le treillis et étudier l'équilibre de la partie de gauche.

Cette partie est en équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont appliquées (18 kN et 54 kN en A, 36 kN en E)et sous l'action de la partie de droite sur la partie de gauche qui se traduit par les efforts N 4, N 5 et N 6 dans les barres 4, 5 et 6.Pour calculer N 4 , on va exprimer que le moment par rapport à E de toutes les forces agissant sur la partie de gauche est égal à 0.→ M E=1,4. N 4−2.54+2.18=0 → N 4=51,43 kN et la barre 4 est bien sollicitée en traction.Une coupe telle que mn s'appelle coupe de Ritter.

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4. Compléments

◦ Cellule de base d'un treillis

▪ Une cellule carrée ou rectangulaire formée de 4 barres articulées est instable car ellepeut se transformer en losange et s'aplatir complètement → il s'agit d'un mécanisme.

▪ Par contre, une cellule formée de trois barres articulées est stable → le triangleconstitue la cellule de base . Un treillis est constitué d'une juxtaposition de cellulestriangulaires.

▪ Dans l'espace, la cellule de base est le tétraèdre.

◦ Isostaticité

▪ Condition d'isostaticité : b + l = 2n• b : nombre de barres,• l : nombre de liaisons,• b+l : nombre d'inconnues,• n : nombre de noeuds,• 2n : nombre d'équations (on a 2 équations par noeud)

▪ Si b+l >2n → le nombre d'inconnues est > au nombre d'équations → le treillis esthyperstatique.

▪ Si b+l < 2n → le nombre d'inconnues est < au nombre d'équations → le treillis estinstable (mécanisme).

▪ La condition d'isostaticité implique également de ne pas avoir de cellule carrée ourectangulaire.

◦ Barres à effort nul

▪ Si 2 barres concourent en un noeud non chargé, l'effort est nul dans chacune desbarres.

▪ Si 3 barres concourent en un noeud non chargé et que 2 d'entre elles sont alignées,l'effort est nul dans la troisième et les efforts sont égaux dans les 2 barres alignées.

◦ Quelques triangulations classiques

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▪ Remarques• Selon la matière, certains schémas s'avèrent plus appropriés que d'autres. L'acier,

par exemple, même s'il résiste bien à la compression, est sensible au flambement→ il est par suite préférable de faire en sorte que les éléments les plus longssoient sollicités en traction plutôt qu'en compression.

• Le bois par contre, pose des problèmes en terme d'assemblage, particulièrementpour les éléments sollicités en traction. Aussi est-il préférable dans une structuretriangulée réalisée en bois de disposer les diagonales de manière à ce qu'ellestravaillent en compression.

• Notons encore que les triangulations K permettent comme les triangulationssecondaires de réduire la longueur des barres comprimées.

◦ Meilleure utilisation de la matière

▪ La triangulation supprime la flexion.▪ Dans une poutre sollicitée en flexion, la distribution des contraintes sur la hauteur

d'une section est linéaire → les fibres extrêmes sont fortement sollicitées en tractionou en compression alors que celles situées à proximité de l'axe neutre de la section lesont très faiblement → il en résulte en quelque sorte une « sous-utilisation » de lamatière.

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▪ Dans une poutre en treillis, les sollicitations de flexion sont remplacées par desefforts normaux centrés → la distribution des contraintes est uniforme au sein desdifférentes sections , ce qui est évidemment beaucoup plus favorable, chaque fibre(et non plus, une partie de celles-ci comme c'est le cas avec la flexion) pouvanttravailler au maximum. Il en résulte une meilleure utilisation de la matière.

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POUTRES CONSTITUEES DE DEUX MATERIAUX ELASTIQUESDIFFERENTS

APPROCHE SIMPLIFIEE

1. Principe◦ On utilise souvent des poutres constituées de 2 matériaux différents.

◦ La poutre ci-dessus constituée d'une poutre en acier surmontée d'une dalle en béton(jouant le rôle de plancher) en est un exemple à condition qu'il n'y ait pas de glissemententre l'acier et le béton. Une telle poutre est appelée poutre mixte acier-béton.

◦ Pour empêcher le glissement et aussi le soulèvement de la dalle, on utilise desconnecteurs qui sont fixés sur l'aile supérieure de la poutre en acier.

◦ Il est important de noter que si cette solidarisation entre l'acier et le béton n'est pasréalisée, on n'a pas une poutre mixte acier-béton, mais bien 2 éléments distincts : unepoutre en acier et une dalle reposant sur la (les) poutre(s) en acier.

2. Méthode de calcul

◦ On remplace la couche de béton par une couche fictive en acier absorbant le même effort→ on obtient ainsi une section homogène « tout acier ».

◦ Effort N' absorbé par la couche de béton d'épaisseur dy : N '=σ ' b bdy (1)

◦ Effort N' équivalent absorbé par la couche correspondante d'acier : N '=σ ' a b1dy (2)

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◦ Par suite , (1) étant = à (2), il vient : σ ' b bdy=σ ' a b1 dy → σ ' b b=σ ' a b1 (3)

◦ Or : σ ' b=Eb ε et : σ ' a=Ea ε (même variation ε de longueur des matériauxpuisqu'ils sont solidarisés de manière à empêcher le glissement)

◦ Par suite, (3) devient : Ebεb=Ea εb1 → Eb b=E a b1

→ b1=bEb

Ea

et σ ' b=σ ' a

Eb

Ea

Voir aussi Doc G + Dossier CSTC N° 2009/04.06

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STRUCTURES EN ACIER

Bibliographie :

• Calcul des structures métalliques selon l'eurocode 3 J. MORELEyrolles

• Constructions en acier et en boisLtCol IMM GORISEcole Royale Militaire

• Traité de génie civil - Volume 10 / Construction métalliqueM.A. HIRT - R. BEZPresses Polytechniques et Universitaires Romandes

• Constructions et charpentes métalliquesC. VanaudenhoveECAM

Voir aussi :

• Stab Doc CM sur site espace-v.be

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ELEMENTS DE CALCUL DES SECTIONS FLECHIES SUIVANTEUROCODE 3

1. Cours RDM 1ère

◦ Calcul de résistance.▪ Charges majorées : x 1,5

▪ On imposait (pour une section symétrique) : σmax=M max

W el

≤σlimite avec

σlimite=24 kN /cm2 pour l'acier de construction S 235.

◦ Calcul de la flèche : pas de majoration des charges.

2. Eurocode 3

a) Charges Voir Partie « Notions générales ».

b) Classification des sections

▪ Les sections sont classées en 4 classes en fonction de différents critères (tenantnotamment compte des risques d'instabilité), classes allant de la classe 1 (la +performante) à la classe 4 (la – performante).

▪ Cette classification dépend également de la qualité de l'acier utilisé : un mêmeprofilé peut se trouver classé de façon différente suivant l'acier utilisé.

▪ Profilés marchands : Les classes sont données dans les catalogues.

▪ Profilés reconstitués soudés (PRS)• On déterminera la classe de l'aile et la classe de l'âme . La classe du profilé sera

la plus défavorable (celle de chiffre le plus élevé) des 2.

• La qualité de l'acier utilisé intervient dans cette détermination via ε : ε=√ 235f y

,

f y étant la limite d'élasticité de l'acier utilisé.

• Pour déterminer la classe de l'aile, il faut connaître t f et c :

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◦ Sict f

≤9ε → classe 1

◦ Si 9ε<ct f

≤10 ε → classe 2

◦ Si 10ε<ct f

≤14ε → classe 3

• Pour déterminer la classe de l'âme, il faut connaître d et tw :

◦ Sidtw

≤72ε → classe 1

◦ Si 72ε<dtw

≤83ε → classe 2

◦ Si 83ε<dtw

≤124 ε → classe 3

c) Contrôle de la résistance

• Moment fléchissant uniquement (M)

En l'absence d'effort tranchant, le moment fléchissant M dans chaque sectiontransversale, doit rester inférieur ou égal au moment résistant M R .Il faut M ≤M R avec :

◦ M R=M Rpl=W pl . f y pour les sections de classe 1 ou 2

avec :- W pl = module de flexion plastique = 2 x le moment statique de la 1/2 de la section (pour une section symétrique), donné dans les catalogues des profilés marchands ou à calculer pour un PRS. - f y : limite d'élasticité de l'acier utilisé.

◦ M R=M Rel=W el . f y pour les sections de classe 3

avec :- W el = module de flexion élastique. - f y :limite d'élasticité de l'acier utilisé.

• Effort tranchant (V)

L'effort tranchant V dans chaque section transversale doit rester inférieur ou égalà l'effort tranchant résistant V pl .Il faut V≤V pl=0,58 f y Avz

avec:- Avz=A−2bt f+(tw+2r) t f pour les profilés marchands (donné dans les catalogues. - Avz=(h−2t f ) tw pour les PRS.

• Moment fléchissant + effort tranchant (M+V)

Le moment résistant plastique M Rpl d'une section transversale est réduit par laprésence de cisaillement.Si l'effort tranchant est faible ( V≤0,5V pl ), cette réduction est négligeable eton impose comme précédemment : M ≤M Rpl .

26

Si par contre, l'effort tranchant est important ( V>0,5V pl ), il y a lieu d'en tenir

compte et on impose : M≤M V=(W pl−ρ Av

2

4tw

) f y

avec :- ρ=(2VV pl

−1)2

- Av=ht w

d) Calcul de la flèche

Inchangé

27

POUTRES D'EGALE RESISTANCE A LA FLEXION PRINCIPE DE CALCUL (MODE ELASTIQUE)

1. Introduction

◦ Généralement, le moment fléchissant varie d'un point à l'autre d'une pièce fléchie. Si l'onmaintient partout la même section conditionnée par la valeur maximum du momentfléchissant, le matériau est sous-utilisé sauf là où précisément, le moment fléchissant estmaximum. En fait, σmax=Mv / I (et σ ' max=Mv ' / I ) sera égal à σlimite ( σ ' limite )uniquement dans la section où M est maximum. Cela conduit bien évidemment à ungaspillage de matériau particulièrement important lorsque les poutres ont une grandeportée.

◦ Si l'on veut maintenir σmax ( σ 'max ) constant et égal à σlimite ( σ ' limite ), il fautfaire varier le module de flexion W (W') avec la valeur de M. En fait, il faudra lediminuer quand M diminue, de manière à avoir idéalement dans chaque section :

σmax=σlimite (et σ 'max=σ ' limite )

◦ Pour atteindre cet objectif, on fera varier la section de la poutre en faisant varier sahauteur, sa largeur, la largeur et/ou l'épaisseur des ailes. Dans le cas de profilésmétalliques, on peut également envisager de souder des plats sur les ailes.

2. Variation de la hauteur de construction

a. Poutre reposant sur 2 appuis d'extrémité, de section rectangulaire, sollicitée par unecharge uniformément répartie

On va faire varier la hauteur y en fonction de l'abscisse x et considérer que y = h làoù M est max. Et : Poutre d'égale résistance à la flexion = poutre telle qu'en chaque section :σmax=σlimite .

On a :

◦ M =plx2

−px2

2=

plx− px2

2

Or : σmax( x)=M (x )

W et : W=

by2

6→ σmax( x)=

3p( lx−x2)

by2

28

◦ M max=M c=pl 2

8et σmax(C )=

pl 2

8bh2

6

=3pl2

4bh2=σ limite

◦ Et puisque on doit avoir partout : σmax=σlimite=σmax (C ) , il vient :

3p(lx−x2)

by2 =3pl 2

4bh2 → y=2hl

√ lx−x2

b. Poutre reposant sur 2 appuis , de section rectangulaire, sollicitée par une chargeponctuelle centrée F

▪ En suivant un raisonnement analogue à celui développé au point précédent , il vient

que : y=h √ 2xl

.

3. Poutre en I avec plats soudés sur les ailes

◦ Données :▪ poutre de 10 m de long▪ charge (majorée, poids propre inclus) de 8 kN/m

29

▪ on impose : σlimite = 20 kN/cm2

▪ profilé HEA 180▪ plats de 1 cm d'épaisseur et de 16 cm de large

◦ On demande de composer la poutre la + économique.

◦ M max=pl 2

8=

8. 102

8=100 kNm → W≥

M maxσ limite

=10000

20=500cm3

→Il faudra renforcer le profilé car son module de flexion est insuffisant : W HEA180=296,3cm3

<500cm3 requis.

◦ Voyons si en soudant un plat de 16 cm de large et 1 cm d'épaisseur sur chaque aile, lemodule de flexion est suffisant.

W ( HEA180+2plats )=537cm3>500cm3 →ce sera OK

◦ Longueur de renforcementTant que M max≤M (résistant HEA180) →HEA180 OKDés que M max>M (résistant HEA180) , le profilé doit être renforcé

M (résistant HEA180)=W HEA180 .σlimite=293,6 .20=5872kNcm=58,72 kNmIl faudra renforcer le profilé si : M (x )≥M (admissibleHEA180 ) → Or M(x) = 40x – 4x2 → On

doit résoudre l'inéquation : 40 x−4x2≥58,72

◦ On trouve : 1,78≤x≤8,22 →il faut donc renforcer le profilé entre 1,78 et 8,22 m .

◦ Voir également résolution avec RDM 6 flexion

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RESISTANCE A UN EFFORT NORMAL

• N max=Af yγR

avec :◦ A : section d'acier

◦ fy : limite d'élasticité

◦ γR =1,1

• Remarque : si l'effort normal est un effort de compression, il faut encore bien entenducontrôler le flambement.

• Assemblage métallique déforcé par des trous :

N max=0,9 f u

Anet

1,25

avec :

◦ Anet = section nette (section – les trous)

◦ fu : contrainte de rupture

31

LES ASSEMBLAGES – GENERALITES

1. Rôle des assemblages

◦ Un assemblage est un dispositif permettant de réunir et de solidariser plusieurs piècesentre elles, en assurant la transmission et la répartition des diverses sollicitations entreles pièces.

◦ On notera d'emblée qu'étant donné les particularités géométriques des pièces àassembler, des pièces intermédiaires (goussets, cornières, platines, ...) sont souventrequises et que l'on doit également avoir parfois recours à des modes d'assemblagedifférents pour assembler des pièces.

◦ La figure ci-dessus représente un exemple d'assemblage rigide (encastrement) d'unepoutre IPE sur un poteau HEB.Sont utilisés pour réaliser cet assemblage :▪ 2 modes d'assemblage : la soudure pour la fixation de la poutre à la platine, des

boulons pour la fixation de la platine au poteau,▪ des pièces intermédiaires : la platine et les raidisseurs qui renforcent le poteau au

niveau de l'assemblage réalisé.

2. Classification en fonction de la nature des éléments assemblés

◦ On distingue 3 grandes familles d'assemblages en fonction de la nature des élémentsassemblés :

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▪ les assemblages de type A → assemblages de pièces qui ne jouent pas le même rôleconstructif (cas par exemple d'une poutre avec un poteau),

▪ les assemblages de type B → assemblages de pièces qui jouent le même rôleconstructif, ce sont des assemblages de continuité, de prolongation dune mêmmepièce,

▪ les assemblages de type C → assemblages avec les appuis.

3. Classification en fonction de la rigidité

◦ On distingue :▪ les assemblages articulés qui transmettent uniquement les efforts normaux et

tranchants mais qui sont incapables de transmettre un moment,▪ les assemblages rigides qui outre les efforts normaux et tranchants transmettent les

moments fléchissants → fonctionnent comme des encastrements,▪ les assemblages semi-rigides.

◦ Différents diagrammes des moments fléchissants pour une poutre fixée à 2 poteauxsuivant la rigidité de l'assemblage

▪ On voit assez clairement sur ces diagrammes l'intérêt des assemblages semi-rigides(moment en travée = moments sur appuis → bonne utilisation de l'acier de la poutre).

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( Extrait de «Calcul des structures métalliques selon Eurocode 3 _ J. MOREL)

◦ Un assemblage sera considéré comme articulé, rigide ou semi-rigide suivant la façondont les éléments sont assemblés.

4. Classification en fonction des moyens d'assemblage

◦ Les principaux moyens d'assemblage sont :▪ le rivetage (actuellement principalement utilisé pour la fixation de tôles minces

comme les bardages de façade),▪ le boulonnage par boulons ordinaires,▪ le boulonnage par boulons précontraints (boulons HR),▪ le soudage, ▪ le collage .

◦ Le choix d'une de ces techniques d'assemblage dépend souvent de l'endroit où il fautréaliser l'assemblage :▪ En atelier, on accorde la préférence aux assemblages soudés parce que la section

n'est pas affaiblie par la présence de trous et parce que le soudage peut être effectuédans de bonnes conditions.

▪ Sur chantier, on accorde en revanche la préférence aux assemblages boulonnés (parboulons HR ou non) parce qu'il n'est pas facile de souder sous toutes les conditionsclimatiques et parce que l'emploi de boulons permet un petit jeu de montage : lestrous qui sont réalisés d'avance en atelier, ne doivent pas nécessairement être ronds,ils peuvent être oblongs.

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5. Classification en fonction du mécanisme de fonctionnement

◦ Il n'existe que 2 mécanismes de fonctionnement pour les assemblages :▪ le fonctionnement par obstacle : c'est le cas des assemblages par boulons ordinaires

dont les tiges font « obstacle » et empêchent toute séparation des élémentsassemblés ; ces tiges fonctionnent en cisaillement éventuellement accompagnés detraction,

▪ le fonctionnement par adhérence : ce mode de fonctionnement concerne lesassemblages soudés et les assemblages réalisés par boulons HR ; la transmission desefforts s'effectue par adhérence des surfaces des pièces en contact,

▪ le fonctionnement mixte : ce mode ce fonctionnement concerne les assemblagesboulonnés par boulons HR, dans lesquels les boulons assurent la transmission desefforts par adhérence des pièces jusqu'à une certaine limite, qui lorsqu'elle estdépassée fait fonctionner les boulons par obstacle et non par adhérence.

6. Remarque importante concernant les assemblages

Un assemblage constitue un point faible d'une structure. C'est pourquoi il est souventconseillé de surdimensionner les assemblages plutôt que les éléments de poutre . Si unélément de poutre n'est pas assez résistant, ce fait sera constaté à temps par des déformationsexcessives. En revanche, si c'est l'assemblage qui est trop faible, celui-ci se rompra sansavertissement avec tous les risques que cela implique.

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LES ASSEMBLAGES BOULONNES (PAR BOULONS ORDINAIRES)

1. Description des boulons ordinaires

◦ Les boulons utilisés en construction en acier sont désignés par la lettre M, suivie dudiamètre d en mm et, éventuellement de la longueur l b de la tige en mm . Dés que lediamètre nominal est fixé, les autres caractéristiques sont connues. Voir tableau ci-dessous.

◦ La qualité d'acier des boulons ordinaires est désignée par 2 chiffres : le premier chiffreest égal au 1/100 de la contrainte de rupture en traction f ub , et la limite d'élasticité

f y est égale à 10 fois le produit des 2 chiffres (unité : MPa).

◦ Les 2 dernières lignes du tableau indiquent quels boulons il est conseillé d'utiliser enfonction de l'épaisseur de la plus mince des tôles ou de la longueur des ailes descornières.

◦ La qualité d'acier la plus utilisée est la qualité 4.6 (tout au moins pour les boulonsordinaires).

◦ Notons encore que dans le cas des boulons ordinaires, il n'y a aucun contrôle de l'effortde serrage : les boulons ne sont soumis qu'à un serrage initial correspondant à l'effortd'un homme appliquant sa pleine force sur une clé de serrage ordinaire.

2. Positionnement des boulons

◦ Pour les assemblages boulonnés ordinaires, l'EC 3 impose des prescriptions relatives aupositionnement des boulons qui sont totalement indépendantes des contrôles derésistance.

36

◦ Il semble notamment évident que les trous de forage ne peuvent pas se trouver trop prèsdes bords des tôles, mais ils ne peuvent pas non plus en être trop éloignés, pour éviterque de l'eau ou de la poussière ne s'infiltre.

◦ Les exigences de l'EC 3 sont résumées dans le tableau ci-dessous :

3. Dimensionnement

◦ Coefficients partiels de sécurité

▪ Résistance des boulons au cisaillement : γMb=1,25

▪ Résistance des boulons à la traction : γMb=1,5

◦ Assemblages sollicités en cisaillement

▪ Il faut vérifier :• la résistance au cisaillement des boulons,

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• la résistance à la pression diamétrale des pièces (si l'effort de cisaillement exercépar un boulon sur les tôles est trop important, il peut déchirer les tôlesassemblées).

▪ Résistance des boulons au cisaillement par plan de cisaillement

• Pour les qualités 4.6, 5.6 et8.8 : FV=0,6. f ub .AγMb

• Pour les qualités 4.8, 5.8, 6.8 et 10.9 : FV=0,5. f ub .AγMb

avec: A=Ab (aire partie lisse) si plan de cisaillement dans la partie lisse A=As (aire partie filetée) si plan de cisaillement dans la partie filetée γMb=1,25

• Remarque : si on a 2 plans de cisaillement, FV doit évidemment être multilpiépar 2.

▪ Résistance à la pression diamétrale des pièces assemblées

F B=2,5.α . f u.d .t

γMb

avec : α = Min{e1

3d0

;p1

3d0

−14

;f ub

f u

;1 }

– les 2 premières valeurs dépendent du positionnement desboulons

– fu : contrainte de rupture de l'acier constitutif des piècesassemblées ( f u=360 MPa pour l'acier S235, 430 MPapour l'acier S275, 510 MPa pour l'acier S355)

– t : épaisseur de la plus mince pièce assemblée.

On devra contrôler que F B≥F (repris par un boulon)=F

nombre de boulons

◦ Assemblages sollicités à la traction

La résistance en traction d'un boulon vaut : FT=0,9. f ub .A sγMb

(avec γMb=1,5 )

◦ Assemblages sollicités à la fois au cisaillement et à la traction

▪ Il faut faire le contrôle en traction comme indiqué au point précédent et avec lacombinaison « cisaillement + traction »

▪ Un boulon soumis à des efforts combinés de cisaillement V et de traction T doit

satisfaire à la condition suivante :VFV

+T

1,4 FT

≤1

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LES ASSEMBLAGES BOULONNES PAR BOULONS PRECONTRAINTS

1. Principe

◦ Dans le cas d'un assemblage avec boulons précontraints, c'est le frottement entre lespièces assemblées qui empêche le déplacement, le glissement des pièces en question.

◦ Le comportement des assemblages avec des boulons précontraints est donc conditionnépar le frottement entre les pièces assemblées. Les pièces dans une première phase nepeuvent glisser les unes par rapport aux autres et ne viennent donc pas en contact avec latige des boulons. Il est bien évident que le frottement entre les pièces est proportionnel àla force de précontrainte des boulons et dépend également de l'état de surface des piècesassemblées.

◦ Enfin, dans une deuxième phase, si l'on augmente l'effort tendant à séparer les pièces,elles vont finir par glisser les unes par rapport aux autres et par se mettre en contact avecles tiges des boulons. A partir de ce moment, l'assemblage fonctionne comme unassemblage boulonné classique. Notons néanmoins que les boulons précontraints ne sontpas conçus pour fonctionner de la sorte, c'est-à-dire pour fonctionner en « obstacle » encisaillement.

◦

F p : effort de précontrainte axiale dans le boulon → effort qui pince les pièces entre elles de manière à ce que l'assemblage se réalise par frottement ; c'est aussi en vertu du principe de l'action et de la réaction l'effort de traction qui se développe dans la tige du boulon.

F s : effort de cisaillement transmis par l'assemblageμ :coefficient de frottement des pièces assemblées

→Il faut : F s≤μ F p (formule complète : V.P.L.)

2. Précautions constructives

◦ La tête des boulons ne doit pas poinçonner les pièces assemblées (d'où interpositiond'une rondelle).

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◦ La force de précontrainte doit bien être appliquée à sa valeur de calcul (d'où l'importancedu couple de serrage et la nécessité d'employer des clés dynamométriques oupneumatiques - V.P.L.).

◦ Le coefficient de frottement μ doit correspondre à sa valeur de calcul. Cela nécessiteune préparation des surfaces qui sont classées comme suit :

3. Caractéristiques des boulons précontraints

◦ D'un point de vue géométrique, il y a peu de différence entre un boulon précontraint etun boulon ordinaire.

◦ Différences par rapport aux boulons ordinaires▪ La forme du filet est plus arrondie : cela est dû au fait que la tige d'un boulon

précontraint est en permanence sollicitée en traction. Grâce à un meilleur dessin dufilet, on réduit la concentration des contraintes.

▪ Comme il est nécessaire d'introduire une forte précontrainte et que celle-ci estproportionnelle à la contrainte de rupture f ub de l'acier des boulons, il y aévidemment intérêt à ce que cette dernière soit la plus élevée possible, c'est pourquoiseuls les boulons de classes 8.8 et 10.9 sont autorisés pour les assemblages parboulons précontraints (d'où également la dénomination « boulons à haute résistanceou boulons HR » donnée aux boulons précontraints).

▪ Du fait que les boulons précontraints ne travaillent en principe pas comme obstacle,les trous de forage peuvent être plus grands que pour les boulons ordinaires, ce quipermet un plus grand jeu au montage.

◦ Force de précontrainte L'effort de précontrainte autorisé dans les boulons vaut : F p=0,7 f ub . As

• A s : section résistante du boulon

• f ub : contrainte de rupture de l'acier du boulon (800 MPa pour les boulons de classe 8.8, 1000 MPa pour les boulons de classe 10.9).

40

4. Serrage des boulons

◦ Il existe une relation entre l'effort de précontrainte et le couple de serrage à appliquer : C=0,9 K.d.F p

avec : ▪ K : coefficient de frottement vis écrou au niveau du filet (= 0,2 : valeur moyenne),▪ d : diamètre du boulon,▪ Fp : effort de précontrainte.

◦ Pour effectuer le serrage, on utilise une clé dynamométrique manuelle ou pneumatique.

◦ Notons encore que dans un assemblage réalisé avec des boulons précontraints, le serragedoit être effectué progressivement et dans un ordre préétabli.

5. Dimensionnement

◦ Assemblage sollicité au cisaillement - Résistance au glissement d'un boulonprécontraint ou boulon HR

▪ La résistance au glissement F s d'un boulon HR vaut : F s=k s. m.μ . F p

γMs avec :

• k s : coefficient dépendant de la dimension des trous de perçage

◦ = 1 :pour les trous à tolérances normales (1mm pour les boulons dediamètres 12 et 14 mm, 2 mm pour les boulons de diamètres 16 à 24 mm, 3 mm pour les boulons de diamètres 27 mm et plus),

◦ = 0,85 : pour les trous surdimensionnés et oblongs courts◦ = 0,7 : pour les trous oblongs longs.

• m : nombre de surfaces d'adhérence (surfaces en contact)• μ : coefficient de frottement des surfaces en contact• F p : effort de précontrainte appliqué au boulon

• γMs : coefficient de sécurité (valeur à l'ELU)

◦ = 1,25 : pour les trous à tolérances normales ainsi que pour les trous oblongsdont le grand axe est perpendiculaire à l'axe de l'effort,

◦ = 1,4 : pour les trous surdimensionnés ainsi que pour les trous oblongs dontle grand axe est parallèle à l'axe de l'effort.

◦ Assemblage sollicité simultanément au cisaillement et à la traction - Résistance auglissement d'un boulon précontraint ou boulon HR

▪ si l'assemblage est sollicité à la fois au glissement et à la traction (soit FT l'effortde traction), on a une diminution de la précontrainte estimée à 80% de l'effort detraction FT ) et la résistance au glissement d'un boulon HR vaudra alors :

F s=k s. m.μ .(F p−0,8 FT )

γMs

41

LES ASSEMBLAGES SOUDES

1. Description – Généralités

◦ Un cordon de soudure est destiné à créer une continuité entre 2 pièces d'acier par unapport d'acier en fusion qui est mélangé à du matériau de base localement fondu paréchauffement.

◦ Le soudage implique donc :▪ L'existence d'une source de chaleur : les procédés à l'arc électrique sont les plus

couramment utilisés en construction métallique, les électrodes pouvant être fusibleou non.

▪ Une aptitude du matériau à être soudé, appelée soudabilité.

◦ Différents paramètres limitatifs tels que :▪ apparition de déformations géométriques dues aux effets de dilatation et de retrait,▪ naissance de contraintes internes liées au phénomène susmentionné,

nécessitent des précautions particulières (V.P.L.).

◦ Le soudage présente par rapport au boulonnage, plusieurs avantages :▪ Il assure la continuité de la matière et de ce fait, il garantit une bonne transmission

des sollicitations.▪ Il dispense de devoir recourir à des pièces intermédiaires (platines, goussets,...).▪ Il est plus esthétique et moins encombrant que le boulonnage.▪ Il ne réduit pas la résistance des pièces assemblées par la présence de trous de

forage.▪ Il permet la réalisation d'assemblages étanches.

◦ Il présente cependant différents inconvénients :▪ Le métal de base doit être soudable.▪ Le contrôle des soudures est nécessaire et coûteux.▪ Le contrôle des soudeurs est aléatoire.▪ Le soudage exige un matériel spécifique et du personnel qualifié.

◦ Notons encore que la soudure est le procédé d'assemblage le plus utilisé pour lafabrication en atelier. Son emploi sur chantier est cependant moins répandu à cause desconditions climatiques qui peuvent être parfois défavorables.

2. Techniques de soudage

◦ Ult.

3. Types de soudures et précautions recommandées

◦ Soudures bout-à-bout

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▪ Pour faciliter la réalisation des cordons de soudure, il est recommandé de chanfreinerles bords des tôles à assembler.

▪ Le choix de la forme et les dimensions des chanfreins dépendent de l'épaisseur destôles à assembler, de la possibilité de souder des deux côtés de la pièce et de lanécessité de réduire la déformation angulaire (par exemple, soudure en double V à laplace d'une soudure en V afin de répartir l'échauffement sur les deux faces de lapièce).

( Extrait de «Calcul des structures métalliques selon Eurocode 3 _ J. MOREL)

◦ Soudures d'angle

( Extrait de «Calcul des structures métalliques selon Eurocode 3 _ J. MOREL)

◦ Assemblages en T

( Extrait de «Calcul des structures métalliques selon Eurocode 3 _ J. MOREL)

4. Précautions constructives

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◦ La fusion locale et le réchauffement du matériau de base lors du soudage vont provoquerla dilatation locale des pièces. Au cours du refroidissement, le matériau réchauffé secontractera dans toutes les directions provoquant une tendance du cordon de soudure àrétrécir tant en longueur qu'en épaisseur, ce qui provoquera des déformations des piècesde l'assemblage.

◦ En revanche, si la masse de matière froide autour de la soudure empêche celle-ci de secontracter, il apparaîtra dans la soudure et les pièces assemblées des contraintes internesappelées contraintes résiduelles de soudage.

◦ Il existe différentes méthodes permettant de limiter les effets néfastes du soudage :• éviter d'assembler des pièces de trop grande différence d'épaisseur ;• préchauffer les pièces pour réduire leur vitesse de refroidissement ;• post-chauffer les pièces ;• donner aux pièces des déformations contraires à celles qui seront produites par le

soudage, ..

5. Calcul des cordons de soudure

◦ Soudures bout-à-bout à pleine pénétration

La résistance du métal d'apport déposé lors du soudage étant supérieure ou égale à celledu matériau des pièces assemblées, il n'est pas utile de contrôler la résistance de cescordons (les tôles rompront avant les cordons de soudure).

◦ Soudures d'angle et soudures à pénétration partielle

Il faut que : a Σ l≥βw γMwN √3

f u

avec :

▪ a :épaisseur de gorge du cordon,

Elle dépend de l'épaisseur des pièces à assembler

44

▪ l : longueur utile du cordon,▪ N : effort pondéré appliqué à chaque cordon, supposé centré au milieu du cordon,▪ βw et γMw : coefficients dépendant de la nuance de l'acier.

f y (MPa) f u (MPa) βw γMw

235 360 1

275 430 1,1

355 510 1,2

◦ Assemblages de pièces fléchies (cordons entre âme et semelles d'une poutrereconstituée)

Il faut que : a ≥βw γMw

tw

2 (tw : épaisseur de l'âme)

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COMPLEMENTS SUR LES ASSEMBLAGES

Voir Doc CM 1 et Doc CM 2

46

PANNES DE TOITURE – CALCUL EN ELASTICITE

1. Introduction

◦ La structure porteuse d'une toiture usuelle est constituée de pannes reposant sur lestraverses de cadres ou sur les fermes.

◦ Le rôle principal des pannes est de supporter la couverture et les charges appliquées àcelle-ci (neige, vent) et de les transmettre aux cadres ou aux fermes.

◦ Les pannes sont disposées dans le plan des versants, parallèlement à la ligne de faîtage.◦ En plus de reporter les charges de la couverture, elles contribuent à assurer le

contreventement de la toiture (elles contribuent à assurer la stabilité transversale desfermes et portiques).

2. Entraxe et portée des pannes

◦ L'entraxe des pannes (distance entre 2 pannes voisines), le plus souvent constant estdéterminé par la portée admissible des éléments de la couverture (donnée ainsi que lepoids propre dans les catalogues des fabricants), pratiquement de 1 m (plaques onduléesen fibrociment) à 4 m (tôles profilées de couverture).

◦ De plus, lorsque les pannes reposent sur des fermes en treillis, elles doivent passer parles noeuds supérieurs de ceux-ci.

◦ La portée des pannes correspond à l'entraxe des portiques ou fermes (de 5 m à 15 m).

3. Disposition et constitution des pannes

◦ Lorsque la toiture est plate, les pannes dont l'âme est verticale, sont fléchies suivant leuraxe fort. On utilise alors des profilés IPE qui conviennent bien à ce type de sollicitation.

◦ Lorsque la toiture est inclinée, on les dispose le plus souvent perpendiculairement auversant et il en résulte qu'elles sont alors sollicitées en flexion oblique (flexion suivantl'axe fort + flexion suivant l'axe faible). Les profilés HEA sont alors courammentutilisés.

◦ Il est encore fait usage de profilés minces (tôles pliées à froid) de section en Z, U ou Σ.

4. Fixation des pannes aux fermes ou portiques

◦ Les pannes sont posées sur les fermes ou montants de cadre et assemblées parboulonnage.

◦ Lorsque la toiture est inclinée, elles sont assemblées aux fermes par l'intermédiaire depièces en équerre appelées échantignoles, le but de ces pièces étant d'éviter le glissementou le basculement des pannes lors du montage.

47

5. Systèmes statiques

◦ On considère les appuis des pannes sur les fermes ou montants de cadre comme desappuis simples.

◦ Le système statique des pannes peut être de plusieurs types : poutre simple (poutre sur 2appuis d'extrémité), poutre cantilever ou poutre continue.

◦ La poutre simple présente les inconvénients d'une relative mauvaise utilisation de lamatière, mais aussi et surtout de flèches importantes.

◦ La poutre cantilever, fort utilisé dans le passé, est encore d'usage pour les pannes enbois.

48

◦ La poutre continue est la solution la plus répandue. Les pannes peuvent être continuessur toute la longueur d'une construction ou seulement sur 2 ou 3 travées en fonction de lalongueur de livraison des profilés (12 à 15 m).

◦ En cas de pannes continues sur 2 ou 3 travées, on veillera à ne pas disposer tous lesappuis d'extrémité au droit du même cadre, le but étant d'équilibrer les charges quiagissent sur les différents cadres ou fermes. En cas de pannes continues, les premierscadres intermédiaires seront en effet plus chargés que les autres. On peut aussi pourpalier à cet inconvénient réduire l'entraxe des cadres extrêmes.

6. Liernes

◦ Afin de palier la flexion s'exerçant suivant l'axe faible des pannes (et tenant compte de lafaible inertie transversale des profils de pannes), on peut réduire leur portée en les reliantentre elles par des liernes, situées à mi-portée ou au tiers de la portée.

7. Calcul

◦ Utilisation logiciel RDM 6 Flexion.◦ Il faut :

▪ σmax(calculéavec charges majrées)≤ f y

▪ f max(calculé aveccharges non majorées)≤portée200

(exigence souvent la plus

déterminante dans le dimensionnement des pannes, car plus défavorable que lacondition de résistance).

◦ Charges à prendre en considération :

49

▪ Poids propre des éléments :• poids propre panne : 6 daN /m2 en première estimation,• poids propre couverture : dépend de la nature de la couverture (donnée fabricant,

± 18 daN/m² pour une couverture en amiante ciment, ± 10 daN/m² pour unecouverture en bac acier nervuré).

▪ Action du vent .▪ Action de la neige : voir norme.

◦ L'entraxe des pannes dépend de la nature de la couverture et de la charge qu'ellesupporte.

50

PORTIQUES ET STRUCTURES POTEAUX – POUTRE

1. Portique

◦ Les bâtiments à portiques sont en général des structures de faible hauteur, comprenantdes poteaux et des traverses horizontales inclinées, liés par des assemblages résistantsaux moments (assemblages rigides).

◦ Les portiques à pieds de poteaux articulés sont en général préférés aux portiques à piedsde poteaux encastrés.

◦ Calcul des efforts : utilisation logiciel RDM 6 Ossatures◦ Table de pré-dimensionnement : voir Doc CM 3 Page 19.

2. Structures poteaux-poutre à pieds de poteaux articulés

◦ Les assemblages ne transmettent pas les moments fléchissants. Par suite, les poteauxsont sollicités principalement exclusivement en compression, ce qui permet l'utilisationde poteaux de plus faibles dimensions. Par contre, la poutre aura des dimensions plusimportantes (moment plus importants).

◦ Calcul des efforts : utilisation logiciel RDM 6 Ossatures◦ Table de pré-dimensionnement : voir Doc CM 3 Page 22.

51

BETON ARME

Bibliographie

• Béton arméBAEL 91 modifié 99 et DTU associésJean-Pierre MouginEyrolles

• Pratique de l'Eurocode 2Jean RouxEyrolles

Voir aussi :

• Stab Doc B sur site espace-v.be

• NIT 260 (Ferraillage du béton) sur site CSTC

52

Sections réelles d'armatures

(section en cm², diamètres d'armature en mm)

6 8 10 12 14 16 20 25 32 40

1 0,28 0,5 0,79 1,13 1,54 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57

2 0,57 1,01 1,57 2,26 3,08 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13

3 0,85 1,51 2,36 3,39 4,62 6,03 9,42 14,73 24,13 37,7

4 1,13 2,01 3,14 4,52 6,16 8,04 12,57 19,64 32,17 50,27

5 1,41 2,51 3,93 5,65 7,7 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83

6 1,7 3,02 4,71 6,79 9,24 12,06 18,85 29,45 48,25 75,4

7 1,98 3,52 5,5 7,92 10,78 14,07 21,99 34,36 56,3 87,96

8 2,26 4,02 6,28 9,05 12,32 16,08 25,13 39,27 64,34 100,5

9 2,54 4,52 7,07 10,18 13,85 18,1 28,27 44,18 72,38 113,1

10 2,83 5,03 7,85 11,31 15,39 20,11 31,42 49,09 80,42 125,7

11 3,11 5,53 8,64 12,44 16,93 22,12 34,56 54 88,47 138,2

12 3,39 6,03 9,42 13,57 18,47 24,13 37,7 58,91 96,51 150,8

13 3,68 6,53 10,21 14,7 20,01 26,14 40,84 63,81 104,6 163,4

14 3,96 7,04 11 15,83 21,55 28,15 43,98 68,72 112,6 175,9

15 4,24 7,54 11,78 16,96 23,09 30,16 47,12 73,63 120,6 188,5

53

Dispositions constructives générales

1. Disposition des armatures

◦ Les armatures longitudinales sont disposées en lits horizontaux et en files verticales.◦ Les files de tous les lits doivent se correspondre.

(a) : 1er lit(b) : 2ième lit(c) : lit supérieur(d) : file verticale

◦ Une section d'armatures doit obligatoirement être symétrique par rapport à l'axe desymétrie de la section de béton.

◦ Lorsqu'une section comporte 2 lits, si les armatures du 2ième lit sont en nombreinférieur à celles du premier lit, elles doivent toujours être disposées, de façonsymétrique, vers l'extérieur de la section, le « vide » se trouvant au centre.

◦ Lorsqu'on se déplace de l'extérieur de la section vers l'intérieur, que ce soithorizontalement ou verticalement, le diamètre des barres rencontrées ne peut augmenter.

2. Diamètres

◦ Section comportant un seul lit : possibilité d'utiliser des barres de 2 diamètres différentsne différant pas dans la mesure du possible, de plus de 3 intervalles dans la liste desdiamètres (tableau sections réelles d'armatures).

54

◦ Section comportant 2 lits : possibilité d'utiliser des barres de 2 diamètres différents danschaque lit ; mais pour l'ensemble de la section, on utilisera au maximum 3 diamètresdifférents ne différant pas dans la mesure du possible, de plus de 3 intervalles dans laliste des diamètres (tableau sections réelles d'armatures).

3. Enrobage des armatures c

◦ L'enrobage, noté c, est la distance du nu d'une armature au parement le plus voisin.◦ c doit être ≥

▪ valeur définie en fonction de l'exposition de l'élément considéré :• 4 cm pour ouvrages à la la mer ;• 2 cm pour parements exposés (ou susceptibles de l'être) aux intempéries ou aux

condensations, ou au contact d'un liquide ;• 1 cm pour les parois dans locaux fermés et non exposés à d'éventuelles

condensations ;▪ son diamètre.

3. Distance entre barres

◦ La distance eh entre 2 barres voisines doit être ≥ à :▪ leur diamètre ;▪ 1,5cg , cg étant la grosseur du plus gros granulat utilisé (2,5 cm en général).

◦ On peut également utiliser (J. Roux) comme distance entre axes d'armature :▪ a H=8 cm si plus grand diamètre<25mm

▪ a H=10cm si plus grand diamètre≥25mm

4. Adhérence et ancrages

◦ La résistance d'une pièce en béton armé suppose que les glissements éventuels desarmatures par rapport au béton qui les enrobe sont limités à des valeurs acceptables. Ilfaut une « adhérence » suffisante.

◦ Ancrages :▪ Ancrages rectilignes

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• La longueur d'ancrage l s d'une barre est la distance nécessaire entre sonextrémité et le début de la section où la barre est tout à fait « opérationnelle »,c'est-à-dire qu'elle est capable de reprendre l'effort calculé. Il faut en quelquesorte une certaine longueur avant que « la sauce prenne ».

• Pour les arrêts d'armatures longitudinales tendues ou comprimées dans leséléments fléchis, on peut adopter les valeurs suivantes :◦ l s = 40 x le diamètre de la barre si barre HA Fe E400

◦ l s = 50 x le diamètre de la barre si barre HA Fe E500

▪ Ancrages par courbure• La longueur d'ancrage rectiligne est souvent importante et si la place disponible

n'est pas suffisante, il est nécessaire de réaliser des ancrages courbes.• Voir NIT 217.

◦ Jonctions de barres▪ Jonctions par recouvrement

• Lorsque les longueurs des barres nécessaires dépassent les longueurs disponibles,on peut les prolonger par d'autres en les faisant chevaucher sur une certainelongueur appelée longueur de recouvrement.

• On prendra cette longueur égale à la longueur d'ancrage rectiligne.▪ D'autres techniques peuvent encore être utilisées : soudage, utilisation de coupleurs

(manchons de jonction). Voir NIT 217

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FC 1 : DETERMINATION DES ARMATURES A PLACER DANS UNPOTEAU DE SECTION DONNEE

1. Données

◦ a et b avec : a≤b (en m)◦ f c28 (en MPa)

◦ f e (en MPa)

◦ N u : charge ultime devant être supportée par le poteau (en MN)

◦ l f : longueur de flambement du poteau (en m)

2. Inconnues

◦ Armatures longitudinales et transversales à placer dans le poteau.

3. Calcul des armatures longitudinales

1°) f bc=0,85 f c28

1,5 (MPa)

2°) σ su=f e

1,15(MPa)

3°) Br=(a−0,02) .(b−0,02) (m²)

4°) λ=√12 l f

a (sans dimension)

5°) β

▪ si λ≤50 → β=1+0,2 ( λ35

)2

(sans dimension)

▪ si 50≤λ≤70 → β=0,85λ

2

1500 (sans dimension)

6°) A≥

βN u−B r

f bc

0,90,85σ su

(en m² – pour obtenir le résultat en cm², il faut multiplier ce dernier

résultat par 10 000).

7°) Il faut encore contrôler que A est bien supérieur au minimum technologique :

57

• A≥8cm² .(a+b) (avec A en cm² et a et b en m)

• 0,0 02≤AB≤0,05 (avec A en cm² et B = a.b : section du poteau en cm²)

Si A est négatif, nul ou encore inférieur au minimum technologique, on mettra le minimum technologique).

4. Dispositions constructives

◦ Pour les sections rectangulaires (a<b), la distance maximale c de 2 barres voisines doitrespecter : c≤Min(a+10 cm ;40cm) .

◦ Les armatures doivent être réparties le long des parois :▪ sections polygonales : au moins une barre dans chaque angle ;▪ sections circulaires : au moins 6 barres régulièrement réparties.

5. Armatures transversales◦ Elles se déterminent par des règles forfaitaires.◦ Elles doivent entourer toutes les barres longitudinales.◦ Leur espacement sera (NIT 217) ≤ à :

▪ 12 fois le diamètre minimal des barres longitudinales,▪ 30 cm,▪ la plus petite dimension de la colonne (Diamètre pour une colonne de section

circulaire).◦ Leur diamètre sera (NIT 217) ≥ à :

▪ 6mm pour barres longitudinales ayant un diamètre compris entre 12 et 20 mm,▪ 8mm pour barres longitudinales ayant un diamètre de 25 ou 32 mm,▪ 10 mm pour barres longitudinales de 40 mm de diamètre.

Extrait NIT 217

58

FC 2 : CALCUL D'UN POTEAU DE SECTION RECTANGULAIRE AVECUNE DIMENSION IMPOSEE

1. Données

◦ f c28 (en MPa)

◦ f e (en MPa)

◦ N u : charge ultime devant être supportée par le poteau (en MN)

◦ l f : longueur de flambement du poteau (en m)

◦ une des dimensions du poteau (en m)

2. Inconnues

◦ L'autre dimension du poteau ainsi que les armatures longitudinales et transversales àplacer dans le poteau.

3. Calcul

1°) f bc=0,85 f c28

1,5 (MPa)

2°) σ su=f e

1,15(MPa)

3°) λ=√12 l f

dimension imposée

4°) β=1+0,2 ( λ35

)2

5°) K=1

f bc

0,9+0,0085σ su

(MPa-1 ou m² /MN)

6°) Br=K β N u (m²)

7°) c=0,02+√Br (m) → autre dimension du poteau

8°) Adaptation des dimensions.

9°) Calcul des armatures suivant FC 1.

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FC 3 : CALCUL D'UN POTEAU RECTANGULAIRE DE DIMENSIONSINCONNUES

1. Données

◦ f c28 (en MPa)

◦ f e (en MPa)

◦ N u : charge ultime devant être supportée par le poteau (en MN)

◦ l f : longueur de flambement du poteau (en m)

2. Inconnues

◦ Section du poteau et armatures longitudinales et transversales à placer.

3. Calcul (fait avecABr

=0,01et λ=35 )

1°) f bc=0,85 f c28

1,5 (MPa)

2°) σ su=f e

1,15(MPa)

3°) K=1

f bc

0,9+0,0085σ su

(MPa-1 ou m² /MN)

4°) a=l f

10(m) → 1ère dimension du poteau

5°) Br=KN u (m²)

6°) b=0,02+Br

a−0,02(m) → 2ième dimension du poteau

7°) Adaptation éventuelle des dimensions.

8°) Calcul des armatures suivant FC 1.

60

FC 4 : DETERMINATION DE LA FORCE PORTANTE D'UN POTEAU

1. Données

◦ f c28 (en MPa)

◦ f e (en MPa)

◦ l f : longueur de flambement du poteau (en m)

◦ section du poteau (a et b avec a ≤ b) et section d'armature longitudinale A

2. Inconnue

◦ N u : force portante du poteau (MN)

3. Calcul

1°) Voir si A est suffisant sur le plan technologique :▪ A≥8cm² .(a+b) (avec A en cm² et a et b en m)

▪ 0,002≤AB≤0,05 (avec A en cm² et B = a.b : section du poteau en cm²)

Si ce n'est pas le cas, le poteau ne convient pas et le calcul s'arrête ici.

2°) f bc=0,85 f c28

1,5 (MPa)

3°) σ su=f e

1,15(MPa)

4°) Br=(a−0,02) .(b−0,02) (m²)

5°) λ=√12 l f

a (sans dimension)

6°) β

▪ si λ≤50 → β=1+0,2 ( λ35

)2

(sans dimension)

▪ si 50≤λ≤70 → β=0,85λ

2

1500 (sans dimension)

7°) N u=1β(B r

f bc

0,9+o ,85 Aσsu) (en MN avec Br et A en m²)

61

FC 5: REGLES FORFAITAIRES POUR L'ESTIMATION DES CHARGESSUPPORTEES PAR DES POTEAUX SUPPORTANT UNE POUTRE

CONTINUE UNIFORMEMENT CHARGEE

1°) On évalue les charges supportées par chaque poteau en supposant que la poutre continue supportée par la file de poteaux est constituée de travées indépendantes isostatiques (sur

2 appuis simples d'extrémité.

2°) Les charges ainsi obtenues sont majorées forfaitairement de :▪ 15% pour le poteau central supportant une poutre continue comportant 3 travées ;▪ 10% pour les poteaux intermédiaires voisins des poteaux de rive supportant une

poutre comportant plus de 3 travées.

62

FC 6 : CALCUL D'UNE SECTION FLECHIE A L'ELU – DETERMINATIONDES ARMATURES (LONGITUDINALES) A PLACER DANS UNE SECTION

DONNEE

1. Données

◦ b et h◦ f c28 (en MPa)

◦ f e (en MPa)

◦ M u (en MNm) : moment fléchissant calculé à l'ELU sollicitant la section

2. Inconnues

◦ A set A ' s

3. Calcul

1°) f bc=0,85 f c28

1,5(en MPa)

2°) Si Fe E500 : σ su=435 MPa et μlimite=0,371 ( Si Fe E400 : σ su=348 MPa et μlimite=0,391 )

3°) d =h−0,05 m d '=0,05 m NB : il s'agit d'estimations qui seront si besoin affinées.

63

4°) μ=M u

bd 2 f bc

2 cas en fonction de la valeur du μ trouvé comparé à la valeur du μ limite

du point 2°) :

μ<μlimite μ>μlimite

5°) Si μ<0,104 → réduire la section, sinon passer au point suivant

5°) Si μ>0,667 → augmenter la section,sinon passer au point suivant

6°) En fonction de la valeur de μ, calculer βu à l'aide du tableau T1

6°) En fonction de la valeur de μ, calculer βu et β ' u à l'aide du tableau T2

7°) A s=βub df bcσ su

7°) A s=βub df bcσ su

A ' s=β ' u bdf bcσ su

64

TABLEAU T1

65

TABLEAU T2

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FC 7 : CALCUL DE LA POSITION DU CENTRE DE GRAVITE ET DUMOMENT D'INERTIE D'UNE SECTION EN B.A. (SECTION HOMOGENE

REDUITE)

Note :

Section homogène réduite = section dans laquelle le béton tendu est négligé, les armaturessupposées concentrées en leur centre de gravité et remplacées par une section équivalente debéton n x plus grande (n = 15).

1. Données

◦ b et h (en cm)◦ d et d' (en cm)◦ As et A's (en cm²)

2. Inconnues

◦ Position de G (via y) et valeur de I

3. Calcul

1°) y=15As+A' s

b.U et U=√1+

b.(dA s+d ' A' s)

7,5.(As+A' S)2 −1 (NB : -1 est hors racine!)

2°) I =by3

3+15(As(d− y)2

+A ' s( y−d ' )2)

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FC 8 : CONTROLE D'UNE SECTION FLECHIE A L'ELS

Note :

La section ayant été calculée à l'ELU, il faut encore s'assurer qu'elle convient à l'ELS . Ilfaudra s'assurer que la compression du béton n'est pas trop importante et que les fissuresrestent acceptables (3 cas sont susceptibles d'être considérés : fissuration peu préjudiciable,préjudiciable, très préjudiciable).

1. Données

◦ Section calculé à l'ELU.◦ On connaît :

▪ b , h ,d ,d '▪ As et A' s

▪ f c28 (en MPa)

▪ f e (en MPa)

▪ M ser (en MNm) : moment fléchissant calculé à l'ELS (charges non majorées) sollicitant la section

◦ De plus, il doit être précisé si la fissuration est peu préjudiciable, préjudiciable ou encoretrès préjudiciable.

2. Inconnues et contrôles à effectuer

◦ σ ' bc : tension de compression maximale dans le béton et il faut : σ ' bc≤0,6 f c28

◦ σ s : tension de traction maximale dans l'acier, σ s doit être ≤ :

▪ si fissuration peu préjudiciable :σ su Il le sera de toute façon suite au calcul préalable fait à l'ELU

▪ si fissuration préjudiciable :

Min{23

f e ; Max ( 0,5 f e ;110√1,6(0,6+0,06 f c28) ) }

f e=400 MPa f e=500MPa

f c28=25MPa 202 MPa 250 MPa

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f c28=30MPa 216 MPa 250 MPa

▪ si fissuration très préjudiciable : 0,8 x la valeur calculée ci-dessus si la fissuration est très préjudiciable.

3. Calcul

1°) Calculer y et I (FC 7)

2°) σ ' bc=M ser y

I

3°) σ s=15 M ser(d− y )

I

4°) Que faire si contrôles non satisfaisants → FC 9 et FC 10

69

FC 9 : CONDITION DE COMPRESSION DU BETON NON ASSUREESOLUTION PAR INTRODUCTION (OU AUGMENTATION)

D'ARMATURES EN COMPRESSION

Note :

Lorsque la condition de compression du béton n'est pas assurée, c'est-à-dire lorsque lacompression du béton est trop forte, on peut :◦ soit redimensionner la section (attention : l'augmentation de la section implique une

augmentation du poids propre et a bien entendu de ce fait une incidence sur les momentsà prendre en considération !) ;

◦ introduire (ou augmenter) des armatures en compression ;◦ choisir un béton de f c28 plus grand.

Calcul (nouvelles sections d'armatures en traction et en compression)

1°) α=9 f c28

9 f c28+σ s

avec : σ s tel que défini à la FC 8

2°) σ ' s=9 f c28(1−d 'α d

)

3°) A ' s=M ser−0,1α(3−α)bd 2 f c28

σ ' s(d−d ' )

4°) A s=A' s σ ' s+0,3α bd f c28

σs

70

FC 10 : CONDITION DE NON FISSURATION NON ASSUREE

Note : Lorsque la condition de non fissuration du béton n'est pas assurée, c'est-à-dire lorsquela traction dans l'acier est trop importante, il faut augmenter la section d'acier en traction

A s .

Calcul (nouvelle section d'armatures en traction)

1°) u=30 M ser

bd 2σ s

(avec : σ s tel que défini au Par. 2 de la FC 8)

2°) λ=1+u

3°) cosφ=λ−1,5 → φ (en °)

4°) α=1+2√λ cos(240°+φ

3)

5°) s'assurer que la compression dans le béton reste acceptable, c'est-à-dire que :

σ ' bc=ασ s

15(1−α)≤0,6 f c28 (si condition non remplie → FC 9)

6°) A s=α

2bd30(1−α)

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FC 11 : ARRET DES ARMATURES LONGITUDINALES

1. Principe

On considère une poutre sur 2 appuis uniformément chargée et on suppose que le calcul aconduit à placer 2 lits d'armatures inférieures .

Diagramme du moment fléchissant Mu → courbe C (courbe inférieure)Décalage de C de 0,8 h → courbe C' (courbe supérieure)M1 : moment résistant du 1er litM1 + M2 : moment résistant des 2 litsL2 : longueur du 2ième lit

2. Calcul de M1 et de M1 + M2

Calcul à l'ELU →section A s dans la section où M u est maximum (en milieu de travée dans notre cas de figure).On place en fonction des diamètres disponibles les armatures en 2 lits :◦ 1er lit → A s1

◦ 2ième lit → A s2

Le moment résistant des 2 lits sera pris égal à : M 1+M 2=A s1+As2

As

M u

Le moment résistant du 1er lit sera égal à : M 1=As1

As1+As2

(M 1+M 2)

Il faut encore faire attention à la longueur d'ancrage des barres. Il faut en fait s'assurer que lemoment résistant effectif est partout supérieur au moment sollicitant (ce qui est le plus souvent le cas). Le moment correspondant aux 2 lits est en fait le tronçon en ligne brisée ABCD.

72

3. Règle forfaitaire (Extrait livre J-P. Mougin)

73

FC 12 : EFFORT TRANCHANT – ARMATURES TRANSVERSALES DESPOUTRES – CONTROLES AU NIVEAU DES APPUIS

1. Note

◦ L'effort tranchant génère des fissures inclinées de 45° et qui partent du bas de la pièce. Sil'effort tranchant est important et que rien n'est fait pour le reprendre, ces fissures vont sepropager et atteindre la fibre supérieure, entraînant une rupture brutale de la pièce.

◦ La méthode courante pour éviter ce phénomène, consiste à placer des armaturestransversales pour résister à l'effort de traction induit par l'effort tranchant.

◦ Idéalement, ces armatures devraient être inclinées de 45° mais on utilise le plus souventdes armatures droites (verticales, si la poutre est horizontale) pour des raisons decommodité.

2. Données

◦ Section la plus sollicitée calculée à l'ELU et contrôlée à l'ELS (à lire au pluriel si appuisintermédiaires).

◦ f c28

◦ type d'acier◦ b, h et d◦ A set A ' s

◦ Eléments ayant trait à la longueur et aux charges sollicitant la poutre permettantnotamment d'établir le diagramme de l'effort tranchant, de calculer les réactions d'appui.

◦ Eléments ayant trait aux appuis (section des appuis).

3. Calcul

1°) Etablir le diagramme de l'effort tranchant V à l'ELU (diagramme de V u ) et calculer V u et V u(h/ 2) en MN.

Poutre sur 2 appuis ou tronçon sur 2 appuis avec charge uniformément répartie

74

Longueur prise en considération = longueur entre nus des appuis.

2°) Contrôles divers : voir FC12 bis.

3°) Déterminer le nombre de brins du cadre.

4°) Choisir le diamètre Φt des armatures transversales, c'est-à-dire des brins constitutifs des cadres

▪ Φt≤Min(h

35;

b10

;Φl) ( Φl : diamètre minimal des armatures du 1er lit)

▪ Note : un Φt de 8 mm peut être souvent avantageusement choisi.

5°) Calculer At , section totale des brins transversaux

▪ At=nombre debrins.ΠΦt

2

4(en cm²)

6°) Calculer : τu=V u(h/2)

bd (b et d en m, τu en MPa)

7°) Calculer : f ' ' tj=Min(0,6+0,06 f c28 ;3,3 MPa)

8°) Calculer : ρt0=τu−0,3 f ' ' tj

0,9σ su

9°) Calculer : S t0≤At

ρt0 . b(en cm avec b en cm)

→ choisir S t0 dans la série de Caquot : 7, 8,9,10,11,13,1620,25,35,40

10°) Placement des cadres(a) Calculer n = nombre entier de m par excès dans la 1/2 travée de la poutre.(b) Placement

75

FC 12 bis : CONTROLES DIVERS

(a) Vérifier le cisaillement du béton dans la section où V u est maximum

τu=V uMax

bd (b et d en m)

Il faut :

τu≤Min(0,2f c28

1,5;5 MPa) si fissuration non préjudiciable

τu≤Min(0,15f c28

1,5; 4 MPa ) si fissuration préjudiciable ou très préjudiciable

(b) Contrôler la section d'armatures longitudinales au niveau de l'appui de rive

Il faut : A s≥V uσ su

( σ su=435 MPa si HA fe E500 , 348 MPa si HA fe E400 )

(c) Idem au niveau de l'éventuel appui intermédiaire

Il faut : A s≥

V u+M u

0,9 dσ su

( M u en général négatif)

(d) Vérifier la compression du béton sur les appuis

Il faut :

▪ V u≤0,4f c28

1,5. a.b avec : a=Min(a ' ;0,9 d )

▪ σbc=N u

aire d ' appui≤1,3

f c28

1,5

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FC 13 : CALCUL DES DALLES – FICHE D'ORIENTATION

• Bâtiment d'habitation → épaisseur ≥ 20 à 25 cm, non généralement pour des raisons derésistance, mais pour des raisons d'isolation acoustique et thermique.,

• Distinction entre dalles et poutres-dalles

◦ Par convention : l x≤l y ( l x et l y : mesurés entre nus des appuis)

◦ Elancement du panneau : α=l x

l y

(≤1)

◦ Une dalle est une plaque portant dans les 2 directions, c'est-à-dire qu'elle est appuyée surses 4 bords.

◦ Une poutre-dalle est une plaque présentant 2 bords libres sensiblement║, distants d'aumoins 3 x l'épaisseur.

◦ Lorsqu'un panneau rectangulaire repose sur ses 4 bords et que son élancement est < à0,4 (panneau d'allure allongée), on considère qu'il ne porte que dans un seul sens, celuide la plus petite dimension → poutre-dalle fictive.

• Calcul d'une poutre-dalle→ se calcule comme une poutre.

• Calcul d'une dalle rectangulaire appuyée sur ses 4 bords ( avec α ≥ 0,4)→ voir FC 14.

• Calcul d'une dalle continue constituée de panneaux rectangulaires ( avec α ≥ 0,4), considéréscomme encastrés sur leurs bords→ voir FC 15.

• Remarque→ les treillis soudés sont quasi systématiquement utilisés pour armer les dalles (et les

panneaux verticaux également).

77

FC 14 : CALCUL DES MOMENTS A PRENDRE EN CONSIDERATIONDANS LE CALCUL D'UNE DALLE SIMPLEMENT APPUYEE SUR SES 4

BORDS ET D'ELANCEMENT ≥ 0,4(suivant abaques de J.P. MOUGIN pour le calcul des dalles rectangulaires

articulées sur leur contour)

1. Données

◦ dalle appuyée sur ses 4 bords avec α=l x

l y

≥0,4

◦ la dalle est sollicitée par une charge permanente qg et une charge d'exploitation qs

(exprimées en kN /m2 ).

2. Inconnues

Calcul de M x et de M y à l'ELU et à l'ELS.

3. Calcul

1°) α=l x

l y

(si < 0,4 → autre méthode : poutre-dalle fictive)

2°) qu=1,35 qg+1,5qs

3°) qser=qg+qs

4°) En fonction de α , calculer à l'aide du tableau T3 (abaques de MOUGIN) : ▪ μxu

▪ μ yu

▪ μxser

▪ μ yser

5°) Les moments (en kNm/m) à prendre en considération sont :▪ M xu=μxu l x

2 qu

▪ M yu=μ yu M xu

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▪ M xser=μ xser l x2 qser

▪ M yser=μ yser M xser

TABLEAU T3

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FC 15 : CALCUL DES MOMENTS A PRENDRE EN CONSIDERATIONDANS LE CALCUL D'UNE DALLE CONTINUE CONSTITUEE DE

PANNEAUX RECTANGULAIRES CONSIDERES COMME ENCASTRESSUR LEURS BORDS

(suivant abaques de J.P. MOUGIN )

1. Données

◦ l x et l y avec : α=l x

l y

≥0,4

◦ la dalle est sollicitée par une charge permanente qg et une charge d'exploitation qs

(exprimées en kN /m2 ).

3. Inconnues

Calcul des M x et M y à l'ELU et à l'ELS.

3. Calcul

1°) α=l x

l y

2°) qu=1,35 qg+1,5qs

3°) qser=qg+qs

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4°) En fonction de α , calculer à l'aide du tableau T3 (abaques de MOUGIN) : ▪ μxu

▪ μ yu

▪ μxser

▪ μ yser

5°) Les moments à prendre en considération sont :

▪ M 0xu=μxu l x2 qu

▪ M 0yu=μ yu M 0xu

▪ M 0xser=μ xser l x2 qser

▪ M 0yser=μ yser M 0xser

6°) -

• M 1x=−0,3 M 0x

• M 2x=0,85 M 0x

• M 3x=M 5x=M 7x=...=−0,5 M 0x

• M 4x=M 6x=M 8x=...=0,75 M ox

7°) -• M 1y=−0,3 M 0x

• M 2y=0,85 M 0y

• M 3y=M 5y=M 7y=...=−0,5 M 0x

• M 4y=M 6y=M 8y=...=0,75 M oy

voir schéma page suivante

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Note : les moments sont exprimés en kNm/m.

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SEMELLES DE FONDATION

1. Généralités

◦ Les fondations d'une construction sont constituées par les parties de l'ouvrage qui sont encontact avec le sol auquel elles transmettent les charges de la superstructure : ellesconstituent donc une partie essentielle de l'ouvrage puisque de leurs bonne conception etréalisation découle la bonne tenue de l'ensemble.

◦ Lorsque les couches de terrain susceptibles de supporter l'ouvrage sont à une faibleprofondeur, on réalise des fondations superficielles ; lorsque les couches sont à unegrande profondeur, on réalise des fondations profondes qui peuvent prendre appui surune couche résistante ou flotter dans un terrain peu résistant (on mobilise alors les forcesde frottement du sol sur la fondation pour soutenir l'ouvrage). Dans les situationsintermédiaires, lorsque la couche d'appui est à une distance moyenne de la base del'ouvrage, on réalise un massif de béton grossier reposant sur cette couche et supportantla fondation proprement dite.

◦ Fondations sur semelles : ce sont les fondations superficielles qui sont situées sous labase de l'ouvrage. On distingue :▪ les fondations fonctionnelles, constituées par des semelles isolées sous poteaux,▪ les fondations linéaires, constituées par des semelles continues sous poteaux ou

murs,▪ Les fondations surfaciques constituées par des radiers et cuvelages sous poteaux ou

murs.

2. Semelles continues sous murs

◦ Différents types de semelles continuesOn distingue les semelles flexibles de faible épaisseur qui travaillent en flexion (étudenon reprise dans ce cours) et les semelles rigides.

Une semelle est considérée comme rigide si : h≥B−b

4+0,05 m . On ne considérera

que les semelles rigides.

◦ Remarques▪ h et e seront toujours ≥ à 15 cm.

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▪ Les petite semelles sur un terrain très résistant ou peu chargées seront donc desection rectangulaires et de 15 cm d'épaisseur.

▪ Les semelles reposeront toujours sur une couche de béton de propreté de 5 à 10 cmd'épaisseur.

◦ Répartition des contraintes sous une semelle rigide

3. Calcul des semelles rigides sous mur soumises à une charge verticale centrée

◦ Dispositions constructives – Notations▪ Dans les fondations, l'enrobage minimal des armatures est de 3 cm.▪ L'ancrage des armatures doit être particulièrement soigné. S'il ne peut être réalisé par

des barres droites, il est nécessaire de prévoir des ancrages courbes.▪ Les armatures verticales des murs et des vpoteaux doivent être prolongés jusquà l&a

base de la semelle.

▪ Pu : charge centrée verticale transmise au sol par m linéaire dans le sens du mur,calculée à l'ELU (charge permanente : x 1,35 – charge de service : x 1,5) auquelvient se rajouter 1,35 x le poids de la semelle.

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◦ Dimensions de la semelle▪ Il faut :

•Pu

B≤σu , σu étant la contrainte limite admissible au sol. On aura intérêt à

arrondir B vers le haut pour tenir compte du poids propre de la semelle

• d≥B−b

4(pour avoir une semelle rigide)

• c≥3 cm (pour avoir un enrobage suffisant)• e ≥ Max {15 cm ; 6 diam + 6 cm} si barres sans crochets

{15 cm ; 12 diam + 6 cm} si barres avec crochets (pour « caser » les armatures)

◦ Détermination des armatures

▪ A s=Pu(B−b)

8d σ su

avec : σ su=f e

1,15(= 435 MPa pour acier HA Fe E500)

▪ Pour déterminer la longueur des barres et leur mode d'ancrage, on détermine lalongueur de scellement à l'aide du tableau suivant donnant le rapport ls /diam :

fc28 20 25 30 40

Fe E 500 51,4 44,1 38,6 30,9

• si l s>B4

: toutes les barres doivent être prolongées jusqu'aux extrémités de la

semelle et comporter des ancrages courbes ;

• siB8≤l s≤

B4

: toutes les barres doivent être prolongées jusqu'aux extrémités de

la semelle mais peuvent ne pas comporter de crochets ;

• si l s≤B8

: les barres ne comportent pas de crochet et on peut arrêter une barre

sur 2 à 0,71 B ou alterner des barres de 0,86 B

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▪ Les armatures principales seront complétées par des armatures longitudinales de

répartition placées sur la largeur B et de section : Ar=AsB4

(avec B en m).

◦ RemarqueLes calculs précédents sont valables dans la mesure où la répartition des contraintes surle sol est rectangulaire.Si cette répartition est bi-triangulaire, on effectue le calcul comme dans le cas d'unedistribution rectangulaire mais en multipliant Pu par 4/3.

4. Semelle sous poteau rectangulaire soumise à une charge verticale centrée

◦ Dimensions de la semelle Il faut :

▪AB=

ab

(a et b étant les dimensions du poteau)

▪ AB≥Puσu

▪ Par suite : B≥√ bPu

a σu

ou A≥√ aPu

bσ u

▪ Et aussi : B−b

4≤(d a et d b)≤A−a

e ≥ Max {15 cm ; 6 diam + 6 cm} si barres sans crochets {15 cm ; 12 diam + 6 cm} si barres avec crochets (pour « caser » les armatures)

◦ Détermination des armatures◦

▪ Aa=Pu(A−a)

8daσ su

et Ab=Pu(B−b)

8dbσ su

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avec : σ su=f e

1,15(= 435 MPa pour acier HA Fe E500)

▪ Ancrage : on compare respectivement les longueurs de scellement lsa et lsb des barres(Voir tableau page précédente) à A /4 et B/4.• Si lsa ≤ A/4, les barres dans le sens de la largeur n'ont pas besoin de crochets ;

sinon, il faut en placer ;• Si lsb ≤ B/4, les barres dans le sens de B n'ont pas besoin de crochets ; sinon, il

faut en placer.

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BETON PRECONTRAINT

ELEMENTS PREFABRIQUES EN BETON PRECONTRAINT ETARME

Bibliographie

• Béton précontraintTome IIIProfesseur A PaduartPresses Universitaires de Bruxelles

Voir :• site www.megaton.be

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NOTIONS GENERALES – PRINCIPE

1. Principe du béton précontraint

◦ Le béton est pour rappel, un matériau qui résiste bien à la compression mais mal à latraction (en moyenne, la résistance à la rupture par traction est de l'ordre du dixième dela résistance à la rupture par compression).

◦ Béton armé : on place des armatures dans les zones tendues pour reprendre les efforts detraction.

◦ Béton précontraint : on va préalablement comprimer les zones où doivent apparaître destractions lors de la mise en service de l'ouvrage de manière à supprimer la traction dansle béton.

◦ Schéma de principe

(1) (2) (3) (4)

• (1) : section droite d'une poutre sur 2 appuis d'extrémité sollicitée en flexion simple.• (2) : tensions générées dans la section (en supposant charges verticales agissant vers

le bas).• (3) : tensions de compression générées par la précontrainte (qui est en fait préalablement et aussi plus subtilement appliquée) .• (4) : resultat = section sollicitée uniquement en compression.

→ On transforme ainsi un matériau fragile résistant mal à la traction en un matériau résistantaussi bien à la traction qu'à la compression.

2. Réalisation de la précontrainte du béton

◦ La précontrainte du béton se réalise en règle générale à l'aide de câbles. Il existe 2techniques de précontrainte par câbles :

(1) La pré-tension (utilisées pour la réalisation de poutres préfabriquées)

• Les fils sont tendus dans le coffrage avant la coulée du béton. On va ensuitecouler le béton qui va enrober les fils tendus. Après durcissement suffisant dubéton, on relâche la tension exercée sur les fils et la traction des fils va sereporter par adhérence sur le béton.

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• En règle générale, les fils sont rectilignes quoiqu'une légère déviation estcependant possible grâce à des broches fixées au coffrage.

• Le procédé suppose évidemment l'adhérence « fils- béton » . On peut moduler laprécontrainte en fonction de la section dans laquelle on se trouve, en faisantvarier cette adhérence.

• La pré-tension qui nécessite une installation assez coûteuse convientparticulièrement pour la préfabrication en usine d'éléments standardisés.

(2) La post-tension (ouvrages d'art – exécution sur chantier en général)

• La mise en tension des câbles se fait après coulage et durcissement du béton àl'aide de vérins qui viennent prendre appui contre l'ouvrage lui-même. Lescâbles ne peuvent pas adhérer au béton ; ils sont placés dans des gaines noyéesdans le béton de la poutre ou à l'extérieur de la section.

• La précontrainte se reporte sur le béton grâce à des dispositifs d'ancrage placésdans les blocs d'about de l'ouvrage → ce sont en quelque sorte les 2 mains quiviennent comprimer une pile de livres.

• Après ancrage, les câbles extérieurs sont enrobés de mortier et les gaines sontinjectées au moyen d'un lait de ciment afin d'assurer leur protection contre lacorrosion.

(3) Un mix des 2 techniques précitées

En cas de préfabrication notamment.

3. Nécessité d'utiliser des aciers à haute résistance

◦ La réalisation d'ouvrages ou de poutres en béton précontraint nécessite l'emploi d'aciersà haute résistance.

◦ En effet, les déformations différées du béton par retrait (raccourcissement dû àl'évaporation de l'eau) et fluage (déformation dans le temps d'une pièce chargée)produisent un raccourcissement auquel correspond dans les câbles des chutes decontrainte de l'ordre de 100 à 150 N/mm².

◦ Si on utilise de l'acier doux initialement tendu à 140 N/mm², la précontrainte finale seraitnulle.

◦ Si au contraire, on part d'une précontrainte initiale de 1000 N/mm², la précontrainte à lalongue serait de l'ordre de 850 N/mm².

4. Avantages du béton précontraint par rapport au béton armé)

◦ Toute la section est « active » → gain de dimensionnement◦ Plus grande portée.◦ Excellente étanchéité puisque pas de fissuration.

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CALCUL SIMPLIFIE D'UNE SECTION FLECHIE (CALCUL ELASTIQUE)

1. Contrôle d'une section fléchie

◦ Données

▪ I : moment d'inertie de la section▪ S : surface de la section▪ P : point d'application de l'effort de précontrainte (résultante des efforts)▪ e : excentricité de la précontrainte▪ Fi : précontrainte initialement▪ Ff : précontrainte finale

▪ η=F f

F i

: facteur de perte de précontrainte (varie entre 0,8 et 0,88)

▪ M p : moment fléchissant dû au poids propre

▪ M q : moment fléchissant dû aux charges de service

▪ M t=M p+M q : moment fléchissant total sollicitant la poutre en service

▪ R p : tension admissible en traction lors de la précontrainte

▪ R ' p : tension admissible en compression lors de la précontrainte

▪ Rt : tension admissible en traction en service

▪ R ' t : tension admissible en compression en service

◦ Contrôle

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▪ Il faut que les tensions générées dans la poutre restent ≤ aux tensions admissibles :• lors de la précontrainte (poutre sollicitée par M p et F i )

• en service (poutre sollicitée par M t et F f )

▪ Deux cas sont à envisager :• l'effort de précontrainte agit en dehors du noyau central de la section, ce qui

implique qu'il va générer à la fois de la compression mais aussi de la traction.• l'effort de précontrainte agit dans le noyau central de la section, ce qui implique

qu'il va générer uniquement de la compression.

▪ Effort de précontrainte en dehors du noyau central

• Contrôle lors de la précontrainte :◦ à la fibre supérieure : danger = trop de traction (traction +)

σ s=F i .e .v '

I−

F i

S−

M p . v '

I≤R p (1)

◦ à la fibre inférieure : danger = trop de compression (compression +)

σ ' i=F i .e.v

I+

F i

S−

M p .v

I≤R ' P (2)

• Contrôle lors de la mise en service◦ à la fibre supérieure : danger = trop de compression (compression +)

σ ' s=−F f .e.v '

I+

F f

S+

M t .v '

I≤R ' t (3)

◦ à la fibre inférieure : danger = trop de traction (traction +)

σi=−F f .e.v

I−

F f

S+

M t .v

I≤Rt (4)

▪ Effort de précontrainte dans le noyau central Idem – condition (1)

2. Etablissement d'une section fléchie

◦ On se donne une section qui paraît convenir.◦ On tâtonne pour déterminer e et Fi .◦ On contrôle et on ajuste.

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ELEMENTS PREFABRIQUES EN BETON PRECONTRAINT ET ARME

Voir site http://www.megaton.be/

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BOIS

Source : site « houtinfobois »

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ELEMENTS POUR LE CALCUL

1. Charges

• Calcul à l'ELU (calcul de résistance): ◦ charges permanentes : x 1,35◦ charges de service : x 1,5

• Calcul à l'ELS (calcul des déformations, en particulier de la flèche pour une poutre sollicitéeen flexion) :◦ pas de majoration des charges

2. Contraintes limites

◦ Traction et compression parallèles aux fibres :▪ bois : σlimite=σ ' limite=1,5 kN /cm²

▪ lamellé-collé : σlimite=σ ' limite=1,8kN /cm²

◦ Contrainte tangentielle :▪ bois : τlimite=0,15 kN / cm²

▪ lamellé-collé : τlimite=0,18kN /cm²

◦ Contrainte limite de flambement :▪ siλ≤22,σ fl=σG

si 22<λ≤96,σ fl=σG(1,2−0,009λ)

si 96<λ≤150,σ fl=σG3100

λ2

▪ avec : σG=1,2 si bois/1,5 si lamellé−collé

3. Contrainte tangentielle dans une section rectangulaire de base b et de hauteur h

τmax=3V2bh

4. Module d'élasticité

Ebois=1000 kN /cm²

UTILISATION LOGICIEL HOUT INFOBOIS

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