Upload
dinhtuong
View
232
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
25
CHƢƠNG 2: XÁC ĐỊNH BIÊN TRONG VI ẢNH DỰA TRÊN
CỰC TRỊ WAVELET
2.1. Giới thiệu
Bài toán xác định đƣờng biên của các vùng thể hiện thông tin trên bất kỳ loại
ảnh nào là rất cần thiết trong lĩnh vực xử lý ảnh. Trong bài toán này, các phƣơng
pháp nhƣ Canny, Robert, Sobel và Gradient Vector Flow (GVF) đều gặp trở ngại
khi áp dụng trên vi ảnh (thƣờng có độ nhiễu lớn). Trong khi đó, cực trị mô-đun của
biến đổi wavelet (Wavelet Transform Modulus Maxima - WTMM) đã đƣợc chứng
minh là đặc trƣng tốt cho các điểm cực trị (singularity) [74] và là các điểm zero-
crossing. Đối với xử lý ảnh, WTMM cho thấy có thể dùng để làm độ đo đặc trƣng
tốt cho các điểm trên biên. Do đặc tính của biến đổi wavelet là dựa trên phân rã đa tỉ
lệ, việc sử dụng cực trị địa phƣơng có thể giúp phát hiện các điểm biên trong điều
kiện ảnh nhiễu. Điểm biên có cực trị tồn tại trong hầu hết các cấp phân rã, trong
khi các điểm nhiễu không có tính chất này. Chƣơng này trình bày các nghiên cứu
thực nghiệm xác định biên với các phƣơng pháp khác nhau trên ảnh microarray
DNA. Chúng tôi thực hiện yêu cầu xác định biên dựa trên biến đổi wavelet không
giảm kích thƣớc mẫu (Undecimated Wavelet Transform Modulus Maxima -
UWTMM) với đề xuất về sử dụng hàm phức cũng nhƣ phƣơng pháp xác định điểm
cực trị tƣơng ứng 1-1 giữa các cấp phân rã kề nhau. Hiệu quả của thuật giải xác
định biên dựa trên UWTMM đƣợc thể hiện qua các so sánh với các phƣơng pháp
phổ biến khác.
2.2. Sơ lƣợc về biến đổi wavelet
Biến đổi wavelet (WT) liên tục do Morlet và Grossmann giới thiệu vào năm
1984 [2], [17]. Ứng dụng WT rất đa dạng trong xử lý ảnh, bao gồm xử lý trên vi ảnh
AFM [65], từ các vấn đề nén, tái tạo ảnh cho đến các vấn đề trong lĩnh vực nhận
dạng hay phân loại. Dựa trên các đặc tính phân tích đa phân giải của wavelet,
26
Mallat & Zhong đã đƣa ra phƣơng pháp sử dụng cực trị mô-đun của biến đổi
wavelet (WTMM) cho việc xác định các điểm cực trị [74]. Đối với xử lý ảnh,
WTMM cho thấy có thể dùng để làm độ đo đặc trƣng tốt cho các điểm trên biên.
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm liên quan đến wavelet (liên
tục, rời rạc), cùng với các công thức tính mô-đun trên dữ liệu hai chiều.
2.2.1. Biến đổi wavelet liên tục
Định nghĩa: Biến đổi wavelet liên tục trên hàm )(2 RLf được xác định bởi
dxxxffusWf usus)()(,),( ,,
(2.1)
Trong đó
s
ux
sxus
1)(, (2.2)
Hàm đƣợc gọi là hàm wavelet và có các tính chất:
0)( x , 0)(
dxx ,
dxx
x2
)( (2.3)
Giá trị }0{ Rs , Ru , là các tham số biểu diễn tỉ lệ và độ dời.
Biến đổi wavelet đƣợc chứng minh là có thể tái tạo đầy đủ, nghĩa là tồn tại
ánh xạ ngƣợc. Công thức biến đổi wavelet ngƣợc trên dữ liệu một chiều xác
định bởi:
dudss
xusWf
Cxf
us
0
2
, )(),(1)(
(2.4)
Trong đó, C là hằng số phụ thuộc vào hàm xác định giá của hàm wavelet
và có thể xác định bởi:
dww
wC
0
2)(̂
, )(ˆ w là biến đổi Fourier của )(x .
27
Vì quá trình xác định các hệ số wavelet và biến đổi ngƣợc theo các công thức
(2.1), (2.4) đòi hỏi nhiều tính toán, do đó khi thực hiện trong miền rời rạc chúng
đƣợc xấp xỉ theo các bộ lọc tần số cao và thấp. Trong quá trình thiết kế các bộ
lọc wavelet, một số tác giả đã đƣa ra các tiêu chuẩn nhƣ: tiêu chuẩn Daubechies
chú trọng đến số lần triệt tiêu của của hàm wavelet; tiêu chuẩn Coifman chú
trọng số lần triệt tiêu của cả hàm tỉ lệ và hàm wavelet. Bảng 2.1 minh hoạ một
số hàm wavelet quan trọng đƣợc sử dụng trong nhiều ứng dụng xử lý ảnh.
Bảng 2.1-Một số wavelet phổ biến
Trực giao một
chiều
Trực giao nhị phân
một chiều
Trực giao nhị
phân hai chiều
Tiêu
chuẩn
Các wavelet
Daubechies trực
giao
Daubechies 88
Các wavelet dạng
Spline song trực giao:
Cohen, Daubechies,
Feauveau 92, Vetterli,
Herley 92
Các wavelet
Quincunx song trực
giao:
Kovacevix, Vetterli
92, Cohen,
Daubechies 93
Daubechies
Coiflet trực giao
Daubechies 93
Coiflet song trực giao
Swlden 96, Wei, Tian,
Wells, Jr và Burrus 98
Coiflet Quincunx
song trực giao
Wei, Evans và
Bovik 97
Coifman
2.2.2. Biến đổi wavelet rời rạc
Dạng rời rạc của biến đổi wavelet thƣờng sử dụng tỉ lệ phân rã lũy thừa 2,
nghĩa là chọn tham số tỉ lệ dạng: 0,2 js j , j đƣợc gọi là cấp phân rã. Ảnh
đƣợc xem nhƣ tín hiệu trên lƣới hai chiều I(x,y). Các bộ lọc wavelet (hàm
wavelet), và tỉ lệ đƣợc áp lần lƣợt lên cột và dòng một cách độc lập, và ngoài ra
hàm wavelet có thể áp lên đƣờng chéo của ảnh.
Biến đổi wavelet rời rạc hai chiều (DWT) trên ảnh biểu diễn ảnh theo các
hàm wavelet tịnh tiến },,{ HHHLLH và tỉ lệ LL , tạo nên cơ sở trực giao
28
của )( 22 RL . },,{ HHHLLH đƣợc gọi là phân rã ngang, dọc và chéo thể hiện bộ
lọc tần số cao (là các hàm wavelet) trong ảnh, trong khi LL biểu diễn dữ liệu
tần số thấp. Cho ảnh I kích thƣớc NxN, điểm ảnh tại vị trí (s, t) qua phân rã
DWT J cấp đƣợc xác định bởi:
1
0, 1
1
0,
,,,,,,,, ),(.),(.),(J JN
ik B
J
j
N
ik
B
ikj
B
ikj
LL
ikJikJ tswtsutsI (2.5)
Trong đó, },,{ HHHLLHB , j thể hiện cấp phân rã rời rạc luỹ thừa hai
vớijj
NN
2 , )
2
1,
2
1(
2
1),(
2/,, itkstsjjj
LL
ikj thể hiện bộ lọc tần số thấp (gọi
là bộ lọc dựa trên hàm tỉ lệ), trong khi )2
1,
2
1(
2
1),(
2/,, itkstsjj
B
j
B
ikj là các
bộ lọc dựa trên hàm wavelet tần số cao, ts
ikJikJ tsIu,
,,,, ).,( là hệ số tỉ lệ (tần số
thấp) ở cấp phân rã thô nhất (cấp J), ts
B
ikj
B
ikj tsIw,
,,,, ).,( là các hệ số wavelet tại
vị trí ),( ik với bộ lọc B tƣơng ứng tại cấp phân rã thứ j.
Trong thực tế, sau khi biến đổi trên các ảnh với màu nền chiếm đa số, hầu
hết các giá trị hệ số wavelet là nhỏ, vì vậy để đặc trƣng cho một ảnh chỉ cần giữ
lại một vài hệ số lớn ở mỗi cấp. Hình 2.1 minh họa biến đổi wavelet giảm kích
thƣớc mẫu với hai cấp trên ảnh.
Hình 2.1-Minh hoạ biến đổi wavelet dạng giảm kích thƣớc mẫu
29
2.3. Cực trị mô-đun của biến đổi wavelet
Cực trị mô-đun của biến đổi wavelet trị thực đƣợc xác định dựa trên mô-đun của
các hệ số của biến đổi wavelet và đƣợc nhắc lại trong phần 2.3.1. Sau đó, chúng tôi
sẽ mở rộng phƣơng pháp xác định WTMM dựa trên wavelet trị phức.
2.3.1. Mô-đun của hàm wavelet giá trị thực
WTMM có thể xấp xỉ lũy thừa Lipschitz (thể hiện đại lƣợng đo độ mạnh của
điểm cực trị) [50].
Đối với dữ liệu một chiều, điểm x0 ở tỉ lệ phân rã s0 đƣợc gọi là mô-đun
maxima nếu xsxWf /),( 0 có zero-crossing tại x0, đồng thời với các điểm x lân
cận của x0, thì ),(),( 000 sxWfsxWf . Trong đó W(. ,s0) là biến đổi wavelet của
hàm f ở tỉ lệ s0, và dấu thể hiện mô-đun của W.
Các hàm wavelet đƣợc dùng trong xác định biên thoả điều kiện trực giao với
hàm đa thức bậc lớn hơn 1, nghĩa là
0)(
dxxx k , nk 1 (2.6)
Để xác định cực trị mô-đun cho dữ liệu hai chiều, các wavelet thƣờng dùng
là đạo hàm riêng phần của hàm tỉ lệ ),( yx theo hai trục x và y. Hàm tỉ lệ
),( yx đƣợc xác định tuỳ theo mục đích xây dựng wavelet. Ví dụ hàm tỉ lệ của
wavelet Gaussian đƣợc xác định bởi.
22
),( yxeyx (2.7)
Hai wavelet ứng với hƣớng x và y đƣợc xác định bởi:
),(),(1 yxx
yx
và ),(),(2 yx
yyx
(2.8)
Khi đó biến đổi wavelet của f(x,y) theo hƣớng x và y là phép toán chập giữa
các wavelet k (k = 1,2) và f. Nghĩa là
30
),(*),(,),( 111 yxfyxfyxfW (2.9)
),(*),(,),( 222 yxfyxfyxfW
Ở tỉ lệ phân rã s, các công thức trên đƣợc viết lại nhƣ sau
),(*),(,),,( 111 yxfyxfsyxfW sss (2.10)
),(*),(,),,( 222 yxfyxfsyxfW sss
Trong đó
sysxs
yxs ,1
),( 11 và sysxs
yxs ,1
),( 22 (2.11)
Phƣơng pháp tính wavelet trên dữ liệu hai chiều nhƣ trên không đủ để tái tạo
lại dữ liệu gốc, vì các hệ số của đƣờng chéo bị bỏ qua. Tuy nhiên, biến đổi
wavelet theo hai hƣớng ngang và dọc nhƣ trên là đủ để xác định biên các đối
tƣợng trong ảnh. Điều này là vì lân cận ngang hoặc dọc đƣợc sử dụng trong quá
trình so sánh mô-đun để xác định cực trị (phần 2.3.3).
Mô-đun của wavelet đƣợc xác định bởi
22
21 ),,(),,(),,( syxfWsyxfWsyxMf ss (2.12)
Việc tính cực trị mô-đun tại một tỉ lệ phân rã s đƣợc thực hiện bằng cách tính
các cực trị địa phƣơng trên ma trận các giá trị mô-đun wavelet tại tỉ lệ tƣơng
ứng.
Quan hệ giữa mô-đun wavelet và số mũ Lipschitz [75] đƣợc xác định bởi
0,).(),,( ksksyxMf (2.13)
Trong đó, α là số mũ Lipschitz, k là hằng số. Nếu phân rã theo tỉ lệ luỹ thừa
2, với )2( js , thì quan hệ trên có thể viết là.
0,log)2,,(log 22 kjkyxMf j (2.14)
31
Một số bài viết [74], [75] đã chứng minh giá trị cực trị cục bộ của biến đổi
wavelet có thể đƣợc dùng để xấp xỉ số mũ Lipschitz và ngƣợc lại [52]. Đây là
tính chất quan trọng cho phép sử dụng WTMM để xác định biên các đối tƣợng
ảnh. Đƣờng cực trị cục bộ có đƣợc bằng cách xét các cực trị tƣơng ứng giữa các
tỉ lệ phân rã khác nhau. Nhận xét này cũng đúng trong trƣờng hợp hàm wavelet
trị phức nếu phần thực và phần ảo thỏa điều kiện trình bày trong phần 2.3.2.
Khi tỉ lệ phân rã s giảm xuống mức mịn nhất, thì các đƣờng cực trị địa
phƣơng sẽ hội tụ đến các điểm cực trị [74], [75]. Đây là tính chất quan trọng
giúp xác định cực trị chính xác hơn.
2.3.2. Mô-đun của hàm wavelet giá trị phức
Biến đổi wavelet giá trị phức trên hàm f đƣợc xác định khi là hàm phức và
thỏa điều kiện xác định bởi công thức (2.3). Biến đổi wavelet liên tục đƣợc xác
định bởi
dxxxfsxWf s )()(),( (2.15)
Wavelet đƣợc gọi là có n điểm triệt tiêu nếu và chỉ nếu
nkdxxx k 0,0)( (2.16)
Để xác định cực trị mô-đun với DWT sử dụng hàm wavelet trị phức, điều
kiện cần là phần thực và phần ảo của hàm wavelet trị phức phải thoả điều kiện
có độ lệch hữu hạn ở các tỉ lệ phân rã (đặc biệt là các tỉ lệ nhỏ) trong miền xác
định I cho trƣớc [74], nghĩa là phần thực và phần ảo thoả điều kiện đƣợc tóm tắt
nhƣ sau:
Hai hàm a(x) và b(x) ứng với phần thực và phần ảo của hàm wavelet trị
phức có độ lệch hữu hạn trong miền xác định I cho trước với bất kỳ miền con
Iv (độ dài e), nếu có thể chia làm nhiều nhất M (hữu hạn) miền xác định
32
},,,{ 21 Mvvv (không nhất thiết rời nhau) sao cho hai hàm trên thoả một trong
hai điều kiện sau
o ivxxbxa ),()(
o )(),()( ivxxbxa , ][),()( ivxxbxa . (nghĩa là chỉ bằng nhau ở hai
giá trị biên của mỗi miền xác định, và khác nhau ở những giá trị còn lại).
Nếu wavelet trị phức thoả điều kiện trên, thì có thể xác định đƣợc các điểm
cực trị của dữ liệu thông qua mô-đun của WT với wavelet trị phức tƣơng tự nhƣ
trƣờng hợp wavelet thực.
Các hàm wavelet trị phức sau thƣờng dùng trong các ứng dụng thực tế. Các
hàm này có phần thực và phần ảo thoả mãn yêu cầu trong xác định cực trị mô-
đun.
Cauchy: 21
1
2
1)(
ixx
(2.17)
Morlet: bc fxxfi
b
eef
x2.21
)(
(2.18)
Wavelet Morlet [2] thƣờng đƣợc dùng để phân tích ảnh texture và các tín
hiệu tần số cao. Thật ra, wavelet Morlet không thỏa điều kiện của một
wavelet (vì tích phân khác zero), tuy nhiên với giá trị fb đủ lớn thì tích phân
hàm Morlet đủ nhỏ để dùng cho biến đổi wavelet.
B-Spline phức: xfim
bb
cem
xffx
.2sin)(
(2.19)
Đạo hàm bậc n hàm Gaussian phức:2)1(
)(xi
edx
dx
nn
(2.20)
Đối với ảnh microarray mà chúng tôi dùng trong các thực nghiệm, chỉ
cần dùng đạo hàm bậc nhất hay bậc hai là đủ. Đối với hàm tỉ lệ Gaussian
(2.7), hai wavelet theo hƣớng x và y đƣợc xác định bởi:
33
221 .2
),(),(
yx
exx
yxyx
(2.21)
222 .2
),(),(
yx
eyy
yxyx
Các wavelet Gaussian thực nhƣ trên có thể chuyển thành wavelet trị phức
thông qua biến đổi Hilbert đƣợc xác định bởi:
)()1()( xiHx nn (2.22)
Wavelet giá trị phức có ƣu điểm là mô-đun của nó ít dao động hơn so với
wavelet giá trị thực [11]. Vì vậy, số đƣờng cực trị địa phƣơng sẽ ít hơn và tác
động do nhiễu cũng nhỏ hơn so với phân tích dựa trên wavelet trị thực.
Để tính mô-đun của wavelet trị phức, đặt
)),(*Re()),(,Re(),,(1 yxfyxfsyxfW ss
là phần thực của biến đổi wavelet của f qua wavelet trị phức .
)),(*Im()),(,Im(),,(2 yxfyxfsyxfW ss
là phần ảo của biến đổi wavelet của f qua wavelet trị phức . Khi đó, mô-đun
của biến đổi wavelet trị phức đƣợc xác định theo công thức (2.12).
2.3.3. Xác định cực trị dựa trên biến đổi wavelet
Để xác định cực trị của một điểm ảnh, ta cần so sánh mô-đun của nó với các
điểm ảnh lân cận. Lân cận có thể là lân cận-8 hay lân cận-4 thƣờng dùng trong
xử lý ảnh. Trong trƣờng hợp WTMM, ta có thể sử dụng góc tạo thành bởi phần
thực và phần ảo, cũng nhƣ góc giữa ),,(1 syxfW và ),,(2 syxfW để xác định cực
trị. Cụ thể hơn trong trƣờng hợp sử dụng hàm wavelet trị phức, đặt:
),,(.),,(arg),,( 21 syxfWisyxfWsyxAf (2.23)
Thì giá trị góc đƣợc tính nhƣ sau:
34
0),,(
0),,(),,(
1
1
syxfW
syxfWsyxAf
, với (2.24)
0),,(2
0),,(,),,(
),,(arctan
1
1
1
2
syxfW
syxfWsyxfW
syxfW
(2.25)
Điểm cực trị địa phƣơng là điểm có giá trị mô-đun lớn hơn hai lân cận theo
hƣớng đƣợc xác định bởi Af(x,y,s) đƣợc định nghĩa nhƣ sau.
Định nghĩa: Điểm (x0, y0) = u0 là cực trị địa phương nếu
),(),( 00 suMfsuMf
và ),(),( 00 suMfsuMf
(2.26)
Trong đó vector
thuộc về một trong hai hướng (ngang và dọc) và được xác
định bởi:
)1,0( v
(hướng dọc) nếu )(),()(),( 0000 vh uAfsuAfuAfsuAf
hay )0,1( h
(hướng ngang) trong trường hợp ngược lại.
Ngoài việc sử dụng hai lân cận dọc hoặc ngang nhƣ công thức (2.26), chúng
ta có thể sử dụng so sánh mô-đun của điểm ảnh đang xét và các điểm ảnh lân
cận theo hƣớng khác để quyết định xem đó có phải là cực trị hay không (thƣờng
là các lân cận chéo).
2.3.4. Xác định biên dựa trên wavelet không giảm kích thƣớc mẫu
Nhƣ đã trình bày ở phần trƣớc, việc sử dụng wavelet trị phức thay vì trị thực
cho kết quả ổn định hơn. Tuy nhiên trong nhiều thực nghiệm, việc chỉ sử dụng
wavelet trị phức chƣa thể giải quyết triệt để vấn đề nhiễu. Nguyên nhân chính là
vì mô-đun của hệ số của WT ở cấp j chỉ được xem là cực trị, nếu 4 mô-đun của
hệ số WT ở cấp phân rã 1j tương ứng cũng là cực trị. Từ nhận xét này, chúng
tôi đề nghị thay vì WT, ta sẽ sử dụng biến thể của nó bằng cách giữ nguyên kích
thƣớc mẫu sau mỗi cấp phân rã và đƣợc gọi là wavelet bảo toàn kích thƣớc mẫu
(Undecimated Wavelet Transform – UWT).
35
Rõ ràng dữ liệu của UWT là dƣ thừa, nhƣng lại rất hiệu quả trong bài toán
xác định biên. Do luôn phải xử lý trên dữ liệu có kích thƣớc không đổi, nên tốc
độ là hạn chế của UWT. Thuật giải a trous [41], [54] có thể cải tiến đƣợc tốc độ
thực hiện UWT. Từ đây, chúng tôi sử dụng song song hai thuật ngữ a trous và a
trous wavelet khi đề cập đến phân rã không giảm kích thƣớc mẫu.
Thuật giải a trous sử dụng bộ lọc tần số thấp thay đổi tại mỗi tỉ lệ phân rã và
xác định bởi
02
0
02)(
j
jlj
l l
lh
h (2.27)
Ví dụ: ),,0,,0,,0,,( 2112
)1( hhhhh . Các hệ số tỉ lệ và wavelet tại cấp phân
rã (j+1) đƣợc xác định:
k
kljkljj
lj jchchc2,
)(,1 )*
~( (2.28)
k
kljkljj
lj jcgcgw2,
)(,1 )*~(
Đặc điểm chính là các giá trị zero sẽ đƣợc thêm vào vị trí thích hợp của bộ
lọc tỉ lệ tƣơng ứng với cấp phân rã nhƣ hình 2.2 dƣới đây.
Hình 2.2-Biến đổi wavelet không giảm kích thƣớc mẫu trên dữ liệu một chiều.
Thuật giải a trous UWT có thể mở rộng cho dữ liệu hai chiều với các công
thức sau
36
lkjjj
lkj chhc ,)()(
,,1 )*~~
( (2.29)
lkjjj
lkvj chgw ,)()(
,,,1 )*~~(
lkjjj
lkhj cghw ,)()(
,,,1 )*~~(
lkjjj
lkdj cggw ,)()(
,,,1 )*~~(
Mặt khác, nhằm đơn giản hoá quá trình tính toán, chúng ta có thể sử dụng
biến đổi wavelet đẳng hƣớng bảo toàn kích thƣớc mẫu (Isometric Undecimated
Wavelet Transform - IUWT) [46] dựa trên các bộ lọc có hƣớng, trong đó hàm
phân rã và tổng hợp bằng nhau, nghĩa là gghh ~,~
. Bộ lọc tần số cao ở các
cấp phân rã có thể xác định bởi:
00 1 hg và 0, lhg ll
Trong đó h0 là bộ lọc tần số thấp tại cấp mịn nhất. Ở tỉ lệ thô kế tiếp, gọi
)}({ 1 kc là tích chập của f và hàm tỉ lệ ở tỉ lệ gấp đôi. Giá trị )}()({ 10 kckc chứa
thông tin là hiệu giữa hai tỉ lệ. Hàm wavelet đƣợc xác định bởi
)2
(2
1)()
2(
2
1 xx
x (2.30)
Khoảng lấy mẫu tăng gấp đôi từ cấp )1( i , với i > 0 lên cấp i kế tiếp, và các
hệ số )}({ kci xác định bởi
l
i
ii lkclhkc )2().()( 1
1 (2.31)
Chỉ số l quét trong dữ liệu gốc, hệ số )}({ kh có thể xác định đƣợc từ hàm tỉ
lệ )(x với công thức l
lxlhx
)()()2
(2
1 , và biến đổi wavelet (cũng là hệ số
wavelet) xác định bởi
)()()( 1 kckckw iii (2.32)
37
Mở rộng lên trƣờng hợp hai chiều, các hệ số đƣợc xác định bởi
lkjjj
lkj chhc ,)()(
,,1 )*~~
(
lkjlkjlkhj ccw ,,1,,,,,1 (2.33)
Một số dạng hàm tỉ lệ thƣờng đƣợc dùng cho IUWT, trong đó 1 là hàm B-
Spline bậc 3:
333331 2146142
12
1)( xxxxxx (2.34)
)()(),( 11 yxyx ,
và hàm wavelet đƣợc xác định bởi
)2
,2
(4
1),()
2,
2(
4
1 yxyx
yx (2.35)
Với dữ liệu hai chiều, thuật giải a trous đƣợc thực hiện với mặt nạ 3x3 cho
toán tử chập. Trong trƣờng hợp hàm tỉ lệ tuyến tính với
1,10
1,1||1)(
x
xxx
thì mặt nạ cho bộ lọc tỉ lệ xác định bởi:
16
1
8
1
16
18
1
4
1
8
116
1
8
1
16
1
Áp dụng vào xử lý ảnh, tại cấp phân rã j, tập các hệ số wavelet )},({ lkw j có
cùng kích thuớc ảnh gốc. Nếu sử dụng hàm tỉ lệ B-Spline bậc 3 nhƣ (2.34), mặt
nạ cho bộ lọc tỉ lệ xác định bởi.
256
1
64
1
128
3
64
1
256
164
1
16
1
32
3
16
1
64
1128
3
32
3
64
9
32
3
128
364
1
16
1
32
3
16
1
64
1256
1
64
1
128
3
64
1
256
1
38
Không khó để xây dựng mặt nạ wavelet theo công thức (2.35). Hình 2.3
minh hoạ biến đổi wavelet đẳng hƣớng không giảm kích thƣớc mẫu trên ảnh với
hàm Db3 ở cấp phân rã thứ 5.
(a)-Hình gốc (b)-Hình tái tạo lại từ hệ số của IUWT cấp 5
(Nguồn phòng thí nghiệm tế bào gốc ĐHQG TPHCM)
Hình 2.3-Minh hoạ biến đổi IUWT với thuật giải a trous.
Nhận xét rằng ƣu điểm của phân rã không giảm kích thƣớc mẫu là các cực trị
thực sự không bị mất đi so với wavelet giảm kích thƣớc mẫu. Ngoài ra việc xác
định lời giải hội tụ cũng đơn giản hơn khi chỉ cần so sánh 1-1 các giá trị WTMM
giữa hai cấp phân rã kề nhau, thay vì so sánh 1-4 của WT (hình 2.4) khi xác định
đƣờng cực trị. Mặt khác, tƣơng tự nhƣ WTMM, các điểm nhiễu (các hệ số WT
hoặc UWT có giá trị nhỏ hơn ngƣỡng xác định và bị gán giá trị zero) cũng sẽ bị
loại bớt trong quá trình thô hoá nhƣng không làm triệt tiêu các cực trị.
(a)-Wavelet (b)-UWT
Hình 2.4-Lƣợc đồ xác định đƣờng cực trị theo WT và UWT
39
Giá trị WTMM dựa trên UWT với thuật giải a trous [41] [54] đƣợc thực hiện
tƣơng tự nhƣ cách xác định cực trị dựa trên WT. Trong đó các mô-đun wavelet
rời rạc và cực trị trên ảnh đƣợc xác định dựa trên các công thức (2.12), (2.26).
Tóm lại, điều kiện để một điểm ảnh là điểm biên khi WTMM của nó tồn tại ở
các cấp phân rã. Tuy nhiên, trong thực tiễn cài đặt UWTMM, chúng ta chỉ cần
có nhiều hơn K (với 2/LK , L là số cấp phân rã) tỉ lệ có WTMM tại điểm ảnh
đang xét.
2.4. Thực nghiệm xác định biên trên vi ảnh DNA microarray
Phát hiện spot (vùng tròn) trong ảnh DNA microarray (còn gọi là gene chip hay
DNA chip-hình 2.5) là bƣớc rất quan trọng và đòi hỏi sự chính xác cần cho phân
tích ở các bƣớc kế tiếp.
Hình 2.5-Ảnh microarray chụp các vùng tròn DNA. (nguồn Đại học Nevada).
Một số phƣơng pháp xử lý ảnh dùng để tách vùng tròn là di chuyển hình tròn
đƣờng kính cố định, phân ngƣỡng theo histogram, v.v. Tuy nhiên, các vùng tròn
thƣờng khác nhau về hình dáng và kích thƣớc, vì vậy phƣơng pháp dựa trên di
chuyển hình tròn có kích thƣớc cố định nhằm xác định vùng tròn có nhiều nhƣợc
điểm.
Trong phần này, chúng tôi trình bày các phân tích thực nghiệm việc sử dụng
UWTMM cho bài toán xác định vùng tròn. Kết quả cũng đƣợc so sánh với các
phƣơng dò cạnh phổ biến khác nhƣ Sobel, Canny, Roberts, Prewitt. So sánh đƣợc
40
thực hiện bằng cách tính tổng độ lệch bit giữa ảnh kết quả và ảnh lý tƣởng đƣợc tạo
thủ công. Độ lệch càng nhỏ thể hiện với chất lƣợng xác định biên tốt hơn.
Tập ảnh thực nghiệm trích từ 19 tập ảnh microarray từ các nguồn khác nhau nhƣ
www.microarray.org, www.dsp.utoronto.ca, v.v, mỗi tập chứa từ 3 đến 12 ảnh.
Khảo sát ý nghĩa việc sử dụng wavelet giá trị phức xác định điểm biên
Hình 2.6 minh hoạ sự khác biệt giữa việc sử dụng hàm thực và hàm phức trong
WTMM để xác định điểm biên.
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(a) Ảnh gốc. (b)- Db2. (c)- Coiflet. (d)- Gaussian phức ở tỉ lệ s=1.5. (e)- Morlet với
Fb=1.5, Fc=1 ở tỉ lệ s=1.1. (f)-B-Spline phức với M=2, Fb=0.5, Fc=1 ở tỉ lệ s=1.2.
Hình 2.6-Kết quả thực nghiệm dùng WTMM.
Với các wavelet khác nhau thì vị trí của các điểm cực trị cũng khác nhau. Các
thử nghiệm trên ảnh microarray bị nhiễu khá nhiều nhƣng kết quả là các biên vùng
tròn vẫn đƣợc trích đúng. Hình minh hoạ phần nào cho thấy rằng các điểm biên
đƣợc xác định bằng WTMM với wavalet trị phức rõ hơn so với WTMM giá trị thực.
41
Với hàm Gaussian phức, các biên vùng tròn đƣợc trích gần nhƣ khớp với các vùng
tròn trong ảnh gốc. Các vùng tròn khá mờ cũng có thể đƣợc phát hiện. Với thực
nghiệm đƣợc thực hiện sử dụng hàm wavelet Morlet với WTMM, các biên vùng
tròn đƣợc trích lệch về bên trái so với các vùng tròn trong ảnh gốc. Các vùng tròn
mờ đƣợc phát hiện không tốt. Với thực nghiệm trên hàm B-Spline phức, các biên
vùng tròn đƣợc trích lệch về bên phải so với các vùng tròn trong ảnh gốc, các vùng
tròn mờ đƣợc phát hiện không tốt nhƣ wavelet Gaussian nhƣng tốt hơn so với
wavelet Morlet. Với ảnh microarray DNA thì wavelet Gaussian phức cho kết quả
tốt nhất. Các vùng tròn mờ cũng đƣợc phát hiện tốt với wavelet Gaussian.
Khảo sát ý nghĩa việc sử dụng UTWMM xác định điểm biên
Hình 2.7 minh họa một kết quả xác định biên với UWTMM trên ảnh DNA
microarray đã đƣợc thêm nhiễu Gaussian, và so sánh với các phƣơng pháp khác.
Nhận thấy rằng, sử dụng hàm phức với UWTMM cho kết quả tốt hơn so với các
phƣơng pháp dò cạnh phổ biến khác. Bảng 2.2 và biểu đồ trong hình 2.8 cho thấy
sai số của phƣơng pháp UWTMM hầu hết đều thấp hơn so với các phƣơng pháp
Canny, Prewitt, Robert và Sobel.
(a) (b)
(c) (d)
(a) Ảnh gốc. (b)-Canny, (c)-Robert, (d)-UWTMM.
Hình 2.7-Minh hoạ kết quả xác định biên trên ảnh microarray
42
Bảng 2.2-So sánh giữa các phƣơng pháp xác định biên trên ảnh microarray
Canny (%) Prewitt (%) Robert (%) Sobel (%) UWTMM (%)
18.160 18.170 16.770 18.160 17.845
14.115 13.995 14.260 14.015 13.530
14.745 14.755 15.135 14.745 14.745
20.475 20.505 20.450 20.475 20.575
21.115 21.175 19.950 21.115 20.765
16.770 16.760 16.820 16.770 16.385
17.395 19.420 16.710 17.395 17.200
17.430 17.450 16.760 17.430 17.225
15.775 15.770 15.705 15.780 14.620
21.440 21.400 20.680 21.450 19.635
14.875 14.880 14.950 14.890 14.260
14.775 14.775 15.030 14.770 14.185
19.060 19.075 19.045 19.070 18.925
15.945 15.975 15.530 15.925 15.740
12.265 12.265 12.465 12.265 11.915
17.520 17.510 16.540 17.535 16.350
19.325 19.310 19.470 19.350 18.955
19.820 19.805 19.100 19.810 18.985
26.535 26.570 26.495 26.520 26.720
Hình 2.8-Biểu đồ so sánh tỉ lệ lỗi trung bình giữa các phƣơng pháp xác định biên
43
2.5. Tóm tắt
Phƣơng pháp cực trị mô-đun của wavelet dựa trên hàm giá trị thực hay phức
hoàn toàn có thể sử dụng để xác định biên ảnh, đặc biệt là các vùng tròn của ảnh
microarray DNA và các ảnh y khoa có nhiễu. Ƣu điểm của phƣơng pháp là làm việc
hiệu quả trên ảnh nhiễu. Việc sử dụng cực trị mô-đun với wavelet trị phức ổn định
vì số lƣợng đƣờng cực trị ít hơn và ít bị tác động bởi nhiễu so với wavelet thực. Dựa
trên các đặc điểm này, chúng tôi đã vận dụng một biến thể của WTMM gọi là
UWTMM kết hợp với sử dụng wavelet giá trị phức cho bài toán xác định biên dữ
liệu vi ảnh. Kết quả thực nghiệm so sánh cho thấy rằng phƣơng pháp UWTMM với
thuật giải a trous dựa trên hàm thực hay hàm phức phần lớn có kết quả tốt hơn so
với các phƣơng pháp Canny, Sobel, Prewitt, hay Roberts.
Về ý nghĩa thực tiễn ứng dụng của đề tài chúng tôi nhận xét rằng xác định biên
chỉ là một trong các bƣớc quan trọng để lấy đƣợc một lớp thông tin cần cho phân
tích dữ liệu vi ảnh ở các bƣớc tiếp theo nhằm hỗ trợ giải quyết các bài toán thực tế
(nhƣ chẩn đoán chất lƣợng trong quy trình chế tạo wafer, vi mạch, v.v). Về mặt
phƣơng pháp luận, chúng tôi muốn khai thác biến đổi đa phân giải để giải quyết các
vấn đề trong xử lý ảnh. Vì vậy trong chƣơng kế tiếp, chúng tôi đề xuất thuật giải
phân đoạn ảnh và các cải tiến nhằm thực hiện tốt công đoạn tiền xử lý vi ảnh trƣớc
khi chuyển sang thực hiện các bài toán khác.