Chonnam National University 2 2 2 2elearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/ChonNam/...•사칙연산 ¯ ® z iy i i y z x z z x y x iy 0,1 & 1 Im Re, 2 실수(real part) 허수(imaginary

Bong-Kee Lee School of Mechanical Engineering

Chonnam National University

Engineering Mathematics II

13. Complex Numbers and Functions

School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II

13.1 Complex Numbers. Complex Plane

복소수(complex numbers)

– 실수 x, y의 순서쌍

• 사칙연산

iyz

ii

zy

zx

iyxyxz

1&1,0

Im

Re

,

2

실수(real part)

허수(imaginary part)

허수 단위(imaginary unit)

순허수(pure imaginary)

2

2

2

2

2112

2

2

2

2

2121

2

2

2

2

12212121

22

22

22

11

22

11

2

1

12212121221121

2121221121

2121221121

yx

yxyxi

yx

yyxx

yx

yxyxiyyxx

iyx

iyx

iyx

iyx

iyx

iyx

z

z

yxyxiyyxxiyxiyxzz

yyixxiyxiyxzz

yyixxiyxiyxzz



복소평면(complex plane)

– 복소수를 평면상의 점으로 하여 기하학적으로 표시한 것



공액복소수(complex conjugate number)

• 복소수를 실수로 전환 가능하게 하여 유용함

iyxziyxz

2

1

2

1

2121

2121

2121

22

2

1Im

2

1Re

2,2

z

z

z

z

zzzz

zzzz

zzzz

zzi

yz

zzxzyizzxzz

yxzz


13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots

극형식(polar form)

• 절대값, 크기(modulus)

• 편각(argument)

• 주값(principal value)

• 삼각형부등식(triangle inequality)

• 일반화된 삼각형부등식

sincossin,cos irziyxz ryrx

zzyxrz 22

x

yz 1tanarg

znzz Arg2 Argarg

2121 zzzz

nn zzzzzz 2121



극형식(polar form)

– 곱셈과 나눗셈

– De Moivre 공식

21

2

1

2

1

2

1

2121

2

1

222

111

2

1

2121

2121

21212122112121

22221111

argargarg

sincossincos

sincos

argargarg

sincossincossincos

sincos&sincos

zzz

z

z

z

z

z

ir

r

ir

ir

z

z

zzzz

zzzz

irriirrzz

irzirz

ninrir nnsincossincos



근(roots)

– z의 n제곱근(n-th root): z=wn을 만족하는 w값들

• 단위 n제곱근

1,,1,0 2

sin2

cos

nkn

ki

n

krzw

wz

nn

n

3 1 4 1 5 1

1,,1,0 2

sin2

cos1 nkn

ki

n

kn


단위원 복소평면 위의 원 복소평면 위의 고리

13.3 Derivative. Analytic Function

원, 원판, 반평면

0

0

0

0

1

21

21

x

x

y

y

az

az

az

az

z

단위원(unit circle)

열린 원판(open circular disk)

닫힌 원판(closed circular disk)

근방(neighborhood): a의 ρ-근방

열린 환형(open annulus)

닫힌 환형(closed annulus)

열린 상반평면(open upper half-plane)

열린 하반평면(open lower half-plane)

열린 우반평면(open right half-plane)

열린 좌반평면(open left half-plane)



기본 개념 □ 점집합(point set): 유한 또는 무한의 많은 점들의 집합 □ 열렸다(open): 집합의 모든 점이 오로지 집합에 속해 있는 점들로만 구성된 근방을 가지고 있을 때 □ 연결되었다(connected): 집합의 어떤 두 점도 집합에 속하는 점들로만 이루어진 유한한 선분의 파선(broken line)으로 이어질 때 □ 영역(domain): 열린 연결집합(open connected set) □ 여집합(complement): 집합에 속하지 않는 복소평면 내의 모든 점들의 집합 □ 경계점(boundary point): 점의 모든 근방이 집합에 속하는 점과 속하지 않는 점 둘 다 포함하는 점 □ 경계(boundary): 모든 경계점의 집합 □ 영역(region): 영역(domain)과 그 경계점의 일부 또는 전부의 합으로 이루어진 집합



복소함수(complex function)

– 복소수 집합의 각각의 원소에서의 함수값이라 불리는 복소수를 지정해 주는 규칙

• 복소변수(complex variable): z

• 정의역(domain): 복소변수의 집합 S

• 치역(range): 함수의 모든 값의 집합

– Ex. 1

yxivyxuzfw ,,

153331232,53913&

155939613133131

32,&3,

3233

3

22

2

22

222

2

yxyvxyxu

iiiiiif

yxyyxvxyxyxu

yxyixyxiyxiyxw

iyxzzzzfw



극한, 연속성, 도함수

– 극한

– 연속

– 도함수

• [Ex.3] f(z)=z2은 모든 z에 대해 미분가능하고 도함수는 f’(z)=2z가 됨

lzfzz

0

lim

↔ 함수 f(z)가 z0 근방에서 정의되고, z0에 근접한 모든 z에 대해 f값이 l에 근접

함수 f(z)가 z=z0에서 연속 ↔ z=z0에서 함수 f(z)가 정의되고 0

0

lim zfzfzz

0

000

00

0

limlim'zz

zfzf

z

zfzzfzf

zzz



극한, 연속성, 도함수

– 미분 규칙

• f(z)가 z0에서 미분가능이면 z0에서 연속

– Ex. 4 (미분 불가능성)

1

2

'

''',''',''',''

nn nzz

g

fggf

g

ffggffggfgfcfcf

01

01

lim'0

x

y

yix

yix

z

z

z

zzz

z

zfzzf

z

zfzzfzf

iyxzzf

z



해석함수(analytic function)

– 해석적(analytic) • 함수가 정의역의 모든 점에서 정의되고 미분가능일 때

– 해석함수 • 어떤 정의역에서 해석적인 함수

– Ex. 5

zhzg

zf

zczczcczf

zz

n

n

2

210

2 ,,,1 정수 거듭제곱: 전 복소평면에서 해석적

다항식: 해석적

유리함수(rational function): h(z)=0인 점을 제외하고 해석적


13.4 Cauchy-Riemann Equations. Laplace’s Equation

Cauchy-Riemann 방정식

yy

xx

xyyx

viuzf

ivuzf

vuvu

yxivyxuzf

'

'

,

,,

□ f(z) = u(x, y) + i v(x, y)가 한 점 z= x +i y 의 어떤 근방에서 정의되고, 연속이며 미분가능 → 그 점에서 u와 v의 1계 편도함수가 존재하고 Cauchy-Riemann 방정식을 만족


□ 실변수 x, y의 두 실수 값을 가지는 연속함수 u(x, y) 및 v(x, y)가 정의역에서 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하는 연속인 1계 편도함수를 가짐 → 그 복소함수 f(z) = u(x, y) + i v(x, y) 는 해석적




– Ex. 2

– Ex. 3 • f(z)가 정의역 D에서 해석적이고 D에서 |f(z)|=k(상수)이면, D에서

f(z)=상수

zzfvuvu

yevyevyeuyeu

yevyeu

yiyeyxivyxuzf

xyyx

x

y

x

x

x

y

x

x

xx

x

allfor analytic :&

cos,sin,sin,cos

sin&cos

sincos,,

constconst0&0

const002

0001

0&00&0

0&0

222

222

2222

22222

fvvv

uuukvu

fvukvu

uvuuvuvuuuvvuuvuuuvvuu

vvuuvvuukvuivufkzf

xy

yx

yxxyyyyxxx

yyxx



라플라스 방정식

– Ex. 4

□ f(z) = u(x, y) + i v(x, y)가 정의역 D에서 해석적 → u와 v는 D에서 각각 라플라스 방정식을 만족하며, 연속인 2계 편도함수를 가짐

0&0

analytic :,,

22

yyxxyyxx vvvuuu

yxivyxuzf

czizcxxyiyyxivuzf

cxxyv

cxxhxhxhyyuv

xhxyvxuv

uuuu

uuyuxuyyxu

yx

xy

yyxx

yyxxyx

222

2

22

2

2

1''212

22

function harmonic :0

2,212,2


13.5 Exponential Function

복소 지수함수

• 실수 z = x에 대하여 ez=ex

• ez는 모든 z에 대하여 해석적

• ez의 도함수

→ ez는 실지수함수 ex의 확장

• 추가적인 성질

– ez는 완전함수: 모든 z에 대하여 해석적

–

– 복소수의 극형식

–

yiyeeze xiyxz sincosexpor

zz ee '

yiyeeeeee iyiyxzzzzzsincos2121

오일러 공식(Euler formula)

1sincos 2 ii ereirz

0ze


13.5 Exponential Function

복소 지수함수 • 주기성

– w = ez가 가질 수 있는 모든 값은 폭 2π인 수평 띠 안에 있게 됨

: 기본영역(fundamental region)

– Ex. 1

ziz ee 2

,2,1,0 2927.0609.1

927.08.0sin4sin

6.0cos3cos

609.15ln5

?43

niniz

yyye

yye

xee

iyxzie

x

x

xz

z


13.6 Trigonometric and Hyperbolic Functions

삼각함수

• cos(z)와 sin(z)는 완전함수(모든 z에서 해석적)

• tan(z)와 sec(z)는 cos(z)=0인 점을 제외하고 해석적

• cot(z)와 csc(z)는 sin(z)=0인 점을 제외하고 해석적

zz

zz

zz

zz

z

zz

eei

zeez iziziziz

sin

1csc,

cos

1sec,

tan

1

sin

coscot,

cos

sintan

2

1sin,

2

1cos

1sincos

sincoscossinsin

sinsincoscoscos

sec'tan,cos'sin,sin'cos

22

212121

212121

2

zz

zzzzzz

zzzzzz

zzzzzz



삼각함수

– Ex. 1

– Ex. 2

yxz

yxz

yxiyxz

yxiyxz

222

222

sinhsinsin

sinhcoscos

sinhcoscoshsinsin

sinhsincoshcoscos

,2,1,0 292.222&292.2

1&101.0,899.9101.0,899.91255

01101052

1

5cos

2

ninznxy

eeee

eeeeee

z

ixyixyiz

iziziziziziz



쌍곡선함수

• 주요 공식: 미분

• 복소삼각함수와 쌍곡선함수의 관계

zz

zz

zz

zz

z

zz

eezeez zzzz

sinh

1csch ,

cosh

1sech ,

tanh

1

sinh

coshcoth,

cosh

sinhtanh

2

1sinh,

2

1cosh

zzzz cosh'sinh,sinh'cosh

ziizziz

ziizziz

sinhsincoshcos

sinsinhcoscosh


13.7 Logarithm. General Power

자연 로그(natural logarithm)

– 지수함수의 역함수

• 주값(principal value)

• 관계식

0 ln zzwez w

zzrirz

ruvrereeez uiivuw

arg,0 lnln

ln&

,2,1 2Ln ln

ArglnLn

ninzz

zizz

2121

21

2

1

2121

Ln Ln Ln

lnlnln

lnlnln

zzzz

zzz

z

zzzz



자연 로그(natural logarithm)

– Ex. 2

– 로그의 해석성 • 모든 n=0, ±1, ±2, …에 대하여 로그함수는 0과 음의 실수 축을 제

외한 점에서 해석적임

• 가지(branch): 무한 개의 많은 로그 함수

– 주가지(principal branch): n=0 인 가지

– 가지 절단(branch cut): 음의 실수 축

real negativeor 0 1

'ln zz

z

izzizz

zzzz

2Ln Ln Ln Ln

01LnLn1

2121

2121

,2,1 2Ln ln ninzz



일반 거듭제곱

– Ex. 3

valueprincipal :

0,numbercomplex :

Ln

ln

zc

zcc

e

zcez

2lncos2lnsin42

2lnsin42

2lncos

42

2lnexp24

2ln42

2ln2exp

24

2ln2exp1ln2exp1

valueprincipal :

22

exp22

explnexp

242ln

242ln

242ln

2

2

22ln

ieeninee

nieeniini

iniiiii

e

eniniiiiei

nn

n

i

niii

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