CHƯƠNG 3 - math.hcmuns.edu.vnbxthang/dsc2009/Microsoft PowerPoint - D… · Phụthuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính 4. ... Phần tửkhông là các hàm đồng

CHƯƠNG CHƯƠNG 33

KHÔNG GIAN VECTƠKHÔNG GIAN VECTƠ----------

Nội dung

1. Không gian vectơ

2. Không gian con của không gian vectơ

3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính

4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT

5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở.

6. Không gian nghiệm.

7. Không gian dòng của ma trận.

ØØ Chương Chương 3. 3. Không gian vectơKhông gian vectơ


1. Không gian vectơ:

Định nghĩa 1: Cho V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2 phép toán:

i. Phép toán cộng (ký hiệu +)

V được gọi là không gian vectơ (KGVT) trên trường số thực R nếu thỏa mãn các tính chất sau đối với phép cộng và nhân vô hướng:

,u v V∈ u v V+ ∈

(Phép hợp thành trong)

ii. Phép nhân vô hướng:

(Phép hợp thành ngoài)

, ,u V k ku V∈ ∈ ∈R

Các phần tử của V được gọi là các vectơ.


i. Tính giao hoán của phép cộng

ii. Tính kết hợp của phép cộng:

iii. Tồn tại một phần tử không, ký hiệu 0, thỏa mãn:

iv. tồn tại một phần tử ñối, ký hiệu là , thỏa mãn: u V∀ ∈ u−

, ,u v V u v v u∀ ∈ + = +

( ) ( ), , ,u v w V u v w u v w∀ ∈ + + = + +

, 0u V u u∀ ∈ + =

( ) 0u u+ − =

v.

vi.

vii.

viii.

( ), , ,u v V k k u v ku kv∀ ∈ ∀ ∈ + = +R

( ), , ,u V k h h k u hu ku∀ ∈ ∀ ∈ + = +R

( ) ( ), , ,u V k h h ku hk u∀ ∈ ∀ ∈ =R

,1.u V u u∀ ∈ =


Tính chất:

Phép trừ trong KGVT ñược định nghĩa như sau:

( )u v u v− = + −

i. Phần tử 0 trong (iii) và phần tử -u trong (iv) là duy nhất.

ii.

iii.

, 0.u V u∀ ∈ = 0

,k V∀ ∈ ∈R 0 .k =0 0

iv. Nếu ku = 0 thì hoặc k = 0 hoặc u = 0

v. ( )1u u− = −

• Ví dụ:

1. Không gian vectơ Rn:


[ ] [ ]1 2 1 2; , , , ,..., , , ,...,n

n nk u v u u u u v v v v∈ ∈ = =R R

[ ]1 1 2 2, ,..., n nu v u v u v u v+ = + + +

[ ]1 2, ,..., nku ku ku ku=

[ ]0,0,...,0=0 phần tử không.

trong đó các ui và vi là các số thực và ñược gọi là các thành phần của vec tơ u và v.


2. Cho X là tập khác rỗng, tập hợp các hàm số từ X và R ký hiệu:

{ }:F f X= →R

Các phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa như sau:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, :

; :

f g F f g x f x g xx X

f F k kf x kf x

∀ ∈ + = +∀ ∈

∀ ∈ ∈ =R

x X∈Phần tử không là các hàm đồng nhất không, tức là bằng không với mọi

3. Pn là tập tất cả các đa thức hệ số thực cấp 1n≤ −

Phép cộng: cộng đa thức

Phép nhân vô hướng: nhân số với đa thức

Pn là một KGVT trên trường số thực


4. Tập tất cả các ma trận cấp mxn:

Phép cộng: cộng ma trận

Phép nhân vô hướng: nhân vô hướng với một ma trận

là một KGVT trên trường số thực.

m n×M

m n×M

5. Trường số thực R là KGVT trên chính nó.










2. Không gian con của KGVT:

Định nghĩa 2:

Không gian con của KGVT V trên trường số thực R (gọi tắt làkhông gian con) là một tập hợp W khác rỗng của V thỏa 2 tích chất sau:

i. , ,u v W u v W∀ ∈ + ∈

ii. , ,u W k ku W∀ ∈ ∀ ∈ ∈R

Nhận xét:

Hai tính chất trên có thể ñược thay bằng tính chất sau:

, , ,u v W k ku v W∀ ∈ ∀ ∈ + ∈R


Định lý:

Phần giao của một số bất kỳ các không gian con của KGVT V làkhông gian con của KGVT V.

Định lý:

Tập hợp nghiệm của hệ phương trình thuần nhất trên R:

AX = 0

trong đó và

là không gian con của KGVT Rn.

Mm n×

∈A M1n×

∈X

Chứng minh: RM1;

nk

×∈ ∈X,Y

M1n

k×

+ ∈X Ycần cm cũng là nghiệm của hệ AX = 0

( ) � �k k+ = + =0 0

A X Y AX AY 0

với X và Y là nghiệm của AX = 0

Suy ra điều phải chứng minh.









3. Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính:

Định nghĩa 3:

V là KGVT trên R. Cho . Vectơ códạng


1 2, ,..., mv v v V∈ u V∈

1 1 2 2 ... m mu v v vα α α= + + +

trong đó , được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

, 1,i i mα ∈ =R

1 2, ,...,

mv v v

Định nghĩa 4:

Hệ các vectơ v1, v2, …,vm của KGVT V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các vô hướng (các số thực), 1 2, ,..., mα α α

không đồng thời bằng không, sao cho:

1 1 2 2 ... m mv v vα α α+ + + = 0Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là ñộc lập tuyến tính.

Định lý:

Các vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

có ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.


1 2, ,..., mv v v V∈

Chú ý:

i. Các vectơ độc lập tuyến tính nếu và chỉnếu

1 2, ,..., mv v v V∈

1

1

,..., , 0 0, 1,...m

m i i i

i

v i mα α α α

=

∈ = ⇒ = ∀ =∑R

ii. Mọi hệ hữu hạn các vectơ, trong đó có vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.

iii. , một họ vectơ gồm 1 vectơ, ký hiệu độc lập tuyến tính khi và chỉ khi .

v V∀ ∈ { }vv ≠ 0

Phương pháp kiểm tra hệ các vectơ ĐLTT hay PTTT:


Bước 1:

Lập hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

=AX 0

1 2 mv v v =

A ⋯

1 2

T

i i i niv v v v =

⋯11 12 1

21 22 2

1

m

m

n nm

v v v

v v v

v v

=

A

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯

trong đó A là ma trận có các cột là các vectơ v1, v2, …,vm.


1 2 mα α α =

X ⋯

và vectơ X có dạng:

Bước 2:

Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên ta được:

i. Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT

ii. Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ

các vectơ PTTT










4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT Rn:

Định nghĩa 5: (cơ sở của KGVT)

Tập gồm m vectơ của KGVT Rn lập thành một hệ các phần tử sinh của Rn, nếu với mọi vectơ v bất kỳ trong Rn

là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ , tức là có thểbiểu diễn v dưới dạng:

{ }1 2, ,...,

mf f f=B

1 2, ,...,

mα α α

1 1 2...

m m mv f f fα α α= + + +

trong đó là các vô hướng.

1 2, ,...,

mf f f

Cơ sở của KGVT Rn là một hệ các phần tử sinh độc lập tuyến tính, tức là B thỏa mãn hai tính chất sau:

{ }1 2, ,...,

nf f f=B

i) ñược biểu diễn dưới dạngnv ∈ R

1 1 2 2...

n nv f f fα α α= + + +

ii) Phương trình chỉ thỏa mãn khi 1 1 2 2... 0

n nf f fλ λ λ+ + + =

1 2... 0

nλ λ λ= = = =

(công thức khai triển vectơ v thành các thành phần)

Các vô hướng được gọi là các tọa độ của vectơ v trong

cơ sở


{ }1 2, ,..., .

nf f f=B

1 2, ,...,

nα α α

Ký hiệu: 1

2

n

v

α

α

α

=

B ⋮


Ví dụ:

1) Trong KGVT R2: mọi vectơ đều có thể biểu diễn thông qua 2 vectơ không cùng phương. Và hai vectơ không cùng phương thì ðLTT. Vậy cơ sở của R2 là một hệ gồm 2 vectơ không cùng phương.

2) Trong KGVT R3: mọi vectơ đều có thể biểu diễn thông qua 3 vectơ không đồng phẳng (không nằm trên cùng mặt phẳng). Và 3 vectơ không đồng phẳng thì ðLTT. Vậy cơ sở của R3 là một hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng.

( ) ( )1,2 ; 2, 0a b= =

( )4,4 2c c a b= ⇒ = +

vậy: 2

1c

=

B

Chú ý:


{ }0 1 2, ,..., .

ne e e=B

i) Mỗi vectơ v trong Rn ñược khai triển thành các thành phần một cách duy nhất

ii) Với mỗi cơ sở khác nhau, một vectơ được khai triển thành các thành phần khác nhau (trừ vectơ 0)

iii) Cơ sở chính tắc trong Rn: ký hiệu

1

2

3

1, 0,0, , 0 ,

0,1, 0, , 0 ,

0, 0,1, , 0 ,

0, 0, 0, ,1 .n

e

e

e

e

= = =

=

…

…

…

⋮

…

( ) 1 2 31,2,3 2 3a a e e e= ⇒ = + +

0

1

2

3

c

=

B

Ví dụ:

Định nghĩa 6: (chiều của của KGVT)

Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho KGVT V có một cơ sởgồm n vectơ, số nguyên này là duy nhất và ñược gọi là số chiều của KGVT.


Ký hiệu: n = dimV

Nhận xét:

i) Số chiều của một KGVT chính là số vectơ của mọi cơ sở của V vàcũng là số tối đại các vectơ độc lập tuyến tính của KGVT V

ii) KGVT có số chiều hữu hạn thì gọi là KGVT hữu hạn chiều. KGVT trong đó có thể tìm được vô số vectơ ñộc lập tuyến tính được gọi làKGVT vô hạn chiều.

Định lý:


Trong KGVT Rn, một hệ bất kỳ gồm n vectơ độc tuyến tính thìtạo thành một cơ sở

Định lý:

Hệ gồm n vectơ trong KGVT Rn ñộc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức của ma trận tạo bởi các thành phần của vectơ đókhác không.









5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay ñổi. Ma trận chuyển cơ sở.


là hai cơ sở khác nhau của KGVT Rn.

{ }1 2, ,...,

ne e e=B { }1 2

, ,...,n

f f f′ =B

Quy ước B là cơ sở cũ và B’ là cơ sở mới.

Tọa độ của các vectơ trong cơ sở mới được biểu diễn trong cơ sở cũ như sau:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

n n

n n n nn n

f e e e

f e e e

f e e e

α α α

α α α

α α α

= + + +

= + + +

= + + +

⋮


Ma trận vuông cấp n:

11 21 1

12 22 2

1 2

...

...

...

n

n

B B

n n nn

P

α α α

α α α

α α α

′→

=

⋮ ⋮ ⋮

được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở cũ B sang cơ sởmới B’ (hoặc ma trận chuyển).


Định lý:

là ma trận chuyển từ cơ sở B={ei} sang cơ sở B’={fi}

và là ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang cơ sở B. Khi đó

khả nghịch và

B BP ′→

B BQ ′→

B BP ′→

1

B B B BQ P−′ ′→ →

=


Định lý:

là ma trận chuyển từ cơ sở B={ei} sang cơ sở B’={fi}

trong KGVT V. Khi ñó ñối với vectơ bất kỳ v trong V:

B BP ′→

B Bv P v

′→ ′

= B B

1

B Bv P v−

′→′

= B B

i)

ii)

Documents

CHƯƠNG 3 - math.hcmuns.edu.vnbxthang/dsc2009/Microsoft PowerPoint - D… · Phụthuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính 4. ... Phần tửkhông là các hàm đồng