Chuyen de Bat Dang Thuc Lop 10 Co Loi Giai

GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP .QUY NHƠN

GIA SƯ

��ỨỨỨỨC KHÁNH ‘‘Thắp sáng ngọn lửa thành công’’

• Chuyên luyện thi ðại Học Khối A - B

• Nhận dạy kèm tất cả các lớp 22A - Phạm Ngọc Thạch – TP.Quy Nhơn

Liên hệ : Thầy Khánh – 0975.120.189

B�T ��NG THC - B�T PH��NG

TRÌNH - C�C TR� ��I S� A - B�T ��NG THC I — KI�N THC C�N NH� a) ��NH NGH A: Cho hai sè a vµ b ta cã a > b Cho hai sè a vµ b ta cã a > b Cho hai sè a vµ b ta cã a > b Cho hai sè a vµ b ta cã a > b ⇔ a a a a –––– b > 0 b > 0 b > 0 b > 0 b) M$T S� B�T ��NG THC C� B%N

• Çc bÊt ®¼ng thøc vÒ luü thõa vµ c¨n thøc :Çc bÊt ®¼ng thøc vÒ luü thõa vµ c¨n thøc :Çc bÊt ®¼ng thøc vÒ luü thõa vµ c¨n thøc :Çc bÊt ®¼ng thøc vÒ luü thõa vµ c¨n thøc : �� 2 0nA n≥ ∀ ∈ℕ víi A lµ mét biÓu thøc bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 víi A lµ mét biÓu thøc bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 víi A lµ mét biÓu thøc bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 víi A lµ mét biÓu thøc bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0

�� 2 0n A ≥ ; ; ; ; 0;A n∀ ≥ ∀ ∈ℕ ; dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 ; dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 ; dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 ; dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0

�� A B A B+ ≥ + Víi Víi Víi Víi 0; 0A B≥ ≥ dÊu b»ng x¶y ra khi cã Ýt ndÊu b»ng x¶y ra khi cã Ýt ndÊu b»ng x¶y ra khi cã Ýt ndÊu b»ng x¶y ra khi cã Ýt nhÊt 1 trong hai sè b»nghÊt 1 trong hai sè b»nghÊt 1 trong hai sè b»nghÊt 1 trong hai sè b»ng kh«ng kh«ng kh«ng kh«ng

�� A B A B− ≤ − víi víi víi víi A B o≥ ≥ dÊu b»ng x¶y ra khi B = 0 dÊu b»ng x¶y ra khi B = 0 dÊu b»ng x¶y ra khi B = 0 dÊu b»ng x¶y ra khi B = 0 •••• Çc bÊt ®¼ng thøcvÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi Çc bÊt ®¼ng thøcvÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi Çc bÊt ®¼ng thøcvÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi Çc bÊt ®¼ng thøcvÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

�� 0A ≥ Víi A bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 Víi A bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 Víi A bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 Víi A bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0

�� A B A B+ ≥ + dÊu b»ng x¶y ra khi A vµ cïng dÊu dÊu b»ng x¶y ra khi A vµ cïng dÊu dÊu b»ng x¶y ra khi A vµ cïng dÊu dÊu b»ng x¶y ra khi A vµ cïng dÊu

�� A B A B− ≤ − DÊu b»ng x¶y ra khi A vµ B cïng dÊu vµ A> B DÊu b»ng x¶y ra khi A vµ B cïng dÊu vµ A> B DÊu b»ng x¶y ra khi A vµ B cïng dÊu vµ A> B DÊu b»ng x¶y ra khi A vµ B cïng dÊu vµ A> B

•••• BÊt ®¼ng thøc Cauchy ( C«si ) : BÊt ®¼ng thøc Cauchy ( C«si ) : BÊt ®¼ng thøc Cauchy ( C«si ) : BÊt ®¼ng thøc Cauchy ( C«si ) :

�� Cho çc sè Cho çc sè Cho çc sè Cho çc sè 1 21 2 1 2

..., ,..., 0 ... nn

n n

a a aa a a a a a

n

+ + +≥ ⇒ ≤ ( Trung b×nh nh©n cña n sè kh«ng ( Trung b×nh nh©n cña n sè kh«ng ( Trung b×nh nh©n cña n sè kh«ng ( Trung b×nh nh©n cña n sè kh«ng

©m kh«ng lín h¬n trung b×nh céng cña ch©m kh«ng lín h¬n trung b×nh céng cña ch©m kh«ng lín h¬n trung b×nh céng cña ch©m kh«ng lín h¬n trung b×nh céng cña chóng ). DÊu b»ng x¶y ra khi óng ). DÊu b»ng x¶y ra khi óng ). DÊu b»ng x¶y ra khi óng ). DÊu b»ng x¶y ra khi 1 2 ... na a a= = =

�� BÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè cã thÓ ph¸t biÓu d−íi çc d¹ng sau :BÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè cã thÓ ph¸t biÓu d−íi çc d¹ng sau :BÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè cã thÓ ph¸t biÓu d−íi çc d¹ng sau :BÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè cã thÓ ph¸t biÓu d−íi çc d¹ng sau :

�� 2

a bab

+ ≥ Víi a vµ b lµ çc sè kh«ng ©m Víi a vµ b lµ çc sè kh«ng ©m Víi a vµ b lµ çc sè kh«ng ©m Víi a vµ b lµ çc sè kh«ng ©m

�� ( )24a b ab+ ≥ Víi a vµ b lµ ç Víi a vµ b lµ ç Víi a vµ b lµ ç Víi a vµ b lµ çc sè bÊt kú c sè bÊt kú c sè bÊt kú c sè bÊt kú


�� ( )2

2 2

2

a ba b

++ ≥ Víi a vµ b lµ çc sè bÊt kú Víi a vµ b lµ çc sè bÊt kú Víi a vµ b lµ çc sè bÊt kú Víi a vµ b lµ çc sè bÊt kú

DÊu b»ng x¶y ra khi a = bDÊu b»ng x¶y ra khi a = bDÊu b»ng x¶y ra khi a = bDÊu b»ng x¶y ra khi a = b •••• BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopsky (Cßn gäi lµ bÊt ®¼ng thøc C«si BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopsky (Cßn gäi lµ bÊt ®¼ng thøc C«si BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopsky (Cßn gäi lµ bÊt ®¼ng thøc C«si BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopsky (Cßn gäi lµ bÊt ®¼ng thøc C«si –––– Svac ) : Svac ) : Svac ) : Svac ) :

�� Cho hai bé çc sè thùc: Cho hai bé çc sè thùc: Cho hai bé çc sè thùc: Cho hai bé çc sè thùc: 1 2, ,..., na a a vµ vµ vµ vµ 1 2, ,..., nb b b .Khi ®ã : .Khi ®ã : .Khi ®ã : .Khi ®ã :

( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + + . DÊu b»ng x¶y ra khi :. DÊu b»ng x¶y ra khi :. DÊu b»ng x¶y ra khi :. DÊu b»ng x¶y ra khi :

�� HoÆc HoÆc HoÆc HoÆc 1 2

1 2

... n

n

aa a

b b b= = = víi a víi a víi a víi aiiii , b , b , b , biiii kh¸c 0 vµ nÕu kh¸c 0 vµ nÕu kh¸c 0 vµ nÕu kh¸c 0 vµ nÕu 0ia = th× th× th× th× ib t−¬ng øng còng t−¬ng øng còng t−¬ng øng còng t−¬ng øng còng

b»ng 0b»ng 0b»ng 0b»ng 0 �� HoÆc cã mét bé trong hai bé trªn gåm toµn sè kh«nHoÆc cã mét bé trong hai bé trªn gåm toµn sè kh«nHoÆc cã mét bé trong hai bé trªn gåm toµn sè kh«nHoÆc cã mét bé trong hai bé trªn gåm toµn sè kh«ngggg

�� BÊt ®¼ng thøc C«si BÊt ®¼ng thøc C«si BÊt ®¼ng thøc C«si BÊt ®¼ng thøc C«si –––– Svac cho hai cÆp sè : Svac cho hai cÆp sè : Svac cho hai cÆp sè : Svac cho hai cÆp sè : ( ) ( )( )2 2 2 2 2ax by a b x y+ ≤ + + DÊu b»ng x¶y ra DÊu b»ng x¶y ra DÊu b»ng x¶y ra DÊu b»ng x¶y ra

khi ay = bxkhi ay = bxkhi ay = bxkhi ay = bx

•••• BÊt ®¼ng thøc BÊt ®¼ng thøc BÊt ®¼ng thøc BÊt ®¼ng thøc 1

2xx

+ ≥ Víi x > 0 ; Víi x > 0 ; Víi x > 0 ; Víi x > 0 ; 1

2xx

+ ≤ − Víi x < 0 Víi x < 0 Víi x < 0 Víi x < 0

c) CÁC TÍNH CH�T C)A B�T ��NG THC •••• TÝnh chÊt b¾c cÇu : NÕu a TÝnh chÊt b¾c cÇu : NÕu a TÝnh chÊt b¾c cÇu : NÕu a TÝnh chÊt b¾c cÇu : NÕu a > b vµ b > c th× a > c > b vµ b > c th× a > c > b vµ b > c th× a > c > b vµ b > c th× a > c •••• TÝnh chÊt liªn quan ®Ðn phÐp céng :TÝnh chÊt liªn quan ®Ðn phÐp céng :TÝnh chÊt liªn quan ®Ðn phÐp céng :TÝnh chÊt liªn quan ®Ðn phÐp céng :

�� Céng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè : NÕu a> b th× a +c > b+ cCéng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè : NÕu a> b th× a +c > b+ cCéng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè : NÕu a> b th× a +c > b+ cCéng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè : NÕu a> b th× a +c > b+ c �� Céng hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu : NÕu a > b vµ c > d th× a+c > b +dCéng hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu : NÕu a > b vµ c > d th× a+c > b +dCéng hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu : NÕu a > b vµ c > d th× a+c > b +dCéng hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu : NÕu a > b vµ c > d th× a+c > b +d

•••• Trõ hai bÊt ®¼ng thøc ng−îc chiÒu : NÕu a > b Trõ hai bÊt ®¼ng thøc ng−îc chiÒu : NÕu a > b Trõ hai bÊt ®¼ng thøc ng−îc chiÒu : NÕu a > b Trõ hai bÊt ®¼ng thøc ng−îc chiÒu : NÕu a > b vµ c < d th× a vµ c < d th× a vµ c < d th× a vµ c < d th× a –––– c > b c > b c > b c > b –––– d d d d •••• Çc tÝnh chÊt liªn quan ®Õn phÐp nh©n :Çc tÝnh chÊt liªn quan ®Õn phÐp nh©n :Çc tÝnh chÊt liªn quan ®Õn phÐp nh©n :Çc tÝnh chÊt liªn quan ®Õn phÐp nh©n :

�� Nh©n 2 vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi mét sè Nh©n 2 vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi mét sè Nh©n 2 vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi mét sè Nh©n 2 vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi mét sè �� NÕu a >b vµ c > 0 th× ac > bc NÕu a >b vµ c > 0 th× ac > bc NÕu a >b vµ c > 0 th× ac > bc NÕu a >b vµ c > 0 th× ac > bc �� NÕu a > b vµ c < 0 th× ac < bc NÕu a > b vµ c < 0 th× ac < bc NÕu a > b vµ c < 0 th× ac < bc NÕu a > b vµ c < 0 th× ac < bc

�� Nh©n 2 bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu Nh©n 2 bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu Nh©n 2 bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu Nh©n 2 bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu �� NÕu a > b >0 vµ c > d > 0 th× ac > bd NÕu a > b >0 vµ c > d > 0 th× ac > bd NÕu a > b >0 vµ c > d > 0 th× ac > bd NÕu a > b >0 vµ c > d > 0 th× ac > bd �� NÕu a <NÕu a <NÕu a <NÕu a < b < 0 vµ c < d < 0 th× ac > bd b < 0 vµ c < d < 0 th× ac > bd b < 0 vµ c < d < 0 th× ac > bd b < 0 vµ c < d < 0 th× ac > bd

�� Luü thõa hai vÕ cña mét bÊt ®¼ng thøc :Luü thõa hai vÕ cña mét bÊt ®¼ng thøc :Luü thõa hai vÕ cña mét bÊt ®¼ng thøc :Luü thõa hai vÕ cña mét bÊt ®¼ng thøc : �� 2 1 2 1n na b a b+ +≥ ⇒ ≥ Víi mäi Víi mäi Víi mäi Víi mäi n∈ℕ �� 2 20 n na b a b≥ ≥ ⇒ ≥ Víi mäi Víi mäi Víi mäi Víi mäi n∈ℕ �� 2 20 n na b a b≤ < ⇒ ≥ Víi mäi Víi mäi Víi mäi Víi mäi n∈ℕ �� 0 < a < 1 0 < a < 1 0 < a < 1 0 < a < 1 n ma a⇒ < Víi n > m Víi n > m Víi n > m Víi n > m �� a > 1 a > 1 a > 1 a > 1 n ma a⇒ > Víi n > m Víi n > m Víi n > m Víi n > m

II M$T S� �I*M C�N L�� Ý • Khi thùc hiÖn çc phÐp biÕn ®æi trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc , kh«ng ®−îc trõ hai bÊt ®¼ngKhi thùc hiÖn çc phÐp biÕn ®æi trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc , kh«ng ®−îc trõ hai bÊt ®¼ngKhi thùc hiÖn çc phÐp biÕn ®æi trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc , kh«ng ®−îc trõ hai bÊt ®¼ngKhi thùc hiÖn çc phÐp biÕn ®æi trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc , kh«ng ®−îc trõ hai bÊt ®¼ng

thøc cïng chiÒu hoÆc nh©n chóng khi ch−a biÕt râ dÊu cña hai vÕ . ChØ ®−îc phÐp nh©n hai vÕ cña bÊt thøc cïng chiÒu hoÆc nh©n chóng khi ch−a biÕt râ dÊu cña hai vÕ . ChØ ®−îc phÐp nh©n hai vÕ cña bÊt thøc cïng chiÒu hoÆc nh©n chóng khi ch−a biÕt râ dÊu cña hai vÕ . ChØ ®−îc phÐp nh©n hai vÕ cña bÊt thøc cïng chiÒu hoÆc nh©n chóng khi ch−a biÕt râ dÊu cña hai vÕ . ChØ ®−îc phÐp nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét biÓu thøc khi ta ®¼ng thøc víi cïng mét biÓu thøc khi ta ®¼ng thøc víi cïng mét biÓu thøc khi ta ®¼ng thøc víi cïng mét biÓu thøc khi ta biÕt râ dÊu cña biÓu thøc ®ã biÕt râ dÊu cña biÓu thøc ®ã biÕt râ dÊu cña biÓu thøc ®ã biÕt râ dÊu cña biÓu thøc ®ã

• Cho mét sè h÷u h¹n çc sè thùc th× trong ®ã bao giê ta còng chän ra ®−îc sè lín nhÊt vµ sè nháCho mét sè h÷u h¹n çc sè thùc th× trong ®ã bao giê ta còng chän ra ®−îc sè lín nhÊt vµ sè nháCho mét sè h÷u h¹n çc sè thùc th× trong ®ã bao giê ta còng chän ra ®−îc sè lín nhÊt vµ sè nháCho mét sè h÷u h¹n çc sè thùc th× trong ®ã bao giê ta còng chän ra ®−îc sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt . TÝnh chÊt nµy ®−îc dïng ®Ó s¾p thø tù çc Èn trong viÖcchøng minh mét bÊt ®¼ng thøc nhÊt . TÝnh chÊt nµy ®−îc dïng ®Ó s¾p thø tù çc Èn trong viÖcchøng minh mét bÊt ®¼ng thøc nhÊt . TÝnh chÊt nµy ®−îc dïng ®Ó s¾p thø tù çc Èn trong viÖcchøng minh mét bÊt ®¼ng thøc nhÊt . TÝnh chÊt nµy ®−îc dïng ®Ó s¾p thø tù çc Èn trong viÖcchøng minh mét bÊt ®¼ng thøc

III M$T S� PH��NG PHÁP CHNG MINH B�T ��NG THC V�N �. 1: S0 D2NG CÁC TÍNH CH�T C� B%N C)A B�T ��NG THÚC

VÝ dô 1:VÝ dô 1:VÝ dô 1:VÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè thøc x th× :2

2

3 4 112

1

x x

x x

+ + ≥− +

Gi¶i :Gi¶i :Gi¶i :Gi¶i :


Ta cã :2

2 1 31 0

2 4x x x

− + = − + >

Víi mäi x

Do vËy : 2

2

3 4 112

1

x x

x x

+ + ≥− +

( )2 2 2 23 4 11 2 1 3 4 11 2 2 2x x x x x x x x⇔ + + ≥ − + ⇔ + + ≥ − +

( )22 6 9 0 3 0x x x⇔ + + ≥ ⇔ + ≥ §óng víi mäi x

DÊu b»ng x¶y ra khi x = -3

VÝ dô 2 :VÝ dô 2 :VÝ dô 2 :VÝ dô 2 : Cho a, b ∈ℝ vµ a+b ≠ 0 . Chøng minh r»ng 5 5

2 2a ba b

a b

+ ≥+


Ta cã : ( )5 5 2 25 5 5 5

2 2 2 2 0 0a b a b a ba b a b

a b a b Ma b a b a b

+ − ++ +≥ ⇔ − ≥ ⇔ = ≥+ + +

XÐt tö cña M : ( ) ( ) ( ) ( )5 5 3 2 2 3 5 2 3 3 2 5 2 3 3 2 3 3a b a b a b a a b a b b a a b b a b+ − − = − − − = − − − =

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

3 3 2 2 2 2

22 22 2 2 21 3 1 3

4 4 2 4

a b a b a b a ab b a b a b

a b a b a ab b b a b a b a b b

− − = − − + − + =

= + − − + + = + − − +

V× a+b ≠ 0 nªn M= ( )2

2 21 3

2 4a b a b b

− − +

> 0 do a, b kh«ng thÓ ®ång thêi b»ng 0

V�N �. 2: PH��NG PHÁP PH%N CHNG

VÝ dô 3:VÝ dô 3:VÝ dô 3:VÝ dô 3: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n

0

0

0

a b c

ab ac bc

abc

+ + > + + > >

. Chøng minh r»ng c¶ ba sè ®ã ®Òu d−¬ng

Gi¶i:Gi¶i:Gi¶i:Gi¶i: ---- Gi¶ sö cã mét sè kh«ng d−¬ng: a ≤ 0 Tõ abc > 0 ta cã: bc < 0 (* ) Tõ a+b+c >0 ta cã: b + c > - a > 0 Tõ ab +bc+ac >0 ta cã: bc + a(b + c) > 0 ⇒ bc > - a (b + c) > 0 (**) Ta cã (*) vµ (**) m©u thuÉn nhau ⇒ ®pcm.

V�N �. 3: PH��NG PHÁP S0 D2NG CÁC B�T ��NG THC C� B%N VÝ dô 4VÝ dô 4VÝ dô 4VÝ dô 4: Chøng minh r»ng: Víi x, y > 0. Ta cã : ( 1 + x) (1 + y) ≥ (1 + xy )2

Gi¶iGi¶iGi¶iGi¶i

Çch 1 :Çch 1 :Çch 1 :Çch 1 : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopsky ta cã :

( ) ( ) ( )2 2 22 2(1 )(1 ) 1 1 1x y x y xy + + = + + ≥ +

Çch 2 :Çch 2 :Çch 2 :Çch 2 : Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi ta cã:


( )2

2

1 1 (1 )(1 )

1 1 12

1 1 (1 )(1 )

2 1 12 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1

(1 )(1 ) (1 )(1 )

xyx y

x y x y

x y x y

xy xyxy x y x y xy

x y x y

+ ≥+ + + +

+ ≥+ + + +

+ +≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + + <=> + + ≥ +

+ + + +

DÊu b»ng x¶y ra khi x = y

VÝ dô 5 :VÝ dô 5 :VÝ dô 5 :VÝ dô 5 : Cho ,a b∈ℝ vµ 3a + 4 = 5 . Chøng minh r»ng 2 2 1a b+ ≥


Çch 1 :Çch 1 :Çch 1 :Çch 1 : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã :

( ) ( )( )22 2 2 2 2 2 25 3 4 3 4a b a b a b= + ≤ + + ⇔ + ≥ 1

DÊu b»ng x¶y ra khi :

33 4 5

54

3 45

a b a

a bb

+ = = ⇔ = =

Çch 2 :Çch 2 :Çch 2 :Çch 2 : Tõ 3a +4b = 5 ta cã a= 5 4

3

b−

VËy 2

2 2 2 2 25 41 1 25 40 16 9 9

3

ba b b b b b

− + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ − + + ≥

( )2225 40 16 0 5 4 0b b b⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ §óng víi mäi x

VÝ dô 6 :VÝ dô 6 :VÝ dô 6 :VÝ dô 6 : Chøng minh r»ng víi mäi gãc nhän x ta cã :

a ) sin x + cosx 1

2≤

b) tgx + cotgx ≥ 2


a) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d−¬ng ta cã :

sin x + cosx 2 2sin cos 1

2 2

x x+≤ =

DÊu b»ng x¶y ra khi sinx = cosx hay x = 450

b ) V× tgx , cotgx >0 . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè ta cã ;

tgx + cotgx 2 .cot 2tgx gx≥ = ( V× tgx . cotgx = 1 )

DÊu b»ng x¶y ra khi tgx = cotgx hay x= 450

VÝ dô 7 :VÝ dô 7 :VÝ dô 7 :VÝ dô 7 : Cho 4a ≥ . Chøng minh r»ng : 1 17

4a

a+ ≥



Ta cã : 1 1 15

16 16

a aa

a a+ = + +

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d−¬ng 16

a vµ

1

a ta cã :

1 1 1 12 . 2

16 16 16 2

a a

a a+ ≥ = =

Mµ : 15 15 15

4 .416 16 4

aa ≥ ⇒ ≥ =

VËy 1 17

4a

a+ ≥ DÊu b»ng x¶y ra khi a = 4

VÝ dô 8 :VÝ dô 8 :VÝ dô 8 :VÝ dô 8 : Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x , y ta cã : 2 25 2 2 4 6 10x y xy x y+ − − − > −


BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 2 2

5 2 2 4 6 10

4 4 1 6 9 2 0

2 1 3 0

x y xy x y

x x y y x xy y

x y x y

+ − − − > −

⇔ − + + − + + − + ≥

⇔ − + − + − ≥

§iÒu nµy ®óng v× ( ) ( ) ( )2 2 22 1 0; 3 0; 0x y x y− ≥ − ≥ − ≥

vµ kh«ng ®ång thêi x¶y ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0

V�N �. 4: PH��NG PHÁP S0 D2NG �I.U KI8N

CÓ NGHI8M CH)A PH��NG TRÌNH

VÝ dô9 VÝ dô9 VÝ dô9 VÝ dô9 : Chøng minh r»ng nÕu ph−¬ng tr×nh: 2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2. Cã nghiÖm th×

4c2 ≥ 3(a + b)2 – 8ab

Gi¶iGi¶iGi¶iGi¶i: : : :

Ta cã : ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 22 4 2 0x x a x b c x a b x a b c+ + + + = ⇔ + + + + + − =

§Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm th× :

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2' 0 4( ) 0 4 3 2 4 3 8a b a b c c a b ab c a b ab∆ ≥ ⇔ + − + − ≥ ⇔ ≥ + − ⇔ ≥ + −

V�N �. 5 : PH��NG PHÁP LÀM TR$I

VÝ dô10 : VÝ dô10 : VÝ dô10 : VÝ dô10 : Chøng minh víi n ∈N* th×: 2

1

2

1...

2

1

1

1 >+++

++ nnn

Gi¶iGi¶iGi¶iGi¶i


Ta cã: nnnn 2

11

1

1 =+

>+

1 1

2 2n n>

+

……………

1 1

2 1 2n n>

−

2

1

2

1.

2

1...

2

1

1

12

1

2

1

=>+++

++

=>

=

nnnn

nn

IV BÀI T<P T� LUY8N

Bµi 1Bµi 1Bµi 1Bµi 1:::: Trong tam gi¸c vu«ng ABC cã c¹nh huyÒn b»ng 1 , hai c¹nh gãc vu«ng lµ b vµ c. Chøng minh

r»ng : b3 + c3 < 1

Bµi 2 :Bµi 2 :Bµi 2 :Bµi 2 : Chøng minh çc bÊt ®¼ng thøc sau :

a) 2

2

7 15 123

1

x x

x x

− + ≥− +

Víi mäi x

b) NÕu a + b < 0 th× ( )3 3a b ab a b+ ≤ +

c) NÕu x3+y3 = -2 th× 2 0x y− ≤ + <

d) NÕu x3+y3 = 16 th× 0 < x +y ≤ 4

Bµi 3 :Bµi 3 :Bµi 3 :Bµi 3 : Chøng minh çc bÊt ®¼ng thøc sau :

a) NÕu a2 +b2 = 13 th× a2 +b2 ≥ 2a +3b

b) ( ) ( ) ( )2 25 4 2 1 0x y x y xy+ − − + + ≥ Víi mäi x , y ∈ℝ

Bµi 4: Bµi 4: Bµi 4: Bµi 4:

a) Cho hai sè thùc d−¬ng a vµ b . Chøng minh r»ng : 1 1 4

a b a b+ ≥

+

b) Cho 0 < x < 2 vµ x ≠ 1 . Chøng minh r»ng :( ) ( )

22

1 14

21x

x xx+ > −

−−

Bµi 5:Bµi 5:Bµi 5:Bµi 5:

a) Cho a > b > 0 . Chøng minh r»ng 2

a b a ba

+ + −>

b) ¸p dông so s¸nh 2007 2006− vµ 2006 2005−

H��NG D>N

Bµi 1 :Bµi 1 :Bµi 1 :Bµi 1 : Theo ®Þnh lý Pitago ta cã 1 = b2 + c2 vµ 1> b; 1 > c . VËy 1= b2 + c2 > b3 + c3


Bµi 2 :Bµi 2 :Bµi 2 :Bµi 2 :

a) Ta cã : V× x2 - x +1 = 2

1 30

2 4x − + >

víi mäi x Nªn 2

2 22

7 15 123 7 15 12 3 3 3

1

x xx x x x

x x

− + ≥ ⇔ − + ≥ − +− +

( )224 12 9 0 2 3 0x x x⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ ( §óng )

DÊu b»ng x¶y ra khi x = 3

2

b ) Ta cã : ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

3 3 2 2

22 22 0 0

a b ab a b a b a ab b ab a b

a b a ab b a b a b

+ ≤ + ⇔ + − + ≤ +

⇔ + − + ≤ ⇔ + − ≤ . §óng v× a +b < 0 vµ a+b2 ≥ 0

c) Ta cã ( )( )3 3 2 22 x y x y x xy y− = + = + − +

Mµ 2

2 2 230

2 4

yx xy y x y

− + = − + ≥

Nªn x + y < 0

MÆt kh¸c :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

33 3

0

2 3 6

3 8 8 2

x y x xy y xy x y x xy y xy x y

y x y xy x y

x y xy x y x y x y

− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ + − + ≤ +

⇔ + ≥ − ⇔ + ≥ −

⇔ + + + ≥ − ⇔ + ≥ − ⇔ + ≥ −

DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = -1 d) T−¬ng tù c©u c Bµi 3 :Bµi 3 :Bµi 3 :Bµi 3 : a) ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã :

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 3 2 3 13

2 3 2 3

a b a b a b a b

a b a b a b a b

+ ≤ + + = + = +

⇔ + ≤ + ⇒ + ≤ +

DÊu b»ng x¶y ra khi a = 2 ; b = 3 b) Ta cã :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

2 2 2

5 4 2 1 0

4 4 1 4 4 1 2 0

2 1 2 1 0

x y x y xy

x x y y x xy y

x y x y

+ − − + + ≥

⇔ − + + + + + + + ≥

⇔ − + + + + ≥

§iÒu nµy lu«n lu«n ®óng. DÊu b»ng x¶y ra khi 1 1

;2 2

x y= = −


a ) Ta cã: 1 1 4 4a b

a b a b ab a b

++ ≥ ⇔ ≥+ +

(*)

V× a,b > 0; a+b > 0 nªn: (*) ( )24a b ab⇔ + ≥ ( BÊt ®¼ng thøc Cosi cho 2 sè )

VËy 1 1 4

a b a b+ ≥

+ víi mäi a , b > 0

b) §Æt (x-1)2 = t th× t > 0 vµ x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t V× 0 < x < 2 nªn 1-t > 0 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc ë c©u (a) cho hai sè d−¬ng t vµ 1-t ta ®−îc


( ) ( )2

1 1 1 1 44

2 1 11 x x t t t tx+ = + ≥ =

− − + −−

Mµ 4 - x2 < 4 do 0 < x < 2.

VËy: ( ) ( )

22

1 14

21x

x xx+ > −

−−


a) Ta cã 22

a b a ba a a b a b

+ + −> ⇔ > + + −

B×nh ph−¬ng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ta ®−îc: 2 2 2 2 2 2 2 24 2 2 0a a a b a a b a a b b> + − ⇔ > − ⇔ > − ⇔ > − §óng

b) ¸p dông c©u a víi a = 2006 vµ b = 1 ta cã:

2 2006 2007 2005 2006 2005 2007 2006> + ⇔ − > −

B - GIÁ TR� L�N NH�T VÀ GIÁ TR� NH? NH�T C)A BI*U THC I KI�N THC V�N NH�

Cho çc biÓu thøc A vµ B Cho çc biÓu thøc A vµ B Cho çc biÓu thøc A vµ B Cho çc biÓu thøc A vµ B

• NÕu A NÕu A NÕu A NÕu A a≤ trong ®ã a lµ mét gi¸ trÞ cña biÓu thøc A . Th× a ®−îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A trong ®ã a lµ mét gi¸ trÞ cña biÓu thøc A . Th× a ®−îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A trong ®ã a lµ mét gi¸ trÞ cña biÓu thøc A . Th× a ®−îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A trong ®ã a lµ mét gi¸ trÞ cña biÓu thøc A . Th× a ®−îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A

(GTLN cña A ) , ®−îc ký hiÖu lµ M(GTLN cña A ) , ®−îc ký hiÖu lµ M(GTLN cña A ) , ®−îc ký hiÖu lµ M(GTLN cña A ) , ®−îc ký hiÖu lµ MaxA hay AaxA hay AaxA hay AaxA hay AMaxMaxMaxMax

• NÕu B NÕu B NÕu B NÕu B b≥ trong ®ã b lµ mét gi¸ trÞ cña biÓu thøc B . Th× b ®−îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B trong ®ã b lµ mét gi¸ trÞ cña biÓu thøc B . Th× b ®−îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B trong ®ã b lµ mét gi¸ trÞ cña biÓu thøc B . Th× b ®−îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B trong ®ã b lµ mét gi¸ trÞ cña biÓu thøc B . Th× b ®−îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B

(GTNN cña(GTNN cña(GTNN cña(GTNN cña B ),®−îc ký hiÖu lµ Min B hay BB ),®−îc ký hiÖu lµ Min B hay BB ),®−îc ký hiÖu lµ Min B hay BB ),®−îc ký hiÖu lµ Min B hay BMinMinMinMin

• Çc çch biÕn ®æi th−êng dïng ®Ó t×m GTLN vµ GTNN.Çc çch biÕn ®æi th−êng dïng ®Ó t×m GTLN vµ GTNN.Çc çch biÕn ®æi th−êng dïng ®Ó t×m GTLN vµ GTNN.Çc çch biÕn ®æi th−êng dïng ®Ó t×m GTLN vµ GTNN.

�� Çch 1Çch 1Çch 1Çch 1: : : : a) T×m GTLNa) T×m GTLNa) T×m GTLNa) T×m GTLN: f(x) : f(x) : f(x) : f(x) ≤ g(x) g(x) g(x) g(x) ≤ a a a a

b) T×m GTNN: f(x) b) T×m GTNN: f(x) b) T×m GTNN: f(x) b) T×m GTNN: f(x) ≥ g(x) g(x) g(x) g(x) ≥ a a a a

�� Çch 2Çch 2Çch 2Çch 2: a) T×m GTLN: f(x) = h(x) + g(x) : a) T×m GTLN: f(x) = h(x) + g(x) : a) T×m GTLN: f(x) = h(x) + g(x) : a) T×m GTLN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) (h(x) (h(x) (h(x) ≤ 0; g(x) 0; g(x) 0; g(x) 0; g(x) ≤ a) a) a) a)

b) T×m GTNN: f(x) = h(x) + g(x) b) T×m GTNN: f(x) = h(x) + g(x) b) T×m GTNN: f(x) = h(x) + g(x) b) T×m GTNN: f(x) = h(x) + g(x) (h(x) (h(x) (h(x) (h(x) ≥ 0; g(x) 0; g(x) 0; g(x) 0; g(x) ≥ a) a) a) a)

Víi biÓu thøc nhÒu biÕn cã çch lµm t−¬ng tù Víi biÓu thøc nhÒu biÕn cã çch lµm t−¬ng tù Víi biÓu thøc nhÒu biÕn cã çch lµm t−¬ng tù Víi biÓu thøc nhÒu biÕn cã çch lµm t−¬ng tù

II M$T S� �I*M C�N L�U Ý

•••• Khi t×m gKhi t×m gKhi t×m gKhi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc . NÕu biÕn lÊy gi¸ trÞ trªn toµn tËp i¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc . NÕu biÕn lÊy gi¸ trÞ trªn toµn tËp i¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc . NÕu biÕn lÊy gi¸ trÞ trªn toµn tËp i¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc . NÕu biÕn lÊy gi¸ trÞ trªn toµn tËp ℝ th×th×th×th×

vÊn ®Ò ®· kh«ng ®¬n gi¶n . Khi biÕn trong biÓu thøc chØ lÊy gi¸ trÞ trong vÊn ®Ò ®· kh«ng ®¬n gi¶n . Khi biÕn trong biÓu thøc chØ lÊy gi¸ trÞ trong vÊn ®Ò ®· kh«ng ®¬n gi¶n . Khi biÕn trong biÓu thøc chØ lÊy gi¸ trÞ trong vÊn ®Ò ®· kh«ng ®¬n gi¶n . Khi biÕn trong biÓu thøc chØ lÊy gi¸ trÞ trong , ,ℚ ℤ ℕ hoÆc mét kho¶ng gi¸ trÞ hoÆc mét kho¶ng gi¸ trÞ hoÆc mét kho¶ng gi¸ trÞ hoÆc mét kho¶ng gi¸ trÞ

nµo ®ã th× vÊn ®nµo ®ã th× vÊn ®nµo ®ã th× vÊn ®nµo ®ã th× vÊn ®Ò cµng phøc t¹p vµ dÔ m¾c sai lÇm .Ò cµng phøc t¹p vµ dÔ m¾c sai lÇm .Ò cµng phøc t¹p vµ dÔ m¾c sai lÇm .Ò cµng phøc t¹p vµ dÔ m¾c sai lÇm .

•••• Mét sai lÇm th−êng m¾c ph¶i ®ã lµ khi biÕn ®æi çc biÓu thøc theo çch 1 hoÆc çch 2 . Ta kÕtMét sai lÇm th−êng m¾c ph¶i ®ã lµ khi biÕn ®æi çc biÓu thøc theo çch 1 hoÆc çch 2 . Ta kÕtMét sai lÇm th−êng m¾c ph¶i ®ã lµ khi biÕn ®æi çc biÓu thøc theo çch 1 hoÆc çch 2 . Ta kÕtMét sai lÇm th−êng m¾c ph¶i ®ã lµ khi biÕn ®æi çc biÓu thøc theo çch 1 hoÆc çch 2 . Ta kÕt

luËn gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc lµ a nh−ng dÊu b»ng kh«ng x¶y ra ®ång thêi luËn gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc lµ a nh−ng dÊu b»ng kh«ng x¶y ra ®ång thêi luËn gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc lµ a nh−ng dÊu b»ng kh«ng x¶y ra ®ång thêi luËn gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc lµ a nh−ng dÊu b»ng kh«ng x¶y ra ®ång thêi

VÝ dô 1:VÝ dô 1:VÝ dô 1:VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = 4x2+ y2+2xy+3x+5

Lêi gi¶i 1 : Lêi gi¶i 1 : Lêi gi¶i 1 : Lêi gi¶i 1 :

( ) ( )2 22 2 2 2 2 22 2 4 2 3 2 1 3 3P x xy y x x x x x y x x x x x= + + + + + + − + = + + − + − + ≥ − + Víi mäi x


Mµ 2

2 1 11 113

2 4 4x x x

− + = − + ≥

Nªn Min P = 11

4 khi x =

1

2 vµ x +y = 0 nªn y = -

1

2

Ta thÊy lêi gi¶i nµy sai lÇm ë chç dÊu b»ng kh«ng x¶y ra ®ång thêi . Khi x =1

2 th× (x-1)2 0≠

Lêi gi¶i 2 :Lêi gi¶i 2 :Lêi gi¶i 2 :Lêi gi¶i 2 :

Ta cã ( )2

22 2 2 1 17 1 17 172 3 3

4 4 2 4 4P x xy y x x x y x

= + + + + + + = + + + + ≥

VËy Min P = 17

4 Khi

10

21

102

2

x y x

xy

+ = = − ⇔ + = =

VÝ dô 2 :VÝ dô 2 :VÝ dô 2 :VÝ dô 2 : Cho a ≥ 2 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 1

aa

+

Lêi gi¶i 1 :Lêi gi¶i 1 :Lêi gi¶i 1 :Lêi gi¶i 1 : Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d−¬ng ta cã 1 1

2 . 2P a aa a

= + ≥ =

VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2

Lêi gi¶i nµy sai lÇm ë chç 2 1P a= ⇔ = kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a ≥ 2

Lêi gi¶i 2 :Lêi gi¶i 2 :Lêi gi¶i 2 :Lêi gi¶i 2 : Ta cã 1 1 3 1 3 3 7

2 . 24 4 4 4 4 2

a aP a a a a

a a a= + = + + ≥ + ≥ + ≥

VËy Min P = 7

2 khi a = 2

III BÀI T<P VÍ D2

•••• VÒ b¶n chÊt bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc vµ bµi to¸n chøng minh bÊt

®¼ng thøc cã thÓ coi lµ t−¬ng ®−¬ng nhau . Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc nÕu ta ph¸n ®o¸n ®−îc kÕt qu¶ th× bµi to¸n trë thµnh chøng minh bÊt ®¼ng thøc

VÝ dô 3VÝ dô 3VÝ dô 3VÝ dô 3: Cho x, y, z ∈ R tho¶ m·n x2 + y2 + z2 = 1. T×m GTLN cña P = zyx 32 ++

Gi¶i:Gi¶i:Gi¶i:Gi¶i:

Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi – Bunhiacopxki ta cã:

P2 = ( x + 2y + 3z)2 ≤ (12 + 22 + 32) (x2 + y2 + z2) = 14

Nªn P 14≤


DÊu = x¶y ra khi:

=++

===>

=++

==

1

9411

321222

222

222 zyx

zyx

zyx

zyx

=

=

=

⇒

14

914

414

1

2

2

2

z

y

x

VËy (x, y, z) =

14

143;

14

142;

14

14 (1)

HoÆc (x, y, z) = 14 2 14 3 14

; ;14 14 14

− −−

(2)

VËy Pmax = 14 khi (x, y, z) =

14

143;

14

142;

14

14 hoÆc (x, y, z) =

14 2 14 3 14; ;

14 14 14

− −−

VÝ dô 4:VÝ dô 4:VÝ dô 4:VÝ dô 4: Cho a, b, x, y lµ çc sè d−¬ng tho¶ m·n 1=+y

b

x

a .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña çc biÓu thøc sau :

a) P = xy; b) Q = x + y


a) Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: 2 1 4ab a b

xy abxy x y

≤ + = ⇒ ≥

VËy Pmin = 4ab khi 21

22

x aa b

y bx y

== = ⇔ =

b) Ta cã: ( ) ( )2

2

( ) . .a b a b a b

x y x y x y a bx y x y x y

+ + = + + ≥ + = +

(BÊt ®¼ng thøc

Bunhiacopxki)

VËy : Q = x+ y ( )2

a b≥ +

Qmin = ( )2

a b+ khi x = abbyaba +=+ ;

VÝ dô 5VÝ dô 5VÝ dô 5VÝ dô 5: T×m GTLN cña P = 2)( ax

x

+

Gi¶iGi¶iGi¶iGi¶i::::

§iÒu kiÖn : x a≠ −

Ta cã: Víi x = 0 => P = 0

Víi x ≠ 0 ta cã: P = 2)( ax

x

+ ⇔ x = P(x + a)2 ⇔ px2 + 2 apx + pa2 = x ⇔ px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0

§Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm th×:


∆ 0≥ ⇔ (2ap – 1)2 – 4pa2 ≥ 0 <=> 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p ≥ 0 <=> 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1 ≥ 0

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh bËc 2 thu ®−îc P1 ≤ P ≤ P2

IV BÀI T<P T� LUY8N

Bµi 1:Bµi 1:Bµi 1:Bµi 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña çc biÓu thøc sau:

a) A = x2 - 6x +1

b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020

c) C = 2 1

2 1

x x

x x

+++

d) D = 3x2+5y2 víi 3 5 2x y= +

Bµi 2 :Bµi 2 :Bµi 2 :Bµi 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña çc biÓu thøc sau:

a) M = - x2 + 4x + 7

b) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y

c) P = ( x+1 ) (2 - x )

Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3: T×m gi¸ tri lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = 2

3 1

1

x

x

−+



a) A= (x-3)2 -8 nªn min A = 8 khi x = 3

b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nªn Min B = 2007 Khi x = 3; y =2

c) §iÒu kiÖn: x < 1

2− ; x > 0 (*). ¸p dông bÊt d¼ng thøc Cosi cho hai sè d−¬ng ta cã:

2 1 2 1

2 22 1 2 1

x x x xC

x x x x

+ += + ≥ =+ +

VËy MinC = 2 khi ( )22 2

12 1

2 1 3 4 1 0 12 1

3

xx x

x x x xx x x

= −+ = ⇔ = + ⇔ + + = ⇔+ = −

®èi chiÕu víi (*) ta ®−îc x =-1

d) Tõ 3 5 2 3 5 2x y x y= + ⇒ − =

Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã:

( ) ( )( )2

2 2 2 23 .1 5 .1 3 5 1 1 3 5 2x y x y x y− ≤ + + ⇔ + ≥

VËy MinD = 2 khi x= 1

3 vµ y =

1

5−



a) M = 11 - (x - 2)2 Nªn MaxM = 11 khi x = 2

b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nªn MaxN = 2005 khi x = 1; y = -1

2

c) P = ( x+1 ) (2 - x ) 2

1 2 9

2 4

x x+ + − ≤ =

( BÊt ®¼ng thøc Cosi )

VËy MaxP = 9

4khi x =

1

2

Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3: Ta cã: P = ( )2 22

3 11 3 1 3 1 0

1

xP x x Px x P

x

− ⇔ + = − ⇔ − + + =+

(* )

Ta thÊy P = 0 khi x = 1

3

Víi P ≠ 0 th× gi¸ trÞ cña P ph¶i tho¶ m·n cho ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm víi x

§iÒu nµy t−¬ng ®−¬ng víi: ( ) ( )22 23 4 1 0 4 4 9 0 2 1 10P P P P P∆ = − + ≥ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤

10 1 10 110 2 1 10

2 2P P

+ −⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤

VËy MaxP = 10 1

2

− khi x =

10 1

3

+

MinP = -10 1

2

+khi x =

1 10

3

−

C B�T PH��NG TRÌNH

I KI�N THC C�N NH�

• BÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax +b = 0 (BÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax +b = 0 (BÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax +b = 0 (BÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax +b = 0 ( 0a ≠ ) ) ) )

�� NÕu a > 0 bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm NÕu a > 0 bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm NÕu a > 0 bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm NÕu a > 0 bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm b

xa

> −

�� NÕu a <0 bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm NÕu a <0 bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm NÕu a <0 bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm NÕu a <0 bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm b

xa

< −

•••• T−¬ng tù cho bÊt ph−¬ng tr×nh ax + b < 0T−¬ng tù cho bÊt ph−¬ng tr×nh ax + b < 0T−¬ng tù cho bÊt ph−¬ng tr×nh ax + b < 0T−¬ng tù cho bÊt ph−¬ng tr×nh ax + b < 0

•••• Ta cã thÓ nhí çch lÊy nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt theo qui t¾c " Lín cïng bÐ kh¸cTa cã thÓ nhí çch lÊy nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt theo qui t¾c " Lín cïng bÐ kh¸cTa cã thÓ nhí çch lÊy nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt theo qui t¾c " Lín cïng bÐ kh¸cTa cã thÓ nhí çch lÊy nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt theo qui t¾c " Lín cïng bÐ kh¸c

NghÜa lµ nhÞ thøc bËc nhÊt f(x) = ax +b (NghÜa lµ nhÞ thøc bËc nhÊt f(x) = ax +b (NghÜa lµ nhÞ thøc bËc nhÊt f(x) = ax +b (NghÜa lµ nhÞ thøc bËc nhÊt f(x) = ax +b ( 0a ≠ ) cã nghiÖm x = ) cã nghiÖm x = ) cã nghiÖm x = ) cã nghiÖm x = b

a− . . . .

Khi x > Khi x > Khi x > Khi x > b

a− th× f(x) vµ hÖ sè a cïng dÊu , khi x < th× f(x) vµ hÖ sè a cïng dÊu , khi x < th× f(x) vµ hÖ sè a cïng dÊu , khi x < th× f(x) vµ hÖ sè a cïng dÊu , khi x <

b

a− th× f(x) vµ hÖ sè a kh¸c dÊu th× f(x) vµ hÖ sè a kh¸c dÊu th× f(x) vµ hÖ sè a kh¸c dÊu th× f(x) vµ hÖ sè a kh¸c dÊu


• BÊt ph−¬ng tr×nh tÝch : A(x)B(x) > 0 BÊt ph−¬ng tr×nh tÝch : A(x)B(x) > 0 BÊt ph−¬ng tr×nh tÝch : A(x)B(x) > 0 BÊt ph−¬ng tr×nh tÝch : A(x)B(x) > 0

( ) 0

( ) 0

( ) 0

( ) 0

A x

B x

A x

B x

> >⇔ < <

; A(x)B(x) < 0 ; A(x)B(x) < 0 ; A(x)B(x) < 0 ; A(x)B(x) < 0

( ) 0

( ) 0

( ) 0

( ) 0

A x

B x

A x

B x

< >⇔ > <

trong ®ã A(x) vµ B(x) lµ çc biÓu thøc cña biÕn x trong ®ã A(x) vµ B(x) lµ çc biÓu thøc cña biÕn x trong ®ã A(x) vµ B(x) lµ çc biÓu thøc cña biÕn x trong ®ã A(x) vµ B(x) lµ çc biÓu thøc cña biÕn x

• BÊt ph−¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi : Ta lµm mÊt dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®ãi ®Ó gi¶i b»ng çchBÊt ph−¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi : Ta lµm mÊt dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®ãi ®Ó gi¶i b»ng çchBÊt ph−¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi : Ta lµm mÊt dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®ãi ®Ó gi¶i b»ng çchBÊt ph−¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi : Ta lµm mÊt dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®ãi ®Ó gi¶i b»ng çch

xÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña biÕn hoÆc b×nh ph−¬ng hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh xÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña biÕn hoÆc b×nh ph−¬ng hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh xÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña biÕn hoÆc b×nh ph−¬ng hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh xÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña biÕn hoÆc b×nh ph−¬ng hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh

( ) ( )2 2

( ) 0

( ) 0( ) ( )

( ) ( )

B x

B xA x B x

A x B x

≤ >≥ ⇔ ≥

; ; ; ; ( ) ( )2 2

( ) 0( ) ( )

( ) ( )

B xA x B x

A x B x

≥≤ ⇔ ≤

• BÊt ph−¬ng tr×nh v« tû : BÊt ph−¬ng tr×nh v« tû : BÊt ph−¬ng tr×nh v« tû : BÊt ph−¬ng tr×nh v« tû :

�� ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

A x

A x B x B x

A x B x

≥≥ ⇔ ≥ ≥

��

( )2

( ) 0

( ) 0( ) ( )

( ) 0

( ) ( )

A x

B xA x B x

B x

A x B x

≥ ≤≥ ⇔ > ≥

�� 2

( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ( ))

A x

A x B x B x

A x B x

≥≤ ⇔ ≥ ≥

II BÀI T<P THÍ D2

VÝ dô 1:VÝ dô 1:VÝ dô 1:VÝ dô 1: Gi¶i çc bÊt ph−¬ng tr×nh sau :

a) -3(x+2) +2(x-1) ≥ 4x -3

b) ( ) ( )21 2 1m x m x+ ≤ +


a) Ta cã :

-3(x+2) +2(x-1) 4x -3 3 6 2 1 4 3 4 3 7

45 4

5

x x x x x

x x

⇔ − − + − ≥ − ⇔ − − ≥ − +

⇔ − ≥ ⇔ ≤ −

b) Ta cã : ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 2m x m x m m x mx m+ ≤ + ⇔ + + ≤ + ( )2 1 2m x m⇔ + ≤


V× 2 1 0m + > víi mäi m nªn bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 2

2

1

mx

m≥

+

VÝ dô 2 :VÝ dô 2 :VÝ dô 2 :VÝ dô 2 : Gi¶i çc bÊt ph−¬ng tr×nh :

a) 2 5 6 0x x− + ≥

b) 2 4 3 0x x− + − ≥


a) Tacã: ( ) ( ) ( ) ( )2 25 6 0 2 3 6 0 2 3 2 0 2 3 0x x x x x x x x x x− + ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ − − − ≥ ⇔ − − ≥

2 0 2

3 0 3 3

22 0 2

3 0 3

x x

x x x

xx x

x x

− ≥ ≥ − ≥ ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤− ≤ ≤ − ≤ ≤

b) Tacã : ( ) ( )2 24 3 0 3 3 0 1 3 1 0x x x x x x x x− + − ≥ ⇔ − + + − ≥ ⇔ − − − − ≥

( ) ( )

1 0 1

3 0 31 3 0 1 3

1 0 1

3 0 3

x x

x xx x x

x x

x x

− ≥ ≥ − ≥ ≤ ⇔ − − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≥

Chó ý :Chó ý :Chó ý :Chó ý : - Ta cã thÓ kÕt hîp nghiÖm trªn trôc sè

- Ta cã thÓ so s¸nh A(x) vµ B(x) trong bÊt ph−¬ng tr×nh tÝch ®Ó gi¶i nhanh h¬n :

VÝ dô :VÝ dô :VÝ dô :VÝ dô : ( )( ) ( )( )1 3 0 1 3 0x x x x− − ≥ ⇔ − − ≤ do x-1 > x-3

nªn chØ x¶y ra 1 0 1

1 33 0 3

x xx

x x

− ≥ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤ − ≤ ≤

VÝ dô 3 : VÝ dô 3 : VÝ dô 3 : VÝ dô 3 : Gi¶i çc bÊt ph−¬ng tr×nh :

a) 2 3 2 2x x x− + ≥ −

b) 3 2 2 1x x+ ≤ −


a) Ta cã :

( )

2

2

22

3 2 0

1 03 2 1

1 0

3 2 1

− + ≥ − ≤− + ≥ − ⇔ − > − + ≥ −

x x

xx x x

x

x x x


( )( )

2 2

1 2 0

1 0

1

3 2 2 1

− − ≥

− ≤⇔ > − + ≥ − +

x x

x

x

x x x x

1 0

2 02

1

1

x

xx

x

x

− ≤ − ≤⇔ ⇔ ≤ > ≤

Chó ý : Chó ý : Chó ý : Chó ý : Tr¸nh biÕn ®æi sai lÇm nh− sau :

( )( ) ( )22 3 2 1 1 2 1 2 1x x x x x x x x− + ≥ − ⇔ − − ≥ − ⇔ − ≥ −

2 1 1 0x x⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ KÕt luËn ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

b)

Çch 1 :Çch 1 :Çch 1 :Çch 1 :

Ta cã : ( ) ( )2 2

2 2

13 1 02 1 3 1 3

2 1 3 14 4 1 9 12 1

x xx x

x xx x x x

+ ≥ ≥ + ≤ − ⇔ ⇔ + ≤ − + + ≤ − +

( )2

111 3

13 03

35 16 05 16 0 16

5

xxx

xxx xx x

x

≥ ≥≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≥≥ + ≥− − ≤ ≤ −

Çch 2 :Çch 2 :Çch 2 :Çch 2 : NghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho nÕu cã ph¶i tho¶ m·n : 3x-1 1

03

x≥ ⇔ ≥ (1)

XÐt 2x+1 1

02

x≥ ⇔ ≥ − (2)

BÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh : 2 1 3 1 2 2x x x x+ ≤ − ⇔ − ≤ ⇔ ≥ −

KÕt hîp víi (1) vµ (2) ta cã 1

3x ≥ lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho

XÐt 2x +1 < 0 1

2x⇔ < − (3)

BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : 2 1 3 1 5 0 0x x x x− − ≤ − ⇔ − ≤ ⇔ ≥ Kh«ng tho¶ m·n (3)

VËy bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm 1

3x ≥

III BÀI T<P T� LUY8N Gi¶i çc bÊt ph−¬ng tr×nh sau Gi¶i çc bÊt ph−¬ng tr×nh sau Gi¶i çc bÊt ph−¬ng tr×nh sau Gi¶i çc bÊt ph−¬ng tr×nh sau Bµi 1 :Bµi 1 :Bµi 1 :Bµi 1 :

a) ( ) ( ) ( )2 3 1 3 2 5 1 2 4x x x− − − ≤ − +


b) ( ) ( ) ( )22 1 4 3m x m x− + ≥ −

c) 26 7 2 0x x− + ≥ d) 29 18 5 0x x− + − ≤

Bµi 2 :Bµi 2 :Bµi 2 :Bµi 2 :

a) 2 2 1x x+ ≥ −

b) 1 2 1 3 5x x+ − ≤ −

c) 2 5 6 3 2x x x− + ≥ +

d) 2 23 2 2 5 3x x x x− + < − +

e) 23 2 1 1x x x+ − ≤ + Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3:

a) 6 8 0x x− + ≤

b) 20

2 1 2

x x

x x− <

+ +


Bµi 1:Bµi 1:Bµi 1:Bµi 1: a) 5

13x ≤ ; b ) x

2

2

16 4

4

m m

m

− −≥+

; c) 1

15

x≤ ≤ ; d) 1

1

3

x

x

≥ ≤

Bµi 2: Bµi 2: Bµi 2: Bµi 2: a)

( ) ( )2 2

2

1 12 1 0 2 22 1 0 12 2 1 11

2 22 2 11 13 3 0

x xx

xx x xx x

x xxx

≤ ≤− ≤ − >− ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ > > − ≥ − − ≤ ≤− ≤

b) Ta cã: ( ) ( )2 2

2 01 2 1 3 5 2 1 3 6

2 2 3 6

xx x x x

x x

− ≥+ − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ −

( )( ) ( )( )

22 2 4

43 6 2 2 3 6 2 2 0 4 5 8 0 8

5

xx x x

xx x x x x x

x

≥≥ ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥ − − + − + − ≥ − − ≥ ≤

c) Ta cã:

( )

( ) ( )2

2

22

2 2

2 3 05 6 0 2

3 2 0 35 6 3 2

3 2 0 2

35 6 3 25 6 9 12 4

x xx x

xxx x x

xx

x x xx x x x

− − ≥ − + ≥ ≤ −+ ≤ − + ≥ + ⇔ ⇔ + > > − − + ≥ + − + ≥ + +


2

2; 3

2

3 2

32(*)3

8 17 10 0

x x

x

x

x

x x

≤ ≥ ≤ −⇔ ⇔ ≤ − > − − + ≤

( HÖ (*) v« nghiÖm do bÊt ph−¬ng tr×nh 8x2-17x +10 v« nghiÖm )

d) 2 23 2 2 5 3x x x x− + < − +

Ta cã: 2

2 2

2 22

13 2 0

23 2 2 5 33 2 2 5 3

8 1 0

xx x

xx x x xx x x x

x x

≤ − + ≥ ≥− + < − + ⇔ ⇔

− + < − + − + >

1

2 4 15

4 15 4 15

4 15

x

x x

x x

x

≤ ≥ ≤ −⇔ ⇔ ≥ + ≥ + ≤ −

f) Ta cã:

( ) ( )2

2

2 2 2

1

11 3 1 03 2 1 0 13

3 2 1 1 1 0 1 11 133 2 1 2 1 1

1 1

x

x xx x x xx x x x x

x xx x x x x

x

≤ −+ − ≥ + − ≥ ≥ = − + − ≤ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ⇔ ≥ − ≤ ≤ + − ≤ + + ≤ − ≤ ≤

Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3: a) §iÒu kiÖn x ≥ 0

Ta cã: ( )( )6 8 0 2 4 0 2 4 4 16x x x x x x− + ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

b) Ta cã: ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 ( 2) 2 12 30 0 0 2 2 1 0

2 1 2 2 2 1 2 2 1

x x x xx x xx x x

x x x x x x

+ − +− < ⇔ < ⇔ < ⇔ + + <

+ + + + + +(*)

Ta cã thÓ lËp b¶ng xÐt dÊu hoÆc xÕt tõng kho¶ng gi¸ trÞ ®Ó gi¶i

- Víi x > 0 th× (*) ( ) ( ) 12 2 1 0 2

2x x x⇔ + + < ⇔ − < < − kh«ng tho¶ m·n x > 0

- Víi x < 0 th× (*) ( )( )2

2 2 1 0 1

2

xx x

x

< −⇔ + + > ⇔ > −

kÐt hîp víi x < 0 ta ®−îc 2

10

2

x

x

< −− < <

IV M$T S� BÀI T<P NÂNG CAO Bµi 1Bµi 1Bµi 1Bµi 1:::: Cho x 2;2 ≥≥ y . Chøng minh r»ng: (x + y) (x2 + y2) ≤ x5 + y5

Bµi 2Bµi 2Bµi 2Bµi 2:::: Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng: ba

c

ac

b

cb

a

c

c

b

b

a

a

++

++

+≤≤

++

++

+ 2

3

111 222

Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3: Chøng minh r»ng: 4006

2001

)20022001(4003

1...

)43(7

1

)32(5

1

)21(3

1 <+

+++

++

++


Bµi 4:Bµi 4:Bµi 4:Bµi 4: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6. Chøng minh r»ng: 512

729111

11

333≥

+

+

+c

aba

Bµi 5Bµi 5Bµi 5Bµi 5:::: Cho abc = 1; a3 > 36. Chøng minh r»ng: 3

2a + + + + b2 + c2 > ab + bc + ca

Bµi 6 :Bµi 6 :Bµi 6 :Bµi 6 : Chøng minh r»ng. NÕu x, y, z ≥ 0 th× x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y) ≥ 0 Bµi 7:Bµi 7:Bµi 7:Bµi 7: Cho a, b, c ∈ [0;2] cã a + b + c = 3. CMR: a2 + b2 + c2 < 5 Bµi 8:Bµi 8:Bµi 8:Bµi 8: Cho çc sè thùc d−¬ng a , b , c tho¶ m·n abc = 1.

Chøng minh r»ng : 5 5 5 5 5 5 5

ab bc ca

a b c b c bc c a ac+ +

+ + + + + + < 1

Bµi 9:Bµi 9:Bµi 9:Bµi 9: CMR. nÕu x, y ∈ +ℤ th× mét trong hai bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai:

1

xy ≥

2 2

1 1 1

5 x y

+

vµ

1

( )x x y+ ≥

1

5 ( )2 2

1 1

x x y

+ +

Bµi 10Bµi 10Bµi 10Bµi 10:::: Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1. Chøng minh r»ng: 3+++≥+++++cba

c

ba

b

ac

a

ab

Bµi 11Bµi 11Bµi 11Bµi 11:::: Chøng minh r»ng: Mäi a, b, c, d, p, q > 0 ta cã: qapc

qp

qcpb

qp

qbpa

qp

cba +++

+++

++≥++ '111

Bµi 1Bµi 1Bµi 1Bµi 12222:::: Cho x, y thay ®æi sao cho 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 4. T×m Max cña P = (3 – x) ( 4 – y) (2x + 3y)

Bµi 13:Bµi 13:Bµi 13:Bµi 13: T×m GTLN vµ GTNN cña xy víi x, y lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x4 + y4 – 3 = xy (1 - 2xy)

Bµi 14: Bµi 14: Bµi 14: Bµi 14: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: ( ) ( )( )( )1 2 3 4 3 0x x x x+ + + + − ≥

H��NG D>N

Bµi Bµi Bµi Bµi 1111:::: V× x 2≥ ; y 2≥ => x2 + y2 ≥ 4 => 22

22

≥+ yx

=> 2.2

.22

22 yxyxyx ++≤+ =>

22.2

33 yxyx +≤+ => ( ) ( ) 552233222 )()(.2 yxyxyxyxyx +≤++≤++

Bµi 2:Bµi 2:Bµi 2:Bµi 2: Ta cã : 2

1

1 2≤

+ a

a T−¬ng tù cho b , c ta ®−îc

2 2 2

3

1 1 1 2

a b c

a b c+ + ≤

+ + +

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = 1

MÆt kh¸c : 3 1 1 1 9

( )2 2

a b ca b c

b c a c a b b c a c a b + + ≥ <=> + + + + ≥ + + + + + +

§Æt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta cã

( ) 0)()()(2

9111 222 ≥−+−+−<=>≥

++++ xzzyyx

zyxzyx ( §óng )

Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3:Bµi 3: XÐt 2

1 ( 1 ) 1 1 1 1

2(2 1)( 1) 2 ( 1) 14 4 1

n n n n

n n n n n n nn n

+ − + − = < = − + + + + + + +


VËy 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... 12 23 3 5 1

nSn n n

< − + − + + − = − +

)2(22

21

44

21

44

212

2 +<=>

+−=

++−<

+−<

n

nS

nnnnS nn , víi n = 2001 ta cã:

4006

2001

2003

2001

2003

212 20012001 <=>=−< SS

Bµi 4: Bµi 4: Bµi 4: Bµi 4: §Æt A =

+

+

+333

11

11

11

cba

Ta cã A = 333333333333

11111111

cbacacbbacba+

+++

+++

3

333222

11

1331

+=+++≥abccbacbaabc

A ( BÊt ®¼ng thøc Cosicho 3 sè d−¬ng )

Theo bÊt ®¼ng thøc cosi: 3

1 18 8

3 8

a b cabc abc

abc

+ + ≤ = => ≤ => ≥

VËy 512

729

8

11

3

=

+≥A (DÊu b»ng x¶y ra: a = b = c = 2)

Bµi 5Bµi 5Bµi 5Bµi 5:::: Ta cã : 3

2 2

3

ab c ab bc ac+ + > + +

<=> 3

2a + + + + b2 + c2 – a(b+c) – bc > 0 <=>

3

2a + + + + (b + c)2 – a(b+c) – 3bc > 0 (*)

Thay bc = a

1 ta ®−îc: (*) <=>

3

2a + + + + (b + c)2 – a(b+c) –

a

3 > 0

<=> a( b + c)2 – a2 (b + c) + 3

3a- 3 > 0

§Æt b + c = x ta cã: ax2 – a2x + 3

3a- 3 > 0 Víi mäi x

§iÒu nµy t−¬ng ®−¬ng: ∆ = a4 – 4a (3

3a - 3) < 0

<=> a4 - 0123

4 4

<+ aa

<=> 12a (36 – a3) < 0 ®óng v× a3 > 36

Bµi 6:Bµi 6:Bµi 6:Bµi 6: Do vai trß b×nh ®¼ng cña x, y, z nªn cã thÓ gi¶ sö z ≥ y ≥ x Khi ®ã: x(x - y) (x - z) ≥ 0 (1) MÆt kh¸c: z (z - x) ≥ y(y - z) Do vËy: z (z - x) (z - y) ≥ y(y - x) (z - y) ⇒ z (z - x) (z - y) + y(y - z) (y - x) ≥ 0 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ ®pcm.


Bµi 7:Bµi 7:Bµi 7:Bµi 7: Do a, b, c ∈ [0;2] nªn (2 - a) (2 - b) (2 - c) ≥ 0 ⇔ 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ac) - abc ≥ 0 ⇔ 2 (ab + ac + bc) + 4 (a + b + c) + abc - 8 ⇔ 2 (ab + ac + bc) ≥ 4 + abc ≥ 4 ⇔ (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) ≥ 4 ⇔ (a2 + b2 + c2) < 5 DÊu "=" x¶y ra khi a, b, c cã mét sè b»ng 2; mét sè b»ng 0; mét sè b»ng 1. Bµi 8:Bµi 8:Bµi 8:Bµi 8: Ta cã: (a3 - b3) (a2 - b2) ≥ 0 ⇔ (a5 + b5) ≥ a2 b2 (a + b)

Do ®ã : 2

5 5 2 2 2( )

ab ab c c

a b ab a b a b ab c a b c≤ × =

+ + + + + + (1)

T−¬ng tù: 5 5

bc

a b ab+ + <

a

a b c+ + (2)

5 5

ca

c a ac+ + <

b

a b c+ + (3) .

Tõ (1) ; (2) vµ (3) ta cã ®iÒu cÇn chøng minh Bµi 9:Bµi 9:Bµi 9:Bµi 9: Gi¶ sö c¶ hai bÊt ®¼ng thøc ®Òu ®óng khi ®ã:

5 xy ≥ x2 + y2 vµ 5 x(x + y) ≥ x2 (x + y)2

⇒ 5 (x2 + 2xy) ≥ 3x2 + 2xy + 2y2

⇒ 2y2 - 2( 5 - 1)xy + (3 - 5 )x2 ≤ 0

⇒ 4y2 - 4 ( 5 - 1)xy + (6 - 3 5 )x2 ≤ 0

⇒ (2y)2 - 2 . 2y ( 5 - 1)x + [( 5 - 1)]2 ≤ 0

⇒ [2y - ( 5 - 1)x]2 ≤ 0

§iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× ( 5 - 1)x lµ sè v« tû kh«ng thÓ b»ng 2y khi x ,y +∈ℤ .

Bµi10: Bµi10: Bµi10: Bµi10: Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d−¬ng ta cã:

2b c c a a b bc ca ab

a b ca b c

+ + ++ + ≥ + +

b c c a a b ca ab ab bc bc ca

b c c a a ba b c

+ + +⇔ + + ≥ + + + + +

62( ) 3 3b c c a a b

a b c a b c abc a b ca b c

+ + +⇔ + + ≥ + + ≥ + + + = + + +

(BÊt ®¼ng thøc cosi cho 3 sè)

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b= c =1

Bµi 11:Bµi 11:Bµi 11:Bµi 11: Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxi ta cã: ( ) ( )qbpab

q

a

pqb

b

qpa

a

pqp +

+≤

+=+

2

2 ..

T−¬ng tù ( ) )(2 qcpbc

q

b

pqp +

+≤+


( ) ( )qapca

q

c

pqp +

+≤+ 2

Do ®ã ( ) ( )

+++≤

++

++

++

cbaqp

qapcqcpbqbpaqp

1111112

qapc

qp

qcpb

qp

qbpa

qp

cba +++

+++

++≥++=> 111

Bµi 12:Bµi 12:Bµi 12:Bµi 12: Ta cã: P = 6

1(6 – 2x) (12 – 3y) (2x + 3y)

33

63

32312266 =

++−+−≤ yxyxP

P ≤ 36

Pmax = 6 <=>

==

⇔

≤≤≤≤

+=−=−

2

0

40

30

3231226

y

x

y

x

yxyx

Bµi 13:Bµi 13:Bµi 13:Bµi 13: Ta cã: x4 + y4 – 3 = xy ( 1- 2xy)

<=> xy + 3 = x4 + y4 + 2x2 y2 <=> xy + 3 = (x2 + y2)2

Do (x2 + y2)2 ≥ 4x2y2 do ®ã: xy+ 3 ≥ 4x2y2

§Æt xy = t ta cã: 4x2y2 – xy – 3 ≤ 0 hay 4t2 – t – 3 ≤ 0 <=> 14

3 ≤≤− t

VËy (xy)max = 1 khi x = y = ± 1

(xy)min = 4

3− khi x = y = ±2

3

Bµi 14:Bµi 14:Bµi 14:Bµi 14: Ta cã: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )2 2

1 2 3 4 3 0 1 4 2 3 3 0

5 4 5 6 3 0

x x x x x x x x

x x x x

+ + + + − ≥ ⇔ + + + + − ≥

⇔ + + + + − ≥

§Æt x2 +5x +4 = t th× x2 +5x +6 = t +2

BÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh : ( )( )2 1t +2t -3 0 3 1 0

3

tt t

t

≥≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≤ −

Víi t 3≤ − ta cã: x2+5x+8 2

5 70 0

2 4x ≤ ⇔ + + ≤

V« nghiÖm

Víi t ≥ 1 ta cã: 2

2 2

5 13 5 135 13 2 2 25 4 1 5 3 02 4 5 13 5 13

2 2 2

x xx x x x x

x x

− ++ ≥ ≥ + + ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ⇔

++ ≤ − ≤ −


PH��NG PHÁP CHBN �I*M R�I CHO B�T ��NG THC CAUCHY

Khi áp dụng bñt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số ñể tại ñó dấu = xảy ra là ñiều quan trọng và khó khăn nhất. ðôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một ñiều kiện nào ñó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn ñến nhiều sai lầm. Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể ñể bạn có thể tìm ñược tham số phù hợp. Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z = 1. Tìm các giá trị nhỏ nhất: a) 2 2 2A = x +y +z

b) 2 2 2B = x +y +3z

c) 2 2 2C = x +2y +3z

d) 2 2 2D = ax +by +cz

GiIi: a) Bài này khá ñơn giản chắc bạn nào cũng ñều biết nó. Tuy nhiên dùng bài này minh họa

cho việc lựa chọn tham số theo mình là phù hợp nhất. Vì vai trò các biến x,y,z là như nhau nên ta có thể dự ñoán ñược dấu = xảy ra tại x=y=z=1/3. Nên ta có như sau:

(dấu = xảy ra khi ) Như vậy ta áp dụng như sau:

cộng dồn lại rồi suy ra.

b) Như bài trên mình ñã nói lên một ý tưởng là thêm vào các biệt số phụ như chẳng hạn.

Và phương pháp thêm này nói chung rất hiệu quả và triệt ñể cho các bài toán dạng này. Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự ñoán ñược dấu = xảy ra x=y. Ta cần chọn các biệt số phụ sao:

(dấu = xảy ra khi )

(dấu = xảy ra khi )

(dấu = xảy ra khi ) Và mục ñích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có

suy ra: (*) ðồng thời với các ñiều kiện dấu bằng và (*) các bạn sẽ tìm ñược các biệt số phụ như ý muốn.

c) ðể thấy thêm sự hiệu quả thì câu c ñiều kiện các tham số ñó kô ràng buộc. Ta chọn các biệt số phụ sao cho:

(dấu = xảy ra tại )

(dấu = xảy ra tại )

(dấu = xảy ra tại ) Và mục ñích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z Vậy ta suy ra dễ dàng: (*)


ðồn thời với dấu = xảy ra và ñk (*) bạn có thể tìm ñược biệt số.

d) Sang câu d ñây là một dạng tổng quát của bài toán này. Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó chụi và mất thời gian nhiều. Nay mình xin nói thêm ñây là một cách rất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các biệt số phụ liền. Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì ñây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi.

như vậy bạn chỉ cần rút x,y,z theo rồi thế vào ñiều kiện là có thể ra ñược ñiểm rơi.

Ngoài ra với bài toán trên nó kô chỉ giới hạn ở mức ñộ nhỏ ñó ñâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,k của x,y,z bất kì cộng với ñiều kiện có thể tổng quát hơn: . Mà cách giải vẫn không mấy thay ñổi (tuy nhiên ñều là số nguyên) Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1. Tìm giá trị lớn nhất: a) 2 2 2A = x +y +2z

b) 2 2 2B = x +y +az

c) 2 2 2C = ax +ay +z

d) 2 2 2D = ax +by +cz

GiIi: Những bài này chúng ta cũng sẽ và có chung một hương ñi giải quyết ñó: a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong ñó a,b,c,d,e,f có là các số sẽ tìm ñược) Ta có:

dấu = xảy ra khi:

Suy ra: ade=bcf Và mục ñích của các biệt số này là có thể ñưa về dạng xy+yz+zx. Nên khi ñó: Như vậy ta ñược hệ phương trình sau:

abd = cef a+b=1 c+d=1 e+f=2 Hệ trên 6 phương trình tương ứng với 6 ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải ñược có ñiều hơi dài. Tuy nhiên trong trường hợp bài toán a,b,c chúng ta thấy rằng các biến x,y có tính ñối xứng nay nên việc phân tích sẽ ñơn giản hơn thế này a=c, b=d, e=f. Như vậy thì ñơn giản hơn ñúng kô1 Còn trường hợp ở bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó sẽ khó khăn ñôi chút. Nhưng có một phương pháp rất hay và mới: Xét biểu thức:

Với Như vậy ta ñược hệ phương trình bậc 3 theo trong ñó là nghiệm dương nhỏ nhất. Từ ñây bạn có thể tính ra suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà kô cần phải giải a,b,c,d,e,f.


�JI BI�N �* CHNG MINH B�T ��NG THC ðôi khi chứng minh một bài toán BðT có rất nhiều cách khác nhau ñể giải, song không

phải cách nào cũng thuận lợi cho việc chứng minh BðT, có nhiều BðT ñề ra phức tạp làm cho ta cảm giá rối, nhưng qua việc ñưa về biến mới thì bài toán trở nên dễ hơn. Bài viết này xin nêu ra một số cách ñổi biến ñể chứng minh BðT ñược dễ dàng hơn. Sau ñây là một số ví dụ :

VD1:(BðT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR: 3

2

a b c

b c c a a b+ + ≥

+ + +

Ta ñặt

2

2

2

y z xa

x b cx z y

y c a b

z a b x y zc

+ − == +

+ − = + ⇒ = = + + − =

nên BðT 1 3

2 2

y z x x z y x y z

x y z

+ − + − + −⇔ + + ≥

2 . 2 . 2 . 6x y y z z x x y y z z x

y x z y x z y x z y x z

⇔ + + + + + ≥ + + =

(ñúng)

Vậy BðT ñuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra a b c⇔ = =

VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: 2 2 2 3x y z+ + = . CMR:

3xy yz zx

z x y+ + ≥

ðặt

xya

zyz

bxzx

cy

=

= =

với , , 0a b c> từ giả thiết 2 2 2 3x y z+ + = 3ab bc ca⇔ + + =

Và BðT cần CM ⇔ CM BðT 3a b c+ + ≥ mặt khác ta có BðT sau: 2 2 2 3( ) 3a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + = Vậy BðT ñuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra 1x y z⇔ = = =

VD3: Cho x, y, z >0 thoả 1x y z+ + = . CMR 1 4 936

x y z+ + ≥

Từ giả thiết ta có thể ñặt:

ax

a b cb

ya b c

cz

a b c

= + + = + + = + +

với a,b,c >0

Nên BðT ⇔ CM 4. 9. 36a b c a b c a b c

a b c

+ + + + + ++ + ≥


4. 4. 9. 9. 22b c a c a b

a a b b c c⇔ + + + + + ≥

4. 9. 4. 9. 2 .4. 2 .9. 2 4. .9. 22b a c a c b b a c a c b

a b a c b c a b a c b c ⇔ + + + + + ≥ + + =

(ñúng)

Dấu “=” xảy ra

1

62 13 3

1

2

x

b ay

c a

z

== ⇔ ⇒ = = =

VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR ( )( )( )xyz x y z y z x z x y≥ + − + − + −

Ta ñặt x b c

y c a

z a b

= + = + = +

với , , 0a b c> nên BðT ⇔ CM BðT ( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥

mặt khác ta có 2 2 2( )( )( ) 8 ( ) ( ) ( ) 0a b b c c a abc a b c b c a c a b+ + + − = − + − + − ≥ Vậy BðT ñuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra x y z⇔ = = VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .

CMR: 1 1 1

1 1 1 1a b cb c a

− + − + − + ≤

Do 1abc= nên ta có thể ñặt

xa

y

yb

zz

cx

= = =

với , , 0x y z>

Nên BðT có thể viết lại 1 1 1 1x z y x z y

y y z z x x

− + − + − + ≤

⇔ ( )( )( )xyz x y z y z x z x y≥ + − + − + − (ñã CM ở VD4) Vậy BðT ñuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra 1a b c⇔ = = = VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .

CMR : 3 3 3

1 1 1 3

( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b+ + ≥

+ + +

Ta ñặt

1

1

1

ax

by

cz

= =

=

với , , 0x y z> và do 1abc= nên 1xyz=


Nên BðT 2 2 2 3

2

x y z

y z z x x y⇔ + + ≥

+ + +

mặt khác theo BðT Cauchy- Schwarz ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2x y zy z z x x y x y z

y z z x x y

+ + + + + + + ≥ + + + + +

2 2 2 33 3

2 2 2

xyzx y z x y z

y z z x x y

+ +⇔ + + ≥ ≥ = + + +

Vậy BðT ñuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra 1a b c⇔ = = = VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: 2xyz x y z= + + + .

CMR: 3

2x y z xyz+ + ≤

Từ 1 1 1

2 11 1 1

xyz x y zx y z

= + + + ⇔ + + =+ + +

Ta ñặt 1 1 1

, ,1 1 1

a b cx y z

= = =+ + +

với , , 0a b c>

1 1 1

, ,a b c b a c c a b

x y za a b b c c

− + − + − +⇒ = = = = = =

Nên BðT cần CM ⇔ CM BðT 3

. . .2

a b b c c a

b c c a c a a b a b b c+ + ≤

+ + + + + +

Mặt khác ta có: 1

.2

a b a b

b c c a a c b c ≤ + + + + +

1

.2

b c b c

c a a b b a c a ≤ + + + + +

1

.2

c a c a

a b b c c b a b ≤ + + + + +

Nên 1 3. . .

2 2

a b b c c a a b b c c a

b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b + + ≤ + + + + + = + + + + + + + + + + + +

Vậy BðT luôn ñúng Dấu “=” xảy ra 2x y z⇔ = = = Sau Lây là mQt sS bài tTp LV luyWn tTp: Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác:

1) 3a b c

b c a c a b a b c+ + ≥

+ − + − + −

2) 1 1 1 1 1 1

a b c b c a c a b a b c+ + ≥ + +

+ − + − + −

Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn 2 2 2 2 1x y z xyz+ + + = . CMR:

1) 3

2x y z+ + ≥

2) 1 1 14( )x y z

x y z+ + ≥ + +


Gợi ý: từ giả thiết ta có thể ñặt , ,a b c

x y zb c c a a b

= = =+ + +

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn 1a b c+ + = . CMR: 1 1 1 1

2 22abcab bc ca

+ + ≥ + +

Bài 4: Cho , , 0a b c> thoả mãn 1abc= . CMR: 3 6

1a b c ab bc ca

+ ≥+ + + +

Bài 5: Cho a,b,c là ñộ dài 3 cạnh của tam giác. CMR: 1) 2 2 2 4 3a b c S+ + ≥ với S là diện tich tam giác 2) 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥ Gợi ý: ðặt , ,a x y b y z c z x= + = + = +

Documents

Chuyen de Bat Dang Thuc Lop 10 Co Loi Giai