Tai Lieu tu hoc mon Toan Giai tich lop 12

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

----- Tài liệu lưu hành nội bộ ----- 1

MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG

Kí hiệu Tên gọi Diễn giải



CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ----- oOo -----

CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Dấu nhị thức bậc nhất: Dạng f(x) = ax + b (a 0). Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a 0):

x - - a

b +

ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a 2. Dấu tam thức bậc hai: Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0. Tính = b2 - 4ac Nếu < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và

x - + f(x) cùng dấu với a

Nếu = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x = -a

b

2và

x - -a

b

2 +

f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a Nếu > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và

x - x1 x2 + f(x) cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' nếu hệ số b chẵn. 3. Xét dấu biểu thức và giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn: Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Giải được bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn. Ví dụ1: Xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3); b) f(x) =2)1(

1

x; c) f(x) =

2)1(

2

x; d) f(x) =

5

212

xx

x.

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

a) x2 + 2x + 3 < 0; b) (x - 1)(x + 1)2 0; c)12

5

1

2

xx; d) 1

1

132

x

xx.

Ví dụ 3: Giải các hệ bất phương trình sau: a)

043

012 xx

x; b)

086

01522

2

xx

xx.

4. Dấu các nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*) ( = b2 - 4ac)

Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu (x1 < 0 < x2)

khi và chỉ khi: P = a

c < 0.

Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt (x1 < x2 < 0) khi và

chỉ khi:

0

0

0

0

a

bS

a

cP

a

Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt (0 < x1 < x2 ) khi

và chỉ khi:

0

0

0

0

a

bS

a

cP

a

5. Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0).



a) f(x) 0 x R

0

0a; b) f(x) 0 x R

0

0a.

6. Chia đa thức:

Yêu cầu biễu diễn )(

)()(

)(

)(

xg

xrxk

xg

xf (với f(x) là đa thức có bậc lớn hoặc bằng bậc của g(x)), trong đó k(x)

là thương và r(x) là dư trong phép chia )(

)(

xg

xf.

Ví dụ 1: Biễu diễn các phân thức dạng )(

)(

xg

xf thành dạng

)(

)()(

xg

xrxk :

a) 1

2

x

x; b)

1

522

x

xx; c)

2

133

x

xx; d)

1

12

3

x

x;

e) 1

132

3

x

xx; f)

x

xx

1

122

; g) 22

233

x

xx; h)

x

xxx

21

25 23

.

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau đây thành tích của nhị thức bậc nhất với một đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức đã cho: a) -x3 + 3x2 - 3x + 1; b) x3 + x2 - 2x - 2; c) x3 + (m - 1)x2 - m. 7. Các khái niệm liên quan đến hàm số: Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x. Tập xác định của hàm số: D = {x R f(x) có nghĩa}. Giá trị của hàm số y = f(x) tại x0 là y0 = f(x0). Ví dụ 1: Giá trị của hàm số y = x2 + 1 tại x0 = 2 là 5

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = 7

23

x

x(1)

a) Tính f(2), f(-1); b) Tính giá trị của hàm số tại x = -2; c) Tìm tọa độ điểm M có hoành độ x = 0 trên đồ thị hàm số (1); d) Tìm trên đồ thị hàm số (1) những điểm có tung độ bằng 0. Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = 4x – 2 2x + 3; b) y =x

x

1

13;

c) y =1

12

x

xx; d) y =

22 )9(

2

x

x;

e) y = 202 xx ; f) y = 216 x

x

.

O x

y

5

2

y = f x( ) = x2 + 1

8. Tính giới hạn: Yêu cầu tính được các giới hạn dạng: )(lim

0

xfxx

, )(lim0

xfxx

, )(lim xfx

.

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a)x

xx

1

13lim

1; b)

x

xx

1

13lim

1; c)

x

xx

1

13lim ; d)

x

xx

1

13lim ;

e) )13(lim 23

xxxx

; f) )13(lim 23

xxxx

; g)21

4lim

xx ; h)

21

4lim

xx ;

i)20

12lim

2

xx

xx

; j)20

12lim

2

xx

xx

; k)x

xx

4lim

2

; l)2

2 4lim

x

xx

.

9. Đạo hàm: a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm, khi đó:



(u + u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ;

2

'')'(

v

uvvu

v

u

2

')'

1(

v

v

v .

b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))

(C)' = 0

(x)' = x-1( R, x > 0)

xx

2

1)'( (x > 0)

2

1)'

1(

xx (x 0)

(u)' = u-1.u'( R, u > 0)

u

uu

2

')'( (u > 0)

2

')'

1(

u

u

u (u 0)

(sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx

(tanx)' = x2cos

1 (x

k

2, k Z)

(cotx)' = -x2sin

1 (x k, k Z).

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u'

(tanu)' = u

u2cos

'(u

k

2, k Z)

(cotu)' = -u

u2sin

'(u k, k Z).

c) Moät soá coâng thöùc tính ñaïo haøm ñaëc bieät:

(dcx

bax

)' =

2)( dcx

bcad

2

22

)(

2)'(

edx

dcbeaexadx

edx

cbxax

22

2

2

2

)(

)(2)()'(

fexdx

ecbfxdcafxbdae

fexdx

cbxax

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau đây:

a) y = x3 + x

1 - 12 x ; b) y =

2

3

x

x; c) y =

2

1

x

x; d) y =

1

1

x.

d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x0) và phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0). Ví dụ: Cho hàm số y = x2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đó, biết: a) Tiếp điểm là điểm (1; 1); b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4; c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2;

d) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 12

1x .

10. Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0): Yêu cầu lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thị các hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Ví dụ:Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2x - 1; b) y = 1 - x; c) y = 2; d) x = -3; e) y = x. 11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường: Yêu cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường có phương trình cho trước. Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số: a) (C): y = x2 - 2x + 2 và d: y = x; b) (C): y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và d: y = x + 1; c) (C): y = x3 + 3x2 + 1 và d: y = 2x + 5; d) (C): y = x3 - 3x và d: y = x2 + x - 4. Ví dụ 2: Tìm tọa giao điểm của các đường sau đây với hai trục tọa độ: a) y = x + 1; b) y = x2 + 1; c) y = x2 - 5x + 6; d) y = x4 - 4x2 + 3.

Ghi chú:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



O

y

x

O

y

x

§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b] hoặc K = [a; b])

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:

x1 < x2 f(x1) < f(x2)

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K sao cho:

x1 < x2 f(x1) > f(x2) Bảng biến thiên: x a b

bxlim

y

axlim

O

y

x

ba

Bảng biến thiên: x a b

axlim

y

bxlim

O

y

x

ba

Đồ thị hàm số đồng biến là đường đi lên từ trái sang phải

Đồ thị hàm số nghịch biến là đường đi xuống từ trái sang phải

2) Tính ñôn ñieäu vaø daáu cuûa ñaïo haøm: Tính ñaïo haøm y', xeùt daáu y', quan saùt ñoà thò haøm soá y = f(x) ñeå hoaøn thieän baûng bieán thieân vaø ruùt ra nhaän xeùt: a) y = x2. TXÑ: D = R y' = 2x y' = 0 2x = 0 x = 0 y = 0 Baûng bieán thieân: Ñoà thò:

x - 0 + y' - 0 + y

+ + 0

b) y = x

1.

TXĐ: D = ..........

y' = ..............................................................................................................

Bảng biến thiên: Đồ thị: x - 0 +

y'

y

Nhận xét: Nếu y' < 0 trên K thì hàm số .................................... trên K.

Nếu y' > 0 trên K thì hàm số ................................... trên K.

Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f'(x) > 0 x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f'(x) < 0 x K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.



* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x). Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số a) y = 2x4 + 1; b) y = sinx trên khoảng (0; 2). Giải:

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

* Chuù yù: Quan saùt ñoà thò haøm soá y = x3 vaø traû lôøi caâu hoûi:

y = x3

O x

y

Khaúng ñònh sau ñuùng hay sai? vì sao? "Neáu haøm soá y = f(x) taêng treân R thì f'(x) > 0 vôùi moïi x

R".

Traû lôøi: .......................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x) 0 (f'(x) 0), x K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x0 thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Nếu f'(x) = 0 x K thì f(x) không đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c trên K) II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x): Trình bày bài giải: Tìm tập xác định D của hàm số. (D = {x R f(x) có nghĩa}) Tính đạo hàm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm các điểm xi (i = 1, 2, ..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên). Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 222

1

3

1 23 xxx

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

Ví duï 2: Tìm caùc khoaûng ñôn ñieäu cuûa caùc haøm soá sau:

a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7; b) y = x4 - 2x2 - 3; c) y = -2

4x- x2 +

2

3; d) y =

1

1

x

x.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

2. ÖÙng duïng tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá ñeå chöùng minh baát ñaúng thöùc:

Ví duï: Chöùng minh raèng x > sinx treân khoaûng (0; 2

).

Giải:



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = 3

1x3 + 3x2 - 7x - 2; b) y = -x3 + x2 - 5; c) y = 3x3 - 8x2;

d) y = x3 - 6x2 + 9x; e) y = x3 - 3x2 - x + 3; f) y = 2x3 - 6x + 2. Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: a) y = x4 - 2x2 + 3; b) y = x4 + 8x2 + 5;

c) y = 16x + 2x2 - 3

16x3 - x4; d) y = 4x – 2 2x + 3.

Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) y =x

x

1

13; b) y =

7

23

x

x; c) y =

1

1

x

x.

Bài 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y =1

12

x

xx; b) y =

x

xx

1

22

; c) y =1

322

x

xx.

2. Bài tập nâng cao:



Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = 9

22 x

x; b) y = 202 xx .

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y = 12 x

x đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-;

-1) và (1; +). (HD: Chứng minh y' 0x (-1;1) và y' 0x (-;-1) (1; +))

Bài 3: Chứng minh hàm số y = 22 xx đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2). Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx > x (0 < x < 2

); b) tanx > x +

3

3x (0 < x <

2

).

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Lập bảng biến thiên của hàm số sau:

y = xxx2

5

2

3

6

1 23

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

Đồ thị hàm số y = xxx2

5

2

3

6

1 23



)( -1

6

64

5

-4-6

-7

6

25

6

-5

O

y

x

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -; b là +) và điểm x0 (a; b). a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x (x0 - h; x0 + h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x (x0 - h; x0 + h) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0. * Chú ý: a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), còn điểm M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

c) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại x0 thì f'(x0) = 0.

II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ: Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0}, h > 0. a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). III. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ: 1. Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x) Tìm tập xác định. Tính f'(x). Tìm các điểm x sao cho tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định. Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

x x0 - h x0 x0 + h f'(x) + 0 -

x x0 - h x0 x0 + h f'(x) - 0 +



f(x)

yCĐ

f(x)

yCT

"Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm" "Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương" Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 - x2 - x + 3. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 2: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá y = 1

13

x

x.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

AÙp duïng quy taéc I, haõy tìm cöïc trò cuûa haøm soá f(x) = x(x2 - 3) 2. Quy taéc 2:

Ñònh lí 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm caáp 2 trong khoaûng (x0 - h; x0 + h), vôùi h > 0. Khi ñoù:

a) Neáu

0)(''

0)('

0

0

xf

xfthì x0 là điểm cực tiểu. b) Nếu

0)(''

0)('

0

0

xf

xfthì x0 là điểm cực đại.

Quy tắc 2: Tìm tập xác định. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, ...) là các nghiệm của nó. Tính f''(x) và tính f''(xi). Dựa vào dấu của f''(xi) để suy ra tính chất cực trị của điểm xi. Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) f(x) = 4

1x4 - 2x2 + 6; b) f(x) = sin2x.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản:

Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10; b) y = x4 + 2x2 - 3; c) y = x + x

1;

d) y = x3(1 - x)2; e) y = 12 xx .

Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = x5 - x3 - 2x + 1. Bài 3: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.

Bài 4: Tìm các giá trị của m để x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số y = 1

12

x

mmxx.

Bài 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = mx

mxx

12

đạt cực đại tại x = 2.

Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x3 - mx2 - 2x + 1 luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. (HD: Chứng minh y' = 0 có hai nghiệm phân biệt) 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6. Xác định m sao cho:



a) Hàm số có cực trị; b) Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu.

Bài 2: Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 3

5a2x3 + 2ax2 - 9x + b đều là những số dương và x0 =

9

5 là

điểm cực đại.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................



§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) M với mọi x thuộc D và tồn

tại x0D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu M = D

max f(x).

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) m với mọi x thuộc D và tồn

tại x0D sao cho f(x0) = m. Kí hiệu m = D

min f(x).

II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG: Quan sát đồ thị các hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng:

-2

1

-5

2

-1

f x( ) = x2 + 4∙x 5

O

x

y

Giá trị lớn nhất của hàm số f(x)= -x2 + 4x - 5 trên

(-; +) là: ................... tại x = ...........................

-3

1

f x( ) = x 5 + 1

x

O

x

y

Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x - 5 + x

1 trên

(0; +) là: ..................... tại x = ...............................

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đó suy ra kết luận. (Nếu bài toán không chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập xác định)

x a x0 b f'(x) + -

f(x)

GTLN

x a x0 b f'(x) - +

f(x)

GTNN

Trong đó: f'(x) = 0 hoặc không xác định tại x0.

Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = x - 5 + x

1 trên khoảng (0; +).

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 2: Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau:

a) f(x) = -1

12 x

; b) f(x) = x

1 trên (0; 1).

Giải:



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ TREÂN MOÄT ÑOAÏN: 1/ Ñònh lí: Moïi haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn ñeàu coù giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát treân ñoaïn ñoù. Quan saùt ñoà thò haøm soá sau vaø traû lôøi caùc caâu hoûi töông öùng:

][2

1

4

1

2

f x( ) = x3 x2 x + 2

O

x

y

Giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá y = x3 - x2 - x + 2

treân ñoaïn [0; 2] laø: ............................ taïi x = ................

Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = x3 - x2 - x + 2

treân ñoaïn [0; 2] laø: ............................ taïi x = ................

2/ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:

Tìm các điểm x1, x2, ...., xn trên khoảng (a; b), tại đó f'(xi) = 0 hoặc không xác định (i = 1, 2,...n). Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b). Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong {f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b)}. Ta có:

ba;max f(x) = M,

ba;min f(x) = m.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 10 trên [-3; 1]. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 2: Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = sinx treân caùc ñoaïn [6

7;

6

] và

[

2;6

].

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

* Chuù yù: Neáu haøm soá y = f(x) ñoàng bieán treân [a; b] thì:

];[

maxba

y = f(b), ];[

minba

y = f(a)

Neáu haøm soá y = f(x) nghòch bieán treân [a; b] thì:

];[

maxba

y = f(a), ];[

minba

y = f(b)

maxy[a;b]

[a;b]miny

f(b)

f(a)

O

x

y

ba

maxy[a;b]

[a;b]miny

f(a)

f(b)

O

x

y

ba

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = -x3 + 1 trên [-1; 1]. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

IV. ÖÙNG DUÏNG:



Ví duï: Cho moät taám nhoâm hình vuoâng caïnh a. Ngöôøi ta caét ôû boán goùc boán hình vuoâng baèng nhau, roài gaäp taám nhoâm laïi nhö hình veõ ñeå ñöôïc moät caùi hoäp khoâng naép. Tính caïnh cuûa caùc hình vuoâng bò caét sao cho theå tích cuûa khoái hoäp laø lôùn nhaát.

x

a

Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................




1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên [-4; 4] và [0; 5]; b) y = x4 - 3x2 + 2 trên [0; 3] và [2; 5];

c) y = x

x

1

2 trên [2; 4] và [-3; -2]; d) y = x45 trên [-1; 1].

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = xx 24 . Bài 3: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = 21

4

x; b) y = 4x3 - 3x4; c) y = x +

x

4(x > 0);

d) y = x; e) y =24 x

x

; f) y =

41

1

x.

Bài 4: Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và chu vi của hình chữ nhật theo x.) Bài 5: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48cm2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và diện tích hình chữ nhật theo x.)

2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2

32

2

xx

x; b) f(x) = -3x2 + 4x - 8 trên [-2;

2

3); c) y = x -

x

1 trên (0; 2].

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 1

2

x với x > 1.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x2 - 3x + 2 trên đoạn [-10; 10]. Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) y = 2sin2x + 2sinx - 1; b) y = cos22x - sinxcosx + 4. Bài 5: Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất. Bài 6: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất. Bài 7: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).

Bài 8: Cho hàm số 4 22 3 2 1y x x x . Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến

đường thẳng (d): y = 2x - 1 là nhỏ nhất. Bài 9: Tìm x để các hàm số sau đây đạt giá trị lớn nhất:

a) y = x(6 - x), x [0; 6]; b) y = (x + 3)(5 - 2x), x [-2

5;3 ].


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



§4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Quan sát đồ thị hàm số y = 2

1

x

x, trả lời các câu hỏi sau:

1

y = 1

x = 2

2O

x

y

Tính các giới hạn 2

1lim

2

x

xx

và 2

1lim

x

xx

.

Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng y = 1 càng gần số nào khi x ? và đồ thị hàm số như thế nào với đường thẳng y = 1 khi x ? Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng x = 2 càng gần số nào khi x 2+ và khi x 2- và đồ thị hàm số như thế nào với đường thẳng x = 2 khi x 2+ và khi x 2-?

I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; + ), (- ; b) hoặc (- ; + )). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

xlim f(x) = y0 (hoặc

xlim f(x) = y0).

* Chú ý: Nếu lxfxfxx

)(lim)(lim , ta viết chung là lxfx

)(lim .

II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

Định nghĩa: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y

= f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 0

limxx

f(x) = + .

(hoặc 0

limxx

f(x)= - ; 0

limxx

f(x) = - ; 0

limxx

f(x) = + )

Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

a) y = 42

1

x

x; b) y =

x

1; c) y =

1

32

x

xx.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

...................................................................................................................



................................................................................................................... ...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................


1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

a) y = 12

23

x

x; b) y =

3

5

x

x; c) y =

x

x

2; d) y =

1

7

x

x;

e) y = 1

4

x; f) y =

25

52

x

x; g) y = 1

7

x; h) y =

x

2.

Bài 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

a) y = 29

2

x

x

; b) y =

2

2

523

1

xx

xx

; c) y =

1

232

x

xx;

d) y = 4

32

x

x; e) y =

4

12

2

x

xx; f) y =

1

1

x

x.


Bài 1: Cho hàm số y = 1

12

x

x có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị (C), tìm điểm M thuộc

(C) sao cho IM nhỏ nhất.


2

x

x(1). Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số (1) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm

cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Điểm uốn của đồ thị hàm số:

Loõm

Loài

O

x

y

Ñieåm uoán

Điểm uốn của đồ thị hàm số là điểm I(x0; y0) với x0 là nghiệm phương trình y'' = 0. Nếu hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) có hai cực trị thì điểm uốn là trung điểm hai điểm cực trị của đồ thị. * Nhận xét: Hàm bậc ba hoặc có một điểm uốn hoặc không có điểm uốn. Hàm bậc bốn trùng phương hoặc có hai điểm uốn hoặc không có điểm uốn. Phần đồ thị hai bên điểm uốn khác nhau về hình dáng: bên "lồi" lên, bên "lõm" xuống.

I- KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax3+ bx

2+ cx + d (a 0)

Tập xác định: D = R y' = f'(x) y' = 0: giải phương trình f'(x) = 0. y'' = f''(x) y'' = 0. Kết luận điểm uốn I. Tính các giới hạn

yx lim = ..., y

x lim = ... (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)

Vẽ bảng biến thiên. + Kết luận các khoảng đơn điệu. + Kết luận cực trị của hàm số. Điểm đặc biệt: Điểm cực trị (nếu có) Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y. Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x. Đồ thị: đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a) y = x3 + 3x2 - 4; b) y = -x3 + 3x2 - 4x + 2; c) y = 3

3x- x2 + x + 1.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

...................................................................................................................

2. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá y = ax4+ bx

2+ c (a 0)

Tập xác định: D = R y' = f'(x) y' = 0: giải phương trình f'(x) = 0. Tính các giới hạn

yx lim = ..., y

x lim = ... (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)

Vẽ bảng biến thiên. + Kết luận các khoảng đơn điệu. + Kết luận các điểm cực trị của đồ thị hàm số.



Điểm đặc biệt: Điểm cực trị; Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y; Giao điểm với trục hoành (nếu có): y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x. Đồ thị: đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

Ví du: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a) y = x4 - 2x2 - 3; b) y = -2

4x- x2 +

2

3.

Giải: ...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..................................................................................................................

...................................................................................................................

..................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..............................................................................................................................

........................................................................................................

3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá y = dcx

bax

(c 0, ad - bc 0)

Tập xác định: D = R\{c

d }

y' = f'(x) Tính các giới hạn:



yx lim =

c

a, y

x lim =

c

a Tiệm cận ngang y =

c

a

yxx 0

lim = ..., y

xx 0

lim ... Tiệm cận đứng x = x0 (chỉ cần kết quả, không cần giải thích)

Vẽ bảng biến thiên. Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Hàm số không có cực trị Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y. Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x. Đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a) y = 1

2

x

x; b) y =

12

2

x

x.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

.........................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

.........................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

.........................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

II – SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA CAÙC ÑOÀ THÒ 1/ Toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò: Ví duï: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng: (C) y = x2 + 2x - 3 vaø d: y = 2x + 1.



Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

2/ Bieän luaän baèng ñoà thò soá nghieäm phöông trình f(x) = g(x):

Ví duï 1: Chöùng minh raèng ñoà thò cuûa haøm soá y = 1

1

x

x luôn luôn cắt đường thẳng y = m - x với mọi

giá trị của m. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 2: Cho haøm soá y = x3 + 3x2 - 2 coù ñoà thò (C1). Döïa vaøo ñoà thò (C1), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: x3 + 3x2 - 2 = m. Giaûi:

d

-1

y = m

-2

2

O x

y

(C1)

m

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

.........................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................

..................................................................................................................



Ghi chú:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................


1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2 + 3x - x3; b) y = x3 + 4x2 + 4x; c) y = x3 + x2 + 9x; d) y = -2x3 + 5; e) y = x3; f) y = -2x3 + 3x2 + 2. Bài 2: Khảo sát sự biến tiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = -x4 + 8x2 - 1; b) y = x4 - 2x2 + 2; c) y = 2

1x4 + x2 -

2

3;



d) y = -2x2 - x4 + 3; e) y = x4; f) y = x4 - 2x2. Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 1

3

x

x; b) y =

42

21

x

x; c) y =

12

2

x

x; d) y =

1

1

x;

e) y = x

1; f) y =

32

14

x

x; g) y =

1x

x.

Bài 4: Cho hàm số y = x3 + 3x2 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) . b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + m = 0. Bài 5: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1 (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Dựa vào (C), biện luận về số nghiệm của phương trình x3 - 3x + m = 0 theo tham số m. Bài 6: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) . b) Với giá trị nào của m thì phương trình x4 - 2x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( 2 ; 1). Bài 7: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) x3 - 2x2 + 5 = 0; b) -2x3 + 3x2 - 2 = 0; c) 2x2 - x4 = -1.

Bài 8: Cho hàm số y = mx

mx

2

1.

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua A(-1; 2 ). c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.


1x4 +

2

1x2 + m.

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 1)? b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 4

7.

Bài 10: Cho hàm số y = x3 + (m + 3)x2 + 1 - m (m là tham số) có đồ thị là (Cm). a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1. b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2.


12)1(

x

mxm (m là tham số) có đồ thị là (G).

a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m vừa tìm được. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (G) tại giao điểm của nó với trục tung. 2. Bài tập nâng cao:


3

2x - x2 +

3

1 có đồ thị (C)

a) Dựa vào đồ thị (C), giải bất phương trình 2x3 - 3x2 + 1 < 0. b) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để bất phương trình 2x3 - 3x2 + 1 - m > 0 có nghiệm x [0; 1]. Bài 2: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1 (C1) a) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để phương trình x4 - 2x2 + 1 + m = 0 có 2 nghiệm thuộc (-1; 1].

b) Dựa vào đồ thị (C1), tìm m để bất phương trình x4 - 2x2 + 1 - m 0 nghiệm đúng x [0;2

3].


.............................................................................................................................................................................................................................................................



..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

* ÔN TẬP CHƯƠNG I * I. TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG I:





II. CÁC DẠNG ĐỒ THỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12

Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)

0a

nghieäm2coù0'y

(x1, x2 là 2 nghiệm của y'= 0)

x - x1 x2 + y' + 0 - 0 +

y fCĐ + - fCT

0a

nghieäm2coù0'y

(x1, x2 laø 2 nghieäm cuûa y'=

0)

x - x1 x2 + y' - 0 + 0 -

y + fCÑ fCT -

0a

nghieämcoù10'y

(x0 là nghiệm của y'= 0)

x - x0 + y' + 0 + y

+ -

0a

nghieämcoù10'y


x - x0 + y' - 0 - y

+ -

0a

nghieämvoâ0'y

x - + y' + y

+ -

0a

nghieämvoâ0'y

x - + y' - y

+ -

Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 0)



0a

nghieämcoù30'y

(x1, x2, x3 là 3 nghiệm của y'= 0)

x - x1 x2 x3 + y' - 0 + 0 - 0 + y

+ yCĐ +

yCT yCT

0a

nghieämcoù30'y

(x1, x2, x3 laø 3 nghieäm cuûa y'=

0)

x - x1 x2 x3 + y' + 0 - 0 + 0 - y

yCÑ yCÑ

- yCT -

0a

nghieämcoù10'y


x - x0 + y' - 0 + y

+ +

yCT

0a

nghieäm1coù0'y


x - x0 + y' - 0 + y

yCĐ

- -

Hàm số y = dcx

bax

(ad - bc 0)

0 cbad

x -

c

d +

y' + + y

+ c

a

c

a -

Hai ñöôøng tieäm caän

0 cbad

x -

c

d +

y' - - y c

a +

- c

a

Hai ñöôøng tieäm caän

Ghi chuù:



...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................


1. Bài tập cơ bản: Bài 1:Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau đây:

a) y = x3 - 3x + 2; b) y = x4 - 2x2; c) y = 12

32

x

x.

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số: a) y = x3 - 3x + 2 tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2; b) y = x4 - 2x2 tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8;

c) y = 12

32

x

x tại giao điểm của (C) với trục tung.

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số: a) y = x3 - 3x + 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9; b) y = x4 - 2x2 biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 24x;

c) y = 12

32

x

x biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y =

2

1x.

Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 - 1 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1); b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 - 3x2 + m = 0. Bài 5: Cho hàm số y = -x4 + 3x2 + 1 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1); b) Tìm m để phương trình x4 - 3x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x3 - 8x2 + 16x - 9 trên đoạn [1; 3]; b) y = 3

12

x

xtrên đoạn [0; 2];

c) 1

382

xx

xy ; d) y = 2sin3x - 3sin2x - sinx.

Bài 7: Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Giải bất phương trình f'(x - 1) > 0. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f''(x0) = -6. Bài 8: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị (C). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.



b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình x3 + 3x2 + 1 = 2

m theo tham số m.

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C). Bài 9: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1 (m là tham số) a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu? c) Xác định m để f''(x) > 6x.

Bài 10: Cho hàm số y = f(x) = 2

1x4 - 3x2 +

2

3.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f''(x) = 0. c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x4 - 6x2 + 3 = m. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 2m + 1 (m là tham số) có đồ thị (Cm). a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số. b) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành? c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu.


3

x

x.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N. c) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Bài 3: Cho hàm số f(x) = 3

1x3 -

2

1x2 - 4x + 6.

a) Giải phương trình f'(sinx) = 0; b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f''(x) = 0.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA

----- oOo -----

CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1) Lũy thừa của một số hữu tỷ: Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: a, b Q, m, n Z+, ta có: a0 = 1 a1 = a am.an = am + n

n

m

a

a= am – n (am)n = am.n (ab)n = anbn

n

nn

b

a

b

a)( (b ≠ 0) Nếu am = an thì m = n (a ≠ 1, a ≠ 0).

Lũy thừa đối với số mũ nguyên dương: x ≠ 0, n Z+, ta có: n

n

xx

1

2) Căn bậc hai:

AA 2 BAAB . (A0, B0) B

A

B

A (A0, B>0)

BABA 2 (B0) BABA 2 (A0, B0) BABA 2 (A<0, B0)

B

BA

B

A (B>0) AB

BB

A 1 (AB0, B≠0)

2

)(

BA

BAC

BA

C

(A0, A≠B2)

BA

BAC

BA

C

((A0, B0, A≠B) 0 A < B BA

Ghi chú:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



§1. LŨY THỪA

I - KHÁI NIỆM LŨY THỪA: 1/ Lũy thừa với số mũ nguyên: Cho n nguyên dương Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a (a lũy thừa n) là tích của n thừa số a.

Ví dụ:

an = asoáthöøan

aaa ........ 23 = ................................................

Với a 0 Ví dụ: a0 = 1 (1,2)0 = ................................................

n

n

aa

1 2-3 = ......................................................

42

1....................................................

* Chú ý: 00 và 0-n không có nghĩa.

Ví dụ 1: Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức A = 9124310 )2

1.(12825.)2,0(27.)

3

1(

Giải: ......................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B = 2

3

112 1.

22

)1(

2

a

a

aa

a(a 0, a 1)

Giải: .........................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

2/ Phương trình xn = b (*) Trường hợp n lẻ (n = 1, 3, 5,...): Ví dụ: Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất. x3 = -8 ................................ Trường hợp n chẵn (n = 2, 4, ...) Ví dụ: Với b < 0 phương trình (*) vô nghiệm. x2 = -2 ................................

Với b = 0 phương trình (*) có một nghiệm x = 0. x2 = 0 ................................

Với b > 0 phương trình (*) có hai nghiệm đối nhau. x2 = 4 ................................

3/ Căn bậc n a) Khái niệm: Cho sốâ thực b và số nguyên dương n (n 2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b.

cơ số a

số mũ



Ví dụ: Số -2 là căn bậc 3 của -8 vì (-2)3 = -8 Số 3 và -3 là căn bậc 2 của 9 vì (3)2 = 9 và (-3)2 = 9. Ta có: Với n lẻ và b R: Ví dụ:

Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là n b . Số -2 có một căn bậc 5: 5 )2(

Với n chẵn: Ví dụ: Với b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b. Số -8 không tồn tại căn bậc 2

Với b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0. 0 = 0 Với b > 0: Có hai căn trái dấu, Số 8 có hai căn bậc hai là:

giá trị dương kí hiệu là n b 8 = 22

giá trị âm kí hiệu là - n b 228 b) Tính chất: Ví dụ:

nnn baba .. 33 4.2 .................................................................

nn

n

b

a

b

a

3

3

2

16 ....................................................................

chaünnkhi,a

leûnkhia,n na

.................................................)2(

.................................................)2(2

3 3

n mmn aa )( 24 2 )3( ...................................................................

nkn k aa 3 5 3)3( .................................................................

4/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Cho số thực a dương và số hữu tỷ r = n

m, trong đó m Z, n N, n 2. Lũy thừa của a với số mũ r là số

ar xác định bởi: Ví dụ:

n

mr aa = n ma 3 2( a ................................................................

Đặc biệt: nn aa 1

(a > 0, n 2) a ..................................................................... 5/ Lũy thừa với số mũ vô tỉ:

Ta gọi giới hạn của dãy số ( )nra là lũy thừa của a với số mũ , kí hiệu là a.

a = nr

na

lim với = n

nr

lim

Chú ý: 1 = 1 ( R) II- TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho a, b R* và , R. Ta có: a) Các tính chất biểu thị bằng hằng đẳng thức: Ví dụ:

a.a = a + 5

6

5

4

3.3 ...............................................................

a

a= a –

4

7

2

2...............................................................



(a) = a. 22

1

)2( = ................................................................

(ab) = ab (2. 3 )2 = .............................................................

b

a

b

a)( 2)

2

2( ................................................................

b) Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức: Ví dụ: So sánh các số sau:

i) Nếu a > 1 thì a > a > 2

1

2 ................. 3

1

2

ii) Nếu a < 1 thì a > a < . 3)2

1(

.......... 2)

2

1(

** Các dạng toán thường gặp: 1) Rút gọn biểu thức: Ví dụ: Rút gọn các biểu thức:

a) A = 2222

7217

)(

.

a

aa(a > 0); b) B =

66

3

1

3

1

ba

abba

(a > 0).

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

2) So saùnh hai luõy thöøa cuøng cô soá:

Ví duï 1: Khoâng duøng maùy tính, haõy so saùnh caùc soá 325 và 235 . Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 2: Chöùng minh raèng 2352 )3

1()

3

1( .

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

3) Vieát moät bieåu thöùc döôùi daïng luõy thöøa vôùi soá muõ höõu tæ: Ví duï: Vieát caùc bieåu thöùc sau döôùi daïng luõy thöøa vôùi soá muõ höõu tæ:



a) D = aa .3

1

; b) E = 3 3 aaaa .

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................


1. Bài tập cơ bản:

Bài 1: Không dùng máy tính, tính:

a) 5

2

5

2

27.9 ; b) 4

3

4

3

9:144 ; c) 2

575,0 )25,0()

16

1(

; d) 3

25,1 )125,0()04,0(

.

Bài 2: Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a) 63

1

2

1

.. bbb ; b) 33

4

: aa ; c) 6

1

3 :bb . Bài 3: Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a)

)(

)(

4

1

4

3

4

1

3

2

3

1

3

4

aaa

aaa; b)

)(

)(

3 233

2

5 15 45

1

bbb

bbb; c)

3 23 2

3

1

3

1

3

1

3

1

ba

baba

.

Bài 4: So sánh các cặp số: a) 3)3

1( và 2)

3

1( ; b) 2

5

)2

(

và 3

10

)5

(

.

Bài 5: Chứng minh rằng: 6336 77 .




Bài 1: So sánh các cặp số:

a) 3 10 và 5 20 ; b) 4 5 và 6 7 ; c) 23000 và 32000. Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị các biểu thức sau:

a) 63 . aa với a = 0,09; b) 6: bb với b = 27;

c)6

3 2

b

bbvới b = 1,3; d) 12 543 .. aaa với a = 2,7.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



1

1

α > 1

0 < α < 1

α < 0

α = 0

α = 1

O

x

y

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA

I- KHÁI NIỆM: Hàm số y = x, với R, được gọi là hàm số lũy thừa Tập xác định của hàm số lũy thừa: Ví dụ: Với nguyên dương, tập xác định D = R; y = x2, TXĐ: D = ............................

Với nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là D = R\{0}; y = x-1, TXĐ: D = ............................

Với không nguyên, tập xác định D = (0; +). y = x , TXĐ: D = ...........................

II- ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA: Hàm số y = x ( R) có đạo hàm với mọi x > 0: Ví dụ:

(x)' = x - 1 ( 2x )' = ................................................................

Đối với hàm số hợp y = u (với u = u(x))

(u)' = u - 1.u' [( 2

32 )1( x ]' = ...................................................

= .................................................... III- KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA y = x Các tính chất của hàm số lũy thừa y = x trên khoảng (0; +)

> 0 < 0 Đạo hàm y' = x - 1 y' = x - 1 Chiều biến thiên Hàm số luôn tăng Hàm số luôn giảm

Tiệm cận Không có Tiệm cận ngang: Ox Tiệm cận đứng: Oy

Đồ thị Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1) * Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Ghi chú:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................


Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = 3

1

)1(

x ; b) y = 5

32 )2( x ; c) y = 22 )1( x ; d) y = 22 )2( xx .



Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = 3

12 )12( xx ; b) y = 4

12 )4( xx ; c) y = 2)13(

x ; d) y = 3)5( x .

Bài 3: Hãy so sánh các số sau với số 1:

a) (4,1)2,7; b) (0,2)0,3; c) (0,7)3,2; d) 4,0)3( .

Bài 4: Hãy so sánh các cặp số sau:

a) (3,1)7,2 và (4,3)7,2; b) 3,2)11

10( và 3,2)

11

12( ; c) (0,3)0,3 và (0,2)0,3.

2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Hãy viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) (0,3), (0,3)0,5, 3

2

)3,0( , (0,3)3,1415; b) 2 , (1,9), )2

1( , ;

c) 5-2, 5-0,7, 3

1

5 , 1,2)5

1( ; d) 3

2

)5,0(

, 3

2

)3,1(

, 3

2

, 3

2

)2(

.

Bài 2: Vẽ đồ thị các hàm số y = x2 và y = 2

1

x trên cùng một hệ trục tọa độ. Hãy so sánh giá trị của các hàm số

đó khi x = 0; 0,5; 11; 2

3; 2; 3; 4.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



§3. LÔGARIT

I- KHÁI NIỆM LÔGARIT: 1) Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a 1. Số thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

logab = a = b.

Ví dụ: a) log28 = ........................... b) 9log

3

1 = ............................

* Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0. 2) Tính chất: Cho a, b > 0, a 1. Ta có: Ví dụ:

loga1 = 0, logaa = 1, log10001 = .........., 3log3

= ..............

ba ba log 3log22 ..............................

loga(a) = log2(2

5) = ........................

II- QUY TẮC TÍNH LÔGARIT: 1) Lôgarit của một tích: Định lí: Cho 3 số dương a, b1, b2 , a 1, ta có: loga(b1.b2) = logab1 + logab2

Ví dụ: log42 + log48 = .............................................

* Mở rộng: cho n số dương b1, b2, ....,bn và a 1, ta có: loga(b1.b2...bn) = logab1 + logab2+...+logabn

2) Lôgarit của một thương:

Định lí: Cho 3 số dương a, b1, b2 , a 1, ta có: 21

2

1 logloglog bbb

baaa

Ví dụ: log7343 - log749 = .................................

3) Lôgarit của một lũy thừa:

Định lí: Cho 2 số dương a, b, a 1. Với mọi ta có: logab = logab

Ví dụ: log235 = ..............................

* Đăïc biệt: bn

b an

a log1

log Ví dụ: 2log2 = ..............................................................

III- CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ:

Định lí: Cho 3 số dương a, b, c, a 1, c 1, ta có: a

bb

c

ca

log

loglog logca.logab = logcb

Ví dụ: 6log

18log

3

3 = .......................................

* Đặc biệt: Ví dụ:

)1(log

1log b

ab

b

a logab.logba = 1 log36.log89.log62 = .......................................................



bb aalog

1log

( 0) 3log

3 = ............................................................................

IV- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1) Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức: Ví dụ 1: Tính A = log24 + log22 + log28

Giải: ..................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B = 7

1log49log27log

39

3

1 + log53 25

Giải: ..................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

2) Tính giá trị biểu thức theo giá trị của một lôgrit cho trước: Ví dụ: Cho log220 = m. Tính log205 theo m.

Giải: ..................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

3) So sánh hai số:

Ví dụ: So sánh hai số log23 và log65.

Giải: ..................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................

V- LÔGARIT THẬP PHÂN. LÔGARIT TỰ NHIÊN: 1) Lôgarit thập phân: Lôgarít thập phân là lôgarít cơ số 10, log10b kí hiệu lgb hoặc logb.

bbb lgloglog10

2) Lôgarit tự nhiên: Lôgarít tự nhiên là lôgarít cơ số e với e = n

n n)

11(lim

, logeb kí hiệu lnb.

bbe lnlog

Ghi chú:

...................................................................................................................................................................................................................................................................



...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a)8

1log2 ; b) 2log

4

1 ; c) 43 3log ; d)log0,50,125.

Bài 2: Chứng tỏ rằng: a)8

12

2log9

27

1

; b) log36.log89.log62 = 3

2.

Bài 3: Đơn giản các biểu thức: a)4log

2

13

)9

1( ; b)

4loglog224 .

Bài 4: Tính:

a) 3log24 ; b) 2log927 ; c)2log

39 ; d) 27log84 .

Bài 5: Rút gọn biểu thức A = logab2 + 4

2log ba

.

Bài 6: So sánh các cặp số sau: a) 9log

3

1 và 10log3

1 ; b) log35 và log74; b) log0,32 và log53; c) log210 và log530.

Bài 7: a) Cho a = log303, b = log305. Hãy tính log308 và log301350 theo a, b. b) Cho c = log153. Hãy tính log12515 theo c.

c) Cho a = log315, b = log310. Hãy tính 50log3

theo a và b.

2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho log25 = a. Hãy tính log41250 theo a. Bài 2: Cho logax = p, logbx = q, logabcx = r. Hãy tính logcx theo p, q, r. Bài 3: Cho log1218 = a, log2454 = b. Chứng minh rằng ab + 5(a - b) = 1.




.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



§4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT I- HÀM SỐ MŨ: 1) Định nghĩa: Cho số thực dương a 1. Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a. 2) Đạo hàm của hàm số mũ: Định lí 1: Hàm số y = ex có đạo hàm tại mọi x và (ex)' = ex * Chú ý: Đối với hàm số hợp y = eu(x). Ví dụ:

(eu)' = eu.u' ( 122 xxe )' = ..........................................................................................

Định lí 2: Hàm số y = ax (a > 0, a 1) có đạo hàm tại mọi x và (ax)' = axlna

* Chú ý: Đối với hàm số hợp y = au(x). Ví dụ:

(au)' = au.lna.u' )2( 12x ' = ...................................................................................................

3) Khảo sát hàm số mũ y = ax (a > 0, a 1):

O 1

1

a

x

y

a > 1

O 1

1

a

x

y

0 < a < 1

Tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = ax (a > 0, a 1) Tập xác định D = (-; +). Đạo hàm y' = axlna.

Chiều biến thiên a > 1: hàm số luôn đồng biến; 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến.

Tiệm cận trục Ox là tiệm cận ngang. Đồ thị đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành (y = ax > 0, x R)

II- HÀM SỐ LÔGARIT: 1) Định nghĩa: Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = logax được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. 2) Đạo hàm của hàm số lôgarit:

Định lí 3: Hàm số y = logax (a > 0, a 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và ax

xaln

1)'(log

* Chú ý: Đặc biệt x

x1

)'(ln . Đối với hàm số hợp y = ln[u(x)] thì u

uu

')'(ln

Đối với hàm số hợp y = logau(x), ta có: Ví dụ:

au

uua

ln

')'(log )]'1([log 2

2 x = .................................................................

3) Khảo sát hàm số lôgarit y = logax (a > 0, a 1)



O 1

1

ax

y

a > 1

O1

1

ax

y

0 < a < 1

Tóm tắt các tính chất của hàm số mũ y = ax (a > 0, a 1) Tập xác định D = (0; +).

Đạo hàm y' =ax ln

1.

Chiều biến thiên a > 1: hàm số luôn đồng biến; 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến.

Tiệm cận trục Oy là tiệm cận đứng. Đồ thị đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1), nằm phía bên phải trục tung.

* Nhận xét: Đồ thị hàm số y = ax và y = logax (a > 0, a 1) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Ví dụ: Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ:

a) y = 4x và y = log4x; b) y = x)4

1( và y = x

4

1log .

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Baûng ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá luõy thöøa, muõ vaø loâgarit Haøm soá sô caáp Haøm hôïp (u = u(x)) Haøm soá sô caáp Haøm hôïp (u = u(x))

(x)' = x - 1

2

1)'

1(

xx

xx

2

1)'(

(u)' = u - 1.u'

2

')'

1(

u

u

u

u

uu

2

')'(

(ex)' = ex (ax)' = axlna

(eu)' = eu.u' (au)' = aulna.u'

xx

1)'(ln

axxa

ln

1)'(log

u

uu

')'(ln

au

uua

ln

')'(log

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 5x2 - 2xcosx; b) y = x

x

3

1.

Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = log2(5 - 2x); b) y = log3(x2 - 2x); c) y = )34(log 2

5

1 xx ; d) y = x

x

1

23log 4,0 .

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 3x2 - lnx + 4sinx; b) y = log(x2 + x + 1); c) y = x

x3log.

2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hãy so sánh mỗi cặp số sau: a) (1,7)3 và 1; b) (0,3)2 và 1; c) (3,2)1,5 và (3,2)1,6;

d) (0,2)-3 và (0,2)-2; e) 2)5

1( và 4,1)

5

1( ; d) 6 và 63,14.

Bài 2: Hãy so sánh x với số 1, biết rằng: a) log3x = -0,3; b) 7,1log

3

1 x ; c) log2x = 1,3; d) x4

1log = -1,1.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I- PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 1) Phương trình mũ cơ bản: Dạng: ax = b (a > 0, a 1) Ví dụ:

Với b > 0 ta có: ax = b x = logab. 2x = 3 ................................................

Với b 0 ta có: ax = b x . 2x = -3 ............................................... 2) Cách giải một số phương trình mũ đơn giản:

a/ Đưa về cùng cơ số: aA(x) = aB(x) A(x) = B(x)

Ví dụ: Giải phương trình (1,5)5x - 7 = (3

2)x + 1.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

b/ Ñaët aån phuï: Ví duï: Giaûi caùc phöông trình sau: a) 9x - 4.3x - 45 = 0; b) 6.9x – 13.6x + 6.4x = 0. Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

c/ Loâgarit hoùa:

Ví duï: Giaûi phöông trình 3x.2

2x = 1. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

II- PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT: 1) Phöông trình loâgarit cô baûn: Daïng: logax = b (a > 0, a 1) Ví duï:

Vôùi moïi b ta coù: logax = b x = ab log2x = -3 .....................................................................

2) Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản:



a/ Đưa về cùng một cơ số: Với điều kiện 0 < a ≠ 1, A(x) > 0, B(x) > 0 ta có

loga[A(x)] = loga[B(x)] [A(x)] = [B(x)]

Ví dụ: Giải phương trình log3x + log9x + log27x = 11. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

b/ Ñaët aån phuï:

Ví duï: Giaûi phöông trình 1log1

2

log5

1

xx.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

c/ Muõ hoùa: Ví duï: Giaûi phöông trình log2(5 - 2x) = 2 - x. Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................



................................................................................................................... ...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



Bài 1: Giải các phương trình mũ:

a) (0,3)3x - 2 = 1; b) 25)5

1( x ; c) 42 232

xx ;

d) 132 7)7

1(

2 xxx ; e) 132 2 x

x ; f) (0,5)x + 7.(0,5)1 - 2x = 2.

Bài 2: Giải các phương trình mũ: a) 32x - 1 = 108; b) 2x + 1 + 2x - 1 + 2x = 28; c) 64x - 8x - 56 = 0; d) 2.16x - 17.4x + 8 = 0; e) -lg3x + 2lg2x = 2 - lgx; f) 3.4x - 2.6x = 9x. Bài 3: Giải các phương trình lôgirt: a) log3(5x + 3) = log3(7x + 5); b) log(x - 1) - log(2x - 11) = log2; c) log2(x - 5) + log2(x + 2) = 3; c) log(x2 - 6x + 7) = log(x - 3).

2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải các phương trình sau:



a) 455 1 xx ; b) xx

x 22 3.368 ;

c) 52x – 1 + 5x + 1 = 250; d) 10)245()245( xx .

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) 2

1log(x2 + x - 5) = log5x + log

x5

1; b) )14log(

2

1 2 xx = log8x - log4x;

c) x2

log + 4log4x + log8x = 13; d) 08log)5(log)2(log2

12

42 xx .

Bài 3: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị: a)2

1)

2

1( xx ; b)

xx 3

)3

1( .

Bài 4: Giải các phương trình: a) 4x + 5x = 9x; b) 5x + 12x = 13x. Bài 5: Giải các phương trình sau: a) 9x + 2(x - 2).3x + 2x - 5 = 0; b) x.2x = x(3 - x) + 2(2x - 1).


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 1) Bất phương trình mũ cơ bản: Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b (hoặc ax b, ax < b, ax b) với a > 0, a 1. Nếu b 0 thì ta có ax > 0 b đúng với mọi x R nên tập nghiệm bất phương trình là T = R.

Nếu b > 0 ta có ax > b ax > baa log Ví dụ:

* Khi a > 1 thì ax > baa log x > logab 3x > 2 ...........................................................................

* Khi 0 < a < 1 thì ax > baa log x < logab x)2

1( >

32

1 .................................................................

2) Bất phương trình mũ đơn giản: Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a) xx 2

3 < 9; b) 4x - 2.52x < 10x. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

II- BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOÂGARIT: 1) Baát phöông trình loâgarit cô baûn: Baát phöông trình loâgarit cô baûn coù daïng logax > b (hoaëc logax b, logax < b, logax b) vôùi a > 0, a 1. Ví duï:

Khi a > 1 ta coù logax > b x > ab log2x > 7 .......................................................................

Khi 0 < a < 1 ta có logax > b 0 < x < ab 3log2

1 x .....................................................................

2) Bất phương trình lôgarit đơn giản: Ví dụ: Giải các bất phương trình sau: a) log0,5(5x + 10) < log0,5(x

2 + 6x + 8); b) log2(x - 3) + log2(x - 2) 1. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................


1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Giải các bất phương trình mũ:

a) xx 32

2 < 4; b) xx 32 2

)9

7(

7

9; c) 12 33 xx 28;

d) 143 422 xxx ; e) 4x - 3.2x + 2 > 0; f) 9x - 5.3x + 6 < 0.

Bài 2: Giải các bất phương trình lôgarit:

a) log8(4 - 2x) 2; b) )1(log)53(log5

1

5

1 xx ; c) )86(log)114(log 25,05,0 xxx ;



d) 6log5log 323 xx 0; e) 3log)2(loglog 2,052,0 xx ; f) 53log62)2(log

8

12 xx .

2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a) xx )5

2()

5

2( 2 ; b) (0,4)x - (2,5)x + 1> 1,5; c) 4

34

4

xx

x

.

Bài 2: Giải các bất phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:

a) 4)3

1( xx ; b) log3x > 4 - x.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



* ÔÂN TẬP CHƯƠNG II * I. LÍ THUYẾT: 1) Nêu các tính chất của căn thức?

nn ba. .......................................... n

n

b

a................................... mn a)( ...............................................

chaünnkhi

leû n khi

.........................

..............................n na n k a ................................

2) Nêu các tính chất của luỹ thừa?

Cho a, b R* và , R. Ta có: a) Các tính chất biểu thị bằng hằng đẳng thức:

a.a = ......................

a

a= ........................... (a) = .............................

(ab) = ..................... )(b

a........................

b) Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức:

i) Nếu a > 1 thì a > a .................... ii) Nếu a < 1 thì a > a ....................

3) Nêu định nghĩa lôgarit, tính chất và các phép toán của lôgarit?

Định nghĩa lôgarit: logab = ................................

Tính chất: Cho a, b > 0, a 1. Ta có:

loga1 = .............. logaa = .............. baalog.................... loga(a

) = .....................

Các phép toán: Cho 3 số dương a, b1, b2, c, a 1, c 1, ta có:

loga(b1.b2) = ............................................. 2

1logb

ba ...................................................

logab = ...................................................... n

a blog ..................................................

ba

log ...................... ( 0) a

b

c

c

log

log= .................. logca.logab =.....................

)1(log

1................... b

ab

logab.logba = ............

4) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x, y = x)2

1( , y = log2x và y = x

2

1log và nêu các tính chất của chúng?

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

5) Nêu đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit? Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x))

(x)' = .................

)'1

(x

...................

................)'( x

(u)' = .................

)'1

(u

....................

)'( u .................

(ex)' = ..............

(ax)' = .............

(eu)' = ..................

(au)' = ..................

)'(ln x ................

)'(log xa ............

)'(lnu ....................

)'(log ua ...............

II. CAÙC DAÏNG TOAÙN THÖÔØNG GAËP: 1) Tính giaù trò (ruùt goïn) bieåu thöùc:

Ví duï 1: Tính 2log

27

1

3 = ............................................................................................................................................................. Ví dụ 2:

a) logab = 3, logac = -2. Tính loga(a3b2

c ) = ....................................................................................................

....................................................................................................

b) Cho 4x + 4-x = 23. Tính 2x + 2-x ...........................................................................................................................

.......................................................................................................................... 2) So sánh hai lôgarit: Ví dụ: So sánh các số sau: a) log35 và log74; b) log0,32 và log53. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

3) Tìm taäp xaùc ñònh:

Ví duï: Tìm taäp xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau:

a) y = 33

1

x; b) y =

32

1log

x

x; c) y = 12log 2 xx ; d) y = xx 525 .

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

4) Ñaïo haøm cuûa haøm soá muõ vaø loâgarit: Ví duï: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau:

a) (2xex + 3sin2x)' = ................................................................................................................................................................

b) (5x2 - lnx + 8cosx)' = ........................................................................................................................................................

5) Giải phương trình mũ và lôgarit: Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 12 572 2

xx ; b) 25x - 6.5x + 5 = 0. c) 4.9x + 12x - 3.16x = 0; d) 3x + 4 + 3.5x + 3 = 5x + 4 + 3x + 3;

e) log7(x - 1)log7x = log7x ; f) 1lg2

2

lg4

1

xx.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

6) Giaûi baát phöông trình muõ vaø loâgarit: Ví duï: Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) 22x - 1 + 22x - 2 + 22x - 3 448; b) (0,4)x - (2,5)x + 1 > 1,5;

c) 1)]1([loglog 2

2

13 x ; d) 6log5log 2,02

2,0 xx .

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ----- oOo -----

CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp: Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))

(C)' = 0

(x)' = x-1( R, x > 0)

xx

2

1)'( (x > 0)

2

1)'

1(

xx (x 0)

(u)' = u-1.u'( R, u > 0)

u

uu

2

')'( (u > 0)

2

')'

1(

u

u

u (u 0)

(sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx

(tanx)' = x2cos

1 (x

k

2, k Z)

(cotx)' = -x2sin

1 (x k, k Z).

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u'

(tanu)' = u

u2cos

'(u

k

2, k Z)

(cotu)' = -u

u2sin

'(u k, k Z).

(ex)' = ex (ax)' = ax.lna

(eu)' = u'.eu (au)' = u'.au

xx

1)'(ln (x ≠ 0)

)'(log xa = ax ln

1(x ≠ 0)

u

uu

')'(ln (u ≠ 0)

)'(log ua = au

u

ln

'(u ≠ 0)

2) Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x (a; b).

dy = f'(x)dx

3) Một số công thức lượng giác thường sử dụng:

tanx = x

x

cos

sin cotx =

x

x

sin

cos tanx.cotx = 1

sin2a = 2sinacosa 2

2cos1cos2 a

a

2

2cos1sin 2 a

a

xx

2

2tan1

cos

1 x

x2

2cot1

sin

1 cosacosb =

2

1[cos(a + b) + cos(a - b)]

sinasinb = -2

1[cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb =

2

1[sin(a + b) + sin(a - b)]

Ghi chú:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



§1. NGUYÊN HÀM

I- NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Nguyên hàm: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R. Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x K. * Chú ý: 1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C R là họ tất cả các nguyên hàm

của f(x) trên K. Kí hiệu dxxf )( = F(x) + C.

2) Trong kí hiệu dxxf )( thì "d..." gắn với biến tương ứng của hàm f. Ví dụ: dss

1, tdtcos ,...

3) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F'(x)dx = f(x). 2. Các tính chất của nguyên hàm:

Tính chất 1: Cxfdxxf )()('

Ví dụ: Với x (0; +), dxxdxx

)'(ln1

= lnx.

Tính chất 2: dxxfkdxxkf )()(

(k là hằng số khác 0)

Tính chất 3: dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx + x

2 trên khoảng (0; +).

dxxf )( ....................................................................................................................................................................................................

3. Sự tồn tại nguyên hàm: Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ: Hàm số f(x) = 3

2

x có nguyên hàm trên (0; +) và 3

5

3

2

5

3xdxx + C.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

Cdx0

Cxdx

)1(C1

xdxx

1

)0x(Cxlnx

dx

Cedxe xx

)1a0(Caln

adxa

xx

Cxsinxdxcos

Cxcosxdxsin

Ctgxxcos

dx2

Cgxcotxsin

dx2

Ví dụ 1:

a) dx

x

xx2

3 12 = ................................................................................................................................................................

b) dsss 2)32( = .......................................................................................................................................................................

c) tdt2tan = ..................................................................................................................................................................................



Ví dụ 2: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số y = f(x) = x2 + 2x - 1, biết rằng F(1) = 0. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

II- PHÖÔNG PHAÙP TÍNH NGUYEÂN HAØM 1. Phöông phaùp ñoåi bieán soá:

Ñònh lí: Neáu CuFduuf )()( và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

CxuFdxxuxuf )]([)(')]([

Ví dụ 1: Tìm dxx

x

ln

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 2: Tìm xdxx cos.sin2

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 3: Tìm dx

x

x3 2 1

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 4: Tìm 42x

dx

Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................



................................................................................................................... ...................................................................................................................

Heä quaû: Neáu CxFdxxf )()( thì CbaxFa

dxbaxf )(1

)(

Ví dụ 1: Ta có Cx

dxx3

32 nên

3

)12(

2

1)12(

32 xdxx + C

Ví dụ 2: Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau:

dxx )12cos( = ...............................................................

dxx)41sin( = ................................................................

dx

x 13

1 = ........................................................................

dxe x = ..........................................................................

dxx1 = ....................................................................

dxx

2

1

2 = ........................................................................

Ví dụ 3: Tính dxxx

x

65

12

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

2. Phöông phaùp tính nguyeân haøm töøng phaàn: Ñònh lí: Neáu hai haøm soá u = u(x) vaø v = v(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K thì

dxxvxuxvxudxxvxu )()(')().()(')(

* Chú ý: Ta có v'(x)dx = dv, u'(x)dx = du nên vduuvudv

Phương pháp: Tính dxxvxu )(')(

Đặt ......

......

vdxdv

dxduu. Khi đó ta có dxxvxu )(')( = vduuv .

Ví dụ: Tính

a) dxxex ; b) dxxx cos ; c) xdxln .

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

vi phân hai vế

nguyên hàm hai vế

Lấy vi phân: lấy đạo hàm rồi nhân thêm d... của biến tương ứng



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:

a) dxx

2sin 2 ; b) dxx 3)21( ; c)

dxx 13

1; d)

dxx

x

2

3

.

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 3

1

x

xx ; b) f(x) =

x

x

e

12 ; c) f(x) =

xx 22 cos.sin

1;

d) f(x) = sin5x.cos3x; e) f(x) = tan2x; f) f(x) = )21)(1(

1

xx .

Bài 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

a) dxx 9)1( (đặt t = 1 - x); b) dxxx 2

32 )1( (đặt t = 1 + x2);

c) xdxx sincos3

(đặt t = cosx); d) 2xx ee

dx(đặt t = ex + 1).

Bài 4: Tìm:

a) dxee xx 232 )5( ; b) xdxxcossin 2 ; c)

dx

xx

x

22

12

.

Bài 5: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) xdxx cos)1( ; b) xdxx 2sin ; c) dxxx )1ln( ; d) dxexx x)12( 2 ;



e) dxxx )12sin( ; g) dxex x3)1( ; h) dxxx )21ln( .

Bài 6: Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số sau:

a) f(x) = xex

x .41

3 2 biết rằng F(0) = 1; b) f(x) = sin2x.cos3x + 3tan2x biết rằng F() = 0.

2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) y = (2tanx + cotx)2; b) y =2

cos2 x ; c) y = sinx 1cos2 x .

Bài 2: Tìm:

a) dxxx 12 2 ; b) dxxx 13 32 ; c) dx

x

x42 )93(

; d)

dx

xx

x

54

422

;

e) dxx

e x

2

tan

cos; f)

dx

e

ex

x

1; g) dx

xx ln

1; h) dxxex

42

2 .

Bài 3: Tìm:

a) dxex x2 ; b) dxxx )2cos(3 2 ; c) dxxx )2ln(3 ;

d) dxxx )3cos(2 ; e) xdxx ln ; f) dxx

x3

sin .

Bài 5: Tìm hàm số y = f(x), biết rằng

a) f'(x) = x - x

1+ 2 và f(1) = 2; b) f'(x) = 3(x + 2)2 và f(0) = 8.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



§2. TÍCH PHÂN I- KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN: 1. Diện tích hình thang cong: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.

baO

y = f(x)

x

y

B

A

Diện tích hình thang cong aABb: S = F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x).

Với hình phẳng D giới hạn bởi một đường cong kín bất kì ta có thể chia nhỏ thành những hình thang cong bằng cách kẻ những đường song song với các trục tọa độ.

2. Định nghĩa tích phân: Cho y = f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x),

kí hiệu là b

a

dxxf )( . Dùng kí hiệu b

axF )( để chỉ hiệu số F(b) - F(a), ta có:

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

(NewTon - Lebniz)

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a) 1

0

2dxx ....................................................................................................................................................................................

b) e

x

dx

1

= ....................................................................................................................................................................................

* Chú ý: i) Ta quy ước a

a

dxxf 0)( (a = b), b

a

a

b

dxxfdxxf )()( (a > b).

ii) Tích phân của hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, chỉ phụ thuộc vào hàm số

và các cận a, b nên ta có thể kí hiệu b

a

dxxf )( hoặc b

a

dttf )( .

iii) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b],

thì tích phân b

a

dxxf )( là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường

thẳng x = a, x = b. Vậy S = b

a

dxxf )( .

II- TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:



* Tính chất 1: b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()( (k là hằng số)

* Tính chất 2: b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf .)()()()(

Ví dụ: Tính tích phân sau:

2

0

2 )3( dxxx = ................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................

* Tính chất 3: b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()( (a < c < b)


a) I =

2

2

1dxx ; b) J = dxx 2

0

2cos1 .

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

III- PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN: 1. Phöông phaùp ñoåi bieán soá: Ñònh lí: Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn ba; . Giaû söû haøm soá x = )(t coù ñaïo haøm lieân

tuïc treân ñoaïn ; sao cho ( ,) a () = b vaø a bt )( , t ; ta

coù: b

a

dtttfdxxf

.)('))(()(

a) Ñoåi bieán soá daïng 1: Tính I = b

a

dxxf )( baèng caùch ñaët x = )(t

Ví duï: Tính tích phaân

1

0

21

1dx

x

Giải:

sinx x

--

-

-

-

O

y

x+

+

++

+



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

..................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

b) Ñoåi bieán soá daïng 2: Tính I = b

a

dxxf )( baèng caùch ñaët t = (x)

Ñaët t = (x) dt = '(x)dx Ñoåi caän: x = a t1 = (a) x = b t2 = (b) Bieán ñoåi f(x)dx = C.f[(x)].'(x)dx (vôùi C laø haèng soá)

Khi ñoù ta coù: I = 2

1

2

1

)(.)(')].([.)(t

t

t

t

b

a

dttfCdxxxfCdxxf


a) 2

0

2 cossin

xdxx ; b) dxxx

0

1

2 1 ; c) 1

0

2010)1(xx dx.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

2. Phöông phaùp tính tích phaân töøng phaàn: Ñònh lí: Neáu u = u(x) vaø v = v(x) laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân ñoaïn ba; thì :

b

a

b

a

b

adxxvxuxvxudxxvxu )()('))()(()(')( hay

b

a

b

a

b

avduuvudv .

* Chú ý: Tính I = b

a

dxxvxu )(')( . Đặt ......

......

vdxdv

dxduu, khi đó: I =

b

a

vdua

buv)( .

vi phân hai vế



nguyên hàm hai vế

Ví dụ 1: Tính các tích phân:

a) I = 2

1

5

lndx

x

x; b) J =

2

0

cos

xdxx ; c) K = 1

0

dxxex ; d) L = 2

0

sin

xdxex .

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 2: Tính tích phaân I = 1

0

5)1( dxxx bằng hai phương pháp đổi biến và tích phân từng phần.

Giải:

................................................................................................................... ...................................................................................................................



...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



Bài 1: Tính các tích phân sau:

a)

2

1

3

2 2dx

x

xx; b)

2

0

2)1( dxxx ; c) 1

0

2

3

)31( dxx ;

d) dxx

2

1

2

1

3 2)1( ; e)

2

1

0

2

3

1

1dx

x

x; f)

2ln

0

12 1dx

e

ex

x

;

g)

1

1)3)(2(

2dx

xx; h)

2

2

1 )1(

1dx

xx; i)

0

1

2 23xx

dx .


a) 2

0

)4

sin(

dxx ; b) dxxx

2

2

5cos3sin

; c)

2

2

7sin.2sin

xdxx ; d) 2

0

2sin

xdx .


a) dxx 2

0

1 ; b) dxxx 2

1

2 12 ; c) 3

0

2 2 dxxx ; d) dxxx 3

0

2 23 .

Bài 4: Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

a) dxx 2

1

2 ; b) dxxx 1

0

3 1 ; c) 1

0

22

xdxex ; d) dxxx

0

2cos2sin ;

e) dx

x

x

3

0 2

3

2

)1(

; f)

1

01

)1(dx

xe

xex

x

; g) dxx 1

0

21 .

Bài 5: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:

a) 2

0

sin)1(

xdxx ; b) e

xdxx1

2 ln ; c) 1

0

)1ln( dxx ; d)

1

0

2 )12( dxexx x .



2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Tính các tích phân sau:

a)

4

2

2)3

2( dx

x

x; b)

6

4

)43( dxxx ; c) 9

1

3 1 dxxx ;

d)

1

12 1

12dx

xx

x; e)

2

0sin41

cos

dxx

x; f)

2

1

510

9

44dx

xx

x.


a)

1

024 x

dx; b)

3

3

2 3x

dx; c)

0

1

2 22xx

dx; d)

2

022

)0(1

a

adxxa

.


a) 2

0

2 sin)32(

xdxxx ; b) dxxxe

1

22 ln ; c) 1

0

22 )1( dxex x ; d) 0

1

cos xdxx .


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



x

y

O b

)(1 xfy

)(2 xfy x

y

O a b

a

§2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I- TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1. Hình phẳng giới hạn giới hạn bởi một đường cong và trục hoành: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành (y = 0) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:

b

a

dxxfS )(

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2. Giải:

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

.................................................................................................................

2. Hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng cong: Cho hai haøm soá y = f1(x) vaø y = f2(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. Goïi D laø hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò hai haøm soá ñoù vaø caùc ñöôøng thaúng x = a, x = b. Khi ñoù dieän tích hình phaúng D laø:

b

a

dxxfxfS )()( 21

* Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm f1(x) = f2(x) có đúng hai nghiệm x1, x2 (a; b) với (x1 <

x2) thì 11

)]()([)()( 2121

x

a

x

a

dxxfxfdxxfxf . Khi đó:

dxxfxfdxxfxfdxxfxfdxxfxfSb

x

x

x

x

a

b

a 2

2

1

1

)]()([)]()([)]()([)()( 21212121

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x2 - 3x + 4 và y = x + 1.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

O

x

y

g x( ) = x + 1f x( ) = x2 3∙x + 4



................................................................................................................... ...................................................................................................................

Ví duï 2: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = x3 - x, y = x - x2, x = -1, x = 2. Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 3: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = sinx, y = cosx, x = 0, x = . Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

II- TÍNH THEÅ TÍCH: 1. Theå tích cuûa vaät theå: Caét vaät theå (T) bôûi hai maët phaúng (P) vaø (Q) vuoâng goùc truïc Ox laàn löôït taïi x = a, x = b. Moät maët phaúng tuøy yù vuoâng goùc vôùi Ox taïi x [a; b] caét (T) theo thieát dieän coù dieän tích laø S(x). Giaû söû S(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b]. Khi ñoù theå tích vaät theå (T) laø:

V = b

a

dxxS )(

2. Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B' và có chiều cao bằng h.

Khi đó thể tích khối chóp cụt là V = )''(3

BBBBh

.

III- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay là:

b

a

dxxfV 2)]([

g x( ) = x x2

f x( ) = x3 x

O x

y

y = cos(x)

y = sin(x)

4

O

x

y



Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = cosx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 2: Tính theå tích khoái troøn xoay do hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y = -x2 - 2x + 3, y = 0 quay quanh truïc Ox. Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 - x2, y = 0 và đường thẳng y = -x. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x4 + 2x2 + 3; b) y = x2 - 2, y = -3x + 2; c) y = x2 - 12x + 36, y = 6x - x2. Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x2, y = x + 2; b) y = lnx, y = 1; c) y = (x - 6)2, y = 6x - x2. Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy. Bài 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol y = x(4 - x) quay quanh trục hoành.

y = cos(x)

Ox

y

2O x

y



Bài 6: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:

a) y = -x2 + 1, y = 0; b) y = sin2

x, y = 0, x = 0, x =

4

; c) y = lnx, y = 0, x = e.

Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

a) y = 1 - x2, y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = 4

; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x =

4

.


Bài 1: Parapol y = 2

2xchia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 2 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích

của chúng. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2, x - y + 2 = 0, y = 0. Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi y = 2x - x2, y = x, quanh trục Ox.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



* ÔÂN TẬP CHƯƠNG III *

.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x); b) f(x) = sin4xcos22x;



c) f(x) = 21

1

x; d) f(x) = (ex - 1)3.

Bài 2: Tính

a) xdxx sin)2( ; b)

dxx

x 2)1(; c)

dx

e

ex

x

1

13

;

d) dx

xx 2)cos(sin

1; e)

dx

xx1

1; f)

dxxx )2)(1(

1.

Bài 3: Tính:

a)

3

0 1dx

x

x; b)

64

13

1dx

x

x; c)

2

0

32 dxex x ; d)

0

2sin1 dxx .

Bài 4: Tính:

a) 2

0

2sin2cos

xdxx ; b)

1

1

22 dxxx ; c) dxx

xxx

2

1

2

)3)(2)(1(;

d)

2

0

2 32

1dx

xx; e)

2

0

2)cos(sin

dxxx ; f)

0

2)sin( dxxx .


Bài 1: Xét hình phẳng D giới hạn bởi y = 2 21 x và y = 2(1 - x). a) Tính diện tích hình D; b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tại thành. Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C): y = x2 + 1, trục tung và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục Ox.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC ----- oOo -----

§1. SỐ PHỨC

1. Số i:

Phương trình x2 + 1 = 0 có một nghiệm là một số được kí hiệu là "i" với i2 = -1

2. Định nghĩa số phức:

Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b R, i 2 = -1 được gọi là một số phức. Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z. Tập hợp các số phức kí hiệu là C (Complex). * Chú ý: Số thực a = a + 0i. Mỗi số thực a cũng là một số phức và R C. Số thuần ảo: bi = 0 + bi i = 0 + 1i (số i được gọi là đơn vị ảo)

Số phức 1 + (-3)i có thể viết 1 - 3i, số phức 1 + 3 i còn có thể viết 1 + i 3 .

3. Số phức bằng nhau: Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

a + bi = c + di a = c và b = d

Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i bằng nhau. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

4. Bieåu dieãn hình hoïc soá phöùc: Ñieåm M(a; b) trong moät heä toïa ñoä vuoâng goùc cuûa maët phaúng ñöôïc goïi laø ñieåm bieåu dieãn soá phöùc z = a + bi. Ví duï 1: Bieåu dieãn hình hoïc cuûa caùc soá phöùc: 3 + 2i, 2 - i, -2 - 3i, 3i, 4. Giaûi: ......................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

Ví duï 2: Treân maët phaúng toïa ñoä, tìm taäp hôïp ñieåm bieåu dieãn cuûa soá phöùc z thoûa maõn ñieàu kieän phaàn aûo baèng -5 vaø phaàn thöïc thuoäc khoaûng (-4; 4). Giaûi: ......................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

y

xO 1 2 3 4 5

6

-1

-2

-3

-4-5

-6

-5

-4

-3 -2 -1

5

4

3

2

1

5. Môđun của số phức:

z = a + bi



Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm

M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài của vectơ OM

được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z .Vậy:

OMbiaz = 22 ba

Mb

a

x

y

O

6. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a - bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z = a - bi. Ví dụ: Số phức liên hợp của z = -3 + 2i là: ......................................................

Số phức liên hợp của z = 4 - 3i là: ....................................................... * Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z đối

xứng nhau qua trục Ox, và zzzz , . z = a - bi

z = a + bi

-bM'

Mb

ax

y

O

Ghi chú:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:

a) z = 1 - i; b) z = 2 - i; c) z = 22 ; d) z = -7i.



Bài 2: Tìm các số thực x và y, biết:

a) (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i; b) (1 - 2x) - 3i = 5 + (1 - 3y)i; c) (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i. Bài 3: Tính z với:

a) z = -2 + i 3 ; b) z = 2 - 3i; c) z = -5; d) z = i 3 .

Bài 4: Tìm z , biết:

a) z = 1 - 2i ; b) z = - 2 + 3i ; c) z = 5; d) z = 7i.

Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực của z bằng -2; b) Phần ảo của z bằng 3; c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2); d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2]. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) z = 1; b) z 1; c) 1 < z 2; d) z = 1 và phần ảo của z bằng 1.

Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức 3z .

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa 2z i .


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



§2. CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC 1. Phép cộng và phép trừ hai số phức: Phép cộng và phép trừ số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.

Ví dụ: Cho 2 số phức z1 = 2 + 5i; z2 = -2i. Tính z1 + z2, z1- z2. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

2. Pheùp nhaân hai soá phöùc: Pheùp nhaân hai soá phöùc ñöôïc thöïc hieän theo quy taéc nhaân ña thöùc roài thay i2 = -1 trong keát quaû nhaän ñöôïc.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i.

* Chuù yù: Pheùp coäng vaø pheùp nhaân caùc soá phöùc coù taát caû caùc tính chaát cuûa pheùp coäng vaø pheùp nhaân caùc soá thöïc. Ví duï: Cho caùc soá phöùc z = 1 - 2i, z1 = -2 + 3i. Thöïc hieän caùc pheùp tính: a) z.z1; b) z2; c) z3 - 3z1. Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................



...................................................................................................................................................................................................................................................................


Bài 1: Thực hiện các phép tính sau: a) (2 - 3i) + (-4 + i); b) 4i - (-7 + 3i); c) (2 - 3i)(5 + 7i); d) (3 - 5i) + (2 + 4i); e) (-2 - 3i) + (-1 - 7i); f) (4 + 3i) - (5 - 7i). Bài 2: Tính + , - với: a) = 3, = 2i; b) = 5i, = -7i; c) = 1- 2i, = 6i; d) = 15, = 4 - 2i. Bài 3: Thực hiện các phép tính sau: a) (3 - 2i)(2 - 3i); b) (-1 + i)(3 + 7i); c) 5(4 + 3i); d) (-2 - 5i).4i. Bài 4: Tính: a) (2 + 3i)2; b) (2 + 3i)3; c) (1 - 3i)3.

Bài 5: Tính i3, i4, i5. Nêu cách tính in với n là một số tự nhiên tùy ý. 2. Bài tập nâng cao:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức Q = (2 + 5 i)2 + (2 - 5 i)2. Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i); b) z = i(2 – i)(3 + i); c) z = (5 + 2i) + (3 – i) + (1 + 2i);

d) z = (1 + i)2 – (1 – i)2; e) z = 13122 ii ; f) z = (2 + i)3 – (3 – i)3.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



§3. PHÉP CHIA SỐ PHỨC 1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp:

Cho số phức z = a + bi thì zz = 2a và zz. = 222 zba .

Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó. Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.

2. Phép chia hai số phức:

Cho số phức c + di và a + bi. Ta có idc

bcad

dc

bdac

dic

biaz

2222

.

* Chú ý: Để tính bia

dic

, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu (a + bi).

Ví dụ 1: Thực hiện các phép chia sau:

a) i

i

32

1

; b)

i

i

5

36.

Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 2: Giaûi phöông trình (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z. Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................


Bài 1: Thực hiện các phép chia:



a) i

i

23

2

; b)

32

21

i

i

; c)

i

i

32

5

; d)

i

i25.

Bài 2: Tìm nghịch đảo z

1của số phức z, biết:

a) z = 1 + 2i; b) z = 2 - 3i; c) z = i; d) z = 5 + 3i . Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:

a) 2i(3 + i)(2 + 4i); b)i

ii

2

)2()1( 32

;

c) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i); d) 4 - 3i + i

i

63

45

.

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) (3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) iii

z25)32(

34

.

2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :

a) i

iiz

243

; b) z = 7 - 2i - (3 - 2i)2; c) z =

i

i

2

7+ 5 - 4i;

d) z = i

i

i

i

23

51

1

37

; e)

i

i

i

i

2

1

3;

Bài 2: Cho 2 3z i . Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức 5

7

z

iz.

Bài 3: Giải phương trình i

izi

i

2

31

1

2.


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



§4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 1. Căn bậc hai của số thực âm:

Số thực a (a < 0) có hai căn bậc hai là i a .

Ví dụ: số -2 có hai căn bậc hai là i 2 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực:

Giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (*) (a, b, c R, a 0) Tính: = b2 - 4ac (' = b'2 - ac)

Nếu > 0 thì (*) có 2 nghiệm thực x1,2 = a

b

2

.

Nếu = 0 thì (*) có 1 nghiệm thực x = a

b

2 .

Nếu < 0 thì (*) có 2 nghiệm phức x1,2 = a

ib

2

.

* Chú ý: Mọi phương trình bậc n (n 1) đều có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - x + 5 = 0 trên tập số phức. Giải:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

Ví duï 2: Giaûi phöông trình z4 + z2 - 6 = 0 treân taäp soá phöùc. Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

3. Ñònh lí Vieøte ñoái phöông trình baäc hai nghieäm phöùc: a) Cho z1, z2 laø hai nghieäm phöùc cuûa phöông trình az2 + bz + c = 0 (a, b, c R, a 0). Haõy tính z1 + z2 vaø z1.z2 theo a, b, c. b) Cho z = a + bi laø moät soá phöùc. Haõy tìm moät phöông trình baäc hai vôùi heä soá thöïc nhaän z vaø z laøm nghieäm. c) Cho hai soá phöùc z1, z2. Bieát raèng z1 + z2 vaø z1.z2 laø hai soá thöïc. Chöùng toû raèng z1, z2 laø hai nghieäm cuûa moät phöông trình baäc hai vôùi heä soá thöïc. Giaûi:

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................

...................................................................................................................



Ghi chuù:

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121. Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) -3z2 + 2z - 1 = 0; b) 7z2 + 3z + 2 = 0; c) 5z2 - 7z + 11 = 0. Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x2 + x + 1 = 0; b) 3x2 - x + 2 = 0; c) 023223 2 xx . Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) z4 + z2 - 6 = 0; b) z4

+ 7z2 + 10 = 0. Bài 5: Cho phương trình: x2 - 3x + 5 = 0. Gọi z và z' là nghiệm của phương trình đã cho. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau: a) z + z'; b) z2z' + zz'2.

2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải các phương trình sau trên C:

a) 01.32 xx ; b) 02.32.23 2 xx ; c) 23 2 2 3 2 0x x . Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 3 8 0z ; b) 083 x ; c) z3 – 1 = 0; d) 3 22 10 0z z z .


.............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................



* ÔÂN TẬP CHƯƠNG IV * TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG IV:



1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình sau đây?

c)b)a)

x

210-1-2x

y

-1

0

2

yy

x10

Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực của z bằng 1; b) Phần ảo của z bằng -2; c) Phần thực của z thuộc [-1; 2], phần ảo thuộc [0; 1]; d) z 2. Bài 3: Tìm các số thực x, y sao cho: a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 - x)i; b) 2x + y - 1 = (x + 2y - 5)i. Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)]; b) (4 - 3i) + i

i

2

1;

c) (1 + i)2 - (1 - i)2; d) i

i

i

i

2

34

2

3.

Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) (3 + 4i)z + (1 - 3i) = 2 + 5i; b) (4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz. Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 3z2 + 7z + 8 = 0; b) z4 - 8 = 0; c) z4 - 1 = 0. Bài 7: Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.


Bài 1: Tìm các số thực a, b để iz 31 là một nghiệm của phương trình z4 + bz2 + c = 0. Bài 2: Tìm các số phức z sao cho tích z(2 - 3i)(2 + i)(3 - 2i) là một số thực. Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (1 - i)2009. Bài 4: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - 3. Tính f(1 - 3i). Bài 5: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - 3. Chứng minh rằng f(1 + i) + f(1 - i) R. Bài 6: Tính z6 biết 3z - z = -4 + 8i.

Bài 7: Chứng minh rằng iz2

3

2

1 là một nghiệm của phương trình z3 = 1.

Bài 8: Tìm các nghiệm phức của phương trình 9z4 - 24z3 - 2z2 - 24z + 9 = 0. Bài 9: a) Tìm các số thực a, b để có phân tích 2z3 - 9z2 + 14z - 5 = (2z - 1)(z2 + az + b) rồi giải phương trình 2z3 - 9z2 + 14z - 5 = 0 trên C. b) Tìm các số thực a, b để có phân tích z4 - 4z2 - 16z - 16 = (z2 - 2z - 4)(z2 + az + b) rồi giải phương trình z4 - 4z2 - 16z - 16 = 0 trên C. Bài 10: Giải các hệ phương trình sau:

a)

izz

izz

25

422

21

21 ; b)

izz

izz

25

5522

21

21 ; c)

iizz

iziz

41624

64)2(2

21

21 .

Documents

Tai Lieu tu hoc mon Toan Giai tich lop 12