CHUYÊN 1: GI I H N – LIÊN T C – O HÀM · PDF fileNguy n Thanh D ng – THPT Ngô Gia T Web :http :// 3 Bài 9: Tính các gi i

Nguy�n Thanh D�ng – THPT Ngô Gia T� Web:http://www.violet.vn/thanhdung_toan

1

CHUYÊN �� 1: GI�I H�N – LIÊN T�C – ��O HÀM

V�n �� 1: GI�I H�N CA HÀM S

C�N NH�: �� tính gi�i h�n c�a hàm s� ta c�n nh� m�t s� công thc sau

1lim 0( 0)

nxn

x→±∞= >

0 0

sinlim lim 1

sinx x

x x

x x→ →= = �

( ) 0 ( ) 0

sin ( ) ( )lim lim 1

( ) sin ( )u x u x

u x u x

u x u x→ →= =

11( )

0 ( ) 0lim(1 ) lim (1 ( ))u xx

x u xx e u x e

→ →+ = � + =

1

( )

( )

1 1lim 1 lim 1

( )

xu x

x u xe e

x u x→∞ →∞

� �� + = � + =� ��

� � � �

0 0

1lim lim 1

1

x

xx x

e x

x e→ →

−= =

− �

( )

( )( ) 0 ( ) 0

1 ( )lim lim 1

( ) 1

u x

u xu x u x

e u x

u x e→ →

−= =

−

0 0

ln(1 )lim lim 1

ln(1 )x x

x x

x x→ →

+= =

+ �

( ) 0 ( ) 0

ln(1 ( )) ( )lim lim 1

( ) ln(1 ( ))u x u x

u x u x

u x u x→ →

+= =

+

Các hng ��ng thc �áng nh�

BÀI T�P

Bài 1: Tính các gi�i h�n sau

a) 2

23

5 6lim

8 15x

x x

x x→

− +

− + b)

100

501

2 1lim

2 1x

x x

x x→

− +

− + c)

1

1lim

1

m

nx

x

x→

−

−


a) 2

0

1 1limx

x

x→

+ − b)

3 3

1

2lim

1x

x x

x→

− −

− c)

3 23

21

2 1lim

1x

x x x

x→

− + − +

−


2


a) 3

21

7 3lim

3 2x

x x

x x→

+ − +

− + b)

3

0

2 1 8limx

x x

x→

+ − − c)

54

1

2 1 2lim

1x

x x

x→

− + −

−

d) 33 2 2

30

3 4 6 13 8limx

x x x x x

x→

+ + + − + +


a) 3 2

4 3 2

2 3 4 1lim

5 7 9x

x x x

x x x x→∞

− + −

− + + − b)

5 3

5 3 2

4 4 1lim

5 6 9x

x x x

x x x x→∞

− + −

+ + + − c)

7 3

3 3 2

4 1lim

5 4 9x

x x x

x x x x→∞

− − + −

+ + + −

d) 3 4

lim2 1x

x x x

x→+∞

+ +

+ e)

2

3 5 3

1lim

8 1x

x x

x x→∞

+ +

+ +


a) ( )limx

x x x→+∞

+ − b) ( )2limx

x x x→∞

+ − c) ( )3 2 3lim 3x

x x x→∞

+ −

d) 3

1 3lim

1 1x x x→∞

� �−� �

− −� �


a) 20

1 coslimx

ax

x→

− b)

0

1 cos sinlim

1 cos sinx

ax ax

bx bx→

− +

− + c)

( )( )0

sin sin sinlimx

x

x→

d) ( )0

cos cos2

limsin tanx

x

x

π

→

� �� e)

30

tan sinlimx

x x

x→

− f)

0

1 coslim

1 cosx

x

x→

−

−


a) 4 3

1lim

2

x

x

x

x

−

→+∞

+� ��

+� � b) ( )

2cot2

0lim 1

an x

xx

→+ c)

1

sin

0

1 tanlim

1 sin

x

x

x

x→

+� ��

+� �

d)

22

2

3lim

2

x

x

x

x→∞

� �+� �

−� �


a) 2

0lim

x bx

x

e e

x→

− b)

sin2 sin

0lim

sin

x x

x

e e

x→

− c)

23 2

20

cos 1lim

x

x

e x

x→

−


3


a) ( )( )0

ln cos3lim

ln cos 4x

x

x→ b)

0

ln tan4

limsìnx

x

x

π

→

� � �+� � �

� �� c) ( )

2 32 2

20

1lim

ln 1

x

x

e x

x

−

→

− +

+

Bài 10: Tính lim ( )ox x

f x→

bi�t

a)

2

2

3 2, 1

1( ) , 1

, 12

o

x xx

xf x x

xx

� − +>�� −= =�

�− <��

b)

3

3, 0

2( ) , 0

1 1, 0

1 1

o

x

f x xx

xx

�≤��

= =�+ −� >

� + −�

Bài 11: Tìm a �� 1

lim ( )x

f x→

t�n t�i, v�i

3 1, 1

( ) 12, 1

xx

f x x

ax x

� −<�

= −�� + >�

V�n �� 2: TÍNH LIÊN T�C CA HÀM S

C�N NH�: Trong ph�n này ta ph i nh� các ki�n thc c� b n sau

(i) Cho hàm ( )y f x= xác ��nh trên t�p D, ox D∈ . Khi �ó.

f liên t�c t�i ox

lim ( )

lim ( ) ( )o

o

x x

ox x

f x

f x f x

→

→

∃��

⇔ �=��

f liên t�c trên D ⇔ f liên t�c t�i m�i x D∈

(ii) Các hàm s� c�p c� b n liên t�c trên t�p xác ��nh c�a nó.

(iii) T�ng, hi�u, tích, th��ng các hàm liên t�c là liên t�c trên t�p xác ��nh


4

BÀI T�P

Bài 1: Xét tính liên t�c c�a hàm s sau t�i �i�m �ã cho

a) 1 2 3

, 2( ) , 22

1, 2o

xx

f x xx

x

� − −≠�

= =� −� =�

b) sin

, 1( ) , 11

, 1o

xx

f x xx

x

π

π

�≠�

= =−��− =�

c)

sin, 0

( ) , 0

1, 0o

xx

xf x x

x

�≠�

= =�� =�

d)

32 1, 1

( ) , 114 9, 1

o

x xx

f x xx

x x

� − +< −�

= = −+�� + ≥ −�

Bài 2: Xét tính liên t�c c�a hàm s sau

a) 1

sin , 0( )

1, 0

x xf x x

x

�≠�

= �� =�

b)

24, 2

( ) 2 22 20, 2

xx

f x x

x x

� −>�

= + −�� − ≤�

Bài 3: Tìm a �� hàm sau liên t�c trên tp xác ��nh

a)

3 22 9 2 9, 3( ) 2 6

, 3

x xx

f x x

a x

� + + −� ≠

= � −� =�

b)

3 3 2 2, 2

2( )1

, 24

xx

xf x

ax x

� + −>�� −= �

� + ≤��

Bài 4: Cho hàm 1

( ) cosf x xx

= . Tìm (0)f �� hàm s liên t�c v�i m�i x

Bài 5: Tìm các �i�m gián �o�n c�a các hàm sau

a) ( )sin

xf x

x= b) 2

2 2, 1

( ) 3 22, 1

xx

f x x x

x

−�≠�

= − +��− =�

c) 3

1, 1( ) 1

, 13

x x

f xx

x x

+ ≤��

= �>� −�

CHÚ Ý: Hàm f(x) liên t�c trên �o�n [a;b] và f(a)f(b) < 0 thì ph��ng trình f(x) = 0 luôn có nghi�m

thu�c kho ng (a;b).

Bài 5: Ch ng minh các ph��ng trình sau luôn có nghi�m

a) cos cos 2 0x m x+ = b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a x b x c b x a x c c x a x b− − + − − + − − =

Bài 6: Ch ng minh ph��ng trình 3 3 1 0x x− + = luôn có ba nghi�m phân bi�t

Bài 7: Cho f là hàm liên t�c trên �o�n [a;b] và có mi�n giá tr� c�ng là [a;b]. Ch ng minh ph��ng trình f(x)= x có nghi�m trong �o�n [a;b]


5

Bài 8: Ch ng minh ph��ng trình 4 3 0x x− − = có nghi�m (1;2)ox ∈ và 7 12o

x >

Bài 9: Cho f là hàm liên t�c trên �o�n [a;b] và ,α β là hai s d��ng b�t k�. Ch ng minh r�ng

ph��ng trình ( ) ( )

( )f a f b

f xα β

α β

+=

+ luôn có nghi�m trong �o�n [a;b].

CHÚ Ý: Hàm f(x) liên t�c trên �o�n [a;b] và f(x) không tri�t tiêu trên [a;b] thì f(x) có m�t d�u nh�t

��nh trên (a;b).

Bài 10: Xét d�u các bi�u th c sau

a) 3 2( ) 2 2f x x x x= + − − b) 2( ) 1 2 5f x x x x= − + − +

c) ( ) (2sin 1)( 2 2cos )f x x x= − + d) 2( ) 4 2f x x x= − −

V�n �� 3: ��O HÀM CA HÀM S

C�N NH�: � ph�n này ph i Thu�c lòng các qui t�c tính ��o hàm, ��o hàm c�a hàm h�p và b ng

��o hàm các hàm s� c�p c� b n.

BÀI T�P

Bài 1: Tính ��o hàm các hàm sau

a) y = 3x4 – 2x2 + x – 1 b) 3 223 3

3y x x x= + − + c)

2 3

1 1y

x x= −

d) 2

3y x x= e)

25y x

x= +


a) y = (x3 + 2)(x + 1) b) 2 1

2 3

x xy

x

+ +=

− c)

4

3 5

xy

x

−=

+ d)

3

1

xy

x=

−


a) 2 6( 1)y x= − b) y = x(x + 2)4 c)2

1

1y

x=

+ d)

3 1

xy

x=

+


6


a) 1

xy

x=

+ b) 2 6 7y x x= + + c) 2 4y x x= + + −

d) 2( 1) 1y x x x= + + + e) 2 3

2 1

x xy

x

+ +=

+ f) 3 3 3 2y x x= − +

g) 6y x x= − h) 2 2 2( 1) 4y x x= − + + i) 2x x

yx

− +=


a) y = sinx – cosx b) y = xsinx c) y = sin3x d) y = 1 cos

x

x−

e) y = 3sin2x – sinx f) 5cosy x= g) 3cos cosy x x= −

h) 2 33sin siny x x= − i) cos siny x x x= − k) 2cos siny x x=


a) 41tan

4y x= b)

1 sin

1 sin

xy

x

+=

− c)

sin cos

sin cos

x xy

x x

−=

+ d) 31

tan tan3

y x x x= − +


a) sin(2 )4

y xπ

= + b) y = sin3x +cos2x c) y =sin33x d) y = cos5(2x2+x+1)

e) 3sin 4y x= f) 4cos 23

y xπ� �

= −� ��

g) t an5y x=

h) 21 cos2

xy = + i)

2

2

2

1 tan2

xtan

yx

� ��

= � �� −� �

CHÚ Ý: ( )x xe e

′ = . T�ng quát ( ) lnx xa a a

′ =


a) 2 xy x e= b)

xe

yx

= c) (sin cos )xy e x x= − d) sin x

y e= e) xy e=

f) x x

x x

e ey

e e

−

−

−=

+ g) 2 3x x

y = + h) 2sin sin2 3

xx e x

y−= −


7

CHÚ Ý: ( ) ( )1

ln lnx xx

′′ = = . T�ng quát ( ) ( )1

log loglna ax x

x a

′′ = =


a) lny x x= b) ln x

yx

= c) 2ln( 1)y x= + d) ln siny x=

e) 3ln 2 1y x= + f) ( )2ln 1y x x= + + g) 1

ln1

xy

x

−� �= � �

+� �

h) 2log (2 1)y x= + i) 2

2 23

log (3 1)log ( 1)

xy x

x

−= + +


a) sin

2lncos

2

x a

yx a

−

=+

b) sin

2lncos

2

x a

yx a

+

=−

c) 2

2

2 1ln

2 1

x xy

x x

� �− += � �� + +� �

Bài 11: Cho hàm ax b

ycx d

+=

+ ch ng minh r�ng

2'

( )

ad bcy

cx d

−=

+. Áp d�ng tính ��o hàm c�a:

a) 3

5 4

xy

x

+=

+ b)

3 1

1

xy

x

+=

−

Bài 12: Cho hàm 2ax bx c

ymx n

+ +=

+ ch ng minh r�ng

2

2

2 ( )'

( )

amx anx bn mcy

mx n

+ + −=

+. Áp d�ng tính

��o hàm c�a:

a) 2 3 3

1

x xy

x

− +=

− b)

2

1

xy

x=

+ c)

22 2

1

x xy

x

+ +=

−

CHÚ Ý: (i) [ ] [ ] [ ]( )

( ) ln ( ) ln ( ) ln ( ) ln ( )v x

y u x y v x u x y v x u x′ ′= � = � = [ ]( ) ln ( )y y v x u x ′′⇔ =

(ii) ( )

ln ( ) ln ( )log ( )

ln ( ) ln ( )u x

v x v xy v x y y

u x u x

′� ′= � = � = �

�

Bài 13: Tính các ��o hàm c�a hàm s sau

a) ( )2 2xe

y x= + b) ( )cos

sinx

y x= c) ( )2

21x

y x= +

d) 4 7 9

5 11

( 5) ( 9) ( 11)

( 6) ( 8)

x x xy

x x

+ + +=

− − e) 2 1

2 3log

1x

xy

x+

−=

− f) 2cos

log (sin cos )x

y x x= +


8

CHÚ Ý: (i) 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim lim

o

o o oo

x x x xo

f x x f x f x f xyf x

x x x x∆ → ∆ → →

+ ∆ − −∆′ = = =

∆ ∆ −

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim lim

o

o o oo

x x x xo


x x x x+ + ++∆ → ∆ → →

+ ∆ − −∆′ = = =

∆ ∆ −

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim lim

o

o o oo

x x x xo


x x x x− − −−∆ → ∆ → →

+ ∆ − −∆′ = = =

∆ ∆ −

( ), ( )

( )( ) ( )

o o

o

o o

f x f xf x

f x f x

+ −

+ −

′ ′∃ ∃�′∃ ⇔ �

′ ′=�

(ii) Kh vi �Liên t�c; Liên t�c � Kh vi

Bài 14: Xét tính liên t�c và s� t�n t�i ��o hàm c�a hàm f(x) t�i ox bi�t:

a) ( ) , 0o

f x x x= = b) 2

( ) , 01 o

xf x x

x= =

+

c)

2ln( 1), 0

( ) , 0

0, 0o

xx

f x xx

x

� +≠�

= =�� =�

d) ln 2 , 0

( ) , 00, 0

o

x x x xf x x

x

� − ≠�= =�

=��

Bài 15: Cho hàm

1*, 0( )

, 0

nxxe x nf x

x x

−�� > ∧ ∈= �� =�

� .

a) Ch ng minh f liên t�c trên [0; )+∞

b) Xét tính kh� vi c�a hàm f t�i 0ox =

Bài 16: Tìm a �� t�n t�i ( )of x′ bi�t:

a) 2 1, 1

( ) , 12, 1

o

x xf x x

ax a x

� + ≤= =�

− + >� b)

2

( 1) , 0( ) , 0

1, 0

x

o

x e xf x x

x ax x

−� + >�= =�

− − + ≤��

Bài 17: Cho hàm 2 1sin , 0

( )0, 0

x xf x x

x

�≠�

= �� =�

a) Tính ( )f x′

b) Ch ng minh ( )f x′ không liên t�c t�i x = 0


9

CHÚ Ý: ( )( ) ( 1) *,n nf f n

− ′= ∈�

Bài 18: Cho hàm 3

4

xy

x

−=

+, ch ng minh r�ng 2(y’)2 = (y – 1)y’’

Bài 19: Cho hàm 22y x x= − , ch ng minh r�ng y3.y’’ + 1 = 0

Bài 20: Tìm ��o hàm c�p n( 2n ≥ ) c�a hàm sau:

a) 1y x−= b) axy e= c) siny x= d) cosy ax=

Bài 21: Tìm ��o hàm c�p n c�a hàm 1 1

( ) ; ( )1 1

f x g xx x

= =+ −

. T� �ó suy ra ��o hàm c�p n c�a

hàm 2

2( )

1

xh x

x=

−

Bài 22: Tìm ��o hàm c�p n( 2n ≥ ) c�a hàm 2

1

xy

x=

−.

CHÚ Ý: N�u ( ) 0,f x x D′ = ∀ ∈ thì f là hàm hng trên D

Bài 23: Ch ng minh r�ng 2 2 22 2 2cos cos cos ,

3 3 3x x x x

π π� � � �+ + + − = ∀ ∈� � � �

� � � ��

Bài 24: Ch ng minh r�ng n�u sin cos 1,n nx x x+ = ∀ ∈� thì 2n =

CHÚ Ý: (i) Cho ��ng th�ng (d). G�i ϕ là góc h�p b�i chi�u d��ng c�a tr�c Ox v�i (d). Khi �ó,

ta ��nh ngh�a h� s� góc c�a (d) là tank ϕ=

(ii) N�u hàm ( ) : ( )y f x C= có ��o hàm t�i �i�m ox thì h� s� góc c�a ti�p tuy�n v�i (C) t�i

ti�p �i�m ( ; )o o oM x y là ( )of x′ . Do �ó, ph��ng trình ti�p tuy�n v�i (C) t�i ti�p �i�m ( ; )o o oM x y là

( )( )o o oy y f x x x′− = −

Bài 25: Cho hàm s 3( ) 3 1 ( )y f x x x C= = − + . Lp ph��ng trình ti�p tuy�n v�i (C) bi�t

a) Hoành �� ti�p �i�m 3ox =

b) Ti�p tuy�n song song v�i ��ng th�ng ( ) : 9 2010d y x= +

c) Ti�p tuy�n vuông góc v�i ��ng th�ng ( ) : 9 2010 0d x y′ + + =

d) Ti�p tuy�n �i qua �i�m 2

( ; 1)3

A −


10

Bài 26: Cho 2( ) : 2 3C y x x= − + . Lp ph��ng trình ti�p tuy�n v�i (C)

a) T�i �i�m có tung �� 1oy =

b) Song song v�i ��ng th�ng ( ) : 4 2 5 0d x y− + =

c) Vuông góc v�i phân giác góc ph�n t� th nh�t c�a góc h�p b�i các tr�c t�a ��

Bài 27: Lp ph��ng trình ti�p tuy�n v�i 4 3

( ) :1

xH y

x

−=

− bi�t ti�p tuy�n h�p v�i tr�c hoành m�t

góc 45o .

Bài 28: Cho ( ) : lnC y x x= − . Tìm trên (C) nh�ng �i�m mà t�i �ó ti�p tuy�n v�i (C) cùng ph��ng v�i tr�c hoành.

Bài 29: Cho 3

2( ) : 2 3 23

xC y x x= − + + . Tìm m �� (C) có ti�p tuy�n v�i h� s góc m.

Bài 30: Ch ng minh r�ng trên 2 2

( ) :1

x xH y

x

+ −=

+ không có �i�m nào mà t�i �ó ti�p tuy�n song

song v�i ��ng th�ng ( ) : 3 5d y x= − +

Bài 31: Tìm m �� th� 3 2( ) : 2C y x x= + − có ít ra m�t ti�p tuy�n vuông góc v�i ��ng th�ng ( ) : 2010 0( 0)d x my m+ + = ≠ .


11

CHUYÊN �� 2: KH O SÁT S� BI�N THIÊN VÀ V� �� TH� CA HÀM S

V�n �� 1: S� bi�n thiên - c�c tr� - giá tr� l�n nh�t, nh� nh�t c�a hàm s�

C�N NH�: �� xét s� bi�n thiên c�a hàm s� ( )y f x= ta th�c hi�n các b��c sau:

B��c 1: Tìm t�p xác ��nh D c�a hàm s�

B��c 2: Tìm �i�m t�i h�n c�a hàm s�

(+) Gi i ph��ng trình 0 ( )y x D′ = ∈

(+) Tìm nh ng �i�m thu�c D mà t�i �ó y′ không xác ��nh

B��c 3: L�p b ng xét d�u y′ t! �ó ��a ra k�t lu�n

Chú ý: (i) 0y′ ≥ thì hàm �"ng bi�n; 0y′ ≤ thì hàm ngh�ch bi�n

(ii) D�u c�a tam thc: “trong trái ngoài cùng”; D�u c�a nh� thc: “ph�i cùng trái khác”

BÀI T�P

Bài 1: Tìm các kho�ng ��n �i�u c�a các hàm s sau:

1) 2 2 1y x x= − + + 2) 3 23 3 5y x x x= − + + 3) 3 26 1y x x= − + +

4) 4 3 21 13

4 2y x x x x= + − − 5)

3

4y x= 6) 4 3 233 1

4y x x x= + − + 7)

3 2

1

xy

x

−=

−

8) 1

1

xy

x

+=

− 9)

2

2

1

1

x xy

x x

− +=

+ + 10)

2 3 3

1

x xy

x

+ +=

+ 11)

2( 2)

1

xy

x

−=

−

12) 3

24

xy

x=

− 13)

4 2

2

2 3x xy

x

+ −= 14)

21

1y x

x= − +

+

15) 2

sin cos, [ ; ]

cos

x xy x

xπ π

−= ∈ −


12

C�N NH�: �� tìm c�c tr� c�a hàm s� ( )y f x= ta làm nh� sau:

B��c 1: Tìm t�p xác ��nh D

B��c 2: L�p b ng xét d�u y′ t! �ó �ó ��a ra k�t lu�n

Bài 2: Tìm c�c tr� c�a các hàm sau:

1) 3 22 3 12 5y x x x= + − − 2) 2 42y x x= − 3) 2 2 2

1

x xy

x

− +=

−

4) 2 16y x

x= − 5)

2

3 1

xy

x=

+ 6)

3

2 1

xy

x=

− 7) 23 6y x x= + +

8) 3 3 3 2y x x= − − 9) 22 1y x x= + + 10) 28y x x= + − 11) 4y x x= −

12) ln

xy

x= 13) x

y xe= 14) xy x e= − 15) lny x x= − 16)

ln xy

x=

17) 2 4 3y x x= − +

C�N NH�: Cách khác tìm c�c tr� tr� c�a hàm s� ( )y f x=


B��c 2: Gi i ph��ng trình 0 ( )y x D′ = ∈ . Gi s# ox là nghi�m

B��c 3: Tính ( )oy x′′ , n�u: (+) ( ) 0oy x′′ > thì ox là �i�m c�c ti�u

(+) ( ) 0oy x′′ < thì ox là �i�m c�c ��i

Bài 3: Cho hàm sinxy e x=

a) Tìm c�c tr� c�a hàm s trên �o�n [0;2 ]π

b) Tìm c�c tr� c�a hàm s trên tp xác ��nh

Bài 4: Tìm c�c tr� c�a hàm sau

a) 2sin 3 cos , [0; ]y x x x π= − ∈ b) 2sin cos 2 , [0; ]y x x x π= + ∈

C�N NH�: �� tìm GTLN, GTNN c�a hàm f(x) trên t�p D, ta làm nh� sau:

B��c 1: L�p b ng bi�n thiên c�a hàm f trên D

B��c 2: T! b ng xét d�u k�t lu�n


13

Bài 5: Tìm GTLN, GTNN c�a các hàm sau:

a) 2( ) 1 4f x x x= + − b) 4

3 3( ) 1

4

xf x x= + − c) 4

2

2( )f x x

x= +

d) 2 4 4

( ) ( 0)x x

f x xx

+ += > e)

2

2

3( 1)( )

2 2

xf x

x x

+=

+ + f)

2

8 3( )

1

xf x

x x

−=

− +

g) 2

4 2

1( )

1

xf x

x x

−=

− + h)

2 1( )

x xf x

x

+ += i) 3 21

( ) 2 4 103

f x x x x= − + −

Chú ý: N�u tìm GTLN, GTNN c�a hàm f(x) trên �o�n [a;b] thì ta làm ��n gi n h�n:

B��c 1: Tính ( )f x′ và gi i ph��ng trình ( ) 0 ( [ ; ])f x x a b′ = ∈ . Gi s# ox là nghi�m

B��c 2: Tính ( ), ( ), ( )of a f b f x r"i so sánh các giá tr� này. T! �ó k�t lu�n


a) 3 2( ) 6 9 , [0;4]f x x x x x= − + ∈ b) 4 2( ) 2 5, [ 2;3]f x x x x= − + ∈ −

c) 5 4 3( ) 5 5 1, [ 1;2]f x x x x x= − + + ∈ − d) 2( ) 3 10f x x x= + −

e) 2( ) 2 5f x x x= + − f) ( ) 2 4f x x x= − + + g) 2( ) ( 2) 4f x x x= + −


a) 34( ) 2sin sin , [0; ]

3f x x x x π= − ∈ b)

2( ) cos , 0;

2 2f x x x x

π� = + ∈ ��

Bài 8: Tìm kích th��c c�a hình ch� nht có chu vi l�n nh�t n�i ti�p trong n a ��ng tròn bán kính R cho tr��c.

Bài 9: Tìm hình thang cân có di�n tích nh! nh�t ngo�i ti�p ��ng tròn bán kính R cho tr��c

Bái 10: Cho hình thang cân ABCD có �áy nh! AB và 1AD BC cm= = . Tính góc �x DAB= sao cho hình thang có di�n tích l�n nh�t và tính di�n tích �ó.


14

V�n �� 2: �i�m u�n và ti�m c�n c�a �� th� hàm s�

C�N NH�: �� tìm �i�m u�n c�a �" th� ( ) : ( )C y f x= ta làm nh� sau:


B��c 2: Gi i ph��ng trình 0y′′ =

B��c 3: L�p b ng xét d�u y′′ t! �ó suy ra k�t lu�n

Chú ý: y′′ > thì �" th� lõm

0y′′ < thì �" th� l"i

y′′ ��i d�u khi x qua ox thì ( ; ( ))o ox f x là �i�m u�n c�a �" th�

BÀI T�P

Bài 1: Xác ��nh kho�ng l�i, lõm và �i�m un (n�u có) c�a �� th� các hàm sau

1) 3 23 2 1y x x x= − + − 2) 3 23 2y x x x= − + + 3) 3 26 12y x x x= + + −

4) 3 23 4y x x= − + 5) 3 23 4 2y x x x= + + − 6) 2 72 3

8y x x= + −

7) 2 42y x x= − 8) 3 2

1

xy

x

−=

− 9)

2 3 3

1

x xy

x

+ +=

+

10) 4 3 212 48 50y x x x= − + − 11) siny x x= + 12) 3

2 1

xy

x=

+

13) 21y x= + 14) 4 (12ln 7)y x x= − 15) 2ln( 1)y x= −

C�N NH�: Cách chng minh ba �i�m u�n c�a ( ) : ( )C y f x= th�ng hàng

B��c 1: Chng minh (C) có ba �i�m u�n

B��c 2: T�a �� i�m u�n th$a mãn h� ( ) 0

( )

f xy ax b

y f x

′′ =�→ = +�

=�

B��c 3: V�y ba �i�m u�n cùng nm trên ��ng th�ng y ax b= + nên chúng th�ng hàng

Bài 2: Ch ng minh �� th� c�a các hàm sau có ba �i�m un và ba �i�m un th�ng hàng

a) 2

1

1

xy

x

+=

+ b)

2

2 1

1

xy

x

+=

+ c)

2

2

2 3

3 3

x xy

x x

−=

− + d)

3

2 4 5

xy

x x=

− +


15

C�N NH�: �� tìm ti�m c�n c�a �" th� ( ) : ( )C y f x= ta làm nh� sau:


B��c 2: Tính lim ( )f x khi x ti�n ��n biên c�a t�p xác ��nh t! �ó k�t lu�n

Chú ý: lim ( )ox x

f x→

= ∞ thì ox x= là ti�m c�n �ng

lim ( )x

f x b→∞

= thì y b= là ti�m c�n ngang

( )lim

lim( ( ) )

x

x

f xa

x

f x ax b

→∞

→∞

�=�

�� − =�

thì y ax b= + là ti�m c�n xiên

Bài 3: Tìm ti�m cn ngang và � ng (n�u có) c�a các �� th� hàm sau:

a) 1

2

xy

x

−=

− b)

1 2

3 1

xy

x

−=

+ c)

2

2

2 3

3 2

x xy

x x

+ +=

+ − d)

6

6

xy

x x=

−

Chú ý: Cho hàm s� ( )y f x= n�u ( )lim ( ) ( ) 0x

f x ax b→∞

− + = thì y ax b= + là ti�m c�n xiên. Do �ó,

�� tìm ti�m c�n xiên c�a hàm d�ng 2

( )ax bx c

f xmx n

+ +=

+ ta bi�n ��i ( )

Cf x Ax B

mx n= + +

+. Khi �ó,

��ng y Ax B= + là ti�m c�n xiên.

Bài 4: Tìm ti�m cn (n�u có) c�a các hàm sau

a) 2 1

1

x xy

x

+ −=

− b)

2 2 8

1

x xy

x

− −=

− c)

4 2

3

2 2 1

1

x x xy

x

+ − +=

−

Bài 5: Tìm ti�m cn c�a �� th� các hàm sau:

a) 2 2 3y x x= + + b) 2 6 6y x x x= + − + c) 3 3 3y x x= −


16

V�n �� 3: Kh�o sát s� bi�n thiên và v� �� th� c�a hàm s�

� !NG LI T"NG QUÁT �# KH O SÁT S� BI�N THIÊN VÀ V� �� TH� CA

HÀM S

B��c 1: Tìm t�p xác ��nh D c�a hàm s�

B��c 2: S� bi�n thiên

(i) Gi�i h�n – ti�m c�n

(+) Tính lim ( )f x khi x ti�n ��n biên c�a t�p xác ��nh

(+)T! �ó tìm ti�m c�n n�u có

(ii) S� bi�n thiên

(+) Tính y′ và gi i ph��ng trình 0y′ =

(+) L�p b ng bi�n thiên, t! �ó suy ra kho ng t%ng, gi m, c�c tr� (n�u có)

B��c 3: V& �" th�

(i) Tìm �i�m �'c bi�t

(ii) V& �" th� theo s� �": h� t�a �� → ti�m c�n (n�u có) → �i�m �'c bi�t → �" th�

B��c 4: Nh�n xét tính ch�t �'c bi�t c�a �" th�

HÀM B�C BA 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠

C�N NH�: (i) �" th� không có ti�m c�n

(ii) Có m�t �i�m u�n và là tâm ��i xng c�a �" th�

(iii) Cho �i�m �'c bi�t bng cách cho cty y=


17

BÀI T�P

Kh�o sát s� bi�n thiên và v" �� th� c�a các hàm sau:

1) 3 23 2y x x= + − 2) 3 23 2y x x= − − + 3) 3 23 1y x x= − + −

4) 3 23 1y x x= − + 5) 3 23 1y x x= + + 6) 3 2( 3 1)y x x= − + +

7) 3 22 6 6 1y x x x= + + − 8) 3 22 6 6 1y x x x= − − − + 9) 3 23 3 1y x x x= − + +

10) 3 23 3 1y x x x= − + − − 11) 3 23 4y x x= − + 12) 2(1 )( 2)y x x= − +

13) 3 22 3 1y x x= − + 14) 3 23 5 2y x x x= − + − + 15) 3 3 2y x x= − +

16) 3 23 9 27y x x x= − − + 17) 3 2 16 16y x x x= + − + 18) 3 23 4y x x x= − +

19) 3 23y x x= − 20) 3 212 3

3y x x x= + + − 21) 31 2

3 3y x x= − +

HÀM B�C BN TRÙNG PH $NG 4 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠

C�N NH�: (i) �" th� không có ti�m c�n

(ii) �" th� ��i xng qua Oy

(iii) Cho �i�m �'c bi�t ��i xng nhau qua Oy

BÀI T�P


1) 4 22 1y x x= − − 2) 4 22 1y x x= − + + 3) 4 21 33

2 2y x x= − +

4) 4 21 33

2 2y x x= − + − 5)

42 3

2 2

xy x= + − 6)

42 3

2 2

xy x= − − +

7) 4 22 1y x x= + + 8) 4 22 1y x x= − − − 9) 4 24 3y x x= − +

10) 4 2 1y x x= − + 11) 4 24 20y x x= − + 12) 4 22 3y x x= + −


18

HÀM H%U T& B�C NH'T TRÊN B�C NH'T

( 0, 0)ax b

y c ad bccx d

+= ≠ − ≠

+

C�N NH�: (i) 2 2( ) ( )

a b

c d ad bcy

cx d cx d

−′ = =

+ +

(ii) �" th� có hai ti�m c�n: �ng và ngang

(iii) �" th� ��i xng qua giao hai ti�m c�n

(iv) �i�m �'c bi�t: giao v�i các tr�c t�a ��

BÀI T�P


1) 1

1

xy

x

+=

− 2)

2 1

3

xy

x

−=

+ 3)

2

1

xy

x

+=

− 4)

1

2 1

xy

x

−=

+

HÀM H%U T& B�C HAI TRÊN B�C M(T

2

( 0)ax bx c

y ammx n

+ += ≠

+

C�N NH�: (i) Chia t# cho m(u tr��c khi kh o sát, ta ��c C

y Ax Bmx n

= + ++

(ii) 2

2

2 ( )'

( )

amx anx bn mcy

mx n

+ + −=

+

(iii) �" th� có hai ti�m c�n: �ng và xiên; �"ng th�i ��i xng qua giao �i�m hai ti�m c�n


19

BÀI T�P


1) 2 3 3

1

x xy

x

− +=

− 2)

2 3 3

1

x xy

x

− +=

− 3)

2 1

1

x xy

x

+ +=

+ 4)

2 1

1

x xy

x

− +=

+

5) 2 3

1

x xy

x

−=

− 6)

2 2 3

2

x xy

x

− −=

− 7)

2 2 2

1

x xy

x

+ +=

+ 8)

2 2xy

x

−=

9) 2 5

2

x xy

x

+ −=

− 10)

2

1

xy

x=

− 11)

2 2 1

1

x xy

x

+ −=

− 12)

2 2 3

2

x xy

x

+ +=

−

13) 2 4 3

2

x xy

x

+ +=

+ 14)

2 1

2

xy

x

+=

+ 15)

2 3

1

xy

x

+=

+ 16)

2 3 4

2

x xy

x

+ +=

+

M(T VÀI HÀM KHÁC

C�N NH�: (i) Cách xét d�u c�a hàm liên t�c

(ii) Nhìn vào b ng bi�n thiên �� v& �" th�

BÀI T�P


1) 4 3 242 4 1

3y x x x x= + − − + 2) 4 3 21 2 5

6 24 3 2

y x x x x= − − + +

3) 2

2

5 1

1

x xy

x x

− +=

− + 4)

2

2

2 3

2 3

x xy

x x

− +=

+ −

5) 2 2 2y x x= − + 6) 1

1

xy

x

−=

+ 7) 3 3 3y x x= −

8) 3 23 2y x x= + − 9) 4 22 1y x x= − + + 10)

2 3 3

1

x xy

x

− +=

−


20

CHUYÊN �� 3: M(T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN ��N KH O SÁT HÀM S

V�n �� 1: TÍNH �$N �I)U CA HÀM S VÀ *NG D�NG

C�N NH�: 1) Cho hàm f xác ��nh trên t�p D. Khi �ó,

(i) Hàm f(x) �"ng bi�n trên D ( ) 0,f x x D′⇔ ≥ ∀ ∈

(ii) Hàm f(x) ngh�ch bi�n trên D ( ) 0,f x x D′⇔ ≤ ∀ ∈

(D�u ‘=’ ch) ��c phép x y ra t�i h u h�n �i�m. Tuy nhiên, ��i v�i các hàm mà chúng ta xét trong

tài li�u này thì �i�u ki�n này không c�n thi�t)

2) Cho tam thc 2( )f x ax bx c= + + . Khi �ó,

(i) 0

( ) 0( ( ) 0),0( 0)

af x f x x

>�> ≥ ∀ ∈ ⇔ �

∆ < ∆ ≤��

0( ) 0( ( ) 0),

0( 0)

af x f x x

<�< ≤ ∀ ∈ ⇔ �

∆ < ∆ ≤��

(ii) 1 20 0 0x x P ac< < ⇔ < ⇔ <

1 2

0

0 0

0

x x S

P

∆ ≥��

< ≤ ⇔ >�� >�

1 2

0

0 0

0

x x S

P

∆ ≥��

≤ < ⇔ <�� >�

(iii) 1 2 ( ) 0x x afα α< < ⇔ <

1 2

0

( ) 0

2

x x af

S

α α

α

�∆ ≥��

< ≤ ⇔ >��

>��

1 2

0

( ) 0

2

x x af

S

α α

α

�∆ ≥��

≤ < ⇔ >��

<��


21

BÀI T�P

Bài 1: Tìm m �� các hàm s sau ��ng bi�n (ngh�ch bi�n) trên tp xác ��nh

a) 3 212 2

3y x x mx= − + − b)

x my

x m

+=

− c)

2 2 1

1

mx xy

x

+ +=

+

Bài 2: Tùy theo m, kh�o sát s� bi�n thiên c�a hàm 3 24 ( 3)y x m x mx= + + +

Bài 3: Cho hàm 3 211

3y x mx mx= + − + . #�nh m �� hàm s:

a) #�ng bi�n trên tp xác ��nh

b) #�ng bi�n trên kho�ng ( ;0)−∞

c) Ngh�ch bi�n trong kho�ng ( ;0)−∞


3

x mxy

x

+ −=

−. #�nh m �� hàm s:

a) Ngh�ch bi�n trong t�ng kho�ng xác ��nh

b) Gi�m trong kho�ng ( 1;0)−

c) T$ng trong kho�ng ( 2;2)−

Bài 5: Cho hàm 3 21( 1) ( 3) 4

3y x m x m x= − + − + + − . #�nh m �� hàm s:

a) Gi�m trên tp xác ��nh

b) Gi�m trong kho�ng (0; )+∞

c) T$ng trong kho�ng (0;3)

C�N NH�: �� chng minh b�t ��ng thc ( ) ( ),A x B x x D> ∀ ∈ ta th��ng làm nh� sau:

B��c 1: Bi�n ��i ( ) ( ) ( ) ( ) 0A x B x A x B x> ⇔ − > và �'t ( ) ( ) ( )f x A x B x= −

B��c 2: Xét s� bi�n thiên c�a hàm f. T! �ó chng t$ ( ) 0,f x x D> ∀ ∈

Chú ý: (i) f t%ng thì ( ) ( )a b f a f b< � <

(ii) f gi m thì ( ) ( )a b f a f b< � >


22

Bài 5: Ch ng minh các b�t ��ng th c sau

a) 2sin tan 3 , 0;2

x x x xπ� �

+ > ∀ ∈� ��

b) tan , 0;2

x x xπ� �

> ∀ ∈� ��

c) 3

tan , 0;3 2

xx x x

π� �> + ∀ ∈� �

� � d)

2sin , 0;

2

xx x

π

π

� �> ∈� �

� �

Bài 6: Ch ng minh:

a) N�u 02

a bπ

< < < thì tan tanb a a b<

b) N�u tam giác ABC có ba góc nh�n thì sin sin sin tan tan tan 2A B C A B C π+ + + + + >

Bài 7: Ch ng minh v�i 0x > ta luôn có 3 3 5

sin3! 3! 5!

x x xx x− < < − +

V�n �� 2: C�C TR� CÓ �I�U KI)N

C�N NH�: Tìm �i�u ki�n �� hàm f ��t c�c tr� t�i ox , ta làm nh� sau:

B��c 1: f ��t c�c tr� t�i ox ( ) 0of x′� = → giá tr� tham s�

B��c 2: Th# l�i r"i k�t lu�n

BÀI T�P

Bài 1: Tìm m �� hàm s 2 1

( )x mx

f xxm

+ += ��t c�c tr� t�i 2ox =

Bài 2: Tìm m �� hàm s 1

( ) sin s in33

f x m x x= + ��t c�c tr� t�i 3oxπ

=

Bài 3: Tìm m �� hàm 3 2 2 2( ) 3 3( 1) 1f x x mx m x m= − + − − + ��t c�c ��i (c�c ti�u) t�i 1ox =

C�N NH�: Hàm f có c�c tr� (n c�c tr�) khi và ch) khi 0f ′ = có nghi�m (n nghi�m) và f ′ ��i d�u

khi x qua các nghi�m �ó.

Chú ý: ��i v�i hàm b�c ba 2 2

y ax bx cx d= + + + và hàm h u t* b�c hai trên m�t 2

ax bx cy

mx n

+ +=

+

thì: có c�c tr� ⇔ có hai c�c tr� ⇔ có c�c ��i và c�c tiu ⇔ 0y′ = có hai nghim phân bit.


23

Bài 4: Tìm m �� hàm sau có c�c tr�

a) 3 21( 6) 1

3y x mx m x= + + + − b) 3 22 1y x x mx= − + −

c) 2 2

4

x x my

x

− +=

− d)

2 2

1

x mxy

x

− +=

+ e)

2 2

1

x mxy

mx

+ −=

−

Bài 5: Tìm α �� hàm 2 2 cos 1

2sin

x xy

x

α

α

+ +=

+ có c�c ��i và c�c ti�u

Bài 6: Cho hàm 4 3 24 3( 1) 1y x mx m x= + + + + . Tìm m �� hàm s:

a) Ch% có m�t c�c ti�u

b) Ch% có m�t c�c ��i

Chú ý: (i) Xét hàm b�c ba 2 2

y ax bx cx d= + + + Ta có các nh�n xét sau:

� Vì y′ là tam thc b�c hai nên ta có th� s# d�ng ��nh lý Viet và ��nh lý v� d�u c�a

tam thc c�c hai.

� N�u 1 2,x x là các �i�m c�c tr� thì 1 2,x x là nghi�m c�a 0y′ = . Do �ó, �� tính

1 2,y y ta làm nh� sau: (+) Chia y cho y′ ta ��c . ( )y y P x Ax B′= + +

(+) Khi �ó, 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )y y x y x P x Ax B Ax B′= = + + = + ; 2 2 2( )y y x Ax B= = +

� Ta th�y hai �i�m c�c tr� 1 1 1 2 2 2( ; ), ( ; )M x y M x y th$a mãn ph��ng trình y Ax B= +

nên ph��ng trình ��ng th�ng qua hai �i�m c�c tr� là y Ax B= + .

(ii) Xét hàm h u t* b�c hai trên m�t 2

ax bx cy

mx n

+ +=

+. Ta có vài nh�n xét sau:

� Vì 2

2

2 ( )'

( )

amx anx bn mcy

mx n

+ + −=

+ nên d�u c�a y′ là d�u c�a tam thc b�c hai

2( ) 2 ( )g x amx anx bn mc= + + − .

Do �ó, ta v(n có th� s# d�ng ��nh lý Viet và ��nh lý v� d�u c�a tam thc c�c hai.

� N�u 1 2,x x là các �i�m c�c tr� thì 1 2,x x thì 1 21 2

2 2,

ax b ax by y

m m

+ += = . Do �ó,

ph��ng trình ��ng th�ng qua các �i�m c�c tr� là 2ax b

ym

+= .


24

Bài 7: Cho hàm 3 21 1( 1) 3( 2)

3 3y mx m x m x= − − + − + . Tìm m �� hàm s

a) #�t c�c ��i và c�c ti�u

b) Có hai c�c tr� trái d�u

c) #�t c�c tr� t�i 1 2,x x th!a 1 22 1x x+ =

Bài 8: Tìm m �� th� (C): 3 2 22 3(3 1) 12( ) 1y x m x m m x= − + + + + có c�c ��i và c�c ti�u. Vi�t ph��ng trình ��ng th�ng qua hai �i�m c�c tr� �ó.

Bài 9: #�nh m �� hàm 3 2( 3) (4 1)y x m x m x m= − − + − − ��t c�c tr� t�i 1 2,x x th!a 1 22x x< − <

Bài 10: Cho hàm2 22 1x mx m

yx m

− − −=

−. #�nh m �� hàm s có:

a) M�t c�c ��i và m�t c�c ti�u

b) Hai c�c tr� và hai giá tr� cùng d�u

c) C�c ti�u có hoành �� nh! h�n 1

Bài 11: #�nh m �� hàm 2

1

1

mxy

x

+=

− có hai c�c tr�. Trong tr��ng h�p �ó, ch ng minh hai c�c tr� c�a

�� th� hàm s � v� cùng m�t phía so v�i tr�c hoành.

Bài 12: Cho hàm 2

2

2mx x my

x x

− +=

−. #�nh m �� hàm s;

a) T$ng trên t�ng kho�ng xác ��nh

b) Ch% có m�t c�c tr�

c) #�t c�c ��i và c�c ti�u t�i �i�m có hoành �� d��ng

Bài 13: Cho hàm 3 21 1 3(sin cos ) (s in2 ) 1

3 2 4y x x xα α α= − + + + .

a) #�nh α �� hàm có c�c tr�

b) G�i 1 2,x x là các �i�m c�c tr� , tìm α �� 2 21 2 1 2x x x x+ = +

Bài 14: Cho hàm 3 2 23( 10 (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − − . Vi�t ph��ng trình ��ng th�ng qua các �i�m c�c tr� c�a �� th� hàm s trong tr��ng h�p hàm có hai c�c tr�


25

Bài 15: Tìm m �� th� (H): 2 ( 1) 1x m x m

yx m

+ + − +=

− có c�c ��i và c�c ti�u. Vi�t ph��ng trình

��ng th�ng qua hai �i�m c�c tr� �ó.

Bài 16: #�nh p �� hàm s 2 3

4

x x py

x

− + +=

− có giá tr� c�c ��i M, giá tr� c�c ti�u m th!a 4M m− =

Bài 17: #�nh m �� hàm s 22 3x x m

yx m

− +=

− có c�c ��i, c�c ti�u th!a 8

cd cty y− >

Bài 18: Tìm m �� th� hàm s 3 21 1( 1) 3( 2)

3 3y mx m x m x= − − + − + có c�c ��i, c�c ti�u ��ng th�i

��ng th�ng qua các �i�m c�c tr�

a) Song song v�i ��ng th�ng ( ) : 2 2010 0d x y− + =

b) Vuông góc v�i ��ng th�ng ( ) 2 2010 0x y∆ − − =

Bài 19: Ch ng minh hàm ( )( )( ),y x a x b x c a b c= − − − < < luôn ��t c�c tr� t�i hai �i�m 1 2,x x th!a

1 2a x b x c< < < <

Bài 20: Xác ��nh m �� hàm 4 38 3(2 1) 4y x mx m x= − − − + − ch% có c�c ��i mà không có c�c ti�u.

V�n �� 3: TÍNH �I X*NG CA �� TH�

C�N NH�: Tìm �i�u ki�n �� ( ; )I a b là �i�m u�n c�a �" th� ( ) : ( )C y f x= , ta làm nh� sau:

B��c 1: ( ; )I a b là �i�m u�n c�a �" th� ( ) : ( )C y f x=( ) 0

( )

f a

f a b

′′ =��

=� → tham s�

B��c 2: Th# l�i → k�t lu�n

BÀI T�P

Bài 1: Tìm �i�u ki�n c�a tham s �� (C) nhn I làm �i�m un, bi�t:

a) 3

2( ) : ( ) 3 2, (1;0)x

C y f x m Im

−= = + − b) 3 2( ) : ( ) 4, (2; 6)C y f x ax bx x I= = + + − −

c) 4 3 21 2( ) : ( ) , (1;1), (3; 7)C y f x x ax bx cx d I I= = + + + + −


26

C�N NH�: �� chng minh ( ; )o oI x y là tâm ��i xng c�a �" th� ( ) : ( )C y f x= ta làm nh� sau:

B��c 1: �'t o

o

x x X

y y Y

= +��

= +�, thay vào ph��ng trình ( )y f x= �� c hàm ( )Y F X=

B��c 2: Chng minh ( )Y F X= là hàm l+

Ngoài ra: ( ; )o oI x y là tâm ��i xng c�a ( ) : ( ) ( ) ( ) 2 ,o o o oC y f x f x x f x x y x x D= ⇔ + + − = ∀ ± ∈

BÀI T�P

Bài 1: Ch ng minh r�ng �i�m un là tâm �i x ng c�a �� th� hàm s sau:

a) 3 23 1y x x= − + b) 3 23 2y x x= − + −

Bài 2: Ch ng minh r�ng giao hai ti�m cn là tâm �i x ng c�a �� th� các hàm:

a) 1

( )1

xf x

x

−=

+ b)

2 3( )

xf x

x

−=

c) 2 1

( )1

x xf x

x

+ +=

− d)

22( )

1

x xf x

x

−=

−

C�N NH�: �� chng minh ��ng th�ng ( ) : ox x∆ = là tr�c ��i xng c�a �" th� ( ) : ( )C y f x= ta

làm nh� sau:

B��c 1: �'t o

o

x x X

y y Y

= +��

= +�, thay vào ph��ng trình ( )y f x= �� c hàm ( )Y F X=

B��c 2: Chng minh ( )Y F X= là hàm ch,n

Ngoài ra: ( ) : ox x∆ = là tr�c ��i xng c�a ( ) : ( ) ( ) ( ),o o oC y f x f x x f x x x x D= ⇔ − = + ∀ ± ∈

BÀI T�P

Bài 1: Ch ng minh r�ng ��ng th�ng ( ) : 1d x = là tr�c �i x ng c�a �� th� các hàm

a) 4 3 2( ) 4 7 6 4f x x x x x= − + − + b) 4 3 2( ) 4 6 4f x x x x x= − + −

c) 4 3 2( ) 4 2 12 1f x x x x x= − − + −

Bài 2: Tìm m �� (C) có tr�c �i x ng song song v�i tr�c Oy, bi�t r�ng:

a) 4 3 2( ) : ( ) 4C f x x x mx= + + b) 4 3 2( ) : ( ) 2( 2)C f x x mx m x= + + −


27

V�n �� 4: T $NG GIAO GI%A HAI �� TH�

D+ng 1: T,-ng giao gi.a hai �� th� ( ) : ( )=F y f x và ( ) : ( )=G y g x

Ph,-ng pháp:

B��c 1: L�p ph��ng trình hoành �� giao �i�m c�a (F) và (G): ( ) ( )f x g x= (*)

B��c 2: S� nghi�m c�a (*) bng s� �i�m chung c�a (F) và (G)

+) (*) có n nghi�m ��n phân bi�t: (F) và (G) c�t nhau t�i n �i�m phân bi�t

+) (*) có n nghi�m b�i phân bi�t: (F) và (G) ti�p xúc nhau t�i n �i�m phân bi�t

+) (*) vô nghi�m: (F) và (G) không có �i�m chung

Bài 1: Tìm m �� ng th�ng (d) c&t hypebol (H) t�i hai �i�m phân bi�t. Bi�t r�ng:

a) (d): 1y mx= + và (H):2 4 3

2

x xy

x

+ +=

+

b) (d): 2 2y mx m= − + và 2 2 4

( ) :2

x xH y

x

− +=

−

c) ( ) : 1d y mx= + và 1

( ) :1

xH y

x

+=

−

Bài 2: Tìm m �� ng th�ng y mx= − c&t 3 2( ) : 3 3C y x x m= + + t�i hai �i�m phân bi�t.

Bài 3: Cho ��ng cong 3 2( ) : 4 4C y x x= − + và ��ng th�ng ( ) : 4d y mx= + . Tìm m �� (C) và (d):

a) C&t nhau t�i 3 �i�m phân bi�t

b) C&t nhau t�i 3 �i�m phân bi�t có hoành �� không âm

c) Có duy nh�t m�t �i�m chung

d) Không có �i�m chung

Bài 4: Bi�n lun theo m v� trí t��ng �i gi�a 2

( ) :H y xx

= + và ( ) : 4d y mx m= +


28

Bài 5: Cho hàm 3 2 2 2( 1) ( 3) 3( )my x m x m m x m C= − + + + − − + . #�nh m �� ( )mC c&t Ox t�i:

a) Ba �i�m phân bi�t

b) Ba �i�m phân bi�t có hoành �� d��ng

c) Ba �i�m phân bi�t trong �ó có �úng hai �i�m có hoành �� âm

Bài 6: #�nh m �� 3 2( ) : 3mC y x mx m= − + c&t tr�c hoành t�i ba �i�m phân bi�t.

Chú ý: Cho ( ) ( )y f x C= là hàm b�c ba. Tr�c hoành c�t (C) t�i ba �i�m phân bi�t

1 2

1 2

( ) 0 co 2 nghiem phan biet ,

( ) ( ) 0

f x x x

f x f x

′ =�⇔ �

<�

Bài 7: #�nh m �� 3 2( ) : 18 2mC y x x mx m= − + − c&t Ox t�i ba �i�m phân bi�t có hoành �� d��ng.

Chú ý: Cho 3 2( ) : ( 0)C y ax bx cx d a= + + + ≠ . Khi �ó, Ox c&t (C) t�i ba �i�m phân bi�t có

hoành �� d��ng 1 2

1 2

( ) 0 co 2 nghiem phan biet 0

( ) ( ) 0

(0) 0

f x x x

f x f x

af

′ = < <��

⇔ <�� <�

Bài 8: Cho 3( ) : 3 1C y x x= − + và 2 2 2( ) : 3 3P y mx m x m= − + . #�nh m �� (C) và (P) c&t nhau t�i ba �i�m phân bi�t có hoành �� d��ng.

Bài 9: Ch ng minh r�ng ��ng th�ng ( ) :d y x m= − + luôn c&t 2 1

( ) :2

xH y

x

+=

+ t�i hai �i�m A, B

phân bi�t. Tìm m �� o�n AB ng&n nh�t.

Bài 10: Tìm m �� 2

( ) :1m

mx x mH y

x

+ +=

− c&t Ox t�i hai �i�m phân bi�t có hoành �� d��ng.

Bài 11: Tìm m �� ( ) : 3d y mx= + c&t 2 1

( ) :1

xH y

x

+=

− t�i 2 �i�m A, B sao cho OAB∆ vuông t�i O.

Bài 12: #�nh m �� ( ) :d y m= c&t 2 2 5

( ) :1

x xH y

x

− + −=

− t�i hai �i�m A, B sao cho OAB∆ có di�n

tích b�ng 3 (�vdt)

Chú ý: N�u 1 2 3, ,x x x là ba nghi�m c�a thì

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

bx x x

a

cx x x x x x

a

dx x x

a

�+ + = −�

��

+ + =��

= −��


29

Bài 13: #�nh m �� 3 2( ) : 3 9mC y x x x m= − − + c&t Ox t�i 3 �i�m phân bi�t có hoành �� lp thành

m�t c�p s c�ng.

Bài 14: Cho 3 2 3( ) : 3 4mC y x mx m= − + . Tìm m �� ( ) :d y x= c&t ( )mC t�i ba �i�m phân bi�t A, B,

C sao cho AB BC= .

Bài 15: Tìm m �� 4 2( ) : 2 2 1mC y x mx m= − + − c&t Ox t�i bn �i�m phân bi�t có hoành �� lp thành

m�t c�p s c�ng.

Bài 15: Tìm m �� hai ��ng cong 4( ) :C y x= và 2 2( ) : 2( 4) 8P y m x m= + − − c&t nhau t�i bn �i�m A, B, C, D sao cho AB BC CD= = .

Bài 16: #�nh m �� ph��ng trình 3 2 1 0x mx+ − = có nghi�m duy nh�t

D+ng 2: S� ti�p xúc gi.a hai �� th� ( ) : ( )=F y f x và ( ) : ( )=G y g x

Ph,-ng pháp:

Cách 1: ( )F và ( )G ti�p xúc ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

=�⇔ �

′ ′=� (I) có nghi�m x

Cách 2: ( )F và ( )G ti�p xúc ( ) ( )f x g x⇔ = (II) có nghi�m kép (b�i)

Chú ý: � Hoành �� ti�p �i�m chính là nghi�m c�a (I) ho'c (II)

� Dùng cách 2 khi ph��ng trình hoành �� là bc 2 ho'c có th� ��a ��c v� d�ng bc 2. Ngoài ra, dùng cách 1.

BÀI T�P

Bài 1: Tìm m �� sao cho:

a) ( ) :d y m= ti�p xúc v�i 2 3 2 1

( ) :2

mx mx mH y

x

+ + +=

+

b) ( ) : 4d y m= + ti�p xúc v�i 2 (2 1) 3

( ) : ( 1)2

mx m x mH y m

x

+ + + += ≠ −

+

c) 3 2( ) : 2 ( 1)C y x x m x m= − − − + ti�p xúc v�i Ox

d) 3( ) : 9C y x x= − và 2( ) : 9P y mx m= − + ti�p xúc nhau.


30

Bài 2: Tìm m �� sao cho:

a) 3 2( ) : 2 3( 3) 18 8C y x m x mx= − + + − ti�p xúc v�i Ox

b) ( ) : 1d y = ti�p xúc v�i 3 2( ) : 4 6( 2) 24 9mC y x m x mx= − + + −

c) 2 1

( ) :1

x xH y

x

− +=

− và 2( ) :P y x m= + ti�p xúc nhau.

d) 2 2 2

( ) :1

x xH y

x

+ +=

+ và 2( ) :P y x m= − + ti�p xúc nhau.

V�n �� 5: BI)N LU�N S NGHI)M CA PH $NG TRÌNH B/NG �� TH�

Bài toán: Bi�n lu�n s� nghi�m c�a ph��ng trình ( , ) 0F x m = (*) bng �" th�

H,�ng gi�i: Ta �ã bi�t “S� nghi�m c�a ph��ng trình ( ) ( )f x g x= bng s� �i�m chung c�a

hai �" th� ( ) : ( )F y f x= và ( ) : ( )G y g x= ”, do �ó, �� gi i bài lo�i này ta tìm cách bi�n ��i (*) v� d�ng ph��ng trình hoành �� giao �i�m c�a nh�ng �" th� thích h�p, sau �ó v& các �" th� này r"i t!

�" th� ��a ra k�t lu�n.

D+ng 1: ( , ) 0 ( ) ( )= ⇔ =F x m f x h m

Ph,-ng pháp:

B��c 1: Kh�ng ��nh s� nghi�m c�a (*) bng s� �i�m chung c�a ��ng th�ng ( ) : ( )d y h m=

và ��ng ( ) : ( )C y f x=

B��c 2: V& ( ) : ( )C y f x= và ( ) : ( )d y h m= trên cùng m�t h� tr�c t�a ��

B��c 3: Nhìn vào �" th� �� k�t lu�n

BÀI T�P

Bài 1: Cho hàm 3 3 1y x x= − + có �� th� (C).

a) Kh�o sát hàm s

b) Dùng (C) bi�n lun s nghi�m c�a ph��ng trình : 1) 3 3 1x x m− + = 2) 3 3 2 0x x m− + =


31

Bài 2: Cho hàm 2

1

xy

x=

+ có �� th� (H).


b) Dùng (H) bi�n lun s nghi�m c�a ph��ng trình : 2 0x mx m− − =

Bài 3: Tìm m �� 4 2 2 2 0x x m− − + = có 3 nghi�m phân bi�t.

Bài 4: Cho hàm 2 2 1

1

x xy

x

− +=

+ có �� th� (H).

a) V" �� (H)

b) Tìm m �� ph��ng trình 2cos (2 )cos 1 0t m t m− + − + = có nghi�m

D+ng 2: ( , ) 0 ( )= ⇔ = +F x m f x kx m , k là h�ng s�

Ph,-ng pháp:

B��c 1: Kh�ng ��nh s� nghi�m c�a (*) bng s� �i�m chung c�a ��ng th�ng

( ) :d y kx m= + và ��ng ( ) : ( )C y f x=

B��c 2: V& ( ) : ( )C y f x= và các ti�p tuy�n c�a (C) có h� s� góc k trên cùng m�t h� tr�c

t�a ��

B��c 3: Nhìn vào �" th� �� k�t lu�n

BÀI T�P

Bài 1: Cho hàm 3

2 1

xy

x

− +=

− (H)


b) Lp ph��ng trình ti�p tuy�n v�i (H) bi�t ti�p tuy�n song song v�i phân giác góc ph�n t� th 2 và th 4

c) D�a vào (H) bi�n lun s nghi�m c�a ph��ng trình 22 2( 1) 3 0x m x m− + + + =

Bài 2: Cho hàm 3 22y x x x= − +


b) Bi�n lun theo m s nghi�m ph��ng trinh 3 22 0x x m− + =


32

V�n �� 6: �I#M C ��NH CA H0 �� TH�

Ph,-ng pháp: Cho h� ��ng cong ( ) : ( , )=mC y f x m v�i m là tham s� và �i�m ( , )o oA x y . Ta có:

( ) ( , )m o oA C y f x m∈ ⇔ = (*)

Xem (*) là ph��ng trình -n m. Khi �ó, ta k�t lu�n:

� (*) vô nghi�m m: Không có �" th� nào c�a h� ( )mC qua A

� (*) có �úng n nghi�m: Có �úng n ��ng trong h� ( )mC qua A

� (*) nghi�m �úng v�i m�i m: M�i ��ng cong trong h� ( )mC ��u qua A. Ta g�i A là �i�m

c� ��nh c�a h� ( )mC .

BÀI T�P

Bài 1: Tìm �i�m c ��nh c�a h� �� th� sau:

a) 3 2( ) : ( 1) (2 ) 1m

C y mx m x m x m= − − − + + −

b) 2( ) : (1 ) (3 1) 5 2mC y m x m x m= − − − + −

c) 2 3 2 1

( ) :2m

mx mx mH y

x

+ + +=

+ d)

2 ( 1) 1( ) :

2m

mx m xH y

mx

+ + +=

+

Bài 2: Ch ng minh r�ng:

a) 3 2 2 2( ) : 4 2mC y x m x mx m m= + + − − luôn �i qua m�t �i�m c ��nh

b) ( 1) 2

( ) :m

m xH y

x m

− −=

− luôn �i qua hai �i�m c ��nh v�i m�i 1m ≠ − và 2m ≠

Bài 3: Ch ng minh r�ng 3 2( ) : ( 1) 2mC y x m x mx m= + − − + luôn ti�p xúc v�i m�t �i�m c ��nh t�i

m�t �i�m c ��nh.

Bài 4: Ch ng minh r�ng 22 (1 ) 1

( ) :m

x m x mH y

x m

+ − + +=

− luôn ti�p xúc v�i m�t �i�m c ��nh t�i

m�t �i�m c ��nh v�i m�i 1m ≠ − .


33

Bài 5: Cho h� ��ng cong 3 2 2( ) : ( 1) 4mC y x m x m= + + − . Tìm trên ( ) : 2d x = nh�ng �i�m M mà:

a) Qua M có duy nh�t m�t ��ng cong trong h� ( )mC �i qua

b) Qua M có hai ��ng cong trong h� ( )mC �i qua

c) Qua M không có ��ng cong nào trong h� ( )mC �i qua

Bài 6: Cho h� 2( ) : 2 2 2 4 0mC xy my mx m m− − + − = . Tìm nh�ng �i�m M sao cho:

a) Có �úng m�t ( )mC �i qua

b) Có �úng hai ( )mC �i qua

c) Không có ( )mC nào �i qua.

Bài 7: Tìm trên ( ) : 1d x = nh�ng �i�m mà không có �� th� nào c�a h� 2(3 1)

( ) :m

m x m mH y

x m

+ − +=

+

�i qua.

Bài 8: Cho 3 2( ) : 2 1mC y x m x m= + − + . Tìm trên ( ) : 1d x = nh�ng �i�m mà có ít nh�t m�t �� th�

c�a h� ( )mC �i qua.

Bài 9: Ch ng minh r�ng h� parabol 2( ) : 2( 1) 1mP y mx m x m= − − + + luôn ti�p xúc nhau t�i m�t

�i�m c ��nh.

V�n �� 7: QU1 TÍCH ��I S

Ph,-ng pháp: �� tìm qu. tích �i�m ( ; )M x y th$a �i�u ki�n cho tr��c ta th�c hi�n các b��c sau:

B��c 1: T! �i�u ki�n cho tr��c tìm t�a �� M theo tham s�, ch�ng h�n

( ):

( )

x f mM

y g m

=��

=�

B��c 2: Kh# tham s� trong h� trên ta ��c ph��ng trình hai -n x, y ��c l�p v�i m, ch�ng

h�n ( , ) 0F x y = . Khi �ó, ( ) : ( , )M L F x y∈

B��c 3: Tìm gi�i h�n (n�u có)

B��c 4: K�t lu�n


34

Chú ý: � I là trung �i�m �o�n AB 2

2

A BI

A BI

x xx

y yy

+�=��

⇔ �+� =

��

� M chia �o�n AB theo t( s 1k ≠ 1

1

A BM

A BM

x kxx

kMA kMB

y kyy

k

−�=�� −

⇔ = ⇔ �−� =

� −�

� :( )

x aM

y g m

=��

=� thì M n�m trên ��ng th�ng x = a

� ( )

:x f m

My a

=��

=� thì M n�m trên ��ng th�ng y = a

BÀI T�P

Bài 1: Cho hàm s 2 4

( )1

xy H

x

+=

+.


b) Tìm m �� ng th�ng ( ) : 2d y x m= − + c&t (H) t�i hai �i�m phân bi�t A, B. Khi �ó, tìm qu) tích trung �i�m I c�a �o�n AB.


( )2

x mxy H

x m

− −=

+. Tìm m �� (H) là m�t hypebol và tìm qu) tích tâm �i x ng

c�a hypebol �ó.

Bài 3: Tìm qu) tích tâm �i x ng c�a 3 2( ) : 2 3( 2) ( 1)mC y x m x m x m= − − − − +


( )2

x x my H

x

− +=

−. Xác ��nh m �� hàm s có c�c tr�. Khi �ó, tìm qu) tích �i�m

c�c ��i c�a (H).

Bài 5: Cho hàm 2 ( 2)

( )1

x m xy H

x

+ −=

−

a) Tìm m �� hàm s có c�c ��i và c�c ti�u.

b) Ch ng minh r�ng các c�c tr� c�a (H) ch�y trên cùng m�t parabol c ��nh.


35

V�n �� 8: KHO NG CÁCH

C�N NH�: � 2 2( ) ( )A B A B

AB x x y y= − + −

� Cho ( ; )o o oM x y và ( ) : 0Ax By C∆ + + = . Khi �ó,

1) 2 2

0( , ) o o

o

Ax By Cd M

A B

+ + =∆ =

+.

2) �'c bi�t: ( , ) , ( , )o o o o

d M Ox x d M Oy y= =

BÀI T�P

Bài 1: Tìm m �� 2 2 2

1

x mxy

x

+ +=

+ có c�c ��i, c�c ti�u và kho�ng cách t� hai �i�m �ó t�i ��ng

th�ng ( ) : 2 0x y∆ + + = b�ng nhau.

Bài 2: Cho hàm 2

( )3

xy H

x

+=

−. Tìm trên (H) nh�ng �i�m sao cho kho�ng cách t� nó ��n hai ti�m

cn b�ng nhau.

Bài 3: Cho hàm 2 5 15

( )3

x xy H

x

+ +=

+.

a) Tìm các ti�m cn c�a (H)

b) Ch ng minh r�ng tích kho�ng cách t� m�t ( )M H∈ b�t k� ��n hai ti�m cn là h�ng s.

c) Tìm ( )M H∈ sao cho t*ng kho�ng cách t� �ó ��n hai ti�m cn nh! nh�t

d) Tìm ( )M H∈ cách ��u Ox và Oy.

e) Tìm các �i�m trên (H) sao cho kho�ng cách t� nó ��n Ox g�p hai l�n kho�ng cách t� nó ��n Oy.


36

V�n �� 9: M(T S BÀI TRONG �� THI ��I H0C VÀ CAO �2NG

Bài 1 (Kh�i A – 2010 – 2 �i�m) Cho hàm 3 22 (1 ) ( )my x x m x m C= − + − + , m là tham s th�c.

a) Kh�o sát s� bi�n thiên và v" �� th� hàm s khi m = 1

b) Tìm m �� ( )mC c&t tr�c hoành t�i ba �i�m phân bi�t có hoành �� 1 2 3, ,x x x th!a mãn �i�u

ki�n 2 2 21 2 3 4x x x+ + < .

Bài 2 (Kh�i B – 2010 – 2 �i�m) Cho hàm 2 1

( )1

xy H

x

+=

+.

a) Kh�o sát hàm s �ã cho

b) Tìm m �� ng th�ng ( ) : 2d y x m= − + c&t (H) t�i hai �i�m phân bi�t A, B sao cho tam

giác OAB có di�n tích b�ng 3 (O là gc t�a ��).

Bài 3 (Kh�i D – 2010 – 2 �i�m) Cho hàm s 4 2 6( )y x x C= − − +


b) Vi�t ph��ng trình ti�p tuy�n c�a (C), bi�t ti�p tuy�n vuông góc v�i 1

( ) : 16

d y x= −

Bài 4 (C� – 2010 – 2 �i�m) Cho hàm 3 23 1( )y x x C= + −


b) ) Vi�t ph��ng trình ti�p tuy�n c�a (C) t�i �i�m có hoành �� b�ng – 1

Bài 5 (Kh�i A – 2009 – 2 �i�m) Cho hàm 2

( )2 3

xy H

x

+=

+

a) Kh�o sát s� bi�n thiên và v" (H)

b) Vi�t ph��ng trình ti�p tuy�n v�i (H), bi�t ti�p tuy�n �ó c&t tr�c tung, tr�c hoành l�n l��t t�i hai �i�m phân bi�t A, B và tam giác OAB cân t�i gc t�a �� O.

Bài 6 (Kh�i B – 2009 – 2 �i�m) Cho hàm 4 22 4 ( )y x x C= −


b) V�i các giá tr� nào c�a m, ph��ng trình 2 2 2x x m− = có �úng 6 nghi�m th�c phân bi�t.


37

Bài 7 (Kh�i D – 2009 – 2 �i�m) Cho hàm s 4 2(3 2) 2 ( )my x m x m C= − + + , m là tham s th�c.

a) Kh�o sát hàm s kho m = 0

b) Tìm m �� ng th�ng y = - 1 c&t ( )mC t�i 4 �i�m phân bi�t ��u có hoành �� nhò h�n 2

Bài 8 (C� – 2009 – 2 �i�m) Cho hàm 3 2(2 1) (2 ) 2 ( )my x m x m x C= − − + − + , m là tham s th�c.

a) Kh�o sát hàm s khi m = 2

b) Tìm m �� hàm s có c�c ��i, c�c ti�u và các �i�m c�c tr� c�a ( )mC có hoành �� d��ng

Bài 9 (Kh�i A – 2008 – 2 �i�m) Cho hàm 2 2(3 2) 2

( )3 m

mx m xy H

x m

+ − −=

+, m là tham s th�c


b) Tìm các giá tr� c�a m �� góc gi�a hai ��ng ti�m cn c�a ( )mH b�ng 45o

Bài 10 (Kh�i B – 2008 – 2 �i�m) Cho hàm s 3 24 6 1( )y x x C= − +


b) Vi�t ph��ng trình ti�p tuy�n c�a �� th� (C), bi�t ti�p tuy�n qua ( 1; 9)M − −

Bài 11 (Kh�i D – 2008 – 2 �i�m) Cho hàm s 3 23 4( )y x x C= − +


b) Ch ng mih r�ng m�i ��ng th�ng �i qua (1;2)I v�i h� s góc k (k > - 3) ��u c&t (C) t�i ba �i�m phân bi�t I, A, B ��ng th�i I là trung �i�m AB.

Bài 12 (C� – 2008 – 2 �i�m) Cho hàm s ( )1

xy H

x=

−


b) Tìm m �� ng th�ng ( ) :d y x m= − + c&t (H) t�i hai �i�m phân bi�t

Bài 13 (Kh�i A – 2007 – 2 �i�m) Cho hàm 2 22( 1) 4

( )2 m

x m x m my H

x

+ + + +=

+, m là tham s th�c

a) Kh�o sát hàm s khi m = - 1

b) Tìm m �� hàm s có c�c tr� ��ng th�i các �i�m c�c tr� c�a ( )mH cùng v�i gc t�a �� O

t�o thành m�t tam giác vuông t�i O.


38

Bài 14 (Kh�i B – 2007 – 2 �i�m) Cho hàm s 3 2 2 23 3( 1) 3 1( )my x x m x m C= − + + − − − , m là tham s


b) Tìm m �� hàm s có c�c ��i, c�c ti�u và các �i�m c�c tr� c�a ( )mC cách ��u gc t�a ��.

Bài 15 (Kh�i D – 2007 – 2 �i�m) Cho hàm 2

( )1

xy H

x=

+


b) Tìm ( )M H∈ , bi�t ti�p tuy�n c�a (H) t�i M c&t Ox, Oy t�i A, B và tam giác OAB có di�n

tích b�ng 1

4.

Bài 16 (Kh�i A – 2006 – 2 �i�m) Cho hàm s 3 22 9 12 4( )y x x x C= − + −


b) Tìm m �� ph��ng trình 3 22 9 12x x x m− + = có 6 nghi�m phân bi�t

Bài 17 (Kh�i B – 2006 – 2 �i�m) Cho hàm s 2 1

( )2

x xy H

x

+ −=

+


b) Vi�t ph��ng trình ti�p tuy�n c�a (H), bi�t ti�p tuy�n vuông góc v�i ti�m cn xiên c�a (H)

Bài 18 (Kh�i D – 2006 – 2 �i�m) Cho hàm s 3 3 2( )y x x C= − +


b) G�i (d) là ��ng th�ng qua A(3; 20) và có h� s góc m. Tìm m �� ng th�ng (d) c&t (C) t�i 3 �i�m phân bi�t.

Bài 19 (Kh�i A – 2005 – 2 �i�m) Cho hàm s 1

( )my mx Hx

= + , m là tham s

a) Kh�o sát hàm s khi 1

4m =

b) Tìm m �� hàm s có c�c tr� và kho�ng cách t� �i�m c�c ti�u c�a ( )mH ��n ti�m cn xiên

c�a ( )mH b�ng 1

2.


39

Bài 20 (Kh�i B – 2005 – 2 �i�m) Cho hàm s 2 ( 1) 1

( )1 m

x m x my H

x

+ + + +=

+, m là tham s


b) Ch ng minh r�ng v�i m�i m, ( )mH luôn có c�c ��i, c�c ti�u và kho�ng cách gi�a hai

�i�m �ó b�ng 20

Bài 21 (Kh�i D – 2005 – 2 �i�m) Cho hàm 3 21 1( )

3 2 3 m

my x x C= − + , m là tham s


b) G�i M là �i�m thu�c ( )mC có hoành �� b�ng – 1. Tìm m �� ti�p tuy�n c�a ( )mC t�i M

song song v�i ��ng th�ng ( ) : 5 0d x y− =

Bài 22 (Kh�i A – 2004 – 2 �i�m) Cho hàm 2 3 3

( )2( 1)

x xy H

x

− + −=

−


b) Tìm m �� ng th�ng y m= c&t (H) t�i hai �i�m A, B sao cho AB = 1

Bài 23 (Kh�i B – 2004 – 2 �i�m) Cho hàm s 3 212 3 ( )

3y x x x C= − +


b) Vi�t ph��ng trình ti�p tuy�n (d) c�a (C) t�i �i�m un và ch ng minh r�ng (d) là ti�p tuy�n có h� s góc nh! nh�t.

Bài 24 (Kh�i D – 2004 – 2 �i�m) Cho hàm s 3 23 9 1( )my x mx x C= − + + , m là tham s


b) Tìm m �� i�m un c�a ( )mC thu�c ��ng th�ng y = x + 1

Bài 25 (Kh�i A – 2003 – 2 �i�m) Cho hàm s 2

( )1 m

mx x my H

x

+ +=

−


b) Tìm m �� ( )mH c&t tr�c hoành t�i hai �i�m phân bi�t có hoành �� d��ng


40

Bài 26 (Kh�i B – 2003 – 2 �i�m) Cho hàm s 3 23 ( )my x x m C= − + , m là tham s


b) Tìm m �� ( )mC có hai �i�m phân bi�t �i x ng nhau qua gc t�a ��

Bài 27 (Kh�i D – 2003 – 2 �i�m) Cho hàm s 2 2 4

( )2

x xy H

x

− +=

−


b) Tìm m �� ng th�ng ( ) : 2 2md y mx m= + − c&t (H) t�i hai �i�m phân bi�t

Bài 28 (Kh�i A – 2002 – 2,5 �i�m) Cho hàm s 3 2 2 3 23 3(1 ) ( )my x mx m x m m C= − + + − + −


b) Tìm k �� ph��ng trình 3 2 3 23 3 0x x k k− + + − = có ba nghi�m phân bi�t.

c) Vi�t ph��ng trình ��ng th�ng qua hai �i�m c�c tr� c�a ( )mC

Bài 29 (Kh�i B – 2002 – 2 �i�m) Cho hàm s 4 2 2( 9) 10( )my mx m x C= + − + , m là tham s th�c


b) Tìm m �� hàm s có ba �i�m c�c tr�

Bài 30 (Kh�i D – 2002 – 3 �i�m) Cho hàm s 2(2 1)

( )1 m

m x my H

x

− −=

−


b) Tính di�n tích hình ph�ng gi�i h�n b�i 1( )H− và hai tr�c t�a ��

c) Tìm m �� ( )mH ti�p xúc v�i ��ng th�ng ( ) :d y x=

Documents

CHUYÊN 1: GI I H N – LIÊN T C – O HÀM · PDF fileNguy n Thanh D ng – THPT Ngô Gia T Web :http :// 3 Bài 9: Tính các gi i