CHUYÊN ĐỀ THÁNG 3: CÂN BẰNG VẬT RẮNninhthuan.edu.vn/SiteFolders/thptchuyenlequydon/2711/Ly/Chuyen de Can... · Chuyên đề tháng 3: CÂN BẰNG VẬT RẮN GV: Nguyễn

Sở Giáo dục – Đào tạo Ninh Thuận

Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn

CHUYÊN ĐỀ THÁNG 3: CÂN BẰNG VẬT RẮN

Giáo viên: Nguyễn Hà Kim Loan

Tổ: Vật lý – Công nghệ

Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn

Chuyên đề tháng 3: CÂN BẰNG VẬT RẮN GV: Nguyễn Hà Kim Loan

1

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I. Quy tắc tổng hợp lực

I.1. Quy tắc tổng hợp hai lực có giá đồng quy

I.2. Quy tắc tổng hợp hai lực song song cùng chiều

I.3. Quy tắc tổng hợp hai lực song song ngược chiều

II. Trọng tâm (khối tâm) của vật rắn

III. Điều kiện cân bằng vật rắn không có chuyển động quay quanh trục

III.1. Điều kiện cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của hai lực

III.2. Điều kiện cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của ba lực không song song

III.3. Điều kiện cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của ba lực song song

IV. Điều kiện cân bằng vật rắn có trục quay cố định. Quy tắc mômen lực

IV.1. Mômen lực

IV.2. Ngẫu lực

IV.3. Quy tắc mômen lực

IV.4. Điều kiện cân bằng một vật rắn tổng quát

V. Các dạng cân bằng

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Điều kiện cân bằng vật rắn không có chuyển động quay.

Dạng 2: Điều kiện cân bằng vật rắn có chuyển động quay.

Dạng 3: Điều kiện cân bằng vật rắn tổng quát.

Dạng 4: Xác định trọng tâm của vật rắn.

Dạng 5: Các dạng cân bằng.

C. TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Bài tập cơ bản, nâng cao vật lý 10 – Vũ Thanh Khiết – NXB Đại học quốc gia Hà Nội.

2. Chuyên đề bồi dưỡng vật lý 10 – Phạm Đức Cường, Lại Tấn Nghề - NXB Đà Nẵng.

3. Bài tập vật lý 10 Nâng cao – Lưu Đình Tuần – NXB Trẻ.

4. Bài tập vật lý 10 Nâng cao – Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Cảnh Hoè – NXB Đại học quốc gia Hà

Nội.

5. Chuyên đề bồi dưỡng Vật lý 10 – Phan Hoàng Văn, Trương Thọ Lương, Nguyễn Hùng Mãnh –

NXB Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh.

6. Bài tập vật lý 10 – Lương Duyên Bình, Nguyễn Xuân Chi, Tô Giang, Vũ Quang, Bùi Gia Thịnh –

NXB Giáo dục.

7. Bài tập vật lý 10 Nâng cao – Lê Trọng Tương, Lương Tất Đạt, Lê Chân Hùng, Phạm Đình Thiết,

Bùi Trọng Tuấn – NXB Giáo dục.


2

A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I. Quy tắc tổng hợp lực

I.1. Quy tắc tổng hợp hai lực có giá đồng quy

* Để tổng hợp hai lực có giá đồng quy, ta làm như sau:

- Trượt hai lực trên giá của chúng tới điểm đồng qui.

- Áp dụng quy tắc hình bình hành, tìm hợp lực Fur

.

1 2F F F ur uur uur

* Phân tích lực Fur

thành hai lực 1F

uur,

2Fuur

có tác dụng giống hệt lực Fur

, ta cũng sử dụng quy tắc hình

bình hành và căn cứ vào tác dụng cụ thể của lực Fur

để chọn phương

của 1F

uur,

2Fuur

.

I.2. Quy tắc tổng hợp hai lực song song cùng chiều

- Hợp lực của hai lực song song cùng chiều tác dụng vào một vật rắn

là một lực song song, cùng chiều và có độ lớn bằng tổng các độ lớn

của hai lực đó.

- Giá của hợp lực chia trong khoảng cách giữa hai giá của hai lực

thành phần thành những đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn của hai lực ấy.

1 21 2

2 1

;F d

F F FF d

- I.3. Quy tắc tổng hợp hai lực song song ngược chiều

- Hợp lực của hai lực song song ngược chiều tác dụng vào một vật rắn là một lực

song song, cùng chiều với lực lớn và có độ lớn bằng hiệu các độ lớn của hai lực đó.

- Giá của hợp lực chia ngoài khoảng cách giữa hai giá của hai lực thành phần

thành những đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn của hai lực ấy.

1 21 2

2 1

;F d

F F FF d

1 2F F

II. Trọng tâm (khối tâm) của vật rắn

- Trọng tâm là điểm đặt của trọng lực. Ở gần mặt đất, trọng tâm trùng với khối tâm của vật.

- Toạ độ khối tâm của hệ các chất điểm m1, m2,… được xác định bởi công thức:

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

... ... ...; ;

m x m x m y m y m z m zx y z

m m m m m m

Trong đó: x1, y1, z1; x2, y2, z2;… là toạ độ của các chất điểm m1, m2… trong hệ trục Oxyz bất kì.

- Lực tác dụng vào vật có giá đi qua trọng tâm sẽ làm vật chuyển động tịnh tiến.

- Lực tác dụng vào vật có giá không đi qua trọng tâm sẽ làm cho vật vừa quay vừa tịnh tiến.

III. Điều kiện cân bằng vật rắn không có chuyển động quay quanh trục

0F ur r

* Chú ý:

- Công thức trên cũng là điều kiện cân bằng của chất điểm.

- Với điều kiện trên, khối tâm của hệ phải chuyển động đều hoặc đứng yên.

* Các trường hợp cụ thể:

III.1. Điều kiện cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của hai lực:

Điều kiện cân bằng vật rắn chịu tác dụng của hai lực là hai lực ấy phải cùng giá, cùng độ lớn và

ngược chiều.

Ngoại lực


3

1 2 0F F uur uur r

III.2. Điều kiện cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của ba lực không song song

- Ba lực đó phải có giá đồng phẳng và đồng quy.

- Hợp lực của hai lực phải cân bằng với lực thứ ba: 1 2 3F F F

uur uur uur

III.3. Điều kiện cân bằng của vật rắn chịu tác dụng của ba lực song song

- Ba lực đó phải có giá đồng phẳng.

- Lực ở trong phải ngược chiều với hai lực ở phía ngoài.

- Hợp lực của hai lực ở phía ngoài phải cân bằng với lực ở trong.

IV. Điều kiện cân bằng vật rắn có trục quay cố định. Quy tắc mômen lực

IV.1. Mômen lực

Mômen lực đối với một trục quay là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay của lực, được đo

bằng tích độ lớn của lực và cánh tay đòn của nó (khoảng cách từ trục quay đến giá của lực).

M = F.d

Đơn vị: N.m

IV.2. Ngẫu lực

Hệ hai lực song song, ngược chiều, cùng độ lớn và tác dụng vào một

vật gọi là ngẫu lực.

Mômen ngẫu lực: M = F.d

Mô IV.3. Quy tắc mômen lực

Muốn cho một vật có trục quay cố định cân bằng thì tổng đại số mômen lực phải bằng 0.

ΣM = 0

IV.4. Điều kiện cân bằng một vật rắn tổng quát

- Tổng đại số các hình chiếu của các lực lên các trục toạ độ phải bằng không.

- Đối với một trục quay bất kì, tổng mômen các lực có xu hướng làm vật quay cùng chiều kim đồng

hồ bằng tổng các mômen lực có xu hướng làm cho vật quay ngược chiều kim đồng hồ.

V. Các dạng cân bằng

V.1 Cân bằng vật rắn tựa trên một điểm hoặc trục cố định

- Cân bằng bền: đưa vật rời vị trí cân bằng một đoạn nhỏ thì vật sẽ trở về vị trí cân bằng; trọng tâm

của vật ở vị trí thấp nhất so với các điểm lân cận.

- Cân bằng không bền: đưa vật rời vị trí cân bằng một đoạn nhỏ thì vật sẽ rời xa vị trí cân bằng; trọng

tâm của vật ở vị trí cao nhất so với các điểm lân cận.

- Cân bằng phiếm định: đưa vật rời vị trí cân bằng một đoạn nhỏ thì vật sẽ nằm cân bằng ở vị trí mới;

trọng tâm của vật không thay đổi hoặc ở một độ cao không đổi.

V.2 Cân bằng của vật có mặt chân đế: Mặt chân đế là đa giác lồi giới hạn bởi các điểm tiếp xúc của vật với mặt đỡ.

Điều kiện cân bằng của vật có mặt chân đế: giá của trọng lực phải đi qua mặt chân đế.

Mức vững vàng của trạng thái cân bằng được xác định bởi độ cao của trọng tâm và diện tích mặt

chân đế. Cân bằng càng vững khi khối tâm càng thấp và diện tích mặt chân đế càng lớn.


4

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Điều kiện cân bằng vật rắn không có chuyển động quay.

1. Phương pháp giải

Bước 1: Phân tích các lực tác dụng lên vật.

Bước 2: Viết điều kiện cân bằng (hay phương trình cân bằng lực): 1 2 ... 0F F

uur uur r

Bước 3: Giải phương trình trên bằng các cách sau:

- Phương pháp cộng vectơ theo quy tắc hình bình hành;

- Phương pháp chiếu phương trình trên lên các trục tọa độ để đưa về phương trình đại số. Vì ta chỉ

khảo sát các lực đồng phẳng, nên chỉ xét phương trình hình chiếu lên hai trục tọa độ Ox và Oy.

- Áp dụng qui tắc hợp lực song song cùng chiều, ngược chiều và điều kiện cân bằng của vật rắn

chịu tác dụng của 3 lực song song.

*Chú ý:

Một vật rắn cân bằng, chịu tác dụng của n lực. Nếu hợp lực của (n-1) lực đi qua điểm 0 thì lực còn lại

cũng phải đi qua điểm 0.

2. Bài tập có hướng dẫn

Bài 1

Một quả cầu khối lượng 4kg, bán kính R = 15cm, tựa vào tường trơn nhẵn và được giữ nằm yên nhờ

một dây treo gắn vào tường tại A, chiều dài dây AB = 15cm. Tìm lực căng của dây và lực nén của quả

cầu lên tường. Lấy g = 10m/s2.

Hướng dẫn

Chọn hệ toạ độ Oxy như hình vẽ.

Các lực tác dụng vào quả cầu được biểu diễn như hình vẽ.

Điều kiện cân bằng của quả cầu: 0 1P N T ur uur ur r

Chiếu (1) lên Ox, Oy, ta có:

os 2

sin 3

P Tc

N T

Ta có: 01

sin 302

CO R

AB BO AB R

Từ (2) 046, 2

os os30

P mgT N

c c

Từ (3) sin 23,1N T N

Vậy lực nén lên tường bằng 23,1N.

Bài 2

Xác định áp lực tạo bởi hệ thống trục, bánh đà lên các ổ trục A và B. Bỏ qua

trọng lượng trục. Biết trọng lượng bánh đà C là 240N, AB = 60cm; AC = 80cm.

Hướng dẫn

Coi trọng lượng bánh đà C là hợp lực song song ngược chiều của áp lực tác dụng

lên A và B. (hợp lực Pur

nằm ngoài, nên 1 2,F F

uur uurngược chiều. Vì BC < AC nên

1Fuur

phải cùng chiều với Pur

và F1 > F2)

Theo qui tắc hợp lực song song ngược chiều:

1 2 1 21

1 1

22 2

240320

4 80

F F P F FF N

F FACF N

F BC F


5

Bài 3

Một viên bi khối lượng 100g treo vào điểm cố định A nhờ dây AB và nằm trên mặt

cầu tâm O, bán kính r = 10cm. Khoảng cách từ A đến mặt cầu AC = d = 15cm, chiều

dài dây AB = l = 20cm, đoạn OA thẳng đứng. Tìm lực căng dây và lực do quả cầu nén

lên mặt cầu.

Hướng dẫn

Điều kiện cân bằng của viên bi: 0 1P T N ur ur uur r

Chiếu (1) lên Oy: os os 0 2Nc Tc P

Chiếu (1) lên Ox: sin sin 0 3N T

Ta có: 2 2 2

2os 0,925;sin 1 os 0,382 .

AB AO OBc c

AB AO

2 2 22os 0,65;sin 1 os 0,76

2 .

AO OB ABc c

AO OB

Từ (3) sin

0,4sin

TN N

Thế vào (2) 0,8os cot sin

PT N

c

3. Bài tập tự giải

Bài 1: Một vật có khối lượng 2kg được treo trên trần và tường bằng các dây AB, AC (hình 1). Xác

định lực căng của các dây biết α = 600, β = 1350. Lấy g = 10m/s2.

Đáp số: TAC = 14,64N; TAB = 10,35N.

Bài 2: Cho hệ cân bằng như hình 2. Tìm m1 và lực nén của m1 lên sàn. Biết m3 = 2m2 = 4kg, α= 300.

Bỏ qua ma sát.

Đáp số: m1 = 2,9kg; N = 5,4kg.

Bài 3: Ba khối trụ có cùng trọng lượng 120N giống nhau đặt nằm như hình 3. Tính lực nén của mỗi

ống dưới lên đất và lên tường giữ chúng. Bỏ qua ma sát.

Đáp số: 180N, 34,6N.

Bài 4: Thanh AB trọng lượng P1 = 100N, chiều dài 1m, trọng vật P2 = 200N đặt tại C, AC = 60m.

(hình 4)

a. Tìm hợp lực của P1 và P2.

b. Tìm lực nén lên hai giá đỡ ở hai đầu thanh.

Đáp số: a. P = 300N; IA = 170/3 cm; b. 130N; 170N.

Bài 5: Thanh gấp khúc đồng chất ABC có tiết diện nhỏ, góc B = 600 treo cân bằng trên dây AD (hình

5). Tính góc α tạo bởi BC và phương ngang. Biết BC = 2AB.

Đáp số: 190

Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Hình 5


6

Dạng 2: Cân bằng vật rắn có chuyển động quay.


Bước 1: Phân tích các lực tác dụng lên vật rắn (kể cả phản lực của trục quay).

Bước 2: Xác định trục quay và khoảng cách từ giá các lực đến trục quay.

Bước 3: Áp dụng quy tắc mômen lực đối với trục quay. (Phân biệt các mômen làm vật quay cùng

chiều kim đồng hồ, mômen làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ).

*Chú ý:

- Quy tắc mômen cũng được áp dụng cho cả trường hợp vật không có trục quay cố định nhưng có

trục quay tức thời tuỳ theo vị trí của vật.

- Trục được chọn để tính mômen lực có thể là bất kì, nhưng thường chọn trục có nhiều lực đi qua để

phương trình được đơn giản (khi đó mômen các lực này bằng không).


Thanh AB đồng chất gắn vào tường nhờ bản lề tại A. Biết m1 = 8kg;

lấy g = 10m/s2. Hỏi thanh AB phải có khối lượng bằng bao nhiêu để

thanh nằm ngang cân bằng.

Hướng dẫn

Hướng dẫn

Các lực có tác dụng làm thanh AB quay quanh bản lề tại A:

Trọng lực P của thanh AB đặt tại trung đỉểm O. Lực căng dây T

với T = P1 (phản lực N của tường đi qua trục quay).

Áp dụng qui tắc mômen lực: MT = MP

→ T.AH = P.AO

Với AH = AB.cos600; AO = AB/2

→ P1 = P → m = m1 = 8kg.


Bài 1: Một thanh nhẹ gắn vào sàn tại B. Tác dụng lên đầu A lực kéo F = 100N theo

phương ngang Thanh được giữ cân bằng nhờ dây AC (hình 1). Tìm lực căng dây. Biết

α = 300.

Đáp số: 200N.

Bài 2: Một bánh xe có bán kính R, khối lượng m (hình 2). Tìm lực kéo F nằm

ngang đặt trên trục để bánh vượt qua bậc có độ cao h. Bỏ qua ma sát.

Đáp số: 22mg Rh h

FR h

Bài 3: Thanh AB khối lượng 100g, có thể quay quanh bản lề tại A được bố

trí như hình 3, m1 = 500g, m2 = 150g, BC = 20m. Tìm chiều dài AB, biết thanh

đang cân bằng.

Đáp số: 25cm.

Bài 4: Một thanh dài 1m, khối lượng 1,5kg. Một đầu thanh được gắn vào trần

nhà nhờ một bản lề, đầu kia bằng một dây treo thẳng đứng (hình 4). Trọng tâm

của thanh cách bản lề một đoạn d = 0,4m. Lấy g = 10m/s2. Tính lực căng dây T.

Đáp số: 6N.

Bài 5: Một thanh sắt dài, đồng chất, tiết diện đều, đặt trên mặt bàn sao cho 1/4 chiều dài của nó nhô

ra khỏi mặt bàn. Tại đầu nhô ra, người ta đặt một lực F hướng thẳng đứng xuống dưới. Khi lực đạt đến

giá trị 40N thì thanh bắt đầu nghiêng và mất cân bằng. Tìm trọng lượng của thanh.

Đáp số: 40N.


7

Bài 6: Dùng cân đòn để cân một vật. Vì cánh tay đòn của cân không thật bằng nhau nên khi đặt vật ở

đĩa cân bên này, ta cân được 40g nhưng khi đặt vật sang đĩa cân bên kia, ta cân được 44,1g. Tìm khối

lượng đúng của vật.

Đáp số: 42g.

Dạng 3: Điều kiện cân bằng vật rắn tổng quát.


Bước 1: Phân tích các lực tác dụng lên vật.

Bước 2: Viết phương trình cân bằng (phương trình về lực và phương trình về mômen).

Bước 3: Chiếu phương trình lực lên các trục toạ độ Oxy và giải hệ thống phương trình để tìm ra ẩn số

của bài toán.

*Chú ý:

- Phương của hệ trục toạ độ Oxy được chọn sao cho việc giải toán được đơn giản.

- Trục được chọn để tính mômen lực có thể là bất kì, nhưng thường chọn trục có nhiều lực đi qua để

phương trình được đơn giản (khi đó mômen các lực này bằng không).

- Lực ma sát tác dụng lên vật phải là ma sát nghĩ, nghĩa là msF kN (N là phản lực vuông góc).


Bài 1

Một thanh AB dài 2m khối lượng 2kg được giữ nghiêng một góc α trên

mặt sàn nằm ngang bằng một sợi dây nằm ngang BC dài 2m nối đầu B với

một bức tường đứng thẳng; đầu A tựa lên mặt sàn. Hệ số ma sát giữa thanh

và mặt sàn bằng 3

2. Lấy g = 10m/s2.

1. Tìm các giá trị α để thanh có thể cân bằng.

2. Tính các lực tác dụng lên thanh và khoảng cách AD từ đầu thanh đến góc tường khi α = 450.

Hướng dẫn

1. Các lực tác dụng lên thanh: trọng lực Pur

(đặt tại trung điểm O của

thanh); lực ma sát msF

uuur ; phản lực N

uur của mặt sàn; lực căng dây T

ur.

Áp dụng điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn: 0(1)msP F N T ur uuur uur ur r

Đối với trục quay đi qua A: MP = MT

Hay . .sin os 0 22

ABT AB P c

Từ 1 cot

2 cot 32 2

mgT P

Chiếu (1) lên phương ngang và phương thẳng đứng:

0 4 ;

0 5

msF T

N P

Từ cot

4 62

ms

mgF T

Và N = P = mg (7)

Lực ma sát phải là lực ma sát nghỉ nên: msF kN .

Từ (6) và (7): 0cot

cot 2 3 302

mgkmg k

Vậy muốn cho thanh AB cân bằng, góc nghiêng α của thanh phải có giá trị 030

2. Khi 045 , thay số vào (6) và (7): Fms = T = 10N; N = P = 20N.

Từ hình vẽ: AD = BC - ABcos α = 0,59m.


8

Bài 2

Một thợ kẻ chữ đứng trên một sàn đồng chất, nằm ngang được giữ

bởi các dây ở hai đầu. Người thợ có trọng lượng P đứng ở ¼ sàn tính

từ bên trái. Sàn có trọng lượng P/2. Dây bên trái chịu sức căng là Tt

và tạo một góc 600 so với phương ngang. Dây bên phải chịu một sức

căng Tp và tạo với phương ngang một góc . Tính Tt, Tp và .

Hướng dẫn

Các lực tác dụng vào sàn được biểu diễn như hình vẽ.

Áp dụng điều kiện cân bằng tổng quát: 0 12

t p

PP T T

urur ur uur r

Đối với trục quay đi qua mép phải của sàn: 2

2tT P P

M M M uur ur ur

Chiếu (1) lên phương ngang và phương thẳng đứng:

0

0

os60 os 3

sin 60 sin 0 42

t p

t p

T c T c

PT T P

Từ (2) 0 03 1( sin 60 ) 0 sin 60 0 5

4 2 2t t

PT L P L L T P

Giải hệ (3), (4), (5), ta được: Tt = 1,15P; Tp = 0,76P; 041


Bài 1: Thanh AB đồng chất, trọng lượng P = 10N, dài 1,2m. Đầu B

treo vật có trọng lượng P1 = 10N. Thanh được giữ cân bằng nhờ bản

lề tại A và dây CD. Biết sợi dây làm với thanh góc 300 và C cách B

0,3m. Xác định lực căng dây và phản lực của bản lề tác dụng lên

thanh tại A. Lấy g = 10m/s2.

Đáp số: T = 40 N; N = 34,6 N vuông góc với tường.

Bài 2: Một thang AB đồng chất khối lượng m = 20kg, dựa vào tường trơn nhẵn, hợp với mặt phẳng

ngang một góc α. Hệ số ma sát giữa thang và sàn k = 0,6.

a. Thang đứng yên cân bằng, tìm các lực tác dụng lên thang nếu α = 450.

b. Tìm các giá trị của α để thang đứng yên không trượt trên sàn.

c. Một người khối lượng m’ = 40kg leo lên thang khi α = 450 . Hỏi người đó lên đến vị trí O’ nào trên

thang thì thang bắt đầu trượt. Biết thang dài l = 2m, g = 10m/s2.

Đáp số: a. P = 200N; phản lực do sàn tác dụng lên thang N1 = 200N;

phản lực do tường tác dụng lên thang N2 = 100N; Fms = 100N.

b. 040 ; c. O’ cách chân A 1,3m.

Bài 3: Một người có trọng lượng P1 = 588N đứng trên tấm gỗ trọng lượng P = 294N. Tấm

gỗ có chiều dài l treo trên hai ròng rọc. Người cần phải kéo sợi dây bằng một lực bao

nhiêu và đứng ở vị trí nào để tấm gỗ cân bằng. Bỏ qua trọng lượng của ròng rọc.

Đáp số: 220,5N; cách A một đoạn l/5.

Bài 4: Đầu A của thanh đồng chất AB khối lượng m = 4 kg được gắn vào sàn bằng một

bản lề. Đầu B của thanh được nâng lên nhờ sợi dây BC cột vào bức tường đứng thẳng tại

điểm C. Cho biết thanh AB và dây BC làm với mặt sàn góc α = 30o và β = 60o. Tính lực căng dây T

của dây BC và phản lực Q của sàn tại A. Lấy g = 10 m/s2.

ĐS: T = 20 N; N = 20 N


9

Bài 4 Bài 5 Bài 7

Bài 5: Một bức tranh có chiều cao AB = d được treo vào tường thẳng đứng nhờ một sợi dây AC dài l ,

hợp với tường một góc α. Mép dưới B của tranh tựa vào tường. Muốn cho bức tranh đứng cân bằng thì

hệ số ma sát k giữa bức tranh và tường phải bằng bao nhiêu?

ĐS: 2 2 2os 2 sin

sin

c dk

l l

l

Bài 6: Một vật có dạng khối hộp đáy vuông cạnh a = 25 cm chiều cao b = 50 cm được đặt trên một mặt

phẳng nghiêng góc α so với phương ngang. Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng bằng 0,6. Khi

tăng dần góc α, vật sẽ trượt trước hay đổ trước?

ĐS: Vật đổ trước.

Bài 7: Người ta đặt mặt lồi của một bán cầu bán kính R khối lượng m1 = 1 kg lên trên một mặt bàn

nằm ngang. Tại mép B của bán cầu gắn một vật nhỏ khối lượng m2 = 90 g làm cho bán cầu nghiêng

một góc α so với phương ngang. Hãy xác định góc α. Cho biết trọng tâm của bán cầu nằm tại C thấp

hơn mặt phẳng bán cầu một đoạn 3R/8.

ĐS: tanα = 0,24

Bài 8: Người ta đẩy một khúc gỗ khối lượng m, có dạng một khối trụ tiết diện lục giác đều cạnh a được

đặt trên mặt bàn nằm ngang bằng một lực F song song với mặt bàn và hướng vuông góc với trục của

khối gỗ. Muốn cho khúc gỗ trượt mà không quay thì lực F và hệ số ma sát giữa khúc gỗ và mặt bàn

phải bằng bao nhiêu?

ĐS: 1

;3 3

PF

Bài 9: Một quả cầu bán kính R khối lượng m được đặt ở đáy phẳng không nhẵn của một chiếc hộp có

đáy nghiêng một góc α so với mặt bàn nằm ngang. Quả cầu được giữ cân bằng bởi một sợi dây AC

song song với đáy hộp. Hệ số ma sát giữa quả cầu và đáy hộp là k. Muốn cho quả cầu nằm cân bằng thì

góc α của đáy hộp có thể có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu? Tính lực căng dây T của dây AC khi đó.

ĐS: tanα 2k; 21 4

kPT

k

Bài 9 Bài 10

Bài 10: Một vật A hình hộp khối luợng m = 50kg, có thiết diện thẳng là hình chữ nhật ABCD (cạnh

AB = CD = a = 1m; BC = AD = b = 0,7m) được đặt trên sàn nhà sao cho mặt CD tiếp xúc với sàn

A

G

B

C D

Fr

α

A C

O C B

α

A

B

I Pur

α

C

H

A

B

I

Pur

α

β

C


10

1. Tác dụng vào giữa mặt BC một lực Fr

theo phương nằm ngang.

a. Tìm giá trị của Fr

để có thể làm vật bị lật.

b. Tìm hệ số ma sát giữa vật và sàn

2. Đặt lên sàn nhà vật B hình khối lập phương, khối lượng m = 60kg, có thiết diện thẳng là hình

vuông ABCD, cạnh a = 1m, mặt CD tiếp xúc với sàn. Tác dụng vào A một lực Fr

hướng xuống sàn

và hợp với AB một góc = 300; hệ số ma sát giữa vật B và sàn phải bằng bao nhiêu để vật không

tịnh tiến trên sàn nhà? Tìm giá trị nhỏ nhất của Fr

để có thể làm lật vật B. Lấy g = 10m/s2

Bài 11: Thanh AB chiều dài l = 2m, khối lượng m = 3kg.

a. Thanh được treo cân bằng trên hai dây tại I và B như hình; AI = 25 cm. Dựa trên điều kiện cân

bằng của vật rắn, tính các lực tác dụng lên thanh.

b. Thanh được treo bằng một sợi dây ở đầu B, đầu A tựa trên cạnh bàn. Tính các lực tác dụng lên

thanh khi thanh cân bằng, biết α = 30o.

ĐS: a. TI = 17,14 N; TB = 12,86 N; b. T = 15N; Fms = 7,5 N; N = 13N.

Bài 11a Bài 11b Bài 12

Bài 12: Người ta đặt một đĩa tròn có đường kính 50 cm và có khối lượng 4 kg đứng thẳng trên một mặt

phẳng nghiêng. Giữ đĩa bằng một sợi dây nằm ngang mà một đầu buộc vào điểm A cao nhất trên vành

đĩa, còn đầu kia buộc chặt vào điểm C trên mặt phẳng nghiêng sao cho dây AC nằm ngang và nằm

trong mặt của đĩa. Biết góc nghiêng của mặt phẳng nghiêng là α = 30o. Hệ số ma sát giữa đĩa và mặt

phẳng nghiêng là µ.

a. Hãy tính lực căng dây AC.

b. Nếu tăng góc nghiêng α một lượng rất nhỏ thì đĩa không còn ở trạng thái cân bằng. Hãy tính giá trị

của hệ số ma sát µ.

Bài 13: Một bán trụ có bán kính r đặt cố định trên mặt bàn nằm ngang. Trong một mặt phẳng vuông

góc với trục O của bán trụ có một thanh đồng chất AB tiết diện đều và dài bằng r, đầu B của thanh tựa

trên bán trụ không có ma sát, đầu A tựa trên mặt bàn. Hệ số ma sát giữa mặt bàn và thanh là µ = /3.

Góc phải thoả điều kiện gì để thanh ở trạng thái cân bằng?

Bài 13 Bài 14

Bài 14: Cho cơ hệ như hình vẽ. Biết thanh AB đồng chất tiết diện đều có khối lượng m dài l có thể

quay quanh bản lề tại A. Dây chằng CB vuông góc với thanh và tạo với tường CA một góc 30o. Đĩa

hình trụ có khối lượng M và bán kính R. Xác định lực căng dây CB, bỏ qua mọi ma sát.

A

B

C

O R

30o

A

B

O

A

C

α

B I

A

B

A


11

Dạng 4: Xác định trọng tâm của vật rắn.


Cách 1: Chia vật thành nhiều phần, mỗi phần có dạng hình học đối xứng (hình tròn, hình cầu, hình

chữ nhật, hình hộp…). Trọng tâm của mỗi phần (tâm đối xứng của hình, như là tâm đường tròn, tâm

hình cầu, giao điểm các đường chéo…) là điểm đặt của trọng lực. Bài toán quy về việc xác định điểm

đặt của hợp các trọng lực của các phần dựa vào quy tắc tổng hợp các lực song song.

Cách 2: Xem vật như một hệ chất điểm m1, m2, m3… đặt tại trọng tâm O1, O2, O3… của các phần và

dùng công thức tính tọa độ trọng tâm (chọn hệ toạ độ sao cho phép tính được đơn giản).

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

... ... ...; ;

m x m x m y m y m z m zx y z

m m m m m m

Trong đó: x1, y1, z1; x2, y2, z2;… là toạ độ của các chất điểm m1, m2… trong hệ trục Oxyz bất kì.

*Chú ý:

- Đối với bản phẳng đồng chất, hệ công thức trên được rút về dạng:

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

... ... ...; ;

S x S x S y S y S z S zx y z

S S S S S S

- Đối với bản phẳng có khoét lỗ, vẫn sử dụng hệ công thức trên với diện tích của lỗ có giá trị âm.


Một bản mỏng kim loại đồng chất hình chữ T như hình vẽ. Cho biết AB = CD =

60cm; EF = HG = 20cm; AD = BC = 20cm; EH = FG = 100cm. Hãy xác định vị trí

trọng tâm của bản.

Hướng dẫn

Chia bảng mỏng thành 2 phần ABCD và EFGH, mỗi phần có dạng hình chữ nhật nên

trọng tâm mỗi phần nằm lần lượt tại O1, O2.

Cách 1: Trọng lực P1, P2 của hai phần có điểm đặt tại O1, O2. Trọng tâm

O của bản là điểm đặt của hợp các trọng lực P1, P2.

Theo qui tắc tổng hợp hai lực song song cùng chiều: 1 2 2

2 1 1

1OO P m

OO P m

Vì bản đồng chất, nên khối lượng tỉ lệ với diện tích:

2 2

1 1

100.20 52

60.20 3

m S

m S

Đồng thời ta lại có: 1 2 1 2

20 10060 3

2 2

AD EHO O O O OO cm

Từ (1), (2), (3), suy ra: 1 237,5 ; 22,5OO cm OO cm .

Cách 2: Chọn trục O1x trùng với đường thẳng nối O1O2, chiều dương hướng sang phải.

Tọa độ trọng tâm O: 1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

.0 . 100.20.6037,5

100.20 60.20

m x m x S S O Ox cm

m m S S


Bài 1: Có 5 quả cầu trọng lượng P, 2P, 3P, 4P và 5P gắn lần lượt trên một thanh nhẹ, khoảng cách

giữa hai quả cầu cạnh nhau là l. Tìm vị trí trọng tâm của hệ.

Đáp số: Trọng tâm của hệ cách tâm quả cầu có trọng lượng P một đoạn 8l/3.

Bài 2: Một bản mỏng đồng chất cấu tạo từ hình bán nguyệt AOB bán kính R và hình chữ nhật cạnh

AD = h. Xác định tỉ số h/R để trọng tâm của bản nằm tại O. Biết vị trí khối tâm của bản bán nguyệt

cách tâm O đoạn 4R/3π.

Đáp số: 2

3

h

R


12

Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5

Bài 3: Một bản phẳng kim loại đồng chất có dạng như hình vẽ. Biết AB = 30cm; EF = 10cm; IM =

40cm; AD = 10cm; EH = 50cm; IK = 20cm. Xác định trọng tâm của bản mỏng.

Đáp số: Trọng tâm nằm trên trục đối xứng cách đáy KL 33,125cm.

Bài 4: Xác định trọng tâm của một bản mỏng đồng chất hình tròn bán kính R, bị khoét mất một mẩu

hình vuông cạnh R/2.

Đáp số: Nằm trên đường thẳng OO’ cách O về bên phải một đoạn 4 4 1

R

Bài 5: Xác định trọng tâm của một bản mỏng đồng chất hình vuông cạnh 2a, bị khoét mất một mẩu

hình tròn đường kính a.

Đáp số: Nằm trên đường thẳng OO’ cách O về bên trái một đoạn 2 16

a

Dạng 5: Các dạng cân bằng.


Muốn biết cân bằng của vật thuộc dạng nào, ta giả sử đưa vật dời vị trí cân bằng và xét xem trọng

tâm của vật dịch chuyển như thế nào?

- Nếu trọng tâm của vật hạ xuống thấp hơn thì đó là vị trí cân bằng không bền.

- Nếu trọng tâm của vật dịch lên cao hơn thì đó là vị trí cân bằng bền.

- Nếu độ cao của trọng tâm không thay đổi thì đó là vị trí cân bằng phiếm định.

Từ đó tìm được điều kiện cụ thể để cân bằng của vật là bền, không bền hay phiếm định.

Trong trường hợp vật có mặt chân đế, cần phải xác định mặt chân đế và xét xem giá của trọng lực

của vật có đi qua mặt chân đế hay không?


Người ta tiện một khúc gỗ thành một vật đồng chất có dạng như hình vẽ, gồm một

vật hình trụ có chiều cao h, tiết diện đáy có bán kính R = 5cm; và một bán cầu có bán

kính R. Muốn cho vật cân bằng phiếm định thì h phải bằng bao nhiêu? Cho biết trọng

tâm của bán cầu có bán kính r nằm thấp hơn mặt phẳng bán cầu một đoạn 3

8

R.

Hướng dẫn

Ban đầu khi vật đứng cân bằng, trục đối xứng của nó hướng thẳng đứng. Khi đẩy

nhẹ vật để trục đối xứng nghiêng một góc nhỏ so với vị trí ban đầu, độ cao tâm O của

bán cầu không thay đổi (cách mặt sàn một đoạn bằng bán kính R). Để vật cân bằng

phiếm định, phần hình trụ phải có chiều cao h sao cho trọng tâm của vật nằm tại O.

Gọi O1, O2 là trọng tâm của các phần hình trụ và bán cầu.

Ta có: 1 2

3; 1

2 8

h ROO OO

Áp dụng qui tắc hợp lực song song:

3

1 2 2 2

2

2 1 1 1

1 4.

22 3 23

ROO P m V R

OO P m V R h h


13

Theo (1): 1

2

42 33 3

8

hOO h

ROO R

Từ (2) và (3): 3,552

Rh cm


Bài 1: Có 4 viên gạch như nhau, cùng chiều dài l. đặt chồng lên nhau sao cho một phần của viên gạch

nhô ra khỏi viên gạch dưới. Hỏi mép của viên gạch trên cùng chỉ có thể nhô ra khỏi mép phải của viên

gạch dưới cùng một đoạn dài nhất là bao nhiêu để 4 viên gạch nằm cân bằng.

Đáp số: 11 l /12

Bài 2: Một cái chén có dạng nửa mặt cầu bán kính R đặt ngửa sao cho trục đối xứng của nó trùng với

phương thẳng đứng. Người ta cho chén quay quanh một trục với tần số f. Trong chén có một viên bi

nhỏ quay cùng với chén. Hãy xác định góc tạo bởi bán kính của mặt cầu vẽ qua hòn bi với phương

thẳng đứng khi cân bằng Xét trạng thái cân bằng của hòn bi.

Đáp số: 2 2

arccos4

g

f R

; Vị trí cân bằng của bi là bền.


14

ÔN TẬP

I. ĐỀ BÀI

Bài 1: Thanh AB đồng chất có khối lượng 2 kg, có thể quay xung quanh bản lề A gắn vào mặt cạnh

bàn nằm ngang AD. Hai vật m1 = 1 kg ,m2 = 2kg được treo vào điểm B bằng các sợi dây BC và BD

như hình vẽ. D là ròng rọc nhẹ. Biết AB = AD. Tìm để hệ nằm cân bằng. Lấy g = 10 m/s2.

Bài 1 Bài 2 Bài 4

Bài 2: Thanh CD vuông góc với trục thẳng đứng OZ và quay quanh trục này với vận tốc góc . Hai

hòn bi A và B có khối lượng M và m nối với nhau bằng một lò xo khối lượng không đáng kể, có độ

cứng k và có chiều dài tự nhiên 0l (Hình vẽ 1). Hai hòn bi có thể trượt không ma sát trên thanh.

Tính các khoảng cách ;OA x OB y ứng với trạng thái cân bằng của hai hòn bi; biện luận.

Áp dụng: 00,1 2 ; 0,2( ); 40 / ; 3M kg m l m k N m vòng/s

Tính x, y và lực đàn hồi của lò xo.

Bài 3: Một quả cầu nặng đồng chất được treo bằng dây vào một điểm cố định trên tường thẳng đứng.

Xác định hệ số ma sát giữa tường với quả cầu sao cho, khi cân bằng, điểm nối dây với quả cầu nằm

trên đường thẳng đứng đi qua tâm quả cầu.

Bài 4: Vật A có khối lượng m1= 5kg có dạng khối lăng trụ tiết diện thẳng là một tam giác đều, được

chèn sát vào tường thẳng đứng nhờ kê trên vật B khối lượng m2= 5 kg có dạng khối lập phương, đặt

trên mặt sàn nằm ngang (Hình vẽ 2). Coi hệ số ma sát ở tường và ở sàn đều là . Tính và áp lực tại

chỗ tiếp xúc. g=10 m/s2, bỏ qua ma sát tại chỗ tiếp xúc giữa vật A với vật B.

Bài 6: Thanh OA dài l = 1m, có khối lượng m1 = 2kg phân bố đều, một đầu gắn với bản lề O, đầu kia buộc vào

sợi dây vắt qua ròng rọc O1 và nối với vật có khối lượng m2 đặt trên mặt phẳng nghiêng như hình vẽ. Góc giữa

mặt nghiêng và mặt ngang là = 30o, hệ số ma sát giữa mặt nghiêng và vật là = 0,3.

Thanh ở trạng thái cân bằng ứng với = 45o, phương đoạn dây AB nằm ngang. Bỏ qua ma

sát ổ trục và khối lượng của ròng rọc.

a) Tìm lực tác dụng lên thanh tại O.

b) Tìm điều kiện của m2 để vật mất cân bằng.

B

A

G1

o

B

Z

D C

A

A C

m1

B

m2

D

O O B A

m1

m2 gr


15

BÀI 7:

II. BÀI GIẢI

Bài 1: Thanh AB đồng chất có khối lượng 2 kg, có thể quay xung quanh bản lề A gắn vào mặt cạnh

bàn nằm ngang AD. Hai vật m1 = 1 kg ,m2 = 2kg được treo vào điểm B bằng các sợi dây BC và BD

như hình vẽ. D là ròng rọc nhẹ. Biết AB = AD. Tìm để hệ nằm cân bằng. Lấy g = 10 m/s2.

GIẢI

Biểu diễn được các lực tác dụng lên thanh AB như hình vẽ.

Áp dụng ĐKCB cho thanh AB đối

Với trục quay A ta có: 0

1 2os(180 ) os(180 ) sin2

o ABp ABc p c p AB

1 2cos 2 os2 sin2

ABp AB p c p AB

Thay số vào ta đc: os2 = sinc 0os2 os( 90 )c c 0 030 120

Bài 2: Thanh CD vuông góc với trục thẳng đứng OZ và quay quanh trục này với vận tốc góc . Hai

hòn bi A và B có khối lượng M và m nối với nhau bằng một lò xo khối lượng không đáng kể, có độ

cứng k và có chiều dài tự nhiên 0l (Hình vẽ 1). Hai hòn bi có thể trượt không ma sát trên thanh.

Tính các khoảng cách ;OA x OB y ứng với trạng thái cân bằng của hai hòn bi; biện luận.

Áp dụng: 00,1 2 ; 0,2( ); 40 / ; 3M kg m l m k N m vòng/s

Tính x, y và lực đàn hồi của lò xo.

A C

m1

B

m2

D

1pr

2p

r

pr

Tr

A C

m1

B

m2

D


16

GIẢI

Khi cân bằng lò xo bị giãn một đoạn 0l x y l .

Lực đàn hồi của lò xo F k l chính là lực hướng tâm của hai hòn bi. 1 2F F F . 2 2

1 2 0; ; ( )F M x F m y F k x y l

Đẳng thức 1 2F F cho ta: .x m

y M (1)

Đẳng thức: 1F F 2

0( )M x k x y l ; (2)

Từ (1) và (2)) Ta có: 0 0

2 2;

( ) ( )

mkl Mklx y

k M m Mm k m m Mm

(3)

Biện luận: Với điều kiện ( )

0; 0M m k

x yMm

f f p ; ( nghĩa là độ cứng lò xo đủ lớn để giữ hai

hòn bi).

Áp dụng bằng số: ax

ax

( 1)

34,6 / .

3 / 18,84 /

M

M

Mk

m rad sM

vong s rad s

p

Thay các giá trị vào (3) ta có: 0,095 ; 0,19 ; 0,085x m y m l m V

Lực đàn hồi: . 3,4F k l N V

Bài 3: Một quả cầu nặng đồng chất được treo bằng dây vào một điểm cố định trên

tường thẳng đứng. Xác định hệ số ma sát giữa tường với quả cầu sao cho, khi cân bằng,

điểm nối dây với quả cầu nằm trên đường thẳng đứng đi qua tâm quả cầu.

GIẢI

Khi quả cầu đứng cân bằng các lực tác dụng vào nó: Sức căng T; lực ma sát Fms; phản

lực N; trọng lực P.

Đối với trục quay qua điểm A, vuông góc mặt phẳng hình vẽ :

Fms.R – N.R = 0 hay Fms = N

Mặt khác Fms ≤ k.N k 1.

Bài 4: Vật A có khối lượng m1= 5kg có dạng khối lăng trụ tiết diện thẳng là một tam giác đều, được

chèn sát vào tường thẳng đứng nhờ kê trên vật B khối lượng m2= 5 kg có dạng khối lập phương, đặt

trên mặt sàn nằm ngang (Hình vẽ 2). Coi hệ số ma sát ở tường và ở sàn đều là . Tính và áp lực tại

chỗ tiếp xúc. Cho g=10 m/s2, bỏ qua ma sát tại chỗ tiếp xúc giữa vật A với vật B.

o

B

Z

D C

A

Hình 1

A

P

T

Fms

N


17

1Nur

A

2Pur

2Qur

2Fr

B

Hình 2

2Nur

1Pur

1Fr

1Qur

GIẢI

Vật A chịu tác dụng : Trọng lực 1Pur

, phản lực vuông góc 1Nuur

, lực ma sát 1Fur

của tường hướng lên trên,

phản lực vuông góc 1

Qur

của vật B

Ta có 1 11 10P N F Q

ur uur ur ur (1)

Vật B chịu tác dụng: Trọng lực 2Pur

, phản lực vuông góc 2Nuur

, lực ma sát 2Fur

của sàn nằm ngang, phản

lực vuông góc 2Q

ur của vật A.

Ta có 2 22 20P N F Q

ur uur ur ur (2)

Chiếu (1) và (2) lên Ox (nằm ngang) và oy (thẳng đứng) 0

1 1 1 os30P F Q c với 1 1.F N ; 0

1 1.sin 30N Q ; 0

2 2 2. os30P N Q c

1 2Q Q , 0

2 2 2.sin 30 .Q F N

Từ các phương trình trên thay số và rút ra: 2 3,464 1 0

Ta lấy nghiệm dương : 0,267

Từ đó: N2= 1,869Q2=1,869Q1; Q2=Q1=P1= 50N;

11 25

2

QN N va N2= 93,5N

GIẢI

B

A

G1

Hình 2


18

Bài 6: Thanh OA dài l = 1m, có khối lượng m1 = 2kg phân bố đều, một đầu gắn với bản lề O, đầu kia buộc vào

sợi dây vắt qua ròng rọc O1 và nối với vật có khối lượng m2 đặt trên mặt phẳng nghiêng như hình vẽ. Góc giữa

mặt nghiêng và mặt ngang là = 30o, hệ số ma sát giữa mặt nghiêng và vật là = 0,3. Thanh ở trạng thái cân

bằng ứng với = 45o, phương đoạn dây AB nằm ngang. Bỏ qua ma sát ổ trục và

khối lượng của ròng rọc.

a) Tìm lực tác dụng lên thanh tại O.

b) Tìm điều kiện của m2 để vật mất cân bằng.

GIẢI

Áp dụng điều kiện cân bằng, ta có: x y 1

1

1 1P /O T/O 1 l x1

Q T;Q PQ P T 0

P PlM M P sin T cos T Q

2 2 2

uur ur

r rr r

2 2 1x y

P 5 20 5Q Q Q 22,36N

2 2

Vật 2 cân bằng là do có lực ma sát nghỉ:

o Về độ lớn: ms0 f N .

o Về chiều có thể cùng chiều hay ngược chiều với T.

o Ta có điều kiện cân bằng: 2

2

2

os0

sin 0ms

ms

N P cP T f N

P T f

uur ur uuur uur r

dấu để nói 2 chiều khác nhau của lực ma sát.

o 2 2

21

sin cos 02

1 0,522

m g T m g

mm gT

21

2

22

1,31,3 4,2

4,2

m kgkg m kg

m kg

O O B A

m1

m2 gr


19

Muốn hệ không cân bằng thì 2

2

4,2

1,3

m kg

m kg

.

BÀI 7:


20

Documents

CHUYÊN ĐỀ THÁNG 3: CÂN BẰNG VẬT RẮNninhthuan.edu.vn/SiteFolders/thptchuyenlequydon/2711/Ly/Chuyen de Can... · Chuyên đề tháng 3: CÂN BẰNG VẬT RẮN GV: Nguyễn