CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 3º ESPAD MATEMÁTICAScepa-migueldecervantesadultosdaimiel.centros.castillalamancha.es/...EJERCICIO 1 Indica si son correctas o no las siguientes expresiones

CIENTÍFICO TECNOLÓGICO3º ESPAD

MATEMÁTICAS

CEPA MIGUEL DE CERVANTESCURSO 2019-20

Bloque 7. Tema 1.

Los números reales.

ÍNDICE

1) Los distintos tipos de números

1.1. Los números naturales

1.2. Los números enteros

1.3. Los números racionales

1.4. Los números irracionales

1.5. Los números reales

1.5.1. Intervalos

2) Cálculo de porcentajes. Los porcentajes en la economía.

2.1. Cálculo de porcentajes

2.2. Aumentos y disminuciones porcentuales

2.2.1. Aumentos porcentuales

2.2.2. Disminuciones porcentuales

2.3. Los porcentajes en la economía

2.3.1. El impuesto sobre el valor añadido. 2.3.2. El interés simple 2.3.3. El índice de precios al consumo (IPC) 2.3.4. La hipoteca.

Introducción

¿Son importantes los números? ¡Claro que sí! Desde que el mundo es mundo las gentes han usado los números en sus actividades cotidianas: contar árboles, cabezas de ganado,... De hecho, conocer y manejar números nos es de gran ayuda para, por ejemplo, entender nuestras cuentas bancarias, nuestros recibos y cómo se calculan los nuevos precios en las rebajas. También nos permiten comunicarnos para decir cuántos grados de temperatura hay en este momento, positivos o negativos, o qué porción de tarta nos hemos comido en el cumpleaños de un amigo.

Además, hoy en día, gracias a los ordenadores y las calculadoras podemos manejar los números y realizar difíciles cálculos de forma sencilla. Los programas de hoja de cálculo no son difíciles de manejar y con ellos podemos, por ejemplo, llevar nuestra contabilidad doméstica y controlar en qué nos gastamos el dinero.

1) Los distintos tipos de números

Antes de llegar a las cuentas que realizamos en nuestras casas en la vida diaria vamos a hacer un repaso por los diferentes tipos de números que nos podemos encontrar y cómo los representamos.

CEPA MIGUEL DE CERVANTES MATEMÁTICAS 3º ESPAD

2

1.1. Los números naturales

El primer tipo de números del que tenemos que hablar son aquellos que nos permiten contar, estos son, los que nos permiten decir: dos manzanas, cinco libros, siete cartas,…

Los números naturales son aquellos que pensamos y nos vienen a la cabeza sin más, éstos son: positivos, sin decimales, sin fracciones…, es decir, naturales. Los números naturales fueron los primeros que manejó el ser humano. Éstos se representan con el siguiente símbolo N y son:

N = { 1,2,3,4,5,6,7...., 15, 16....,66,67,68,12345, 12346,....}

En los números naturales siempre que se tenga un número existe su siguiente, que se obtiene del anterior sumándole uno.

A la hora de ordenar los números naturales, éstos siguen el orden lógico, el 0 es menor que 1, el 1 es menor que 2, el 3 es menor que 4,…, el 66 es menor que 67,…

Para decir que un número es menor que otro, en matemáticas usamos el símbolo <, y para decir que un número es mayor que otro, escribimos >. De esta forma la frase anterior quedaría de la siguiente forma: 0 < 1< 2 < 3 < 4 < 66 < 67 < ....

Si lo escribimos de mayor a menor: > 67 > 66 > 4 > 3 > 2 > 1

¡¡OJO!! Para no confundirte con los signos “<” y “>” recuerda lo siguiente:

La parte abierta del ángulo debe “mirar” al número mayor y el vértice al número menor

nº menor < nº mayor

nº mayor > nº menor

La representación gráfica de los números naturales se hace sobre una semirrecta horizontal donde el extremo izquierdo es el 0. Desde aquí se divide la semirrecta en partes iguales, y en cada marca vamos situando los números ordenados de menor a mayor.

Antes de seguir adelante deberías de repasar como se opera con los números naturales: suma, resta, multiplicación, cociente, potencias y operaciones combinadas. Para ello una opción es repasar los contenidos del módulo 1: Tema 1 del Bloque 1, los apartados del 1.3 al 1.7 ambos inclusive; o consultar la siguiente página http://www.vitutor.com/di/n/numeros_naturales.html


3

http://www.vitutor.com/di/n/numeros_naturales.html

EJERCICIO 1

Indica si son correctas o no las siguientes expresiones.

S / N

a) 34 < 43

b) 70 < 58

c) 25 + 13 < 31

d) 114 + 37 > 108 + 41

1.2. Los números enteros

¿Cuál es el resultado de la operación: 5-8?

Como ya habréis contestado, la respuesta es (-3), pero, ¿es este número un número natural? Efectivamente, NO. Los números naturales son del 0, 1,… y todos positivos, los negativos no son números naturales.

La necesidad de tener números negativos es lo que nos lleva a definir los Números Enteros que no son ni más ni menos que los números naturales y estos mismos con signo negativo, es decir:

Z = { ...., -1234, -1233,..., -78, -77,...,...-3,-2,-1,0+1+2+3...+77,....+78....,1233+1234...}

A los números enteros se les identifica con el símbolo Z.

Como primera consecuencia de lo que hemos escrito anteriormente es que:

Los números naturales son números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales.

La gran diferencia entre los números naturales y los números enteros es que los números enteros tienen opuesto, mientras que los números naturales no.

Todo número entero tiene anterior y siguiente, esto es, dado un número entero siempre puedo escribir un número mayor y un número menor que él simplemente con sumarle o restarle uno.

El opuesto de un número entero es el mismo número pero cambiado de signo.

EJEMPLOS:

• El opuesto de -5 es +5.

• El opuesto de +8 es -8.

• El opuesto de -17 es 17.

• El opuesto de 4 es -4.

• El opuesto de 0 es 0.


4

Para representar los números enteros seguimos los siguientes pasos:

• Trazamos una recta horizontal y situamos en ella el 0. El 0 divide a la recta en dossemirrectas.

• Dividimos cada una de las dos semirrectas en partes iguales

• Situamos los números enteros sobre las semirrectas: los enteros positivos a laderecha del cero, y los enteros negativos a la izquierda del cero:

• Es decir, quedaría de la siguiente forma:

Antes de continuar definimos lo que se llama valor absoluto de un número, que se representa escribiendo el número entre dos barras verticales (|-7|, y se lee " valor absoluto de -7").

El valor absoluto de un número entero es el número natural que se obtiene al quitarle el signo al número inicial, luego |-7| = 7.

EJEMPLOS:

a. |+5| = 5


5

b. |-12| = 12

c. |14| = 14

d. |-8| = 8

A la hora de ordenar los números enteros se cumplen las siguientes reglas:

• Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número enteronegativo. Ejemplo: -3 < 8

• El cero es mayor que cualquier número entero negativo y menor que cualquiernúmero entero positivo. Ejemplo: - 6 < 0 < 9

• Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.Ejemplo: + 6 y + 19, |+6| = 6 y |+19| = 19 ====> 6 < 19

• Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valorabsoluto. Ejemplo: -7 y -15, |-7| = 7 y |-15| = 15 ====> como 7 < 15, se cumpleque -15 < -7

Si te cuesta trabajo recordar estas reglas, no olvides que otra forma de saber cuando un número entero es mayor o menor que otro, es situar ambos números en la recta numérica: el menor de ellos es el que queda más a la izquierda.

Para continuar repasa las operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación, cociente, potencias y operaciones combinadas. Para ello una opción es repasar los contenidos del módulo 1: Tema 2 del Bloque 1 apartado 2. Para practicar con números enteros visita la siguiente página web: https://www.vitutor.net/1/numeros_enteros.html

EJERCICIO 2

Halla el opuesto y el valor absoluto de:

Opuesto Valor absoluto

a) +16

b) -11

c) (-11)+ 7

d) 23-18

EJERCICIO 3

Ordena de mayor a menor todos los números obtenidos como resultado en los cuatro apartados de la actividad 1.

EJERCICIO 4

Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a) (+6) – (-2) + (-5) – (+4) =

b) (-5) – (-5) – (+7) + (-6) =

c) (-1) – (-10) + (+5) – (+7) =

d) 14 - (12 + 2) =

e) 17 - (-9 - 14) =


6

https://www.vitutor.net/1/numeros_enteros.html

f) -14 + (6 - 13) =

g) 2 + (7 – 3) – (8 – 4) =

h) -1 – (2 – 5) + (7 – 4) =

RECUERDA QUE:

Para sumar números enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo de los sumandos.

Date cuenta que:

• La suma de dos números enteros negativos es otro número negativo.

• La suma de dos números enteros positivos es otro número entero positivo.

Para sumar números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos, y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.

Si lo que tenemos es una suma de varios números enteros de distinto signo, lo que haremos será:

a) Se suman separadamente los números positivos, por un lado y losnegativos por el otro.

b) Se suman el número positivo y el número negativo obtenido.

Date cuenta que el signo (-) puede tener dos significados:

a) Puede indicar que un número es negativo (signo de número). Ejemplo: - 8.

b) Puede indicar una resta (signo de operación).Así, en 14 – (- 6) el primer signomenos, el que está antes del paréntesis –, es de operación (resta), mientras que el segundo -, es de número.

Recuerda que el paréntesis nos indica que las operaciones que hay dentro de él, se deben realizar primero.

RECUERDA QUE:

Para hallar el producto de dos números enteros hay que multiplicar sus valores absolutos. El signo del resultado es positivo cuando ambos números o factores tienen el mismo signo y negativo cuando tienen signos diferentes.

REGLA DE LOS SIGNOS

+ · + = +

+· - = -

- · + = -

- · - = +


7

Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos. El cociente tiene signo positivo si los dos números o factores tienen el mismo signo y signo negativo si tienen diferentes signos.

Se sigue la misma regla de los signos que para el producto.

Jerarquía de operaciones:

Cuando hay que realizar varias operaciones con números, se debe seguir el siguiente orden:

1º Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves, del más interno al más externo.

2º Calcular las potencias y raíces.

3º Efectuar los productos y cocientes de izquierda a derecha.

4º Realizar las sumas y restas.

EJERCICIO 5

Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a) 12 − {7 + 4 · 2 − [(−2)2 · 2 − 6]}+ (22 + 6 − 5 · 3) + 3 − (5 − 22 : 2) =

b) 6 − {3 − [−13 + 3 · (−2)·2]·5} − [4 − (−2)³] + 6 =

1.3. Los números racionales

A pesar de que los números enteros mejoran y complementan a los números naturales, ¿el siguiente número es natural, entero,…?

3 4

Lo cierto es que ni es natural, ni es entero, es un número racional.

Los números racionales nacen de la necesidad de dividir.

Algunos ejemplos de números racionales son:

-5 , -7 , 3 , 8 4 2 5 -3

Los números racionales son aquellos que podemos expresar mediante una fracción con algunas condiciones especiales.

Una fracción es de la forma a/b, donde a recibe el nombre de numerador, y b denominador.

De esta forma, un número racional es una fracción donde:

• a y b son números enteros

• b no puede ser 0.

A todos los números racionales se les designa con el símbolo Q.

Con todo esto, escribiéndolo un poco más formalmente,


8

El símbolo / significa “tal que”, es un enlace a la hora de escribir en matemáticas.

El símbolo € significa que "a" pertenece a los números enteros.

Algunas consecuencias inmediatas de la definición de número racional es que:

• Todo número natural es racional. Ejemplo:

• Todo número entero es racional. Ejemplo:

Como recordarás, el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo por el número da como resultado 1, es decir, dado un número racional:

Todos los números racionales, salvo el cero, tienen inverso. Esta es la característica más importante que diferencian a los racionales de los enteros, ya que en los números enteros, solamente el 1 tiene inverso que es el mismo.

EJEMPLOS:

Para representar los números racionales hay que seguir los siguientes pasos, para ilustrarlo veamos un ejemplo:

Queremos representar el número racional:

1.- Dibujamos la recta numérica

2.- Dividimos cada segmento unidad en "b" partes iguales, en nuestro caso b=2. (Un segmento unidad es el trozo de recta que hay comprendido entre dos números consecutivos de la recta numérica).

3.- Contamos "a" partes, de entre las que hemos subdividido la recta, desde el 0 y en el sentido de su signo, en nuestro caso a = 3, y como es positivo, contamos desde el 0 hacia la derecha. Luego:


9

Ejemplo: Representamos el número

A la hora de saber cuando un número racional es mayor o menor que otro podemos utilizar métodos sencillos, como por ejemplo hacer la división y comparar los números decimales que se obtienen o representar ambos números en la recta numérica de modo que el que esté más a la izquierda es el menor.

De esta forma con los dos ejemplos que hemos usado anteriormente:

Este es el momento de repasar las operaciones con números racionales, lo puedes encontrar en el contenido del módulo 1 (Tema 3 del Bloque 2). He aquí algunos enlaces interesantes: http://www.vitutor.com/di/r/a_10.html y http://www.vitutor.com/di/r/fra.html éstos te servirá para repasar operaciones con fracciones y números racionales: sumas, restas, multiplicación, división, potencias y operaciones combinadas.

Éste otro es útil para confirmar si sabemos representar números racionales en la recta real. https://www.geogebra.org/b/J3gkdMYB#material/G3JcVmq2

EJERCICIO 6

Ordena de mayor a menor los siguientes pares de números racionales.

a) 5/12 b) -2/7 c) 3/8 d) 8/4

EJERCICIO 7

Escribe la fracción inversa de:

a) 4/6 b) 5/-2 c) 5/-9 d) 2/-8

EJERCICIO 8

Efectúa las siguientes operaciones con números racionales.

Para sumar o restar números racionales, éstos han de tener el mismo denominador. Por tanto, hay que transformar estas fracciones en otras equivalentes cuyo denominador sea el mismo. Para ello necesitas realizar el m.c.m.


10

http://www.vitutor.com/di/r/a_10.html

http://www.vitutor.com/di/r/fra.html

http://www.vitutor.com/di/r/fra.html

https://www.geogebra.org/b/J3gkdMYB#material/G3JcVmq2

Una vez que todas las fracciones tienen el mismo denominador, sólo tienes que sumar/restas numeradores y poner el mismo denominador.

EJERCICIO 9

Efectúa las siguientes operaciones con números racionales.

Para multiplicar números racionales se halla un nuevo número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.

Al dividir dos números racionales obtendremos otro número racional cuyo numerador será la multiplicación del numerador de la primera por el denominador de la segunda y cuyo denominador será la multiplicación del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Observa que es como si se multiplicara en cruz.

RECUERDA simplificar o reducir siempre que se pueda.

Jerarquía de las operaciones con racionales.

Cuando hay que realizar varias operaciones con números, se debe seguir el siguiente orden:

1º Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves, del más interno al

más externo.

2º Calcular las potencias y raíces.

3º Efectuar los productos y cocientes de izquierda a derecha.

4º Realizar las sumas y restas.

Propiedades de las potencias de fracciones con racionales

1- Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el

denominador al exponente.

Ejemplo:

2- Potencias de exponente negativo: Es la fracción inversa de la misma potencia, pero

con exponente positivo.


11

Ejemplo:

3- Potencia de exponente cero: Es la unidad.

4- Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo

exponente es la suma de los exponentes.

Ejemplo:

5. División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo

exponente es la diferencia de los exponentes.

Ejemplo:

6. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es

el producto de los exponentes.

Ejemplo:

7. Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo

exponente y cuya base es el producto de las bases.

Ejemplo:


12

8. Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo

exponente y cuya base es el cociente de las bases.

Ejemplo:

RECUERDA la Notación científica

La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. Un número en notación científica se escribe como el producto de un número (entero o decimal) y una potencia de 10. Este número siempre es 1 o más y menos de 10, es decir la parte entera sólo tiene un dígito distinto de cero.

Por ejemplo, hay aproximadamente 6.000.000.000 habitantes en la tierra. Este número se podría escribir en notación científica como 6x109. El número 6.000.000.000 es equivalente a 6·1.000.000.000. El número 1.000.000.000 es equivalente a 109 o lo que es lo mismo, 10·10·10·10·10·10·10·10·10.

Un número se puede convertir a notación científica aumentando la potencia de 10 en uno por cada lugar que el punto decimal se corra hacia la izquierda. En el ejemplo anterior, el punto decimal se corrió 9 lugares hacia la izquierda para formar un número mayor que 1 y menor que 10.

El diámetro de un glóbulo rojo es 0,0000075 mm y en notación científica sería 7,5·10-6 mm.

EJERCICIO 10

Realiza las siguientes operaciones:


13

EJERCICIO 11

Simplifica las siguientes expresiones:

EJERCICIO 12

Escribe en notación científica los siguientes números:

a) 0,0000000007999

b) 1560000

c) 25,23·10-7

d) 0,245·10-4

EJERCICIO 13

Representa en la recta real los siguientes números:

a) -3/2 b) 4/5 c) -9/2 d) 8/3

1.4. Los números irracionales

Ya hemos visto los números naturales, enteros y racionales, pero aún queda un tipo de números, éstos son los números irracionales.

Estos números son aquellos que tienen infinitas cifras decimales no periódicas.

Para saber si un número irracional es mayor o menor que otro se hace de forma aproximada, se calcula el número en la calculadora, se representa aproximadamente en la recta numérica y el que se quede más a la izquierda es el menor.

EJERCICIO 14

Ordena de mayor a menor los siguientes números irracionales:


14

1.5. Los números reales

A lo largo de este tema hemos estudiado los números naturales, enteros, racionales e irracionales; a todos estos números juntos se les llama números reales.

Los números reales se representan sobre la recta numérica que toma el nombre de los números que contiene y se denomina recta real. A cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real un punto en la recta. Por ejemplo:

1.5.1. Intervalos

Una vez vista la recta real donde están representados todos los tipos de números que hemos estudiado, se llama intervalo, determinado por dos números reales, a todos los números que se pueden representar en la recta real entre ambos, es decir, a todos los números que puedo colocar en el segmento de recta real determinado por dos número reales.

Ejemplo:

El intervalo entre 0 y 2 es, gráficamente, la zona coloreada de rojo en la recta real:


15

A los números que determinan el intervalo se les denomina extremos.

Dependiendo de si los extremos se incluyen en el intervalo o no, la forma de escribirlo matemáticamente varía. Cuando los extremos pertenecen al intervalo se usan los símbolos "[" o "]", si los extremos no están dentro del intervalos se usan los símbolos "(" o ")". Los extremos, a la hora de escribir, se ponen de menor a mayor.

Una propiedad importante de los intervalos es que están formados por infinitos números reales.

Veamos algunos ejemplos para ilustrar lo anterior:

Intervalo [-1, 2], es el que tenemos representado en el dibujo anterior. En este caso hemos considerado que tanto el -1 como el 2 están dentro del intervalo.

Intervalo [-1, 2), igual que antes pero en este caso el 2 no está en el intervalo, es decir, son todos los números comprendidos entre el -1 (inclusive) hasta el 2 (sin incluir).

Intervalo (-1, 2], es el mismo que antes pero en este caso el número que no está dentro del intervalo es el -1.

Intervalo (-1, 2), en este caso ninguno de los dos extremos están incluidos en el intervalo, es decir, son todos los números desde el -1 al 2 pero sin incluir ninguno de ellos.

EJERCICIO 15

Dibuja en la recta real los siguientes intervalos:

EJERCICIO 16

Indica si el número que se escribe pertenece o no al intervalo que se muestra:

2. Cálculo de porcentajes. Los porcentajes en la economía

Porcentaje quiere decir partes por 100. Cuando dices "por ciento" en realidad dices "por cada 100". Así que, 50% quiere decir 50 por 100.

Como "por ciento" quiere decir "por cada 100" deberías pensar siempre que "hay que dividir por 100" el porcentaje que me dan. Así, el 45% de algo, sería multiplicar ese algo por 45/100.

Por esta razón, el porcentaje también se puede expresar como fracción o como número decimal: 50% se puede expresar como 1/2 o como 0,5.


16

2.1. Cálculo de porcentajes.

• APLICAR EL % A UNA CANTIDAD

En una clase de 45 alumnos han aprobado el curso el 20%. Para saber el número de alumnos que han aprobado debemos aplicar el porcentaje de aprobados al número total de alumnos. ¿Cómo hacemos eso? Pues disponemos de dos métodos:

a) Regla de tres simple directa:

Si el 100% son 45 alumnos, entonces el 20% serán... X. Cómo se plantea esto:

b) Multiplicando por el decimal o la fracción que representa al porcentaje:

Partiendo del mismo caso anterior, sería de la siguiente manera: 45 · 20/100= 45· 0,20 = 9 alumnos aprobaron el curso

• CALCULAR EL % que representa una cantidad sobre el total

También se nos puede dar el caso de que nos pregunten otra incógnita que no sea la cantidad exacta que corresponde a un porcentaje aplicado a un valor total como lo que acabamos de ver. Imaginemos que nos preguntan qué % de alumnos han aprobado si de 256 lo han hecho 126 alumnos. ¿Cómo procederíamos entonces?

Otra situación que se nos puede presentar es la siguiente. Veamos qué % de rebaja se ha aplicado a un vestido que antes costaba 126€ y después 120€. ATENCIÓN: fíjate que la cantidad que nos rebajan es de 6€ (126-120=6€), por tanto lo que necesito saber es el % que representan esos 6€ respecto del total del precio de vestido que eran 126€.

Pero cómo debemos proceder si lo que queremos saber es qué % han subido un vestido que costaba 120€ y ahora cuesta 126€. CUIDADO, no caigamos en el error de decir un 4,7%. NO ES CIERTO, el porcentaje no puede ser igual ya que uno se aplica sobre 126€ y el otro sobre 120€.


17

• CALCULAR la cantidad que representa el total o CALCULAR el 100% de unacantidad sometida a porcentaje

Supongamos ahora que nos dicen cuántos alumnos hay en una clase sabiendo que han aprobado 20 alumnos, y éstos representan un 80% de la clase completa.

El cálculo de porcentajes es quizás el ejemplo de función de proporcionalidad directa que con más frecuencia usamos en la vida cotidiana.

La razón de proporcionalidad en los problemas de porcentaje es un cociente cuyo denominador vale siempre 100, y su numerador es el valor del porcentaje que deseemos calcular.

2.2. Aumentos y disminuciones porcentuales.

Cuando una cantidad (que es el 100%) aumenta o disminuye en un porcentaje, se convierte en otra cantidad. En una situación real de aumentar y disminuir un porcentaje pueden darse tres situaciones:

1) ¿Qué cantidad resulta al aumentar o disminuir ésta en un tanto por ciento?

2) Si una cantidad se convierte en otra, ¿en qué porcentaje ha variado?

3) Una cantidad aumentó o disminuyó en un tanto por ciento. Si ahora esesta cantidad, ¿cuánto era antes?

Veamos una situación de cada tipo:

1) En un restaurante, al menú de 10€, hay que añadirle el 21% de I.V.A. ¿cuántocuesta?

2) Si una bicicleta antes de las rebajas costaba 1400€ y luego 1275€, ¿Quéporcentaje de descuento nos han hecho?

3) Si la cantidad de lluvia en nuestra ciudad de la década pasada a esta, hadisminuido un 55% y ahora es de 350 l/m2 ¿Cuánto llovía antes?

Después de estudiar los dos próximos apartados deberías poder contestar a estas preguntas. Y las tienes ahí como ejercicios resueltos.


18

2.2.1. Aumentos porcentuales.

Un aumento porcentual consiste en añadir a una cierta cantidad un porcentaje de la misma.

Veámoslo con un ejemplo. Un libro costaba hace dos meses 18 €, si su precio ha aumentado un 12 %, ¿cuánto cuesta ahora? Esta pregunta la podemos responder de formas distintas:

a) Si usamos una regla de tres para calcular en primer lugar el aumento en el precio:

En consecuencia, el precio del libro ha aumentado en 2,16 €, luego ahora cuesta 18 + 2,16 = 20,16 €.

b) También podíamos haberlo calculado directamente haciendo las siguientesoperaciones: 18€+12% de 18€ = 18 + 0,12 · 18 = 18 · (1+0,12) = 18 ·1,12 = 20,16€

En esta operación lo que se hace es que el 1 representa el 100 por 100 del libro y el 0,12 el aumento en el precio (razón de proporcionalidad), luego para calcular el precio que tengo que pagar por el libro lo único que tengo que hacer es multiplicar el precio del libro por la suma de 1 y la razón de proporcionalidad, en nuestro ejemplo 1,12.

EJERCICIO 17

Un trabajador cobraba 1.500€ al mes en el año 2017. ¿Cuánto ganará mensualmente en 2018 si su sueldo ha subido un 1,8%?

EJERCICIO 18

Un ordenador cuesta 780 €, que es un 20% más que hace 3 meses. ¿Cuánto costaba entonces?

EJERCICIO 19

En el apartado 2.2 aparecían tres situaciones reales que debemos ser capaces de resolver. La primera era:

En un restaurante, al menú de 10€, hay que añadirle el 10% de I.V.A. ¿cuánto cuesta?

2.2.1. Disminuciones porcentuales.

• DISMINUCIONES PORCENTUALES

En el último mes de julio unos almacenes hicieron una rebaja del 15% sobre los precios de junio en los artículos de ropa para jóvenes. Un pantalón costaba en junio 14,40 €. ¿Qué descuento hay que aplicarle? ¿Cuál es su precio de venta en julio?


19

El porcentaje es un caso particular de las proporciones. Un 15% de descuento significa que de cada 100 € del precio de un artículo, el comercio descuenta 15 €. El importe del descuento es una magnitud proporcional al precio original. Por tanto, para resolver el problema hay que aplicar la siguiente regla de tres directa:

Con lo que la tienda ha realizado un descuento de 2,16 €. Como consecuencia, nosotros tendremos que pagar: 14,40 - 2,16 = 12,24€

El cálculo de porcentajes es quizás el ejemplo de función de proporcionalidad directa que con más frecuencia usamos en la vida cotidiana.

La razón de proporcionalidad en los problemas de porcentaje es un cociente cuyo denominador vale siempre 100. Así, en nuestro ejemplo, la razón es de 15/100=0,15.

El problema se puede resolver también multiplicando el precio original por la razón de proporcionalidad, es decir, el descuento será de: 14,40 · 0,15 = 2,16€

EJERCICIO 20

Un traje valía 252 €, y se rebaja un 25 %, ¿Cuánto vale ahora?

a. 190 €

b. 53 €

c. 189 €

d. 52,5 €

El ejercicio anterior también se puede resolver con las siguientes operaciones:

252 * (1-0,25) = 252 * 0,75 = 189

Es el mismo proceso que el anterior para aumentos salvo porque aquí como lo que tenemos es una rebaja (disminución) lo que tenemos que hacer es restar.

• PORCENTAJES ENCADENADOS:

Cuando nos hacen rebajas sobre precios rebajados tenemos que tener cuidado con lo que pensamos que nos están cobrando.

Veamos cómo se calcula una rebaja tras otra rebaja:

Estamos en una tienda en la que nos encontramos con el cartel “remate final: 20 % de descuento sobre lo ya rebajado”. Queremos comprarnos unos pantalones que inicialmente costaban 58 €; se les hizo una rebaja de un 15 %. ¿Cuál es el precio que tengo que pagar?

Lo que tenemos que hacer a la hora de calcularlo es hacer dos reglas de tres o dos procesos un poco más rápidos ya que son disminuciones porcentuales:

58 * ( 1 - 0,15 ) = 58 * 0,85 = 49,3€

49,3 * (1 - 0, 20) = 49,3 * 0, 80 = 39,44€

Con lo que al final pagaremos 39’44 €.


20

¿Cuál ha sido el porcentaje de rebaja que le hemos aplicado realmente a los pantalones?

a. 35 % b. 33 % c. 34 % d. 32 %

CUIDADO: Aquí es donde la mayoría nos confundimos. NO debemos pensar que los descuentos son sumativos, es decir, no podemos pensar que como la primera rebaja fue del 15% y la segunda del 20%, pues nos han hecho un 35% sobre el precio inicial. ¿POR QUÉ? porque el segundo descuento se hace sobre otra cantidad diferente a la inicial. Es decir, no rebajamos otro 20% sobre 58€, sino sobre 49,30€. Entonces, ¿cómo sabremos cuál es el descuento real hecho sobre los 58€?

Pues muy sencillo, planteando una regla de tres. El 100% será la cantidad inicial de 58€ y como lo que queremos saber es el porcentaje de rebaja, es decir LO QUE NO PAGAMOS tendremos: 58 - 39,44 =18,56€ de ahorro.

EJERCICIO 21

Al comienzo del apartado planteamos diferentes situaciones que deberíamos saber responder. La segunda de ellas era:

Si una bicicleta antes de las rebajas costaba 1.400€ y luego 1.275€, ¿Qué porcentaje de descuento nos han hecho?

Observa: Es muy importante saber qué cantidad es el 100%, ya que todos los porcentajes lo serán respecto a ella.

Cuando una cantidad cambia a otra en un determinado porcentaje, el 100% es siempre la cantidad antigua. Si es un aumento, la cantidad nueva representará un porcentaje mayor que 100% del antiguo. Si es una disminución, representará un porcentaje menor que 100%.

EJERCICIO 22

La tercera situación que planteábamos al comienzo era:

Si la cantidad de lluvia en nuestra ciudad de la década pasada a esta, ha disminuido un 55% y ahora es de 350 l/m2 ¿Cuánto llovía antes?


21

2.3. Los porcentajes en la economía.

2.3.1. El impuesto sobre el valor añadido (IVA).

Al realizar cualquier compra, el proveedor añade al precio del objeto que compras un impuesto llamado impuesto del valor añadido (o simplemente IVA) que posteriormente entrega a Hacienda. El valor de ese impuesto es un porcentaje del importe de la compra. Dependiendo de lo que adquieras, el porcentaje a aplicar es distinto. De forma que el general es del 21%, el reducido del 10% y el superreducido del 4%.

Veamos un caso concreto: si compras un ordenador cuyo precio de catálogo es de 720 €, para calcular el importe del IVA debes aplicar un tipo del 21%. Por tanto, el importe del impuesto será de

que, sumándolo al precio de catálogo, resulta un precio final de 835,20 €.

La cantidad resultante del impuesto se añade a su precio y se obtiene así el precio de compra.

Es muy sencillo calcularlo, y en el apartado 2.2.1. hay ejercicios de cálculo de IVA, ya que todos estos se trabajan como aumentos porcentuales.

EJERCICIO 23

Cuánto tendremos que pagar con IVA incluido del 21%, por un coche cuyo precio sin IVA es de 20.500€.

EJERCICIO 24

En unos conocidos almacenes de electrodomésticos nos ofrecen un jueves sin IVA, si el precio de un lavavajillas es de 968€ sin ese descuento, ¿cuánto nos costaría sin el IVA?

2.3.2. El interés simple.

Las entidades financieras (bancos, cajas de ahorro) dan a sus clientes una cantidad de dinero anual que es proporcional al dinero que tienen guardado o depositado en ellas. Esta cantidad de dinero se llama interés.

Veamos un ejemplo:

Isabel tiene ahorrados 3.000,00 € en la caja de ahorros del barrio, que le da un 2,5% anual por este dinero. ¿Qué interés le produce su capital al final de año? ¿Y en 3 años?

Que el tipo de interés sea del 2,5% significa que de cada 100 € que Isabel tiene en la caja de ahorros, ésta le da 2,50 € al año. Por los 3.000 € le dará el 2,5%, esto es:

Le gana al año 75€. Por lo tanto, en tres años le producirá 3 veces esa cantidad, lo que es:


22

Durante esos tres años el importe de interés que le produce es de 225€.

En general, si c es el capital depositado, r el tipo de interés (llamado también rédito) y t el número de años, el importe del interés i que produce viene dado por la fórmula:

EJERCICIO 25

Calcula el interés de 3.400 euros al 5 % durante 3 años.

EJERCICIO 26

¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25.000 € al 5% para que se convierta en 30.000 €?

2.3.3. El índice de precios al consumo.

El IPC es un índice que refleja cada mes la variación (aumento o, a veces, disminución) que sufren los precios de los productos que consumimos en España. Este índice se mide en tanto por ciento. Así, cuando en torno al día 10 de este mes los periódicos publicaron que el IPC había subido dos décimas (0,2%) significa que el nivel de precios ha aumentado ese porcentaje respecto del mes anterior.

Esto no quiere decir que cualquier producto de consumo (alimentos, gasolina, electricidad, vivienda) haya subido ese porcentaje. El IPC se obtiene como una media de la variación de los precios en el mes anterior.

El IPC es un índice muy importante, pues suele utilizarse como base para los incrementos de los sueldos de los trabajadores cada año.

EJERCICIO 27

Calcula el valor que obtenemos si 75 lo incrementamos en un 40%.

EJERCICIO 28

Calcula el valor resultante si 675 disminuye en un 60%

EJERCICIO 29

En un comercio debemos pagar 64€ por una camisa, a lo que debemos añadir el 21% de IVA, ¿cuánto tenemos que pagar en total?


23

FICHA 1: Operaciones básicas con enteros

Operaciones con enteros: Sumas y restas:

1. Simplificar (véase el primer ejemplo):

a) –(–14)= 14

b) –(–5)=

c) –(+5)=

d) –(–2)=

e) +(–8)=

f ) +(+6)=

g) –(–43)=

h) +(–1)=

i ) –(+1)=

2. Efectuar las siguientes sumas y restas de enteros (se recomienda, cuando proceda, simplificar signosprimero):

a) 5+15=

b) –5+9=

c) –17+12=

d) –2–15=

e) –23+38=

f) –18–7=

g) –5+20=

h) 40–(–5)=

i ) –2–(–1)=

j ) 12+(–3)=

k) –7–(–5)=

l ) 32+(–6)=

m) |3–7 |=

n) |–1+6 |=

o) |–2–5 |=

3. Efectuar las siguientes sumas y restas de enteros (se recomienda simplificar signos primero; véase elejemplo):

a) 1+8–7=

b) –5–(–7)+12=–5+7+12= 14

c) 8+13–(–1)=

d) –(–4)–7+(–3)=

e) 12–(–2)–11=

f ) –3+9–(–2)=

g) –5+2–(–3)=

h) 4–(–10)–(–5)=

i) –2+(–1)+14=

j ) 1–(–2)+(–3)=

k) |2–3+6 |=

l ) |–3+2–1 |=

m) 3– |5–2 |=

4. Efectuar las siguientes sumas y restas de enteros (se recomienda simplificar signos primero):

a) 11–8+14–7=

b) –15–(–2)+1–2=

c) 18+3–(–2)–5=

d) –(–14) – (–7)+(–13)+2=

e) 1–2–(–2)–1=

f) –13+19–2+7=

g) –15–(–2)–(–3)+1=

h) 14–(–11)–(–15)–8=

i) –12+(–11)–14+3=

j) 10–(–12)–(–3)–(–5)=


24

T

5. Cálculo mental: Efectuar, directamente, las siguientes sumas y restas encadenadas:

a) 18+6–4+2+1=

b) 12–8–7+5–1=

c) 21+13–8–2+5+6=

d) –23+21–12–5+1–3=

e) –7–4–12–8+4–9+1=

f) 45–20–15+2–7–9+4=

g) –1–2–3–4–5–6–7–8–9=

h) 1–2+3–4+5–6–7+8–9=

6. Efectuar las siguientes sumas y restas combinadas efectuando primero el interior de los paréntesis, ysimp lificando en todo momento (véase el primer ejemplo):

a) 11–(8+14–7)=11–15= –4

b) 10–(8–7)+(–9–3)=

c) 15–[7–(–3)]= (Soluc: 5)

d) (–8–2) –(6–3)= (Soluc: -13)

e) –2–[7–(–7)+(–1)]= (Soluc: -15)

f) [4–2+(–13)]–(8–3)= (Soluc: -16)

g) 12+(15–3)–(–1–18)= (Soluc: 43)

h) –4–[34–(–2)]–(–|–5|) = (Soluc: -35)

i) 9+3–{–[14–(–5)]–8}= (Soluc: 39)

j) ( )3 2 + 5 4 1 2 = − − − − − − − (Soluc: -7)

Operaciones con enteros: Productos y cocientes:

7. Multiplicar:

a) 2 · (–4)=

b) (–3) · (–5)=

c) (–5) ·5=

d) (–1) · (–2)=

e) 6 · (–8)=

f) 3· (–6)=

g) (–7) · (–4)=

h) 3 · (–1)=

i) (–4) ·5 · (–1)=

j) 3 · (–2) ·7=

k) (–4) · (–2) · (–3)=

l) (–1) · (–1)=

m) 3 ·4 · (–6)=

n) 2 · (–2) · (–2)=

o) 3 · (–2) · (–1) ·4=


25

FICHA 2: Operaciones combinadas con enteros. Jerarquía

1. Realizar las siguientes operaciones combinadas con números enteros, indicando todos los pasos:

a) (–3 + 6 + 18) : (–3) = (Soluc: -7)

b) (–4) – (–6) : (–3) = (Soluc: -6)

c) 5 : (–5) – (–7) · 2 = (Soluc: 13)

d) (–11) –3 · (–4) : (–6) – (–9) = (Soluc: -4)

e) [2 – (–5) – 3] · (–2) = (Soluc: -8)

f) [6 – (–1) – (–13)] : (–5) = (Soluc: -4)

g) [(–7 + 5 – 2) – (6 – 8) + 5] : (–3) = (Soluc: -1)

h) [(–5) · (–3) · 4 + 12] : [–12 – (–3)] =

(Soluc: -8)

i) –4 + 6 · (–2 + 5) : (–9) + 2 · 3 =

(Soluc: 0)

j) –18 – [4 + (–6)] : 2 + 5 =

(Soluc: -12)

k) {[–4 + 6 · (–2 + 5)] : (–7) + 2} · 3 =

(Soluc: 0)

l) 18 : [6 – 3 · (–4 : 2 + 1)] – 3 =

(Soluc: -1)

m) (–5) – (–9) – 4 · (–3) : (–2) : (–6) =

(Soluc: 5)

n) 3 – 6 : 2 · (–3) : [–2 + (–1)] =

(Soluc: 0)


26

FICHA 3: Sumas y restas de fracciones

1. Calcular las siguientes sumas y restas sencillas, simplif icando en todo momento (Fíjate en los ejemplos):

a) 3 1 45 5 5

+ =

b) 5 23 3

+ =

c) 5 16 6

− =

d) 7 25 5

− =

e) 2 3 4 9 133 2 6 6

++ = =

f) 2 35 2

+ =

g) 3 14 2

+ =

h) 7 2 35 6 293 5 15 15

−− = =

i) 4 13 2

− =

j) 4 13 2

+ =

k) 3 22 3

− =

l) 2 33 2

− =(Sol: -5/6)

m) 1 55 2

+ =(Sol: 27/10)

n) 1 24 7

− =(Sol: -1/28)

o) 7 33 2

− =(Sol: 5/6)

p) 2 15 2

+ =(Sol: 9/10)

q) 8 75 2

− =(Sol: -19/10)

r) 4 13 8

+ =(Sol: 35/24)

s) 1 6 1 72

3 3 3++ = =

t) 71

5+ =

(Sol: 12/5)

u) 23

3− =

(Sol: 7/3)

v) 52

3+ =

(Sol: 11/3)

w) 13

3− =

(Sol: -8/3)

x) 2 43 5

− − =(Sol: -22/15)

y) 6 33 2

+ =(Sol: 7/2)

z) 9 14 2

− − =(Sol: -11/4)

αααα) 3 15 3

− − =(Sol: -14/15)

ββββ) 23

5− =

(Sol: 13/5)

γγγγ) 10 499 45

+ =(Sol: 11/5)


27

δδδδ) 1 13 15

+ =(Sol: 2/5)

εεεε) 3 318 63

− =(Sol: -59/504)

� Ejercicios libro ed. Santillana: pág. 21: 12

2. Calcular las siguientes sumas y restas encadenadas, simpl ificando en todo momento (Fíjate en el ejemplo):

a) 3 2 1 18 20 15 535 3 2 30 30

+ ++ + = =

b) 3 1 22 4 3

+ + =

(Sol: 29/12)

c) 3 1 35 3 2

− + =

(Sol: 53/30)

d) 1 2 56 3 2

+ − =

(Sol: -5/3)

e) 1 51

3 2+ + =

(Sol: 23/6)

f) 7 1 23 3 5

+ + =

(Sol: 46/15)

g) 8 22

5 3+ + =

(Sol: 64/15)

h) 7 11

2 3+ + =

(Sol: 29/6)

i) 5 3 16 4 3

+ + =

(Sol: 23/12)

j) 3 1 22 4 3

− − =

(Sol: 7/12)

k) 3 1 22 4 3

− − + =

(Sol: -13/12)

l) 2 1 37 3 2

+ + =

(Sol: 89/42)

m) 1 1 13 6 2

− + =

(Sol: 2/3)

n) 1 42

3 5+ − =

(Sol: 23/15)

o) 1 3

14 4

+ + =

(Sol: 2)

p) 1 2 13 5 6

+ − =

(Sol: 17/30)


28

q) 1 1 3 72 4 5 3

− + + =

(Sol: 191/60)

r) 1 1 15 29 145

+ + =

(Sol: 7/29)

s) 1 1 1 12 3 15 50

+ + + =

(Sol: 23/25)

t) 25 6 4 19 81 3 27

− + − =

(Sol: 4)

u) 25 6 14 16 8

− + =

(Sol: 6)

v) 1 1 1 1 16 24 58 87 232

+ + + + =

(Sol: 7/29)

3. Efectuar las siguientes sumas y restas combinadas alternando en cada apartado los dos métodos posibles:quitando paréntesis , o efectuando el interior de los paréntesis (Fíjate en los ejemplos):

a) Quitando paréntesis1 3 2 1 3 2 15 18 20 232 5 3 2 5 3 30 30

− − − − + = − − = = ←

b) Efectuando el interior de los paréntesis7 4 1 7 8 3 7 5 42 20 22 114 3 2 4 6 4 6 24 24 12

− − − − = − = − = = = ←

c) 2 1 45 2 3

− − = (Sol: 37/30)

d) 5 1 1 28 6 2 3 + − − = (Sol: 23/24)

e) 5 1 41

2 3 5 − + − = (Sol: 59/30)

f) 2 4 1 32

3 5 3 4 + + − − = (Sol: 233/60)

g) 2 1 31

9 3 4 − − + = (Sol: 67/36)

h) 1 5 1 42 2 3 5

− − − = (Sol: -37/15)

i) 2 1 31

7 3 2 − − + = (Sol: -19/42)

� Ejercicios libro ed. Santillana: pág. 22: 17


29

FICHA 4: Productos y cocientes de fracciones

1. Calcular los siguientes productos, simpli ficando en todo momento (no al final) (Fíjate en los ejemplos):

a) 3 7 3·7 21

·5 2 5·2 10

= =

b) 5 2 5·2 5· 2 5

·4 3 4·3 2· 2 ·3 6

= = =

c) 5 3·

6 4=

(Sol: 5/8)

d) 7 2·

5 5=

(Sol: 14/25)

e) 2 3·

3 2=

(Sol: 1)

f) 23 3·

5 23=

(Sol: 3/5)

g) 3 1

·4 2

= (Sol: 3/8)

h) 7 2·

8 14=

(Sol: 1/8)

i) 4 1·

3 5 − = (Sol: -4/15)

j) 10 11·

3 2 − = (Sol: -55/3)

k) 3 7·

2 12 − − = (Sol: 7/8)

l) 1316·

8=

(Sol: 26)

m) 15 21·

14 5=

(Sol: 9/2)

n) 7

44·11

=(Sol: 28)

o) 7 6 1 7·6 7· 3 · 2 7

· ·3 5 4 3·5·4 3 ·5· 2 ·2 10

= = =

p) 2 1 7· ·

5 2 8=

(Sol: 7/40)

q) 2 5 3· ·

9 4 2=

(Sol: 5/12)

r) 4 8 1· ·

3 5 3=

(Sol: 32/45)

s) 1 12 7· ·

3 5 3 − = (Sol: -28/15)

t) 1 7·4·

8 5=

(Sol: 7/10)

u) 2 7 25· ·

3 5 21 − − = (Sol: 10/9)

v) 5 7 5· ·

3 2 4=

(Sol: 175/24)

w) 1 63· ·

27 5=

(Sol: 2/15)

x) 6 3 4· ·

3 2 13 − − = (Sol: 12/13)

y) 9 1 8· ·

4 2 3− =

(Sol: -3)

z) 4 3 7· ·

9 5 6− − =

(Sol: 14/45)


30

αααα) 2 7 3 53 15 4 2

=· · ·(Sol: -7/12)

ββββ) 3 3 148

7 5 9 − =

· · ·(Sol: -16/5)

E

2. Calcular los siguientes cocientes, simplificando en todo momento (no al final) (Fíjate en los ejemplos):

a) 4 5 4·2 8

:3 2 3·5 15

= =

b) 5 7 5·2 5· 2 5

:4 2 4·7 2· 2 ·7 14

= = =

c) 5 3:

6 4=

(Sol: 10/9)

d) 7 5:

5 2=

(Sol: 14/25)

e) 7 2:

5 5=

(Sol: 7/2)

f) 100 50:

3 7=

(Sol: 14/3)

g) 3 1

:4 2

=(Sol: 3/2)

h) 7 2:

8 14=

(Sol: 49/8)

i) 4 1:

3 5 − = (Sol: -20/3)

j) 10 11:

3 2 − = (Sol: -20/33)

k) 3 7:

2 12 − − = (Sol: 18/7)

l) 5

25:4

=(Sol: 20)

m) 15 21:

14 5=

(Sol: 25/98)

n) 9

90:7

=(Sol: 70)

o) 7:14

3=

(Sol: 1/6)

p) 2 7:

5 8− =

(Sol: -16/35)

q) 5 3

:4 2

= (Sol: 5/6)

r) 4 8:

3 5− =

(Sol: -5/6)

s) 1 7:

3 3− =

(Sol: -1/7)

t) 1 7:

8 5− − =

(Sol: 5/56)

u) 2 10:

3 21 − − = (Sol: 7/5)

v) 5 5:

3 4=

(Sol: 4/3)

w) 63:

5=

(Sol: 5/2)

x) 1 1:

2 3 − − = (Sol: 3/2)


31

T

y) 9 1

:4 2

− =(Sol: -9/2)

z) ( )4: 2

9− − =

(Sol: 2/9)

αααα) 4: 1

3=

ββββ) 31:

4=

γγγγ) 121:

18=

(Sol: 3/2)

δδδδ) 41:

5 − =

3. Calcular los siguientes productos y cocientes encadenados, simplificando en todo momento (Fíjate en losejemplos):

a) 3 2 7 3 ·2·2 4

· :5 3 2 5· 3 ·7 35

= =

b) 3 1 2: ·

2 4 3=

(Sol: 4)

c) 3 1 3· :

5 3 2=

(Sol: 2/15)

d) 1 2 5 3 5 3 5 5: ·

6 3 2 6 2 2 3 2 2 2 8

/= = =

/· ·

· · · · ·

e) 1 51 : ·

3 2=

(Sol: 15/2)

f) 7 1 2· :

3 3 5 − = (Sol: -35/18)

g) 8 2· : 2

5 3=

(Sol: 8/15)

h) 7 1:12 ·

2 3=

(Sol: 7/72)

i) 5 3 1: :

6 4 3=

(Sol: 10/3)

j) 3 1 2: ·

2 4 3 − − = (Sol: 4)

k) 3 1 2· :

2 4 3 − − = (Sol: 9/16)

l) 4 4 2· :

3 5 3 =

m) 3 1 2: :

2 4 3 − − = (Sol: 9)

n) 3 1 2

: :2 4 3

− − = (Sol: 4)

4. Calcular las siguientes cantidades:

a) La mitad de 300 m3

b) Un tercio de 90 kg


32

FICHA 5: Operaciones combinadas con fracciones (I)

1. Efectuar las siguientes operac iones combinadas , simplificando siempre en todos los pasos, y respetando lajerarquía:

a) 1 3 2

·2 2 3

+ = (Sol: 13/12)

b) 1 3 2·

2 2 3+ =

(Sol: 17/12)

c) 1 3 14·

2 2 5+ =

(Sol: 47/10)

d) 2 1 4 1·

5 2 3 6+ − =

(Sol: 41/30)

e) 2 1 4 1·

5 2 3 6+ − =

(Sol: 9/10)

f) 2 1 4 1: :

5 2 3 6− =

(Sol: -36/5)

g) 5 1 1 2

·8 6 2 3

− − = (Sol: 47/72)

h) 5 1 1 2·

8 6 2 3− + =

(Sol: 29/24)

i) 17 1 4·

15 5 3+ =

(Sol: 39/25)

j) 5 1 41: ·

2 3 5− =

(Sol: 1/10)

k) 2 4 1

2 :3 5 2

− + = (Sol: -7/3)

l) 3 2 1 21 :

4 9 3 3− − + =

(Sol: -49/24)


33

m) 343 16 45 7 174 3 :

64 49 4 4 16+ − + =· ·

(Sol: 12)

n) 3 2 1 21 :

4 9 3 3

− − + = (Sol: 85/12)

o) 1 5 1 4

·2 2 3 5

− − = (Sol: 5/3)

p) 1 5 1 4

·2 2 3 5 − − = (Sol: -22/15)

q) 1 5 1 4

·2 2 3 5 − − = (Sol: 14/15)

r) 2 3 1 4

1 :3 2 4 3 − + − = (Sol: -2/13)

s) 2 3 1 4

1:3 2 4 3

− + − = (Sol: -37/6)

t) 2 3 1 41:

3 2 4 3

− + − = (Sol: 7/78)

u) 1 2 1 3

·5 7 3 2

− − = (Sol: -317/210)

v) 3 1 6 3

· 32 3 5 2

+ − + = (Sol: -11/5)

w) 1 8 5 1

· : 2 12 3 3 5

− − + = (Sol: 38/27)

x) 2 1 2 1 6

3 : ·5 3 3 3 5 − + − = (Sol: -19/5)

y) 64 25 45 5 174 : 3

125 16 4 4 16− + + + =· ·

(Sol: 12)


34

FICHA 1: Potencias de exponente N

RECORDAR: Definición de potencia

1. Aplicar la definición para hallar, sin cal culadora , el valor de las siguientes potencias:

a) =5 2

b) ( ) =− 52

c) =4 3

d) ( ) =− 4 3

e) =5 1

f) ( ) =− 5 1

g) ( ) =− 6 1

h) ( ) 371− =

i) =0 3

j) ( ) =− 2 2

k) ( ) =− 0 5

l) ( ) =− 4 2

m) =− 4 2

n) ( ) =− 3 3

o) =− 3 3

p) =34 1

q) ( ) =− 561

r) ( ) =− 571

s) =

3

2

1

t) =

2

3

1

u) =2 9

v) ( ) =− 2 9

w) =

2

2

3

x) =3 9

y) ( ) =− 3 9

z) =2 4,0

αααα) 2 60 =

� Ejercicios libro: pág. 50: 34, 35 y 40

Consecu encias: ( ) parnºnegativo = ( ) imparnºnegativo =

=n 1 ( ) =− par 1 ( ) =− impar

1

(Completar estas fórmulas con ayuda del profesor y añadir al formulario)

2. Utilizar la calculadora , cuando proceda, para hallar el valor de las siguientes potencias:

a) =12 2

b) ( ) =− 122

c) =7 3

d) ( ) =− 7 3

e) =73 1

f) ( ) =− 15 1

g) =0 35

h) ( ) =− 10 2

i) =− 10 2

n (n veces)a a a · a ...... a a = · · · ·


35

j) ( ) =− 5 3

k) =− 5 3

l) =π2

m) 9

12 =

n) =5 4

o) =5 5

p) ( ) =− 3 7

q) 7

23 =

� Ejercicios libro: pág. 50: 37

Operaciones con potencias de exponente N:

RECORDAR:

(Añadir estas fórmulas al formulario)

3. Simplificar, utilizando las propiedades de las potencias, dejando el resulta do como potencia única (no valeusar calculadora, salvo para comprobar, una vez finalizado todo el ejercicio, los resultados):

1) 7 52 ·2 =

2) 10

8

3

3=

3) ( ) 5 42 =

4) =3 3 3·2

5) 2 3 5a ·a ·a =

6) ( )4235 =

7) 5 55 ·7 =

8) 5

5

84

=

9) 14

14

9 3

=

10) 3 5 32 ·2 ·2 =

11) 313·3

9= (Sol: 330)

12) =6

6

7

14

13) =11

76

5

5· 5

14) ( ) =2

32 2·2

15) =

3· 3

3

22

8 (Sol: 33)

16) ( ) ( ) =2

32 42 a·a· 2 (Sol: (2a)8)

17) ( ) =057·5 2

18) 3 6

3 3·

5 5 =

19) 9

2 2·

3 3 − − =

( )

m n m n n n n

nm nm n

n n

nm m n 0

a a a (a b) a b

a a aa

ba b

a a a 1

+

−

⋅

⋅ = ⋅ = ⋅

= =

= =


36

T

FICHA 2: Potencias de exponente Z

RECORDAR:

(Añadir estas fórmulas al formulario)

1. Teniendo en cuenta las fórmulas anteriores, operar las siguientes potencias de exponente entero (sin u sarcalculadora ), dejando el resultado en forma entera o fraccionaria :

a) =1- 2

b) =-22

c) =1- 3

d) =5- 2

e) =2- 3

f) ( ) =− 2- 3

g) ( ) =− 4- 2

h) ( ) =− 5- 2

i) ( ) =− 1- 4

j) 23−− =

k) ( ) 23

−− =

l) =− 1- 2

m) =− 3- 5

n) =4- 1

o) =10- 1

p) ( ) =− 4- 1

q) ( ) =− 7- 1

r) ( ) =− 23- 1

s) =− -71

t) - 3x =

u) ( ) =− 4- a

v) =3- 10

w) ( ) =− 2- 9

x) -10,1 =

y) =3- 5

z) =2- x

αααα) =1- x

2. Completar, con la ayuda del profesor, las siguientes tablas que resumen todos los casos de cálculo conpotencias :

EXPONENTE

POSITIVO NEGATIVO

BA

SE

EN

TE

RA

PO

SIT

IVA

=3 2 =3- 2

NE

GA

TIV

A

( ) =− 3 2 ( ) =− 3-

2

Añadir ambas tablas al formulario matemático.

EXPONENTE

POSITIVO NEGATIVO

BA

SE

FR

AC

CIO

NA

RIA

PO

SIT

IVA

=

3

3

2 =

3-

3

2

NE

GA

TIV

A

323

− =

3 -

23

− =

- nn

- n n

1 1- 1 a aaa

a b 1 na -nb a a

= =

= =


37

FICHA 3: Operaciones con potencias de exponente Z (I)

RECORDAR:

CONSEJO: «Para dividir dos potencias de la misma base se recomienda restar el mayor menos el menor

exponente, dejando la potencia donde estaba el mayor exponente» (De esta forma evitamos

exponentes negativos)

Ejemplos:

66 2 4

2

22 2 16

2−= = =

3

5 5 3 2

3 1 1 193 3 3−= = =

22 ( 1) 3

1

55 5 125

5− −

− = = = 1

1 ( 1) 2

2 1 1 12 42 2

−

− −= = =2

5

77

−

− =

1. Simplificar, mediante las propiedades de las potencias, dejando el resultado como potencia de exponenteposit ivo y base lo más simple posible (no vale usar calculadora):

a) =5 2- 2·2

b) =2 4- 2·2

c) =3- 1- 3·3

d) =3

5

2

2

e) =5

3

2

2

f) =1-

4

2

2

g) =3

2-

2

2

h) =3

0

5

5

i) =4

4

- 3

- 6

j) =3-

0

4

4(Sol: 26)

k) =

−

3 27

l) =2-

2

3

3

m) =

3- 22

( )

m n m n 0

mm n - n

n n

- n n nm m n

n n n

a a a a 1

a 1a a

a a

a ba a

b a

(a b) a b

+

−

⋅

⋅ = =

= =

= =

⋅ = ⋅n n

n

a ab b =


38

n) =

−

2- 23

o) =

3 06

p) =

− 31

2

3·

2

3

q) =

− 24

4

1·

4

1(Sol: 24)

r) =−−

31

2

3·

2

3

s) 2 41 1·

5 5

− − − − = (Sol: 56)

t) =

4

2

32

32

u) =

−1

2

32

32

v) =

2

3-

21

21

(Sol: 2)

w) =

−3

2-

52

52

(Sol: 2/5)

x) ( ) =−2

38 a·a (Sol: a2)

y) =−

5· 5

5

32

3

(Sol: 58)

z) =22 2·2

αααα)

-1 4

2

2 2·

3 3

23

=

−

(Sol: (2/3)5)

ββββ) 10

7

39

=

(Sol: 1/34)

γγγγ) 32

8 17 :

7

− =

(Sol: 72)

2. Simplificar, mediante las propiedades de las potencias, dejando el resultado como entero o fracción(excepto si resulta muy elevado, en cuyo caso se puede dejar como potencia); no vale usar calculadora, salvopara comprobar resultados:

a) ( ) =−232 (Soluc: 1/64)

b) ( ) =−23-2 (Soluc: 64)

c) =34·52 (Soluc: 2048)

d) ( )23

2−

− =

(Soluc: 1/64)

e) ( )2-3

2−

− =

(Soluc: 64)


39

3. Ídem:

a) 17

15

2

2= (Soluc: 4)

b) 5

7

55

= (Soluc: 1/25)

c) 2

3

2

2− = (Soluc: 32)

d) -2

3

33

= (Soluc: 1/243)

e) -1

2

7

7− = (Soluc: 7)

f) -2

1

7

7− = (Soluc: 1/7)

g) 87

84

2

2= (Soluc: 8)

h) 17

15

2

2− = (Soluc: 232)

i) -4

2

2

2= (Soluc: 1/64)

j) 3

2

55− = (Soluc: 3125)

k) 7 2

3

2 ·2

2

−

= (Soluc: 4)

l)5 33 ·39

−

= (Soluc: 1)

m) 3 4

2

5 ·55

−

= (Soluc: 1/125)

n) 4 6

273 ·3− = (Soluc: 243)

o) -2 4

-1 3

2 ·2

2 ·2− = (Soluc: 64)

p) 3 3

-1 2

7 ·7

7 ·7

−

− = (Soluc: 343)

q) =⋅⋅⋅⋅⋅⋅

653

0357

2222

2222 (Soluc: 1)

r) 3 -2 4

-3 -5 8

3 3 33 3 3 3

⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

(Soluc: 81)


40

FICHA 5: Notación científica

1. Pasar a notación estándar los siguientes números expresados en notación científica:

a) 3·108=

b) 4·10-6=

c) 2,5·105=

d) 7,5·10-4=

e) 1,84·103=

f) 1·10-7=

g) -6,343·108=

h) 1,903·10-2=

i) 1,23·1010=

j) 1,04·10-9=

k) 5,3502·1012=

l) 7,5·101=

m) 6,3·100=

n) 1,0003·10-1=

o) 1·10-1=

p) 1,235·105=

q) 1·1012=

r) 1,6·10-6=

s) -3,4545·108=

2. Pasar a notación científica los siguientes números:

a) 300.000.000=

b) 456=

c) 0,5=

d) 0,0000000065=

e) 18.400.000.000=

f) 0,000001=

g) -78986,34=

h) 0,0000093=

i) 1.230.000.000.000=

j) 14 billones €=

k) 150 millones $=

l) 7,3=

m) 73=

n) 0,00010001=

o) 10=

p) 1=

q) 0,011001=

r) 16.730.000=

s) -345,45=

3. Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas (y comprobar que se obtiene el mismo resultado):

- Sin calculadora, aplicando sólo las propiedades de las potencias.

- Utilizando la calculadora científica.

a) 2,5·107+3,6·107=

b) 4,6·10-8+5,4·10-8=

c) 1,5·106+2,4·105=

d) 2,3·109+3,25·1012=

e) 3,2·108-1,1·108=

f) 4,25·107-2,14·105=

g) 7,28·10-3-5,12·10-3=


41

EJERCICIOS DE PORCENTAJES

1. Un traje marcaba 150 euros antes de las rebajas. En la época de rebajas el mismo traje costaba 120euros.

a) ¿Qué rebaja nos hicieron (en %)?b) Si nos rebajasen el 15% ¿cuánto nos costaría?c) Si los 120 euros son sin IVA y el IVA es del 16% ¿cuánto nos costará el traje?.Sol: a) 20%; b) 127,5; c) 139,2

2. El precio de varios artículos sin IVA es de 25 euros y 17,6 euros. Averigua cuál es el precio finalsabiendo que con el IVA suben un 16%. Sol: 29 euros; 20,42 euros

3. Si al cabo de varios años el precio de una mercancía se ha multiplicado por 2,23. ¿Cuál ha sido elaumento expresado en %?. Sol: 123%

4. Un vendedor recibe un 6% de los beneficios de cada venta que realiza. Vende un piso por 80.000euros. Si le ganó un 10%. ¿Qué cantidad corresponde al vendedor?. Sol: 480 euros.

5. Un campesino posee 110 hectáreas de monte y decide plantar un 20% con pinos, un 25% de abetos,un 35% de roble y el resto de castaños, teniendo en cuenta que un 5% lo tuvo que dedicar a caminos. ¿Qué superficie plantó de cada tipo de árboles? ¿Qué porcentaje plantó de castaños?. Sol: a) 22 Ha de pinos, 27,5 Ha de abetos, 38,5 Ha de roble y 16,5 Ha de castaños. b) El 15%

6. En un colegio de 1.500 alumnos el 40% son chicas y el resto chicos. ¿Qué porcentaje de chicos hay?¿Cuántas chicas hay? ¿Y chicos?. Sol: 60%; 600 chicas, 900 chicos.

7. El 20% de los alumnos de 1º de BAC hicieron mal un examen. Si el grupo está formado por 45alumnos. ¿Cuántos contestaron correctamente?. Sol: 36.

8. Al comprar una bicicleta que costaba 50 euros me hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto dinero merebajaron? ¿Cuánto tengo que pagar?. Sol: Rebajan 4 euros; Pagar 46 euros.

9. Un comerciante compra una bicicleta en 40 euros y la vende en 60. ¿Qué tanto por ciento se ganó?.Sol: 50%

10. En una clase de 50 alumnos hay 30 chicas y 20 chicos, de los 50 alumnos un 10% son repetidores yde estos el 20% son chicas.

a) ¿Qué porcentaje representan los chicos dentro de la clase? ¿Y las chicas?b) ¿Cuántos chicos repiten curso?c) Si hay 5 chicas rubias ¿qué porcentaje representan dentro de las chicas? ¿Y dentro de laclase? Sol: a) 40%, 60%; b) 4; c) 16,67%, 10%

11. Un libro que costaba 18 euros aumenta su precio en el 12%. ¿Cuánto cuesta ahora?. Sol: 20,16euros

Ejercicios de porcentajes


42

12. El número de parados que había en una provincia era 24.300, y se ha visto incrementado en el 19%.¿Cuántos parados hay ahora?. Sol: 28.917

13. El precio de un balón después de un 5% de descuento es de 9 euros. ¿Cuál era el precio inicial?.Sol: 9,47 euros.

14. Por una factura de 800 euros nos cobran 640 euros. ¿Qué tanto por ciento de descuento nos hanhecho?. Sol: 20%

15. A una persona le retienen de su sueldo un 12%. Si cobra mensualmente 836 euros. ¿Cuál será elsueldo bruto?. Sol: 950 euros.

16. ¿Cuánto dinero ha de cobrar una persona que tiene un 6% de comisión sobre los beneficios de cadaventa si realiza una venta de 5 millones de euros con una ganancia del 10%. Sol: 30.000 euros.

17. En un centro de 800 alumnos aprueban el curso en Junio 400 y en Septiembre 200. Calcula elporcentaje de aprobados en Junio, Septiembre y el total en el curso. Sol: 50% en Junio; 25% en Septiembre; 75% en total.

18. Después de gastar el 15% del depósito de gasolina de un coche quedan 42,5 l. ¿Cuál es lacapacidad del depósito?. Sol: 50 l

19. El 0,8% de la población masculina de una ciudad de 400.000 de habitantes padece de asma. ¿Cuáles el número de enfermos si el 60% de la población son mujeres?. Sol: 1.280 personas.

20. El año pasado me bajaron el sueldo un 5%. Si este año me suben el mismo porcentaje. ¿Quedaréigual que hace dos años?. Sol: no

21. En las elecciones el porcentaje de abstención en una empresa fue del 25%. Sabiendo que el númerode votantes fue de 240 trabajadores. ¿Cuántos son en total?. Sol: 320 trabajadores.

22. Después de haber sido aumentado su valor en un 40% el precio de una nevera es de 301 euros.¿Cuál era su valor inicial?. Sol: 215 euros.

23. La cantidad de agua de un embalse ha aumentado en un 35% respecto a la que había la semanapasada. Ahora contiene 87,75 millones de litros. ¿Cuáles eran sus reservas la semana anterior?. Sol: 65 millones de litros.

24. Un abrigo que costaba 400 euros se rebaja un 25%. ¿Cuánto cuesta ahora?. Sol: 300 euros.

25. Los precios de dos artículos son 160 y 220 euros. Si se bajan un 30%, ¿cuáles son sus nuevosprecios?. Sol: 112 y 154 euros.



43

.

26. El coste de la vida ha subido un 3%, un 2,5% y un 2,8% en tres años consecutivos. ¿Cuánto hasubido en total en esos 3 años?. Sol: 8,53%

27. Si me rebajan el 20% y después me suben el 20% de la cantidad rebajada, ¿pago más, menos oigual que antes? Expresa el resultado en %. Sol: Menos, 96%

28. Si cada año sube la vida un 3%, ¿cuánto sube en 2 años? ¿Y en tres años?.Sol: 6,09%; 9,27%

29. Averigua el resultado final en %, de subir un 10% y después bajar el 20%. Lo mismo, si primerobajamos un 20% y después subimos un 10%. Sol: 88%

30. Las acciones de una compañía subieron un 2% al mes, durante los 3 primeros meses del año, ybajaron un 5% al mes, durante los seis meses siguientes, por último volvieron a subir un 3% durante los tres últimos meses. Al final del año, ¿qué % subieron o bajaron?. Sol: Bajaron un 14,76%

31. Si pagué 40,6 euros en un restaurante con 16% de I.V.A. ¿cuál sería la factura sin I.V.A.?. Sol: 35euros

32. Si pagué 53 euros en la compra, con un 6% de I.V.A., ¿cuánto pagaría sin I.V.A.?. Sol: 50 euros

33. Si en un establecimiento me rebajan el 15%, y pago por un objeto 255 euros, ¿cuál era el precio delartículo sin la rebaja?. Sol: 300 euros

34. En un supermercado hacen esta oferta: "Pague 2 y llévese 3". a) ¿cuál es el porcentaje de rebaja? b)¿Qué porcentaje del precio original se paga?. Sol: a) 33,3%; b) 66,7%

35. a) Si una cantidad aumenta un 50% ¿por qué número la debes multiplicar para saber su valor? b) ¿Y si aumenta el 100%? c) ¿Y si aumenta el 130%?. Sol: a) 1,5; b) 2; c) 2,3

36. Si una cantidad la multiplicas por 1,6, ¿Qué % subió o bajó? ¿Y si la multiplicas por 2,5?. Sol: 60%;150%

37. Si una cantidad la multiplico por 2,2, ¿qué % subió o bajó?. Sol: Subió un 120%

38. Si en el primer examen de Matemáticas saqué un 5, ¿qué nota saqué en el 2 si:a) Subió un 20%b) Subió un 35%c) Bajó un 10%Sol: a) 6; b) 6,75; c) 4,5

39. En un examen de recuperación saqué un 7. a) ¿Qué nota saqué en el primero, sabiendo que mi notaaumentó un 25% con respecto al primer examen? b) ¿Qué nota sacaría en el segundo si del primero al segundo hubiera bajado un 25%?. Sol: a) 5,6; b) 4,2



44

40. El número de alumnos del Instituto bajó en los últimos 4 años un 15% cada año. Si ahora hay 522,¿cuántos alumnos había hace 4 años?. Sol: 1000 alumnos

41. a) Si multiplico por 1,06 ¿qué % se sube o se baja? b) Si multiplico por 0,62 ¿qué % se sube o se baja?c) Si multiplico por 1,18 ¿qué % se sube o se baja?d) Si multiplico por 2,15 ¿qué % se sube o se baja?Sol: a) sube el 6%; b) baja el 38%; c) sube el 18%; c) sube el 115%

42. Los precios de varios artículos son 1250 euros, 38,40 euros y 0,50 euros. En una rebaja todos bajanun 30%. Averigua los nuevos precios. Sol: 875; 26,88; 0,35



45

1. 2. 3. 1=y-2x

2=y+x

1-=y+x-

3=2y+3x

3-=y+x-

3=y+2x

4. 5. 6. 2=2y+2x

5=y-x

1-=y-2x

1=y+x

1-=3y+x-

3=y-x

7. 8. 9. 1=5y+2x-

5=3y-4x

0=2y+3x

1=y+x

2-=2y-2x

3=y-5x

10. 11. 12. 8=y+7x

5=2y+3x

23=y-2x

7=y+x

17=2y-7x

3=6y-5x

13. 14. 15. 3=y-x

9=y+2x

7-=3y-2x

6=y+3x

0=y+2x

5-=y-3x

16. 17. 18. 7-=5y+3x

1-=3y+5x

21=3y-15x

3=7y-12x

6=y-5x

8-=12y+4x

19. 20. 21. 4=3y+5x

12=5y+3x

9=y+5x

5-=3y-7x

5=y - 2x

2y=3)-2(x

22. 23. 24. 3=y + 2x

y=2)+5(x

2y=1)+2(x

5=y +x 3

15=2y) - 3(x

5-=y + 2x

25. 26. 27. y) - 2x ( 2=2

1) -y ( 3=3x

12=3y) + 2x ( 3

5y-=2) - 3x ( 2

5 - x=3 -y

)y - 4 ( 2=x

28. 29. 30. 2x +2y =1 - x

6 - x=3y + x

3 +3y + 2x =5y + x

3y- = ) 1 +2y - x ( 3

2y + 3x- =5y + 3x

y)+3-3(x =y - 4x

Sistemas con dos incógnitas

ACT 3. Bloque 8. Tema 3. ÁLGEBRASISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS


46

31. 3=

3y+

2x

8=y+x

32.

2=4y-3x

9=2y+x

33. 2=

2y+

3x

3=y+x

34. 5=2y+

3x

6=3y-x

35.

2=2y-x

2-=y-2x

36. 1=

43y+

32x

0=2y+

3x

37. 1-=

32y+

2x

0=2y+3x

38.

1 - 23y=

2x

6y=3x

39. 1=

5y-

32x

1=y-2x

40. 1=

43y-2x

1=3

y+x+2

y-x

41.

1514=

6y-

102x

1=4y+

63x

42. 3 +

57y=

32x

3y=x

43.

1-x=6-y

4=72y-3x

44.

1=1 +y

x

2=y

1 + x

45. 2x-=15y - 4x

1 + 2x=y) - x ( 3

46. 1=

3y + 33x

5=y - xy + x

47.

4=3y + 2x

4=x

y - 2x

48.

2- x=2y - 3x

2=y + x

5x

49.

3=3y + 2x

51 - 2=

y + 2x3x

50.

29=3y-

23x

2x=5y+x



47

Soluciones:

1. x=1, y=1 2. x=1, y=0 3. x=2, y=-1 4. x=3, y=-2

5. x=0, y=1 6. x=4, y=1 7. x=2, y=1 8. x=-2, y=3

9. x=1, y=2 10. x=1, y=1 11. x=10, y=-3 12. x=3, y=2

13. x=4, y=1 14. x=1, y=3 15. x=-1, y=2 16. x=1, y=-2

17. x=2, y=3 18. x=1, y=-1 19. x=-1, y=3 20. x=1, y=4

21. x=2, y=-1 22. x=-1, y=5 23. x=1, y=2 24. x=-1, y=-3

25. x=2, y=3 26. x=-1, y=2 27. x=4, y=2 28. x=3, y=-2

29. x=1, y=2 30. x=-1, y=2 31. x=2, y=6 32. x=1, y=4

33. x=-3, y=6 34. x=9, y=1 35. x=4, y=4 36. x=6, y=-4

37. x=2, y=-3 38. x=4, y=2 39. x=3, y=5 40. x=2, y=4

41. x=3, y=-2 42. x=15, y=5 43. x=2, y=7 44. x=3, y=2

45. x=-5, y=-2 46. x=3, y=2 47. x=-1, y=2 48. x=2, y=3

49. x=3, y=-1 50. x=5, y=1



48

T

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones de 1er grado por el método de sus titución, y comprobar

mentalmente:

1) x y 12

x y 2

+ = − =

(Sol: x=7, y=5)

2) x 3y 2

2x y 3

+ = − − =

(Sol: x=1, y=-1)

3) 3x 4y 6

x 2y 8

− = − + =

(Sol: x=2, y=3)

4) x 3y 6

2x y 2

+ = − = −

(Sol: x=0, y=2)

5) x 3y 4

2x y 1

+ = − =

(Sol: x=1, y=1)

6) x 2y 0

2x y 5

+ = − =

(Sol: x=2, y=-1)

7) x y 7

10x 3y 14

+ = + =

(Sol: x=-1, y=8)

8) 2x 3y 1

3x 2y 5

− = − + =

(Sol: x=1, y=1)

9) 2x 8y 0

3x 2y 10

− = − = −

(Sol: x=-4, y=-1)

10) 6x 5y 23

4x y 11

+ = − + = −

(Sol: x=3, y=1)

11) 3x 2y 2

3x 4y 3

− = − + = −

(Sol: x=1/3, y=-1/2)

12) x 2y 5

2x y 7

+ = + =

(Sol: x=3, y=1)

13) x 3y 1

2x y 2

+ = − =

(Sol: x=1, y=0)

14) 2x y 2

4x y 5

− = − + =

(Sol: x=1/2, y=3)

15) x y 9

20x 3y 4

+ = − = −

(Sol: x=1, y=8)

� Ejercicios libro: pág. 99: 11 y 12; pág. 108: 58

2. APRENDER A DESPEJAR : Despejar en cada caso la incógnita que se indica, sin omitir ningún paso:

1) y en y 9x x 1− = − ( )−Sol : y =10x 1

2) x en la anterior Sol : x

y+1=10

3) x en x 3y 10x 60+ = + − Sol : x =

y 203

4) y en la anterior ( )Sol : y =3x+20

5) x en 9x 2y− =

6) y en la anterior

7) a en 2a 3bd

4c−=

Sol : a =

3b+4cd2

8) b en la anterior − Sol : b =

2a 4cd3

9) c en la anterior − Sol : c =

2a 3b4d


49

10) y en 9x 60y

3+=

11) x en la anterior − Sol : x =

y 203

3. Resolver los siguientes sistemas por el método de igualación, y comprobar (mentalmente):

1) 3x y 10

2x y 10

− = + =

(Sol: x=4, y=2)

2) x 2y 8

x 3y 10

− = − − + =

(Sol: x=-4, y=2)

3) 3x y 17

2x y 8

− = + =

(Sol: x=5, y=-2)

4) x 2y 5

3x y 6

− = − + =

(Sol: x=1, y=3)

5) x y 18

10x 2y 12

− = − − = −

(Sol: x=3, y=21)

6) 3y 2x 12

2x 3y 0

− = − + =

(Sol: x=3, y=-2)

7) y 3x 3

5x y 3

− = − = +

(Sol: x=0, y=-3)

8) 3y 10x 3

5x 6y 0

+ = − − − =

(Sol: x=-2/5, y=1/3)

9) 2x 2y 2

3x 2y 1

− = − + = −

(Sol: x=-1, y=-2)

10) x 3y 4

x 6y 2

+ = − = −

(Sol: x=2, y=2/3)

11) x 3y 3

5x y 15

+ = − =

(Sol: x=3, y=0)

12) x 3y 25

y 9x 27

+ = − =

(Sol: x=-2, y=9)

13) 3x 2y 12

x 5y 38

− = + =

(Sol: x=8, y=6)

14) 5x y 23

5y 9x 13

− = − =

(Sol: x=8, y=17)

� Ejercicios libro: pág. 100: 14; pág. 108 y s s.: 59 y 64

4. Resolver los siguientes sistemas por el método de reducción, y comprobar mentalmente:

1) x y 2

x y 6

+ = − =

(Sol: x=4, y=-2)

2) x 2y 5

x y 3

− + = − − =

(Sol: x=1, y=-2)

3) 2x y 1

x 2y 7

+ = − + =

(Sol: x=-1, y=3)

4) 3x 4y 1

x 3y 7

− = − − = −

(Sol: x=5, y=4)

5) 3x 4y 6

2x 4y 16

− = − + =

(Sol: x=2, y=3)

6) 3x 2y 6

9x 4y 108

− = + =

(Sol: x=8, y=9)

7) 4x y 3

3x y 11

+ = − − + =

(Sol: x=-2, y=5)

8) 2x 3y 4

4x 6y 8

+ = − =

(Sol: x=2, y=0)

9) 8x 9y 60

10x 3y 18

+ = − =

(Sol: x=3, y=4)

10) 8x 7y 15

6x 11y 5

+ = + =

(Sol: x=65/23, y=-25/23)


50

Forma general de la ecuación de 2º grado: 2222ax +bx+c=0ax +bx+c=0ax +bx+c=0ax +bx+c=0

Resolución: − −2222b± b 4acb± b 4acb± b 4acb± b 4acx=x=x=x=

2a2a2a2a (Añadir esta fórmula al formulario)

1. Resolver las siguientes ecuaciones de 20 grado incompletas aplicando el método más conveniente en cada

caso –no vale utilizar la fórmula general-, y comprobar en cada caso las soluciones obtenidas:

1) x2-5x=0 (Sol: x1=0, x2=5)

2) x2-16=0 (Sol: x=±4)

3) x2+8x=0 (Sol: x1=0, x2=-8)

4) x2-49=0 (Sol: x=±7)

5) x2+49=0 (Sol: ∃/ soluc.)

6) 3x2-9x=0 (Sol: x1=0, x2=3)

7) 2x2-18=0 (Sol: x=±3)

8) 5x2+x=0 (Sol: x1=0, x2=-1/5)

9) x2-3=0 (Sol: x=±√3)

10) x2=x (Sol: x1=0, x2=1)

11) x2+x=0 (Sol: x1=0, x2=-1)

12) 4x2-1=0 (Sol: x=±1/2)

13) -x2+12x=0 (Sol: x1=0, x2=12)

14) x2=10x (Sol: x1=0, x2=10)

15) 9x2-4=0 (Sol: x=±2/3)

16) 3x2-11x=0 (Sol: x1=0, x2=11/3)

17) x(x+2)=0 (Sol: x1=0, x2=-2)

18) x2+16=0 (Sol: ∃/ soluc.)

19) 25x2-9=0 (Sol: x=±3/5)

20) x2-8=0 (Sol: x=±2√2)

21) 4-25x2=0 (Sol: x=±2/5)

22) 2x2-8=0 (Sol: x=±2)

23) -x2-x=0 (Sol: x1=0, x2=-1)

24) 16x+4x2=0 (Sol: x1=0, x2=-4)

25) (x+1)(x-1)=2(x2-13) (Sol: x=±5)

26) 2x x(x 1)x

+22

= − − (Sol: x1=0, x2=1/6)

27) x(x-1)-2x=-6x (Sol: x1=0, x2=-3)

� Ejercicios libro: pág. 81: 21; pág. 83: 26; pág. 90: 63 ,64 y 65

2. Resolver las siguientes ecuaciones d e 20 grado , teniendo en cuenta que:

− Las ecuaciones completas se resolverán mediante la conocida fórmula general.

− Las incompletas deberán ser resueltas como en el ejercicio anterior, no mediante la fórmula general.

− Las ecuaciones factorizadas no deben ser pasadas a la forma general, sino resueltas directamente.

− En ambos casos, y siempre que sea posible, se simplificarán los coeficientes antes de resolver.

− Comprobar las soluciones obtenidas en los apartados impares.

1) x2-6x+8=0 (Sol: x1=2, x2=4)

2) x2-4x+4=0 (Sol: x=2)

3) x2-4x+21=0 (Sol: ∃/ soluc.)

4) x2-2x-3=0 (Sol: x1=-1, x2=3)

5) x2-5x+6=0 (Sol: x1=2, x2=3)

6) x2-3x-10=0 (Sol: x1=-2, x2=5)

7) x2+6x+9=0 (Sol: x=-3)

8) 3x2-10x+7=0 (Sol: x1=1, x2=7/3)

9) 04x2x2

1=−− (Sol: x1=4, x2=-2)

ECUACIONES DE 2º GRADO


51

Resolver las siguientes ecuaciones:

01.- 02.- 03.- 24 8 3x x+ + =0 02 4 3 0x x+ + = 22 5 3x x− − =

04.- 05.- 06.- 23 4 1x x+ + =0 02 2 0x x− − = 22 7 4x x− − =

07.- 08.- 09.- 2 5x x− =0 2 25 0x − = 2 2 8 0x x− − =

10.- 11.- 12.- 2 6 15 0x x+ + = 2 6 9 0x x− + = 24 11 3x x 0+ − =

13.- 14.- 15.- 22 3 1x x− + =0 02 3x x+ = 2 49 0x − =

16.- 17.- 18.- 2 13 42 0x x− + = 2 4 8 0x x+ + = 22 7 15x x 0− − =

19.- 20.- 21.- 2 4 4x x+ + =0 0 022 11 5x x− + = 26 1x x− − =

22.- 23.- ( )(23 2x x x= + + )42

53x 3x x− = 24.- ( )( ) ( )( )3 1 1 2 3 2x x x x− − = − −

25.- 2 422 3 3x xx + − = +

13x 26.- 2 1 22 3 3x xx − = −

27.- 28.- ( )( ) ( )(5 5 1 2 1 1x x x x− − = + + )2 25 3 3

3 2 4x x x

= −

29.- 30.- ( )( ) (4 2 2 2x x x x− − + = − )222 1 1 12 3 6

x x x− − −− =

31.- 2 1 5 22 6 3

x x x− − +− =

2



52

SOLUCIONES

01.- 1 23 ,2 2

x x=− =−1 02.- 1 21 , 3x x=− =− 03.- 1 2

13 ,2

x x= =−

04.- 1 211 ,3

x x=− =− 05.- 1 22 , 1x x= =− 06.- 1 214 ,2

x x= =−

07.- 08.- 1 20 , 5x x= = 1 25 , 5x x= =− 09.- 1 24 , 2x x= =−

10.- 11.- 3,No tiene x doble= 12.- 1 21 , 34

x x= =−

13.- 1 211 ,2

x x= = 14.- 1 20 , 3x x= =− 15.- 1 27 , 7x x= =−

16.- 17.- No tie 18.- 1 26 , 7x x= = ne 1 235 ,2

x x= =−

19.- 2,x doble=− 20.- 1 215 ,2

x x= = 21.- 1 21 1,2 3

x x= = −

22.- 23.- 1 24 , 1x x= =− 1 20 , 2x x= = 24.- 1 21 , 1x x= =−

25.- 1 212 ,

12x x= = − 26.- 1 2

1 ,2 3

x x 2= =− 27.- 1 2

14 ,3

x x= =

28.- 1 290 ,2

x x= =− 29.- 1 22 , 4x x=− = 30.- 1 21 2,2 3

x x=− =

31.- 1 212 ,3

x x= = −


53

1. x -7x+12=0 2

Sol: x=3; x=4 2. x -9x+18=0 2

Sol: x=3; x=6

3. x -5x+6=0 2

Sol: x=2; x=3 4. x +8x+15=0 2

Sol: x=-5; x=-3

5. x -6x-27=0 2

Sol: x=-3; x=9 6. x -6x+9=0 2

Sol: x=3

7. x +6x=-9 2

Sol: x=-3 8. 4x +4x=32

Sol:x=1/2;x=-3/2

9. x -9x+14=0 2

Sol: x=2; x=7 10. x -6x+8=0 2

Sol: x=4; x=2

11. 2x +10x-48=0 2

Sol: x=3; x=-8 12. x -x=20 2

Sol: x=-4; x=5

13. x =5x+62

Sol: x=6; x=-1 14. 2x -5x+3=0 2

Sol: x=1; x=3/2

15. x +10x+25=02

Sol: x=-5 16. x +9=10x2

Sol: x=1; x=9

17. 3x -39x+108=02

Sol: x=4; x=9 18. 2x -9x+9=0 2

Sol: x=3; x=3/2

19. 3x +2x=82

Sol: x=-2; x=4/3 20. 4x +12x+9=0 Sol: x=-3/22

21. 5x +1=6x2

Sol: x=1; x=1/5 22. 6x +1=5x2

Sol:x=1/2; x=1/3

23. 6x -6=5x2

Sol: x=-2/3; x=3/2 24. 2x +7x+6=02

Sol: x=-2; x=-3/2

25. x =2x+32

Sol: x=-1; x=3 26. 4x +3=8x2

Sol:x=1/2; x=3/2

27. x -x+1/4=0 2

Sol: x=1/2 28. 3x -16x+5=0 2

Sol: x=5; x=1/3

29 . 1 = 3

2 + 3x -

3

x -

2

1 3 0. 2) - (x - x = x + x - 2

) 3 - (x 2

2

31. x 3 + 1 - x

3 = 2 - x 3 + 3x +

1 - x

1 2 2 3 2 . 2x =

3

1 - x - ) 3

2 - (x

33. 3x = 1 - x

1 -

3

3 - x 3 4. 5 + 5x =

2x

1 +

x

2 - x

35. 3 - x

3 - 2x =

x

5 - 3x +

x

3 - x 3 6. 5) - (x - 2) - 3(x = ) 1 - (x +

x

8 -

2 3x

37. ) 2 - (x = 2

3) - (x x + 2) - (x 3) -

2 (x

38. 4 - ) 2 - (x = 2

2) + (x 2) - (x -

3

2 + x - x 2) -

2 (x

39 . ) 2 - (x = 1) - (x x) - (3 + 3

2 - x - ) 3 -

2 2 (x

40. 2 = x

x + 3 -

1 + x

1 - x 4 1. 2 =

1 - x

x + 3 -

1 + x

1 - x

Ecuaciones de 2º grado



54

42 . 4 = 2 - x

1 + x 4 3.

3

2x -

9

2 = x - 2

x

44. 3

5x = 2 +

3

x 2

4 5. 3 = x

2 + x

46. x

8 - 4x = 2 - x 4 7.

x

9 + 2x =

x

3 +

2

x

48. 5 - 1 - x

6x = 2 - 2x 4 9. 0 =

2

x + x - 1) + (x x

50. 4

3x + 1 =

x

3 - 1 + 3x 51.

3 - x

x - 2 +

3

4 + 4x =

3

4 + x + 2

52. 3x

6 =

x

1 + x 5 3.

x

3 - 2x = 2 - x

54. 3x

10 + 3x =

x

2 +

3

x 5 5.

1 - x

1 + 2x = 3 + x

56. x

1 =

2 - x

1 + x + 2

1 + x

3 57.

x

1 - =

1 + x

1 - x - 1

1 - x

4

3 - x -

3 - x

2

Soluciones:

29. x=-2, x=-1; 30. x=1, x=5/3; 31. x=5/3, x=0; 32. x=4/3, x=7;

33. x=5/8, x=0; 34. x=-3/4, x=-1/2; 35. x=-5, x=1; 36. x=-2, x=2;

37. x=1, x=4; 38. x=-2/3, x=4; 39. x=-1, x=8/3; 40.x=-3, x=-1/2;

41. x=-3, x=0; 42. x=3; 43. x=-1/3, x=2/3; 44. x=2, x=3;

45. x=1, x=2; 46. x=4, x=2; 47. x=-2, x=6; 48. x=-1/2, x=3;

49. x=0, x=1/2; 50. x=1, x=-4/3; 51. x=2, x=4; 52. x=1, x=-1;

53. x=3, x=1; 54. x=-1, x=4; 55. x=-2, x=2; 56. x=1/2, x=2/3;

57. x=-1; x=2

Ecuaciones de 2º grado

Departamento de Matemáticas l


55

FICHA 1: Teorema de Pitágoras

1. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado,cuando proceda):

a) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos son 20 y 21 cm. (Soluc: 29 cm)

b) Si un cateto de un triángulo rectángulo y la hipotenusa miden 5 y 13 cm, respectivamente, ¿cuánto mide elotro cateto? (Soluc: 12 cm)

c) ¿Puede existir un triángulo rectángulo tal que su hipotenusa mida 73 cm y sus catetos 48 y 55 cm?(Soluc: SÍ)

d) ¿Y uno en el que los catetos midan 3 y 4 cm, y la hipotenusa 6 cm? (Soluc: NO)

e) Calcular el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 24 cm. (Soluc: 40 cm)

f) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm y uno de los catetos 6 cm. Obtener la longitud del otrocateto (resultado con dos decimales, bien aproximados). (Soluc: ≅ 10,39 cm)

g) Contestar, sin utilizar el teorema de Pitágoras: ¿Puede haber un triángulo rectángulo en el que lahipotenusa mide 12 cm y los catetos 9 y 15 cm? ¿Y uno en el que la hipotenusa sea 9 cm y los catetos 2 y3 cm? (Soluc: NO; NO)

h) Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 34 cm y un cateto 30 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?(Soluc: 16 cm)

i) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 21 y 28 cm. Hallar la hipotenusa. (Soluc: 35 cm)

j) Evaluar si los siguientes lados determinan un triángulo rectángulo: 8cm, 5 cm y 4 cm. (Soluc: NO)

k) Ídem para 10 cm, 8 cm y 6 cm. (Soluc: SÍ)

2. Determinar el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8 cm (resultado con dos decimales, bien aproximados). (Soluc: ≅ 5,66 cm)

3. Hallar el lado de un triángulo equilátero de altura 28 cm (resultado con dos decimales, bien aproximados).(Soluc: ≅ 32,33 cm)

4. En un triángulo isósceles sabemos que los lados iguales miden 7 cm y el otro lado es de 4 cm. Calcular sualtura. (Soluc: ≅ 6,71 cm)

5. Hallar la altura de un triángulo equilátero de perímetro 30 cm. (Soluc: ≅ 8,66 cm)

6. Hallar, en las construcciones de la figura a base de triángulos rectángulos, la longitud de los segmentosindicados, dejando el resultado en forma de raíz:

a)b)

2 cm

1 cm

1 cm

1 cm

¿z?

( )cm:Sol 7

2 cm

2 cm

3 cm

1 cm

¿w?

( )cm:Sol 34

4 cm

ACT 3. Bloque 8. Tema 4. Geometría del espacioCEPA MIGUEL DE CERVANTES MATEMÁTICAS 3º ESPAD

56

7. Calcular el valor de la altura del triángulo equilátero y de la diagonal del cuadrado (resultado con dosdecimales, bien aproximados):

a) b)

8. Obtener la longitud de la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 17 cm y su altura 8 cm.

(Soluc: 30 cm)

9. Hallar la base de un rectángulo de 20 m de diagonal y 12 m de altura. (Soluc: 16 m)

10. Hallar la longitud de los lados iguales de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 42 cm y su altura 20cm. (Soluc: 29 cm)

11. Determinar la longitud del lado de un triángulo equilátero cuya altura es de 6 cm. (Soluc: ≅ 6,93 cm)

12. Obtener la altura de un triángulo equilátero de 6 m de base. (Soluc: ≅ 5,20 m)

13. La apotema de un polígono regular es el segmento trazado desde su centro alpunto medio de un lado (ver figura). Hallar la apotema de un hexágono regular de12 cm de lado. (Ayuda: Obsérvese que cada uno de los seis triángulos en quepuede subdividirse el hexágono son equiláteros). (Soluc: ≅ 10,39 m)

14. Calcular la longitud de x en las figuras:

a)b)

c)d)

15. TEORÍA: Demostrar que el triángulo ABC de la figura es rectángulo en A

4 cm h

(Sol: ≅ 3,46 cm) (Sol: ≅ 8,49 cm)

x 6 cm

(Sol: ≅ 5,66 cm)

x 4 cm

(Sol: ≅ 9,43 cm)

x 5 cm

8 cm

(Sol: ≅ 7,07 cm)

10 cm x

(Sol: 6 cm)

x

9 cm

cm117

a

π

π1B C

A


57

FICHA 2: Áreas de triángulos y cuadriláteros

Pasos a seguir para resolver un problema de Geometría:

1. ¿Qué nos piden? (Área, volumen o perímetro)

2. ¿Qué fórmula necesitamos para calcular lo anterior? (¡Aprenderse el formulario!)

3. Para aplicar la fórmula anterior, ¿tenemos todos los datos o, por el contrario, hay que hallar algo–normalmente por Pitágoras– previamente?

Además, hay que tener en cuenta las unidades:

perímetro → unidades lineales

área → unidades2

volumen → unidades3

1. Dibujar aproximadamente las siguientes figuras y calcular su área:

a) Un triángulo escaleno obtusángulo de 13 cm de base y 4 cm de altura. (Soluc: 26 cm2)

b) Un triángulo rectángulo de 13 cm de base y 4 cm de altura. (Soluc: Ídem)

c) Un cuadrado de 3 dm de lado. Hallar también su perímetro. (Soluc: 9 dm2; 12 dm)

d) Un rectángulo de 4 cm de altura y doble de base. Hallar también su perímetro. (Soluc: 32 cm2; 24 cm)

e) Un rectángulo de 8 cm de altura y la mitad de base. (Soluc: Ídem)

f) Un paralelogramo de base 5 m y altura 3 m. (Soluc: 15 m2)

g) Un rombo de diagonales 9 y 12 dam. (Soluc: 54 dam2)

h) Un trapecio isósceles de bases 12 y 8 cm y altura 5 cm. (Soluc: 50 cm2)

i) Un trapecio escaleno de bases 12 y 8 cm y altura 5 cm. (Soluc: Ídem)

j) Un rombo de diagonales 2 y 4 km. (Soluc: 4 km2)

k) Un trapecio rectángulo de bases 10 y 8 cm y altura 6 cm. (Soluc: 54 cm2)


a) Un rectángulo de 3 mm de alto y 5 mm de diagonal. Hallar su perímetro. (Soluc: 12 mm2; 14 mm)

b) Un triángulo equilátero de 10 cm de lado. ¿Cuál es su perímetro? (Soluc: ≅ 43,30 cm2; 30 cm)

c) Un triángulo rectángulo de hipotenusa 13 m, siendo uno de los catetos 5 m. Indicar también su perímetro.(Soluc: 30 m2; 30 m)

d) Un triángulo equilátero de 90 hm de perímetro. (Soluc: ≅ 389,71 hm2)

e) Un cuadrado de diagonal 50 cm (Ayuda: considerar el cuadrado como un rombo) (Soluc: 25 cm2)

f) Un rectángulo cuya base mide 10 cm y la diagonal 116 cm. Hallar su perímetro. (Soluc: 40 cm2; 28 cm)

g) Un rectángulo de base 7 m y perímetro 24 m. (Soluc: 35 m2)

h) Un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 m. Hallar su perímetro. (Soluc: ≅ 15,58 m2; 18 m)

i) Un triángulo isósceles de base 6 cm y lados iguales 12 cm. Hallar también su perímetro.(Sol: 34,86 cm2; 30 cm)


58

3. Hallar el lado y el área de un rombo de diagonales 2 y 4 cm. (Soluc: ≅ 2,24 cm; 4 cm2)

4. Ídem con un rombo de diagonales 10 y 24 mm. (Soluc: 13 mm; 120 mm2)

5. Determinar el área las siguientes figuras compuestas:

a) b)

c) d)

6. Hallar el área de los siguientes trapecios isósceles:

a) b)

c) d)

7. 7. Hallar el área del triángulo sombreado:

1 cm

5 cm

2 cm

(Sol: 12,5 cm2)

4 cm

cm41

(Sol: 80 cm2)

6 cm

10 cm

3 cm

(Sol: ≅ 17,92 cm2)

7 m

4,13 m 3,5 m

(Sol: ≅ 32,17 m2)

16 m

24 m (Sol: ≅ 243,31 m2)

m164

14 m

4 m

3 m

(Sol: 30 m2)

(Sol: 26 m2)

7 m

5 m

3 m

3 m

4 cm

26 cm

10 cm

2 cm

6 cm

(Sol: 98 cm2)

1/2 1/2 (Sol : 3 32)/


59

FICHA 3: Áreas de polígonos regulares y figuras circulares

Áreas de polígonos regulares:

1. Calcular el área de un hexágono regular de 6 m de lado. (Soluc: ≅ 93,53 m2)

2. Hallar el área de un hexágono regular de 3 dm de apotema. Dejar el resultado en forma de raíz.

2dm6:Sol 3

3. Calcular el área de un hexágono regular de 24 cm de perímetro. (Soluc: ≅ 41,57 cm2)

4. Hallar el área de la siguiente señal de tráfico, si su altura es 90 cm y su lado mide 37 cm.

5. Obtener el área de un hexágono regular circunscrito (ver figura) en una circunferencia de radio 2 m.

6. Hallar el área del siguiente hexágono regular estrellado (Ayuda: relacionar primero el área de los seistriángulos con la del hexágono interior):

2 m

(Sol: ≅ 10,39 m2)

2 cm

2 cm

(Sol: ≅ 20,78 cm2)

(Sol: 6660 cm2)


60

Áreas de figuras circulares:

7. Para realizar en casa: Medir, por medio de una cinta métrica, el perímetro de lacircunferencia de un objeto cilíndrico (p.ej. una lata de conservas). A continuación, medircon una regla su diámetro. Finalmente, dividir el perímetro entre el diámetro. Obtendremossiempre, sea cual sea el objeto utilizado, una cantidad muy próxima a π ≅ 3,141592654…

NOTA: En los siguientes ejercicios se recomienda trabajar con todos los decimales de π que aporta la calculadora, con el fin de disminuir el error en el resultado.


a) Una circunferencia de 6 cm de radio. Hallar también su longitud. (Soluc: ≅ 113,10 cm2; ≅ 37,70 cm)

b) Un sector circular de 120 º de amplitud y 20 cm de radio. Hallar su perímetro. (Soluc: ≅ 418,88 cm2)

c) Un círculo de 4 m de diámetro. Obtener su longitud. (Soluc: ≅ 12,57 m2; ≅ 12,57 m)

d) Un sector circular en un círculo de 8 m de diámetro, con una abertura de 60º. (Soluc: ≅ 8,38 m2)

e) Una circunferencia de 9 dam de radio. Hallar su perímetro. (Soluc: ≅ 254,47 dam2; ≅ 56,55 dam)

9. Hallar el área de la corona circular formada por dos circunferencias concéntricas de radios 3 y 5 cm. Dibujardicha corona. (Soluc: ≅ 50,27 cm2)

10. Hallar el área de la circunferencia circunscrita a un rectángulo de lados 15 y 20 cm(ver figura). (Soluc: ≅ 490,87 cm2)

11. Calcular la superficie de la siguiente pieza:

(Soluc: ≅ 141,45 cm2)

12. Dibujar un sector circular de amplitud 30º asociado a una circunferencia de 12 m de radio. Calcular su área ysu perímetro. (Soluc: ≅ 3,77 m2; ≅ 24,63 m)

13. Hallar el área de los siguientes recintos sombreados, sabiendo que la circunferencia exterior mide en todoslos casos 10 cm de diámetro:

a) b)

c) d)

20 cm

15 cm

12 cm 13 cm

14 cm

(Sol: ≅ 39,27 cm2)

10 cm

(Sol: ≅ 39,27 cm2)


61

e)

14. Calcular la superficie de la siguiente figura:

15. En la figura adjunta cada uno de los círculos tiene radio r. Hallar, en función de r, el área y el perímetro de lazona sombreada. (Soluc: (4-π)r2 y 2π r , respectivamente)

16. Ídem con la siguiente figura (Ayuda: considerar el triángulo equilátero cuyos vértices son los centros de cadacircunferencia) (Soluc: (√3-π/2)r2 y πr, respectivamente)

(Sol: ≅ 13,59 cm2) (Sol: ≅ 58,90 cm2)

5 cm

CORONA CIRCULAR

(Sol: ≅ 33,51 cm2)

TRAPECIO CIRCULAR

4 cm

6 cm 60º

2 m

(Sol: ≅ 11,42 m2)


62

6 m

3 m 1,30 m

1,30 m

FICHA 4: 32 Problemas de planteamiento y aplicación de áreas y volúmenes

Problemas de planteamiento de áreas:

1. Una torre de 150 m de alto proyecta a cierta hora del día una sombra de 200 m. ¿Qué distancia hay desde elpunto más alto de la torre hasta el extremo de la sombra? (Hacer un dibujo explicativo). (Soluc: 250 m)

2. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre una pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared.¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? (Hacer un dibujo explicativo). (Soluc: 8 m)

3. Se tiene una mesa cuadrada de 74 cm de lado y un mantel circular de 107 cm de diámetro. Cubrirá el mantelpor completo la mesa? Razonar la respuesta. (Soluc: Sí, porque en dicho círculo se puede inscribir un cuadrado de

75,66 cm)

4. En los lados de un campo en forma de cuadrado se han plantado 16árboles, separados 5 m entre sí. ¿Cuál es el área del terreno? (Soluc:

400 m2)

5. Se desea enmoquetar el suelo de una oficina, cuya planta es la de lafigura adjunta. Si la moqueta cuesta 20 €/m2, ¿cuánto costará entotal? (Soluc: 72.600 €)

6. En una pista circular de 30 m de diámetro se quieren echar 30 kg dearena por m2 ¿Cuántas toneladas de arena se necesitarán? (Soluc: ≅ 21,21 t)

7. Calcular, a la vista de la figura adjunta, el área que puede grabarse de undisco compacto. ¿Qué porcentaje del área total del disco se aprovecha paragrabar? (Soluc: ≅ 100,53 cm2; ≅ 90,11%)

8. Calcular los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que son tres númerosconsecutivos. (Sol: 3, 4 y 5)

9. Si el lado de un cuadrado aumenta 2 cm, su área aumenta 28 cm2 ¿Cuálesson las dimensiones del cuadrado menor? (Soluc: Se trata de un cuadrado de

lado 6 cm)

10. Los griegos conocían las dos siguientes posibles formas de construir un triángulo rectángulo con sus treslados de longitud entera, sin más que dar valores a n∈IN. Comprobar la veracidad de dichas fórmulasgenerando algunos casos concretos.

Problemas de volúmenes y áreas de cuerpos geométricos:

11. Dibujar los siguientes cuerpos y hallar su volumen:

a) Un cubo de 9 m de arista. Hallar también su área. (Soluc: 729 m3; 486 m2)

b) Un prisma triangular regular recto de arista básica 5 cm y 16,5 cm de altura. Calcular también su área.(Soluc: ≅ 178,62 cm3; ≅ 269,15 cm2)

6 cm

1,3 cm

4 cm

2n

n2-1

n2+1 2n2+2n+1

2n2+2n

2n+1

A B


63

c) Un ortoedro de base 9 x 6 m y altura 16 m. Hallar, además, su área. (Soluc: 864 m3; 588 m2)

d) Un prisma hexagonal regular recto de arista básica 8 cm y altura 10 cm. Obtener su área.(Soluc: ≅ 1662,77 cm3; ≅ 812,55 cm2)

e) Un cilindro recto de 3 cm de radio y 10 cm de altura. Hallar también su área. (Soluc: ≅ 282,74 cm3)

f) Un cilindro circular oblicuo de 3 mm de radio y 5 mm de altura. (Soluc: ≅ 141,37 mm3)

g) Un cono recto de altura 4 cm y radio de la base 3 cm. Hallar también su área. (Soluc: ≅ 37,70 cm3)

h) Un cono recto de 4 cm de radio y 6 cm de generatriz. Hallar previamente su altura. Hallar también su área.(Soluc: ≅ 4,47 cm; ≅ 74,93 cm3)

i) Un prisma hexagonal regular recto cuya arista de la base mide 3 cm y la altura 4 cm. Hallar también susuperficie. (Soluc: ≅ 93,53 cm3; ≅ 118,77 cm2)

j) Un planeta esférico de 10 km de radio. Obtener su superficie. (Sol: ≅ 4188,79 km3; ≅ 1256,64 km2)

k) Una pirámide recta de altura 1,63 cm y cuya base es un triángulo equilátero de 2 cm de lado. Hallar el área.(Soluc: ≅ 0,94 cm3)

l) Un paralelepípedo oblicuo de altura 10 m cuya base es un rectángulo de 2 x 3 m. (Soluc: 60 m3)

m) Un prisma triangular oblicuo de 1 m de altura y base un triángulo equilátero de medio metro de lado.(Soluc: ≅ 0,11 m3)

n) Una pirámide recta de 15 m de altura cuya base es un cuadrado de 10 m de lado. Hallar también su área.(Soluc: 500 m3; ≅ 416,23 m2)

o) Una pirámide oblicua de 20 cm de altura cuya base es un triángulo equilátero de 6 cm de lado.(Soluc: ≅ 103,92 cm3)

p) Un cono circular oblicuo de 12 mm de radio y 2 cm de altura; hallar su volumen en mm3. (Sol: ≅ 3015,9 mm3)

q) Un prisma triangular recto de altura 3 dm y cuya base es un triángulo equilátero de 2 dm de lado. Hallartambién su superficie. (Soluc: ≅ 5,19 dm3; ≅ 21,46 dm2)

r) Un ortoedro de altura 5 cm cuya base es un rectángulo de 3 x 4 cm. Calcular además su área.(Soluc: 60 cm3; 94 cm2)

s) Una pirámide cuadrangular recta de arista 10 mm y altura 5 mm. (Soluc: ≅ 166,67 mm3)

t) Un prisma triangular recto de altura 8 dm y cuya base es un triángulo equilátero de lado 4 dm. Hallartambién su área. (Soluc: ≅ 55,43 dm3; ≅ 109,86 dm2)

u) Un cilindro de 12 dam de diámetro, y altura el triple de éste. (Soluc: ≅ 4071,50 dam3)

v) Un prisma cuadrangular regular recto de base 3 m y altura 7 m, y un cilindro inscrito en él. Hallar elvolumen de ambos cuerpos. (Soluc: 63 m3; ≅ 49,48 m3)

12. Nombrar las siguientes figuras y hallar los elementos que faltan y su volumen; en el caso de las cincoprimeras, hallar también su área:

a) b) c)

6 m

h2 hm

(Sol: V ≅ 33,51 hm3; A ≅ 50,27 hm2)

(Sol: V ≅ 56,55 m3; A ≅ 113,09 m2)

3 m

(Sol: V=120 m3; A ≅ 161,28 m2)


64

ACT3. Bloque 9. Tema 6. Estadística.

Página 1 de 23

Bloque 9. Tema 6.

Estadística

ÍNDICE

1) INTRODUCCIÓN.

2) CONCEPTOS

3) ESTUDIO ESTADÍSTICO.

3.1. Recogida de datos.

3.2. Organización de los datos.

3.2.1. Gráficas estadísticas.

3.3. Análisis de datos.

3.3.1. Medidas de centralización.

3.3.2. Medidas de dispersión.

1) INTRODUCCIÓN

La estadística es una ciencia matemática especializada en el análisis de grandes volúmenes de información para de ella extraer conclusiones. Tras analizar los datos deduce determinadas características de dicha información.

También se podría decir que la estadística trata del recuento, la ordenación y clasificación de datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

- Recogida de datos

- Organización y representación de datos

- Análisis de datos

- Obtención de conclusiones


65


Página 2 de 23

2) CONCEPTOS

En un estudio estadístico distinguimos:

� POBLACIÓN: Es el conjunto de todos los elementos sobre los cuales se va a estudiar una determinada característica. Por ejemplo: si vamos a analizar la estatura media de los españoles la población sería todos los ciudadanos españoles.

� MUESTRA: Del total de la población se selecciona un grupo representativo que es el que vamos a estudiar. Por ejemplo: para la analizar la estatura media de los españoles no podemos recoger esta información de todos los ciudadanos españoles sino que tenemos definir un grupo de estudio, por ejemplo seleccionar a 2000 personas. Este grupo tiene que ser representativo de la sociedad española por lo que tiene que incluir a hombres y mujeres, gente de la ciudad y del campo, gente de diversos niveles de renta, de diversas edades. Es decir, la muestra tiene que ser como una imagen "en miniatura" de la población.

� VARIABLE ESTADÍSTICA: el aspecto que se va a estudiar. En nuestro ejemplo, la estatura media. Si se puede medir se llama variable cuantitativa (por ejemplo, altura y peso). Si no se pueden medir se llama variable cualitativa (por ejemplo, sexo). Si la variable estadística toma un número determinado de valores se llama variable discreta. Por ejemplo, números de años en el colegio: de 1 a 15.

Si la variable estadística puede tomar cualquier valor entre dos valores dados se llama variable continua. Aquí la variable puede tomar un número casi ilimitado de valores. Por ejemplo, estatura; 161 cm, 162 cm, 163 cm....)

� VALOR es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico.

Ejercicio 1

Clasifica los siguientes caracteres estadísticos según sean cualitativos, variables discretas o variables continuas:

1) Marca de los coches.

2) Peso de los coches.

3) Número de coches vendidos de las diferentes

Ejercicio 2

Indica cuál es la población de cada uno de los siguientes estudios estadísticos y si es conveniente tomar una muestra.

1) Altura y peso de los alumnos de una clase.

2) Marca de los coches de una ciudad.


66


Página 3 de 23

3) ESTUDIO ESTADÍSTICO

Una vez definida las variables que vamos a estudiar y la muestra que vamos a analizar, hay que comentar por obtener la información. Para realizarlo, debemos seguir los siguientes pasos.

3.1) RECOGIDA DE DATOS

Planteado el test o encuesta oportuno, una vez elegido el tema al que se quiere hacer el estudio estadístico, y recogidos los datos que correspondan, el primer análisis que realizaremos es el del tipo de variable que pretendemos estudiar (Cualitativa o Cuantitativa; Discreta o Continua).

Esto condicionará en gran medida su posterior tratamiento.

3.2) ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS

Determinado el modo de agrupamiento de las observaciones, procedemos a su RECUENTO. Los datos obtenidos en el punto anterior hay que ordenarlos y recogerlos en una tabla que se denomina tabla estadística o tabal de frecuencias.

Imagen 1. Recogida de datos, recuento y tabla de frecuencias. Fuente: Desconocida. Autor:

Desconocido. Licencia: Desconocida.

Posteriormente podremos visualizar tales frecuencias de forma gráfica con el diagrama estadístico apropiado.


67


Página 4 de 23

TABLA DE FRECUENCIAS:

Tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

� Frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N. Es decir: N=Σ fi

� Frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado

valor y el número total de datos.

Se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

� Frecuencia relativa porcentual es la frecuencia relativa multiplicada por 100. Se

puede expresar por % La suma de las frecuencias relativas porcentuales es 100.

� Frecuencias acumuladas es la suma de las frecuencias correspondientes de

todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por: Fi la frecuencia absoluta acumulada Ni la frecuencia relativa acumulada Ni% la frecuencia relativa porcentual acumulada Para que tengan sentido las frecuencias acumuladas, los valores de la variable deben estar ordenados.

Imagen 2. Tabla de frecuencias con variable cuantitativa.

Autor: Desconocido. Fuente: Desconocida. Licencia: Desconocida.


68


Página 5 de 23

Ejercicio 3

El número de veces que han ido al cine en el último mes los alumnos de una clase es:

{2,3,0,1,5,3,2,1,0,0,2,1,2,3,5,0,5,4,1,1,1,2,0,1,2}

Forma la tabla de frecuencias absolutas y relativas, y las acumuladas.

Ejercicio 4

Se realiza un trabajo en la asignatura de lengua en una clase formada por 40 alumnos. 2 alumnos realizan el trabajo en un folio, 5 en 2 folios, 6 en 3 folios, y el resto en 4 folios. Forma la tabla de frecuencias absolutas y relativas. ¿Crees que el profesor ha recomendado un número determinado de folios?

Ejercicio 5

Los goles que se han marcado en la última jornada de liga han sido en los siguientes minutos de juego:

{20,11,89,3,20,4,2,35,50,29,59,30,90,33,78,54,21,19,60,34,56,63,45,31,26,32,5,78,88,85,34}

Realiza la tabla de frecuencias absolutas y relativas agrupándolos en clase por cuarto de hora.

3.2.1) GRÁFICAS ESTADÍSTICAS

Las gráficas estadísticas permiten visualizar la información contenida en las tablas de manera rápida y sencilla.

Existen muchos tipos de gráficas estadísticas. Unas se emplean con variables cuantitativas y otras con variables cualitativas.


69


Página 6 de 23

DIAGRAMA DE BARRAS:

Se utiliza para presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas, relativas, porcentajes o frecuencias acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Imagen 3. Ejemplo de diagrama de barras (1/2). Autor: Desconocido.

Fuente: Desconocida. Licencia: Desconocida.

Imagen 4. Ejemplo de diagrama de barras (2/2). Autor: Desconocido.

Fuente: Desconocida. Licencia: Desconocida


70


Página 7 de 23

POLÍGONO DE FRECUENCIAS: Se realiza para cualquier tipo de variable. Es el polígono que se forma al unir los puntos medios de las barras tanto en histogramas como en diagramas de barras.

Imagen 5. Ejemplo de polígono de frecuencias. Autor: Desconocido.


DIAGRAMA DE SECTORES: Es un gráfico donde se suele representar los porcentajes. Cada sector es proporcional al porcentaje que representa. Los grados de cada sector son: Grados = 360 x ni

Imagen 6. Ejemplo de diagrama de sectores. Autor: Desconocido.



71


Página 8 de 23

PICTOGRAMA: Es un gráfico con figuras.

Imagen 7. Ejemplo de pictograma. Autor: Desconocido.


PIRÁMIDE DE POBLACIÓN:

Consiste en dos histogramas, uno para hombres y otro para mujeres, correspondientes a habitantes de una misma comunidad más o menos extensa, repartidos por edades.

Es útil para estudiar su situación demográfica y buscar explicaciones a situaciones presentes, pasadas y futuras.


72


Página 9 de 23

Imagen 8. Ejemplo de pirámide de población. Autor: Desconocido.


CLIMOGRAMA: Son gráficas que representan la distribución de precipitaciones y temperaturas a largo de un año en un lugar determinado.


73


Página 10 de 23

Imagen 9. Ejemplo de climograma. Autor: Desconocido.


Ejercicio 6

Realiza un diagrama de sectores para los siguientes datos:

Autonomía Nº de centros

Andalucía 30

Asturias 27

Cataluña 43

Galicia 25

Madrid 40

Navarra 15


74


Página 11 de 23

Ejercicio 7

El número de veces que han ido al cine durante el último mes los habitantes de un pueblo es:

Nº veces fi

0 15

1 26

2 32

3 20

4 15

5 o más 8

Realiza el polígono de frecuencias para estos datos.

Ejercicio 8

En una clase de hemos preguntado a los alumnos por las horas de estudio que dedican a la semana. Estas han sido las respuestas:

16 11 17 12 10 5 1 8 10 14

15 20 3 2 5 12 7 6 3 9

10 8 10 6 16 16 10 3 4 12

1) Ordena los datos en una tabla de frecuencias, agrupándolos en intervalos de la

forma que creas más adecuada.

2) Representa gráficamente la distribución.


75


Página 12 de 23

3.3) ANÁLISIS DE DATOS

Para este análisis se utilizan los parámetros estadísticos. Son los siguientes:

a) Medidas de centralización: MEDIA, MEDIANA y MODA

b) Medidas de dispersión: RECORRIDO, DESVIACIÓN MEDIA, VARIANZA, DESVIACIÓN TÍPICA, COEFICIENTE de VARIACIÓN.

3.3.1) MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

MEDIA ARITMÉTICA:

Media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

Imagen 10. Cálculo de media aritmética (1/2). Autor: Desconocido.


Si los datos vienen en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Imagen 11. Cálculo de media aritmética (2/2). Autor: Desconocido.


Evidentemente esta medida sólo se puede hallar para variables cuantitativas.

MODA: es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por Mo.

Se puede hallar para cualquier tipo de variable, aunque para variables cuantitativas es poco útil.

La moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 es Mo= 4


76


Página 13 de 23

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo= 1, 5, 9

MEDIANA: es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas. Cálculo de la mediana con pocos datos

1) Ordenamos los datos de menor a mayor.

2) Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me= 5

3) Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12 Me= 9.5

Ejemplo de cálculo de media:

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

Imagen 12. Ejemplo cálculo de media. Autor: Desconocido.



77


Página 14 de 23

Cálculo de la mediana para muchos datos

Imagen 13. Ejemplo de cálculo mediana con muchos datos. Autor: Desconocido.


Se divide N entre dos para ver dónde está el centro

104/2 = 52

Se busca en la columna de Fi

donde estaría 52.

Luego el valor o intervalo mediano será:

70

Ejercicio 9

Las notas de inglés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes:

Calcula la nota media.


78


Página 15 de 23

3.3.2) MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión sirven para comparar dos o más distribuciones y decidir cuál de ellas es más o menos dispersa.

RECORRIDO O RANGO es la diferencia entre los valores extremos, es decir, entre el mayor valor y el menor.

Recorrido (Rango) = Valor mayor - Menor valor

DESVIACIÓN MEDIA es un parámetro asociado a la media; y es el promedio (o media) de las distancias de los valores de todos los individuos a la media.

VARIANZA: Sirve para identificar si los datos están cercanos a la media o no, se calcula sumando los valores que se obtienen de elevar al cuadrado la diferencia de cada dato con la media, y dividiendo este valor entre el número de datos, para representar este parámetro se utiliza el símbolo σ2.

DESVIACIÓN TÍPICA: Da un valor de las diferencias de los valores con respecto a la Media que se obtiene haciendo la raíz cuadrada de la varianza.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN: Se usa para comparar las dispersiones de dos distribuciones heterogéneas.

Al calcular el coeficiente de variación estamos relativizando la dispersión. El resultado se da, a veces, en tantos por ciento.


79


Página 16 de 23

Cálculo de desviación media para pocos valores:

Distribución 5, 7, 8, 9, 11, 13, 13, 15, 16, 18.

Cálculo de desviación media para muchos valores:


80


Página 17 de 23

Obtener las medidas de dispersión de la siguiente distribución de notas: 2, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 9, 10.

Ejercicio 10

Calcula la varianza y la desviación típica de los siguientes datos:

4, 7, 5, 3, 6.

Ejercicio 11

En un examen de matemáticas los 30 alumnos de una clase han obtenido las puntuaciones recogidas en la siguiente tabla:

Halla la varianza y la desviación típica.


81


Página 18 de 23

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Clasifica los siguientes caracteres estadísticos según sean cualitativos, variables discretas o variables continuas:

1) Marca de los coches. Cualitativo 2) Peso de los coches. Variable discreta 3) Número de coches vendidos de las diferentes Variable continua

Ejercicio 2

Indica cuál es la población de cada uno de los siguientes estudios estadísticos y si es conveniente tomar una muestra.

1) Altura y peso de los alumnos de una clase. 2) Marca de los coches de una ciudad.

1) La población son los alumnos de la clase, no es necesario realizar una muestra. 2) Los coches de la ciudad, es necesario realizar una muestra. Ejercicio 3

El número de veces que han ido al cine en el último mes los alumnos de una clase es:

{2,3,0,1,5,3,2,1,0,0,2,1,2,3,5,0,5,4,1,1,1,2,0,1,2}

Forma la tabla de frecuencias absolutas y relativas, y las acumuladas.

xi ni fi Ni Fi

0 5 0,20 5 0,20

1 7 0,28 12 0,48

2 6 0,24 18 0,72

3 3 0,12 21 0,84

4 1 0,04 22 0,88

5 3 0,12 25 1

∑ 25 1


82


Página 19 de 23

Ejercicio 4

Se realiza un trabajo en la asignatura de lengua en una clase formada por 40 alumnos. 2 alumnos realizan el trabajo en un folio, 5 en 2 folios, 6 en 3 folios, y el resto en 4 folios. Forma la tabla de frecuencias absolutas y relativas. ¿Crees que el profesor ha recomendado un número determinado de folios?

Variable Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

1 2 0,050

2 5 0,125

3 6 0,150

4 27 0,675

∑ 40 1

Ejercicio 5

Los goles que se han marcado en la última jornada de liga han sido en los siguientes minutos de juego:

{20,11,89,3,20,4,2,35,50,29,59,30,90,33,78,54,21,19,60,34,56,63,45,31,26,32,5,78,88,85,34}

Realiza la tabla de frecuencias absolutas y relativas agrupándolos en clase por cuarto de hora.

Clase Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

[0,15) 5 0,161

[15,30) 6 0,194

[30,45) 7 0,223

[45,60) 5 0,161

[60,75) 2 0,065

[75,90] 6 0,194

∑ 31 1


83


Página 20 de 23

Ejercicio 6

Realiza un diagrama de sectores para los siguientes datos:

Autonomía Nº de centros Porcentaje Ángulo central

Andalucía 30 16,7 % 60º

Asturias 27 15,0 % 54º

Cataluña 43 23,9 % 86º

Galicia 25 13,9 % 50º

Madrid 40 22,2 % 80º

Navarra 15 8,3 % 30º

Total ∑ 180 1 360

El porcentaje de Galicia se ha calculado: fi · 100 = (25/180) · 100 = 13,9% El ángulo central correspondiente a Galicia es: fi · 360 = (25/180) · 360 = 50º.

Por tanto, el diagrama de sectores es:


84


Página 21 de 23

Ejercicio 7

El número de veces que han ido al cine durante el último mes los habitantes de un pueblo es:

Nº veces fi

0 15

1 26

2 32

3 20

4 15

5 o más 8

Realiza el polígono de frecuencias para estos datos.

Ejercicio 8

En una clase de hemos preguntado a los alumnos por las horas de estudio que dedican a la semana. Estas han sido las respuestas:

16 11 17 12 10 5 1 8 10 14

15 20 3 2 5 12 7 6 3 9

10 8 10 6 16 16 10 3 4 12

1) Ordena los datos en una tabla de frecuencias, agrupándolos en intervalos de la

forma que creas más adecuada.

2) Representa gráficamente la distribución.


85


Página 22 de 23

Por una parte, la variable que estamos estudiando (horas de estudio) es continua. Además, entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos.

El menor valor es 1 y el mayor es 20; su diferencia es 20 - 1 = 19. Por tanto, podemos tomar 7 intervalos de longitud 3, empezando en 0:

Ejercicio 9

Las notas de inglés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes:

Calcula la nota media.

Solución: 4.6


86


Página 23 de 23

Ejercicio 10

Calcula la varianza y la desviación típica de los siguientes datos:

4, 7, 5, 3, 6.

Varianza = 2

Desviación típica = 1,41.

Ejercicio 11

En un examen de matemáticas los 30 alumnos de una clase han obtenido las puntuaciones recogidas en la siguiente tabla:

Halla la varianza y la desviación típica.

Solución: Varianza = 4,23 Desviación típica = 2,06.


87

EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA

1) El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente:

0 1 0 0 3 2 1 4 0 0 1 1 2 0 1

1 2 0 1 1 2 1 3 0 0 2 1 2 3 5

a) Efectúa el recuento.

b) Elabora una tabla de frecuencias en las que se incluyan: frecuencia

absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada.

c) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y

un polígono de frecuencias absolutas.

d) ¿Qué porcentaje de alumnos son hijos únicos?

e) ¿Cuántos alumnos tienen más de un hermano?

2) El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente:

0 1 0 2 3 2 1 3 0 0 1 0 3 0 1

1 0 0 1 1 2 1 2 0 1 2 1 5 3 5

a) Elabora una tabla con las cuatro frecuencias y el porcentaje.

b) Calcula la moda, la media de goles por partido.

c) ¿Qué porcentaje de partidos han metido al menos un gol?

d) ¿Cuántos partidos han jugado?

e) Haz una representación gráfica.

3) En una encuesta sobre vivienda se pregunta, entre otras cosas, cuántas personas

viven en la casa, obteniéndose las siguientes respuestas:

4 4 8 1 3 2 1 3 4 2 2 7 0 3 8 0 1 5 6 4

3 3 4 5 6 8 6 2 5 3 3 5 4 6 2 0 4 3 6 1

a) Elabora una tabla en la que se recojan las cuatro frecuencias.

b) ¿Cuántas viviendas fueron objeto de estudio? ¿En cuántas de ellas no

vive nadie?

c) ¿Qué porcentaje de viviendas está ocupado por más de cinco personas?

d) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y

un polígono de frecuencias absolutas.

4) En un estudio estadístico sobre el número de horas que duran 12 pilas de una

determinada marca se obtuvieron los siguientes datos:

10, 12, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 13, 11, 13, 9

a) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias y porcentajes.

b) Representar los datos en un diagrama de barras y en un diagrama de

sectores.

5) Se ha lanzado un dado 20 veces y se han obtenido los siguientes resultados:

3, 4, 5, 2, 1, 4, 6, 1, 3, 2,

5, 5, 3, 2, 4, 4, 1, 2, 5, 6

a) Construir la tabla de frecuencias.

b) Representar los datos con un diagrama de barras y un diagrama de

sectores.

c) ¿Cuál a sido la puntuación media obtenida?.


88

6) Estos son los datos sobre ocupación de la población por sectores económicos:

a) ¿Cuántos trabajadores hay en total?

b) Calcula la frecuencia relativa en porcentaje de cada sector económico

c) Representa estos datos en un diagrama de barras

7) La siguiente tabla refleja las calificaciones de 30 alumnos en un examen de

Matemáticas:

nota 2 4 5 6 7 8 9 10

Nº alumnos 2 5 8 7 2 3 2 1

a. ¿Cuántos alumnos aprobaron? ¿Cuántos alumnos sacaron como máximo

un 7?¿Cuántos sacaron como mínimo un 6?

b. Calcular la nota media, la moda y la mediana

8) Las calificaciones obtenidas por los 32 alumnos de una clase de 3º de ESO en

una prueba de Matemáticas vienen dadas por la siguiente tabla:

Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Alumnos 1 2 4 5 4 6 5 4 1

a) Elabora la tabla de frecuencias completa.

b) ¿Qué porcentaje de alumnos aprueba la materia?

c) ¿Qué porcentaje obtiene más de 8 puntos?

d) Dibuja un diagrama de barras de frecuencias relativas.

e) Dibuja un polígono de frecuencias acumuladas.

9) En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de

un ambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año.

a) ¿Cuántas personas han ido el médico 7

veces en el último año?¿Cuántas han ido 4

veces?

b) ¿Qué porcentaje de personas ha ido al

médico más de 6 veces?

c) Calcular la moda y el número medio de

visitas al médico en el ambulatorio.

d) Dibujar un diagrama de barras.

Nº de

visitas al

médico

Nº de

personas

1 10

3 25

5 43

7 31

10 12

12 4

Agricultura 1.870.000 Industria 2.587.000 Construcción 789.000

Servicios 5.394.500


89

10) Las temperaturas recogidas en un determinada ciudad durante el mes de Enero

se muestran en la siguiente tabla:

Temperatura en ºC 19 20 21 22 23 24

Número de días 7 9 6 4 3 2

a. ¿Cuántos días hizo por encima de 21ºC? ¿Cuántos por debajo de

23ºC?¿Cuántos días hizo la temperatura máxima?

b. Calcula la media, la moda y la mediana.

11) Se realizó una encuesta a un grupo de personas para comprobar si habían visto la

película que obtuvo más premios Goya ese año. Los resultados se reflejan en la

gráfica:

125

175

0

50

100

150

200

SI NO

OPINIÓN

Nº

de r

esp

uesta

s

a) ¿Cuántas personas contestaron a la encuesta?

b) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente.

12) A partir de la siguiente gráfica estadística de gustos deportivos:

0

1

2

3

4

5

6

atletismo ciclismo baloncesto natación

a) Calcular la tabla de frecuencias.

b) ¿A qué porcentaje de las personas no le gusta el ciclismo?


90

13) La siguiente gráfica recoge la cantidad de parejas de zapatos de mujer vendidas

en una tienda a lo largo del día:

0

5

10

15

20

25

30

35

36 37 38 39 40

Nº de zapato

Nº

de p

are

s v

en

did

os

a) ¿Cuántas parejas de zapatos del número 37 se han vendido?

b) Pasa los datos a una tabla de frecuencias absolutas.

c) ¿Cómo se llama la gráfica que nos han dado?

d) ¿Qué porcentaje de zapatos vendidos eran números del 39 o 40?

e) Dibuja un polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

14) En una encuesta a 35 personas se les preguntaba sobre sus preferencias a la hora

de leer novelas. Los resultados se recogieron en la siguiente gráfica:

Preferencias de tipos de novelas

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

aventuras amor misterio ciencia-

ficción

humor

a) Construye la tabla de frecuencias.

b) Dibuja sobre el gráfico un diagrama de barras.

c) ¿A qué porcentaje de las personas encuestadas les gustan las novelas de

amor?¿Y las de ciencia-ficción?

d) ¿Cuál es la moda?


91

11 . Se ha pasado un test de 79 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se refleja en

la siguiente tabla:

intervalos m i f. abs. puntual f. abs. acumulada f. rel. puntual f. rel. acumulado

[0, 10)

[10, 20)

[20. 30)

[30, 40)

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

5

15

25

35

45

55

65

75

40

60

75

90

105

85

80

65

40

100

175

265

370

455

535

600

1/15

1/10

1/8

3/20

7/40

17/120

2/15

13/120

1/15

1/6

7/24

53/120

37/60

91/120

10 7/120

1

600 1

a) Dibuja un histograma y un polígono de frecuencias acumuladas.

b) Calcula la media, el intervalo mediano, la desviación típica.(utiliza la tabla II)


92

CEPA MIGUEL DE CERVANTES.EJERCICIOSESTADÍSTICA.

INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS

1. Estos son los platos elegidos por los comensales de un restaurante. Realiza la tabla de frecuencias.

2. Construye las tablas de frecuencias que corresponden a los siguientes gráficos estadísticos.

3. En una población de 25 familias se ha observado la variable X = “número de

coches que tiene la familia” .Construye la tabla de frecuencias y calcula los parámetros centrales


93

4. De una muestra de 75 pilas eléctricas, se han obtenido estos datos sobre su

duración: Realiza la tabla de frecuencias correspondiente y calcula la media aritmética

5. Aunque las medias de A y de B están muy próximas, estas dos distribuciones son, sin

embargo, distintas. Calcula la media aritmética y la mediana de cada distribución.

6. Realiza la tabla de frecuencias de este diagrama-


94

EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA

1. Realiza una tabla de frecuencias del siguiente diagrama de barras

en el que se indica las preferencias deportivas de un grupo de alumnos.

2. Calcula los parámetros centrales y la desviación típica de los

siguientes datos obtenidos en un grupo de niños que asisten a las

consultas de un dentista.

3. Juan ha representado en el diagrama de barras el número de personas que hanparticipado en las actividades de la "Semana Cultural”.

Realiza una tabla de frecuencias .

¿Cuántos participantes hubo en los tres primeros días? ¿Y en toda la semana?

¿Qué día es la moda?


95

4. El frutero ha representado sus ventas en un diagrama de barras los kilos de fruta que ha vendidohavendido.

.Realiza una tabla de frecuencias e indica el % de la fruta menos vendida.

¿Cual es la moda¿

5. Calcula la media aritmética y la mediana de la siguiente distribución estadística

6. Realiza una tabla de frecuencias y los parámetros centrales del siguiente diagrama de barras


96

Documents

CIENTÍFICO TECNOLÓGICO 3º ESPAD MATEMÁTICAScepa-migueldecervantesadultosdaimiel.centros.castillalamancha.es/...EJERCICIO 1 Indica si son correctas o no las siguientes expresiones