Dos ciclistas se encuentran en una trayectoria rectilnea. En determinado instante, se encuentran sepa-rados por una distancia de 50m. Uno de ellos, se mova a 20m/s y aceleraba a 5m/s2; el otro, iba con unarapidez de 30m/s pero frenaba con una aceleracion de 12m/s2. Calcular:

a) tiempo de encuentro

b) posicion de encuentro

c) velocidades de encuentro

Hacer un diagrama del problema y realizar los graficos horarios con los datos calculados.

Solucion:En primer lugar hay que organizar el enunciado en un diagrama para comprender los datos que tenemos

y lo que se nos pide. Luego, debemos plantear el modelo matematico del problema del cual obtendremosnuestras soluciones. Ninguno de los dos pasos anteriores son requisito para resolver el problema, pero es unabuena costumbre para organizar las ideas y para poder plantear ejercicios mas complicados. Cabe destacar,que es necesario plantar un sistema de referencias.

A continuacion, las ecuaciones que utilizaremos para obtener la solucion. Se reemplazaran los datos porlas letras designadas en la figura. Notese que, a partir de ahora, la resolucion se hara en forma algebraica(es decir sin reemplazar por numeros) hasta llegar a una expresion final. La llave (1) muestra las ecuacionesdel ciclista 1, mientras que la llave (2) muestra las ecuaciones del ciclista 2. En mi caso, por comodidad,prefiero indicar los sentidos en las ecuaciones y luego reemplazar por el valor absoluto de la magnitud a lacual se refiere, por lo tanto, se indicara el signo correspondiente. Por ejemplo, la aceleracion del ciclista2 tiene sentido negativo en nuestro sistema, entonces le pongo un menos antes de a2. Entonces, all lareemplazaremos por el numero 12 y no por -12.

x1(t) = v01t +1

2a1 t

2

v1(t) = v01 + a1t(1)

x2(t) = d + v02t1

2a2 t

2

v2(t) = v02 a2t(2)

Una vez todo esto planteado, vamos a resolver los incisos.a) Hay una condicion que se debe dar para el encuentro de dos partculas (o cosas) y es que esten ambas

en el mismo lugar y al mismo tiempo. Nosotros podemos traducir eso a mismo x y mismo t. Para lo segundo,por prolijidad, definiremos te que es el tiempo en el que se encuentran. Por logica, si especializamos x1 y x2en te obtendremos una posicion que es la de encuentro (recuerden que son funciones pero en vez dey esta x y en vez de x esta t!). Como dijimos, las posiciones deben ser las mismas, entonces:

1

x1(te) = x2(te)

v01te +1

2a1 te

2 = d + v02te 1

2a2 te

2

1

2(a1 + a2) te

2 + (v01 v02)te d = 08, 5te

2 10te 50 = 0

En un par de pasos, lo que se hizo fue: se reescribieron las ecuaciones y paso del miembro de la derechaa la izquierda restando todo (por supuesto lo que estaba restando pasa ahora a sumar, como se ve con a2)y se sacaron factores comun los te. Esto para que quede igualado a 0 y poder aplicar la resolvente. Porlo general basta con despejar te pero el problema es, en este caso, que tenemos tanto la incognita como sucuadrado lo que resulta imposible despejar por los metodos convencionales. Como quiza sabran, esta formade obtener te nos dara dos valores de solucion. Por lo general, una de esas soluciones no es valida porquesucede antes de que se inicie el movimiento (o sea es negativa). Esta no podemos darla como solucion validaporque no sabemos si los ciclistas se movan bajo las mismas condiciones. En resumen, las solucionesvalidas son aquellas que se encuentran entre el tiempo de inicio y el tiempo final. La ultimalnea, simplemente es con las letras reemplazadas por numeros. La unidad ni la escribo porque ya se en queme tiene quedar (piensen, es la ecuacion de posicion).

Ahora obtendremos te. Hoy en da, las calculadoras nos simplificaran tener que plantear la resolventepero por ahora vamos a plantearla:

x =bb2 4ac

2a

Ahora tendremos que modificarla para nuestro modelo. Recordemos que te cumple nuestra funcion dex ahora. Luego, a es el coeficiente (el que acompana) de te

2, b de te y c es independiente. Por lo tanto, nosquedara (por unica vez voy a usar numeros para facilitar la lectura):

te =10(10)2 4 8, 5 (50)

2 8, 5=

10100 + 170017

=10 42, 42

17

te1 = 3, 083 s

te2 = 1, 907 s ; te2 < 0

Como dijimos antes, la solucion negativa la ignoramos. Es solucion del sistema de ecuaciones matematicopero no del problema fsico. Por lo tanto, el tiempo de encuentro es de 3,083 segundos.

b) Prometo no extenderme tanto para este inciso. Tampoco es necesario. Habamos dicho antes quepara que los dos ciclistas se encuentren deben estar en el mismo lugar al mismo tiempo. Tenemos el tiempo,ahora ubiquemos el lugar. Simplemente ingresamos el valor obtenido te en la ecuacion de posicion pero encual de las dos? No importa. Es el mismo sistema de referencias, si dijimos que se encuentran en la mismaposicion, las dos deben dar el mismo resultado (aunque van a diferir en algunos decimales por haber tomadopocas cifras decimales en el tiempo calculado).

2

x1(te) = v01te +1

2a1 te

2

= 20 3.083 + 12 5 3, 0832

= 61, 66 + 23, 762

= 85, 422m

x2(te) = d + v02te 1

2a2 te

2

= 50 + 30 3, 083 12 12 3, 0832

= 50 + 92, 49 57, 029= 85, 461m x1(te) = 85, 422m

Entonces, se encontraron a los 85,461 m desde donde partio el ciclista 1. Tambien podra tomarel otro resultado. A fines practicos, son el mismo numero. Aqu es donde se nota la importancia del sistemade referencia. Sera la misma distancia habiendo adoptado el sistema de referencia sobre el ciclista 2?

c) Finalmente, las velocidades:

v1(te) = v01 + a1te

= 20 + 5 3, 083= 34, 415m/s

v2(te) = v02 a2te= 30 12 3, 083= 6, 996m/s

Las velocidades al momento del encuentro son 34,415 m/s para el primer ciclista y -6,996m/s para el segundo. Fjense el signo de la velocidad del ciclista 2. A pesar de que estaba frenandotermino yendo marcha atras. Una particularidad del problema que, tal vez no es muy logico ver que alguienfrena y comienza a moverse hacia atras, esta contemplado dentro de la matematica. Les dejo como ejerciciover que pasa si ahora el ciclista 2 cuando llega a frenarse por completo (0 m/s) queda en esa posicion hastaque el otro lo alcanza. Cual sera, ahora, el tiempo y la posicion de encuentro? Cualquier cosa, eso lopodemos discutir en el grupo (es bastante trivial el asunto).

Ahora con todos los datos que recolectamos, vamos a hacer las graficas horarias. Sabemos que la posiciones una parabola y la velocidad una recta. No vale la pena graficar la aceleracion pues es constante. En rojo,el ciclista 1. En verde, el ciclista 2.

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