CINETICA ESPACIAL DE LOS CUERPOS RIGIDOS

En este capitulo haremos mas nfasis en los aspectos del movimiento del cuerpo rgido, ya que se sigue cumpliendo la ley :

GamF

CONCEPTOS PREVIOS

TENSOR DE INERCIA

dmYXIdmZXIdmZYI ZZYYXX )(,)(,)(222222

)(

)(

)(

22

22

22

GGZZZZ

GGYYYY

GGXXXX

YXmII

ZXmII

ZYmII

GGXZXZ

GGYZYZ

GGXYXY

ZmXII

ZYmII

YXmII

.

..

..

zzzyzx

yzyyyx

xzxx

III

III

III

I

MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN EJE ARBITRARIO

Sea:

kjikCosjCosiCos ZyX

......

yzzxzyyzyxxyzzzyyyxxxaa IIIIIII 222222

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA

Sean I1, I2, I3 los momentos principales de inercia, y se presenta el tensor de Inercia diagonalizado donde:

I=

Ixy = Iyz = Izx = 0

z

y

x

n

m

cos

cos

cos

O

O

I1

O

I

O

2

3I

O

O

I1, I2 I3

DE:

0

0

0

zzzyzyxzx

zyzyyyxzx

zxzyxyxxx

WIIWIWI

WIWIIWI

WIWIWII

0

IIII

IIII

IIII

zzzyzx

xzyyyz

xzxyxx

De la cual se calcula los momentos

principales

Clculos de los Cosenos, directores de los

ejes :

Principales:

Sabiendo:

Con:

nm,,

1222 nm

nIIII

ImIII

IIII

zzzymzx

yznyyyx

zxnxymxx

0

MOMENTUM ANGULAR DE UN CUERPO RIGIDO

Tomndolo como un medio discreto de n

particulas al cuerpo de masa m

Para todo el cuerpo, sumando para todas las n particulas:

n es contable: medio discreto:

Cuando (medio continuo)

iAAAiAA mxxxmH )(

dmmn i

Forma caso GENERAL

Traslacin +rotacin

TRASLACION+ ROTACION

dmxxxdmH AAAAA )(

iAAAiAA

AAiAA

mxxxmH

xmxH

)(

)(

iiAA mxH

AAi x

1)

2)

dmxxxdmH AAAAA )(

CASOS QUE SE PRESENTAN: 1) Cuando A se convierte en un punto fijo: O

dmxwxH )( 000

000p

TRASLACION +

ROTACION caso general

00

dmr

dm

dmGG

G GA

2) Cuando A se convierte en el centro de masa G

dmdmH AAAAA )(

dmwH GGG )(

3)Cuando A es un punto arbitrario cualquiera:

;

dmxwxxdmH AAAAA )(

AGGA

creAG

GAA

GPAGA

Luego:

AGGAGGAAGGA xwxdmxH )()(

Como:

dmxwx GG

dmxdmH AAGAGA )()(0

)()( 0 AGG xwxdm

mxwxHmxH AGAGGAAGA )()(

GAGAAGA HmxwxH

AGAG xw

dmxwxdmwx AGAGGAG )()(0

GGAGA HmH

Sea: kzjyix

KwJwIw zyx

De:

dmzyixwwIwxxzyixH KKk JJj zy

dmwH )(0

dmxwywzwxwywzwxzyxH KJJ yxyzzyK

A)Por cualquiera del cuerpo

rgido

MOMENTUM ANGULAR CONSIDERANDO UN SISTEMA CARTESIANO

a) O: fijo b) OG:

Sabemos que:

KZyx OOOO HHiHH J

Luego:

dmxzwxydmwdmwzyH zyxx22

dmyzwxzwwxwzxywwxizxwwzxywwyH KJ yxzyxyzxyx 22222

xzdmwxydmwdmzywH zyxx22

Anlogamente: zyzyyyxyxy wIwIwIH

Reordenando: zyzyyyxxyy wIwIwIH

Tambin: zzzyzyxzxz wIwIwIH

Ecuacin para un estado dinmico.

(para un instante)

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

oz

oy

ox

III

III

III

H

H

H

Si los ejes x,y,z de forma que coinciden con los ejes principales :

oIII zxyzxy

Si:

KJ zzyyxx wIwIwIH

zzzz

yyyy

xxxx

WIH

WIH

WIH

IIIIIII zyx 321

wIH

PRINCIPIO DEL IMPULSO Y MOMENTUM

(Entre 2 estados dinmicos)

PARA CAMBIOS DE ESTADO

a) Lineal:

2

2

11 ))( ( Gt

tG mdtFm

211 ))( ( Gxxt

tGx mdtFm

2

2

11 ))( ( Gxyt

tGy mdtFm

2

2

11 ))( ( Gzzt

tGz mdtFm

b) Angular:

En un sist. de Coordenadas

X,Y,Z

Salen del

D.C.L. cuyas ecuaciones son similares a 2D

020

2

101 ))( (HMH dtt

t

MdT

Hd

MH

2

2

11 ))( ( XXt

tX HMH dt

2

2

11 ))( ( YYt

tY HMH dt

2

2

11 ))( ( ZZt

tZ HMH dt

M

Desarrollando:

iiiiii mmT

.2

1

2

1 2

imPara una energa particular de masa y realidad medida segn el marco inicial X,Y,Z, su energa cintica es:

ENERGIA CINETICA DE UN CUERPO RIGIDO (para un instante t)

i

AAi xw

AAAAii xwxwmT

.2

1

iAAiAAi mxwmT

..2

1

iAA mxwxw

.2

1

Para todo el cuerpo:

iAAiAA mxwmT

..2

1

Si:

Medio Continuo dmmi

De la propiedad:

iAA mxwxw

.2

1

dmxwxwdmxwmT AAiAAAA

.2

1..

2

1

cxbacbxa

..

AAAA xwxwxwxw

..

dmwwdmwmT AAAAAA

2

1.

2

1

Caso GENERAL

TRASLACION

+

ROTACION

II

Para un caso t (valida para un estado dinmico)

xzxzzyzyyxyxzzzyyyxxx wwIwwIwwIwIwIwIT 222

2

1

2

1

2

1

1) Cuando A se convierte en un punto fijo O sobre el cuerpo:

0A

CASOS QUE SE PRESENTAN

, como : dmxwxH 00

0

, KwJwIwxw ZY

kj Zyx HHiHH

0000

02

1HwTO

como:

Conociendo las expresiones de HX, HY, HZ de

y , y reemplazando

Si los ejes coordinados X, Y; Z son los ejes principales:

:0 zxyzxy III222

2

1

2

1

2

1zzzyyyxxx wIwIwIT

2)Cuando A se convierte en el centro de masa G:

0dmG GG HwmT

2

1

2

1 2

TRASLACION+

ROTACION II

xzzxzyyzyxxyzzzyyyxxxG wwIwwIwwIwIwIwImT 2222

2

1

2

1

2

1

2

1

Si los ejes X, Y; Z son los ejes principales para el cuerpo en el pto G:

2222

2

1

2

1

2

1

2

1zzyyxxG wIwIwImT

Para 2 estados dinmicos tambin se determina en forma similar a 2D

Se cumple la ecuacin escalar para cada cuerpo

2211 TWT

PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGIA CINETICA

Las ecuaciones que rigen el movimiento Tridimensional de un cuerpo rgido conocidas como ecuaciones de Euler convierten en la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento angular:

ECUACIONES DE EULER Matemtico Suizo Leonhard Euler (1707 1783)

B) ROTACION:

XYZHdt

HdM 0

0

0

000 HxHdtd

XYZM

XYZG

G Hdt

Hd

GM

GXYZG HxH

dt

d

GM

KHJHH ZyxH 0000

KHJHH GZGyGxGH

:

:

Velocidad angular del SISTEMA MOVIL

Velocidad angular del CUERPO RIGIDO

GamF

A) TRASLACION:

zGz

yGy

xGx

amF

amF

amF

Siendo : el vector velocidad angular del sistema considerando X Y Z (no necesariamente esta soldado al cuerpo rgido)

0Hx

dt

kdH

dt

dH

dt

JdH

dt

dH

dt

idHi

dt

dHH

dt

HZ

Zy

y

xx

XYZ

KJ

00

0

0

00

00

KJdt

dH

dt

dHi

dt

dH Zyx 000

00 H

dt

Hd

0000

0 HKdt

dHJ

dt

dHi

dt

dHM Z

yx

KxK

JxJ

x

Zx Jx Kx

Tomando el sistema de coordenados por cada eje coordenado:

zyzyyyxyxzzxzy

xyx

xxox wIwIwIdt

dwI

dt

dwI

dt

dwIM

Sale del

D.L.C. zzzyzyxzxy wIwIwI

zxzyxyxxxzzyzy

yyx

yxoy wIwIwIdt

dwI

dt

dwI

dt

dwIM

zzzyzyxzxx wIwIwI

zxzyxyxxxyzzzy

zyx

zxoz wIwIwIdt

dwI

dt

dwI

dt

dwIM

zyzyyyxyxx wIwIwI

Sale del

D.L.C.

Sale del

D.L.C.

La aceleracin angular del cuerpo rgido es: cuando

Caso General

Escribiendo de forma matricial:

Del Cuerpo Rgido

Sistema Mvil

z

y

x

M

M

M

0

0

0zyzyzyxxx wIwIwIM 0

xzxzxzyyy wIwIwIM 0

yxyxyxzzz wIwIwIM 0

X Y Z ~absoluto

dt

d 0

xKdt

dwJ

dt

dwi

dt

dw

dt

d Zyx 0

1) Ejes X Y Z que tienen movimientos :

los ejes se escogen con origen en G, de tal manera que los ejes solamente se trasladen con respecto al marco inicial de referencia XYZ, como , sin embargo el cuerpo puede tener una rotacin consecuente con los ejes XYZ.

CASOS QUE SE PRESENTAN

0

0

Simplificando la ecuacin III. Estos casos no son muy convenientes de platear solo en forma restringida su aplicacin.

2) Ejes X,Y,Z, que tienen un movimiento (El sistema mvil esta soldado al cuerpo rgido)

Los ejes estn fijos al cuerpo y se mueven y giran con el, se usa para (En el caso general o casos en el cuerpo tiene un punto fijo o es mvil)

GxyzGG

xyz

HxHM

HxHM

000

Luego: de III

Haciendo los reemplazos correspondientes:

yxzzxzyyzxzyxyzyzzyyxxxx wwwwwwwwwwwIM 22)(

zyxxyxzzxyxzyzxzxxzzyyyy wwwwwwwwwwwIM 22)(

xzyyzyxxyzyxzxyxyyxxzzzz wwwwwwwwwwwIM 22)(

Si los ejes se escogen como ejes principales:

zyzyxxx www xzxzyyy www

yxyxzzz www

z

y

x

zzzyzx

xzyyyx

xzxyxx

z

y

x

W

W

W

III

III

III

M

M

M

Y

Z

W

W

O

X

Z

W

O

W

O

W

W

X

Y

z

y

x

zzzyzx

xzyyyx

xzxyxx

W

W

W

III

III

III

El bloque rectangular de 18kg. Jira con una

velocidad angular constante de 6 rad/s alrededor del

eje AB. El apoyo en A en una chumacera lista que

desarrolla reacciones normales a la flecha. El apoyo

en B es una chumacera lista que desarrolla

reacciones tanto normales como a lo largo del eje de

la flecha (eje z). Determine las componentes de la

reaccin en A y B cuando el bloque esta en la posicin indicada.

El disco circular de 4kg. Esta montado

excntricamente sobre una flecha que esta apoyada

mediante chumaceras en

Si la flecha esta girando con una rapidez de w=7 rad/s,

determine las reacciones en las chumaceras cuando el disco esta en la posicin indicada.

ByA

El disco, que tiene una masa de 5kg, esta montado

excntricamente sobre el eje de la flecha AB. Si la

flecha esta girando con una rapidez de 12rad/s,

calcule las reacciones en las chumaceras de apoyo cuando el disco esta en la posicin indicada.

La placa cuadrada, que tiene una masa de 10kg, esta

montada sobre la flecha AB, del tal manera, que el

plano de la placa forma un Angulo de 0=30 con la

vertical. Si la flecha esta girando con una velocidad

angular de 25 rad/s, determinan reacciones en las

chumaceras de apoyo AyB en el instante en que la placa esta en la posicin indicada.

Animacin Resolucin Resultados

Respecto al nuevo sistema de coordenadas, se tiene:

=1

1220 1.8 2 = 5.4 kg.m2

= 0

= = 5.4 kg.m2

= = = 0

Descomponiendo el par motor T en cada eje: = 0.8660T = 0.5

= 0

=

EN LAS CAUSAS: Para el eje X:

= . 2 cos 60 . 2 cos 60

= + . Para el eje Y:

= . 2 sen 60 2 sen 60 + 0.5

=. . + .

Para el eje Z:

= 2 2

=

EN LOS EFECTOS: Debido a la eleccin de ejes principales

=

= 5.4 10.392 0 5.4 3 0

= .

=

= (0) 3 5.4 0 0 5.196 =

=

= 5.4 0 5.4 0 5.196 3

= .

Uniendo las ecuaciones que corresponden a los momentos de causa y efecto:

+ . = . (1)

. . + . =0(2) = . ()

Empleando la segunda ley de Newton

=

= = 0 0 = 0

= = 0 +

= 0 + = . ()

= = 0

+ = ()

Uniendo todas las ecuaciones desde la (1) hasta la (5):

+ + + . = .

+ + . . + . =

+ + + + = .

+ + + + = . + + + + =

Resolviendo mediante una matriz de 5x5:

00210

00210

11.7320

001

11.7320

001

0.86600.5000

=

28.05840

84.1752196.20

= . = +.

= . = . .

= .

N Resultado numrico Magnitud fsica

07. 119.1438 N

08. -7.0149 N

09. 77.0562 N

10. 7.0149 N

11. 48.5992 N.m

zyzyyyxxyy wIwIwIH

zxzyxyx wIwIwIH XXX

zzzyzyxzxz wIwIwIH

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

oz

oy

ox

W

W

W

III

III

III

H

H

H

oH

b = 1190,67

La flecha esta construida de una barra que tiene una masa de 2 kg/m, la cual esta girando con una velocidad angular de 30 rad/s, calcule: a.- El Momentum angular con respecto al punto O.(kg.m2/s) b.- La aceleracin angular de la barra.(rad/s2) c.- La magnitud de la fuerza de reaccin de A en el eje X.(N) d.- La magnitud de la fuerza de reaccin de B en el eje X.(N) c.- La magnitud de la fuerza de reaccin de A en el eje Z.(N) c.- La magnitud de la fuerza de reaccin de A en el eje Z.(N)